MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude mat jednotková kružnica Q v súradnicovej sústave S 2 := P, u, v, ak v S 1 má stred v začiatku súradnicovej sústavy O? Riešenie: (2b) Sústava S 2 je určená prvkami P = [0, 1], u = (1, 0), v = (0, 2) resp. maticou M 2 := ( u v P ) 1 0 0 = 0 2 1. 0 0 1 (3b) Pre sústavy S 1 a S 2 platí M 1 X 1 = M 2 X 2, 1 0 0 x 1 1 0 0 x 2 0 1 0 y 1 = 0 2 1 y 2, 0 0 1 1 0 0 1 1 x 1 1 0 0 x 2 y 1 = 0 2 1 y 2, 1 0 0 1 1 čím získavame transformačné rovnice x 1 = x 2, y 1 = 2 y 2 + 1. (1) (2b) Dosadením rovníc (1) do implicitného vyjadrenia jednotkovej kružnice so stredom v začiatku S 1 získavame jej vyjadrenie v súradnicovej sústave S 2 : x 2 1 + y 2 1 1 = 0, (x 2 ) 2 + (2 y 2 + 1) 2 1 = 0, x 2 2 + 4 y 2 2 + 4 y 2 = 0. 2. (8b) Určite analytický predpis asymptot kužel osečky Q: 2x 2 4xy + y 2 2x + 6y 3 = 0. 2 2 1 Q = 2 1 3. 1 3 3
Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku hyperbolického typu: = det Q = 1 0 2 2 2 1 = 2 4 = 2 < 0 hyperbolický typ. (1b) Asymptoty prechádzajú stredom S kužel osečky, ktorého súradnice získame vyriešením sústavy rovníc s výsledkom S = [ 5 /2, 2]. 2 x 2 y 1 = 0, 2 x + y + 3 = 0 (1b+2b) Smerom asymptoty je asymptotický smer u = (u, v) kužel osečky. Jeho súradnice určíme vyriešením rovnice 2 u 2 4 u v + v 2 = 0. Ked že ide o hyperbolu, očakávame a aj naozaj získame dve rôzne riešenia u 1 = (u 1, v 1 ) = (2 + 2, 2) u 2 = (u 2, v 2 ) = (2 2, 2). Normálovým vektorom asymptoty sú vektory n 1 = (v 1, u 1 ) = (2, (2 + 2)), n 2 = (v 2, u 2 ) = (2, (2 2)). Dosadením súradníc stredu S = [ 5 /2, 2] do rovníc získavame predpis asymptot 3. (10b) Určite množinu stredov kužel osečky 2 x (2 + 2) y + d 1 = 0, 2 x (2 2) y + d 2 = 0 a 1 : 2 x (2 + 2) y 2 2 + 1 = 0, a 2 : 2 x (2 2) y 2 2 1 = 0. Q: x 2 xy 2y 2 + x + 13y 20 = 0. Sú medzi nimi singulárne body? Ak áno, určite ich súradnice. Kol ko reálnych komponentov má kužel osečka? Aké sú ich analytické predpisy? 1 1 /2 1/2 2 1 1 Q 1 := 1 /2 2 13/2 1 4 13 =: Q 2. 1/2 13/2 20 1 13 40 Pre zjednodušenie výpočtov a zápisov budeme používat maticu Q 2.
