Grupul ortogonal Mircea Crasmareanu Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, 700506 România mcrasm@uaic.ro http://www.math.uaic.ro/ mcrasm Curs de Perfecţionare 2007 9 Figuri Abstract However varied may be the imagination of man, nature is still thousand times richer. H. Poincaré 1
Paginile care urmează sunt rodul unor întrebări. Deşi întrebările au un caracter general, în sensul că şi le poate pune orice profesor de matematică (sau om de ştiinţa, sau şi mai general, orice om răspunsurile sunt particulare, pentru că în matematică (sau, cum spuneam în ştiinţă nu există dictatură! Astfe, rândurile următoare sunt o invitaţie la căutare, la gustare din bucuriile acestei lumi, atât cât au fost ele găsite de autor. În mod sigur, sunt mult, mult mai multe! Şi iată deci un hăţiş al întrebărilor, puse de autor sieşi de-a lungul timpului: 1 La pagina xi din [3] Ediţia engleză a cărţii citate ( apare citată o legendă a anilor 20 ai secolului trecut precum că există doar doisprezece oameni în lume care îl pot înţelege cu adevărat pe Einstein. Cel ce scrie aici predă geometria euclidiană, un subiect cu adevărat înţeles de mult mai mulţi. Dar oare sunt printre aceşti preafericiţi sau am doar o viziune exterioară, înşelătoare asupra acestei teorii? Revenind la cartea citată, abia acum reuşesc, având şi un model de comparat, să apreciez la justa valoare, cărţile Floricăi T. Câmpan de istorie a lui i şi a altor numere celebre. 2
Concursul Florica T. Campan (? - 19? 2 Pe coperta a IV-a a cărţii [5] este următoarea povestioară: Cinci orbi au pipăit un elefant şi li s-a cerut să-l descrie. Cel ce i-a atins un picior a spus că-i un stâlp, cel ce i-a atins burta a spus că-i un tavan, cel ce i-a pipăit o latura a spus că-i un zid, cel ce i-a atins urechea a spus că-i un evantai, iar cel ce i-a atins trompa a spus că-i un şarpe uriaş. Asemeni autorului respectivei cărţi, mă întreb şi eu: care dintre orbi sunt, relativ la elefantul numit geometrie euclidiană? 3
Note de curs Fixăm numărul natural nenul n şi R mulţimea numerelor reale. Considerăm produsul cartezian a n factori R i.e. R n = R... R cu elemente de forma x = (x 1,..., x n, x i R, 1 i n. Definiţia 1 Operaţii pe R n : adunarea + : R n R n R n, x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n dacă x = (x 1,..., x n, y = (y 1,..., y n. înmulţirea cu scalari: R : R R n R n, λx = (λx 1,..., λx n pentru λ R. Elementele x, y R n pentru care există scalarul λ a.î. y = λx se numesc coliniare. Dacă λ > 0 spunem că x, y sunt la fel orientaţi iar dacă λ < 0 spunem că x, y sunt contrar orientaţi. Propoziţia 2 (R n, +, R este spaţiu vectorial (sau liniar real. Demonstraţie Se verifică imediat axiomele: SV1 (R n, + este grup abelian cu elementul neutru 0 = (0,..., 0 numit vectorul nul. SV2 distributivităţi generalizate: SV2.1 λ(x + y = λx + λy SV2.2 (λ + µx = λx + µx SV2.3 λ(µx = (λµx SV2.4 1 x = x. Observaţia 3 Din acest motiv, elementele lui R n le vom numi vectori (reali n-dimensionali iar R n îl numim spaţiul aritmetic n-dimensional. Definiţia 4 1 Un set de k( n vectori {e 1,..., e k } din R n îl numim liniar independent dacă relaţia λ 1 e 1 +... + λ k e k = 0 implică λ 1 =... = λ k = 0. 2 Un set liniar independent de exact n vectori îl numim bază în R n. Observaţia 5 Pentru simplificarea scrierii relaţiilor de tipul precedent vom utiliza regula Einstein: apariţia unui indice sus şi jos semnifică sumarea expresiei repective după toate valorile acelui indice. Astfel, relaţia din definiţie se poate scrie concentrat: λ i e i = 0. 4
Albert Einstein (1879-1955 Fixăm baza B = {e i } 1 i n şi vectorul x. Sistemul {x, e 1,..., e n } având n+1 > n vectori nu este liniar independent şi deci există scalarii α, α 1,..., α n nu toţi nuli a.î.: αx + α i e i = 0. În ultima relaţie nu putem avea α = 0. În adevăr, presupunând α = 0 ar rezulta α i e i = 0, ceea ce, cu definiţia liniarei independenţe, ar da că toţi α i sunt nuli; în concluzie s-ar contrazice cuvintele sublinite anterior. Din neanularea lui α rezultă: x = αi e α i şi deci am obţinut: Propoziţia 6 Orice x R n se descompune în raport cu o bază dată B: x = x i e i. (1 Mai mult, scrierea (1 este unică relativ la B! Demonstraţie Trebuie arătată doar ultima parte. Din x = x i e i = x i e i rezultă (x i x i e i = 0 şi din nou liniara independenţă dă concluzia. Definiţia 7 Scalarii {x i } 1 i n daţi de descopunerea (1 se numesc componentele lui x în raport cu baza B Exemplul 8 Se arată imediat că B c = {e i } 1 i n cu e i = (0,..., 1,..., 0 având 1 doar pe locul i este o bază în R n. B c o numim baza canonică a lui R n şi un vector x R n are drept componente în raport cu B c exact componentele sale ca vector n-dimensional. În afară de structura algebrică de R-spaţiu vectorial, R n posedă o structură topologică indusă de o metrică ce provine dintr-un produs scalar. 5
