Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu ieglitte rezultă că seri = u este covergetă Problem 3 Să se studieze tur seriei e +) Soluţie 3 Folosid ieglitte e x x +, devărtă petru orice x R, se obţie u = e +) = e + + + < = 3 = v Seri = v este covergetă, fiid seri rmoică geerliztă cu α = 3 > Pe bz criteriului de comprţie cu ieglitte rezultă că seri = u este covergetă Problem 33 Să se studieze tur seriei si, 0, 3π) 3 Soluţie 33 = Folosid ieglitte si x x, x 0, se obţie u = si 3 3) = v Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = 3 criteriului de comprţie rezultă că seri = u este covergetă Problem 34 Să se studieze tur seriei si 3x si x + si x, x = 0, π ) < Pe bz
SEMINAR 3 SERII Soluţie 34 şi obţiem Folosim dubl ieglitte [0, π t si t t, t π ], u = 3x si si x + si x 3x + x x π = 3πx +3 = v Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = criteriului de comprţie rezultă că seri = u este covergetă Problem 35 Să se stbilescă tur seriei + ) + < Pe bz Soluţie 35 Cu jutorul ieglităţii + ) < e, rezultă că u = + ) + = + ) + ) < e = v Seri = v este covergetă fiid o serie rmoică geerliztă cu α = > Pe bz criteriului de comprţie rezultă că seri = u este covergetă Problem 36 Să se stbilescă tur seriei l Soluţie 36 = Cu jutorul ieglităţii l <, devărtă petru orice, rezultă v = l > = u Deorece seri = u diverge, rezultă pe bz criteriului de comprţie că seri = v este divergetă Problem 3 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 3 Scriem = l ) l l ) l = e l )ll ) = e l )ll ) = ll ) Şi petru că ll ) >, petru suficiet de mre, rezultă că u = l ) l = ll ) < = v Deorece seri = v este covergetă, rezultă pe bz criteriului de comprţie că seri = u este covergetă Problem 38 Să se stbilescă tur seriei 4 + + ), α R α =
Soluţie 38 Folosim criteriul de comprţie cu ită Fie u = 4 + şi v +) α = β Petru c it u v 4 + ) β + ) α să fie fiită, diferită de 0, trebuie c grdul umărătorului să fie egl cu grdul umitorului, dică + β = α, de ude β = α Seri = v este covergetă petru β > şi divergetă petru β Aşdr, petru α > 3 seri di euţ este covergetă, ir petru α 3 este divergetă Problem 39 Să se stbilescă tur seriei +, > Soluţie 39 Aplicăm criteriul de comprţie cu ită Fie u = + Dcă <, fie v = Atuci u v = + + = Petru că seri = v este divergetă, rezultă că = u este divergetă Dcă = tuci u = = este divergetă Dcă > tuci fie v = Avem u v = + = + = + = Seri = v = ) = este covergetă, fiid o serie geometrică cu rţi q = < Rezultă = u este covergetă Problem 30 Să se stbilescă tur seriei + x + x + + x ), x > = Soluţie 30 Dcă x <, fie u = +x++x ) şi v = Atuci u v + x + + x x x = x > 0 Petru că seri = v este divergetă, rezultă că = u este divergetă Dcă x tuci + x + x + + x + Avem u = + x + + x ) + ) = v Seri = v este covergetă, cu sum Rezultă = u este covergetă Problem 3 Să se stbilescă tur seriei + + + l! = 3
4 SEMINAR 3 SERII Soluţie 3 Fie u = + + + ) / l! şi v = Atuci, folosid Stolz-Cesro şi fptul că şirul γ = + + + l este coverget, se obţie u + + + ) + + + ) v l! l + l + + l + ) + + + ) + + + + ) l + ) + γ + + + l + ) l + ) Petru că seri = v este divergetă, rezultă că = u este divergetă ) 5 + Problem 3 Să se studieze tur seriei 4 + Soluţie 3 u Clculăm 5 + 4 + ) = = ) + +) = e 4+ = e 4 + Petru că e <, rezultă pe bz criteriului rădăciii că seri = u este covergetă Problem 33 Să se studieze tur seriei Soluţie 33 Clculăm = ) + + 6 Ir petru că + + 6 u ) + v rezult că u = 0 e este covergetă ) + + 6 + 6 Problem 34 Să se studieze tur seriei ) + + 6 ) = e + 6 = e, = 0 < Pe bz criteriului rădăciii seri = u +5 3 + ) Soluţie 34 Petru că Clculăm u = 5 3 + + rezultă că = şi 5 = Atuci u = 3 criteriului rădăciii seri = u este covergetă Problem 35 Să se studieze tur seriei cos ) 3 = < Pe bz
