PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková

aaaa aaaa

Táto publikácia vznikla za finančnej podpory z Európskeho sociálneho fondu v rámci Operačného programu VZDELÁVANIE. Prioritná os 1 Reforma vzdelávania a odbornej prípravy Opatrenie 1. Vysoké školy a výskum a vývoj ako motory rozvoja vedomostnej spoločnosti. Názov projektu: Balík inovatívnych prvkov pre reformu vzdelávania na TUKE Autori: Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková ISBN 978-80-55-11-4 Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. Za odbornú a obsahovú stránku zodpovedajú autori.

aaaa aaaa

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková

aaaa aaaa

Obsah Predhovor 6 1 Základné poznatky o číselných množinách 7 1.1 Prirodzené, celé, racionálne a iracionálne čísla........................... 7 1. Reálne čísla.............................................. 8 1. Komplené čísla........................................... 11 1.4 Testy.................................................. 16 1.4.1 Test 1............................................. 16 1.4. Test............................................. 17 1.4. Test............................................. 18 1.4.4 Test 4............................................. 19 Algebraické výrazy 0.1 Pojem výrazu, definičný obor výrazu................................ 0. Mnohočleny............................................... Racionálne lomené výrazy...................................... 9.4 Iracionálne výrazy...........................................5 Testy.................................................. 6.5.1 Test 1............................................. 6.5. Test............................................. 7.5. Test............................................. 8.5.4 Test 4............................................. 9 Funkcie vlastnosti funkcií, elementárne funkcie 40.1 Pojem funkcie, definičný obor funkcie............................... 40. Ohraničenosť funkcie......................................... 44. Periodickosť funkcie......................................... 44.4 Párnosť, nepárnosť funkcie...................................... 45.5 Monotónnosť a lokálne etrémy funkcie.............................. 47.6 Prostosť funkcie............................................ 48.7 Inverzná funkcia........................................... 50.8 Elementárne funkcie......................................... 5.9 Testy.................................................. 6.9.1 Test 1............................................. 6.9. Test............................................. 6.9. Test............................................. 64.9.4 Test 4............................................. 65 4 Rovnice a nerovnice 66 4.1 Lineárne rovnice a nerovnice..................................... 67 4. Kvadratické rovnice a nerovnice.................................. 70 4. Eponenciálne rovnice a nerovnice................................. 7 4.4 Logaritmické rovnice a nerovnice.................................. 77 4.5 Iracionálne rovnice a nerovnice................................... 80

4.6 Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou............................ 84 4.7 Rovnice a nerovnice s parametrom................................. 88 4.8 Sústavy rovníc a nerovníc...................................... 94 4.9 Definičný obor zložitejších funkcií.................................. 97 4.10 Testy.................................................. 101 4.10.1 Test 1............................................. 101 4.10. Test............................................. 10 4.10. Test............................................. 10 4.10.4 Test 4............................................. 104 5 Goniometria 105 5.1 Goniometrické funkcie........................................ 105 5. Goniometrické rovnice a nerovnice................................. 11 5. Testy.................................................. 118 5..1 Test 1............................................. 118 5.. Test............................................. 119 5.. Test............................................. 10 5..4 Test 4............................................. 11 6 Postupnosti 1 6.1 Postupnosti.............................................. 1 6. Aritmetická postupnosť....................................... 15 6. Geometrická postupnosť....................................... 18 6.4 Nekonečný rad a jeho súčet..................................... 1 6.5 Testy.................................................. 14 6.5.1 Test 1............................................. 14 6.5. Test............................................. 15 6.5. Test............................................. 16 6.5.4 Test 4............................................. 17 7 Kombinatorika 18 7.1 Variácie................................................ 18 7.1.1 Variácie bez opakovania................................... 18 7.1. Variácie s opakovaním.................................... 19 7. Permutácie.............................................. 141 7..1 Permutácie bez opakovania................................. 141 7.. Permutácie s opakovaním.................................. 14 7. Kombinácie, binomická veta..................................... 14 7..1 Kombinácie bez opakovania................................. 14 7.. Kombinácie s opakovaním.................................. 145 7.. Binomická veta........................................ 146 7.4 Testy.................................................. 149 7.4.1 Test 1............................................. 149 7.4. Test............................................. 150 7.4. Test............................................. 151 4

7.4.4 Test 4............................................. 15 8 Analytická geometria v rovine 15 8.1 Vektory................................................ 154 8. Priamka v rovine........................................... 158 8. Kužeľosečky.............................................. 165 8.4 Testy.................................................. 175 8.4.1 Test 1............................................. 175 8.4. Test............................................. 176 8.4. Test............................................. 177 8.4.4 Test 4............................................. 178 Použitá literatúra 179 5

Predhovor Súčasná doba kladie veľký dôraz na dosiahnutie vysokoškolského vzdelania. Zo spoločenských potrieb sa do popredia opäť dostávajú smery technického zamerania. Zvládnutie štúdia technických disciplín a potom následné pretavenie získaných vedomostí a skúseností do prae sa nemôže zaobísť bez kvalitného matematického základu. Jednou z najčastejších príčin zanechania štúdia na vysokých školách je práve nezvládnutie matematických predmetov. Cieľom tejto zbierky je zopakovať a prehĺbiť tie poznatky zo stredoškolskej matematiky, ktorých poznanie je dôležité pre základný kurz vysokoškolskej matematiky. Zbierka je rozdelená do 8 kapitol. Každá kapitola obsahuje množstvo podrobne riešených príkladov a neriešených úloh rôznej obtiažnosti s uvedenými výsledkami. V kapitolách je uvedený teoretický základ učiva, ktorý má slúžiť ako pomôcka pri riešení úloh. Na konci každej kapitoly sú štyri testy, pričom vyriešenie týchto testov pomôže čitateľovi zorientovať sa v tom, či zvláda príslušnú tematickú oblasť. Sme presvedčení, že prepočítanie tejto zbierky prispeje k bezproblémovému štúdiu a úspešnému zvládnutiu skúšok z matematických predmetov nielen na Technickej univerzite v Košiciach, ale aj na iných vysokých školách technického zamerania. Čitateľovi by sme tiež radi dali do pozornosti publikáciu Podporný kurz zo základov vysokoškolskej matematiky, M. Andrejiová, Z. Kimáková, TUKE, Košice 01. Ako už jej názov napovedá, zbierka obsahuje rozsiahly materiál základného kurzu vysokoškolskej matematiky. Spoločnou snahou týchto dvoch zbierok je prispieť k odbúraniu strachu a stresu z matematiky a poukázať na to, že matematika môže byť zaujímavá a zábavná. Chceli by sme sa poďakovať RNDr. Zuzane Kimákovej, PhD. a Mgr. Marcele Lascsákovej, PhD. za starostlivé prečítanie tetu a prepočítanie príkladov a úloh a množstvo pripomienok a návrhov, ktoré výraznou mierou prispeli ku skvalitneniu tejto zbierky. Košice, jún 01 autori 6

1 Základné poznatky o číselných množinách Číselnou množinou nazývame takú množinu, ktorej všetky prvky sú čísla. 1.1 Prirodzené, celé, racionálne a iracionálne čísla Prirodzené čísla... N... N = {1,,,... } Množina všetkých prirodzených čísel je uzavretá vzhľadom na operácie sčítania a násobenia. Celé čísla... Z... Z = {...,,, 1, 0, 1,,,... } Množinu celých čísel dostaneme rozšírením množiny prirodzených čísel o nulu a opačné čísla k prirodzeným číslam. Množina všetkých celých čísel je uzavretá vzhľadom na operácie sčítania, odčítania a násobenia. Racionálne čísla... Q Každé racionálne číslo sa dá zapísať v tvare podielu p, p Z, q N, q teda v tvare zlomku. Číslo p nazývame čitateľ a číslo q menovateľ zlomku. Tento spôsob zápisu však nie je jednoznačný. Medzi všetkými zlomkami, ktorými môžeme zapísať dané racionálne čislo, eistuje jeden, ktorého čitateľ je nesúdeliteľný s menovateľom. Hovoríme, že racionálne číslo je zapísané zlomkom v základnom tvare. Množina všetkých racionálnych čísel je uzavretá vzhľadom na operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Príklad 1.1. Zlomky 1, 4, 5 10, 100 označujú to isté racionálne číslo. 00 Pravidlá pre počítanie so zlomkami. Nech a, c Z, b, d N, c 0. Platí. sčítanie (odčítanie) zlomkov násobenie zlomkov delenie zlomkov a b ± c ad ± bc = d bd a b c d = ac bd a b : c d = a b d c = ad bc Príklad 1.. Vypočítajme. a) 4 + 7 6 = + 7 = 9 + 14 1 1 = 1. b) 5 + = + 5 + 10 = = 7 5 5 5. c) 5 9 = 5 9 = 5 = 1 5 1 = 15. d) 4 : 7 8 = 4 8 7 = 4 4 = 7 1 1 = 6 7 7. Iracionálne čísla... I Iracionálne čísla sú čísla, ktoré sa nedajú zapísať v tvare zlomku p, p Z, q N. Príkladom iracionálnych q čísel sú,, π, sin 10, e,... 7

