UIVERSITATEA DI CRAIOVA Faculaea de Ecoome ș Admrarea Afacerlor Programul de ud: Sacă ș Prevzue Ecoomcă Lceță 5 CUOŞTIŢE DE SPECIALITATE Dcplele cupre î volum ECOOMETRIE SODAJ ŞI ACHETE STATISTICE DEMOGRAFIE PREVIZIUE ECOOMICĂ AALIZĂ ECOOMICO-FIACIARĂ Auor volumulu Prof.uv.dr. Vale GEORGESCU Cof.uv.dr. Ile MURĂRIȚA Prof.uv.dr. Carme RADU Prof.uv.dr. Io EEA-SMARADACHE Prof.uv.dr. cu MARCU CRAIOVA, 5
CUPRIS ECOOMETRIE... 3. Modelul de regree lară mplă... 3. Modelul de regree lară mulplă... 9 3. Modelarea ş predcţa erlor de mp... 8 SODAJE ŞI ACHETE STATISTICE... 34. Locul ş rolul cerceărlor parţale î cadrul cerceăr ace... 34. Caracercle odajulu ac... 36 3. Eşaoarea... 38 4. Eror ş ure de eror î cerceărle elecve... 44 5. Corucţa cheoarulu... 49 6. Colecarea ş prelucrarea daelor î cerceărle parţale... 5 7. Sodajul mplu îâmplăor... 56 8. Sodajul rafca... 64 9. Sodajul de er... 69 DEMOGRAFIE... 74. Aalza acă a efecvulu ş rucur populaţe. Caracercle proceulu de îmărâre demografcă a populaţe... 74. Meode de aalză a feomeelor demografce... 8 3. Aalza prcpalelor feomee demografce: moralae, upţalae, dvorţalae, aalae ş ferlae... 9 4. Meode ace de aalză a calăţ veţ... PREVIZIUE ECOOMICĂ... 4. eceaea ş rolul prevzu ecoomce î oceaea coemporaă... 4. Clafcarea ş coţuul prevzulor dezvolăr ecoomco-ocale... 3 3. Coderaţ geerale prvd meodologa prevzu ecoomce... 8 4. Meode de proecare pe elemee... 34 5. Folorea modelăr ecoomco-maemace î prevzuea ecoomcă... 39 AALIZĂ ECOOMICO-FIACIARĂ... 5. Cadrul geeral al aalze ecoomco-facare... 5. Aalza acvăţ de producţe ş comercalzare... 54 3. Aalza ulzăr facorlor de producţe... 63 4. Aalza cheluellor îreprder... 67 5. Aalza realăţ îreprder... 78
ECOOMETRIE. MODELUL DE REGRESIE LIIARĂ SIMPLĂ.. oţuea de depedeţă ochacă Pr caracerul lor damc, proceual, aâ feomeele d aură câ ş cele d oceae e află îr-o permaeă eracţue, ald umeroae coeu recproce, a căror eeţă, formă ş eae reue cerceae. Tpul aceor coeu poae f îă prcpal dfer. Peru u domeu deul de rerâ al realăţ, îre varalele care fac oecul uor afel de eracţu po ea legăur de cauzalae rcă, câd mafearea ue cauze ( ) duce varal acelaş efec ( ). Daoră caracerulu lor coervav (repeal) acee legăur răpud rgorlor uu deermm cauzal ş pr urmare po f modelae cu ajuorul uor depedeţe fucţoale de pul: f,, K ( ), î eul că o aumă valoare luaă de varala X ee aocaă î mod uvoc cu o valoare a varale Y. Decră î erme ue proalăţ codţoae, depedeţa deermă (rc cauzală) dre varalele X ş Y e preză afel: P Y X ( ) D cauza compleăţ lor deoee ş ma ale daoră prezeţe uor facor a căror flueţă ee goraă au u poae f cuafcaă (acţoâd ca elemee peruraoare) legăurle dre feomeele ocal-ecoomce au forma depedeţelor ochace, râd aşadar u cdeţa uu p ma geeral de deermm (deermmul ac), valal doar d perpecva leg umerelor mar. Î ace caz, ue valor a lu X u î ma corepude o valoare ucă a varale Y, c o druţe de proalăţ pe Y, codţoaă de valoarea luaă de X. Modelul de depedeţă ochacă, cr u forma: f, ε g + ε,, K ( ) ( ), evdeţază fapul că velul oerva e formează aâ pr coruţa ue compoee deerme g( ), câ ş î prezeţa ue peruraţ (eror) ε (preupuă ac ca fd de p adv), amele deermâd legăura ochacă f. Proalaea codţoaă aocaă ue aemeea depedeţe ee daă de relaţa: P Y X < ( ) Î cocluze, varala Y reue erpreaă ca o varală aleaoare decră de o aumă druţe de proalăţ ş a căre valoare mede ee deermaă fucţoal de g() câd e pecfcă o valoare peru : E ( Y X ) g( ) î mp ce valorle reale (oervae) oclează î jurul mede daoră flueţe uor facor aleaor (fgura.): 3
P(X Y) Y E(Y X) g() Fg... Depedeţa ochacă: ue valor X î corepude o E Y X g. druţe de proalăţ pe Y, avâd meda codţoaă ( ) ( ).. Ipoeze prvd daele de oervaţe, cerue de ulzarea meode CMMPO Auc câd d coderaţ eorece au dr-o aalză emprcă prelmară e poae avaa poeza ue depedeţe ochace lare îre varala eplcaă Y ş varala eplcavă X, ajuarea drepe de regree pe aza daelor de oervaţe e face uzual pr meoda celor ma mc părae ordare (CMMPO). Î prmul râd, e mpue ă coaăm că regrea ee o meodă fereţală, ce operează pe u eşao de oervaţ cu copul de a deduce ş geeralza cocluzle aupra îreg populaţ. D ace mov, ee ecear ă dgem îre adevăraa ecuaţe (dreapă) de regree, pe de o pare: α + β + ε,,,k (.) (ude α ş β deemează paramer ce pecfcă î mod uc modelul relav la îreaga populaţe acă, avâd dec ca ură o oervare ehauvă) ş ecuaţa deermaă pe aza uu eşao oarecare, pe de ală pare: a + + e,, K, (.) ude a ş repreză emaţ ale paramerlor α, repecv β, ar ee volumul eşaoulu. X P(X Y) Y ( + β, ) ŷ a + α Fg.. Dreapa de regree corepuzâd populaţe ş emaţa acee drepe, deermaă pe aza uu eşao oarecare Flucuaţle daorae aleger eşaoulu coduc eval la o aumă varalae î emarea paramerlor, au, alfel pu, emaţle a ş ale paramerlor au emfcaţa de varale aleaoare. Ee aşadar raţoal ă e codere că adevăraa dreapă de regree (cea corepuzâd populaţe) răae cerele druţlor codţoae ale lu Y î rapor cu dferele valor luae de regreorul X, adcă meda codţoaă a lu Y corepude compoee deerme a modelulu: E Y X α + β (.3) ( ) ( Y ) α + β 3 X Treue, de aemeea, ă dcrmăm îre ermeul eroare ε, emfcâd aaerle valorlor de la medle lor codţoae, plaae pe dreapa corepuzâd populaţe: E 4
[ Y ] α ε E β (.4) ş rezduurle emae ale modelulu: e ˆ a (.5) reprezeâd aaerle dre valorle oervae ş cele ajuae ale lu Y, pe aza uu eşao oarecare. Apecele comeae u lurae grafc î fgura.. Î couare vom euţa ş vom aalza pe râd poezele fudameale pe care e azează ulzarea emaorulu CMMPO. () Forma fucţoală: laraea modelulu ee poulaă, coformaea acee preupuer cu forma reală a depedeţe dre regreadul Y ş regreorul X fd precodţa eeţală peru oţerea uor emaţ coee ş aplcarea adecvaă a meodelor pecfce de eare. Treue ouş remarca fapul că aceeaş procedură de emare poae f ulzaă ş î cazul uor modele elare î argumee, dar lare î paramer: f ( ) α + β g + ε (.6) 5 ( ) precum ş a celor reducle pr dvere raformăr, coveal alee, la aceea d urmă. Cel ma cuocu model larzal ee modelul log-lar: α β l α + β l um ueor ş modelul cu elacae coaă, deoarece: d / d l E ( ) β d / d l Deş valdă d pucul de vedere al emăr propru-ze a paramerlor, larzarea eceă eroae precauţ î ceea ce prveşe aplcarea uor procedur de eare ş a uor crer de comparaţe îre modele alerave, prvd fdelaea ajuăr (pre eemplu, î afel de cazur, ulzarea coefceulu de corelaţe lară peru a apreca calaea ajuăr modelulu elar ee relevaă). () Ipoeze cu prvre la eroarea ε. Ipoeza de larae a modelulu de regree clude ş propreaea de advae a eror, aâ î cazul lar propru-z: α + β + ε câ ş î formele rezulae pr larzarea uor fucţ elare: β ε h k Admţâd că aceaă caracercă de advae ee aumaă mplc, eroarea ε reue ă afacă re poeze fudameale, eceare peru aplcarea procedeulu de emare pr CMMPO ş o poeză adţoală, ceruă de efecuarea eelor de emfcaţe..a. Speraţa maemacă a eror ε ee ulă: E ε, (.7) [ ] Modelele afe u ufce de elace peru a agura realzarea acee poeze, pr mpla ralaare a ordoae la orge α, cu meţerea echmaă a coefceulu ughular β. Îr-adevăr, preupuâd că E [ ] α, auc modelul poae f cr î forma echvaleă: ude: ε * * ( α + α ) + β + ( ε α ) α + β ε α + β + ε + E * ( α + α ); ε ( ε α ); * α * [ ε ] E[ ε α ] E[ ε ] α α α.. Druţa de proalăţ a eror ε ee depedeă de valorle luae de X, fe î mp (dacroc), fe ecoral (croc); pr urmare, realzărle ale au dpere coaă:
