POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za svako a R vaжi: a) P (a) + P ( a) = ; b) P ( + a) + P ( a) = 6 + 6a ; v) Q(a) Q( a) = 0; g) Q( + a) Q( a) = 8a ; d) R(a) R( a) = a ; đ) R( + a) + R( a) =.. Za polinom P (x) = x x odrediti polinom Q(x) = P (x ) + P (x) + P (x + ).. Odrediti zbir P (x) + Q(x), razliku P (x) Q(x), proizvod P (x) Q(x) i linearnu kombinaciju ap (x) + bq(x) polinoma P (x) i Q(x) ako je dato: a) P (x) = x x +, Q(x) = x, a =, b = b) P (x) = x x +, Q(x) = x + x, a =, b = v) P (x) = x 6 x, Q(x) = x 5 + 4x, a =, b = g) P (x) = x + x x, Q(x) = x 4 + x + x + x +, a =, b =. 4. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x): a) P (x) = (x x + ) 998 (x x + ) 0, b) P (x) = (x x + ) 999 + (x 6x + ) 999, v) P (x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540, g) P (x) = (x + x + ) 00 (x x + ) 00. 5. Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima za koji je ispunjeno P () = i P (5) = 6. 6. Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P () P (7) prost broj. 7. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima. Dokazati da je za svako a Z i svako b N izraz P (a + b) + P (a b) ceo broj. 8. Neka su dati polinomi P (x) = x + x x + x 99 + x 00 i Q(x) = + x + x + x + + x 99 + x 00 i neka je P (x) Q(x) = (c 0, c,..., c 00 ). Dokazati da u prizvodu P (x) Q(x) nema qlanova sa neparnim eksponentom, tj. da su svi c k = 0, (k =,,..., 00). 9. U kojem od polinoma P (x) = ( + x x ) 000 i Q(x) = ( x + x ) 000 je koeficijent uz x 0 ve i? (x b)(x v) (x c)(x a) (x a)(x b) 0. Dokazati identitete: a) a + b + c (a b)(a v) (b c)(b a) (c a)(c b) = x ; (x a)(x b)(x v) (x b)(x c)(x g) (x a)(x c)(x g) (x a)(x b)(x g) b) + + + (d a)(d b)(d v) (a b)(a c)(a g) (b a)(b c)(b g) (c a)(c b)(c g) =.. Odrediti polinom drugog stepena P (x) = a x + a x + a 0 takav da je: a) P () = 6, P () =, P ( ) = 8; b) P () = 4, P (0) =, P () = 9; v) P () =, P ( ) = 8, P (0) =.. Dokazati: ako polinom P, n tog stepena uzima vrednost nula za n + razliqitih vrednosti x C, tada je P nula polinom.. Dokazati: ako su P i Q polinomi n tog stepena i postoje kompleksni, međusobno razliqiti brojevi x 0, x,..., x n takvi da vaжi P (x i ) = Q(x i ) (za i = 0,,..., n), tada je P = Q. 4. a) Polinom P (x) = x x + 4x + razvijte po potencijama od x. b) Polinom P (x) = x 4 5x + 5x + x + razvijte po potencijama od x. v) Polinom P (x) = x 5 + x 4 x + x + razvijte po potencijama od x +. 5. Odrediti polinom P (x) ako je a) P (x + ) = x + x + ; b) P ( x + ) = x x + ; v) P (x ) = x 6x + x 5. 6. Polinom P (x) = x 4 + x + ax + x + b je kvarat nekog polinoma Q(x), tj. vaжi P (x) = Q(x). Odrediti a, b i polinom Q(x). 7. P je polinom qetvrtog stepena takav da je P () = P ( ) i P () = P ( ). Dokazati da je tada P : R R parna funkcija, tj da vaжi P (x) = P ( x)( x R). 8. Odrediti polinom P qetvrtog stepena za koji je P (x) = P ( x). 9. Dat je polinom P (x) = x 4 +x +x +x+. Dokazati da ne postoji polinom Q takav da vaжi P (x) = (Q Q)(x), gde je sa oznaqena kompozicija funkcija. 0. Za linearni polinom (tj. polinom oblika P (x) = ax + b, a, b K) P (x) = x + odrediti sve linearne polinome Q za koje vaжi = (P Q)(x) = (Q P )(x). Za takve polinome kaжemo da komutiraju.. Dokazati da ne postoji polinom P prvog stepena koji komutira sa polinomom Q(x) = x.. a) Odrediti polinome P i Q za koje vaжi: P (x) Q(x) = (P Q)(x)( x); b) Odrediti polinom P za koji vaжi: P (x) P (x) = (P P )(x)( x).. Odrediti zbir koeficijenata polinoma P (x) = (x 5 + x ) 999 uz qlanove sa neparnim izloжiocima (stepenima). 4. Dokazati da ne postoji polinom P sa celobrojnim koeficijentima takav da je P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a, gde su a, b, c tri razliqita cela broja.

