Rovnosť funkcií. Periodická funkcia.

VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S tým súhlasím. Teraz si však predstav, že ti zadám dve funkcie len pomocou definičných oborov a predpisov. Dalo b sa rozhodnúť, či sa tie dve funkcie rovnajú aj bez zostrojovania grafov? Skús porozmýšľať, začni tými definičnými obormi. Ž: Podľa mňa b sa definičné obor mali rovnať. Veď ak b napríklad jedna funkcia bola definovaná len pre kladné čísla a druhá len pre záporné, nijako b to nebolo to isté. U: Súhlasím, stačí ab sa definičné obor líšili len v jedinom bode, už b sa funkcie nerovnali. Prišli sme teda na prvú podmienku rovnosti dvoch funkcií, a tou je rovnosť definičných oborov. Ž: A teraz ešte treba vmslieť, čo s predpismi funkcií. Najlepšie b bolo, keb sa tiež rovnali. U: Máš pravdu, ale to b bola veľmi triviálna situácia. Ž: Tak potom b na pohľad ani nemuseli vzerať rovnako, ale stačilo b, keb dávali rovnaké výsledk. U: To je ono, potrebujeme, ab obidva predpis dávali rovnaké funkčné hodnot a to pre všetk prvk definičného oboru. Takže to zhrniem: Hovoríme, že funkcia f sa rovná funkcii g práve vted, ak platí: ) D(f) = D(g) ) D(f) : f() = g() Zapisujeme f = g. U: Teraz si to vskúšajme na dvoch príkladoch. Najprv b si mal rozhodnúť, či sa rovnajú funkcie f : = ( + ) a g : = + +. Ž: Začnem definičnými obormi. Tu netreba písať žiadne podmienk, teda D(f) = D(g) = R. Pokračujem predpismi, pre každé reálne číslo platí: f() = ( + ) = + + = g(). Vužil som vzorec pre druhú mocninu súčtu a vchádza mi, tieto dve funkcie sa rovnajú.

VaFu7-T List U: Výborne, zapíšeme f = g a znamená to tiež, že aj ich graf budú úplne rovnaké. Teraz skúsme to isté pre dvojicu h : = a i : = +. Ž: Zasa treba začať definičnými obormi. Pre funkciu h musím napísať podmienku, odkiaľ, teda D(h) = R {}. Ale funkcia i nevžaduje žiadnu podmienku, čiže D(i) = R. A už vidíme, že tieto dve funkcie sa nemôžu rovnať, keďže nemajú rovnaké definičné obor. U: Áno, zapíšeme h i. Pre úplnosť ešte porovnám funkčné predpis a zistím, že R {} : h() = = ( )( + ) = + = i(). Výraz v čitateli som rozložil na súčin a po vkrátení som zistil, že funkcia h nadobúda také isté hodnot ako funkcia i. Výnimkou je iba bod =, v ktorom funkcia h nie je definovaná. Graf týchto funkcií vidíš na obrázku: 5 5 h i Ž: Sú skoro rovnaké, líšia sa iba v jednom bode. U: Teraz zmeňme tému a skús zostrojiť graf funkcie f : = ( ), kde D = Z.

VaFu7-T List Ž: Radšej si najprv pripravím tabuľku s niekoľkými hodnotami: ( ) No to je zaujímavé, funkčné hodnot sa pekne striedajú! U: Áno, pre párne bude ( ) rovné jednej, ale pre nepárne bude ( ) rovné mínus jednej. Ž: Preto graf bude vzerať takto: U: Čím je táto funkcia zaujímavá? Ž: Práve tým, že sa jej hodnot pravidelne opakujú. U: Táto funkcia patrí medzi tzv. periodické funkcie. Perióda je cudzie slovo a v preklade znamená časový úsek, ktorý uplnie medzi dvoma opakujúcim sa javmi. Napríklad mesačný spln nastane vžd po 8 dňoch, olmpijské hr sa organizujú po rokoch. Ž: Aj majstrovstvá sveta vo futbale sú každé štri rok a majstrovstvá sveta v hokeji dokonca každý rok. U: Áno, veľa dejov okolo nás je periodických, aj keď si to možno neuvedomujeme. Napríklad naše srdce je tiež pravidelne pracujúci sval, môžeme si to všimnúť na obrázku z EKG:

