. Pevnosť a sabiia rúov a dosiek.1 Pojem sabiiy ružného eesa Trvaá ožiadavka znižovania hmonosi eeckej konšrukcie núi konšrukérov oužívať sáe šíhejšie rvky s veľmi enkými senami. Sú o redovšekým šíhe rúy a dosky. Tieo komoneny sú zaťažované ozdĺžnym akovým naäím, aebo diagonánym akovým naäím. Takže ich únosnosť je odsane ovyvnená sraou sabiiy. Kasické oznaky o vzernej sabiie šíheho rúa v ružnej obasi (Euer) osúžii v eórii evnosi enkosennej ľahkej konšrukcie ako zákad výočových meód re určenie únosnosi ovorených rofiov, rúrok, dosiek nevysužených aj vysužených. O srae sabiiy varu hovoríme vedy, ak sú vyvorené odmienky re rechod eesa zo sabinej do abinej rovnováhy, ričom eno rechod je charakerizovaný zmenou varu eesa. K srae sabiiy ružných eies dochádza najčasejšie ri dhých enkých rúoch, enkosenných konšrukciách a všade am, kde asoň jeden rozmer eesa je voči osaným veľmi maý. Ak vzrasie osová sia nad určiú (zv. iickú) hodnou F, rú sa asicky zdeformuje, aebo sa zomí, reože nemôže zachovať svoj var riameho rúa. Hovoríme omu, že rú srai sabiiu. V saike rozoznávame ri druhy saickej rovnováhy uhého eesa. Uvedené ri druhy rovnováhy ružného eesa si vysveíme na ríkade rúa zaťaženého osovou akovou siou F (obr..1): 1. Sabiná rovnováha (F<F ). Ak vychýime ako zaťažený rú riečnou siou F T, ak sa o odsránení siy F T rú vrái do ôvodnej riamej oohy. So vzrasajúcou siou F bude návra do ejo riamej oohy omaší.. Indiferenná rovnováha (F=F ). Po dosiahnuí určiej veľkosi siy F osane rú riečne vychýený aj o odsránení riečnej siy F T. Odovedajúca sia F=F sa nazýva iická.. Labiná rovnováha (F>F ). Po riečnom imuze siou F T sraí rú rovnováhu a zborí sa. Obr..1 Obr.. 5
. Euerov výraz re iickú siu Uvažujme riamy rú konšanného riečneho rierezu s ochou S o uhosi v ohybe E.J =konš., korý je zaťažený osovou akovou siou F (obr..). Vyšerime, či oem riameho rúa môže byť v rovnováhe aj eno rú riečne deformovaný. Priehyb rúa je: y = y( z) V dôsedku riehybu vznikne v riereze C ohybový momen, korý vyvoá sia F na ramene y: M( z) = F. y( z) Ak dosadíme eno momen do diferenciánej rovnice riehybovej čiary, dosaneme: E J d. y. = M ( z) dz E. J d y (.1). = F. y dz Ak zavedieme označenie: F = E. J (.) kde: - je konšana, môžeme rovnicu (.1) reísať do varu: d y +. y = 0 dz (.) Je o diferenciána rovnica. rádu s konšanným koeficienom, korej všeobecné riešenie (ako sa môžeme resvedčiť säným dosadením) je: y = A.sin. z + B.cos. z (.4) kde: A, B - sú konšany, koré sú dané oajovými odmienkami úohy. Je zrejmé, že riehyb rúa na obr.. musí re z=0 a z= sĺňať ieo odmienky: y( 0) = 0, y( ) = 0 (.5) Ak dosadíme rvú odmienku do všeobecného riešenia (.4) dosaneme B=0. Z druhej odmienky o dosadení do (.4) vyýva: A.sin. = 0 (.6) Táo odmienka bude snená re A=0 (.j. keď sa rú nerehýba), aebo re A 0 a: sin. = 0,.j. re:. = k. π, kde: k = 0, 1,,... (.7) Prvá z hodnô k,.j. k=0 odovedá nezaťaženému savu a nemá eda fyzikány význam. Z odvodenia eda vyýva, že eisuje aj rovnováha v rehnuom rúe, kde riehybová čiara je vzhľadom k (.4), (.7) a B=0 oísaná rovnicou: k z y = A.sin. π., kde: k = 1,,... (.8) 5