Deljivost polinoma. Hornerova xema. Euklidov algoritam. Bezuov stav.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x + x + x + polinomom x.. Odrediti koliqnik i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 5 + x 4 + x + x + polinomom T (x) = x +, ako su to polinomi nad poljem GF ().. Odrediti a, b R tako da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 4 x ax + b polinomom x + jednak, a polinomom x jednak. 4. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom x je, a polinomom x je P (x) deljiv. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) sa T (x) = x 5x + 6? 5. Ako polinom pri deljenju polinomom x a daje ostatak r a, a pri deljenju polinomom x b daje ostatak r b, koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom T (x) = (x a)(x b)? 6. Da li je polinom P (x) = (x + x ) n + (x x + ) n deljiv polinomom Q(x) = x x? 7. Za koje n je polinom P (x) = (x ) n + (x ) n deljiv polinomom Q(x) = x x +? 8. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = x + ax 5x + b bude deljiv polinomom Q(x) = x x. 9. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x 00 + x 99 + x x + 9 polinomom Q(x) = x + x. 0. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + x je R(x) = x +. Odrediti ostatak pri deljenju P (x) sa x +.. Polinom P (x) = x + ax + bx + c deljiv je sa Q(x) = x x +, a pri deljenju sa T (x) daje ostatak 4. Odrediti koeficijente a, b i c.. Koliki je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = 00 x 00 + 99 x 99 +... + x + polinomom a) Q(x) = x + ; b) Q(x) = x ; v) Q(x) = x x?. Polinom P (x) pri deljenju polinomom x + daje ostatak 4, a pri deljenju polinomom x + ostatak R(x) = x +. Koliki je ostatak pri deljenju P (x) polinomom Q(x) = x + x + x +? 4. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x 4 +x + ako P (x) pri deljenju polinomom T (x) = x +x+ daje ostatak R (x) = x+, a pri deljenju polinomom T (x) = x x+ daje ostatak R (x) = x+5. 5. Da li je polinom P (x) = x 4n x 4n 4 + x 4n 6... + x deljiv polinom Q(x) = x 4? 6. Ako je polinom P (x) = x n + a x n +... a n x + a n deljiv sa x, onda je deljiv i sa x. Dokazati. 7. Zbir svih koeficijenata polinoma P (x) jednak je, a zbir koeficijenata na parnim mestima jednak je. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x. 8. Ako polinomi P ip nisu deljivi polinomom Q, mogu li njihov zbir P + P, proizvod P P i kompozicija P P biti deljivi sa Q? Ako je mogu e dati i primer, a ako nije dokazati da ne moжe. 9. Dokazati: ako polinom P (x) sa celobrojnim koeficijentima za x =,,, 4 uzima istu vrednost p, gde je p prost broj, onda ni za koji ceo broj a ne moжe biti P (a) = p. 0. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 6x 4 7x + ax + x + bude deljiv polinomom Q(x) = x x + b.. Dokazati da polinom P (x) = x 6 + x + a nije deljiv Q(x) = x + x + a ni za jedno a R.. Korix enjem Hornerove xeme prevesti u dekadni sistem slede e brojeve: a) (0000) ; b) (0) ; v) () 5.. Primenom Hornerove xeme razviti polinom P (x) po potencijama (stepenima) od x a ako je dato: a) P (x) = x x + 4x +, a = ; b) P (x) = x 4 + x 4x + 6x 5, a = ; v) P (x) = x 5 x + 6x 8x 4, a =. 4. Ako su polinomi P (x) i Q(x) takvi da je deg P = n >, deg Q = m >, onda postoje polinomi S(x) (stepena najvixe n ) i T (x) (stepena najvixe m ), takvi da vaжi: P (x)s(x) + Q(x)T (x) = 0 ako i samo ako P i Q nisu uzajamno prosti (tj. NZD(P, Q) ). 5. Odrediti polinome S i T, tako da vaжi P S +QT = NZD(P, Q): a) P (x) = x x +x+, Q(x) = x x+; b) P (x) = x 4 + x x 6x, Q(x) = x x + x + ; v) P (x) = x 5 x 4 + x x 4, Q(x) = x 4 + x + x + 4. 6. Za P (x) = nx n+ (n + )x n +, Q(x) = x n nx + n, n N odrediti NZD(P, Q). 7. Dokazati da su polinomi P (x) = nx n + (n )x n +... + x + i Q(x) = x n + x n +... + (n )x + (n ) uzajamno prosti za svako n N, n. 8. Da li je polinom P (x) = nx n+ ( + np)x n + (p )(x n + x n +... + x) = p deljiv polinomom Q(x) = x (p + )x + p, gde je n prirodan, a p realan broj? Posebno ispitati sluqaj kada je p =. 9. Dokazati da je polinom P n+ (x) = (x + a + b) n+ x n+ a n+ b n+ deljiv polinomom P (x). Zatim rexiti jednaqinu P 5 (x) = 0.

Nule polinoma. Celobrojne, racionalne i kompleksne nule. Vietova pravila. Ireducibilni polinomi.. Odrediti vixestrukost nule x polinoma P (x): a) x = P (x) = x 4 9x x + 4x ; b) x = P (x) = x 5 + 5x 4 + 6x 4x 8x; v) x = P (x) = 4x + 8x + 5x +.. Odrediti polinom qetvrtog stepena kome su koreni i, a je dvostruki koren.. Odrediti moniqan polinom qetvrtog stepena P (x) ako je poznato da je x = trostruka nula polinoma P (x), a pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x + dobija se ostatak. 4. Odrediti zajedniqke nule polinoma: a) P (x) = x 4 + x + x + x +, Q(x) = x x + x ; b) P (x) = x 4 + 6x + 7x + 4x +, Q(x) = x x x 0. 5. Broj x = a je nula reda k polinoma P i ujedno nula reda l > k polinoma Q. Odrediti vixestrukosti nule x = a polinoma P Q i P + Q. 6. Dat je polinom P (x) = x 4 x + x x +. Neka je α koren jednaqine x x = 0. Izraqunati P (α). 