[ ε ] E[ ε ] Var coa, (.8) Aceaă propreae poară umele de homocedacae, pre deoere de cazul corar (mpropru peru ulzarea emaorulu CMMPO): E ε E ε, peru [ ] [ ] j uaţe cuocuă u umele de heerocedacae..c. Erorle repreză o ecveţă de varale aleaoare ecorelae îre ele (e ma pue că u preză corelaţe erală, au u u auocorelae): Cov ε, ε E ε ε, (.9) j [ ] [ ] j j Î fârş, cea de-a para poeză, deş u flueţează caracercle de opmalae ale emaorulu CMMPO, ee ouş o codţe eceară peru a coru ervale de îcredere ş a aplca ee de emfcaţe, fd mpuă de recurgerea la eorema lmă cerală. Ea e euţă afel:.d. Erorle ε urmează o lege de druţe ormală, de mede ulă ş dpere, adcă: ε ~ (, ) (.) ( adc[ E ε ε E ε E ε ): au, ţâd co ş de depedeţa lor recprocă [ j] [ ] [ j] ε ~ I(, ) j j (.') (3) aura regreadulu ş regreorulu. Regreadul Y are u caracer ochac, du de prezeţa ermeulu eroare ε, care e adaugă părţ deerme a modelulu, î vreme ce aupra regreorulu X puem face poeza de o-ochacae, peru movul că valorle ale po f corolae (fae cu precze) î cadrul uu eperme, pre deoere de realzărle ale lu Y, ce u po f corolae, c doar oervae. Alfel pu, joacă rolul uu parameru coa d parea codţoală a druţe de proalăţ a varale Y, ale căre realzăr au meda codţoaă: E [ ] E( α + β + ε ) α + β + E[ ε ] α + β ş dpera codţoaă egală cu dpera a erorlor (coform.'): Var Var α + β + ε Var ε [ ] [ ] [ ] Vom preupue, de aemeea, că auc câd umărul al oervaţlor deve foare mare, prmele două momee emprce ale varale X repreză caăţ fe: < ; ( ) < ; (.) Vom ulza aceaă poeză peru a precza propreăţle ampoce ale emaorlor a ş aocaţ paramerlor α ş β. Ulma poeză pe care o vom formula î legăură cu modelul clac de regree prveşe depedeţa erorlor ε î rapor cu regreor. (4) Valorle ale varale X u ecorelae cu erorle ε, adcă: Cov, ε E ε E ε (.) [ ] [ ] ( ) poeză aguraă auoma auc câd X ee coderaă varală eochacă..3. Deermarea coefceţlor de regree pr meoda CMMPO Auc câd daele de oervaţe u de aură ă afacă poezele de ma u, emaor a ş a paramerlor (ecuocuţ) α ş β po f deermaţ d codţa ă mmzeze uma păraelor rezduurlor e a, dec rezulă ca argumee ale crerulu de mm: ( a, ) arg m ( a ) arg m F (.3) 6
7 cuocu u umele de crerul celor ma mc părae ordare. Vom vedea că u poezele meţoae, eorema Gau-Markov agură opmalaea emaorlor afel deermaţ, î eul că dre oţ emaor lar edeplaaţ, aceşa au cea ma mcă dpere (deumrea coacraă ee aceea de ce ma u emaor lar edeplaaţ, au BLUE, de la Be Lear Uaed Emaor ). Formulaă ca prolemă de opmzare, deermarea emaorlor a ş face apel la codţle eceare de ordul îâ: ( ) ( ) ( ) ( ),, e a a F e a a a F (.4) d care e deduce urmăorul em de ecuaţ ormale: + + a a (.5) Emaor a ş (corepuzăor meode CMMPO) a paramerlor α ş β e eprmă auc ca oluţ ale emulu precede, pr relaţle: ( ) ( ) a (.6) O formă echvaleă a aceor relaţ, dar care oferă î plu polăţ de erpreare ereae, ee oţuă pr cerarea varalelor î rapor cu meda. Împărţd cu ş efecuâd câeva raformăr mple, rezulă: ( )( ) ( ) ( ) a Y X Cov X, (.6') ude pr Cov(X,Y) -a oa covaraţa varalelor X ş Y, ar pr X dpera de eşao a lu X. Aâ a câ ş u varale aleaoare, deoarece u fucţ de realzărle ale uu aum eşao. Î couare, cu ajuorul ue reprezeăr geomerce mple, vom da o codţe eceară ş ufceă ca e e e e ă fe mmă. Ace creru e va raduce pr două codţ de orogoalae, dec pr aularea a două produe calare, d care vor rezula eprele lu a ş. Peru aceaa, ă recrem modelul u formă vecorală: ε β α + + (.7) ude: ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε,,,,,,,,,,, K K K K u elemee ale paţulu vecoral R. Fe L u upaţu vecoral d R, geera de vecor ş. Auc, vecor [ ], E + β α repecv, ˆ a + aparţ de aemeea upaţulu L, fd comaţ lare ale vecorlor d ază.
8 Crerul CMMPO cere ca vecorul rezduurlor e ă fe de ormă mmă: m ˆ AB e e (.8) ceea ce preupue ca vecorul e ă fe orogoal pe upaţul L ce coţe proecţa ^ a lu, adcă produele calare dre e ş vecor ce geerează upaţul L ă fe ule: > < > < > < > <,,,, a e e a e e (.9) Efecuâd calculele, e oţe ş pe aceaă cale emul de ecuaţ ormale ş odaă cu acea eprele deja deermae ale emaorlor a ş a paramerlor α, repecv β. Pr urmare, efecuarea ue regre a lu Y î rapor cu varala eplcavă X, câd e coderă modelul cu erme ler (.7), reve la a proeca vecorul pe upaţul L d R, geera de vecor ş. Fg..3. Ierprearea geomercă a emaorulu CMMPO Peru a deerma efecv proecţa ŷ a lu ş marcea de proecţe P (care, pr defţe, ee mercă P P ş dempoeă P P), vom oa: ( ) δ δ Z ude de a Z :,, Avem δ Z e orogoal pe Z, dec: ( ) ( ) ( ) P Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z e > < > < ˆ,, δ δ δ δ δ ude ( ) Z Z Z Z P ee marcea de proecţe orogoală. Îrucâ eprmă depedeţa varale Y doar î rapor cu varala X, regrea lară mplă e azează mplc pe poeza că flueţa celorlalţ facor (poeţal acv) rămâe coaă, cocerâdu-e u formă de mede î valoarea ermeulu ler a, reprezea de ordoaa la orge a drepe ajuae ş um ueor ercepţe, au mede a rezduurlor. Ulma deumre e jufcă pr aceea că orce modfcare î meda rezduurlor, auc câd e verfcă poezele corucve ale emaorulu CMMPO, flueţează ecluv ermeul a..4. Propreăţle emaorlor a ş Prcpalul rezula prvd calaea emaorlor deduş după crerul CMMPO ee furza de: Teorema Gau-Markov: Dacă poezele,.a,.,.c ş 4 e verfcă (ulma poeză fd prvă ca o coecţă a o-ochacăţ regreorulu X), emaor a ş a paramerlor α ş β oţuţ pr procedeul CMMPO u de dpere mmă î claa emaorlor lar ε ŷ L O A C B X e E(Y X)
9 edeplaaţ (pe cur, î vom deema pr ţalele BLUE, de la Be Lar Uaed Emaor ). Demoraţe: Vom codera u eşao de volum aoca varalelor X ş Y, î legăură cu care roducem urmăoarele oaţ: S ; S S ; S ; S S S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( (.) Emaorul CMMPO al lu β e poae cre auc: + + + c + S + S + S S ) )( ( S ) ( S S ε β ε β ε β α ε β α ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( de ude: c ε β, ( ) S c cu De oerva că ee lar î : c (.) Ţâd co de poeza prvd caracerul eochac al varale X ş de poeza coform cărea E[ε ], rezulă că emaorul al lu β ee edeplaa, adcă: + c E E β ε β ] [ ] [ (.) Peru a calcula dpera lu, vom oerva că: ( ) ε ε ε ε β j j < j c c + c c - E - ) ( ] [ Auc, coform poezelor ] [ E ε ş ] [ E j ε ε, avem: ( ) [ ] + < j j j c c c E c E E ε ε ε ε β [ ] [ ] j j j S c E c c E c ε ε ε + < ( ) (.3) ude pr -a oa dpera emprcă (de eşao) a varale X. D ulma relaţe prezeaă e coaă că eă re modalăţ de a reduce dpera lu peru a oţe o emaţe ma precă î rapor cu paramerul ß: () Dmuâd, varalaea recă a oervaţlor ; () Crecâd volumul al eşaoulu; (3) Mărd dpera a valorlor lu X clue î eşao.