Na základe = det Q 2 = 0, 2 1 1 4 = 8 1 = 9 < 0. vidíme, že ide o singulárnu kužel osečku hyperbolického typu. (2b) Stredom kužel osečky je bod S = [1, 3], lebo jeho súradnice sú riešením sústavy rovníc 2 x y + 1 = 0, x 4 y + 13 = 0. (1b) Súradnice bodu S navyše vyhovujú i rovnici x + 13 y 40 = 0, a teda bod S je singulárnym bodom kužel osečky. (1b) Singulárna kužel osečka hyperbolického typu je tvorená dvoma reálnymi rôznobežkami. Tieto priamky sú hl adané komponenty, ich počet je teda dva. (2b) Smerový vektor každého z komponentov je asymptotickým smerom kužel osečky. Ich súradnice získame vyriešením rovnice 2 u 2 2 u v 4 v 2 = 0, u 2 u v 2 v 2 = 0, (u + v) (u 2 v) = 0, pričom vidíme, že naozaj získavame dva (jednoduché) asymptotické smery u 1 = (u 1, v 1 ) = ( 1, 1), u 2 = (u 2, v 2 ) = (2, 1). (2b) Komponenty kužel osečky sú rôznobežky, pretínajú sa v singulárnom bode (strede) a majú asymptotické smery. Ich normálové vektory sú n 1 = (v 1, u 1 ) = (1, 1), n 2 = (v 2, u 2 ) = (1, 2), ich analytické vyjadrenia sú 4. (10b) Určite predpis dotyčníc kužel osečky v jej priesečníkoch s priamkou y 1 = 0. l 1 : x + y 4 = 0, l 2 : x 2 y + 5 = 0. Q: x 2 y 2 4x + 2y + 1 = 0 1 0 2 Q := 0 1 1. 2 1 1
Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku s reálnymi bodmi: = det Q = 2 0 1 0 0 1 = 1 < 0 hyperbolický typ. (3b) Priesečníky kužel osečky s priamkou l: y 1 = 0 sú práve body [x, 1]. Jednoduchým dosadením y = 1 získavame rovnicu x 2 4 x + 2 = 0 a po jej vyriešení máme súradnice priesečníkov P 1 = [2 + 2, 1], P 2 = [2 2, 1]. (2,5b + 2,5b) Dotyčnice v bodoch P 1, P 2 sú ich poláry p 1, p 2 s predpismi 5. (10b) Určite rovnicu priemeru kužel osečky prechádzajúcu bodom A = [1, 0]. p 1 : 2 x 2 2 2 = 0, p 2 : 2 x 2 2 + 2 = 0. Q: x 2 2xy + 2y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 S ktorým smerom v je smer tohto priemeru združený? Existujte nejaký vzt ah medzi v a polárou bodu A? Ak áno, aký a prečo? 1 1 1 Q = 1 2 1. 1 1 1 Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku, jej typ (stredová, nestredová) naznačuje metódu riešenia: = det Q = 4 0 1 1 1 2 = 1 0 stredová eliptického typu. (4b) Určíme rovnicu priemeru l. Máme niekol ko možností, napr. si stačí uvedomit, že každý priemer kužel osečky prechádza jej stredom S. Súradnice S = [ 3, 2] získame vyriešením sústavy x y + 1 = 0, x + 2 y + 1 = 0. Smerovým vektorom l je u = S A = ( 4, 2) (2, 1) a normálovým n = (1, 2). Jednoduchým dopočítaním získame analytické vyjadenie priemeru l: x 2 y 1 = 0.
(2b) Smer u = (2, 1) priemeru l je združený so smerom v = (v 1, v 2 ) práve vtedy, ak u Q v = ( 2 1 0 ) 1 1 1 v 1 1 2 1 v 2 = v 1 = 0, 1 1 1 0 čiže ak v = (0, 1). (1b) Polára bodu A = [1, 0] je zadaná rovnicou A Q X = ( 1 0 1 ) 1 1 1 x 1 2 1 y = 2 x + 2 = 0. 1 1 1 1 (1b) Vidíme, že smer poláry Q(A) má súradnice (0, 2), a teda je lineárne závislý so smerom v. Táto závislost nie je náhodná (veta z prednášky). 6. (5b) Uvažujme kužel osečku Q: x 2 + 4xy y 2 + 6y = 0. Rozhodnite, či bod A = [1, 0] je vnútorným bodom Q. 1 2 0 Q = 2 1 3. 0 3 0 (1b) Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku: = det Q = 9 0. (2b) Bod A = [a 1, a 2 ] roviny leží vonku resp. vo vnútri kužel osečky Q zadanej kvadratickou formou q(x, y) := x 2 + 4xy y 2 + 6y práve vtedy, ak q(a 1, a 2 ) má rôzne resp. rovnaké znamienko ako, t.j. A Int(Q) sgn q(a 1, a 2 ) = sgn q(a 1, a 2 ) < 0, A Ext(Q) sgn q(a 1, a 2 ) sgn q(a 1, a 2 ) > 0. Táto podmienka je zjavne ekvivalentná s podmienkou z prednášky, kedy A Int(Q) q(a 1, a 2 ) > 0, A Ext(Q) q(a 1, a 2 ) < 0. (1b) Po dosadení A = [1, 0] vidíme, že q(1, 0) = 1 > 0. (1b) Bod A = [1, 0] nie je vnútorným bodom kužel osečky.