7. Brojevi x = i x = su nule polinoma P, kome je slobodan qlan jednak 4. Na i ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x) = x x + x. 8. Koje uslove je potrebno da ispunjavaju prirodan broj n i realan broj a, da bi polinom P (x) = x n ax n + ax bio deljiv polinomom Q(x) = (x )? 9. Odrediti a i b tako da jedan koren polinoma P (x) = x + 6x + ax + b bude, a ostala dva korena da budu uzastopni celi brojevi. 0. Odrediti a i b tako da je jedan koren polinoma P (x) = x + ax + 4x + b jednak, a i razlika preostala dva korena je jednaka.. Odrediti a i b tako da su koreni polinoma P (x) = x + ax + 6x + b tri uzastopna cela broja.. Dokazati da za neparan ceo broj q jednaqina x + x + q = 0 nema celobrojnih rexenja.. Da bi među korenima polinoma P (x) = x + ax + bx + c bila dva suprotna broja, potreban i dovoljan uslov je ab = c. Dokazati. 4. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako su brojevi f(0) i f() neparni. 5. Dokazati da algebarska jednaqina f(x) = 0 n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih rexenja ako nijedan od brojeva f(), f(), f() nije deljiv sa. 6. Polinom P n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima za x = 0,,..., n uzima vrednosti razliqite od nule i po apsolutnoj vrednosti manje od n. Dokazati da P nema celobrojnih nula. 7. Neka je P Z[x] i neka su a i b uzajamno prosti celi brojevi. Ako je P (a) deljiv sa b i P (b) deljiv sa a, dokazati da je tada P (a + b) deljiv sa ab. 8. Ako je broj α nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima, onda je za sve prirodne m i broj m α takođe nula nekog polinoma sa celobrojnim koeficijentima. 9. Ako je x 0 koren jednaqine oblika ax 4 + bx + cx + bx + a = 0, onda je i x koren iste jednaqine. Dokazati. 0. Odrediti a, b i c tako da jedan koren polinoma P (x) = 6x + ax + bx + c bude, a ostala dva korena da budu suprotni racionalni brojevi.. Dokazati da polinom sa celobrojnim koeficijentima P (x) = px 5 (p )x +, gde je p prost broj, nema racionalnih korena.. Odrediti sve proste brojeve p za koje jednaqina px + x + = 0 ima bar jedan racionalan koren.. Odrediti racionalne nule polinoma P (x) = 6x x + 9x. 4. Rastaviti na qinioce polinom P (x) = x 7x + 4x 8. 5. Ako moniqan polinom P sa celobrojnim koeficijentima nema celobrojnih nula, tada su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n i prost broj p vaжi da je n p iracionalan broj. 7. Dokazati da ako je p prost broj onda polinom P (x) = x n + x n +... + x + p nema racionalnih korena. 8. Neka je P polinom sa celobrojnim koeficijentima i neka za tri razliqita cela broja a, b i c vaжi P (a) = P (b) = P (c) =. Dokazati da P nema celobrojnih korena. 9. Dat je realni polinom P (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0. Neka su njegove nule x, x,..., x n. Odrediti nule polinoma: a) Q (x) = P (n) (a) x n + P (n ) (a) x n +... + P (a) x + P (a)x + P (a); n! (n )!! b) Q (x) = a n x n a n x n + a n x n... + ( ) n a 0 ; v) Q (x) = a 0 x n + a x n +... + a n x + a n ; g) Q 4 (x) = a n x n + a n bx n + a n b x n +... + a b n x + a 0 b n, gde su a i b dati realni brojevi. 0. Ako polinom P sa celobrojnim koeficijentima uzima vrednost za tri razliqite celobrojne vrednosti, onda P ni za jedan ceo broj ne uzima vrednost. Dokazati.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ), gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.. Dokazati da se polinom P (x) = (x a )(x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima.

. Dokazati da se polinom P (x) = (x a ) (x a )... (x a n ) +, gde su a,..., a n razliqiti celi brojevi, ne moжe prikazati u obliku proizvoda dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: x P (x ) = (x ) P (x), x R. 5. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: (x ) P (x) = (x ) P (x ), x R. 6. Odrediti sve polinome P za koje vaжi: P (x) P (x + ) = P (x + x + ), x R. 7. Neka je P (x) = x n + a n x n +... + a x + realan polinom sa nenegativnim koeficijentima, koji ima n realnih korena. Dokazati da je P () n. 8. Niz polinoma P 0 (x), P (x),... zadat je sa P 0 (x) =, P (x) = x, P k+ (x) = x P k+ (x) P k (x)(k = 0,,...). Dokazati da se sve realne nule polinoma P k (x) nalaze u intervalu (, ). 9. Odrediti sve polinome n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima sa osobinom da u n celobrojnih taqaka imaju vrednost n, a u 0 vrednost 0. 40. Polinom P je sedmog stepena i u sedam razliqitih celobrojnih taqaka uzima vrednost ili. Dokazati da se polinom P ne moжe prikazati kao proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 4. Na i realne nule polinoma P (x) = x 4 +. 4. Odrediti realne faktore polinoma P (x) = x n +, n N. 4. Faktorisati polinom P (x) = x 4 x + x + x + 7. 44. Jednaqina x 5 x + x 4 ima kompleksan koren qiji je argument π 4. Odrediti taj koren. 