Definiţia 9 1 Aplicaţia <, >: R n R n R: < x, y >= x 1 y 1 +... + x n y n (2 se numeşte produsul scalar euclidian pe R n. Avem: < x, x >= ( n (x i 2 1 2. (3 Perechea (R n, <, > o numim spaţiul vectorial euclidian n-dimensional canonic. Doi vectori x, y R n îi numim ortogonali (sau perpendiculari, şi notăm x y, dacă: < x, y >= 0. (4 Exemplu remarcabil în 2D: Dacă x = (a, b R 2 atunci x = ( b, a este perpendicular pe x. Această alegere (deoarece şi x este perpendicular pe x este în acord cu sensul trigonometric (care este antiorar!: i = ( 1, 0. 2 Aplicaţia, : R n R +, x = < x, x > o numim norma euclidiană pe R n. Obţinem: x = (x 1 2 +... + (x n 2. (5 Vectorul x R n pentru care x = 1 se numeşte versor. 3 Baza B = {e i } 1 i n o numim ortonormată dacă este formată din versori ortogonali doi câte doi i.e.: < e i, e j >= δ ij (6 unde δ este simbolul lui Kronecker adică 1 dacă i = j şi 0 dacă i j. Leopold Kronecker (7.12.1823-29.12.1891 6
Observaţia 10 1 Avem noţiunile generale de produs scalar şi normă: i Numim produs scalar pe spaţiul vectorial real V o aplicaţie <, >: V V R cu proprietăţile: PS1 pozitiva definire: < x, x > 0, x V ; < x, x >= 0 x = 0 V, PS2 simetria: < x, y >=< y, x >, PS3 biliniaritatea: < λx + µy, z >= λ < x, z > +µ < y, z >. Perechea (V, <, > o numim spaţiu vectorial euclidian. (ii Numim normă pe spaţiul vectorial V o aplicaţie : V R cu proprietăţile: N1 (pozitiva definire x 0, x V ; x = 0 x = 0 V =vectorul nul din V, N2 (pozitiva omogenitate λx = λ x, N3 (inegalitatea triunghiului x + y x + y. Perechea (V, o numim spaţiu vectorial normat. (iii O inegalitate ce leagă noţiunile de produs scalar şi normă este: < u, v > u v (7 numită forma geometrică a inegalităţii CBS (Cauchy-Buniakovski-Schwartz. Cauchy (1789-1857 Pe un spaţiu vectorial euclidian putem introduce unghiul orientat dintre doi vectori nenuli: dacă x, y (V \ {0 V }, <, > atunci definim θ = θ(x, y [0, π prin: cosθ = < x, y > x y. (8 7
Rezultă inegalitatea cos θ 1 şi caracterizarea cunoscută a ortogonalităţii: x y θ(x, y = π 2 y x Fig. 1 Vectori ortogonali 2 Orice produs scalar generează o normă : după formula: (V, <, > (V, x = < x, x > (9 3 Apelând la (4 obţinem forma algebrică a inegalităţii CBS: ( n n ( u i v i 2 ( n u i 2 ( v i 2. (10 Avem egalitate dacă şi numai dacă cos θ (u, v = 1, echivalent vectorii u, v sunt coliniari, echivalent avem proporţionalitatea v1 =... = vn (= λ. u 1 u n 4 Identitatea paralelogramului este specifică normelor generate de un produs scalar: u, v (V, <, > avem: u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2. (11 Semnificaţia geometrică (ce dă şi denumirea: suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor. Demonstraţie Se adună relaţiile: { u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 < u, v > u v 2 = u 2 + v 2 2 < u, v >. Să mai observăm că prima din relaţiile precedente este exact teorema Pitagora generalizată sau teorema cosinusului: u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v cos θ (u, v (12 8
sau încă, alegând u = BA, v = AC: BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB AC cos ( deoarece BA, AC = π Â. Literal, avem: ( π  a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. (13 Evident, pentru triunghiul dreptunghic în A, i.e.  = π, avem teorema 2 Pitagora ce spune că pătratul ipotenuzei (latura ce se opune unghiului drept  este egal cu suma pătratelor catetelor. C b a = b 2 + c 2 c A B Fig. 2 Teorema Pitagora Pitagora (c.580 î.hr. - c.500 î.hr. Deoarece lucrul cu indici poate deveni la un moment dat deosebit de dificil vom utiliza în cele ce urmează calculul matriceal. Astfel, cu schema x B X B = x 1. x n relaţia (1 se scrie: x = (e 1,..., e n 9 x 1. x n = B X B. (14
Produsul scalar se poate scrie: < x, y >= (x 1,..., x n y 1. y n De asemeni, condiţia de ortonormare pentru baze devine: t B B = e 1. e n ( e 1... e n = = t x y. (15 < e 1, e 1 >... < e 1, e n >......... < e 1, e n >... < e n, e n > Exemplul 11 Baza canonică B c este ortonormată. = I n. (16 Studiem în continuare problema schimbărilor de baze în R n. Fie deci B = {e 1,..., e n } respectiv B = {e 1,..., e n} baze (oarecare într-o primă fază! în V n. Descompunem vectorul e i în baza B cu relaţia e i = s j i e j şi obţinem astfel ansamblul (s 1 i,..., s n i asociat vectorului e i. Fie S matricea ce are drept coloane ansamblurile precedente: s 1 1 s 1 i s 1 n..... S = s n 1 s n i s n n e 1 e i e n este o matrice pătratică de ordin n i.e. S M n (R. Reţinem convenţia de notare a elementelor unei matrici: indicele superior reprezintă linia iar indicele inferior reprezintă coloana! Matricea S o numim matricea de trecere de la B la B şi notăm B = S(B. Spre exemplu, în unele cărţi aceeaşi matrice se noteză cu C iniţiala cuvântului englez change=schimbare. O altă scriere a relaţiei dintre B şi B, formală dar deosebit de utilă în cele ce urmează, este: B = B S (17 în care gândim bazele ca matrici linie de vectori şi scalarii din S, deşi apar în dreapta vectorilor, îi regândim în stânga. Propoziţia 12 (i Dacă B = S(B şi B = S (B atunci B = SS (B. (ii Matricea S este inversabilă şi avem B = S 1 (B. 10