Ulma modalae de amelorare a emaţe ee ulă auc câd epermeul poae f corola, dec e poae alege o plajă câ ma mare de valor peru X. Dacă admem, î plu, poeza (3), coform cărea: ( ) < puem al ş o propreae ampocă peru emaorul. Avem: Vom pue auc că emaorul (edeplaa ş cu dpere zâd ampoc căre zero) coverge î proalae căre β: plm β Speraţa maemacă ş dpera emaorulu a al lu α e po deerma î mod aemăăor. Plecăm de la relaţa: a ( α + β + ε ) α + ε ( β ) Îlocud β ε d /, e oţe: ş oâd ( ) c c a α + c + ε α d ε Deducem meda că a ee u emaor edeplaa al paramerulu α, deoarece: E [ a] α + d E[ ε ] α (.4) Pe de ală pare, ţâd co că d + / c ş făcâd uz de aceleaş coderee ca la calculul lu, oţem urmăoarea epree a dpere lu a: [( ) ] + a E a α d + c (.5) ( ) Dacă, î plu, e adme ş poeza (3), auc dpera lu a va de ampoc căre zero câd de la f ş cum a ee u emaor edeplaa, rezulă că p lma α, dec a coverge î proalae căre α. Î fârş, covaraţa celor do emaor a ş e calculează afel: Cov a, E a α β E d ε c ε [ ] [( )( )] [ ] ( )( ) c d S ( ) Pe aza rezulaelor de ma u, reue ă arăăm că a ş u emaor de dpere mmă î claa emaorlor lar edeplaaţ. Vom proa ace lucru peru, cazul lu a raâdu-e î mod mlar. Să reamm ma îâ că a fo oţu u forma: c. (.6) Preupuem că ar ea u emaor ma u decâ, fe acea, cu: q + + α q β q q ε Aplcâd operaorul peraţă maemacă î am memr a acee ecuaţ ş mpuâd codţa ca ă fe edeplaa (adcă E [ ] β ), auc (cu poeza E[ ε ] ) rezulă că reue ă avem q ş q. Pr urmare: β + q ε
Fe c q v. Cum ( ) S c, rezulă că: v Î plu: ( ) / S c q v Dpera lu va f: ( ) [ ] + < j j j q q q E q E E ε ε ε ε β [ ] [ ] + < j j j q E q q E q ε ε ε ( ) + + v c v c v c ) ( ( ) c v c + deoarece ( ) S v v S v v c, dec dpera lu ee mmă î claa emaorlor lar edeplaaţ. Cu aceaa, eorema ee demoraă..5. Deermarea uu emaor edeplaa al dpere erorlor Peru a calcula efecv marcea de covaraţă a emaorlor a ş ar f ecear ă cuoaşem dpera a erorlor ε. Dar ee u parameru ecuocu, fap ce mpue emarea a pe aza daelor uu eşao. Cum [ ] E ε, ar e ee o emaţe a lu ε, -ar părea că e ˆ repreză u emaor aural. Corar acee mpre, vom vedea îă că u afel de emaor ee doroa. Să coderăm ma îâ relaţa e a ş ă uum α + β + ε (dec ε β α + + ), repecv a. Oţem: ( ) ( ) ( ) j j j c e ε ε ε β ε ε (.7) După cum puem coaa, emaţa e a ue eror dvduale ε comporă două ure de dorue: meda emprcă [ ] E ε ε a erorlor, aocaă uu eşao oarecare, ş emaţa mperfecă a lu β. Rdcâd la păra prmul ş ulmul erme al egalăţ precedee ş aplcâd operaorul peraţă maemacă (reamm că [ ] E ε, ar [ ] j E j, ε ε ), rezulă: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + j j j j c c c E e Pr îumarea aceor erme ş ulzăm fapul că j j c, ( ) c, repecv S c /, deducem: [ ] ( ) e E Deprdem afel cocluza că u emaor edeplaa al lu, ee: e (.8)
.6. Druţa de proalăţ a emaorlor a ş, î poeza ue druţ ormale a erorlor Fe ε ~ I(, ) mede ulă ş dpere., adcă ε u varale aleaoare depedee ş ormal drue, de Cazul câd dpera a erorlor ee cuocuă După cum -a puu coaa, peru demorarea eoreme Gau-Markov u a fo ecear ă e voce poeza.d, care preupue că erorle ε u ormal drue. Apelul la aceaă poeză e va perme ouş ă dăm o caracerzare ma compleă a emaorlor a ş. Îr-adevăr, aceşa fd fucţ lare de varale ormal drue, u de aemeea ormal druţ, cu medle ş dperle dedue aeror. Puem pecfca legea de druţe ormală a vecorulu (a, ) al emaorlor cu ajuorul vecorulu medlor (α, β) ş al marce de covaraţă aocaă aceora: + a α ( ) ( ) ~, (.9) β ( ) ( ) Cazul câd dpera a erorlor u ee cuocuă Dacă dpera a erorlor u ee cuocuă, va reu ă o îlocum pr emaţa edeplaaă a aceea, a căre relaţe de calcul am oţu-o î ecţuea.5: e Plecâd de la eprele lu a ş î fucţe de paramerul ecuocu : a + ; ( ) ( ) puem ă crem emaţle a ş ale dperlor corepuzăoare, oţue cu ajuorul lu, adcă: a + ; ( ) ( ) Rădăcle părae a, repecv, ale aceor caăţ, emează erorle adard ale coefceţlor a, repecv. Peru a puea precza î ace caz druţle emaorlor a ş, ee ecear ă facem apel la legăura dre druţa ormală ş druţle χ,, repecv F. Se coderă raporul: β β β z (.3) v ( ) ( ) ( )
Cum: / / ( ) ( ) ar depre ( - ) e cuoaşe că urmează o druţe varala v d (.3) urmează aceeaş druţe: v ( ) ~ χ Pe de ală pare, z ee o varală ormală adard: β z ~ (,) χ cu - grade de lerae, rezulă că ş Auc, ţâd co de legăura care eă îre druţle ormală, χ, repecv Sude, rezulă că raporul (-β) / urmează o druţe Sude cu - grade de lerae: - β ~ - (.3) Aalog: a -α ~ - (.3).7. Tee de emfcaţe ş ervale de îcredere ale paramerlor de regree Legle de proalae defe ma u u aelae. Pe aza lor, puem ă deermăm u erval de îcredere al paramerlor α ş β, peru u vel de emfcaţe λ da. Corucţa e azează pe fapul că raporul (-β) / urmează o druţe Sude cu (-) grade de lerae, dec puem def proalaea: β P ; λ / P( ; λ / β + ; λ / ) λ (.33) ude ; λ / repreză valoarea crcă aelaă a acee druţ peru - grade de lerae ş rcul λ. Iervalul de îcredere afel deerma dă o mulţme de valor plauzle ale paramerulu β, peru eşaoul codera. Acceparea cu rcul λ a ue aume valor β a lu β e poae face auc mplu, eâd apareeţa a la ervalul de îcredere repecv. Aceeaş prolemă poae f îă formulaă ş ca o prolemă de eare a poezelor: ( H : β β ( poeza ula) ( cora H : β β ( poeza alerava) A repge poeza ulă echvalează cu a accepa că β e află î afara ervalulu de îcredere corepuzăor velulu de emfcaţe ale, adcă: β (.34) λ S U e uzual ee de a verfca dacă β dferă emfcav de zero. Acea e oţe ca u caz parcular al celu formula ma u, puâd β. U e de emfcaţe ş u erval de îcredere e po def î mod mlar ş peru paramerul α. a - 3
.8. Aalza urelor de varaţe. Tee prvd calaea ajuăr Aprecerea calăţ ajuăr pr modelul de regree a daelor de oervaţe e azează pe o aalză de p dperoal ş are ca puc de plecare decompuerea varaţe oale a varale Y î rapor cu cele două ure de varaţe defcale: varaţa daoraă regree ş varaţa rezduală. oâd valorle ajuae cu ŷ a + ş rezduurle cu e ŷ aaerea valorlor de la meda lor e poae cre: ( ˆ ) + ( ˆ ) e + ( ˆ ) Î erme ecuaţe de regree avem: ˆ + e a + + e + + e Scăzâd ȳ d am memr, rezulă: ( ) ˆ + e ( ) + e (.35) Fgura.4 lurează ace calcul. Y ŷ ŷ (, ) ŷ ( ) e ( ) Fg.4. Decompuerea lu X Varaţa oală a lu Y e oţe auc ca umă a aaerlor părace ale valorlor dvduale faţă de mede: ( ) ( ˆ ) + e ( ) + (.36) e ude -a ţu co că Σ e (coform (.4)). Relaţa (.36) poară umele de ecuaţe a aalze dperoale ş ea perme decompuerea dpere oale a lu Y, porv celor două ure ale ale: varaţa eplcaă a lu Y (daoraă regree): varaţa rezduală a lu Y: ( ˆ ) ( ) 4 (.37) ( ) ˆ e (.38) Fecăre ume de părae e aocază u umăr de grade de lerae, reprezeâd umărul formaţlor (oervaţlor ) eceare peru calculul ume repecve. Afel, calculul varaţe oale e azează pe (-) grade de lerae, deoarece uma (-) dre valorle,...,, u depedee, uma lor fd ulă coform defţe mede. Î chm, calculul varaţe eplcae de regree eceă u gur grad de lerae, deoarece poae f deduă d eprea lu (coform (.37)), ar ee, la râdul ău, fucţe ucă de (coform (.)). umărul gradelor de lerae peru varaţa rezduală e calculează pr dfereţă: - (-) -