45. Na i sve realne brojeve p i q takve da polinomi P (x) = x + px + 8 i Q(x) = x + qx + imaju dva zajedniqka korena. Odrediti te korene. 46. Sve su nule polinoma P (x) = x + px + q, q 0 realne. Dokazati da je koeficijent p negativan. 47. Na i polinom tre eg stepena sa vode im koeficijentom takav da njegove nule zadovoljavaju jednakosti x + x + x =, x x + x x + x x = 4, x x x = 8. 48. Neka su x, x, x i x 4 koreni jednaqine x 4 + 5x + ax + x + 5 = 0. Odrediti a R tako da bude x x =. 49. Odrediti a i b tako da P (x) = x 4 + ax + bx 8x + 4 ima dve dvostruke nule. 50. Odrediti a tako da P (x) = x 4 x + ax + 6x 4 ima dva korena qiji je proizvod jednak. 5. Rexiti jednaqinu x 4 + x + x + x + 4 = 0 ako se zna da ona ima jedan kompleksan koren qiji je realan deo jednak imaginarnom delu. 5. Koreni polinoma Q(x) = x + x su kompleksni brojevi a i b i realan broj c. Odrediti polinom drugog stepena P za koji je P (c) = c, P (a) = b, P (b) = a i dokazati da je polinom P (P (x)) x deljiv polinomom Q(x). 5. Dokazati da je polinom P (x) = (x + ) 6m+ (x + ) 6n+ + (x + ) 6p+ (m, n, p N 0 ) deljiv polinomom Q(x) = x + x +. 54. Neka su P, q i r prirodni brojevi. Pod kojim uslovom je polinom P (x) = x p + ax q+ + x r+ deljiv polinomom Q(x) = x + ax + ako je a) a = ; b) a =? 55. Odrediti dovoljan uslov pod kojim je polinom P (x) = x n +...+x+ deljiv polinomom Q(x) = x m +...+x+. 56. Dat je polinom P (x) = 4x 5 4x 4 + 5x 6x + ax + b, gde je a, b R. Na i sve nule polinoma P ako se zna da je + i jedna nula i da postoji bar jedna racionalna nula. 57. Ako jednaqina x + ax + b = 0 ima racionalne korene p, q i r, dokazati da jednaqina py + qy + r = 0 takođe ima racionalne korene. 58. Odrediti vixestruke nule polinoma P (x) = x + x x. 59. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da zbir dva korena polinoma P (x) = x 4 6x +mx x+6 bude jednak zbiru druga dva korena. 60. Koliko postoji polinoma sa kompleksnim koeficijentima P (x) = x + ax + bx + c qije su nule a, b i c? 6. Poznato je da su nule kompleksnog polinoma P (z) = z n + a n z n + + a z + a 0 kompleksni brojevi α, α,..., α n. Izraqunati proizvod = (α + )(α + )... (α n + ). 6. Dokazati da ni za jedno n N polinom P n (x) = x (n) x (n ) x (n )... + x 4 x + nema realnih nula. 6. Neka su a i b koreni polinoma P (x) = x 4 +x. Dokazati da je ab koren polinoma Q(x) = x 6 +x 4 +x x. 64. Realni polinom P (x) = ax n ax n + c n x n +... + c x n bx + b ima n pozitivnih korena. Dokazati da su svi ti koreni jednaki. 65. Dokazati da je polinom P (x) = x 5 x 4 + 6x x + 9x 6 ireducibilan nad poljem Z. 66. Rastaviti na faktore nad poljem Q polinom P : a) P (x) = x 4 x +x +x 9; b) P (x) = x 4 x +x +x 6; v) P (x) = x 4 + 4x 6x x ; g) P (x) = x 5 + 4x 4 + x x + x +. 67. Dokazati da su polinomi P (x) = x n ireducibilni nad Q za sve prirodne n. 68. Dokazati da je polinom P (x) = + x + x + + x p ireducibilan nad Q za svaki prost broj p. 69. Na i najmanja tri prirodna broja n za koje je polinom P (x) = + x + x + + x n reducibilan nad Q. 70. Dokazati da je polinom P (x) = x 4 + px + q, p, q Q reducibilan nad Q ako je ispunjen jedan od ova dva uslova: o p 4q je kvadrat racionalnog broja, o q je kvadrat racionalnog broja r, r p je kvadrat racionalnog broja. 7. Pokazati da su polinomi ireducibilni nad Q: a) P (x) = x 4 8x +x 6x+; b) P (x) = x 5 x +6x ; v) P (x) = x 4 x + x + ; g) P (x) = x p px + p, gde je p prost broj. 4

4 Analitiqke osobine polinoma. Tejlorov polinom.. Dokazati da polinom P (x) = x 5 + x 0 ima bar jednu iracionalnu nulu.. Rexiti nejednaqinu 6x 7 x +x+ < x.. Odrediti polinom P qetvrtog stepena ako je poznato da je njegov drugi izvod P (x) = x + 6x + 4 i da P (x) P (x). 4. Dokazati da polinom f(x) = + x! + x! + x4! + xn n! nema vixestrukih nula. 5. Ako je a vixestruka nula polinoma P (x), onda je a i vixestruka nula polinoma Q(x) = P (x) + (P (x)). Dokazati. 6. Dokazati da polinom P (x) = x 4x + 7x nema nula u intervalu (0, ). 7. Neka je P polinom stepena n >. Odrediti red nule x = a polinoma Q(x) = (x a)[p (x)+p (a)] P (x)+p (a). 8. Odrediti realan broj a tako da x = bude nula polinoma P (x) = x n ax n+ + (n )x n ax n +, a zatim odrediti red k nule x =. 9. Dokazati da je realan polinom P deljiv svojim izvodnim polinomom, P, ako i samo ako je P (x) = a n (x x 0 ) n, gde su a n, x 0 R. 0. Odrediti polinom sedmog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) 4 P (x) + i (x + ) 4 P (x).. Odrediti polinom qetvrtog stepena P koji zadovoljava uslove (x ) P (x) 8 i (x + ) P (x) + 8.. Realni polinom P qetvrtog stepena ima dvostruku nulu x =, a polinom Q(x) = P (x) + 4 ima dvostruku nulu x =. Odrediti polinom P ako je Q(0) =.. Odrediti broj realnih korena jednaqine P (x) = x 4 4x x + a u zavisnosti od realnog parametra a. 4. Neka je an n+ + an n + + a + a 0 = 0. Dokazati da polinom P (x) = a n x n +... + a x + a 0 ima bar jednu nulu na intervalu [0, ]. 