Úlohy 1.1. Vypočítajte. a) 1 + 1. b) 4 1. c) 5 6 1. d) 1 + 1. e) 1. f) 1 +. g) 1. h) + 1. i) + 1. j) 4 1. 1.. Vypočítajte a zjednodušte. a) 5 + 5 1. b) 4 7 6. c) 8 6 10. d) 6 5 + 5 6. e) 4 5. f) 9 ( 14 7 ). g) 6 5 : 6 10. h) 5 :. i) 8 :. j) Výsledky 4 15. 6 5 1.1. a). b) 1 4. c) 1 6. d) 1. e) 5. f) 5. g) 1. h) 1. i) 5. j) 7 4. 1.. a) 49. b) 60 1. c) 9 61. d) 40 0. e) 10. f) 4. g) 1. h). i) 1. 10 j) 9. 1. Reálne čísla Reálne čísla... R Množina, ktorá obsahuje všetky racionálne a iracionálne čísla, sa nazýva množina reálnych čísel. Medzi jednotlivými množinami platia nasledujúce vzťahy N Z Q R, Q I = R, Q I =. Množina všetkých reálnych čísel je uzavretá vzhľadom na operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Pre operácie s reálnymi číslami platia tieto pravidlá. Nech a, b, c R. Pravidlá pre vzťah rovnosti a = a refleívnosť a = b b = a symetrickosť a = b, b = c a = c tranzitívnosť Pravidlá pre sčítanie a + b = b + a komutatívnosť (a + b) + c = a + (b + c) asociatívnosť a + 0 = 0 + a = a eistencia nulového prvku a R, b R : a + b = 0 eistencia opačného prvku k prvku a, označenie b = a 8

Pravidlá pre násobenie ab = ba komutatívnosť (ab)c = a(bc) asociatívnosť a 1 = 1 a = a eistencia jednotkového prvku a R {0}, b R : a b = 1 eistencia inverzného prvku k prvku a, označenie b = 1 a (a + b)c = ac + bc distributívnosť Na množine reálnych čísel je definovaná relácia usporiadania, teda reálne čísla sú usporiadané podľa veľkosti. Na označenie usporiadania sa používa vzťah menší <, respektíve väčší >. Absolútna hodnota reálneho čísla. Ku každému reálnemu číslu a môžeme priradiť práve jedno nezáporné reálne číslo, ktoré označujeme a a nazývame absolútna hodnota čísla a. Platí a = { a, ak a 0 a, ak a < 0. Absolútna hodnota čísla a vyjadruje jeho vzdialenosť od nuly. Príklad 1.. Platí 4 = 4, =, 0 = 0,, 7 =, 7, π = π. Okrem sčítania, odčítania, násobenia a delenia môžeme reálne čísla aj odmocňovať. Mocniny... n-tá mocnina čísla a... a n a základ mocniny (mocnenec) n eponent (mocniteľ) mocniny s prirodzeným eponentom... a 1 = a, a n+1 = a a n a R, n N mocniny s celočíselným eponentom a R, n Z... Ak n = 0, a 0, tak definujeme a 0 = 1.... Ak n < 0, a 0, tak definujeme a n = 1 a n. odmocniny a R, n N... Ak a > 0, tak n-tá odmocnina čísla a je také kladné reálne číslo, pre ktoré platí n = a. Číslo označujeme symbolom n a alebo a 1 n.... Ak a < 0 a n je nepárne, tak definujeme n a = n a. mocniny s racionálnym eponentom... a p q = q a p = ( q a ) p a R, a > 0, p Z, q N mocniny s reálnym eponentom a, r R, a > 0... a r 9

Pravidlá pre počítanie s mocninami Príklad 1.4. Vypočítajme. ( a) ( ) + 7 ( ) 1 ( ) 1 1 4 b) + 9 a m a n = a m+n a m n = n a m a m : a n = a m n n a b = n a n b a (a m ) n = a m n n n b = a n b n a n m a 0 = 1 m b = a m a m n m b = n m n b n a n = 1 a n ( n a m) = n a m (a b) m = a m b m ( ) n a = an b b ( ) n n ( ) n a b = b a ( n a ) n = a ) 0 = 4 + 1 1 = 4 + 1 4 1 = 4 + 1 4 = 1 + ( 9 4 = 1 4. ) 1 9 = + 4 = + = + = 7. Úlohy 1.. Vypočítajte. a) 0. b). c) 5. d) 10 4. e) 5 10. f) 1. g) 4. h) 8. i) 4 1. j) 4 1. 1.4. Vypočítajte. a) 64. b) 7. c) ( 1) n. d) ( 1) n+1. e) f) ( ) 1 4. 9 ( ) 1 ( ) 1 4 7 8. g). h) 18. i) 9 8 5. j) ( 8 ) 1. 1.5. Vypočítajte. a) 0. b) 4 1. c) 5. d) ( ) 4. e) ( ) 6. f) 8 4. g) 6 5. h) k) ( ). l) 1.6. Vypočítajte. a) 16 1 4 8 1 ( ) 4 1. m) ( ). i) 9 1. j) 16 1. ( ) 1 5 9. n) ( 15 64 ) 1. o) ( 4 81 ).. b) 65 5. c) 4 7. d) 4 16. e) 4 4 4. ( ) ( 1 ) 1 1 4 f). g) 6. h) 81 1 + 16 1 4. i) 15 1 5 1. j) 0 1 4 0 4. 144 10

k) 18 1. l) 4 : 4. m) 1.7. Zjednodušte. (1 4 ) + 81 1. n) 8 16 15. o) 9 7 4. a) 5 1 5 0,4 15 5 4 5. b) 6, 4 56 0, 49. c) ( 7) 15 (5 1 4 9 1 8 ) 9 7. d) 5 + 6 + 7. e) + 4 + 7 5 + 6 + 8. f) 50 + ( ) 1 1. 5 g) 7 1 + 1 1. h) + 50. i) 16 + 1 54 + 50. Výsledky 1.. a) 1. b) 8. c). d) 0 000. e) 0, 005. f) 1. g). h) Neeistuje. i). j) 1. 1.4. a) 4. b). c) 1. d) 1. e). f). g). h). i) 5. j) 1 4. 1.5. a) 1. b) 1 4. c) 1 15. d) 1 81. e) 1 64. f) 16. g) 65. h) 4 9. i). j) 1 4. k) 8 7. l) 1 16. m) 5. n) 4. o) 9. 5 1.6. a) 1. b) 15. c) 81. d) 8. e) 1. f) 11 8. g) 1. h) 11. i) 5. j) 0. k) 6 6. l) 5. m) 5. n). o) 1 9. 1.7. a) 5 7. b) 8 5. c) 5. d) 7 5. e) 19 44. f) 6. g) 5. h) 9. i) 45. 1. Komplené čísla Komplené čísla sú čísla tvaru z = a + bi, kde a, b R a i je imaginárna jednotka. Platí i = 1. Číslo a nazývame reálna časť kompleného čísla z, číslo b nazývame imaginárna časť kompleného čísla z. Označujeme a = Re z, b = Im z. Ak b = 0, t. j. z = a + 0i = a, tak dostávame reálne číslo. Ak a = 0, t. j. z = 0 + bi = bi, tak komplené číslo nazveme rýdzo imaginárne. Dve komplené čísla z 1 = a 1 + b 1 i, z = a + b i sa rovnajú, ak sa rovnajú ich reálne a imaginárne časti, teda ak a 1 = a a b 1 = b. Ku každému komplenému číslu z = a + bi môžeme priradiť číslo komplene združené (konjugované) z = a bi. 11