Apecele prezeae po f ezae îr-u ael de forma: Sura varaţe Suma păraelor Grade de Lerae Păraul medu ˆ / Eplcaă ( ˆ ) ( ) Rezduală ( ) ˆ e - e Toală ( ) - ( ) Calaea ajuăr daelor de oervaţe pr dreapa de regree e poae apreca eamâd aporul celor două compoee (eplcaă, repecv rezduală) î formarea varaţe oale a lu Y. Dacă oae oervaţle ar f uae pe dreapa de regree, varaţa rezduală ar f ulă. Ee dec favoral ca varaţa eplcaă ă fe mul ma mare decâ varaţa rezduală, codţe echvaleă cu aceea ca raporul: ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ S e R ( ) S ( ) S (.39) θ co θ ă aă o valoare câ ma apropaă de uae. Raporul prezea ma u e umeşe coefce de deermaţe. Ulma epree d defţa formală a lu R perme ş o erpreare geomercă ereaă. Afel, pe aza reprezeăr d fgura.3, e coaă meda că θ (ACB), AB e ˆ, AC, BC ˆ, coθ BC AC ˆ /. Avem dec, î mod ecear, R. Tearea emfcaţe gloale a modelulu de regree e poae face cu ajuorul eulu F, la aza cărua ă compararea a două emaţ de dpere: dpera eplcaă de regree ş dpera rezduală. Saca F defă de raporul aceora urmează o druţe Fher cu, repecv - grade de lerae ( F ~ F, ). Ea, reue dec cofruaă cu valoarea aelaă F(, ; λ) a druţe Fher, peru cele două grade de lerae ( ş -) aocae emaţlor de dpere corepuzăoare ş peru pragul de emfcaţe (λ) ale: ( Dpera eplcaa ( ˆ ) / ( ) F ( (.4 ) Dpera rezduala ˆ / ( ) ( ) Ee mpora ă oervăm legăura dre aca, ulzaă peru earea poeze ule H : β, repecv: S (.4) / S ş aca F. Aceaă legăură e jufcă pr fapul că emaorul aza pe CMMPO a fo ale afel îcâ ă mmzeze uma păraelor rezduurlor. Îrucâ R e / S rezulă că alegerea lu ee de aură ă mamzeze R. Cum aularea lu arage după e ş aularea lu R, raporul pr care e eează poeza β poae a la aza uu e al calăţ ajuăr pr dreapa de regree. Ţâd co că S / S, e ( ) /, ar e S ( R ), rezulă: 5
( S / S ) S R / ~ F (, ) ( R )/ ( ) ( R )/ ( ) S F (.4 ) S.9. Coefceul de corelaţe lară mplă Ieaea legăur lare dre două varale X ş Y e eprmă cu ajuorul coefceulu de corelaţe lară: ( )( ) X, Y Cov( X, Y ) r X Y X Y ( ) ( ) Se poae arăa că îre coefceul de corelaţe lară mplă ş coefceul de deermaţe R eă o râă legăură. Îr-adevăr: S S S S r g( ) R S S (.4) S ( ) ( ) Cov( X, Y ) S S X Y ( ) ( ) Geomerc, r co( XOY), dec - r. Semul lu r cocde cu acela al lu, cele două emaţ fd legae pr relaţa: Y r (.43) O corelaţe drecă e aocază cu o paă pozvă a drepe de regree, ar o corelaţe veră cu o paă egavă. Auc câd r, u eă o relaţe lară îre X ş Y. Treue ouş meţoa că aceaa u echvalează cu aeţa orcăre relaţ îre varalele X ş Y, au cu depedeţa lor recprocă. Deemâd î mod ecluv o măură a eăţ legăur lare, r u e perme ă dcerem eeţa alor pur de legăur. X 6.. Prolema predcţe lare Să preupuem că ee o valoare cuocuă a varale eplcave X ş că uem ereaţ î predcţa valor a varale eplcae Y, aocaă cu. Eă cel puţ două ure de eror mplcae î proceul de predcţe. Valoarea adevăraă a lu Y e poae eprma cu ajuorul modelulu ce decre depedeţa lară la velul îreg populaţ: α + β + ε Deoarece α ş β u paramer ecuocuţ, pe care î apromăm cu ajuorul emaţlor a ş calculae plecâd de la daele uu eşao aleaor, o prmă ură de eroare va f eroarea de eşaoare relavă la cele două emaţ. Toodaă, da fd caracerul ău pur aleaor, u vom puea ă emăm cu u grad de precze ufce de mare eroarea ε. Valoarea pucuală a predcţe va f aşadar: ˆ a + (.44) Dfereţa dre valoarea adevăraă a varale Y ş emarea a cu ajuorul drepe de regree, repreză eroarea de predcţe: e ˆ α + β + ε a ( α a) + ( β ) + ε (.45) Aplcâd operaorul peraţă maemacă î am memr, deducem că E[e ]. Pr urmare, predcţa azaă pe CMMPO ee edeplaaă, î eul că eroarea de predcţe ee de mede ulă. Dpera eror de predcţe ee:
[( e ) ] E ( a α ) [ ] + ( ) E[ ( β ) ] + E ( a α )( β ) [ ] [ ] E ( ε ) ( ) ( ) E + + + + + + (.46) S S S S Îlocud paramerul pr emaţa a, puem ă corum u erval de predcţe peru, peru u prag de emfcaţe λ pecfca: λ (.47) S ( ) ( ) a + ± + + Aplcaţe: Coderăm u model lar pr care dorm ă reprezeăm depedeţa dre umărul al accdeelor de crculaţe oervae pe parcurul a a ş umărul al auovehculelor: a + + ε ude ε e preupue a f o varală aleaoare ormal druă. Dpuem de urmăoarele dae: A Maş Accdee 3 4 5 6 7 8 9 37 5 4 43 45 49 5 57 64 68 74 5 4 8 4 5 7 8 ) Calculaţ coefceul de corelaţe lară îre ş. ) Emaţ paramer a ş pr meoda CMMPO. 3) Calculaţ valorle ale eulu Sude, relave la fecare coefce. 4) Deermaţ ervalele de îcredere la pragul α.5 peru fecare dre paramer. 5) Se acpează că parcul de auovehcule va creşe î câţva a la 5. Care ee predcţa 5 umărulu de accdee peru? Deermaţ ervalul de predcţe corepuzăor, la pragul α.5. 6) Peru, -a puu oerva că la u umăr de 8 5 auovehcule -au produ 7 5 accdee. Su acee oervaţ compale cu modelul ema peru prm a? Rezolvare: ) Coefceul de corelaţe lară mplă ee: ( )( ) r.9766 ( ) ( ) ar coefceul de deermaţe 9538. R. ) Plecâd de la daele dpole, e oţ ca emaţ CMMPO peru paramer a ş urmăoarele valor: 7
( )( ) ˆ.3 ; a ˆ ˆ 5737 ( ) 3) Emaorul edeplaa al lu ε ee da de: ( ) ( ) R 8 ˆ ε ( ˆ ε ).85533 T T de ude deducem că eroarea adard a emaţe ee ˆ ε 947. 3. Dperle ş aaerle adard ale emaorlor â ş ˆ e emează pr: ˆ 4 () ˆ ˆ V ε.6787 ˆ ˆ.486 Vˆ ( aˆ ) ˆ T ( ) ε ( ) 89 ˆ 3494.86 Valorle calculae ale eulu Sude relave la ce do paramer u: ˆ â - peru :.87 ; - peru a : 3.76 ˆ ˆ ˆ â Peru T-8 grade de lerae, valoarea crcă la pragul α.5 aocaă eulu Sude laeral ee 8 (.5).36. Cum valorle calculae u uperoare valor crce, e repge poeza ulă cu prvre la paramer eaţ ş e adme î chm că aâ a câ ş u emfcav dferţ de zero. 4) Iervalele de îcredere la pragul α.5 corepuzăoare celor do paramer u: - peru : ˆ ± ˆ.5 ˆ.3 ±. 57 - peru a : ˆ ± ˆ.5 â 5737 ± 3 5) 7 p ˆ ˆ a + 37 Iervalul de îcredere al predcţe la pragul α.5 ee: ( ) ( ) p ˆ ±.5 ε + + 37± 355 T Ace erval are 95% şae ă fe acoperor peru valoarea adevăraă a lu. 6) Valorle oervae au fo: 8 5 ş 7 4, î mp ce predcţa peru aul, plecâd de la modelul ema, ar f fo: p ˆ ˆ a + 368 cărea î corepude, la pragul α.5, ervalul de îcredere: ( ) ( ) p ˆ ±.5 ε + + 368 ± 79 T Coaăm dec că valoarea oervaă u aparţe aceu erval; pr urmare, modelul ema peru peroada - u ma ee compal cu evoluţa feomeulu la momeul. aˆ 8