Najmenšiu siu, ri korej môže nasať rovnováha deformovaného rúa dosaneme z výrazu (.) a rovnice (.7) re k=1: F E J = π.. (.9) je o zv. Euerova iická sia. Výraz (.9) odvodi v r.1744 maemaik L. Euer. Pri nárase osovej siy F na iickú hodnou F sráca rú na obr.. sabiiu - rechádza zo sabinej do indiferennej rovnováhy. Ak dosiahne eda osová sia iickú veľkosť (.9) je riehyb rúa ľubovoľný (ae dosaočne maý, reože by neai zjednodušený var diferenciánej rovnice riehybovej čiary). Je o dané ým, že riehyb (.8) je určený až na konšanu A, korá je ľubovoľná. Ako vyýva z rovnice (.8), má áo konšana fyzikány význam maimáneho riehybu rúa (obr..). Obr.. Na obr.. je var riehybovej čiary re k = 1,,. Sia, ri korej nasáva rovnováha, má všeobecne veľkosť: F = k. F kde: F - je daná výrazom (.9). Príady re k>1 nemajú rakický význam, reože medzi k=1 a k= eží abiná obasť.. Vyv uoženia koncov rúa Euerov výraz re iickú siu v vare (.9) aí iba re rú s kĺbovo uoženými koncami. Pre iné ríady uoženia koncov rúa by sme odvodii veľkosť iickej siy z rovnice (.) a (.4) anaogickým sôsobom, zmenia sa en oajové odmienky úohy. Osané ríady uoženia je možné reviesť na zákadný ríad zavedením zv. redukovanej dĺžky rúa r. Je o dĺžka rúa uoženého obojsranne kĺbovo, korý má rovnakú vzernú uhosť ako uvažovaný rú s iným uožením, ae s rovnakou uhosťou v ohybe E.J. 54
Prehľad redukovaných dĺžok re najčasejšie ríady uoženia koncov rúov sú uvedené v nasedujúcej abuľke. Body A, B, C sú infené body riehybových iviek. Tabuľka.1 Príad 1 4 Uoženie koncov rúa Redukovaná dĺžka = r =. r = r = r Euerova iická sia má všeobecne veľkosť, korú určíme zo vzťahu (.9) náhradou dĺžky zv. redukovanou dĺžkou r : F = π. E. J r (.10) Kriickej sie odovedá iické akové naäie: F π. E. J π. E. i = = = S. S kde: i r r J = - je oomer zorvačnosi riečneho rierezu. S (.11) Vzťah (.11) môžeme eše zjednodušiť zavedením zv. šíhosného omeru: λ = r i (.1) π =. E (.1) λ.4 Medze oužieľnosi Euerovho výrazu Ak znázorníme závisosť iického naäia (.1) ako funkciu šíhosného omeru λ, dosaneme hyerbou. Preože rovnica (.1) je dôsedkom anosi Hookovho zákona, bude výraz (.1) aiť en re naäie, koré nereočí veľkosť naäia na medzi úmernosi U (obr..4). 55
Vzťah (.1) bude eda aiť en re: E λ λu = π. (.14) U kde: λ U - je šíhosný omer, re korý je iické naäie (.1) rovné naäiu U re daný maeriá. Pre oceľ evnosi asi 40 MPa ( U 00 MPa) je λ U 100. Pre eno ríad aí časť Euerovej hyerboy I. vyznačená na obr..4 nou čiarou. Je o obasť ružného vzeru. Obr..4 Pre iické naäie v inervae ( U, Kd ), eda re obasť ružne-asického vzeru II. už neaí vzťah re Euerovu iickú siu. Kriické naäie v závisosi na šíhosi sa v ejo obasi určuje najčasejšie eerimenáne. Temajer a Jasinskij úo závisosť nahradzujú re húževnaé maeriáy riamkou v vare: = a b. λ (.15) a re ehké maeriáy oužii kvadraickú závisosť: = a b. λ + c. λ Hodnoy koeficienov a, b, c re niekoré maeriáy sú uvedené v nasedujúcej