1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene koncentrisanim silama koje leže u ravni rešetke i dejstvuju u njenim čvorovima. Osnovni element svake ravanske rešetkaste kontrukcije je trougao. Između broja čvorova n i broja štapova s statički određene ravanske rešetke postoji veza s=n-3. Ukoliko je s>n-3 postoji unutrašnja statička neodređenost rešetke a ako je s<n-3 radi se o mehanizmu Rešetka može biti vezana za podlogu pokretnim zglobom nepokretnim zglobom užetom ili lakim štapom. Laki štap koji povezuje rešetku sa osloncima nije sastavni deo ravanske rešetke već njena spoljašnja veza. Proračun rešetke se svodi na određivanje reakcija spoljašnjih veza i sila u štapovima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki sile u lakim štapovima se poklapaju s pravcima lakih štapova te oni mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak. 1.1 lgoritam rešavanja zadataka Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sledećih koraka: 1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće reakcije veza (otpore oslonaca).. Za rešetku kao celinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti reakcije veza. Naime kako na rešetku dejstvuje ravanski sistem sila njena ravnoteža će biti ostvarena ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku jednaki nuli: Fg Mg = 0. (1.1) Prvi vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na dve skalarne jednačine a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u sledeći sistem jednačina ravnoteže 1 : n 1. 0. 0 3. 0 i=11 i 1 n (1.) 1 U daljem tekstu će se tokom rešavanja primera izostavljati oznaka za promenu indeksa i=1... n sume projekcija svih sila ali će se podrazumevati da se ta suma odnosi na sve sile koje dejstvuju na uočeni sistem. Indeks sumiranja će i u momentnim jednačinama pri rešavanju primera biti izostavljan. Na taj način oznaka M će podrazumevati k n F M j + M i (sumu spegova i momenata sila za izabranu tačku) za naznačen pozitivan smer momenta. j= 1 i= 1
8 RVNSKE REŠETKE koji podrazumeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli i da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula. Osim jednačina ravnoteže (1.) mogu se pisati i alternativni oblici jednačina ravnoteže ([1] str. ). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jednačine za tačke i C: 1. 0. 0 3. 0 (1.3) pri čemu su i C nekolinearne tačke. 3. Nakon određivanja otpora oslonaca vrši se izračunavanje sila u štapovima što se može izvršiti na dva načina: metodom izdvajanja čvorova i metodom izdvajanja dela rešetke (metod preseka Riterov metod). Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja čvorova polazi se od čvora u kome se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lakim štapovima kao unutrašnje sile pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga sile reakcije veze istog lakog štapa koje dejstvuju na različite čvorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljan sistem sila u ravni: n 1. F. F = 0. (1.) i= 1 i= 1 n određuju se sile u štapovima. Sukcesivno prelazi se sa čvora na čvor imajući u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u čvoru bude najviše dva. Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom štapu ukazuje da je taj štap pritisnut dok predznak plus ukazuje da je štap zategnut. Pri primeni metoda izdvajanja dela rešetke vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile tako da broj presečenih štapova ne bude veći od tri. Zatim se zamenjuje uticaj presečenih štapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Pošto je rešetka na ovaj način podeljena na dva dela a svaki od njih mora biti u ravnoteži bira se deo rešetke za koji će se pisati jednačine ravnoteže. Preporučljivo je posmatrati onaj deo rešetke na koji dejstvuje manje sila. Takođe preporučuje se pisanje tri momentne jednačine za tri nekolinearne tačke (1.3) iako je moguće pisati i druge oblike jednačina ravnoteže na pr. (1.).