Demonstraţie (i Relaţia B = B S = (B S S = B (SS dă concluzia. (ii Fie B = B. Aplicând (i rezultă că matricea de trecere de la B la B este SS dar evident că aceasta este matricea unitate I n. Prin urmare S este inversabilă şi S matricea de trecere de la B la B este exact S 1. Combinarea relaţiilor (13 şi (14 conduce la: ceea ce implică următorul rezultat fundamental: t B B = t S ( t BB S (18 Propoziţia 13 (i Dacă B şi B sunt ortonormate atunci S satisface: t S S = I n. (19 (ii Reciproc, dacă B este ortonormată şi S satisface identitatea precedentă atunci B este ortonormată. Demonstraţie (i Înlocuim t B B = t B B = I n în (10. (ii În condiţiile ipotezei avem t B B = I n ceea ce dă concluzia. Suntem astfel conduşi la introducerea: Definiţia 14 O matrice S M n (R o numim n-ortogonală dacă: t S S = I n. Notăm cu O(n mulţimea matricilor n-ortogonale. Cum inversul unui element într-un monoid, dacă există, este unic, considerând monoidul (M n (R \ {O n }, avem că o matrice n-ortogonală este caracterizată şi de relaţia S t S = I n. Prin urmare avem următorul criteriu complet de recunoaştere a matricilor n-ortogonale: Propoziţia 15 Pentru S M n (R următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i S O(n, (ii t S S = I n, (iii coloanele lui S constituie o bază ortonormată în R n, (iv S t S = I n, (v liniile lui S constituie o bază ortonormată în R n. Datorită punctului (ii din Propoziţia 12 introducem mulţimea: GL(n, K = {A M n (R; A inversabilă}. (20 11
Propoziţia 16 GL(n, R este grup relativ la înmulţirea matricilor, neabelian pentru n 2. Demonstraţie i Dacă A, B GL(n, R atunci AB GL(n, R cu (AB 1 = B 1 A 1. Deci înmulţirea este lege internă pe GL(n, R. ii Înmulţirea matricilor este asociativă. iii Element neutru este matricea identitate I n şi evident I n GL(n, R cu In 1 = I n. iv Dacă S GL(n, R atunci există S 1 şi evident S 1 GL(n, R cu (S 1 1 = S. Definiţia 17 GL(n, R se numeşte n-grupul liniar general real. Observaţia 18 (i Rezultatul anterior are loc mai general pentru GL(n, K cu K un corp oarecare. Avem astfel şi n-grupul liniar general complex GL(n, C. (ii Spre exemplu, GL(1, K = K. Un rezultat central al acestui curs este următorul: Propoziţia 19 O(n este subgrup în GL(n, R. Demonstraţie i Fie A, B O(n. Din: rezultă că AB O(n. ii Fie S O(n oarecare. Din: t (ABAB = t B t AAB = t BI n B = t BB = I n t (S 1 S 1 = t ( t S t S = S t S = I n (conform punctului (iv al propoziţiei 15 rezultă că S 1 O(n. Definiţia 20 O(n se numeşte n-grupul ortogonal. Reamintim două funcţii matriceale remarcabile pe mulţimi de matrici pătratice: A Funcţia determinant det : M n (R R, pe o utilizăm la caracterizarea elementelor lui GL(n, R. Astfel, GL(n, R = {A M n (R; deta 0}. Proprietăţi: A1 este invariantă la transpunere: det( t A = det A. Reamintim că o matrice A pentru care t A = A (respectiv t A = A o numim simetrică (respectiv antisimetrică. A2 este multiplicativă: det(ab = deta detb. 12
Această proprietate spune că restricţia det GL(n,K K este morfism de grupuri multiplicative. Acest morfism este surjectiv dar nu este izomorfism nefind injectiv. Cum deti n = 1 rezultă: A3 det comută cu luarea inversei: S GL(n, K dets 1 = (dets 1 = detsḃ 1 Funcţia urmă T r : M n(r R, T ra = n a i i. Proprietăţi: B1 este invariantă la transpunere: T r( t A = T ra. B2 este operator liniar T r(λa + µb = λt ra + µt rb adică T r (M n (R =dualul spaţiului vectorial real M n (R. B3! este invariantă la permutări circulare: T r(abc = T r(bca. B4 înlocuind C = I n în B3 avem: T r(ab = T r(ba. B5 tot din B3 rezultă că dacă S GL(n, K atunci T r(sas 1 = T ra. Teorema 21 Funcţia <, >: M m,n (R M m,n (R R: este un produs scalar pe M m,n (R Demonstraţie T r( t A A = 1 n A = O m,n = matricea nulă. < A, B >= 1 n T r(t B A (21,mj=1,n ai j 2 0; T r( t A A = 0 n < B, A >= T r( t A B = T r( t ( t A B = T r( t B A = n < A, B >. Liniaritatea în primul argument rezultă imediat din liniaritatea urmei. Definiţia 22 Produsul scalar (21 se numeşte produsul scalar Hilbert- Schmidt. Norma indusă o vom numi norma Hilbert-Schmidt. David Hilbert (23.01.1862-14.02.1943 13