Pre počítanie s komplenými číslami platí. sčítanie (odčítanie) komplených čísel násobenie komplených čísel delenie komplených čísel (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i a + bi c + di = a + bi c + di c di (ac + bd) + (bc ad)i = c di c + d Príklad 1.5. Vypočítajme. a) ( + 5i) + ( + i) = ( ) + (5 + )i = 1 + 7i. b) (5 i) (6 + i) = (5 6) + ( )i = 1 5i. c) (1+i) ( i) = 1 1 i+i i i = i+4i 6i = +i 6 ( 1) = +i+6 = 8+i. d) + 5i 1 + i = + 5i 1 + i 1 i 6i + 5i 15i = 1 i 1 9i = i + 15 = 17 i = 17 1 + 9 10 10 1 10 i. Pre mocniny imaginárnej jednotky i dostávame i 1 = i, i = 1, i = i i = i ( 1) = i, i 4 = i i = i ( i) = 1, i 5 = i i 4 = i 1 = i, i 6 = i i 5 = i i = 1,. Pre každé nezáporné celé číslo k teda platí. i 4k = 1 i 4k+1 = i i 4k+ = 1 i 4k+ = i Príklad 1.6. Platí i 17 = i 4 1+ = i 4 1 i = 1 i = i = i. Okrem algebraického tvaru kompleného čísla z = a + bi poznáme aj jeho goniometrický tvar z = z (cos ϕ + i sin ϕ), kde z = a + b a cos ϕ = a z, sin ϕ = b. Číslo z nazývame absolútnou hodnotou alebo modulom z kompleného čísla. Číslo ϕ nazývame argumentom alebo amplitúdou kompleného čísla. Súvis medzi týmito tvarmi je zrejmý, ak zakreslíme komplené číslo do Gaussovej roviny komplených čísel, pozri Obr. 1.1. Os sa nazýva reálna os, os y sa nazýva imaginárna os. Každému bodu tejto roviny zodpovedá jedno komplené číslo z = a + bi, pričom a je -ová súradnica a b je y-ová súradnica tohto bodu. Body, ktoré sa nachádzajú na -ovej osi reprezentujú reálne čísla, na y-ovej osi sa nachádzajú rýdzoimaginárne čísla. Absolútna hodnota kompleného čísla z predstavuje vzdialenosť bodu znázorňujúceho komplené číslo z od počiatku súradnicového systému O, odpovedá teda dĺžke úsečky Oz. Argument kompleného čísla ϕ predstavuje uhol, ktorý zviera úsečka Oz s kladnou časťou reálnej osi, pričom veľkosť uhla uvažujeme v smere proti pohybu hodinových ručičiek. 1

Im b z = a + bi z ϕ O a Re Obr. 1.1: Gaussova rovina komplených čísel. Príklad 1.7. Zapíšme dané komplené číslo v goniometrickom tvare. a). b). c) i. d) 1 i. Riešenie. Pri riešení využijeme vzorce a) Keďže = + 0i, dostávame z = a + b, cos ϕ = a z, sin ϕ = b z. = + 0 = 4 =, cos ϕ = = 1, sin ϕ = 0 = 0. Zrejme ϕ = 0. Teda = (cos 0 + i sin 0). b) Pre = + 0i, dostávame = ( ) + 0 = 9 =, cos ϕ = = 1, sin ϕ = 0 = 0, teda ϕ = π. Potom = (cos π + i sin π). c) Uvažujme komplené číslo i = 0 + i, potom i = 0 + = 4 =, cos ϕ = 0 = 0, sin ϕ = = 1. Riešením je ϕ = π. Teda ( i = cos π + i sin π ). d) Pre modul kompleného čísla 1 i platí Argument získame riešením sústavy rovníc cos ϕ = 1 = Ľahko sa zistí, že riešením je ϕ = 7π 4. Teda 1 i = 1 + ( 1) =., sin ϕ = 1 =. 1 i = ( cos 7π 4 + i sin 7π ). 4 Poznamenajme, že pri vyjadrení argumentu ϕ môžene použiť napríklad kalkulačku. Riešeniu goniometrických rovníc sa budeme podrobnejšie venovať v 5. kapitole Goniometria. 1

Na Obr. 1. sú znázornené komplené čísla z 1 =, z =, z = i a z 4 = 1 i. Im z = i π π z = 7π 4 z 1 = z 4 = 1 i Re Obr. 1.: Komplené čísla z 1 =, z =, z = i a z 4 = 1 i v Gaussovej rovine komplených čísel. Príklad 1.8. Zapíšme komplené číslo ( cos 4π + i sin 4π ) v algebraickom tvare. Riešenie. ( cos 4π + i sin 4π ) = ( 1 ) i = i. Násobenie, delenie a umocňovanie komplených čísel je jednoduchšie, ak sú dané čísla zapísané v goniometrickom tvare. Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) sú komplené čísla. Platí násobenie komplených čísel z 1 z = z 1 z ( cos(ϕ 1 + ϕ ) + i sin(ϕ 1 + ϕ ) ) delenie komplených čísel umocňovanie komplených čísel (Moivreov vzorec) z 1 = z 1 ( cos(ϕ1 ϕ ) + i sin(ϕ 1 ϕ ) ) z z z n = ( z (cos ϕ + i sin ϕ) ) n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Príklad 1.9. Vypočítajme (1 i) 1. Riešenie. Podľa Príkladu 1.7 d) platí 1 i = ( cos 7π 4 +i sin 7π ). Využitím Moivreovho vzorca dostávame 4 (1 i) 1 = ( ( 1 cos 1 7π ) ( + i sin 1 7π )) = 6 (cos 1π + i sin 1π) = 6 ( 1 + i 0) = 6 = 64. 4 4 Využijúc vzťah e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, dostaneme eponenciálny tvar kompleného čísla z = z e iϕ. Úlohy 1.8. Vypočítajte. a) i ( i). b) ( + 7i) + ( 4i). c) ( + 5i) (1 6i). d) (6 + 7i) ( 4 + i). e) i ( 4i). f) ( + i) (4 7i). g) ( + 5i) ( i). h) (1 + i) (1 + i). i) 4 i. j) + i. k) + 5i i i. l) 1 i + i. 1.9. Zapíšte nasledujúce komplené čísla v goniometrickom tvare. a) 5. b) 7. c) i. d) 4i. e) + i. f) i. g) + i. h) i. i) 1 + i. j) 1 i. 14

1.10. Zapíšte dané komplené čísla v algebraickom tvare. a) ( cos π + i sin π ). b) 4(cos 0 + i sin 0). c) ( cos 7 6 π + i sin 7 6 π). 1.11. Vypočítajte. a) (5 ( 0 cos 710π + i sin 710π)). b) ( 1 i ) 7. c) (1 + i) 5. d) ( + i ) 14. Výsledky 1.8. a) + i. b) 5 + i. c) 9 + 11i. d) 18 + i. e) 8. f) 9 i. g) 11 + 1i. h) 1 + i. i) 4i. j) 1 i. k) 1 5 + 1 5 i. l) 1 5 5 i. 1.9. a) 5(cos 0 + i sin 0). b) 7(cos π + i sin π). c) ( cos π + i sin ) ( π. d) 4 cos π + i sin π e) ( cos π 4 + i sin ) ( π 4. f) cos 7π 4 + i sin ) ( 7π 4. g) cos π 4 + i sin ) π 4. h) ( cos 5π 4 + i sin ) ( 5π 4. i) cos π + i sin ) ( π. j) 1 cos 5π + i sin ) 5π. 1.10. a) i. b) 4. c) i. 1.11. a) 5 0. b) 6( 1 i ). c) 17 ( 1 + i). d) 1( 1 i ). ). 15

1.4 Testy 1.4.1 Test 1 V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede. 1.1. Racionálne číslo 45 75 označuje to isté číslo ako zlomok A) 5. B) 5. C) 6 10. D) 9 5. 1.. Správne usporiadanie čísel + 1, 5 4 1 a 8 : 9 je A) 5 4 1 = 8 : 9 < + 1. B) 5 4 1 < 8 : 9 < + 1. C) 5 4 1 < + 1 < 8 : 9. D) + 1 < 5 4 1 < 8 : 9. ( ) 8 1 4 1.. Číslo sa dá zjednodušiť na tvar 8 5 4 A) 16 45. B) 15 4. C) 4 45. D) 8 5 0 4. 1.4. Číslo 81 1 4 1 sa rovná číslu A). B) ( ) 4. C) 4. D) ( ) 4. 1.5. Delením komplených čísel ( + 4i) a ( + i), v danom poradí, dostaneme číslo A) i. B) 1 + i. C) + i. D) i. Správne odpovede: B a C, A, B, D, C. 16

1.4. Test V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede. 1. Racionálne číslo 81 7 označuje to isté číslo ako A) 9. B) 9. C). D).. Číslo ( ) 1 8 16 sa dá zjednodušiť na tvar A) 5. B) 5. C) 1. D). 5 5 je. Správne usporiadanie čísel 5, 1 5, 1 5 a A) 5 < 1 5 = 1 5 < 5 5. B) 1 5 < 1 < 5 C) 1 5 < 1 5 = 5 5 < 5. D) 5 5 < 5. 5 5 1 5 < 5 < 1 5. 4. Delením komplených čísel (1 + i) a ( + i), v danom poradí, dostaneme číslo A) + 4i. B) 6 + 8i 5 10. C) 1. D) i. 5. Vyznačte číslo, ktoré patrí do množiny prirodzených čísel 5 A). B) ( ) 4. C) 4 81. D) ( ). Správne odpovede: B, A a D, C, A a B, C. 17

1.4. Test V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede. 1. Číslo 1 + 4 ( ) + 6 1 patrí do množiny A) N. B) R. C) Z. D) 0,.. Správne usporiadanie čísel 1, 9 : 7 a 9 4 + + 1 1 je A) 1 = 9 : 7 = 9 4 + + 1 1. B) 1 < 9 : 7 < 9 4 + + 1 1. C) 9 4 + + 1 1 < 1 9 : 7. D) 9 : 7 1 9 4 + + 1 1.. Vynásobením komplených čísel ( + i) a (4 i) dostaneme číslo A) 1 i. B) 14 + 5i. C) 10 + 5i. D) 14 5i. 7 4. Číslo 7 sa dá zjednodušiť na tvar 1 A) 1. B). C). D) 1, 5. 5. Algebraický tvar kompleného čísla ( cos π + i sin π ) je A) i. B) 1 + i. C) + i. D) i. Správne odpovede: B a C, B, B, C a D, A. 18