abuľke: Tabuľka. Maeriá ( hranica evnosi [MPa]) a b c Oceľ ( 00 400 MPa ) Oceľ ( 400 500 MPa ) Liaina 10 464 776 1,14,6 1,0 Rovnice (.15) aia re: Kd - - 0,05 kde: Kd - je naäie na medzi skĺzu v aku. Odovedajúca veľkosť šíhosného omeru je λ K. Vzťahy (.15) eda aia re šíhosný omer v inervae λ (λ K, λ U ). Pre šíhosný omer λ (0, λ K ), eda re reaívne áke rúy: = (.16) Ide o obasť III. na obr..4. V omo ríade už nie je orebné konroovať rúy na vzer, reože maeriá rúa sa oruší ri reočení medze skĺzu. Kd 56
.5 Výoče rúov na vzer Naäie v súčiaskách namáhaných na vzer musí vyhovovať odmienke: = D k F (.17) res. v vare: F E J k = π.. k. r (.18) kde: = F S - je veľkosť akového naäia, D - je veľkosť dovoeného naäia - je veľkosť iického naäia, k - je miera bezečnosi roi vybočeniu. Miera bezečnosi roi vybočeniu: Súčiasky Oceľové vzery Liainové vzery Drevené vzery Ojnice saľovacích moorov Ojnice čeradie Tabuľka. k - 5-6 - 4 4-10 0-40 Posu ri návrhu rierezu rúa namáhaného na vzer: 1. Zo vzťahu (.18) sa vyočía najmenší osový momen zorvačnosi re danú osovú siu F, ožadovanú mieru bezečnosi k, dĺžku a sôsob uoženia r : ( J ) min F. k. = π. E. Na zákade vyočíanej hodnoy (J ) min sa navrhne var a veľkosť rierezu rúa. Musí aiť: J ( J ) min r r. Zisí sa šíhosný omer navrhnuého rúa odľa (.1): λ = = r. i S J 4. Ak vyjde 00 λ λ U, ide o obasť ružného vzeru a návrh rierezu je ukončený. Norma z bezečnosného dôvodu neriúšťa väčší šíhosný omer ako 00. 5. Ak vyjde λ K λ < λ U, ide o obasť ružne asického vzeru. Je orebná konroa naäia odľa Jasinského-Temajera. Podľa (.17) musí aiť: F = S k kde: - je dané vzťahom (.15). Ak nebude áo odmienka snená, je orebné reviesť oravu veľkosi rierezu. 6. Ak vyjde λ < λ K, sačí reviesť evnosnú konrou na ak. V odmienke (.17) je oom dané vzťahom (.16). 57
Príkad Úohou je navrhnúť veľkosť rierezu vzery 1 konšrukcie rámu (obr..5a), korá má byť zhoovená z dvoch araených yčí rierezu U. Je dané: F = 5.10 4 N, h =,5 m, = m a súčinieľ bezečnosi zvoíme k =. Maeriá vzery je 1070. Obr..5 Vzera má dĺžku: 1 = h + =, 5 + m =, m Zo zožkového obrazca sí (obr..5b): F 1 h F, 4 N 4 N 1. 510. 6 4 10, 5,. Najmenší osový momen zorvačnosi ri uvážení obojsranne kĺbového uoženia 4 F1. k. 1 6, 4. 10.., 4 8 4 J = = m =. m min 11 9510 π. E π., 110. koncov rúa ( r = 1 ) : ( ) Voíme rierez: U 6 1, re korý: J =. 57,5 cm 4 = 115. 10-8 m 4 S =. 9,0 cm = 18,1. 10-4 m 4 S 18, 110. Šíhosný omer vzery: λ = 1. =,. 8 = 17 11510. J Preože λ > λ U 100, ide o obasť ružného vzeru, re korú je oužiie Euerovho výrazu orávnené a návrh rierezu vzery je ukončený. V oačnom ríade, ak by λ < λ U, išo by o obasť ružne asického vzeru a boa by orebná konroa naäia odľa Jasinského-Temajera. Navrhnuý rierez by muse vyhovovať evnosnej odmienke: = D k kde: = a b. λ Hodnoy koeficienov a, b sú uvedené v abuľke.. 58