Propoziţia 23 Produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizează produsul scalar euclidian (când n = 1. Din acest motiv folosim aceeaşi notaţie. Demonstraţie Dacă n = 1 avem x, y M m (R şi < x, y >= T r( t y x = t y x deoarece t y x este un scalar fiindcă t y M 1,n (R şi x M n,1 (R implică t y x M 1,1 (R = R. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizează produsul scalar euclidian. Un rezultat extrem de util este datorat inegalităţii Cauchy-Buniakowski- Schwarz care devine: Propoziţia 24 Norma Hilbert-Schmidt este submultiplicativă i.e.: AB A B. (22 Suntem uneori interesaţi în schimbarea locului unei matrici în cadrul produsului scalar: Propoziţia 25 Dacă A, B, C M n (R atunci: < A B, C >=< B, t A C >, (23 Demonstraţie < B A, C >=< B, C t A >. (24 n < B, t A C >= T r( t(t AC B = T r (t CAB = n < A B, C >, n < B, C ta >= T r( t(t CA B = T r (t ACB = T r (t CBA = n < B A, C >. Corolarul 26 Dacă S O(n şi A M n (R atunci: Demonstraţie SAS 1 = A. (25 < SAS 1, SAS 1 >=< AS 1, t SSAS 1 >=< AS 1, AS 1 >= =< A, AS 1t ( S 1 >=< A, AS 1 S >=< A, A >. Definiţia 27 Matricile A, B M n (K se numesc asemenea (în engleză similar dacă există S GL(n, K a.î.: B = SAS 1. (26 14
Propoziţia 28 Două matrici asemenea au acelaşi determinant şi aceeaşi urmă. Dacă S O(n atunci au şi aceeaşi normă. Fie S O(n. Trecând la determinant în relaţia caracteristică t S S = I n şi folosind proprietatea A1 obţinem (dets 2 = 1 ceea ce conduce la: Propoziţia 29 Dacă S O(n atunci dets { 1, +1}. Definiţia 31 Considerăm O (n = {S O(n; dets = 1} şi SO(n = {S O(n; dets = +1}. Propoziţia 32 O (n nu este parte stabilă la înmulţirea matricilor deci nu este subgrup în O(n. Demonstraţie Fie S 1, S 2 O (n. Atunci det(s 1 S 2 = ( 1( 1 = +1 deci S 1 S 2 SO(n. Propoziţia 33 SO(n este subgrup în O(n. Demonstraţie Un calcul imediat arată că SO(n este parte stabilă la înmulţirea matricilor. Fie S SO(n oarecare. Cum S 1 = S t din proprietatea A1 rezultă că dets 1 = dets = +1 i.e. S 1 SO(n. Definiţia 34 SO(n se numeşte n-grupul ortogonal special. Exemplul 35 O(1 = { 1, +1}, O (1 = { 1}, SO(1 = {+1}. Definiţia 36 Fie spaţiul vectorial normat (V,, elementul x 0 V şi numărul real r > 0. Mulţimea S(x 0, r = {x V ; x x 0 = r} o numim sfera centrată în x 0 de rază r. Exemplul 37 Sfera unitate este S n = {x V ; x = 1}. Astfel, cercul unitate S 1 este binecunoscutul cerc trigonometric S 1 = {z C; z = 1} al numerelor complexe de modul 1. y S 1 i x Fig. 3 Cercul unitate 15
Propoziţia 38 O(n este sfera din M n (R centrată în origine=matricea nulă, de rază r = 1 relativ la distanţa indusă de norma Hilbert-Schmidt. Demonstraţie Fie S O(n oarecare. Avem: d(o n, S = S = < S, S > = 1 T n r(st 1 S = T ri n n = 1. Încheiem acest curs cu o consecinţă importantă a Propoziţiei 25: TEOREMĂ: Relaţia fundamentală a geometriei euclidiene Fie A, B M n (R şi S O(n. Atunci: < SA, SB >=< A, B >, < AS, BS >=< A, B >. (27 În particular, dacă x, y R n atunci: < Sx, Sy >=< x, y >. (28 Relaţia (27 spune că O(n invariază produsul scalar euclidian pe R n. Cum ortogonalitatea şi norma euclidiană sunt generată de produsul scalar euclidian avem şi: COROLAR O(n invariază i ortogonalitatea i.e. x y Sx Sy, ii norma euclidiană pe R n i.e.: Sx = x. (29 Mai general, datorită relaţiei (8 avem că O(n invariază orice unghi. 16
1 SEMINAR: Grupul ortogonal S1.1 Fie GL + (n, R respectiv GL (n, R mulţimea matricilor cu determinant strict pozitiv repectiv strict negativ. Să se arate că GL (n, R nu este parte stabilă la înmulţire şi că GL + (n, R este subgrup în GL(n, R. Rezolvare Aceleaşi argumente ca la Propoziţiile 32 şi 33. S1.2 Să se arate că mulţimea SL(n, R a matricilor de determinant +1 este subgrup în GL + (n, R. Acest grup se numeşte n-grupul liniar special real. Rezolvare Verificărea condiţiilor de subgrup este imediată. Exemplu: SL(1, R = SO(1 = +1. Pentru n 2 avem SO(n SL(n, R după cum o arată exerciţiul S4. S1.3 Utilizând rezultatul precedent şi Propoziţia 19 să se reobţină că SO(n este subgrup în O(n. Rezolvare Avem: SO(n = O(n SL(n, R. S1.4 Să se arate că matricea: S = este în SL(2, R dar nu este în SO(2. Rezolvare Avem det S = 1 şi: t SS = ( 3 2 4 3 ( 3 4 2 3 ( 3 4 2 3 = ( 13 18 18 25 I 2. S1.5 Să se determine O(2. Interpretare geometrică pentru SO(2. Rezolvare Reamintim că pentru A O(n coloanele sale sunt versori ortogonali doi câte doi. Un versor în R 2 este de forma ū = (cosϕ, sinϕ iar un versor ortogonal pe acesta este ū = ±( sinϕ, cosϕ. Cazul I ( cos ϕ sin ϕ R ϕ =, ϕ [0, 2π (30 sin ϕ cos ϕ descrie SO(2. Interpretarea geometrică cerută este următoarea: transformarea liniară a lui R 2 de matrice R ϕ este rotaţia de unghi ϕ în sens trigonometric (i.e. antiorar din origine! 17