VaFu7-T List Ž: Nieked sa stane, že srdiečko nepracuje takto pravidelne, ale to je už o inom... U: Dobre, vrátim sa k pojmu perióda. Budeme ju označovať p, bude to kladné číslo a jeho význam je takýto: Ak funkcia f má bť periodická, a ja si vberiem ľubovoľný bod z jej definičného oboru, tak po uplnutí periód, teda ak sa posuniem po osi -ovej do bodu + p, musím dostať rovnakú funkčnú hodnotu, teda f( + p) = f(). Ale ak sa posuniem doľava do bodu p, alebo doprava o dve periód do bodu + p, tiež musím dostať rovnaké funkčné hodnot, teda aj f( p) = f( + p) = f(). Ž: Aha, ale takto sa po osi -ovej môžem posúvať koľko chcem, ako to zapíšeme všeobecne? U: Zapíšeme +k p, kde k je celé číslo. Vo všetkých týchto bodoch musí bť funkcia definovaná a musí nadobúdať rovnaké hodnot, čo zhrnieme do nasledujúcej definície: Funkcia f sa nazýva periodická práve vted, keď eistuje také kladné číslo p, že pre každé celé číslo k platí: ) ak D(f), tak aj + k p D(f) ) f( + k p) = f(). Číslo p nazývame perióda funkcie f. Ž: Možno b to chcelo ešte nejakú ukážku. U: Nech sa páči. Najtpickejšími predstaviteľmi periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Ukážme si funkciu g : = sin, jej graf vidíš na obrázku:

VaFu7-T List 5 g : = sin 5 π 5 6 π π π π π π π S touto funkciou sa stretávame pri striedavom elektrickom prúde, pri rôznch vlneniach, kmitavých pohboch a pod. Skúsil b si z grafu určiť jej periódu? Ž: Graf je vlastne taká nekonečná vlnovka a jedna vlnka sa zopakuje, keď sa po osi posuniem o π, to bude perióda. U: Áno, povieme tiež, že p = π je najmenšia perióda, pretože priebeh funkcie sa zopakuje aj po π alebo π.

VaFu7- List 6 Príklad : Rozhodnite, či sa rovnajú funkcie: a) f : =, g : =, b) f : = ( ), g : = 6 + 9, c) f : =, g : =, d) f : = +, g : = +. U: Zopakujme si, že ak sa dve funkcie majú rovnať, musia bť splnené dve podmienk. Ktoré? Ž: Prvou podmienkou je, ab sa rovnali definičné obor a druhou, ab sa pre všetk prvk z definičného oboru rovnali funkčné hodnot. U: Výborne, môžeš začať s prvou dvojicou f : =, g : =. Ž: Obidve funkcie sú definované pre všetk reálne čísla, teda D(f ) = D(g ) = R. To b bolo zatiaľ v poriadku, ale hodnot sa rovnajú len na jednej polovici, pre nezáporné platí =, ale pre záporné už =. Napríklad f ( ) =, ale g ( ) = = =. Preto sa funkcie nemôžu rovnať, f g. U: Veľmi dobre, pokračuj druhou dvojicou f : = ( ), g : = 6 + 9. Ž: Tak tieto dve funkcie sa určite rovnajú, lebo vieme, že ( ) = 6 + 9 podľa vzorca pre druhú mocninu rozdielu. U: To je pravda, ab si však naozaj mohol vhlásiť záver, že f = g, nezabudni zdôrazniť, že sa rovnajú aj definičné obor, v tomto prípade D(f ) = D(g ) = R.