.6 Konroa na vzer odľa súčinieľa vzernosi V rai ri navrhovaní oceľových konšrukcií je výoče ačených rúov normaizovaný. Priom sa obvyke neoužíva iické naäie vo vzere, ae redukuje sa na naäie v aku omocou súčinieľa vzernosi ϕ. Posúdením na vzer rúov, aebo súsav vyvorených z rúov sa ovrdzuje sabiia roi zmene varu vybočením, súením, koením aebo ri kombinácii ýcho deformácií. Cenricky ačený rú sa riom osudzuje odľa vzťahu: N S ϕ. D (.19) kde: N - je maimána osová sia, S - je ná (neosabená) ocha rierezu, ϕ - je súčinieľ vzernosi odovedajúci šíhosi rúa λ, D - je dovoené naäie (zákadná výočová evnosť maeriáu). Súčiniee vzernosi sú uvedené v nasedujúcej abuľke: Tabuľka.4 0 40 60 80 100 10 140 160 180 00 0 50 ) λ. D 10 A 1) 0,99 0,96 0,90 0,77 0,60 0,46 0,5 0,7 0, 0,18 0,15 0,1 B ) 0,99 0,94 0,86 0,71 0,55 0,4 0, 0,5 0,0 0,17 0,14 0,11 C ) 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0, 0,5 0,0 0,17 0,14 0,11 Poznámky 1. Súčiniee boi vyočíané zo vzorca: ϕ = + + 1 λ + + λ 1 9 10 1 4 1 9 10 9 10. a0.. a0.. D D λ D kde: a 0 = 0,17 re hodnoy riadku A a 0 = 0,6 re hodnoy riadku B. Súčiniee boi vyočíané re: 0 < λ. D / 10 < 16 zo vzorca: λ D ϕ = 1. 10 10 Pre λ. D / 10 16 aia hodnoy riadku B.. Súčiniee vzernosi re: λ. D / 10 > 50 môžeme brať: ϕ = ϕ 50 50 10.. λ kde: ϕ 50 - je súčinieľ vzernosi re λ. D / 10 = 50 D 59
Pri výoče súčinieľa vzernosi sa očía s najväčšou hodnoou zákadnej výočovej evnosi maeriáu. Zníženie vzhľadom na hrúbku maeriáu a zníženie súčinieľa odmienok ôsobenia sa neuvažuje. Súčiniee vzernosi z jednoivých riadkov sa vyberajú odľa varu rierezu a riradenie k varom je uvedené v nasedujúcej abuľke. Poznámky k nasedujúcej abuľke 1. Riadok C aí re šíhosť ramien: b / d > 8. 10 / D. Riadok B aí re rierez jednoosovo symerický s omerom ôch ásnic: S / S1 > 0, 5 Tabuľka.5 60
V rai sa v ríade enkosenných rofiov časo oužívajú diagramy sabiiy re určenie iického akového naäia (obr..6). 7 K 6 =,0 1 4 K 1 b b h 5 4 1 h 1 b 1,0 0,5 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 b h a.) Obr..6 b.) Pre určenie iického naäia oom môžeme oužiť odvodené vzťahy (re µ = 0,) v ríade enkosenných rofiov s ovoreným rierezom (obr..6a): KR = K. E b a v ríade enkosenných rofiov s uzavreým rierezom (obr..6b): KR π E = K 1 1 ( µ ) 1 h 1 = 0,9. K. E h.7 Prú zaťažený osovou a riečnou siou Medzi neineárne úohy aria ríady, ak nosník renášajúci riečne siy je súčasne zaťažený osovou siou. Budeme uvažovať najneriaznivejší ríad, keď osová sia je aková. Teno ríad zaťaženia sa označuje bežne ako vzer s ohybom, hoci sa nejedná o sabiiný robém. Uvažujme nosník zaťažený ľubovoľným riečnym zaťažením a akovou osovou siou F (obr..7). Cekový riehyb nosníka y(z) je súčom riehybu od riečnych sí y 0 (z) a riehybu od siy F ôsobiacej na ohnuý nosník. Rovnako ohybový momen v miese z nosníka môžeme vyjadriť v vare: M( z) = M ( z) + F y( z) 0. (.0) kde: M 0 (z) - je momen od riečnych sí. 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 b h 61