Cazul II descrie O (2. ( cos ϕ sin ϕ S ϕ = sin ϕ cos ϕ, ϕ [0, 2π (31 S1.6 (Interpretare geometrică pentru O (2 Fie d ϕ/2 dreapta din plan ce trece prin origine şi face unghiul orientat ϕ/2 cu axa Ox. Să se arate că simetria axială în raport cu d ϕ/2 este transformarea liniară pe R 2 de matrice S ϕ. Exemple. Rezolvare Ecuaţia lui d ϕ/2 : y = tg ϕ x se scrie d 2 ϕ/2 : sin ϕ x+cos ϕ y = 2 2 0 deci această dreaptă are versorul normalei N = ( sin ϕ, cos ϕ. Avem 2 2 formula: r M = r M 2F π (r M N (32 N 2 ce dă simetricul M al punctului M faţă de hiperplanul π de normală N, deci de ecuaţie π : F π (r :=< r, N >= 0. Prin urmare, simetria axială faţă de dreapta d = d ϕ/2 are ecuaţia: S d (x, y = (x, y 2(sin ϕ 2 x + cosϕ 2 y( sinϕ 2, cosϕ 2 = = (x(1 2 sin 2 ϕ 2 + 2y sin ϕ 2 cos ϕ 2, 2x sin ϕ 2 cos ϕ 2 + y(1 2 ϕ cos2 2 = ( x = (x cos ϕ + y sin ϕ, x sin ϕ y cos ϕ = S ϕ. y Exemple: I ϕ = 0 d ϕ/2 =axa Ox. Avem deci simetria faţă de Ox: ( ( ( ( 1 0 1 0 x x S 0 =, S 0 1 Ox (x, y = = 0 1 y y În engleză S 0 se numeşte reflection across x-axis. y (x, y x (x, y. (33 18
Fig. 4 Simetria faţă de Ox II ϕ = π d ϕ/2 =axa Oy. Avem deci simetria faţă de Oy: ( ( ( ( 1 0 1 0 x x S π =, S 0 1 Oy (x, y = = 0 1 y y y ( x, y (x, y x. (34 Fig. 5 Simetria faţă de Oy III ϕ = π d 2 ϕ/2 =prima bisectoare B 1. Avem deci simetria faţă de B 1 : ( ( ( ( S π 0 1 0 1 x y =, S 2 1 0 B1 (x, y = =. (35 1 0 y x y B 1 IV ϕ = 3π 2 B 2 : S 3π 2 = ( 0 1 1 0 Fig. 6 Prima bisectoare x d ϕ/2 =a doua bisectoare B 2. Avem deci simetria faţă de ( 0 1, S B2 (x, y = 1 0 ( x y = ( y x. (36 19
B y 2 x Fig. 7 A doua bisectoare S1.7 (Compunerea simetriilor axiale în plan Fie d 1, d 2 drepte în plan prin origine şi α unghiul orientat de la d 1 la d 2. Să se arate că simetria axială faţă de d 1 compusă cu cea faţă de d 2 este rotaţia de unghi α. Rezolvare Un calcul imediat, folosind identităţi trigonometrice, dă: S1.8 Să se arate că: şi să se interpreteze. S ϕ2 S ϕ1 = R ϕ2 ϕ 1 = R α (37 R ϕ1 R ϕ2 = R ϕ1 +ϕ 2 (38 Rezolvare Folosind identităţi trigonometrice relativ la cosinusul şi sinusul sumei de unghiuri avem relaţia cerută. Interpretare: avem că grupul SO(2 este abelian, rezultat ce nu este valabil pentru SO(n cu n 3. S1.9 Să se arate că: S θ R ϕ = S θ ϕ (39 R θ S ϕ = S θ+ϕ. (40 Rezolvare Se folosesc din nou identităţile trigonometrice uzuale. S1.10 Fixăm S O (n. Să se arate că O (n = {RS; R SO(n}. Trataţi cazul particular n = 2. Rezolvare Fixăm A O (n; trebuie să rezolvăm ecuaţia A = RS în necunoscuta R. Cum S O (n O(n=grup, există S 1 O(n. Avem deci soluţia unică R = AS 1 O(n. Din multiplicitatea determinatului rezultă det R = ( 1( 1 = +1 adică R SO(n. 20
Exemplu. Putem lua simetria faţă de primul hiperplan: 1... S = S n = 1 O (n. 1 Caz particular n = 2. problemei S6. Avem: RS = R ϕ Fixăm R = R ϕ şi S = S 2 coincide cu S 0 a ( 1 0 0 1 reobţinând astfel expresia matricilor din O (2. = S ϕ S1.11 Se cere inversa S 1 θ a simetriei S θ O (2. Rezolvare Folosind (37 avem: S θ S θ = R θ θ = R 0 = I 2 (41 şi deci: S 1 θ = S θ. (42 S1.12 Să se arate că singurele rotaţii ce comută cu simetria S ϕ O (2 sunt R 0 = I 2 şi R π = I 2. Rezolvare Presupunem S ϕ R θ = R θ S ϕ şi utilizăm (39 şi (40; rezultă S ϕ θ = S θ+ϕ. Reamintim că S α = S β este echivalent cu β α(mod2π şi deci: θ + ϕ = ϕ θ + 2kπ, k Z. Rezultă θ = kπ dar din θ [0, 2π avem k {0, 1} ceea ce voiam. S1.13 Se numeşte centru al grupului G mulţimea Z(G a elementelor lui G ce comută cu toate elementele lui G i.e. Z(G = {x G; xy = yx, y G}. (Spre exemplu, dacă G este abelian atunci Z(G = G. Folosind problema precedentă se cere centrul lui O(2. Rezolvare Deoarece SO(2 este abelian avem că Z(O(2 este dat de elementele lui O(2 ce comută cu cele din O (2. Datorită rezultatului anterior avem Z(O(2 = {+I 2, I 2 }. Pentru cazul general avem rezultatul următor, [6, p. 144]: Z(SO(2n = {+I 2n, I 2n } Z 2 (43 21
Z(SO(2n + 1 = {I 2n+1 } grupul trivial (44 unde înseamnă izomorfism de grupuri iar Z 2 = {ˆ0, ˆ1} este grupul aditiv al claselor de resturi modulo 2. S1.14 Să se arate că Z(GL(n, R = {λi n ; λ R }. Rezolvare Fie x Z(GL(n, R şi: 1 yn 1 1 =.. GL(n, R.. 1 În matricea produs xy prima coloană este -prima coloană din x iar în matricea produs yx prima linie este -prima linie din x. Din egalitatea xy = yx rezultă că pe prima coloană şi prima linie din matricea x nu rămâne decât x 1 1. Procedând analog cu matricile yn, 2..., yn n rezultă că x este matrice diagonală: x = x 1 1 x 2 2... x n n Fie acum pentru i, j {1,..., n} indici diferiţi, matricea zn ij ce schimbă între ele liniile i, j din matricea I n. Avem zn ij GL(n, R iar comutarea xzn ij = zn ij x implică rezultatul.. S1.15 Dat grupul G cu elementul neutru e şi elementul x G dacă există n N a.î. x n = e atunci cel mai mic m N pentru care x m = e se numeşte ordinul lui x în G (sau, cu o denumire mai veche, perioada lui x în G. În caz contrar, spunem că x are ordin infinit. Se cere ordinul elementelor lui O(2. 2. Rezolvare Dată simetria S θ, datorită relaţiei (40 avem că S θ are ordinul Fie acum rotaţia R ϕ. Datorită relaţiei (38 avem: şi deci avem două cazuri: I ϕ=multiplu raţional de 2π. R n ϕ = R nϕ (45 22