MIDTERM (B) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [1, 0], u = 2 e 1, v = e 2. Aký predpis bude mat jednotková kružnica Q v súradnicovej sústave S 2 := P, u, v, ak v S 1 má stred v začiatku súradnicovej sústavy O? Riešenie: (2b) Sústava S 2 je určená prvkami P = [1, 0], u = (2, 0), v = (0, 1) resp. maticou M 2 := ( u v P ) 2 0 1 = 0 1 0. 0 0 1 (3b) Pre sústavy S 1 a S 2 platí M 1 X 1 = M 2 X 2, 1 0 0 x 1 2 0 1 x 2 0 1 0 y 1 = 0 1 0 y 2, 0 0 1 1 0 0 1 1 x 1 2 0 1 x 2 y 1 = 0 1 0 y 2, 1 0 0 1 1 čím získavame transformačné rovnice x 1 = 2 x 2 + 1, y 1 = y 2. (2) (2b) Dosadením rovníc (2) do implicitného vyjadrenia jednotkovej kružnice so stredom v začiatku S 1 získavame jej vyjadrenie v súradnicovej sústave S 2 : x 2 1 + y 2 1 1 = 0, (2 x 2 + 1) 2 + (y 2 ) 2 1 = 0, 4 x 2 2 + 4 x 2 + y 2 2 = 0. 2. (8b) Určite analytický predpis asymptot kužel osečky Q: x 2 2xy 3y 2 4x 6y + 3 = 0. 1 1 2 Q = 1 3 3. 2 3 3
Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku hyperbolického typu: = det Q = 21 0 1 1 1 3 = 3 1 = 4 < 0 hyperbolický typ. (1b) Asymptoty prechádzajú stredom S kužel osečky, ktorého súradnice získame vyriešením sústavy rovníc s výsledkom S = [ 3 /4, 5 /4]. x y 2 = 0, x 3 y 3 = 0 (1b+2b) Smerom asymptoty je asymptotický smer u = (u, v) kužel osečky. Jeho súradnice určíme vyriešením rovnice u 2 2 u v 3 v 2 = 0. Ked že ide o hyperbolu, očakávame a aj naozaj získame dve rôzne riešenia u 1 = (u 1, v 1 ) = (3, 1) u 2 = (u 2, v 2 ) = ( 1, 1). Normálovým vektorom asymptoty sú vektory n 1 = (v 1, u 1 ) = (1, 3), n 2 = (v 2, u 2 ) = (1, 1). Dosadením súradníc stredu S = [ 3 /4, 5 /4] do rovníc získavame predpis asymptot 3. (10b) Určite množinu stredov kužel osečky x 3 y + d 1 = 0, x + y + d 2 = 0 a 1 : x 3 y 9 /2 = 0, a 2 : x + y + 1 /2 = 0. Q: x 2 + xy 2y 2 x + 13y 20 = 0. Sú medzi nimi singulárne body? Ak áno, určite ich súradnice. Kol ko reálnych komponentov má kužel osečka? Aké sú ich analytické predpisy? 1 1/2 1 /2 2 1 1 Q 1 := 1/2 2 13/2 1 4 13 =: Q 2. 1 /2 13/2 20 1 13 40 Pre zjednodušenie výpočtov a zápisov budeme používat maticu Q 2.