Ravanske rešetke 9 Primer 1.1 Za rešetku prikazanu na Slici 1.1 opterećenu silama intenziteta kn odrediti reakcije u osloncima i sile u štapovima metodom izdvajanja čvorova. Sile u štapovima presečenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda. Slika 1.1 Rešenje: Pre oslobađanja od spoljašnjih veza numerisaće se štapovi i čvorovi. Ukupan broj štapova u ovoj rešetki je 13 a čvorova osam. Štapovi su numerisani arapskim a čvorovi rimskim brojevima (Slika 1.). Na osnovu jednakosti broja štapova i vrednosti koju daje relacija s= 8-3=13 zaključuje se da ova rešetka poseduje osobinu unutrašnje statičke određenosti. Ova rešetka je u tački oslonjena na nepokretni a u tački na pokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama X i Y u tački i silom Y u tački. Jednačine ravnoteže rešetke su: 1. F = 0 : X F. F = 0 : Y F F F + Y 1 3 3. M = 0 : F F 6F + F + 8Y = 0 pa su vrednosti reakcija oslonaca: 1 3 X = kn Y = kn Y = kn. Sile u štapovima će se najpre odrediti metodom izdvajanja čvorova. Ova metoda kao što je već rečeno podrazumeva analizu ravnoteže svakog čvora pojedinačno. Polazi se od čvora u kom se sučeljavaju najviše dva štapa. U ovom slučaju krenuće se U primerima u kojima nije naznačena jedinica za dužinu smatra se da je dužina izražena u metrima.
10 RVNSKE REŠETKE y F 1 F III R 6 V 3 7 8 VII 10 11 9 VI F 3 F 13 1 VIII Y X I Y 1 II R IV x Slika 1. od čvora (numerisanog rimskim I). U ovom čvoru dejstvuju komponente reakcije nepokretnog zgloba X Y i i sile u štapovima 1 i nepoznatih intenziteta i smerova u pravcu štapova. Pogodno je pretpostaviti da su štapovi opterećeni na zatezanje a priori. To znači da pri analizi ravnoteže čvora smer sila u štapovima ide od posmatranog čvora ka štapu. Na sledećim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na čvorove a pored slike su ispisane jednačine ravnoteže 3 : X I Y S S 1 Čvor I:. F = 0 : X + S + S 1. F = 0 : Y + S = 0. Rešavanjem ovih jednačina dobija se da su sile u štapovima S1 = kn S = kn odakle se zaključuje da je štap 1 zategnut jer je dobijena vrednost za silu u štapu 1 pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u štapu negativan sledi da je štap opterećen na pritisak. Sada se prelazi na čvor II u kome su vezani štapovi 1 3 i. Nepoznate u jednačinama ravnoteže za ovaj čvor biće sile u štapovima 3 i dok je zbog principa akcije i reakcije sila u štapu 1 poznatog intenziteta. 3 Kako u ovom primeru svi kosi štapovi rešetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od vrednosti tih uglova neće biti posebno naznačeni na slikama. Pri rešаvаnju primerа vektori svih sila će se postavljаti jedan u odnosu na drugi po principu akcije i reakcije tе obeležavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim (na pr. S i S 1 1) pri čemu će se u jednačinama uvek koristiti jednakost intenziteta tih sila označeno bez prima (S S ). 1 = 1