Dacă ϕ = 2kπ n atunci R ϕ are ordinul n. II ϕ=multiplu iraţional de 2π. Atunci R ϕ are ordin infinit. S1.16 Un subgrup H al grupului G se numeşte divizor normal dacă avem xhx 1 = H pentru orice x G. Să se arate că SL(n, K este divizor normal în GL(n, K. Consecinţă pentru SO(n. Rezolvare Fie S GL(n, K şi U SL(n, K. Deoarece GL(n, K este grup avem că SUS 1 GL(n, K iar din multiplicativitatea determinantului rezultă det(sus 1 = detu = +1 i.e. U SL(n, K. Consecinţă: SO(n = SL(n, R O(n este divizor normal în O(n. Observaţie Dacă G este grup abelian atunci orice subgrup al său este divizor normal. Exemplu: S 1 este divizor normal în C ; a se vedea Consecinţa de la exerciţiul S20. S1.17 Folosind formulele (37 (40 să se reobţină faptul că SO(2 este divizor normal în O(2. Rezolvare Avem: = R θ+ϕ+( θ = R ϕ SO(2, = S θ R ϕ S θ = R θ (θ+ϕ = R ϕ SO(2. 1 R θ R ϕ R 1 θ 2 S θ R ϕ S 1 θ S1.18 Să se arate că funcţia modul : C R +, z = x + iy z = x2 + y 2 este multiplicativ ă: z 1 z 2 = z 1 z 2. (46 Rezolvare Dacă z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2 atucni: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 (47 şi atunci relaţia cerută este echivalentă cu: (x 1 x 2 y 1 y 2 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 2 = (x 2 1 + y1(x 2 2 2 + y2 2 (48 care este adevărată, ambii membrii fiind (x 1 x 2 2 +(x 1 y 2 2 +(x 2 y 1 2 +(y 1 y 2 2. Observaţie Modulul este de fapt norma euclidiană pe R 2 = C. S1.19 Să se arate că (C, este grup abelian. 23
Rezolvare 1 Se arată imediat că produsul a dou a numere complexe nenul este un număr complex nenul folosind proprietatea analoagă de la numere reale. 2 Se verifică prin calcul asociativitatea înmulţirii numerelor complexe. 3 Element neutru este 1 = 1 + i 0. 4 Privind la relaţia (47 se observă imediat invarianţa indicilor la permutarea 1 2 ceea ce înseamnă comutativitatea z 1 z 2 = z 2 z 1. 5 Fie numărul complex z = x + iy C şi conjugatul său z = x iy care aparţine tot lui C. Avem: z z = z 2 (49 şi din z nenul avem z > 0. Avem atunci inversul: z 1 = 1 z. (50 z 2 S1.20 Să se arate că S 1 este subgrup în C. Consecinţă asupra comutativităţii lui S 1. Rezolvare 1 Fie z 1, z 2 S 1. Din (46 avem: z 1 z 2 = z 1 z 2 = 1 1 = 1 i.e. z 1 z 2 S 1. 2 Fie z S 1. Conform (50 avem: z 1 = z. (51 y S 1 z x z 1 = z Fig. 8 Inversul unui element din cercul unitate Dar: z = z (52 şi deci z 1 = z = z = 1 i.e. z 1 S 1. Consecinţă Cum C este abelian rezultă că şi S 1 este abelian. S1.21 Fie J : C GL(2, R, z = x + iy J(z: ( x y J(z = xi 2 + yj 2 = y x 24 (53
unde: J 2 = ( 0 1 1 0. (54 Să se arate că J este morfism injectiv de grupuri multiplicative. Interpretare pentru funcţia modul. Rezolvare Observăm mai întâi faptul că z fiind nenul avem, în adevăr, J(z GL(2, R. 1 J(z 1 = J(z 2 implică, via egalitatea primei coloane, z 1 = z 2. 2 ( ( x1 y x2 y J (z 1 J (z 2 = 2 = y 1 x 1 1 y 2 x 2 ( x1 x = 2 y 1 y 2 (x 1 y 2 + x 2 y 1 = J(z x 1 y 2 + x 2 y 1 x 1 x 2 y 1 y 1 z 2. 2 Interpretare: z 2 = detj(z. (55 Obţinem astfel o altă demonstraţie pentru multiplicativitatea modulului: z 1 z 2 2 = det(j(z 1 z 2 = det(j(z 1 J(z 2 = detj(z 1 detj(z 2 = z 1 2 z 2 2. S1.22 Să se arate că: J 2 2 = I 2. (56 Deci, J 2 este o extensie 2-dimensională a unităţii complexe i = 1. Din acest motiv, J 2 se numeşte structura complexă (sau uneori structura simplectică a planului. Rezolvare J 2 2 = ( 0 1 1 0 ( 0 1 1 0 = ( 1 0 0 1. S1.23 Să se arate că J 2 SO(2. Rezolvare t J 2 J 2 = ( 0 1 1 0 ( 0 1 1 0 = ( 1 0 0 1 şi detj 2 = +1. 25
S1.24 Să se arate că: J(S 1 = SO(2. (57 Rezolvare Fie z C cu scrierea trigonometrică: z = z (cosϕ + isinϕ. Dacă z S 1 atunci: z = cosϕ + isinϕ şi deci J(z = R ϕ SO(2. y S 1 z sinϕ x cosϕ Fig. 9 Un element din cercul unitate şi scrierea sa trigonometrică Consecinţă foarte importantă Cum J era deja morfism injectiv avem izomorfismul de grupuri: SO(2 S 1. (58 O altă observaţie importantă este aceea că aplicaţia J conservă nu numai structura algebrică (de grup ci şi cea metrică deoarece atât elementele lui S 1 cât şi cele ale lui SO(2 au norma (euclidiană=modul, respectiv Hilbert- Schmidt egală cu 1. Spunem că J este o izometrie. S1.25 Să se expliciteze izomorfismul J în termeni de exponenţială. Interpretare pentru înmulţirea exponenţialelor. Rezolvare Fie z C cu scrierea trigonometrică: z = z (cosϕ + isinϕ. Reamintim că z admite şi scrierea exponenţială: z = z e iϕ. (59 Rezultă: J(e iϕ = R ϕ. (60 Interpretare Din ultima relaţie reobţinem binecunoscuta lege de înmulţirea exponenţialelor: e iϕ1 e iϕ 2 = J 1 (R ϕ1 J 1 (R ϕ2 = J 1 (R ϕ1 R ϕ2 = J 1 (R ϕ1 +ϕ 2 = e i(ϕ 1+ϕ 2 26
