. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este u şir coverget ( p 5)( 5) p( 5) ( 5) l 0, l cărui terme geerl u depide de p. Rezultă că ( ) N este şir fudmetl. b) +p - + + p. Observăm că petru p obţiem + + > + + +. Rezultă de ici că - u tide către 0, deci şirul ( ) N u este şir fudmetl. c) +p - + + < + + + ( ) ( p) ( ) ( )( ) ( p )( p) - <. Cum mjortul este u şir coverget l 0 şi u depide de p, rezultă că şirul ( ) N p este u şir fudmetl. p cos(!) d) +p - ( ) ( ) cos(!) p cos(!) ( ) p p ( ) -, petru orice p N * e) Deorece + + > petru orice N. Petru orice M>0 eistă N stfel îcât > M (de eemplu [M] + ), pri urmre eistă N stfel îcât > M deci ( ) N u este mjort, deci este emărgiit. Pri urmre, u este fudmetl. Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut covergete:
), N b), N! c), N * d), N * cos(!) e), N * ( ) f), N *
Soluţii. ) Şirul ( ) N este mărgiit: 0 <, deci (0, ) petru orice N. Şirul ( ) N este strict descresctor: <, petru orice, 0, ( ) + ( ) 0, petru orice N *. Rezultă că şirul ( ) N este coverget. ( )( ) b) Şirul ( ) N u este mărgiit (vezi eerciţiul precedet), deci u este coverget. c) Şirul ( ) N este mărgiit. Îtr-devăr, plicâd ieglitte mediilor petru umerele,,, obţiem, obţiem <!, dică! su! < ; îmulţid ieglitte cu <, petru orice. Cum <, rezultă că < petru orice N *. Evidet, > 0, petru orice N *, deci (0, ) petru orice N *. Pri urmre, şirul ( ) N este mărgiit.
Deorece ( )! ( )! ( ), petru orice N * deducem că şirul este strict descrescător. Rezultă că ( ) N este coverget. d) Şirul este fudmetl (vezi eerciţiul precedet), ir (R, d) este spţiu metric complet (vezi teorem.), deci şirul este coverget. Să observăm că + 0 ( ), deci şirul este strict crescător. Deorece < + < + + ( ) + + + + - <, dică (, ) petru orice N *, rezultă că şirul este şi mărgiit, deci este coverget. e) Şirul este fudmetl (vezi eerciţiul precedet), ir R î rport cu distţ euclidiă este spţiu metric complet (vezi teorem.), deci şirul este coverget. Să observăm că, spre deosebire de eerciţiul precedet, cest şir u este mooto, deorece cos( )! difereţ + u păstreză sem costt pe N, deci u se pote plic teorem de ( )( ) covergeţă şirurilor mootoe. f) Şirul u este fudmetl (vezi eerciţiul precedet). Di teorem. deducem că cest şir u este coverget. cos(!) Eerciţiul Aproimţi it şirului ( ) cu două zecimle ecte. Soluţie. Despre cest şir s- demostrt că este fudmetl, deci este coverget. Am rătt că +p - < petru orice N*. Dcă otăm, tuci -, petru orice N. Petru c î proimre să vem două zecimle ecte este suficiet c <. 0 Pri urmre 00 proimeză pe cu două zecimle ecte. Eerciţiul..4. Folosid pricipiul cotrcţiei să se clculeze rădăci ecuţiei + 4 0 cu 4 zecimle ecte. Soluţie. Ecuţi re o sigură rădăciă relă sitută î itervlul [0, ] cre este spţiu metric complet. Ecuţi se pote scrie sub form ot f() 4 Pe cestă mulţime f este o cotrcţie cu coeficietul 8 petru că f ()
( 4) 4 4. Rezultă că c 4 c 7 8 zecimle ecte. petru orice [0, ]. Alegem 0 0. Atuci f( 0 ), δ 0 8 4 4 < 0-4 petru 4. Deci 4 este proimre rădăciii cu ptru Eerciţiul..5. Determiţi itele etreme le şirurilor: ( ) ) ( ), N *. ( ) b), N *. Soluţii. ) Prezeţ lui (-) sugereză cosiderre următorelor două subşiruri: m ( ) m m m m ( ) + 4m 4m, mn m ( ) m m m m+ ( ) 0 - (m ) 4m m -, mn 4m Evidet, m +, m m+ - m Pri urmre, mulţime puctelor de cumulre cestui şir este {-, }. Deci -,. (m) b) Alog, m m (m m+ m Deorece m, mn * ) ( ) (m ), mn. m şi m+ 0, deducem că 0 şi. m m Eerciţiul..6. Să se studieze tur seriilor următore şi să se clculeze sum î cz de covergeţă: ) ; b) ( ) ; c) l. Soluţii. ) - ( ) petru orice N*. s -, petru orice N*. Evidet, s. Pri urmre, seri dtă este covergetă şi sum s este s
b), N * deci s. s termei + + termei. Atuci, s, dică s petru orice N *. Deorece 0 şi 0, deducem că s 4, deci seri dtă este covergetă şi sum s este 4. c) l l (+) l. s l ] ) [l( l l( + ) petru orice N *. Rezultă că s l( + ), deci şirul (s ) * N l sumelor prţile este diverget. Rezultă că seri l este divergetă. Să observăm că 0 deci cestă codiţie este ecesră dr u şi suficietă petru covergeţ uei serii.