1.4.4 Test 4 V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede. 1. Racionálne číslo 56 48 označuje to isté číslo ako A) 16. B) 16. C) 4. D) 64 1.. Algebraický tvar kompleného čísla 1 10i (4 + i) ( i) je A) 11 i. B) 10. C) 10. D) 11i. ( ) 0,5 15 7. Číslo sa dá zjednodušiť na tvar 5 48 A) 9 4. B). C). D) 5. 4. Správne usporiadanie čísel 5 4, 1 : 6 5 a 5 6 + je A) 5 4 < 1 : 6 5 < 5 6 +. B) 5 4 = 5 6 + = 1 : 6 5. C) 5 4 < 5 6 + < 1 : 6 5. D) 5 6 + < 1 : 6 5 5 4. 5. Úpravou výrazu 5 4 + ( ) + 1 dostaneme číslo, ktoré patrí do množiny A) N. B) R. C) I. D) Z. Správne odpovede: A a D, B, C, C, A a B a D. 19

Algebraické výrazy.1 Pojem výrazu, definičný obor výrazu Algebraický výraz je výraz, ktorý je vytvorený z čísel, premenných, znakov matematických operácií a výsledkov operácií. Definičný obor výrazu je množina všetkých takých hodnôt premenných, pre ktoré má algebraický výraz zmysel. Pri určovaní definičného oboru výrazu sledujeme obdobné podmienky ako pri definičnom obore funkcie, viď tiež. kapitolu Funkcie. 1. Výraz v menovateli zlomku musí byť rôzny od nuly.. Pre reálne výrazy musí byť pod párnou odmocninou nezáporný výraz. Pod úpravou výrazu rozumieme nahradenie výrazu iným výrazom, ktorý sa mu na danej množine rovná a má žiadaný tvar. Zjednodušenie výrazu je úprava, po ktorej dostaneme výraz s menším počtom zátvoriek, členov a premenných. Príklad.1. Zjednodušme výrazy a určme, kedy majú zmysel. a). b) 1 ( 1 Riešenie. ). c) + 4. d) 1 a) = =. Keďže výraz obsahuje zlomok, je definovaný len pre 0. b) 1 ( 1 ) = 1 = 1 + 1 = 7. + ( + + )( 1). Daný výraz obsahuje zlomok a párnu odmocninu. Musia byť teda splnené nasledujúce dve podmienky. I. podmienka pre zlomok... 0. II. podmienka pre párnu odmocninu... 0. Keďže podmienky I. a II. musia platiť súčasne, dostávame > 0. c) + 4 1 d) = ( 1)( + 4) ( + 4) = ( 1)( + 1) ( + 1). Vzhľadom k tomu, že menovateľ zlomku musí byť rôzny od nuly dostávame podmienku 1 0 ( 1)( + 1) 0 ±1. + ( + + )( 1) = ( + ) ( + ) ( + 1)( + )( 1) = ( + )( 1) ( + )( 1) = 1. Aj v tomto prípade musí byť menovateľ zlomku nenulový, teda ( + + )( 1) 0 ( + 1)( + )( 1) 0, ±1. Dva algebraické výrazy sa rovnajú na nejakej množine M, keď pre všetky prípustné hodnoty premenných nadobúdajú oba výrazy rovnakú hodnotu. Príklad.. Napríklad výrazy a sa nerovnajú na množine nezáporných reálnych čísel. Rovnajú sa však napríklad na množine kladných reálnych čísel. Poznamenajme, že množina kladných reálnych čísel je najväčšia množina, na ktorej sa tieto výrazy rovnajú, keďže výraz je definovaný pre 0, ) a výraz je definovaný pre (0, ). 0

Výpočet hodnoty algebraického výrazu vykonáme dosadením daných hodnôt premenných za jednotlivé premenné a vyčíslime takto vzniknutý číselný výraz. Príklad.. Určme hodnoty nasledujúcich výrazov pre dané. a) 4 ln pre =. b) + pre = 1. c) e ( 1) pre = 0. Riešenie. a) 4 ( )( + ) + = = + = = = 0. = = b) ln = ln 1 =1 1 = 0 1 = 0. c) e ( 1) =0 = e 0 (0 1) = 1 (0 1) = 1. Úlohy.1. Upravte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú výrazy zmysel. a). b) ( ) ab. c) a b 1. d) [ ( ab ) : (b a) ] ( b a ). e) + 5 5. f) ( ) a b 1 4 (a ) 1 b 1 8... Upravte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú výrazy zmysel. ( ) ( a) ( ) ( ) 5. b) ( ) d) 1 ( 1 15 ( 5) ( ) ) 5. e) 5 ( 1 1 ) ) 5. c) (y) 1 ( y) 1 (y ). f) y y 4. y.. Zjednodušte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú výrazy zmysel. a) 5y z 15 y z. b) 4 y z 4 ( ) y 1 6yz. c) 8. y ( yz ) ( d) 4 y 5 z. e) ab 16a a 4 b : b 9 a 7ab ) ( ) y ( 4 b. ) y f) 16 y y..4. Nájdite najväčšiu množinu, na ktorej sa nasledujúce výrazy rovnajú. a), ( ). b) 9, +. c) 1 + 1, 1. d) ( 4) ( + 4), 16..5. Stanovte hodnoty výrazov pre dané. a) 6 6 6 pre =, =. b) 1 pre =, =. c) e ( ) pre = 0, =. d) e ( 1) pre = 0, = 1.. e) 4 + 1 ( 1) pre = 0, = 1. f) ln ln pre = e, = e. g) 6 ( + 1) pre = 0, = 1. h) e 1 ( + 1) 4 pre = 0, = 1. 1

Výsledky.1. a), > 0. b) 1 6, > 0. c) (ab) 6, a 0, b 0. d) b 5 a 5, a 0, b 0. e) 4, > 0. f) ab, a 0, b 0... a) () 7, R. b) 4 4, 0. c) 1 y, > 0, y > 0. d) 45, 0. e), > 0. f) y, 0, y 0... a) 5z, 0, y 0, z 0. b) 7y z, 0, y 0, z 0. c) 4, 0, y 0. y d) 6 y 1 z, 0, y 0, z 0. e) b 48a 5, 0, a 0, b 0. f) y 6 10, 0, y 0. 4.4. a) 0, ). b) R {}. c) R { 1}. d) R..5. a) 0, 0. b) 0, 0. c) 0, 0. d) 1, 0. e) 0, nedefinované. f) e 1, 0. g) 0, 8. h) Nedefinované, e. Poznámka.1. Rozlišujeme niekoľko typov výrazov, napríklad mnohočleny, racionálne lomené výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami, výrazy s absolútnou hodnotou, výrazy s komplenými číslami, goniometrické výrazy, výrazy s kombinačnými číslami a faktoriálom a iné.. Mnohočleny Mnohočlen (polynóm) n-tého stupňa P n () jednej premennej je výraz tvaru P n () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, a n 0, kde n je prirodzené číslo a a 0, a 1, a,..., a n sú reálne čísla, ktoré nazývame koeficienty (konštanty) mnohočlena. Výrazy a k k, k = 0, 1,,..., n sú členy mnohočlena. P 0 () = a 0... mnohočlen nultého stupňa absolútny mnohočlen, P 1 () = a 1 + a 0... mnohočlen 1. stupňa lineárny mnohočlen, P () = a + a 1 + a 0... mnohočlen. stupňa kvadratický mnohočlen, P () = a + a + a 1 + a 0... mnohočlen. stupňa kubický mnohočlen. Okrem mnohočlenov obsahujúcich jedinú premennú, eistujú aj mnohočleny viacerých premenných. Napríklad y + 4, y 4, + y + + y sú mnohočleny dvoch premenných a sú mnohočleny troch premenných. yz +, + y + z, y + y Pri počítaní s mnohočlenmi používame pravidlá pre počítanie s reálnymi číslami. Najčastejšie vykonávame tieto operácie: usporiadanie mnohočlena vzostupne, resp. zostupne, sčítanie a odčítanie mnohočlenov, násobenie a umocňovanie mnohočlenov,

delenie mnohočlena mnohočlenom, rozklad mnohočlena na súčin. Sčítať a odčítať môžeme len členy s rovnakými eponentami premennej. Príklad.4. Vypočítajme rozdiel polynómov ( + 5 4) (6 + 7 ). Riešenie. ( + 5 4) (6 + 7 ) = + 5 4 + 7 6 = + + 5 7 4 6 = 4 10. Pri násobení mnohočlenov je potrebné každý člen jedného mnohočlena vynásobiť každým členom druhého mnohočlena, pričom sa riadime pravidlami pre násobenie mocnín. Príklad.5. Vypočítajme súčin polynómov ( + 5 1) Riešenie. ( + 5 1) = + 5 1 = + + 5 +1 = 5 + 5. Príklad.6. Vypočítajme súčin polynómov ( + )( 4 + ). Riešenie. ( + ) ( 4 + ) = 4 + + 4 + = 4 + + 1 + 9 = 9 + 9. Úlohy.6. Vypočítajte. a) ( y z )(4 y). b) ( + 1). c) ( 4)( + 4). d) ( 4)( + ). e) ( + ). f) 4( + 1) ( )..7. Vypočítajte súčin polynómov. a) ( + 1)( + 4 ). b) ( + )( ). c) ( + 1)( )( + ). d) ( 4 + 1)( + ). ( 1 e) 4 )( ) 4 1. f) ( + 1)( 1)( 1). Výsledky.6. a) 8 y z. b) +. c) 16. d) 8. e). f) 5 + 4..7. a) + 1. b). c) + 7 6. d) 5 7 4 + 14 7 +. e) 5 4 8 9 +. f) 7 4 5 + 4 + 5 + 1.