care înseamnă relaţia lui Moivre: (cosϕ + isinϕ(cosθ + isinθ = cos(ϕ + θ + isin(ϕ + theta. (61 În particular: (cosϕ + isinϕ n = cos(nϕ + isin(nϕ. (62 S1.26 Fie A M n (R şi λ C. 1 λ se numeşte rădăcină caracteristică a lui A dacă este rădăcină a polinomului caracteristic: P A (λ = det(a λi n. (63 2 Dacă λ R atunci λ se numeşte valoare proprie dacă există x R n { 0} a.î.: Ax = λx. (64 Acest x se numeşte vector propriu corespunzător valorii proprii λ. Să se arate că orice valoare proprie este rădăcină caracteristică. Consecinţă pentru n impar. Rezolvare Relaţia (62 este echivalentă cu sistemul: (A λi n x = { 0} care este liniar şi omogen. Ştim că un astfel de sistem admite soluţie nenulă dacă şi numai dacă determinantul sistemului este nul. Consecinţă. Gradul polinomului caracteristic este n. Prin urmare, dacă n este impar, o matrice A M n (R admite măcar o valoare proprie. S1.27 Fie S O(n ce admite valoarea proprie λ. Să se arate că λ S 0 = { 1, +1}. Consecinţă pentru S SO(n cu n impar. Caz particular n = 3. Rezolvare Deoarece S O(n avem, pentru vectorul propriu x: şi totodată; < Sx, Sx >=< x, x >= x 2 < Sx, Sx >=< λx, λx >= λx 2 = λ 2 x 2. Egalând ultimele două relaţii şi folosind x = 0 avem λ = 1. 27
Consecinţă. Dacă S SO(n şi λ 1,..., λ n sunt rădăcinile sale caracteristice atunci folosind ultima relaţie Vieté avem: λ 1... λ n = ( 1 n 1. Presupunând că n este impar şi λ 1,..., λ n sunt chiar valorile proprii ale lui S rezultă că λ 1... λ n = 1 şi deci avem variantele: i λ 1 =... = λ n = 1, ii un număr impar de λ sunt +1 şi un număr par de λ sunt ( 1. Caz particular n = 3. O matrice S SO(3 poate avea următoarele rădăcini caracteristice: 1 λ 1 = λ 2 = λ 3, 2 λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 1, 3 λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = e iθ. S1.28 Se cer rădăcinile caracteristice ale matricilor din O(2. Să se studieze diagonalizabilitatea elementelor lui O(2. Rezolvare 1 Ecuaţia ce dă rădăcinile caracteristice pentru matrici din SO(2: P Rϕ (λ = cos ϕ λ sin ϕ sin ϕ cos ϕ λ = λ2 2λ cos ϕ + 1 = 0 are discriminantul redus: = cos 2 ϕ 1 = sin 2 ϕ 0 şi deci avem soluţia λ 1 = λ 2 = e iϕ. Avem = 0 doar in cazurile: i ϕ = 0 când reobţinem R 0 = I 2 cu valorile proprii λ 1 = λ 2 = 1, ii ϕ = π când reobţinem R π = I 2 cu valorile proprii λ 1 = λ 2 = 1. 2 Ecuaţia ce dă rădăcinile caracteristice pentru matrici din O (2: P Sϕ (λ = cos ϕ λ sin ϕ sin ϕ cos ϕ λ = λ2 1 = 0 are soluţiile λ 1 = +1, λ 2 = 1. Deci orice simetrie axială este diagonalizabilă cu forma diagonală S 0. Vectorii proprii: 1 V (λ 1 : (cosϕ 1x + sinϕy = 0 are soluţia ū 1 = (1, tg ϕ, 2 2 V (λ 2 : (cosϕ + 1x + sinϕy = 0 are soluţia ū 2 = (1, ctg ϕ. 2 Avem deci matricea de diagonalizare: ( 1 1 S = tg ϕ ctg ϕ 2 2 28
şi un calcul imediat dă inversa: S 1 = 1 2 sin ϕ ( ctg ϕ tg ϕ 2 2 1 1. Concluzie Avem un rezultat ce pune în balanţă calităţile şi defectele celor două mulţimi SO(2 respectiv O (2: i SO(2 este subgrup ( calitate dar singurele sale elemente diagonalizabile sunt cele triviale ±I 2 ( defect, ii O (2 nu-i subgrup ( defect dar are toate elementele diagonalizabile ( calitate. Ca o sugestie aproape filozofică: nimic din ce ne-a dat Dumnezeu nu-i de lepădat chiar dacă aşa ar părea la o primă vedere! 29
2 SEMINAR: Aplicaţii ale formei algebrice a inegalităţii CBS S2.1 Metoda vectorului constant Ce devine forma algebrică a inegalităţii CBS (i.e. relaţia (10 dacă vectorul v este constant? Rezolvare Putem lua v = (1,..., 1 şi relaţia (10 devine: ( n n ( u i 2 n u i 2. (65 sau sub forma: n u i ( n ( n u i 2 1 2. (66 Avem egalitate dacă şi numai dacă vectorul u este la rândul său constant i.e. u 1 =... = u n. S2.2 Metoda splitării I Fie p, q (0, 1 a.î. p+q = 1. Atunci, dacă x este un vector n-dimensional cu toate componentele strict pozitive avem: ( n n ( ( x i 2 ( n x i 2p ( x i 2q. (67 II Fie m, p R. Atunci: ( n n ( ( x i m ( n x i m+p ( x i m p. (68 Rezolvare I Luăm u = ( (x 1 p,..., (x n p respectiv v = ( (x 1 q,..., (x n q. II Luăm u = ((x 1 m+p 2,..., (x n m+p 2 respectiv v = ((x 1 m p 2,..., (x n m p 2. Avem egalitate pentru x vector constant. S2.3 Metoda versorului Ce devine inegalitatea CBS dacă v este versor? 30
Rezolvare ( n n ( u i v i 2 u i 2. (69 S2.4 Folosind metoda versorului să se arate că pentru orice x, y, z avem: { x cos θ + y sin θ x2 + y 2 x cos ϕ cos θ + y cos ϕ sin θ + z sin ϕ x 2 + y 2 + z 2. Rezolvare v = (cos θ, sin θ respectiv v = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ sunt versori. Presupunem x 0. Prima relaţie este egalitate când tgθ = y. x Pentru a obţine cazul de egalitate în a doua relaţie presupunem şi y 0. Avem atunci egalitate dacă tgθ = y şi tgϕ = z y x x. 2 +y 2 S2.5 Folosind metoda vectorului constant să se arate: 1 + 2 +... + n + 1 n < n. 2 Rezolvare Luăm în (66 vectorul u = ( 1, 2,..., n. S2.6 Metoda simetriilor Fie vectorul x = (x 1,..., x n de termeni strict pozitivi şi S (x = n se arate: i S (x (n 1 n S(x x ii 1 +... + S(x (x i 2, S x i S(x x n S(x n (n 1, iii 12 +... + n2 n2 (n+1 2. x 1 x n 4S(x ( x Rezolvare i Folosim CBS cu u = 1,..., x n şi S(x x 1 S(x x n ( S(x v = x1,..., S(x x n. ( ii Folosim u = S(x x 1,..., S(x x n în (66. S(x S(x ( 1 iii Folosim CBS cu u =,..., n x 1 x n şi ( v = x1,..., x n. Inegalităţile devin egalităţi doar pentru vectori constanţi. 31 y x i. Să