. MODELUL DE REGRESIE LIIARĂ MULTIPLĂ.. Ipoezele ce perm pecfcarea modelulu clac de regree lară mulplă Prma poeză e referă la: () Forma fucţoală a modelulu. Vom preupue că îre o varală depedeă Y ş u m-uplu de varale depedee X,..., X m e aleşe o depedeţă ochacă lară de forma: β + β +... + βm m + ε au, î crere marceală: X β +ε Prezeţa eror adve, deemaă pr ermeul ε, dă caracerul ochac al modelulu. Ee ecear ă dgem îre ace model, def de paramer ecuocuţ β, β,..., β m pr care e pecfcă rucural legăurle dre varale la velul îreg populaţ ace ş replcle ale corue pe aza uor eşaoae aleaoare, d care e po deduce o aâea er de emaţ pole,,..., m ale paramerlor repecv: au, î formă marceală: + +... + + e X + e ude e are emfcaţa uu erme rezdual. Să coderăm u paţu de eşaoare -dmeoal, clu î paţul oervaţlor. Auc,,,..., m R u vecor valorlor eşaoae, R ee vecorul cu oae compoeele egale cu uaea, ar e R ee vecorul rezduurlor. Peru modelele cu ercepţe (erme ler), vecor,,..., m deemează cele km+ coloae ale marce X. Î modelul fără ercepţe, X (, K, m ), dec k m. Celelale poeze fudameale u: () Ipoeze cu prvre la erorle ε. (.a) Terme eroare ε u varale aleaoare de mede ulă: E [ ε ] (.) Marcea de covaraţă a vecorulu erorlor ee de forma: Ωε E[ ε ε ] I ceea ce echvalează cu afacerea urmăoarelor două propreăţ: (.) Homocedacae: [ ε ] E[ ε ] coa Var (.) Aeţa corelaţe erale (auocorelaţe): Cov ε, ε E ε ε, [ ] [ ] j j j m m.. Deducerea emaorulu CMMPO Î codţle verfcăr poezelor prezeae ma u, meoda celor ma mc părae ordare (CMMPO) poae f ulzaă peru deermarea uu emaor al vecorul ecuocu β al modelulu de regree lară mulplă. Ace emaor reue ă îdepleacă câeva codţ mmale, îre care: - ă fe edeplaa: E () β, adcă peraţa maemacă a vecorulu aleaor ă fe egală cu paramerul de ema β ; - ă aă dpere mmă î claa emaorlor lar edeplaaţ. Auc câd poezele prezeae î ecţuea. u afăcue, emaorul CMMPO îdepleşe codţle precedee. 9
Meoda CMMPO ce perme deducerea emaorulu coă î mmzarea ume păraelor rezduurlor defe de compoeele vecorulu rezduurlor e. D relaţa X + e oţem: e X Suma păraelor rezduurlor e eprmă auc pr: e e e e ( X) ( X) ( X )( X) X + X X F Am ulza fapul că X X, deoarece prma formă păracă ee rapua cele de-a doua, amele avâd drep rezula calar. Crerul CMMPO reve la a deerma argumeul vecoral al fucţe F (), care mmzează uma păraelor rezduurlor: ( ) arg m F( ) Codţa eceară de ordul îâ peru aceaă prolemă de mm ee: F( ) X + X X ş coduce la urmăorul em de ecuaţ ormale: X X X Emaorul al vecorulu β al paramerlor, aza pe meoda CMMPO, e oţe ca oluţe a aceu em, dec: ( X X ) X.3. Emaorul edeplaa al dpere erorlor U emaor al dpere erorlor e poae oţe puâd codţa ă fe edeplaa, E, ar formula a de calcul ee: adcă [ ] e e e k k Dacă m ee umărul varalelor eplcave, avem: m + dacă β (model cu ercepe) k m dacă β.4. Emaorulu edeplaa al marce de covaraţă Σ a lu Î poezele clace ale modelulu de regree lară mulplă, emaorul CMMPO da de ( X X) X ee emaorul de dpere mmă î claa emaorlor lar edeplaaţ, ar marcea a de covaraţă ee: X X ( ) Deoarece dpera a erorlor ee u parameru ecuocu, î praccă, peru calculul marce de covaraţă Σ, reue ă apelăm la o emaţe a lu, calculală plecâd de la vecorul rezduurlor e. Pr urmare, u emaor edeplaa al marce de covaraţă a lu e poae oţe ulzâd î locul lu, adcă: S ( X ) X
.5. Decompuerea dpere oale a lu umm varaţe oală a varale depedee Y, uma păraelor aaerlor celor valor dvduale de la meda lor emprcă. Eă două ure ce duc varalaea lu ş care cocură la formarea varaţe oale a aceua: ua ee eplcaă de aaerea valorlor oervae de la valorle ŷ uae pe hperplaul de regree, ar cealală u are o cauză emacă (ee dec eeplcaă ) ş repreză aaerle rezduale. oăm cu γ (,...,), valorlor cerae ale lu Y. Varaţa oală a lu Y (oaă coveţoal SST) e calculează cu relaţa: SST γ γ ( ) + Toodaă, plecâd de la X + e ŷ + e, uma păraelor valorlor e poae eprma cu ajuorul produulu calar: ˆ ˆ + e e La râdul ău, vecorul rezduurlor e decompue afel: e ˆ X X X X X [ I X X X X ] Q ude Q ee o marce mercă ( Q Q ) ş î plu Q Q. Varaţa rezduală (oaă SSE) are auc eprea: SSE ( ) ( ) ( ˆ ) e e e Q Q Q e ( X) X X Q deoarece X ee u calar ş dec X ( X ) X. Dfereţa SSR SST - SSE deemează varaţa lu Y eplcaă de regree. Î coecţă, oţem urmăoarea decompuere a varaţe oale a lu Y: SST γ γ ( X X ) + e e ( X X ) + ( X ) SSR + SSE ude: SST γ ( ) ( ) ( ) γ varaţa oală a lu Y; SSR X X ˆ varaţa eplcaă a lu Y; SSE X ˆ varaţa rezduală a lu Y. Urmăorul ael ezează prcpalele rezulae referoare la aalza varaţe: Sura Suma Grade de Păraul medu varaţe păraelor lerae (dpera) Eplcaă de X X m ( X X )/ m regree Rezduală X X / k Toală - ( )/( ) Oervaţe: m ee umărul varalelor eplcave, ar k ee da de: m + dacă β (model cu ercepe) k m dacă β -k ( ) ( ).6. Aalza calăţ ajuăr lare Calaea ajuăr lare e poae evalua cu ajuorul dcaorlor:
Coefceul de deermaţe, ce repreză poderea varaţe eplcae î varaţa oală a lu Y ş are eprea: ( ) ˆ X X R De aemeea, ( ) R poae f def î rapor cu varaţa rezduală afel: R ( ˆ ) ( ) Daoră modulu î care a fo def, R reflecă coruţa pe aamlu a varalelor depedee la eplcarea varaţe oale a lu Y, fd oodaă el la roducerea î model a uor o varale eplcave. Acea repreză u apec edor, ce poae f elma pr corecarea lu R cu gradele de lerae corepuzăoare celor două varaţ (ceea ce reve la a efecua raporul; a două dper): R ( ˆ ) ( ) Prr-u calcul mplu e araă că îre R /( k) /( ) R ş ( R ) X ( X ) ( ) ( ) ( k) R eă relaţa: k Coefceul de corelaţe mulplă, ce e oţe erăgâd radcal d coefceul de deermaţe: R ( ˆ ) ( ) U al dcaor pr care e poae caracerza gloal calaea ajuăr modelulu de regree ee: Eroarea adard a emaţe, oţuă d dpera rezduală, pr eragerea rădăc părae: ( ˆ ) X e e X SY, X X X, K m k k k.7. Tee de emfcaţe a paramerlor modelulu, îemeae pe poeza ue druţ ormale a erorlor La poezele prezeae î., ce au a la aza pecfcăr modelulu clac de regree, coderăm o poeză adţoală ş aume poeza de ormalae a erorlor: (4) ε (, I) Aceaă poeză ee de o mporaţă deoeă, îrucâ faclează elaorarea eelor de emfcaţe cu prvre la paramer modelulu. Î codţle verfcăr poezelor de ma u, e poae arăa că varala aleaoare defă pr raporul ( β ) / urmează o druţe Sude cu (-k) grade de lerae, adcă: β Ace rezula poae a la aza ue proleme de decze acă. El e perme ă formulăm ş ă eăm o poeză cu prvre la u coefce oarecare β j, repecv: H ~ k * : β j β j