5 Racionalne funkcije.. Razloжiti slede e racionalne funkcije na zbir polinoma i prave racionalne funkcije: a) R(x) = x4 x + 4 ; b) R(x) = x 7x + 6 x + x ; v) R(x) = x5 + 5x 4 + 5x + 5x + 5x + x. x +. Predstaviti prave racionalne funkcije u obliku zbira parcijalnih razlomaka: x + a) R(x) = (x )(x )(x ) ; b) R(x) = x x 4x + ; v) R(x) = x x x + 60 ; g) R(x) = x + x + (x ) ; d) R(x) = 5x4 x 5 (x + 5) ; đ) R(x) = x4 + x + x + 5x + 0 (x + ) (x 4) ; e) R(x) = z) R(x) = x + ; i) R(x) = x4 + 0x 45x + x + 58 (x )(x + ) (x x + ) x + x + x x ; ж) R(x) = x + x + x + 7 (x + ) (x + 4) ; ; j) R(x) = x6 + 8x 4 + 7x 7x + 69x 99 (x ) (x + 9). x +. Racionalnu funkciju R(x) = (x + 4x + 5)(x predstaviti kao zbir: a) parcijalnih razlomaka; + ) b) razlomaka qiji su imenioci polinomi prvog stepena. 4. Dokazati da za date realne brojeve A, a, a,..., a n (brojevi a i su međusobno razliqiti) postoje realni A brojevi A, A,..., A n, takvi da vaжi jednakost: (x + a )(x + a )... (x + a n ) = A x + A + a x +... + A n + a x. + a n 5. Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka slede e funkcije: a) (x + 4)(x + ) ; b) a + b + c (x + a )(x + b )(x + c ), gde su a, b, c R i a, b, c međusobno razliqiti brojevi. 6. Dokazati da za svaki prirodan broj n vaжi n (x + )(x + )... (x + n) = i= ( n i ) ( ) i, gde je x R \ Z. x + i 5

6 Rexenja zadataka, uputstva i rezultati.. Svi identiteti vaжe.. Q(x) = x + x.. a) P + Q = x, P Q = x x +, P Q = x 7x + x, P + Q = 9x x ; b) P + Q = x x, P Q = 4x +, P Q = x 4 x x + 4x, P Q = x 9x + 5; v) P + Q = x 6 +x 5 x +4x, P Q = x 6 x 5 x 4x+, P Q = 6x x 7 6x 6 x +9x, P Q = x 6 6x 5 x 8x+6; g) P + Q = x 4 + x x +, P Q = x 4 x x, P Q = x 7 x 5 x 4 x x x, P Q = x 4 + x 5x + 4x..4 Zbir koeficijenata polinoma P (x) = a n x n +... + a x + a 0 jednak je P () = a n... + a + a 0. Stoga imamo: a) 998 0 = 04; b) 999 + ( ) 999 = 0; v) ( ) 450 ( ) 540 = ; g) 00 0 00 = 0..5 Ako je P (x) = a n x n +... + a x + a 0, a i Z, onda je razlika P (5) P () deljiva sa 5 =, jer je P (5) P () = a n (5 n n ) + a n (5 n n ) +... + a (5 ). Kako je P (5) P () = 5, xto nije deljivo sa, to dobijamo da takav polinom ne postoji..6 Na osnovu prethodnog zadatka dobijamo da ako postoji polinom sa celobroj- nim koeficijentima tada je P () P (7) uvek deljivo sa 4, pa ne moжe biti prost broj..7 Pokazati matematiqkom indukcijom ili uz pomo binomnomnog obrasca da je (a + b) k + (a b) k ceo broj za svako prirodno k..8 P (x) (x) = [ + x +... + x 00 x( + x +... + x 98 )] [ + x +... + x 00 + x( + x +... + x 98 )] = ( + x +... + x 00 ) x ( + x +... + x 98 ) i sad je oqigledno da ima samo parne stepene..9 Kako polinom P ( x) ima isti koeficijent kao i polinom P (x) uz x 0 i Q( x) kao i Q(x), problem se svodi na posmatranje polinoma P ( x) = ( + x + x ) 000 i Q( x) = ( x x ) 000. Svi qlanovi u P ( x) su pozitivni i sabiraju se, dok su neki qlanovi u Q( x) sa negativnim predznakom, tako da e se neki qlanovi međusobno pokratiti. Stoga je koeficijent uz x 0 ve i u P ( x) nego u Q( x), tj. ve i je u P (x) nego u Q(x)..0 a) Ako x prebacimo na drugu stranu, dobijamo polinom drugog stepena, koji je nula polinom jer uzima vrednost 0 za tri razliqite vrednosti: x = a, x = b, x = c. b) Prebacimo na drugu stranu i dobijamo polinom P tre eg stepena za koji je P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 0, te je nula polinom.. a) P (x) = x x + 5; b) P (x) = x x + 5; v) P (x) = x x + 5.. Ako traжimo koeficijente polinoma P dobi emo homogen sistem od n + jednaqina sa n + nepoznatih, qija je determinanta sistema razliqita od nule jer je to Vandermondova determinanta za n + razliqitih vrednosti. Stoga sistem ima jedinstveno rexenje. To je trivijalno rexenje, pa je polinom P nula polinom.. Posmatra se novi polinom P Q i primeni se rezultat prethodnog zadatka..4 a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x ) 4 + (x ) (x ) 7(x ); v) P (x) = (x + ) 5 (x + ) 4 + (x + ) + (x + )..5 a) P (x) = x 4x + 5; b) P (x) = x x + ; v) P (x) = x x + ;.6 a =, b =, P (x) = x + x +..7 Neka je P (x) = ax 4 + bx + cx + dx + e. Iz uslova P () = P ( ) i P () = P ( ) dobijamo sistem b + d = 0, 8b+d = 0, qije je rexenje b = d = 0. Znaqi P (x) = ax 4 +cx +e. Odatle direktno sledi P (x) = P ( x)( x R)..8 Iz P (x) = P ( x) nakon izjednaqavanja koeficijenata i rexavanja homogenog sistema, dobija se P (x) = ax 4 ax + bx + (a b)x + c, a, b, c R, a 0..9 Kada bi postojao Q(x) bi bio polinom drugog stepena Q(x) = ax +bx+c. Odredimo kompoziciju (Q Q)(x) = a(ax + bx + c) + b(ax + bx + c) + c = a x 4 + a bx + (a c + ab + ab)x + (abc + b )x + (ac + bc + c). Izjednaqavanjem koeficijenata dobijamo a =, b =, c = 8 iz koeficijenata najstarija tri qlana, ali to se ne slaжe sa narednim jednaqinama abc + b =, ac + bc + c =, pa ne postoji takav polinom Q..0 Q(x) = ax + a, a R.. Dobije se sistem koji nema rexenja (kao u zadatku.9).. a) Ako je deg P = n, deg Q = m