S2.7 De la identităţi la inegalităţi Se ştie că funcţia f(x = cos(θx satisface f 2 (x = 1 (1+f(2x. Fie numerele 2 p 1,..., p n (0, 1 cu p 1 +... + p n = 1. Să se arate că funcţia ponderată g(x = p 1 f(θ 1 x +... + p n f(θ n x satisface g 2 (x 1 (1 + g(2x. 2 Rezolvare Folosim CBS cu u = ( p1,..., p n şi v = ( p1 cos (θ 1 x,..., p n cos (θ n x. S2.8 Inegalitatea mediilor Fie vectorul x = (x 1,..., x n de termeni strict pozitivi şi: i media aritmetică M a (x = x1 +...+x n, n ii media geometrică M g (x = n x 1... x n, iii media armonică M h (x = iv media pătratică M p (x = Să se arate inegalitatea mediilor: n, (x 1 1 +...+(x n 1 (x 1 2 +...+(x n 2 n. M h (x M g (x M a (x M p (x. (70 Rezolvare a Inegalitatea M h (x M a (x rezultă din CBS cu u = x şi v = ( 1,..., 1 : x 1 x n n 2 ( x 1 +... + x n ( 1 x +... + 1. (71 1 x n b Inegalitatea M a (x M p (x este exact (66 împărţită la n. c Inegalitatea M h (x M g (x este consecinţă a inegalităţii M g (y M a (y luând y i = 1 x i. În concluzie a rămas de arătat M g (x M a (x. Arătăm că pentru n = 2 aceasta este o consecinţă a CBS. Mai precis luăm u = ( x 1, x 2 şi v = ( x 2, x 1. S2.9 Rezolvare 32
References [1] M. A., Armstrong, Groups and Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1988. [2] Mircea, Crasmareanu, Geometrie analitică, http://www.math.uaic.ro/ mcrasm. [3] Paul J. Nahin, O poveste imaginară. Istoria numărului 1, Ed. Theta, Bucureşti, 2000. [4] Liliana, Răileanu, Prin algebră spre geometrie, Ed. Alexandru Myller, Iaşi, 2005. [5] Gheorghe, Stan, O.K. pentru America!, Institutul European, Iaşi, 2006. [6] Kristopher Tapp, Matrix Groups for Undergraduates, Student Mathematical Library, Vol. 29, AMS, 2005. 33
Index GL + (n, R, 17 GL (n, R, 17 O (2: expresia generală şi interpretare geometrică, 18 SL(n, K ca divizor normal în GL(n, K, 23 SO(2 ca divizor normal în O(2, 23 SO(2: expresia generală şi interpretare geometrică, 17 SO(n ca divizor normal în O(n, 23 n-grupul liniar general real, 12 n-grupul liniar special real, 17 n-grupul ortogonal, 12 n-grupul ortogonal special, 15 înmulţirea vectorilor cu scalari, 4 adunarea vectorilor, 4 bază în R n, 4 bază ortonormată, 6 bază ortonormată: exprimare matriceală, 10 baza canonică în R n, 5 centrul lui O(2, 22 centrul lui SO(2n, 22 centrul lui SO(2n + 1, 22 centrul unui grup, 22 componentele unui vector în raport cu o bază, 5 componentele unui vector: exprimare matriceală, 10 compunerea simetriilor axiale în plan, 20 34 conjugatul unui număr complex, 24 determinantul; proprietăţi, 13 divizor normal, 23 formula fundamentală a geometriei euclidiene, 16 identitatea paralelogramului, 9 inegalitatea CBS, 9 inversa unei simetrii în plan, 21 inversul unui număr comlex nenul, 24 izometrie, 26 matrice antisimetrică, 13 matrice ortogonală, 11 matrice simetrică, 13 matricea de schimbare a bazelor, 10 matrici asemenea, 14 modulul conjugatului unui număr complex, 24 modulul unui număr complex, 23 normă euclidiană pe R n, 6 normă pe un spaţiu vectorial, 9 norma Hilbert-Schmidt, 13 numere complexe: scrierea exponenţială, 27 numere complexe: scrierea trigonometrică, 26 ordinul unei rotaţii, 23 ordinul unei simetrii, 23 ordinul unui element într-un grup, 23
polinom caracteristic, 27 produs scalar, 9 produsul scalar euclidian pe R n, 6 produsul scalar euclidian: exprimare matriceală, 10 produsul scalar Hilbert-Schmidt, 13 rădăcină caracteristică, 27 regula Einstein de sumare, 4 relaţia lui Moivre, 27 rotaţia de unghi ϕ în sens trigonometric din origine, 17 rotaţiile ce comută cu o simetrie în plan, 21 schimbarea bazelor, 10 sensul trigonometric ca sens antiorar, 6 sferă într-un spaţiu vectorial normat, 15 simbolul lui Kronecker, 6 simetria axială în plan faţă de o dreaptă prin origine, 18 simetria faţă de Ox, 18 simetria faţă de Oy, 19 simetria faţă de a doua bisectoare, 19 simetria faţă de prima bisectoare, 19 simetricul unui punct faţă de un hiperplan prin origine, 18 sistem liniar independent, 4 spaţiu vectorial (sau liniar, 4 spaţiu vectorial euclidian, 9 spaţiu vectorial normat, 9 spaţiul aritmetic n-dimensional, 4 spaţiul vectorial euclidian n-dimensional canonic, 6 structura complexă a planului, 25 structura simplectică a planului, 25 teorema cosinusului, 9 teorema Pitagora, 9 teorema Pitagora generalizată, 9 unghiul orientat dintre doi vectori nenuli, 9 urma unei matrici, 13 valoare proprie, 27 vector n-dimensional, 4 vector propriu, 27 vectori coliniari, 4 vectori contrar orientaţi, 4 vectori la fel orientaţi, 4 vectori ortogonali, 6 versor, 6 35