Pri počítaní s mnohočlenmi môžeme využiť nasledujúce základné algebraické vzorce. (a ± b) = a ± ab + b a b = (a b)(a + b) (a ± b) = a ± a b + ab ± b a ± b = (a ± b)(a ab + b ) Príklad.7. Vypočítajme a) ( + ). b) ( + 1 y). c) (y + 4). Riešenie. a) ( + ) = () + + = 9 + 1 + 4. b) (+1 y) = (+1) (+1) y +y = + 1+1 y y +y = ++1 y y +y. c) (y + 4) = (y ) + (y ) 4 + y 4 + 4 = y 6 + 1y 4 + 48y + 64. Úlohy.8. Vypočítajte. a) ( + ). b) ( 1). c) ( + y). d) ( + 4). e) (ab ). f) ( 5 5 ). g) ( 1 a). h) ( + y a). i) ( ). j) ( + ). k) ( 1). l) (y + 1). Výsledky.8. a) + 4 + 4. b) 4 4 + 1. c) 4 + y + y. d) 9 + 4 + 16. e) a b ab +. f) 5 + 5. g) + a a + a + 1. h) + y + a + y a ay. i) 7 7 + 9. j) + 6 + 1 + 8. k) 6 4 + 1. l) y + y + y + 1. Pri delení mnohočlenov sa riadime podobnými pravidlami, aké platia pri delení prirodzených čísel. Príklad.8. Vydeľme polynómy a) ( 4 + 5 + 4 + + 1) : ( + 1). b) ( + 5 + 7 + 4) : ( + ). Riešenie. a) ( 4 + 5 + 4 + + 1) : ( + 1) = + 4 + 1 ( 4 + ) 4 + 4 + + 1 (4 + 4 ) + 1 ( + 1) 0 4

b) ( + 5 + 7 + 4) : ( + ) = + + 1 + 1 + ( + ) + 7 + 4 ( + 6) + 4 ( + ) 1 Úlohy.9. Vydeľte mnohočleny. a) ( + 6) : ( + ). b) (a b ) : (a + b). c) (8 + 5 + ) : ( + ). d) (4 + 10) : (4 5). e) ( + ) : ( 1). f) (4 + 5 ) : ( 1). g) (10a + 9a + a + 18) : (5a + 7a + 6). h) ( 4 + 1) : ( + 1). i) ( 5 4 + 5 11 + + 1) : ( + 1). j) ( 4 + + 1 ) : ( + )..10. Vydeľte mnohočleny. a) ( 1) : ( + ). b) ( 11 + 7 7) : ( 4 + ). c) (4 15 + 14) : ( + 5 ). d) 4 : ( 4 16). e) ( 4 + ) : ( + 1). f) (4a 4 + a + 1) : (a 1). g) (1 + + + 4 ) : ( ). h) (y 4y + 5) : (y 1). i) (4 4 + ) : ( + 1). j) ( 5 7 + 4 + 6) : ( + + 1). Výsledky.9. a). b) a b. c) 8 + 1. d) +. e) +. f) 4 + 7 +. g) a +. h) 1. i) + 4 + 1. j) + 4 1..10. a) + 4 7 10 16 1 16. b) + 1 + +. c) 5 + 4 +. d) 1 + + 5 4 16. e) + 1. f) 4a + 4a + 5a + 5 + 6 a 1. g) 7 1 4 + 6 +. h) y 1 + + y 1. i) 4 + 4 + 7 + 1. j) 7 + 9 6 + + + 1. Rozklad polynómu vynímaním pred zátvorku. Pred zátvorku môžeme vyňať výraz, keď sa v každom člene výrazu nachádzajú jeho násobky, v zátvorke potom ostanú členy vydelené týmto výrazom. Príklad.9. Rozložme nasledujúce mnohočleny na súčin vynímaním pred zátvorku. a) y 6. b) y y. c) + 4 4 16. Riešenie. a) y 6 = y = (y ). 5

b) y y = y y y = y( y). c) + 4 4 16 = + 4 4 4 4 = ( + 4) 4( + 4) = ( + 4)( 4) = ( + 4)( ) = ( + 4)( )( + ). Úlohy.11. Rozložte dané mnohočleny na súčin vynímaním pred zátvorku. a) + 6. b) + 4. c) 4 +. d) 4 5 + + 10. e) y + 5 y y4. f) a 4 + a + a + 1. g) + 5 + 4. h) a 4a. i) 15 y 5y..1. Rozložte nasledujúce mnohočleny na súčin. a) s m. b) 16a 81b. c) 64 y 6 5y. d) 4 1. e) 6 y 6. f) 4 y 8 16..1. Rozložte nasledujúce mnohočleny na súčin. a) 9 + 6y + y. b) 4 + 6y + 9 4 y. c) 4a b 4 + 4ab + 1. d) 7. e) 8a 1a b + 6ab b. f) 8 + a..14. Zjednodušte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú zmysel. Pri úprave vhodne rozložte čitateľa i menovateľa na súčin. a + b a) 4a 9b. b) a + ab 4 + b. c) 5a 4 15a 6. d) 9 y + y. e) 49a 6b 49a 84ab + 6b. f) 6a + 4a + 4a + 1. g) a + + a +. h) + 4 y 8 1y + 6y y. i) 64a + 5b 15b + 4a. Výsledky ( ).11. a) ( + ). b) ( + 4). c) ( + 1). d) ( + 5 + 1). e) y + 5y y. f) (a + 1)(a + 1)(a a + 1). g) ( + 1)( + 4). h) a( a)( + a). i) 5y( y)..1. a) (s + m)(s m). b) (4a + 9b)(4a 9b). c) y (8y 5)(8y + 5). d) ( + 1)( 1)( + 1). e) ( y)( + y)( + y + y )( y + y ). f) (y )(y + )( y 4 + 4). (.1. a) ( + y). b) + ) y. c) (ab + 1)(ab + 1). d) ( )(9 + + )..14. a) e) (a b). f) ( + a)(4 a + a ). e) i) a b, a ±b. b) a, 0, b 7a + 6b 7a 6b, a 6b 7. f) a + 1, a 1 5b 8a, a 5b 8. 5a +. c), a 5 a +. g), 1. h) y. d), 0, y. + y ( y), y. 6

Rozklad kvadratického trojčlena na súčin koreňových činiteľov. Reálne číslo, pre ktoré platí, že hodnota polynómu v tomto čísle je rovná nule, sa nazýva koreňom polynómu. Napríklad čísla - a 7 sú koreňmi polynómu P () = 4 1, pretože P ( ) = ( ) 4 ( ) 1 = 9 + 1 1 = 0 a P (7) = 7 4 7 1 = 49 8 1 = 0. Vo všeobecnosti, ak sú 1, korene polynómu a + b + c, kde a 0, tak platí a + b + c = a( 1 )( ). Uvažujme jednoduchší prípad, ak a = 1. Rozložme na súčin koreňových činiteľov trojčlen + p + q, to znamená hľadáme také čísla 1,, pre ktoré platí + p + q = ( 1 )( ) = 1 + 1 = ( 1 + ) + 1. Porovnaním koeficientov dostávame 1 + = p, 1 = q. Teda korene kvadratického trojčlena sú také čísla, ktorých súčin je rovný číslu q a súčet je rovný číslu p. Poznamenajme, že každý polynóm tretieho a vyššieho stupňa je v množine reálnych čísel rozložiteľný. Teda dá sa napísať v tvare súčinu polynómov 1. stupňa a. stupňa. Ak pre polynóm. stupňa ( + β + γ) platí β 4γ < 0, tak tento polynóm je už nerozložiteľný v množine reálnych čísel. Pozri tiež pokapitolu 4. Kvadratické rovnice a nerovnice. Príklad.10. Rozložme na súčin koreňových činiteľov kvadratický trojčlen 7 + 10. Riešenie. Koreňové činitele 1, musia vyhovovať rovniciam Ľahko sa zistí, že odtiaľ 1 =, = 5 a pre rozklad dostávame 1 + = ( 7), 1 = 10. + 5 = 7, 5 = 10, 7 + 10 = ( 1 )( ) = ( )( 5). Príklad.11. Rozložme na súčin mnohočlen 4 8 9. Riešenie. Použitím substitúcie = t dostávame kvadratický trojčlen Pre koreňové činitele t 1, t platí Pričom ( ) 8 9 = t 8t 9. t 1 + t = ( 8), t 1 t = 9. 9 + ( 1) = 8, 9 ( 1) = 9, teda t 1 = 9, t = 1 a pre rozklad kvadratického trojčlena máme Keďže t =, dostaneme t 8t 9 = (t t 1 )(t t ) = (t 9)(t + 1). (t 9)(t + 1) = ( 9)( + 1) = ( + )( )( + 1). Pri hľadaní koreňových činiteľov polynómu a +b+c môžeme postupovať aj tak, že pomocou diskriminantu vypočítame korene 1, kvadratickej rovnice a + b + c = 0 (pozri pokapitolu 4. Kvadratické rovnice a nerovnice) a vytvoríme súčin a( 1 )( ). 7