tada mora da vaжi n + m = nm, n, m N 0. Trivijalno rexenje n = m = 0 daje P =, Q = c, c R. Imamo i netrivijalno rexenje ove jednaqine n = m =. Tada su P (x) = ax + bx + c i Q(x) = dx + ex + f. Iz uslova P Q = P Q, kada izjednaqimo koeficijente, dobijamo sistem: ad = ad, ade = ae+bd, ae +df +bd = af +be+cd, aef +be = bf +ce, af +bf +c = cf. Njegovo rexenje je d =, b = ae, f = e, c = 0, tj. traжeni polinomi su P = x + aex, Q = x + ex e, a, e R, a 0. Pored ovih rexenja imamo i rexenje P = 0, Q je proizvoljan polinom. b) Iz a) dobijamo da su rexenja P = Q = x, P = Q = i P = Q = 0. P () P ( ) = 999 +...4 Sliqno kao i u zadatku.5 dobijamo a b P (a) P (b) = b c P (b) P (c) = c a P (c) P (a) = a b. Iz ovog niza jednakosti sledi da je a b = ±(b c) i a b = ±(c a). Ako je a b = c b onda je a = c xto daje kontradikciju sa qinjenicom da su brojevi a, b, c razliqiti. Ako je a b = a c onda je b = c xto je opet kontradikcija. Ako je a b = b c i a b = c a onda iz prve jednaqine dobijamo a c = (a b), a iz druge a c = b a odakle je a b = 0, tj. a = b. Kako smo u svim sluqajevima dobili kontradikciju, polazna pretpostavka ne moжe da vaжi, pa ne postoji takav polinom. 6

. Koliqnik je Q(x) = x + x + 8, a ostatak je R(x) = 9. Ovaj rezultat moжemo dobiti obiqnim deljenjem polinoma ili primenom Hornerove xeme.. Koliqnik je Q(x) = x + x + x +, a ostatak je R(x) = x +.. Iz jednakosti P (x) = (x + )Q (x) + i P (x) = (x )Q (x) uvrxtanjem x = tj. x = dobijamo sistem + a + b =, 4 a + b =, qija su rexenja a = 4, b =..4 Ostatak je R(x) = x + 6..5 Ostatak je R(x) = x b a b r a + x a b a r b..6 { Po Bezuovom stavu imamo da iz P () = n + n = 0 sledi da x deli P (x). Kako je P (0) = ( ) n + n = 0 za n parno to je za n parno P (x) deljiv sa x, a za n neparno nije. Stoga je i P (x) deljiv polinomom za n neparno Q(x) ako i samo ako je n paran broj..7 Za svako n..8 a =, b =..9 Ostatak je R(x) = 4x + 5..0 Ostatak je r =.. a = 6, b =, c = 6.. a) Na osnovu Bezuovog stava imamo da je ostatak jednak P ( ) = 00 99 +... + = 0 +. b) Ostatak pri deljenju polinomom Q = x je isti kao i ostatak pri deljenju polinomom Q = x (samo je koliqnik u ovom sluqaju dva puta ve i). Stoga je traжeni ostatak jednak P ( ) = + +... + = 0. v) Sliqno kao pod a) i b) ostaci pri deljenju polinoma P sa x i x + jednaki su P () = 00 + 99 +... + + = 0 i P ( ) = + + =, respektivno. Sada iskoristimo rezultat zadatka.5 i ostatak je R(x) = 0 4 x + 0 +.. P (x) = (x + )(x + )Q(x) + ax + bx + c. Odmah imamo da je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x + jednak P ( ) = 4 = a b+c. Grupisanjem dobijamo P (x) = (x +)[(x+)q(x)+a]+bx+c a, pa je x+ = bx+c a ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x +. Iz ove dve jednaqine se dobija rexenje a =, b =, c = 9, tj. traжeni ostatak je R(x) = x + x + 9..4 R(x) = x + x + x + 5..5 Stavimo smenu x = y. Imamo da je P (x) = y n y n +... + y i Q (y) = y = (y )(y + ). Iz P ( ) = n 0 sledi da Q (y) ne deli P (y), tj. P (y) nije deljiv sa Q(y)..6 Iz deljivosti polinoma P (x) sa x dobijamo da je P () = 0. Kako je P ( x) = P (x) dobijamo P ( ) = 0, pa je P (x) deljiv i sa x +, tj. deljiv je sa (x )(x + ) = x..7 Iz postavke zadatka imamo da je zbir koeficijenata na parnim mestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mestima, a odatle se dobija P ( ) = 0 i P () =. Sada se iz izraza P (x) = (x )Q(x) + R(x), gde je R(x) = ax + b ili direktnom primenom rezultata zadatka.5 dobija R(x) = x +..8 Mogu e je u sva tri sluqaja: P (x) = x + 5, P (x) = x, Q(x) = x + tada Q P + P. P (x) = x, P (x) = x +, Q(x) = x + x tada Q P + P. P (x) = x +, P (x) = x, Q(x) = x tada Q P (P )..9 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x) p. Kako je Q() = Q() = Q() = Q(4) = 0, to je mogu e Q predstaviti u obliku Q(x) = (x )(x )(x )(x 4)T (x). Ako bi bilo P (a) = p Q(a) = p, tj. imali bismo da broj p dele sva qetiri broja a, a, a i a 4 xto je nemogu e jer su { p,,, p} jedini delioci prostog broja p..0 Zadatak ima dva rexenja: a = 7, b = i a =, b =.. Stavivxi (x + x + a)(x + kx + lx + m) = x 6 + x + a, dobijamo kontradiktoran sistem jednaqina.. a) 09; b) 00; v) 66.. a) P (x) = (x ) + (x ) + ; b) P (x) = (x + ) 4 5(x + ) + (x + ) + 6(x + ) 4; v) P (x) = (x ) 5 + 0(x ) 4 + 77(x ) + 59(x ) + 757(x ) + 4..5 a) NZD(P, Q) =, S(x) = x, T (x) = x x + ; b) NZD(P, Q) = x +, S(x) = 8 (x ), T (x) = 8 ( x + x + ); v) NZD(P, Q) = x x +, S(x) = x, T (x) = (x x + )..6 x x +..8 Jeste za svako p..9 Ako je a = b, onda je P n+ = 0. Neka je zato a + b 0. Za n = dobija se da je P (x) = [x +(a+b)x+ab] (a+b) = (a+b)(x+a)(x+b). Dakle nule polinoma P su x = a i x = b. Kako je P n+ ( a) = b n+ + a n+ a n+ b n+ = 0 i P n+ ( b) = a n+ + b n+ a n+ b n+ = 0, vidimo da su x = a i x = b nule i polinoma P n+, pa P (x) P n+ = 0, xto je i trebalo dokazati. Za n = dobija se polinom P 5 (x) = 5(a + b)[x 4 + (a + b)x + (a + b) x + (a + b) x + ab(a + ab + b )]. P 5 : P = 5 [(x + (a + b)x + (a + ab + b )]. Nule ovog koliqnika su x i x 4 xto sa prethodno nađenim nulama daje skup rexenja jednaqine P 5 = 0: x = a, x = b, x,4 = a + b ± i 4 (a + b ) + ab. 7