VaFu7- List 7 Ž: Na to som naozaj zabudol. Idem na tretiu dvojicu f : =, g : =. Na prvý pohľad to vzerá, že b sa mohli rovnať, pretože =. Ale dám si pozor, ab som nezabudol na definičné obor. Funkcia f vžaduje podmienku, teda D(f ) = R {}, funkcia g je definovaná všade, D(g ) = R. A už vidíme, že keďže sa ich definičné obor líšia. f g, U: Presne tak, preto je dôležité vžd skontrolovať aj rovnosť definičných oborov. Ž: Posledná dvojica funkcií vzerá dosť zložito f : = +, g : = +. Začnem definičnými obormi. Pre funkciu f musí platiť, čiže, preto D(f ) = R {}. Pre funkciu g napíšeme takisto, teda D(g ) = R {}. U: Čiže definičné obor oboch funkcií sa rovnajú, môžeš pokračovať. Ž: Potrebujem porovnať funkčné hodnot. Asi bude lepšie vjsť z predpisu pre funkciu g a skúsiť ho upraviť. Dostanem že D(g ) : g () = + = + Ale to vlastne znamená, že obe funkcie sa rovnajú, f = g. = + = f (). Úloha : Rozhodnite, či sa rovnajú funkcie: a) f : =, g : =, b) f : =, g : =, + c) f : =, g : = +, d) f : = + ++, g + : = +. Výsledok: a) nie b) áno c) nie d) áno

VaFu7- List 8 Príklad : Zistite, ktoré z daných funkcií sú periodické, určte ich najmenšiu periódu (ak eistuje) a načrtnite graf: a) f : =, Z, b) g : =, R, c) h : = + ( ), Z. Ž: Pri prvej funkcii f : =, Z začnem tým, že jednotka umocnená na akékoľvek celé číslo mi dá vžd jednotku. Preto je to vlastne konštantná funkcia a jej graf tvorí takáto množina izolovaných bodov: f U: A je to periodická funkcia? Ž: Samozrejme, že je, jej najmenšia perióda bude p =. U: Dobre, zmení sa niečo, ak budeme uvažovať veľmi podobnú funkciu g : =, R? Ž: Je to tiež konštantná funkcia, ale definovaná na množine R, preto jej grafom bude priamka. Nezdá sa, že b to bola periodická funkcia. g U: Nie? A prečo? Neopakuje sa vari hodnota? Ž: No, mohli b sme to tak zobrať, ale koľko b bola perióda? U: V tom je práve ten háčik, že ktorékoľvek kladné číslo je periódou tejto funkcie, neeistuje však najmenšia perióda. Ž: Aj tak je to dosť čudný príklad.

VaFu7- List 9 U: Súhlasím, že je to dosť netpický príklad periodickej funkcie, možno sa ti viacej zapáči posledná funkcia h : = + ( ), Z. Ž: Tak tu určite začnem vpisovaním niekoľkých hodnôt funkcie, ab som získal predstavu o jej priebehu: h( ) = + ( ) = + ( ) = = h( ) = + ( ) = + ( ) = + = h( ) = + ( ) = + = = h() = + ( ) = + = h() = + ( ) = =. Už je to jasné, budú sa pravidelne striedať hodnot a. U: Áno, pre párne celé číslo bude h() =, ale pre nepárne celé číslo bude h() =. Ž: Graf je takáto množina skackajúcich izolovaných bodov: U: Ostáva ešte odpovedať na otázku, či to je periodická funkcia. Ž: Áno, s najmenšou periódou p =. Úloha : Zisti, či dané funkcie sú periodické: a) f : = ( ), Z, b) g : =, R. Výsledok: a) je periodická, p = b) nie je periodická

VaFu7- List Príklad : Celou časťou reálneho čísla rozumieme najväčšie celé číslo, ktoré je menšie alebo rovné číslu a označujeme ho []. Teda [, ] = ; [5, 75] = 5; [, ] = 5; [] = atď. Na obrázku sú zostrojené graf funkcií definovaných na R: f : = [], g : = [], h : = [], i : = ( ) []. Rozhodnite, či sú periodické a určte ich najmenšiu periódu. f : = [] g : = [] h : = [] i : = ( ) [] Ž: Vidím, že je to celkom zaujímavá vec, tá celá časť. Na prvom grafe funkcie f : = [] vznikli také schodík, pravidelne sa to mení, ale nebude to periodická funkcia, pretože hodnot funkcie sa neopakujú. U: Áno, preto sme to trochu zmenili a v druhej funkcii g : = [] sme od reálneho čísla odčítali jeho celú časť.