Ravanske rešetke 11 Čvor II: S 1 S 3 II S 6. F = 0 : S + S 1 7. F = 0 : S = 0. 3 Odavde sledi da je štap 3 neopterećen a sila u štapu je S ovaj štap zategnut. = kn što znači da je F 1 S III 6 S S 3 S Čvor III: 8. F = 0 : S + S + S 6 9. F = 0 : S S S F = 0. 3 1 Na osnovu napisanih jednačina je S6 = 6kN S = kn. nalogno ovoj proceduri izvršiće se analiza ravnoteže preostalih čvorova. S S 7 S 8 S IV Čvor IV: 10. F = 0 : S S + S 8 11. F = 0 : S + S + S = 0. 7 8 Dakle intenzitet sile u štapu 8 je S = kn dok je S = 6kN. 8 7 S 6 F V S 10 S 7 S 9 Čvor V: 1. F = 0 : S + S S 10 9 6 13. F = 0 : F S + S = 0. 7 10 Intenziteti sila u štapu 9 i 10 su S = kn S = kn. 9 10 VII S 10 S 11 F S 13 Čvor VII: 1. F = 0 : S + S F 10 13 1. F = 0 : S S S = 0. 10 13 11
1 RVNSKE REŠETKE Rešenja ove dve jednačine su S13 = kn S11 = 6kN. Određivanje sile u štapu 1 moguće je izvršiti samo pisanjem jednačine ravnoteže po horizontalnom pravcu bilo za čvor VI ili VIII. Ovde će to biti urađeno analizom ravnoteže čvora VIII. S 1 S 13 VIII Y Čvor VIII: 16. F = 0 : S13 S1 te je S1 = kn. rojne vrednosti sila u štapovima kao i odgovarajući karakter opterećenja dati su u sledećim tablicama: roj štapa i 1 3 6 7 0 6 6 roj štapa i 8 9 10 11 1 13 6 Na Slici 1.3 prikazano je opterećenje rešetke gde su sa crvenom bojom obojeni štapovi opterećeni na pritisak crnom oni koji su zategnuti (obično se zategnuti štapovi boje plavo što ovde zbog tehničkih F VII razloga nije moguće). 10 13 Neopterećen štap je nacrtan isprekidanom F 11 1 F VIII linijom. Ovakvo predstavljanje rešetke daje 6 9 III VI 1 V kompletnu sliku opterećenja njenih štapo- F 3 3 7 8 va usled dejstva aktivnih sila. Slika I 1 II IV 1.3
Ravanske rešetke 13 Da bi se odredile vrednosti sila u štapovima i 6 Riterovom metodom vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile (Slika 1.). Zatim se posmatra ravnoteža jednog od delova rešetke. Pogodno je analizirati onaj deo rešetke koji je opterećen F 1 manjim brojem sila. U ovom primeru S III 6 posmatraće se levi deo rešetke. Uticaj desnog dela rešetke ulazi preko presečenih štapova tj. preko sila u presečenim S štapovima za koje je pogodno pretpostaviti da su zategnuti. Na taj način levi S I II IV X deo rešetke se tretira kao ploča na koju Y dejstvuju komponente reakcije oslonca sila F Slika 1. 1 i sile S S i S6. Dalja analiza podrazumeva pisanje jednačina ravnoteže za ravanski sistem proizvoljnih sila za koji se kao što je poznato mogu napisati tri jednačine ravnoteže. Nepoznate vrednosti sila odrediće se pisanjem tri momentne jednačine kao alternativnog oblika jednačina ravnoteže. Momentne jednačine glase: 17. M = 0 : F Y S 18. M = 0 : X Y + S 19. IV 1 6 III M = 0 : F S S I 1 6 a njihovim rešavanjem sledi S6 = 6kN S = kn S = kn čime se potvrđuju rešenja dobijena analitički. Primer 1. Rešetkasti krovni nosač opterećen je vertikalnim silama kako je prikazano na Slici 1.. Odrediti otpore oslonaca i sile u svim štapovima. Rešetka je u tački oslonjena na nepokretni oslonac a u tački je horizontalnom zategom vezana za podlogu. Intenziteti sila su F = F = kn F = F= kn. 1 10 3 0 F 1 F F 3 F Slika 1.