ş ă facem apel, î ace e, la druţa Sude (ale căre valor u aelae, peru dvere velur de emfcaţe ş grade de lerae). * Î codţle poeze H, puem ă uum β j cu β j î raporul precede, dec ă calculăm aca: j 3 j * j j β a căre valoare aoluă j o vom compara cu valoarea crcă α ; ( k ) (peru eul laeral), repecv α / ; ( k ) (peru eul ulaeral), deermaă d aelul druţe Sude, ude α repreză velul de emfcaţe, ar (-k) deemează umărul gradelor de lerae. Ipoeza H ee repă dacă ee ma mare decâ valoarea crcă ş ee admă î caz corar. j Î parcular, peru β *, poeza: j H : β echvalează cu u e de emfcaţe peru β j ; ma prec, ea repreză u creru de a decde dacă o aumă varală eplcavă X j flueţează (au u flueţează) emfcav velul varale depedee Y. Î ace caz, e compară valoarea aoluă a ac j : j j cu valoarea crcă deermaă peru velul de emfcaţe α ş gradele de lerae corepuzăoare, ar repgerea poeze ule reue erpreaă î eul accepăr ue flueţe emfcave a lu X j aupra lu Y. O ală cale de urma ee aceea de a coru u erval de îcredere peru fecare coefce β, corepuzăor pragulu de emfcaţe α ş gradelor de lerae ( k) : j β j j m au, echvale, β j j α ; ( k ), j j + α ; ( k ) j α ; ( k ) j j j [ ] Îre eul poeze ule H ş aordarea pe aza ervalelor de îcredere eă mlarae. * Afel, poeza H β β ee repă dacă β u aparţe ervalulu de îcredere : j j corepuzăor ş ee admă î caz corar. Ipoezele formulae aeror prveau doar u gur coefce * j β j. Ma geeral, eul poeze ule e poae aplca mula ma mulor coefceţ de regree, au ue comaţ lare a aceora. U caz adard îl repreză ulzarea eulu peru valdarea modelulu de regree prv î aamlu, dec a măur î care acea ajuează î chp adecva daele epermeale. Ma cocre, earea poeze: H β β K β : m echvalează cu u e de emfcaţe a modelulu de regree. Specfc ee fapul că e urmăreşe earea mulaă a emfcaţe uuror paramerlor modelulu cu rol de coefceţ ughular (care poderează cele m varale eplcave), ecluv ermeul ercepţe β. Saca eulu ee defă de raporul dre dpera eplcaă ş cea rezduală, rapor depre care e şe că urmează o druţe Fher cu m, repecv k grade de lerae: SSR m F / ~ F( k ) ( ) m SSE / k, Pr urmare, admerea au repgerea poeze H e face pr compararea valor acee ac cu valorle crce ale druţe F peru m, repecv k grade de lerae ş pragul de emfcaţe dor. Formulele de calcul ule u:
4 m k X X X F au, echvale: m k R R F Dacă valoarea calculaă ee ma mare decâ valoarea aelaă, poeza ulă ee repă, dec modelul e coderă emfcav. Relaţa precedeă poae f erpreaă ş ca u e de emfcaţe peru R..8. Predcţe lară ş ervale de îcredere aocae Prolema predcţe lare e referă la ulzarea modelulu de regree lară î copul oţer de predcţ peru, aocae uor eur de valor ale varalelor eplcave X,..., X m, ce -au făcu îcă oecul oervăr. Vom codera cazul uu model cu ercepţe ş vom oa pr ) ~,, ~ (, ~ m K vecorul aceor valor. Se defeşe eroarea de predcţe: ( ) β ε ε β + ~ ~ ~ ˆ ~ ude: ε β ε β β β ~ ~ ~ ~ ~ ~ + + + + + m m K corepude valor (ecuocue) ce reue preză, ar: m m + + + ~ ~ ~ ˆ K repreză predcţa pucuală azaă pe emaorul CMMPO. Avem: ~ ) ( ~ ) ( ~ ~ ˆ ~ β ε β ε dec ( ) ~ ) ) ( ( ~ ~ ) ( ~ ~ ˆ ~ + β β ε β ε Ţâd co că ( ) ε β X X X ar marcea de covaraţă a emaorulu ee [ ] ) ( ) )( ( Σ X X E β β puem ă deducem peraţa maemacă ş dpera eror de predcţe: [ ] ˆ ~ E ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) X X X X E X X X E E E E ~ ~ ~ ) ( ~ ] ~ [ ~ ] ~ [ ~ ~ ~ ~ ] ~ [ ˆ ~ ˆ + + Σ + ε ε ε ε β ε ude -a lua ] ~ [ E ε ε ş [ ~ ] E ε d poeza de homocedacae (eroarea ε ~ u ee corelaă cu ε ş are dpera coaă ). U emaor edeplaa al paramerulu (ecuocu) ŷ ee: ( ) ( ) X X ~ ~ ˆ + Să oervăm ma îâ că: ˆ ˆ / /. Toodaă, deoarece: ( ) ( ) ˆ ~ ;, ~ ~ ˆ k k χ puem coru o varală, oaă, care urmează o druţe Sude cu k grade de lerae:
P ˆ ~ ˆ ˆ ( ˆ ~ ) ˆ ˆ ( k) ( k) Iervalul de îcredere al predcţe, garaa cu o proalae ˆ ) < ~ < ( ˆ + ), e defeşe pr: ( ) α ( α / ; m ˆ α / ; m ˆ ~ ˆ ± α / ; k Eemplul : Se coderă modelul de regree lară mulplă: β + β + β + ε Daele epermeale peru u eşao de dmeue 3 u: 3 4 5 6 7 8 9 3 X 7 35 55 5 8 43 5 33 3 4 45 56 X 6 4 5 8 9 6 8 36 Y 98 9 97 56 85 87 43 6 76 7 73 Rezulae ş erprearea aceora: Tearea poeze ule H : β j cu prvre la coefceţ de regree: β j j j j P( > j ) β 37.53 7.646.5.6 <.5 β.4963.5534.739. >.5 β 4.446.65 3.9856.3 >.5 Peru ν 3 grade de lerae ş u vel de îcredere α. 5, valoarea crcă deduă d aelul druţe Sude ee ( ;.5). 8. Se oervă că peru j, avem j >.8, dec poeza ulă H : β j ee repă; ea u poae f îă repă peru j, deoarece.5 <.8 ceea ce îeamă că β u dferă emfcav de. Se defeşe ervalul de îcredere la velul de emfcaţe α.5 pr: j ± (;.5) j j ±.8 j β j j -.8 j j j +.8 j Ierpreare (decze) β -.83 37.53 76.878 (coţe e adme H ) β.633.4963.793 (u coţe e repge H ) β.878 4.446 6.674 (u coţe e repge H ) Modelul ee emfcav la α.5: F 9.6749 > F, 4.; Calaea ajuăr: R.8558; SE S Y, X, X 7.85; Aalza varaţe: SST/(-) 53789./ 448.43; SSR/m 4633/36.5; SSE/(-m-) 7756./ 775.6; Predcţe peru ~ (, ~, ~ ) (, 64, 3) : ˆ ~ 3.89; ( ~ ( ) ~ ˆ + ) X X 996. 6 ; 775. 64 ; ŷ 3. 56 ~ ( ˆ.8 ˆ, ˆ +. 8 ˆ ) (6.57, 3.) Eemplul. Î aelul urmăor e preză daele cu prvre la o frmă: oupuul Y ş facor de producţe L, repecv K, îregrae pe o peroadă de 39 lu: Taelul Lua Y L K Lua Y L K ˆ 5