Príklad.1. Rozložme na súčin koreňových činiteľov kvadratický trojčlen 6 1. Riešenie. Uvažujme kvadratickú rovnicu 6 1 = 0. Pre jej korene platí Teda 1, = b ± b 4ac a = ( 1) ± ( 1) 4 6 ( 1) 1 = 1 ± 5 1 = 1 ± 5 1 ( 6 1 = 6( 1 )( ) = 6 1 ) ( + 1 ). 1 + 5 = 1 1 = 1 5 = 1 1. Úlohy.15. Rozložte na súčin koreňových činiteľov. a) + 1. b). c) 10. d) + 1 + 5. e) 5 + 6. f) 7 8. g) 1 4. h) +..16. Rozložte na súčin koreňových činiteľov. a) 5. b) 5. c) + 9 5. d) + 4 4. e) 4 10 + 9. f) 4 4. g) 4 5 + 4. h) 4 + 4. Výsledky.15. a) ( + 4)( ). b) ( + 1)( ). c) ( + )( 5). d) ( + 5)( + 7). e) ( )( ). f) ( + 1)( 8). g) ( + 7)( ). h) ( + 1)( )..16. a) ( + 1)( ). b) ( + 1)( ). c) ( 1)( + 5). d) ( )( + ). e) ( 1)( + 1)( )( + ). f) ( )( + )( + 1). g) ( 1)( + 1)( )( + ). h) ( 1)( + 1)( + 4). Úprava kvadratického trojčlena na úplný štvorec. Pri úprave polynómu + p + q na úplný štvorec platí + p + q = ( + p ) pričom pri úprave využívame vzorce (a ± b) = a ± ab + b. ( ) p + q, Príklad.1. Doplňme kvadratický trojčlen 7 + 10 na úplný štvorec. Riešenie. 7 + 10 = + ( 7) + 10 = ( + 7 ) ( ) ( 7 + 10 = 7 ) 49 4 + 40 ( 4 = 7 ) 9 4. Poznamenajme, že posledný výraz je tvaru a b. Teda vyžijúc vzorec a b = (a b)(a + b) ho môžeme ďalej rozložiť na súčin. ( 7 ) 9 ( 4 = 7 ) ( ) ( = 7 )( 7 + ) ( = 10 )( 4 ) = ( 5)( ). 8

Úlohy.17. Doplňte kvadratický trojčlen na úplný štvorec. a) + + 5. b) + 6 7. c) + 5 1. d) + 4 + 6. e) + 5 6. f) 4 + 0. g) +. h) 6 + 5..18. Doplňte kvadratický trojčlen na úplný štvorec. a) + 4 +. b) 9 + 4 + 1. c) 16 + 4 + 1. d) 1 4. e). f) 4. g) 5 + 4 4. h) 9. Výsledky.17. a) ( + 1) + 4. b) ( + ) 16. c) ( + 5 ) 9 ( 4. d) ( + ) +. e) + 5 ) 49 4. f) ( ) + 16. g) ( 1) + 1. h) ( ) + 16..18. a) ( + ( ) + 1. b) + ) + 5 ( 9. c) 4 + 1 ) + 4. d) 5 ( + ). e) 4 ( + 1). f) 5 ( + 1). g) 6 ( 1). h) 9 4 ( + 1 ).. Racionálne lomené výrazy Racionálny lomený výraz je výraz tvaru podielu dvoch mnohočlenov R() = P n() Q m () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 b m m + b m 1 m 1 + + b 1 + b 0, kde n, m sú prirodzené čísla a a 0, a 1,..., a n, b 0, b 1,..., b m sú reálne čísla, pričom a n 0, b m 0. Racionálne lomené výrazy môžeme, podobne ako zlomky, rozširovať, krátiť, sčítavať, odčítavať, násobiť a deliť a to podľa rovnakých pravidiel, aké platia pre operácie so zlomkami. Musíme však stále uvádzať, za akých podmienok majú dané výrazy zmysel. Príklad.14. Zjednodušme výraz + 9 9 + 4 +. Riešenie. + 9 9 + 4 + = + 1 9 9 1 = ( + 1) 9( + 1) ( + 1)( 9) + 4 + ( = + 4 + ) [ + ( + 1) + ( 1) ] = ( + 1)( ) ( + 1)( + ) = ( + 1)( )( + ) ( + 1)( + ) =. Keďže výraz obsahuje zlomok, musí platiť + 4 + 0 ( + 1)( + ) 0, 1, 0. Príklad.15. Vypočítajme + 1 + 1 +. Riešenie. + 1 + 1 + = + 1 + 1 (1 ) + ( 1)( + 1) = ( )( 1) + ( + 1) ( + ) ( 1)( + 1) = 4 4 6 + 6 + + + 1 ( 1)( + 1) = 4 8 + 4 ( 1)( + 1) = 4( + 1) ( 1)( + 1) = 4( 1) ( 1) = = ( 1)( + 1) + 1 + 1. 9

V danom výraze sa nachádzajú tri zlomky. Menovateľ každého z nich musí byť rôzny od nuly. Preto musia byť splnené nasledujúce podmienky. I. podmienka... + 1 0 1. II. podmienka... 0 1. III. podmienka... 0 ( 1)( + 1) 0 ±1. Keďže podmienky I., II. a III. musia platiť súčasne, dostávame ±1. Príklad.16. Vypočítajme Riešenie. + 5 + 1. + 5 + 1 = ( + 1) ( + 5) ( ) = + + 5 15 = + + 15. Podmienky, kedy má daný výraz zmysel: I. menovateľ prvého zlomku musí byť rôzny od nuly... + 5 0 5. II. menovateľ druhého zlomku musí byť rôzny od nuly... 0. Teda 5 a. Príklad.17. Vypočítajme 1 + : +. Riešenie. 1 + : + = 1 + ( 1) ( ) = + ( + ) ( + ) = + + + + 6 = + + 5 + 6. Výraz obsahuje dva zlomky. Odtiaľ dostávame dve podmienky. I. podmienka... + 0. II. podmienka... 0. Okrem toho sa nemôže deliť nulou. Preto musíme uvažovať ešte jednu podmienku. III. podmienka... + 0. Preto, ±. Úlohy.19. Zjednodušte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú zmysel. a) 9. b) +. c) 4. 16 d) + 5 + 6 6. e) + 1 + 5 + 4. f) + 1. +.0. Zjednodušte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú zmysel. a) 4 + 8. b) 4 + 4 +. c) + 7 +. d) + + +. e) + 8 1 6 5 + 1. f) 4 + 6 +..1. Zjednodušte a určte podmienky, kedy majú výrazy zmysel. a) + 1 6 18. b) 8 + 6 4 6. c) y + y y. d) 1 4 9 +. e) 1 + + 1. f) y y + + y 4. g) 1 9 + + 1 6. h) a + 0 + a a a.