1 RVNSKE REŠETKE Rešenje: Na Slici 1.6 prikazana je rešetka sa numerisanim štapovima i čvorovima kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege S je u pravcu zatege i usmerena je ka njenoj unutrašnjosti. Određivanje reakcija oslonaca izvršiće se pisanjem uslova ravnoteže za celu rešetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose a momentna jednačina pisaće se za tačku. Jednačine ravnoteže za ovu rešetku glase: 1. F = 0 : X S. F = 0 : Y F F F F 1 3 3. M = 0 : 6S F 8F 1F 3 odakle se dobija da su otpori oslonaca X= Y= S=60 kn. Sile u štapovima biće određene metodom izdvajanja čvorova. U daljem tekstu prikazani su pojedinačni čvorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog čvora napisane su jednačine ravnoteže. y Najpre je analiziran F 1 čvor I budući da se S II F u njemu sučeljavaju dva štapa pa će broj 3 IV 8 F mogućih jednačina 3 za sučeljan ravanski 7 VI 11 sistem sila biti dovoljan da se odrede dve 9 F I 1 III 6 V 10 VII nepoznate sile u štapovima 1 i. Y X x Slika 1.6 X S I S 1 Y Čvor I:. F = 0: X + S. F = 0: Y + S = 0. 1 Iz ovih jednačina sledi da je S1= 60kNi S= 60kN odakle se zaključuje da su oba štapa pritisnuta.
Ravanske rešetke 1 Prelazi se na čvor II sada sa poznatom silom u štapu. Njen smer se pri analizi čvora II nanosi od ovog čvora ka štapu kao da je štap zategnut ali se u jednačine ravnoteže unosi sa negativnim predznakom. Čvor II: 6. F = 0: S+ S sin β+ S cos α= 0 3 7. F = 0: F S S cosβ S sinα= 0. 1 3 Na osnovu geometrije rešetke vrednosti uglova α i β su: sin α = cosα = 13 3 1 sin β = 13 i cos β = Intenziteti sila u štapovima 3 i iznose 13 S3 = 10 13kN i S = 0 kn. Zatim se vrši analiza ravnoteže čvora III. Čvor III: 8. F = 0: S S sinβ + S = 0 1 3 6 9. F = 0: S cos β + S 3 odakle se dobija da je S = 30kN i S6 = 0kN. Znači ova dva štapa su pritisnuta. Sada će se preći na čvor VII. Čvor VII: 10. F = 0 : S S cos α 10 11 11. F = 0 : S sin α F 11 Rešavanje ovog sistema daje: S10 = 0kN i S11 = 10. Sledeći će se analizirati čvor VI. Čvor VI: 1. F = 0 : S cos α+ S cos α= 0 8 11 13. F = 0 : S + S sinα S sinα F3 = 0. 9 8 11 Iz ovog sistema jednačina dobijaju se intenziteti sila u štapovima 8 i 9 i oni su: S = 10 kn i S = 0kN. 8 9
16 RVNSKE REŠETKE Konačno piše se jedna jednačina ravnoteže čvora V. Čvor V: o 1. F = 0 : S S cos + S 6 7 10 odakle se dobija da je sila u štapu 7 intenziteta S7 = 0 kn. Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima dat je u sledećoj tabeli. roj štapa i 1 3 6 7 8 9 10 11 10 13 0 0 10 10 60 60 30 0 0 0 F 6 F F Slika 1.7 Slika 1.8 Opterećenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7. Primer 1.3 Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslonaca a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima presečenim sa R-R. Usvojiti da su intenziteti F = F = F = F = 1kN F = F = 10kN. 1 3 6