VaFu7- List g : = [] Ž: Dalo b sa povedať, že z čísla zostala len desatinná časť a vznikla tak pekná periodická funkcia. Jej najmenšia perióda je p =. A niečo veľmi podobné je aj tretia funkcia h : = [], iba graf je zhustený, častejšie sa opakujú úsečk. Perióda bude menšia, len p =. h : = [] U: Ide ti to výborne, ostala posledná funkcia, v ktorej číslo umocňujeme na celú časť reálnch čísel. i : = ( ) [] Ž: Viem, že umocnené na párne celé číslo dá jednotku, umocnené na nepárne celé číslo dá mínus jednotku. A z grafu je jasné, že sa to bude opäť pekne striedať, je to periodická funkcia, teraz ale najmenšou periódou bude číslo.

VaFu7- List Príklad : Rozhodnite, či funkcie, ktorých graf vidíte na obrázku, sú periodické: f g h 5 6 7 8 Ž: Na prvom grafe sú také pekné zúbk dva malé, jeden veľký, dva malé, jeden veľký... Bude to takto pokračovať ďalej? U: Predpokladajme, že áno, teda že funkcia nezmení svoj priebeh v časti, kde už jej graf nevidíme. Ž: Tak potom to je periodická funkcia, jej priebeh sa začne opakovať po dvoch malých a jednom veľkom zúbku, teda perióda bude p =. U: Dobre, a čo druhá funkcia? g Ž: Tá mi pripomína zub na pílke. Tu je to jednoduché, začne sa to opakovať už po jednotke. U: Teda to je periodická funkcia? Ž: No áno. Či nie? Neviem. U: Toto veru nie je periodická funkcia, kvôli definičnému oboru. Vberme si z neho jedno číslo, napr. =. Potom, ak b perióda bola p =, tak podľa definície periodickej funkcie b malo platiť, že do definičného oboru patrí každé číslo v tvare + k p, k Z. Teda aj + ; + a podobne. Lenže v týchto bodoch funkcia nie je definovaná.

VaFu7- List Ž: Nie je to potom tak, že periodická funkcia musí bť definovaná na množine všetkých reálnch čísel? U: Nie, nie je. Stačí sa pozrieť na tretí graf: h 5 6 7 8 U: Táto funkcia je periodická s najmenšou periódou p =, pričom nie je definovaná na R, jej definičný obor je zložený zo zjednotenia nekonečne veľa intervalov dĺžk.

VaFu7-5 List Príklad 5: Načrtnite graf funkcie, ktorá je periodická a súčasne: a) je ohraničená a párna; b) je zhora ohraničená, ale nie je zdola ohraničená. U: V prvej časti máš načrtnúť graf funkcie, ktorá je súčasne periodická, ohraničená a párna. Ž: Začnem od konca ab bola párna, musí bť jej graf súmerný podľa osi. Ab bola ohraničená, tak celý graf musí ležať medzi dvoma rovnobežkami s osou, napr. si vezmem priamk = a =. Najprv si pripravím hoci aj takýto ornament: = = Ž: A keď má bť ešte aj periodická, tak sa tento ornament bude opakovať: 8 7 6 5 5 6 7 8 U: Krásn obrázok, mohol b si robiť návrhára výšiviek. Ž: No ďakujem pekne, idem radšej na druhú časť mám načrtnúť graf periodickej funkcie, ktorá je ohraničená iba zhora. Mohol b som použiť podobný ornament, ale nesmie bť zdola ohraničená, teda potiahnem čiaru nadol asi takto:

VaFu7-5 List 5 U: Už sa teším na výsledok. Ž: Vdržte, ešte to niekoľkokrát zopakujem a je to: 5 6 U: Pekné, toto je teda graf jednej z funkcií, spĺňajúcich podmienk v zadaní. Na záver mi ešte povedz horné ohraničenie a periódu tvojej funkcie Ž: Horným ohraničením je číslo a najmenšia perióda je tiež.