Eerciţiul..7. Să se studieze tur seriilor următore: 7 ) ; b) 5 (, ude > 0 ) c), ude > 0; d), ude > 0! 5 ( ) e) 4 6 () Soluţii. / 7 7 ) Deorece este covergetă şi 7 deducem că seri / 5 5 este covergetă (vezi teorem 6) b) Petru >, seri este covergetă (serie geometrică cu rţi ). Deorece ( ) 0, di teorem 6. deducem că seri dtă este covergetă. Petru seri devie ir cest este covergetă (e...6.) ( ) Petru 0 < < se pore folosi uşor teorem 6. folosid c terme de comprţie seri rmoică despre cre se ştie că este divergetă. ( ) (căci + 0 deorece (0, )) Deorece 0 < < rezultă că cele două serii u ceeşi tură. Rezultă stfel că, petru (0, ) seri dtă este divergetă c), N *, > 0. Prezeţ lui l epoet sugereză plicre criteriului rădăciii: e.
Pri urmre, dcă 0 < < e, vem e <, deci seri este covergetă, ir dcă > e, tuci e >, deci seri este divergetă. Rămâe de studit czul. Î cest cz, e Deorece e< > Cum divergetă. d)!,n * rezultă e <, N *. ( ) ( )! e.!, de ude, petru orice N *. e petru orice N *. 0, deducem că 0 de ude obţiem că e petru orice N *. Dcă 0 < <, vem e <, de ude, cu criteriul rportului, obţiem că e covergetă. Dcă >, tuci e > de ude deducem că e Rămâe de studit czul e. Petru e vem este divergetă. este este petru orice N *. Folosid di ou ieglitte e < e, vlbilă petru orice N * obţiem > ) + > petru orice N *. Rezultă > dică > şi > Cum este divergetă deducem (vezi teorem 5.) că este divergetă. 5 ( ) e) Puâd, N * obţiem: 4 6 (), deci u putem utiliz criteriul rportului. Deorece dică ( +
este divergetă. <, obţiem, cu criteriul Rbe Duhmel, că Eerciţiul..8. Să se proimeze sumele seriilor următore cu o erore mi mică decât 0 - : ), b) ( ), c) (!) Soluţii. ) Dcă otăm, N * tuci, petru orice. Atuci rezultă că, petru orice re loc s - s ude s este sum seriei, ir s este sum prţilă de ordiul. Deci s - s petru orice. Petru c s să proimeze s cu o erore mi mică decât 0 - este suficiet să determiăm cel mi mic rg cre stisfce ieglitte. 0 Se obţie 7 deci s s 7.98595 cu două zecimle ecte. b) Deorece petru orice 4 rezultă că 0 0 < s s < 4 <, 0 < s4 s < 5 <. Deci s -78707070 proimeză pe s pri lipsă, ir 4 0 5 0 s 4-7807870 pri dos, mbele cu o erore mi mică decât 0 -. c) Dcă otăm, N * tuci petru orice de ude rezultă (!) ( ) 4 evlure: 0 < s s 4, dică 0 < s s,petru orice. (!) (!) 4 Cum (!) < 0 - petru orice rezultă că s s,77777778.