Ravanske rešetke 17 Rešenje: Kod ove rešetke potrebno je uočiti štap koji je vezan za oslonac. U uvodu ove sekcije je rečeno da će se ovakav štap koji povezuje rešetku sa osloncima tretirati kao njena spoljašnja veza a ne kao sastavni deo rešetke. Na taj način poznat je pravac reakcije nepokretnog zgloba tj. reakcija leži na pravcu ovog štapa. Na Slici 1.9 prikazana je ova rešetka sa ucrtanim reakcijama veza kao i sa numerisanim čvorovima i štapovima. Otpori oslonaca će se odrediti na osnovu dve momentne jednačine i na osnovu sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jednačine pisaće se za tačke oslanjanja rešetke za podlogu tj. za tačke i i one glase: 1. M = 0 : Y F F 6F 8F F 1 F 1 3 6. M = 0 : hr 6 8 + 1 + = 0 F F F F F F 1 3 6 gde je h krak sile R za tačku. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan α = 16 17 odnosno h = sin α = 17. Na osnovu jednačina ravnoteže dobija se da su 17 Y = 1kN i R = kn. Ostaje da se odredi i komponenta reakcije oslonca u horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi: odakle je X = 1 3. F = 0 : Rcos α + F1+ F+ F3+ F6 X kn. pri čemu je (Slika 1.9) F β α α 0 1 0 Slika 1.9 Slika 1.10
18 RVNSKE REŠETKE Riterovom metodom treba odrediti sile u štapovima 8 9 i 10. Zamišljenim presekom po ovim štapovima rešetka će se podeliti na dva dela (Slika 1.10). Posmatraće se ravnoteža gornjeg dela rešetke. Uticaj donjeg dela je izražen silama u presečenim štapovima za koje je pretpostavljeno da su opterećeni na zatezanje. Momentne jednačine pisaće se za čvorove V VI i VII i one glase:. M = 0 : 0 F + 1 F F F + h S V. M = 0 : F 1F h + 6 3 8 8 VI 6 10 10 6. M = 0 : 1F F + H S + h S VII S 6 8 8 9 9 ( ) krak sile S 9 za čvor pri čemu su: h 8-8 krak sile S 8 za čvor V h8 = sinα = m h 17 9- VII ( h9 = 1sin β = m) H 8 - krak sile S 8 za čvor VII h 10 - krak sile S 10 za čvor VI ( h10= H8= 1 sin α = m ). Rešavanjem prethodnih jednačina ravnoteže sledi da sile u štapovima 17 7 17 iznose: S8= kn S9= kni S10= 3 17kN. Zaključuje se da su sva tri štapa opterećena na pritisak. Primer 1. Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.11 odrediti otpore oslonaca a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima. Usvojiti da je F1= F= F3=10 kn. Slika 1.11 Rešenje: Nakon uvođenja odgovarajućih otpora oslonaca pri čemu je laki horizontalan štap koji spaja zglob sa rešetkom tretiran kao spoljašnja veza a njegova reakcija obeležena sa X (Slika 1.1) jednačine ravnoteže su: 1. M = 0 : X F F 6F. F = 0 : X + X 1 3 3. F = 0 : Y F F F =. I 1 3 0
Ravanske rešetke 19 Rešavanjem ovog sistema se dobija X= X=60 kn Y=30 kn. S obzirom da sve sile u štapovima numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.1 treba da se odrede primenom Riterovog metoda postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja rešetke na dva dela te uvođenja reakcija u presečenim štapovima na posmatrani deo R 1 R rešetke ne dejstvuje više od tri nepoznate R 3 sile. Prvi presek R -R će se postaviti tako da seče štapove 3 i (Slika 1.1). R R Jednačine ravnoteže R 1 R R 3 za levi deo presečene rešetke glase: Slika 1.1. M = 0 : Y + X + S. M = 0 : Y + X S III II 6. M = 0 : X + S + S F I 3 1 odakle sledi da je S = 30kN S=30 kn i S3 = 0kN. Sledeći presek je moguće postaviti tako da preseca štapove i 6. Na taj način se nakon pisanja dve momentne jednačine za desni deo rešetke mogu odrediti intenziteti sila u štapovima i 6. Pogodno napisane jednačine su: 7. M IV = 0 : F + S 3 6 8. M V = 0 : F S S 3 te je S6=10 kn a S=0 kn.