5 Soluţie 35 Clculăm u cos ) + cos ) = e cos ) Dr, folosid formul cos x = si x, obţiem cos ) = si = Rezultă că u = e = e <, si ) ) = cee ce demostreză pe bz criteriului rădăciii că = u este o serie covergetă Problem 36 Să se studieze tur seriei Soluţie 36 = cos x + ), x R Fie u = cos x + /) Avem u x cos + ) = cos x Dcă x kπ, k Z tuci cos x < şi seri = u este covergetă Dcă x = kπ tuci u = cos kπ + )) = ) k cos ) este u şir cre u tide l 0 Îtr-devăr, coform problemei teriore cos ) = e cos ) = e 0 = Aşdr, î czul î cre x = kπ, k Z, seri = u este divergetă Problem 3 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 3 Clculăm it rportului u + u = + ) + + ) = < Coform criteriului rportului seri = u este covergetă!) Problem 38 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 38 u + u Clculăm [ + )!] +)!) Aplicâd de două ori regul lui l Hospitl, obţiem = [! + )]!) +) + ) + + ) x + ) x + ) + x x+ x x+ l x x+ l ) = 0 Pe bz criteriului rportului seri dtă este covergetă
6 SEMINAR 3 SERII Problem 39 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 39 Clculăm u + u e tg, > 0 = e + tg e tg + e tg + + tg Coform criteriului rportului seri este divergetă l ) Problem 30 Să se stbilescă tur seriei! Soluţie 30 Clculăm rportul = + = e < u + u = [l + )]+ + )! Cu regul lui l Hospitl vem )! l + ) l + ) = = l ) + l l + ) + + + ) l l Ir + l + ) + + ) l = e l Limit rportului v fi u + u x lx + ) x + Problem 3 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 3 u + u Clculăm it rportului x x+ = 0 l + l = e l l+ ) = = 0 <, cee ce rtă că seri este covergetă = + ) + ) + ), > 0 + ) + + ) + ) + ) + ) + ) + )[ + ) + ] ) + + + + + + ) + + = e Dcă > e tuci seri dtă este covergetă Dcă < e seri este divergetă Dcă = e, plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel u ) + + ) ) + ) u + )e + [ + + ) e + ) )] + )e + Folosid it tip x x + ) e + ) ) deducem că l, câd x 0, şi = + e e l+ ) ) = e + ) e l+ ) + ) e + ) ) [ = e l + ) ]
Folosid regul lui l Hospitl, rezultă [ l + ) ] <, cee ce rtă că seri este diver- Atuci u ) + = u e getă x= x 0 x x 0 ) l + x) x l + x) x x 0 x +x x + e ) = e + e Problem 3 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 3 u + u Clculăm it rportului x 0 x + x x = = + [ + ) ]!! + ))!! + [ + )]!! )!! + 3 5 ) + ) + 4 + ) + ) + ) + ) + ) + + ) = Aplicăm criteriul lui Rbe-Duhmel u ) + u Seri este covergetă + ) + 4 )!! )!! 4 ) 3 ) 3 + 4 = 3 > Problem 33 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 33 Clculăm it rportului + ++, > 0 = u + u + ++ + + ++ Aplicăm criteriul lui Rbe-Duhmel u ) ) + + = u + = + + + = l Dcă l > cee ce îsemă că < e ) tuci seri este covergetă Dcă > e, seri este divergetă Dcă = e, tuci cosiderâd v =, vem ) + u ++ v e e l e + ++ e + ++ l = e γ > 0 Coform criteriului comprţiei dică este divergetă = ) + ++ re ceeşi tură cu seri e, =
8 SEMINAR 3 SERII Problem 34 Să se stbilescă tur seriei + ) + )bb + ) b + ),! cc + ) c + ) = cu, b, c > 0, umită seri hipergeometrică Soluţie 34 Notăm cu u termeul geerl l seriei Clculăm it rportului u + u + )b + ) + )c + ) = Aplicăm criteriul lui Rbe-Duhmel u ) [ ] + + ) + b) u + ) + c) = c + b c + b) + c b) + ) + c) Dcă c > + b, seri este covergetă Dcă c < + b, seri este divergetă Dcă c = +b, tuci demostrăm pri iducţie că u b, oricre r fi N, Petru c =, vem eglitte Presupuem devărtă ieglitte petru şi o demostrăm petru + Folosid ieglitte obţiem + )b + ) c + ) = + + b c) + b c + ) = + b c + ) >, + )b + ) u + = u + )c + ) b + )b + ) c + )c + ) = b + )b + ) c + ) c + ) > b c + ) Di ieglitte u b c, rezultă, coform criteriului comprţiei, că seri = u este divergetă Problem 35 Să se stbilescă tur seriei Soluţie 35 = + tg ) + tg ) + tg ), 0, π Notăm cu u termeul geerl l seriei Clculăm it rportului u + u Aplicăm criteriul lui Rbe-Duhmel ) u u + tg + tg + + tg = + + ) + = Dcă, π/), seri este covergetă Dcă 0, ), seri este divergetă Dcă =, tuci folosid ieglitte : + tg x <, petru x 0, ), obţiem x u = + tg ) + tg ) + tg ) > + tg 3 Coform criteriului comprţiei, î cest cz, seri = u este divergetă = + tg ) Ieglitte este echivletă cu x)si x + cos x) < cos x, cre se obţie folosid mootoi fucţiei fx) = x)cos x + si x) cos x Îtr-devăr, f x) = cos x si x + x) si x + cos x) + si x V rezult f x) = x cos x x) si x < 0, petru orice x 0, ), cee ce e rtă că f este strict descrescătore pe 0, ) V rezult că fx) < f0) = 0