. a) k = ; b) k = ; v) k = ;. P (x) = a(x + )(x )(x + ) = ax 4 + ax ax ax 8a, a R, a 0.. P (x) = x 4 + 0x + 6x + 56x +..4 Zajedniqke nule polinoma P i Q su rexenja jednaqine NZD(P, Q) = 0. a) x, = ±i; b) x =, x =..5 Broj x = a je nula reda kl polinoma P Q i nula reda k polinoma P + Q..6 P (x) = x (x x) x(x x)+(x x)+. Kako je α α =, imamo P (α) = α α + + = (α α)+8 = + 8 = 7..7 R(x) = x 6x + 4..8 Napiximo polinom P u obliku P (x) = x n ax(x n ) = (x )[x n +... + x + ax(x n +... + x + )]. Da bi polinom u uglastoj zagradi bio deljiv sa x, potrebno je i dovoljno (po Bezuovom stavu) da bude n a(n ) = 0. Dakle P (x) je deljiv sa (x ) za proizvoljno n > i a = n n..9 a = 7, b = 60. Koreni polinoma P su x =, x = 4, x = 5..0 Iz jednakosti (x )(x α)(x α+) = x +ax +4x+b se dobija sistem a = α, 4 = α +α 4, b = α +4α. Ovaj sistem ima dva rexenja u skupu Z: α =, a = 4, b = 0 i α = 4, a = 8, b = 48, a odgovaraju i koreni jednaqine su x = 0, x =, x = i x = 6, x = 4, x =.. Ima dva rexenja: a = 9, b = 4 i a = 9, b = 4, a odgovaraju e nule polinoma su x =, x =, x = 4 i x = 4, x =, x =.. Ako je q neparan, neparni su mu i svi delioci, pa bi i rexenje, oznaqimo ga sa x 0 moralo biti neparno. A kako je to koren jednaqine moralo bi da vaжi x 0 + x 0 + q = 0, xto je nemogu e jer suma tri neparna broja ne moжe biti jednaka nuli.. Ako među korenima polinoma P imamo dva suprotna broja λ i λ i preostali koren nek je µ, tada se p moжe predstaviti u obliku P (x) = (x λ)(x + λ)(x µ). Kad izjednaqimo koeficijente dobija se a = µ, b = λ, c = λ µ, a odatle se direktno dobija da je ab = c. Ako je ab = c, tada imamo da je P (x) = (x + b)(x + a), a kako su rrexenja jednaqine x + b = 0 suprotni brojevi, to dobiajmo da među korenima P postoje dva suprotna broja..4 Neka je x Z rexenje. Iz Bezuovog stava imamo f(x) = (x x )q(x). Tada iz uslova da je f(0) = x q(0) neparan dobijamo da je x neparan. Iz uslova da je f() = ( x )q() neparan dobijamo da je x neparan, xto je nemogu e, pa f nema celobrojnih korena..5 Sliqno kao prethodni primer. Neka je x Z rexenje. Tada je f(x) = (x x )q(x). Kad tu zamenimo redom x =,, i izmnoжimo te jednakosti dobija se f() f() f() = ( x )( x )( x )q()q()q(), a ta jednakost nije mogu a jer je taqno jedan od brojeva x, x, x koji javljaju na levoj strani jednakosti deljiv sa, proizvod f() f() f() sa desne strane nije deljiv sa iz uslova zadatka. Kontradikcija..6 Neka je x Z nula polinoma P (x) = a n x n +... + a x + a 0. Prikaжimo je u obliku x = nk + r, k Z, 0 r n. Tada je P (r) = P (r) 0 = P (r) P (x ) = (a n r n +... + a r + a 0 ) [a n (nk + r n +... + a (nk + r) + a 0 ]. Oduzimanjem a 0 se ukida, ponixtavaju se qlanovi oblika a i r i, a od preostalih svaki sadrжi n kao faktor, pa moжemo pisati P (r) = nc, gde je c neki ceo broj razliqit od nule (jer je iz postavke zadatka P (x) 0, za x = 0,,..., n ). Ali tada odbijamo kontradikciju sa drugom polaznom predpostavkom: P (x) < n, za x = 0,,..., n..7 Koristiti binomni obrazac i uslove zadatka..8 Neka je α nula polinoma P (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 sa celobrojnim koeficijentima. Tada je m α nula polinoma Q(x) = a n x mn + a n x m(n ) +... + a x m + a 0..9 Iz P (x ) = x 4 P ( x ) direktno sledi da je x 0 koren jednaqine da je tada i x koren te jednaqine..0 a =, b = 4.. Treba proveriti jesu li x = ± ili x = ± p koreni polinoma P. Za x = imamo P () = 0. Za + = 0, odnosno, p 4 p + p + = 0, a ova jednaqina nema celobrojnih korena (jedini kandidati ± se lako odbace). Analogno se pokazuje i da x = p nije koren.. Od kandidata za koren odmah emo odbaciti pola: x =,, p, p jer je za njih f(x) = px + x + > 0. Dalji postupak je potpuno isti kao u prethodnom zadatku i na kraju se dobije da ni za jedan prost brost broj p data jednaqina nema racionalni koren ( nije prost broj!).. x =, x =, x =..4 P (x) = (x )(x )(x 4)..5 Kako je polinom moniqan, to je njegov najstariji koeficijent a n =. Stoga ako bi imao racionalnih nula one bi bile celobrojne, a kako je u postavci dato da P nema celobrojnih nula, to dobijamo da su sve realne nule tog polinoma iracionalni brojevi..6 Neka je x = n p. To je rexenje jednaqine x n p = 0. Racionalni kandidati za koren ove jednaqine su: { ± i ±p. Ali kako je P () = p < 0, P ( ) = ± p < 0, P (p) = p n p > 0 i P ( p) = ( p) n p = p n p > 0 za n parno p n to dobijamo da je x p < 0 za n neparno = n p iracionalan broj. x = imamo P ( ) = p + < 0. Da bi x = p bio koren treba P ( p ) = 0, tj. p 4.7 Isti dokaz kao u prethodnim zadacima..8 Uvedimo pomo ni polinom Q(x) = P (x). Kako su mu nule x = a, x = b i x = c on se moжe predstaviti u obliku Q(x) = (x a)(x b)(x c)r(x). Tada je P (x) = (x a)(x b)(x c)r(x) +. Ako bi P imao celobrojnu p p 8