0 RVNSKE REŠETKE Jednačine ravnoteže za desni deo rešetke dobijen presecanjem štapova 8 9 i 10 glase: 9. M IV = 0 : S F 10 3 10. M = 0 : S VII 9 11. M VI = 0 : 1S8 1F 3 a njihovo rešavanje daje S10 =10 kn S9 = 0 i S8 = 10kN. Razmatranjem ravnoteže donjeg dela rešetke dobijene postavljanjem preseka -R (čija slika neće posebno biti prikazana) te pisanjem jednačina ravnoteže: R 1. M = 0 : F + S S + F S S + X V 13. M 0 : S IV = 11 3 9 1 3 1 F + F S S 3 1 3 1 1. M = 0 : S F F + S + S + S II 11 3 9 7 sledi vrednosti za intenzitete sila u štapovima 1 7 i 11. Tablični prikaz karaktera opterećenja štapova i intenziteta sila u njima je dat niže a grafički prikaz opterećenja je predstavljen na Slici 1.13. Slika 1.13 roj štapa i 1 3 6 7 8 9 10 11 30 30 0 10 0 10 10 0 30 10 10 Ovaj tip rešetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima kod nekih tipova mostova kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog tipa rešetke je da su gornji elementi opterećeni na zatezanje a donji na pritisak.
Ravanske rešetke 1 Primer 1. Za rešetku sa zglobom u tački C prikazanu na Slici 1.1 odrediti otpore oslonaca i sile u štapovima. Intenziteti sila su F = kn F = F = 10kN. 1 3 Slika 1.1 Rešenje: Slika 1.1 Ova rešetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve rešetke sa spoljašnjim zglobnim vezama u tačkama i. Jednačine ravnoteže za sistem kao celinu (Slika 1.1) se mogu napisati u formi: 1. M = 0 : 0F + 3F + 16F 8Y 1 3. M = 0 : 0F1 16F 3F3+ 8Y = 0.
RVNSKE REŠETKE Da bi se odredile sve četiri spoljašnje reakcije veza izvršiće se dekompozicija sistema. Ravnoteža leve rešetke (Slika 1.16) će se ostvariti ukoliko budu zadovoljene jednačine ravnoteže: 3. F = 0 : Y F + Y. M = 0 : 0F 16F + Y + 1X. C 1 C C M = 0 : 8F + 8F Y + 1X = 0. C 1 6 Rešavanjem prethodno napisanih sistema jednačina dobija se Y = 6 kn Y = 6 kn YC = 6 kn XC = 1kN X = 13kN. Posmatrajući rešetku kao celinu a na osnovu ravnoteže svih sila u horizontalnom pravcu sledi da je X = 1 kn. Da bi se odredile sile u štapovima potrebno je posmatrati svaku rešetku ponaosob i jednom od metoda odrediti tražene veličine što se prepušta čitaocu kao vežba. Intenziteti i karakter opterećenja štapova za obe rešetke su prikazani u sledećim tabelama. roj štapa i 1 3 6 7 383 361 196 1838 86 39 1739 Slika 1.16 roj štapa i 8 9 10 11 1 13 1 083 118 083 116 118 183 083 roj štapa i 1 16 17 18 19 0 1 7 083 39 17 1988 7 311 11
Ravanske rešetke 3 Primer 1.6 Za rešetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter opterećenja štapova. Usvojiti da je F1=... = F7 = kn P1= P= P3= 0kN Q1= Q= kn G =... = G = 1kN. 1 11 - Slika 1.17 Rešenje: Prikazane rešetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih rešenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova rešetka kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt 18. godine u SD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je čitav niz njenih varijacija. 1
RVNSKE REŠETKE Konstrukcija ima pored vertikalnih i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Svi dijagonalni štapovi osim onih na krajevima su opterećeni na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujući postavljanju vertikalnih štapova dijagonalni štapovi su rasterećeniji samim tim su mogli biti tanji čime je ostvaren ekonomičniji dizajn rešetke. Na taj način izvršen je uspešan prelaz sa drvenih na metalne konstrukcije. Za prikazano opterećenje intenziteti i karakteri sila u štapovima su izračunati i predstavljeni