VaFu7-6 List 6 Príklad 6: Určte najmenšie periód funkcií = cos a = tg. U: Tieto funkcie patria medzi goniometrické a sú tpickými predstaviteľmi periodických funkcií. Ž: Už som sa s nimi stretol, takže to nebude ťažká úloha. Najprv načrtnem graf funkcie = cos, vzerá takto: = cos π π π π π π π π U: Perióda určuje úsek na osi -ovej, po ktorej sa začne priebeh funkcie opakovať, máš určiť najmenšiu. Ž: Bude to p = π, pekne to vidno na maime, ktoré je v bode = a najbližšie ďalšie maimum je v bode = π. U: Výborne, teraz to skúsime s funkciou = tg. Jej graf tiež poznáš. π π π π π π π π = tg Ž: Áno, máme ho tu na obrázku. Perióda bude pri tejto funkcii menšia, len p = π. Vidieť to môžeme na nulovom bode, ktorý je v každej opakujúcej sa časti len jeden a rozdiel medzi nimi je presne π.

VaFu7-7 List 7 Príklad 7: Nech D(f) = R. Ktoré z tvrdení o funkcii f je pravdivé? a) Ak je funkcia f periodická, potom je párna alebo nepárna. b) Ak je funkcia f periodická, nemôže bť na celom svojom definičnom obore rastúca. c) Ak je funkcia f periodická, tak má nekonečne veľa lokálnch etrémov. Ž: Prvé tvrdenie hovorí, že ak je funkcia f periodická, potom je párna alebo nepárna. Alebo inak povedané, jej graf je smetrický buď podľa osi alebo podľa bodu [; ]. A to určite nemusí platiť, graf nemusí bť smetrický. Na obrázku je jedna takáto funkcia: 5 6 U: To bola pekná ukážka, teda prvé tvrdenie nie je pravdivé, skús druhé tvrdenie: Ak je funkcia f periodická, nemôže bť na celom svojom definičnom obore rastúca. Ž: Mslím, že toto je pravdivá veta, nemôže bť funkcia všade rastúca, ak sa jej hodnot majú opakovať. U: Áno, ak je p perióda funkcie, vezmime ľubovoľné číslo z definičného oboru. Potom aj číslo + p patrí do definičného oboru, pričom < + p. Ak je funkcia periodická, tak podľa definície musí platiť f() = f( + p). Lenže ak b mala bť aj rastúca, tak zase podľa definície rastúcej funkcie b malo platiť a tak sa dostávame do sporu. f() < f( + p), Ž: Ostalo mi posledné tvrdenie: Ak je funkcia f periodická, tak má nekonečne veľa lokálnch etrémov. To b aj mohla bť pravda, pretože ak tam je nejaké maimum alebo minimum, musí sa zopakovať po každej perióde, teda ich tam bude nekonečne veľa.

VaFu7-7 List 8 U: Súhlasím s druhou časťou toho, čo si povedal. Ak periodická funkcia má v bode D lokáln etrém, tak má takýto etrém aj v každom bode + k p, kde p je perióda a k je ľubovoľné celé číslo. Preto ich je naozaj nekonečne veľa. Začal si ale s predpokladom, ak funkcia má lokáln etrém. A čo ak nemá? Nemôže bť periodická funkcia bez maím aj miním? Ž: Neviem si to predstaviť. U: Tak ti takú ukážem, je to jedna zo základných goniometrických funkcií = tg: π π π π π π π π = tg Ž: To potom ale znamená, že posledné tvrdenie nie je pravdivé.