.. Zjednodušte a určte podmienky, kedy majú výrazy zmysel. ( a 1 a) a + 1 a )( a + a + 4 ) ( ) a. b) a 1 a a + 1 + 1 : ( ) ( ) y y c) + y 1 : + y 1 4y y. d) + y + y ( )( 1 1 e) y 1 y + 1 y ) y. f) 1 ( y ( 4 8 + ) (1 a 1 a. ). y + y ) 4 + + 8 +... Upravte a určte podmienky, kedy majú dané výrazy zmysel. ( + y a) ( y) + y ) y : + y ( ( y). b) a + ab )( ) ab a a b a + b a b a + b. ( 1 c) a 1 )( b b e) a4 b 4 a b : [(1 + b a a b + a b a + b )(1 ab + a b a + b a b ). d) )]. f) ( ) 1 + 1 (1 + 1 ( a a + b.4. Zjednodušte a určte podmienky, kedy majú výrazy zmysel. ( ) 1 a) 1 1 : ( 1 ) [( a + 1 + 1. b) a b b a ) : 1 ab a b ). ) : a + 4a ] + 4a a a 1a + 1. a + b c) a b a b 1 + b a + b 1 a + b b a + 1 1 a b b. d) b + 1 a a + a + 1 a + a ( 1 e) a + 1 a )( 1 ). a 1 a 1 f) a a b ( a + b a + a + ( ) ( ) ( g) y + y + + y : y y. h) b + a b ) ( : 1 1 + ab Výsledky.19. a) +,. b).0. a) 1 1, 1,. c) + 1 + 4 e) + 1, 4, 1. f) + 1, 0, 1. a a 4. a ). a b(a b) 1 + ab ( a 4ab ) a + b + b. ). +, ±4. d),,. + 4,. b), R. c) + 9,. d) + 1,, 1. 1 e) 4 + + 1, 1 1, 1. f) + + 1,..1. a) 8 + 7, R. b) 18 e) +, 0,. f) ( + ) h) 4 + a, ±a. 7(9 ), 0. c) 1, y 6. d) +, ±. (y 1) ( + 1)( + 5), y ±. g) (y )(y + ) ( )( + ), ±... a) 4, a 1, a 1 1 a, a. b) 1 a, a ±1, a ±1. c) y + y, ±y. d) y, ±y. e) 1 y, y 0, y ±1. f) 1, 0, ±, 4. + 1

.. a).4. a) 1 + y, ±y. b) a 4 (a b) a, a ±b. c) + b a(a + b), a ±b, a 0, b 0. d) 1 1 +, ±1. e) a + b a b, a b, a 0, b 0. f) 1 a b, a ±b. d) g) a +, 0, 1. b), a 0, ±. a a 4,a 0, a ±. e) 1, a 0, a ±1. a, 0, y 0, ±y. h) a, ab 1. y c) a, b 0, b 1, a ±b. (a b)a f), 0, a ±, a b. Uvažujme racionálny lomený výraz R() = P n() Q m (). Ak je stupeň polynómu v čitateli menší ako v menovateli, t. j. n < m, hovoríme o rýdzoracionálnom lomenom výraze. Ak je stupeň polynómu v čitateli väčší alebo rovný ako v menovateli, t. j. n m, tak môžeme racionálny lomený výraz zapísať v tvare súčtu polynómu a rýdzoracionálneho lomeného výrazu R() = P n() Q m () = T n m() + U k() Q m (), kde k < m. Pri úprave postupujeme rovnako ako pri delení polynómu polynómom, (pozri Príklad.8). Príklad.18. Rozložme výraz + 5 4 + 5 na súčet polynómu a rýdzoracionálneho lomeného výrazu. + 4 Riešenie. ( + 5 4 + 5) : ( + 4) = + 5 + ( + 1) 5 16 + 5 (5 + 0) 16 15 16 15. + 4 Teda + 5 4 + 5 + 4 = + 5 + 16 15. + 4 Úlohy.5. Rozložte nasledujúce výrazy na súčet polynómu a rýdzoracionálneho lomeného výrazu. a) a + 9 a +. b) 4 + 1. c) d) 1 +. 4 +. 5 t e) t. f) + 4 + 6 + + 4..6. Rozložte nasledujúce výrazy na súčet polynómu a rýdzoracionálneho lomeného výrazu. a) + 11 4 + 5 d). b) + 6 + 14 + + 6 + 14. c) + 5 +. + 5 4 +. e) + + 1. f) + 1 + 1.

Výsledky.5. a) a a + 9 18 a +. b) + + 5 + 10 + 19. c) + 9. d) + + + +. e) + t + 1 +. f) 1 + t + + 4..6. a) 1 + + 1 + 5. b) + + 6 + 14. c) + + 5. d) + 4 +. e) + 1 + + 1. f) + 1..4 Iracionálne výrazy Iracionálne výrazy sú výrazy, ktoré obsahujú odmocniny. Pri úpravách sa používajú pravidlá, aké platia pre počítanie so zlomkami, viď podkapitola 1.1 Prirodzené, celé, racionálne a iracionálne čísla. Pod usmernením zlomku rozumieme odstránenie odmocnín z menovateľa, pričom sa využívajú hlavne nasledujúce vzorce. a b = (a b)(a + b) a b = (a b)(a + ab + b ) a + b = (a + b)(a ab + b ) Príklad.19. Usmernime nasledujúce výrazy. a) 4. b) +. c) Riešenie. Pri úprave využijeme vynásobenie výrazu jednotkou vo vhodnom tvare. a) 4 = b) + 4 + = 4( + ) + ( ) = 4( + ) 4 1 1 +. d) 5 + 1 4. = ( + ). = + = ( + ) = ( + 1) = ( + 1). Poznamenajme, že výraz je definovaný pre > 0. 1 c) 1 + = 1 1 + 1 1 = 1 (1 + ) (1 ) = 1 1 ( ) = 1 1. Dané úpravy je možné vykonať len ak 0, 1. d) 5 = 5 + 1 + 4 = ( 5) ( + 1 + 4) + 1 4 + 1 4 + 1 + 4 ( + 1 4) ( + 1 + 4) ( 5)( + 1 + 4) = ( 5)( + 1 + 4) ( + 1) 4 = = ( 5)( + 1 + 4) ( 5) + 1 16 = ( + 1 + 4). Z úprav je zrejmé, že výraz má zmysel pre 1, 5. = ( 5)( + 1 + 4) 15

Úlohy.7. Usmernite nasledujúce zlomky. a) 1. b) e) 15. c) 5 5 1. d) 4 5. f) 44 5. g) 1 + 7. h) 1. 5..8. Usmernite nasledujúce výrazy. a) 1 4 +. b) 4 +. c) 4 +. d) + 4 1 +. e) 4. f) 5 6 +. g) + + 1 1. h) (1 7 ) 5 +..9. Usmernite výrazy a určte podmienky, kedy majú zmysel. 1 1 a). b). c) 1. 1 d) 1 + 1. e) + 10 +. f). 1 + + 1.0. Zjednodušte nasledujúce výrazy a určte podmienky, kedy majú zmysel. a) a a ( a + 1 a. b) 18 ) : 4 ( 9).( ). + 9 ( ) ( c) 1. d) + )( + + ) : 4 + 4 1..1. Zjednodušte a určte podmienky, kedy majú dané výrazy zmysel. ( ) 1 a) + 1 1 1. 1 b) 1 +. c) ( ) 4 1 +. d) ( ) 1 1 + 4. ( ) ( ) 1 e) 1 + +. f) 1 +... Zjednodušte a určte podmienky, kedy majú dané výrazy zmysel. V prípadoch a) a b) pri úprave použite vzťah sin + cos = 1. a) ( ) 1 a (1 cos t) + a (1 sin t). b) 1 + sin cos. c) 1 + ( ) ( ) 1 1. d) 1 + 1 ( ). ( e e ) e) 1 +. f) ln + + 1 1. 1 Výsledky.7. a). b) h) 6 5 + 15. 15 5. c) 5 + 5. d). e) + 5. f) (5 + ). g) 4 7 1. 4

.8. a) 7 5. b). c). d) 5. e) 1 g) + + 6. h). +.9. a), > 0. b) 4, 0, 4. c) + 1, 0, 1. 16 17. f). 7 d) ( 1)( 1 + + 1), 1, 0. e) ( + 10 + ), 10, 1. f) ( 1 + + 1 ), 1 5, 0, 5..0. a) (a + a), a 0, a 1. b) 4 +, >. c ), 0, 1. d) 1, > 0, 1 4. 1.1. a), (0, 1). b) 1 4 + 1, (0, 1. c), (, ). d), > 0. e) + + + + 1, 0. f), 1... a) a 1 + 1 cos t sin t, a R, t R. b), kπ, k Z. c), 0. sin d) 1 + 1, ±1. e) e + e, R. f) ln, > 0, 1. 5

.5 Testy.5.1 Test 1 V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede. ( a b ).1. Výraz a 4, a 0, b 0 možno upraviť na tvar b A) ( ab ). B) ( b a). C).. Určte hodnotu výrazu 4 pre = 4. 16 A) 0. B) 1. ( ) a. D) ( ab ). b C). D) Pre = 4 výraz nie je definovaný... Výraz A) y y, 1, y sa dá upraviť na tvar y + y y +. y B) + 1..4. Správne usporiadanie čísel A) C) 5 5 + = 5 5 = 5 5 + < 5 5 < 5 5, 5 5, 5 5 + je 5 5. B) 5 5. D) 5 5 < C) y + y + 1. D) 5 5 < 5 5 < 5 5 < 5 5 +. 5 5 +. y 1..5. Výraz 1 + 1 1 + 1 je ekvivalentný s výrazom + 1 + 1 iba vtedy, keď A) 1. B) ±1. C) ±1, ± 1. D) ±1, 1. Správne odpovede: B, D, B, C, D. 6