Na základe = det Q 2 = 0, 2 1 1 4 = 8 1 = 9 < 0. vidíme, že ide o singulárnu kužel osečku hyperbolického typu. (2b) Stredom kužel osečky je bod S = [ 1, 3], lebo jeho súradnice sú riešením sústavy rovníc 2 x + y 1 = 0, x 4 y + 13 = 0. (1b) Súradnice bodu S navyše vyhovujú i rovnici x + 13 y 40 = 0, a teda bod S je singulárnym bodom kužel osečky. (1b) Singulárna kužel osečka hyperbolického typu je tvorená dvoma reálnymi rôznobežkami. Tieto priamky sú hl adané komponenty, ich počet je teda dva. (2b) Smerový vektor každého z komponentov je asymptotickým smerom kužel osečky. Ich súradnice získame vyriešením rovnice 2 u 2 + 2 u v 4 v 2 = 0, u 2 + u v 2 v 2 = 0, (u v) (u + 2 v) = 0, pričom vidíme, že naozaj získavame dva (jednoduché) asymptotické smery u 1 = (u 1, v 1 ) = (1, 1), u 2 = (u 2, v 2 ) = ( 2, 1). (2b) Komponenty kužel osečky sú rôznobežky, pretínajú sa v singulárnom bode (strede) a majú asymptotické smery. Ich normálové vektory sú n 1 = (v 1, u 1 ) = (1, 1), n 2 = (v 2, u 2 ) = (1, 2), ich analytické vyjadrenia sú 4. (10b) Určite predpis dotyčnice kužel osečky v jej priesečníkoch s priamkou y + 1 = 0. l 1 : x y + 4 = 0, l 2 : x + 2 y 5 = 0. Q: x 2 y 2 + 4x 2y + 1 = 0 1 0 2 Q := 0 1 1. 2 1 1
Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku s reálnymi bodmi: = det Q = 2 0 1 0 0 1 = 1 < 0 hyperbolický typ. (3b) Priesečníky kužel osečky s priamkou l: y+1 = 0 sú práve body [x, 1]. Jednoduchým dosadením y = 1 získavame rovnicu x 2 + 4 x + 2 = 0 a po jej vyriešení máme súradnice priesečníkov P 1 = [ 2 + 2, 1], P 2 = [ 2 2, 1]. (2,5b + 2,5b) Dotyčnice v bodoch P 1, P 2 sú ich poláry p 1, p 2 s predpismi 5. (10b) Určite rovnicu priemeru kužel osečky prechádzajúcu bodom A = [0, 1]. p 1 : 2 x + 2 2 2 = 0, p 2 : 2 x + 2 2 + 2 = 0. Q: x 2 2xy + 2y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 S ktorým smerom v je smer tohto priemeru združený? Existujte nejaký vzt ah medzi v a polárou bodu A? Ak áno, aký a prečo? 1 1 1 Q = 1 2 1. 1 1 1 Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku, jej typ (stredová, nestredová) naznačuje metódu riešenia: = det Q = 4 0 1 1 1 2 = 1 0 stredová eliptického typu. (4b) Určíme rovnicu priemeru l. Máme niekol ko možností, napr. si stačí uvedomit, že každý priemer kužel osečky prechádza jej stredom S. Súradnice S = [ 3, 2] získame vyriešením sústavy x y + 1 = 0, x + 2 y + 1 = 0. Smerovým vektorom l je u = S A = ( 3, 3) (1, 1) a normálovým n = (1, 1). Jednoduchým dopočítaním získame analytické vyjadenie priemeru l: x y + 1 = 0.
(2b) Smer u = (1, 1) priemeru l je združený so smerom v = (v 1, v 2 ) práve vtedy, ak u Q v = ( 1 1 0 ) 1 1 1 v 1 1 2 1 v 2 = v 2 = 0, 1 1 1 0 čiže ak v = (1, 0). (1b) Polára bodu A = [0, 1] je zadaná rovnicou A Q X = ( 0 1 1 ) 1 1 1 x 1 2 1 y = 3 y + 2 = 0. 1 1 1 1 (1b) Vidíme, že smer poláry Q(A) má súradnice (3, 0), a teda je lineárne závislý so smerom v. Táto závislost nie je náhodná (veta z prednášky). 6. (5b) Uvažujme kužel osečku Q: x 2 + 4xy y 2 + 6y = 0. Rozhodnite, či bod A = [1, 0] je vonkajším bodom Q. 1 2 0 Q = 2 1 3. 0 3 0 (1b) Úloha má zmysluplné riešenie pre regulárnu kužel osečku: = det Q = 9 0. (2b) Bod A = [a 1, a 2 ] roviny leží vonku resp. vo vnútri kužel osečky Q zadanej kvadratickou formou q(x, y) := x 2 + 4xy y 2 + 6y práve vtedy, ak q(a 1, a 2 ) má rôzne resp. rovnaké znamienko ako, t.j. A Int(Q) sgn q(a 1, a 2 ) = sgn q(a 1, a 2 ) < 0, A Ext(Q) sgn q(a 1, a 2 ) sgn q(a 1, a 2 ) > 0. Táto podmienka je zjavne ekvivalentná s podmienkou z prednášky, kedy A Int(Q) q(a 1, a 2 ) > 0, A Ext(Q) q(a 1, a 2 ) < 0. (1b) Po dosadení A = [1, 0] vidíme, že q(1, 0) = 1 > 0. (1b) Bod A = [1, 0] je vonkajším bodom kužel osečky.