u sledećoj tabeli. Preporučuje se čitaocu da jednom od prethodno opisanih metoda potvrdi navedene razultate. Slika 1.18 roj štapa i 1 3 6 7 37 369 37 61 71 1 roj štapa i 8 9 10 11 1 13 1 13 71 0 13 71 63 63 roj štapa i 1 16 17 18 19 0 1 369 37 37 1 71 61 Rešetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 180. godine američki pronalazač William Howe. Ona je slična Pratt-ovoj ali se dijagonalni elementi penju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Vertikalni elementi su opterećeni na zatezanje dok su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomična za čelične mostove i u praksi se danas ređe sreće mada je u prošlosti bila u širokoj upotrebi pri konstrukciji železničkih mostova. Kod tih mostova obično su vertikale izrađivane od čelika a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera opterećenja i ma-
Ravanske rešetke terijala koji je korišćen za dijagonalne elemente ove konstrukcija su bile vrlo nepouzdane. One su smatrane uzročnikom velikog broja rušenja mostova te železničkih nesreća. Sledi tabelarni prikaz opterećenja štapova ove rešetke. Slika 1.19 roj štapa i 1 3 6 7 37 71 3 61 37 369 roj štapa i 8 9 10 11 1 13 1 63 63 71 13 71 13 roj štapa i 1 16 17 18 19 0 1 3 71 37 37 369 61 Rešetku tipa Warren (Slika 1.17c) patentirali su 188. godine James Warren i Willoughby Monzoni u Velikoj ritaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova rešetki prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostraničnog trougla. Ovaj oblik se koristi za premošćenje manjih raspona 0-100m. U praksi se sreću i varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja većih raspona. Opadajuće dijagonale (Slika 1.0) su opterećene na zatezanje (kao kod Pratt-ove rešetke) a rastuće na pritisak (kao kod rešetke tipa Howe). Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima ove rešetke je dat u narednim tabelama.
6 RVNSKE REŠETKE roj štapa i 1 3 6 7 0 77 11 866 808 693 36 Slika 1.0 roj štapa i 8 9 10 11 1 13 1 1 11 866 77 0 9 36 693 808 Na Slici 1.17d prikazana rešetka sa tzv. K-ispunom. Ona se primenjuje kod visokih rešetkastih konstrukcija jer podupiruće dijagonale smanjuju moguće deformacije vertikalnih štapova. Nekadašnji Varadinski most u Novom Sadu posedovao je rešetkastu konstrukciju ovakvog tipa. Slika 1.1 Za zadato opterećenje ove rešetke šematski prikaz opterećenja štapova je prikazan na Slici 1.1 a tabelarni prikaz je dat niže. roj štapa i 1 3 6 7 8333 100 789 13017 8333 789
Ravanske rešetke 7 roj štapa i 8 9 10 11 1 13 1 1 8333 1 37 3 183 183 3 roj štapa i 16 17 18 19 0 1 3 183 1 37 183 3 8333 roj štapa i 3 6 7 8 9 789 8333 100 8333 789 13017 1 Slika 1. altimorova rešetka (Slika 1.17e) je varijacija Prattove. Osnovna modifikacija se ogleda u postojanju štapova ispune. Na ovaj način postignuto je skraćenje štapova donjeg pojasa i dijagonala što je od značaja kod mostovskih konstrukcija. Karakter opterećenja štapova je prikazan na Slici 1. odnosno u sledećoj tabeli. Svi horizontalni štapovi donjeg pojasa su zategnuti pri čemu intenziteti u štapovima od tačke do C i D do iznose kn. Intenziteti sila u štapovima od tačke C do D su 8kN. roj štapa i 1 3 6 7 8 9 1 1 778 707 071 8 071 3 6 7 8 9 10 11 1 13 1 1 16 C 17 18 19 0 1 8 33 3 9 7 6 30 31 3 G 1 G G 3 G G G 6 G 7 G 8 G 9 G 10 G 11 D roj štapa i 10 11 1 13 1 1 16 17 3 11 1 071 0 1 9 071
8 RVNSKE REŠETKE roj štapa i 18 19 0 1 3 071 1 11 3 9 071 1 8 roj štapa i 6 7 8 9 30 31 3 33 1 1 071 071 778 707