.5. Test V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede..1. Pre 5y 8 je výraz 64 5y A) 15y + 4 8 5y. B) ekvivalentný s výrazom 8 + 5y. C) 8 5y. D) 40y... Určte hodnotu výrazu pre =. + 9 A) 0. B) 1. C). D) Pre = výraz nie je definovaný. y.. Výraz, 1, y možno upraviť na tvar + y y A) y 1 +. B) y 1. C) y 1. D) y 1..4. Usmernením zlomku 5 1 + dostaneme číslo A) 7 6. B) 6 7. C) 1. D) 5..5. Delením polynómov ( 5 + ) a ( + ) v danom poradí, dostaneme polynóm A) + + 1. B) + 1. C) + 1. D) 5 Správne odpovede: A, B, B a C, B, C. 7

.5. Test V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede..1. Výraz + 18 9, ± sa dá upraviť na tvar + 6 A) 9. B) 18 9. C) 6. D) 6 +... Určte hodnotu výrazu pre = a y =. y A) + 6. B). C) +. D) 6... Výraz 16 + 4 je ekvivalentný s výrazom iba vtedy, keď 4 A) 4. B) ±4. C) 0, 4. D) 0..4. Rozkladom mnohočlena 1 + 11 5 na súčin dostaneme A) 1( 1 ) ( + 5 4 ). B) ( 1) (4 + 5). C) ( + 1) (4 5). D) (1 1) ( + 5)..5. Výraz a 1 a 1 je ekvivalentný s výrazom A) ( a 1 ), pre a > 0. B) (a + 1) ( a + 1 ), pre a > 0. C) (a + 1) ( a + 1 ), pre a > 0 a a 1. D) (a + 1) ( a + 1 ), pre a 1. Správne odpovede: C, A, C, A a B, C. 8

.5.4 Test 4 V nasledujúcich úlohách zvoľte správnu odpoveď, resp. správne odpovede. ( y ) 1.1. Výraz y, 0, y 0 možno upraviť na tvar A) y. B) y. C) y. D) 1... Výraz 1 + 1 1 1 1 1 je ekvivalentný s výrazom ( 1) iba vtedy, keď A) 1. B) ±1. C) ±1, 0. D) 0. a.. Hodnota výrazu + pre a = 10 je a A) 10. B) 10 + 10. C) 10 + 10. D) 10 10. ( 1.4. Pre 0, ±1 sa výraz + 1 ) ( ) 1 1 1 dá upraviť na tvar A) 1. B) 1. C) 1. D)..5. Rozkladom polynómu y 4 y na súčin dostaneme A) y (y + ). B) y (y ). C) y (y + ) (y ). D) (y ) (y + ). Správne odpovede: B, C, D, C, C. 9

Funkcie vlastnosti funkcií, elementárne funkcie.1 Pojem funkcie, definičný obor funkcie Nech A a B sú dve množiny reálnych čísel. Funkcia f z množiny A do množiny B je predpis (priradenie), ktoré každému číslu z množiny A priradí práve jedno číslo y z množiny B. Používame označenie y = f(). Množinu A nazývame definičný obor funkcie f a označujeme ju D f alebo D(f). Množinu B nazývame obor hodnôt funkcie f. Obor hodnôt funkcie f označujeme symbolom H f alebo H(f). Premennú nazývame nezávislá premenná a premennú y nazývame závislá premenná. Funkcie zvyčajne označujeme malými písmenami f, g, h,... Funkcia je jednoznačne určená predpisom a definičným oborom. Niekedy pravidlo, ktoré definuje funkciu, nemôže byť použité na niektoré konkrétne hodnoty. Definičný obor je teda množina prípustných hodnôt. V zásade sa na definičný obor kladú nasledujúce obmedzenia: menovateľ zlomku musí byť rôzny od nuly 1... 0 párna odmocnina eistuje len z nezáporných čísel k... 0 logaritmus eistuje len z kladných čísel log a... > 0 Poznamenajme, že číslo k uvedené v predchádzajúcej tabuľke je číslo prirodzené. Príklad.1. Nájdime definičný obor funkcie f, f : y = 5 + 7 4. Riešenie. Pri určovaní definičného oboru funkcie f musia platiť nasledujúce podmienky: I. párna odmocnina... 5 5 0 5. II. zlomok... 7 4 0 4. 4 Tieto podmienky musia platiť súčasne, preto určíme ich prienik, pričom si môžeme pomôcť grafickou interpretáciou. 5 4 Definičný obor funkcie je f D f = 5, 4) (4, ). Príklad.. Nájdime definičný obor funkcie g, g : y = log(6 ) + 1 +. Riešenie. Musia platiť nasledujúce podmienky: I. logaritmus... log(6 ) 6 > 0 > 6 <. 40

1 0 II. párna odmocnina... + 1 + 1 0 1. III. zlomok... 0. Tieto podmienky musia platiť súčasne. Pri určení ich prieniku si opäť pomôžeme grafickou interpretáciou. Definičný obor funkcie g je D g = 1, 0) (0, ). Príklad.. Nájdime definičný obor funkcie h, h : y = 5 + + 1. Riešenie. Podmienky: I. párna odmocnina... + + 0. 5 II. zlomok... + 0 + 0. + Z podmienok I. a II. dostávame... + > 0 >. Teda ak sa v predpise funkcie vyskytuje párna odmocnina v menovateli zlomku, môžeme rovno uvažovať podmienku, že výraz pod párnou odmocninou musí byť kladný. III. zlomok... 1 0. Tieto podmienky musia platiť súčasne, nájdime ich prienik. 0 Teda definičný obor funkcie h je D h =, 0) (0, ). Úlohy.1. Nájdite definičný obor nasledujúcich funkcií. a) y = 10. b) y = + 4. c) y = 4 + 5 + 1 7z. d) y = 1 ( )( + ). e) y = + +. f) y = 4 4. g) y = + 4. h) y = log (7 ). i) y = log( ) +... Určte definičný obor funkcií. a) y = d) y = 5. b) y = 10. c) y = + 10 +. 7 +. e) y =. f) y = log 1 +. g) y = log 4. h) y = 4. i) y = log ( ) log( ). 41

.. Určte definičný obor nasledujúcich funkcií. a) y = + 4 + log(1 ). b) y = 4 log( 5). c) y = + 4. d) y = log(0 5) + 7 6 + 1 + 1. + e) y = + log(6 ). f) y = 4 + 5 9. Výsledky.1. a) R. b) R. c) R { 1, 0}. d) R {, }. e) R { }. f) (,. g) 4, ). h) (, 7). i), )... a) (, ). b) ( 10, ). c) (, ). d) (, ). e) (, ). f) ( 0, ). g) (, ). h) (, 1 ) ( 1, ). i) (, 4 ) ( 4, )... a) 4, 4)). b). c), 4. d), 1 ) ( 1, 4 ). e) ( 4, ). f), 9 ) ( 9, 5). Poznamenajme, že určovaním definičného oboru zložitejších funkcií sa budeme zaoberať v podkapitole 4.9 Definičný obor zložitejších funkcí. Príklad.4. Vypočítajme hodnotu funkcie f : y = 1 v bode =. Riešenie. Funkčnú hodnotu funkcie f v bode = dostaneme dosadením čísla za premennú do predpisu funkcie f() = 1 = 8 1 = 15. Úlohy.4. Pre funkciu f : y = + určte f(0) a f(1)..5. Pre funkciu f : y = 4 + 4 určte f(0) a f( ). Výsledky.4. f(0) =, f(1) = 1..5. f(0) = 4, f( ) = 16. Grafom funkcie y = f() rozumieme množinu všetkých bodov v rovine, ktoré majú súradnice [, y], kde D(f) a y = f(). Nie každá krivka v rovine je grafom nejakej funkcie. Na overovanie slúži takzvaný vertikálny test. Ak krivka je grafom nejakej funkcie, tak každá priamka rovnobežná s osou y ju pretne v najviac jednom bode. Napríklad krivka na Obr..1 nie je grafom funkcie, pretože eistuje priamka p rovnobežná s osou y, ktorá pretne túto krivku v dvoch bodoch. Príklad.5. Určme parametre a, b tak, aby graf funkcie danej predpisom f : y = a + b prechádzal bodmi A = [1, ], B = [, 1]. Riešenie. To, že graf funkcie má prechádzať bodom A = [1, ] znamená, že funkčná hodnota funkcie f v bode = 1 je. Dosadením do predpisu funkcie dostávame = a 1 + b. Analogicky to, že graf funkcie má prechádzať bodom B = [, 1] znamená, že f() = 1, teda 1 = a + b. Dostali sme sústavu dvoch rovníc o dvomi neznámymi. Ak tieto dve rovnice odčítame, dostávame 4 = a, teda a = 4. Dosadením tejto hodnoty napríklad do prvej rovnice máme = 4 1 + b. Riešením je b = 7. Teda hľadaná funkcia je daná predpisom y = 4 + 7. 4