9 Problem 36 Să se stbilescă tur seriei l Soluţie 36 Fucţi f : [, ) R, fx) = x l x descrescătore O primitivă ei este F x) = x dt = l l x l l, t l t este cotiuă, pozitivă, strict cre tide l ifiit câd x Pe bz Criteriului itegrl, seri este DIV Probleme propuse Să se studieze tur seriilor folosid criteriile de comprţie 3 38 39 330 33 33 = + ) 4 + +, > +, > si 3 3 si x 3 = 333 334 335 336 33 338 = = = = e l + 3 + l + ) 3 l l ) =3 l l ) l 339 340 34 34 343 344 345 346 34 348 349 = = = = = 3 + ) α 4 +, α R 3 + 6 + 3 + + + si π α + ), α R rctg rcsi π = = = = = ) + ) l + l + + + + = +
0 SEMINAR 3 SERII Să se studieze tur seriilor 350 l ) 35 ) 3 + 4 + 3 35 353 354 355 ) + ) + 3 + + ) 3 ) + + + + 363 364 365 366 36 l l ) )!! x!, x R 3 ) 5 3 ) )!!! 368 si π rctg 3 356 35 ) 3 +3+ + 3 + 4 358 3 e 369 e ) e) e ) 30!, > 0 3 l, > 0 359 4) 5 + 4 + ) + 3, > 0 360 36 = 3 3 + + 3 ) 3 + 3 + 3 + + 3 = 3 4 ) 33 )! 4!) 34 ) [ ] ) + ) + ) + ) 36! 0 + 35 3 l l l Idicţii l problemele propuse 3 DIV 38 CONV 39 petru, ] DIV; petru > CONV 330 CONV 33 bsolut covergetă, deci CONV 33 CONV 333 CONV, folosid ieglitte e x + x 334 CONV, folosid ieglitte l + x) x 335 CONV 336 DIV, comprăm cu 33 DIV, comprăm cu 338 CONV,
comprăm cu, c şi l Problem 3 339 petru α < CONV; petru α DIV 340 DIV, comprăm cu 34 DIV, comprăm cu 34 petru α > CONV; petru α DIV 343 DIV, comprăm cu 344 CONV, comprăm cu 345 DIV, comprăm cu 346 DIV, comprăm cu 34 DIV, comprăm cu 348 DIV, comprăm cu 349 DIV, comprăm cu 350 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = 0 35 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = 0 35 DIV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = 353 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = 3 354 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = e/3 355 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = /e 356 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = ; tuci folosim criteriul comprţiei; cu ieglitte e < + +) + rezultă ) 3 +3+ < + seri cu termeul e 3 +3+ + ) + 3 +3+ = + + + ) < 3 +3+ e 3 +3+ + re ceeşi tură cu seri cu termeul e, cre este CONV, vezi Problem 3 35 CONV; plicăm criteriul rădăciii su rportului; vem L = 0 358 CONV; plicăm criteriul rădăciii su rportului; vem L = 3 e 359 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = 4/5 360 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = /3 36 CONV; plicăm criteriul rădăciii; vem L = / 36 DIV; plicăm criteriul rportului; vem L = + 363 DIV; plicăm criteriul rportului; vem L = / l 364 CONV; plicăm criteriul rportului; vem L = /e 365 CONV; plicăm criteriul rportului; vem L = 0 366 CONV; plicăm criteriul rportului; vem L = /3 36 CONV; plicăm criteriul rportului; vem L = /3 368 CONV; plicăm criteriul rportului; vem L = / 369 CONV; plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel; vem L = 30 plicăm criteriul rportului; vem L = /e; dcă < e covergetă; dcă > e DIV; dcă = e plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel; vem L = /; DIV 3 plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel; vem L = l ; dcă > /e tuci DIV; ) l = dcă < /e tuci CONV; dcă = /e tuci seri iiţilă e este DIV 3 plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel; dcă > tuci L = şi seri este DIV; dcă < tuci L = + şi seri dtă este CONV; dcă =, tuci seri iiţilă este DIV 33 DIV; plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel; vem L = / 34 plicăm criteriul lui Rbe-Duhmel; vem L = 4 + ; dcă < 0 DIV; dcă > 0 CONV; dcă = 0 seri dtă este CONV 35 DIV; se plică Criteriul itegrl