3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 554.399 535.356 58.4 467.675 457.8 48.65 494.6 53.43 59.936 5.3 56.83 554.663 6.89 644.383 668.783 67.975 654.45 656.954 7.6 7.34 88 88 84 78 77 76 78 79 8 78 8 87 96 4 8 97 6 3 73 65 58 4 4 48 54 64 7 6 69 77 9 5 9 3 4 8 3 4 5 6 7 8 9 3 3 3 33 34 35 36 37 38 39 789.9 78.94 763.44 8.7 83.969 86.948 838.9 88.637 888.39 879.63 9.5 93.44 943.39 968.83 987.436.96 6.9 98.9 46.63 35 5 4 47 49 59 67 7 73 83 89 94 5 6 5 36 48 39 9 38 4 45 37 46 5 5 45 55 6 58 65 69 75 85 97 35 α β Se coderă o fucţe de producţe Co-Dougla Y A L K, fără rercţ aupra coefceţlor α ş β ş e cere: a. Să e emeze coefceţlor modelulu de regree.. Să e decompuă varalaea oală a lu ş ă e aalzeze calaea ajuăr lare a modelulu. c. Plecâd de la emaţa S a marce de covaraţă a vecorulu, ă e deerme erorle adard ale coefceţlor ş valorle ac peru fecare coefce. d. Să e calculeze lmele feroară ş uperoară ale ervalelor de îcredere peru fecare coefce ema ş ă e a o decze cu prvre la eul poeze ule. e. Să e eeze poeza ulă H : α β ş ă a o decze cu prvre emfcaţa modelulu de regree la pragul de emfcaţe 5%. f. Se coderă comaţa de facor ( L, K ) ( 5, 3). Să e deerme predcţa pucuală peru oupuul (producţa) ce e emează a f realzaă cu aceaă comaţe de facor ş ervalul de îcredere aoca acee predcţ pucuale, la pragul de emfcaţe 5%. SOLUŢIE: a. Modelul larza: ly l A + α l L + β l K. Marcea varalelor depedee: X ( l L l K ). Coefceţ modelulu de regree: ude: ( X X ).488 X.3366.65795 X'X 39 87.98 9.8 6
87.98 9.883.53 9.8.53 3. X' 56.67 38.9 375.73 X'X) - 43.453 7. -4.3895 7..7686 -.88969-4.3895 -.88969 5.847. Decompuerea varalăţ oale a lu ş aalza calaea ajuăr lare a modelulu: Sura Suma Grade de Paraul varae paraelor lerae medu Eplcaa.756.378 Rezduala.376 36. Toala.75976 38.763 Coefce de deermae.99864 Coefce de corelae lara mulpla.9993 Coefce de deermae coreca.99856 Eroarea adard a regree. c. Emaţa S a marce de covaraţă a vecorulu, erorle adard ale coefceţlor ş valorle ac peru fecare coefce u: S.453597.73747 -.55.73747.848 -.366 -.55 -.366.5539 Coefce Ema Eroarea adard Saca.488.6735.665.3366.357 4.837.65795.348 8.356 d. Lmele feroară ş uperoară ale ervalelor de îcredere peru fecare coefce ema ş decza cu prvre la eul poeze ule u: Iervale de credere Coefce Lma Lma H: (j) feroara uperoara.8.55539 H repa.39.364 H repa.634.7557 H repa Valoarea crca a eulu peru 36 grade de lerae la pragul de emfcae 5% ee.8 e. Teul F de adecvare a modelulu aoca poeze ule H : α β : Valoarea crca a eulu F peru (, 36) grade de lerae la pragul de emfcae 5% ee: 3.6 Saca F 3. > 3.6 Modelul ee emfcav la pragul de credere codera. 7
f. Peru modelul ema î formă logarmcă, lyˆ l A + α l L + β l K, predcţa pucuală ˆ lyˆ câd e dă L 5 ş K 3, ee ŷ 7.575. Predcţa pucuală Yˆ a lu Y peru modelul ţal, Y ˆ A L α K β, ee Yˆ e ˆ 54.87. Iervalul de îcredere aoca predcţe pucuale ~, la pragul de emfcaţe α. 5 (5%) ~ ~, ~ 7.984, 7.7366, ar ervalul aoca lu Y ~ ee ee [ f up ] [ ] ~ ~ ~ [ Y, Y ] [ 9.85, 8.46] ˆ ~ f up Y, ude, ˆ Y e Y e. f up f up ~ 3. MODELAREA ŞI PREDICŢIA SERIILOR DE TIMP 3... Oecvele modelăr 3.. Modelarea erlor de mp A. Deermarea edţe geerale (redulu) Tredul, dacă eă, deemează o caracercă eeţală a uu em evoluv, care araă drecţa de dezvolare a feomeulu au proceulu uda ş rmul acee dezvolăr. Prezeţa redulu dcă o corelaţe î cadrul valorlor ere, corelaţe repoală peru damca leră a emulu î mp. B. Corecarea varaţlor ezoere Pr elmarea efecelor ezoere d cadrul ere rue ee pol ă e defce î ce grad varaţle varale u daorae alor facor cu caracer emac au îâmplăor. Se va um ere deezoalzaă, oaă Y DS, era peru care, pr procedee pecfce, -a realza corecţa valorlor, î eul elmăr flueţelor ezoere. C. Cauzalae ş decalaj emporal Oervarea mulaă î mp a ma mulor varale poae ofer u răpu la îreărle legae de cauzalae. Eeţa a ee puă î evdeţă de modfcărle pe care varaţa valorlor ue varale le duce aupra valorlor ale varale. Uda propagăr dpre feomeul cauză pre cel efec, u are î geeral caracer aaeu, c dcă u decalaj emporal care reue deerma. D. Pereţa efecelor due de depedeţa varalelor Î ecoome ee mpora ă fe eparae efecele peree, ume efece pe erme lug, de cele pe erme medu, au cur. uma afel e poae evalua corec mpacul î mp al uor decz luae î preze. E. Predcţa (prevzuea) coă î a evalua valorle voare Y +h, h, ale ue varale plecâd de la oervarea valorlor ale recue Y,..., Y. Valoarea preză, oaă Ŷ + h, va f î geeral dferă de valoarea pe care o va lua varala la momeul +h; d ace mov ee ma aural ca î locul ue valor ă e propuă u erval de predcţe [ Ŷ + h, Ŷ + h ], ucepl ă coţă valoarea Y +h. Calaea predcţe depde de: - modul cum evoluează era: cva-deerm au ocac, lar au elar, ec. - mărmea orzoulu h, precza dmuâdu-e odaă cu creşerea lu h. F. Deecarea ue rupur (fracur) î evoluţa emulu 8
Ca urmare a chmărlor de polcă ecoomcă au a modfcăr profude a relaţlor rucurale îre varale, erle po î aume cazur ă preze rupur fe de vel, fe de paă ( fracur î raa de chm leu-dolar, î raa doâz acare, î velul preţurlor, ec.). Schmâdu-e îăş legaea după care are loc evoluţa, predcţa pr erapolarea edţe recue deve operaă. G. Specfcaea meodelor de prelucrare Meodele ulzae depd deoporvă de copul prelucrăr (deezoalzare, prevzue, ec.) ş de caracercle ere de mp. 3... Tpur de modele Se po dge re clae prcpale de modele: - modele de ajuare; - modele auoproecve; - modele eplcave. A. Modele de ajuare Prcpul Î geeral, formalzarea ue er croologce e poae face pr modele de p adv: Y T + S + C + u (6.) au de p mulplcav: Y T S C u (6.) ude: - T ee o fucţe lară au elară de mp, reprezeâd edţa geerală, au redul; - S - o fucţe perodcă de mp (de eemplu uodală), de peroadă peru dae luare, au 4 peru dae rmerale, ulă î mede, pe care o vom um flucuaţe ezoeră; - C - o fucţe de mp cu peroadă amplă, umă cclu, reprezeâd varaţ pe erme medu au lug; - u - o pare eregulaă umă peruraţe, cu au de varală aleaoare ceraă (de mede ulă), a căre podere î aamlul modelulu poae f ueor îemaă. Peru u model adv e opează auc câd forma oclaţlor perodce ee varaă î mp. Modelele mulplcave corepud, dmporvă, uaţe câd oclaţle e amplfcă au e amorzează î mp. Amele uaţ defec de fap claa modelelor de ajuare ş po f reprezeae ec pr relaţa: f (,u ) (6.3) ude f ee o fucţe deaă prr-u umăr f de paramer ecuocuţ, ar u ee o varală aleaoare ceraă, aupra cărea e po face dvere poeze adţoale. Ajuare gloală ş ajuare locală Ipoezele făcue aupra varalelor aleaoare u duc meode de emare a fucţe f, ce au aume propreăţ de opmalae. Afel, meoda celor ma mc părae ordare coue o meodă de emare peru cazul câd u au aceeaş dpere ş u u corelae. Eă oodaă meode pecale de emare peru cazul câd u au aceeaş dpere dar u corelae. Î geeral, meodele ce e dg pr fapul că oae oervaţle joacă acelaş rol, defec claa meodelor de ajuare gloală. Rezulaele emaţlor oţue po f ulzae î parcular peru deezoalzare ş prevzue. Î aume cazur ee de dor ca modelele ş meodele de emare ă e azeze pe crer care perm dverelor oervaţ ă joace rolur dfere. Ele deemează claa meodelor de 9