nulu x = d tada bi vaжilo 0 = P (d) = (d a)(d b)(d c)r(d) +. Ali u tom sluqaju dobijamo da postoje razliqita broja d a, d b i d c koji dele xto je kontradikcija..9 a) Nule polinoma Q (x) su x a, x a,..., x n a. b) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. v) Nule polinoma Q (x) su x, x,..., x n. g) Nule polinoma Q 4 (x) su bx, bx,..., bx n..0 Neka je P (a) = P (b) = P (c) = za razliqite brojeve a, b, c. Pretpostavimo da je P (d) =, tada je = P (a) P (d) = (a d) m, m Z (vidi zadatak.5). Odatle sledi da je a d = ±. Analogno se dobijaju b d = ± i c d = ±. Odatle se dobija da su bar dva od brojeva a, b, c jednaka xto je u kontradikciji sa pretpostavkom zadatka.. Pretpostavimo da postoje R, S takvi da je P (x) = R(x) S(x). Iz P (a i ) = = R(a i ) S(a i ) dobijamo R(a i ) = S(a i ), tj. R(a i ) + S(a i ) = 0, pa polinom R(x) + S(x) ima n nula (a i ), a stepen mu je manji od n pa po zadatku. dobijamo da je R(x) + S(x) = 0. Tj. dobili smo da je P (x) = R(x), ali to je nemogu e jer smo dobili da je P (x) 0 x, a treba P (x) kad x..4 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = 0 dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P (0) = 0. P () nije jednoznaqno određen, a od njegovog izbora zavise P (4), P (5),... Na osnovu Bezuovog stava imamo da je P (x) = x(x )(x )Q(x). Kada ovo uvrstimo u uslov zadatka dobijamo x(x )(x )(x )Q(x ) = (x )x(x )(x )Q(x), tj. Q(x ) = Q(x). Na osnovu zadatka. dobijamo da je Q(x) = c. Stoga su sva rexenja polazne jednaqine polinomi P (x) = cx(x )(x ), c R..5 Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P (0) = 0. Ako uvrstimo x = dobijamo P () = P () = 0. Ako u datu jednaqinu uvrstimo x = dobijamo P () = 0. Ako uvrstimo x = 4 dobijamo P (4) = P () = 0... Kako je P (n) = n n P (n ) za n 4 to nam P () = 0 P (4) = 0 P (5) = 0... Matematiqkom indukcijom moжemo pokazati da je P (n) = 0, n N. Na osnovu zadatka. dobijamo da je P (x) = 0 i to je jedino rexenje..6 Polinom nema realnih nula (ako bi imao imao bi beskonaqno mnogo realnih nula jer P (x) = 0 povlaqi P (x + x + ) = 0). Ovaj polinom je ili konstanta ili ima kompleksnih nula. Ako je konstanta P (x) = c, onda je c = c, tj. imamo rexenja P (x) = 0, P (x) =. Ako ima kompleksan koren a + bi onda su mu koreni i a bi (zbog osobina kompleksnih korena) i a bi i a + bi (ove dva zbog parnosti funkcije: funkcija je parna jer je P (x) P (x + ) = P (x + x + ) = P ( x) P ( x ) za beskonaqno mnogo vrednosti). Neka je a 0, b > 0 (ako nije zamenimo koren sa nekim od preostala tri korena). Kad zamenimo koren a+bi u x +x+ i izraqunamo kvadrat modula tog kompleksnog broja on je jednak (b 4 b + ) + (a + b ) + (a 4 + a + a + a + a b + ab ) (a + b ). Kako u gornjoj nejednakosti treba da vaжi jednakost (da ne bismo imali beskonaqno kompleksnih korena) to mora da bude ispunjeno b = a = 0. Dobili smo da su jedine nule ±i pa je u ovom sluqaju rexenje P (x) = (x + ) n..7 Svi koreni su negativni jer x 0 P (x) > 0. Oznaqimo te korene sa x, x..., x n. Neka je y k = x k > 0, k =,..., n. Tada je P (x) = (x + y )(x + y )... (x + y n ). Ako primenimo nejednakost aritmetiqke i geometrijske sredine dobijamo + y k = + + y k y k, pa je P () n y y... y n. Iz Vietovih formula imamo da je x i = ( ) n y i =, jer su y k > 0. Kad to uvrstimo u prethodnu nejednakost dobijamo P () n..8 Fiksiramo x = a. Tada rexavamo diferencnu jednaqinu P k+ (a) = a P k+ (a) P k (a), P 0 (a) =, P (a) = a. Njeno rexenje je P k (a) = (a + a ) k + (a a ) k. Za a P k (a) > 0. Za a i k parno P k (a) > 0. Za a P k (a) < 0. Stoga dobijamo da su sve realne nule a <..9 Posmatrati pomo ni polinom Q(x) = P (x) n. Nule su mu razliqiti brojevi x, x..., x n Z. Tada je Q(x) = A(x x )(x x )... (x x n ). Slobodan qlan polinoma Q je Q(0) = n, pa iz Vietovih formula dobijamo x x... x n = ( ) n ( n) A, tj. n = ( )n+ x x... x n = ( ) n+ x x... x n n (jer su najvixe dva korena x k manja od po apsolutnoj vrednosti). n n n 4. Za n = imamo da je Q(x) = x ili Q(x) = x +, tj. rexenja koja odgovaraju su x = i A =, odnosno x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x ili Q(x) = x x ili Q(x) = x + x ili Q(x) = x x rexenja koja odgovaraju x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =,tj. x =, x = i A =, tj. x =, x = i A =. Za n = imamo da je Q(x) = x + x x ili Q(x) = x + x + x rexenja koja odgovaraju x =, x =, x = i A =, tj. x =, x =, x = i A =. Za n = 4 imamo da je Q(x) = x 4 + 5x 4 rexenje koje odgovara x =, x =, x =, x 4 = i A =. Rexenja su: P (x) {±x, x ± x, x ± x, ±x + x x, x 4 + 5x }..40 P 7 (x) = Q(x) R(x) i neka je < deg R < 4 deg Q. R(x i ) = ± pa R ima bar u qetiri taqke vrednost (ili i tad razmatranje ide potpuno analogno) pa po zadatku. dobijamo da je R =. Tad je = deg R, pa smo dobili da je polinom P nemogu e rastaviti na proizvod dva polinoma stepena > sa celobrojnim koeficijentima. 9