ajuare locală. Afel, meoda medlor mole preupue ajuarea locală a ermelor ere ca valor med ale uu umăr lma de erme coecuv. Pe aceaă ază e roduce u p mpora de meode de deezoalzare. Meodele de prevzue pr eezre (velare) eremporală e jufcă o î eul ajuăr locale cu ajuorul uor fucţ epoeţale, afel îcâ oervaţle recee ă aă coruţa cea ma mare, ar coruţa varalelor recue ă decreacă epoeţal. B. Modele auoproecve Îr-u model auoproecv, e preupue că Y ee o fucţe de valorle ale recue ş de o peruraţe aleaoare u : Y f (Y, Y,..., u ) (6.4) O claă de afel de modele ulzae î prevzue u modelele de p ARMA, repecv ARIMA (Bo ş Jek). Aceluaş cop î corepud ş meodele de eezre epoeţală. Avaajul eeţal al meode de defcare-emare-prevzue azaă pe modelele de p Bo ş Jek ee acela că perme elecţoarea meode de prevzoare opmală dr-o gamă largă de polăţ, î mp ce meodele clace (ajuarea gloală au eezrea) preupu u grad ma mare de arrar î alegerea fucţe ulzae peru ajuare. Î plu, acee modele perm ă e dea u răpu adecva prolemelor legae de cauzalae, ă e dgă îre orzourle de prevzue (erme lug ş erme cur) ec. C. Modele eplcave Î aceaă ulmă caegore de modele varala edogeă Y ee eprmaă î fucţe de u vecor de varale eogee oervale X ş o peruraţe aleaoare u : Y f (X, u ) (6.5) X u fe deerme, fe aleaoare; î ace ulm caz, relav la varalele eogee X ş peruraţa aleaoare u e fac aume poeze de depedeţă ş ecorelare. Acee modele u modelele de ază ale ecoomere. Modelul eplcav ac Î modelul eplcav ac varalele Y ş X e defec ca oervaţ croe (efecuae la acelaş mome ), Y efd fucţe de valorle ale recue (Y -, Y -,...), ar ecveţele u u depedee îre ele. De eemplu, u model de ace p va f: Y a + X + u ;,..., (6.6) ude varalele X u depedee î rapor cu u, ar u u cerae ş de aemeea depedee îre ele. Modelul eplcav damc U model eplcav e coderă damc fe peru că u u auocorelae, fe peru că vecorul X clude ş valor recue ale lu Y, adcă varale ume edogee reardae. - Peruraţ auocorelae U mod uzual de a lua î coderare auocorelaţa peruraţlor ee de a preupue că era u corepuzăoare aceora aface u model auoproecv. Aceaă aordare perme dec roducerea ue clae de modele peru peruraţ, adcă peru compoea reprezeâd goraţa oară ş ee complemeară formalzăr ce leagă Y de X, care ee de regulă fodaă pe cuoaşerea mecamelor ecoomce. - Varale edogee reardae Teora ecoomcă furzează adeea dcaţ cu prvre la deaea varalelor ce erv îr-u model. Î chm, rareor ea perme ă e preczeze decalajele emporale eceare 3
3 propagăr flueţelor de la răr (cauze) căre eşr (efece). Î udul acee proleme dfcle, aordarea auoproecvă ee eeţală. 3.. Meode de ajuare a redulu Vom preupue că era de mp comă adv, au mulplcav, o compoeă deermă (redul T ), cu o compoeă aleaoare (peruraţa u ): u T Y au u T Y,...,,,, + Depre compoea deermă T e face î plu poeza că repreză o fucţe aalcă de mp (). Tpul fucţe aalce depde de modul î care evoluează feomeul. Afel, T poae f eplca prr-o fucţe lară, paraolcă, hperolcă, epoeţală, logcă, ec. A. Fucţa aalcă lară Se ulzează peru ajuarea redulu uu feome au proce a căru evoluţe î mp e poae reprezea apromav prr-o dreapă: a T +, dec u a u T Y + + +,, Aplcarea meode celor ma mc părae ordare (CMMPO) aceu model, reve la a mmza crerul: a a u a F, ) ( ), ( m arg ceea ce coduce la emul de ecuaţ ormale: ( ) ( ) ( ) ( ),, a a F a a a F + + a a Emaţle a ş (corepuzăoare meode CMMPO) e eprmă auc ca oluţ ale emulu precede, pr relaţle: ( )( ) ( ) a Cum, î geeral,, e poae realza o ralaare, coveal aleaă, a org emulu de ae, afel îcâ. Auc, e oţe: a ; B. Fucţa epoeţală (log-lară) Se ulzează peru ajuarea redulu uu feome au proce care evoluează î mp după u rm apromav coa: a T, dec u a u T Y,, Modelul poae f larza, ma îâ, pr logarmare: v B A Z u a Y + + + + log log log log după care e aplcă meode celor ma mc părae ordare modelulu larza. Î fal, e deermă emaţle a ş pr alogarmare. C. Fucţa hperolcă Se ulzează peru ajuarea redulu uu feome au proce a căru evoluţe î mp e poae reprezea apromav prr-o hperolă:
3 a T +, dec u a Y + +,, Aplcarea meode celor ma mc părae ordare (CMMPO) aceu model, reve la a mmza crerul: a a u a F, ) ( ), ( m arg ceea ce coduce la emul de ecuaţ ormale: ( ) ( ),, a a F a a a F + + a a Emaţle a ş e deduc ca oluţ ale emulu precede. D. Fucţa logcă Ajuarea redulu prr-o fucţe logcă e ulzează auc câd, îr-o prmă peroadă, feomeul îregrează o creşere acceuaă, urmaă de o peroadă de îcere a creşer, pâă la agerea uu prag de auraţe. Modelul e cre: e a c T +, dec u e a c Y + +, c c a,,,,,, > R Prezeăm, î couare, câeva propreăţ ale fucţe logce: c T lm, ceea ce araă că fucţa logcă are u prag de auraţe. Peru,, > c a, fucţa logcă ee crecăoare, adcă dervaa a de ordul îâ î rapor cu mpul ee pozvă: ( ) [ ] ( ) T c T e a c c e a c ae e a c e e a ac d dt + + + + + + + < ) ( ) ( Damca proceele logce ee îă acceleraă pe ervalul a l,, ude dervaa a doua ee pozvă (dec fucţa ee coveă), repecv deceleraă (îceă) pe ervalul, l a, ude dervaa a doua ee egavă (dec fucţa ee cocavă); pucul, l c T a I ee puc de fleue. Îr-adevăr: ( ) / c T T c T c T d d d T d + + de ude: a c e a c l +
T c c c + a l a Fg.6.. Fucţa logcă Peru emarea paramerlor fucţe logce e po ulza ma mule meode. Î couare, prezeăm două dre aceea: Meoda celor 3 puce. Coă î alegerea a 3 momee < < 3, uae la îcepuul, la mjlocul, repecv la fârşul ere. Aceor momee le vor corepude valorle:,, 3. Pr îlocurea celor 3 perech de puce î eprea fucţe logce e oţe u em î ecuocuele a, ş c, care pr rezolvare dă: 3 ( + 3) c ( c ) c ; a log ; log 3 ( c ) Meoda larzăr, câd e cuoaşe pragul de auraţe c. Î ace caz, peru emarea paramerlor e parcurg eapele: c. D T + a e, rezulă c a e T. Se larzează ulma relaţe pr logarmare: c log a z A T l c ude: z log, A l a T 3. Se aplcă meoda CMMPO fucţe lare z A ş e emează paramer A, A repecv. Pr alogarmare, e oţe apo a e. Oervaţe: Î geeral, câd u e cuoaşe pragul de auraţe c, e poae recurge la larzare pr dezvolare î ere Talor, î jurul uu puc ţal ( a,, c ), ale arrar. Emarea paramerlor e poae face auc prr-o procedură eravă. 33