Ak je nosník uhý a rídavný ohybový momen F.y(z) od akovej osovej siy je maý v orovnaní s momenom M 0 (z), riehyb y(z) sa máo odišuje od riehybu y 0 (z). V akomo ríade môžeme využiť rincí suerozície a výsedné hodnoy naäí a deformácií získať súčom hodnô od ohybu a od aku. Obr..7 Ak je uhosť nosníka aká, že aková sia F značne ovyvňuje veľkosť výsedného riehybu y(z) je orebné riešiť úohu ako neineárnu. Najčasejšie sa oužívajú nar. meóda riešenia inegráciou diferenciánej rovnice aebo zv. meóda Howard - Čencevova. Riešenie inegráciou diferenciánej rovnice Ak vychádzame z rovnice (.0) môžeme osuovať dvoma sôsobmi. Pri rvom sôsobe získame diferenciánu rovnicu re neznámu hodnou y(z), ri druhom diferenciánu rovnicu re neznámu hodnou M(z). Diferenciána rovnica riehybovej čiary nosníka namáhaného riečnymi a osovými siami má var: E. J. y ( z) = M( z) (.1) Dosadením (.0) do (.1) a zavedením označenia: F = E. J dosaneme diferenciánu rovnicu re neznámu y(z) v vare: M ( z) y ( z) +. y( z) = 0. F (.) (.) Riešenie diferenciánej rovnice má var: y( z) = A.cos. z + B.sin. z + y ( z) (.4) y y P Inegračné konšany A y a B y určíme z oajových odmienok závisiacich od uoženia nosníka, arikuárne riešenie y P (z) závisí od riečnych sí ôsobiacich na nosník. Ak oznáme funkciu y(z), ohybový momen M(z) určíme zo vzťahu (.0). 6
Pri druhom sôsobe dvaá derivujeme vzťah (.0) odľa remennej z, čím dosaneme: M ( z) = M 0 ( z) + F. y ( z) (.5) Dosadením zo vzťahu (.1) a využiím (.) získame diferenciánu rovnicu re neznámu M(z) v vare: M ( z) +. M( z) = M 0 ( z) (.6) Riešenie rovnice má var: M ( z) = A.cos. z + B.sin. z + M ( z) (.7) M M P Inegračné konšany A M a B M určíme z oajových odmienok, arikuárne riešenie M P (z) závisí od riečneho zaťaženia nosníka. Priehyb y(z) určíme z (.0): y ( z ) = 1 F. M ( z) M ( z) [ 0 ] Príkad Závesné rameno nosného sysému vorené dvoma uhoníkmi L 100610 je odoreé v miese A a uevnené anom v miese B (obr..8). Rameno je v miese B zaťažené siou Q. Je orebné určiť maimáne naäie v nosníku a bezečnosť nosníka roi vybočeniu. Pri výoče je orebné uvážiť vasnú siu iaže ramena. Rozmery = 5m, a = m. Modu ružnosi v ťahu E =.10 5 MPa, Q = 5000 N. Profiy sú navzájom sojené ak, že ri srae sabiiy ich môžeme ovažovať za jeden ceok. Obr..8 6
Rameno konzoy je zaťažené sojiým zaťažením q od vasnej siy iaže a osovou siou F od siy N v ane, ričom: F = N.cosα Priebeh momenov určíme riešením diferenciánej rovnice (.6). q. z q.. z q. z Ohybový momen od riečnych sí: M 0 ( z) = Ay. z = Dosadením do (.6) dosaneme diferenciánu rovnicu: M ( z) +. M( z) = q q Jej riešenie má var: M( z) = AM.cos. z + BM.sin. z Z oajových odmienok: z = 0, M(0) = 0 a z =, M() = 0 q dosaneme rovnice: 0 = AM q 0 = AM.cos. + BM.sin. q q 1 cos. Odiaľ: AM = a BM =. sin. q cos. Priebeh momenov je určený rovnicou: M ( z) =. cos. z + 1 1.sin. z sin. Maimány momen je urosred rozäia: z = M q 1 M cos. = = ma. cos. Výsedné normáové naäie v konzoe je súčom naäia od ohybu a aku. Maimáne naäie (akové) bude v bode C (obr..8), kde: M ma F C = C, M + C, N = W S O Z abuiek re rofi L 100610 je: J 1 = 1,59.10 6 mm 4, e y = 4,4 mm J y1 = 0,476.10 6 mm 4, e = 16, mm S 1 = 1,519.10 mm q 1 = 119, N.m -1 = 0,119 N.mm -1 Osová sia ôsobiaca na konzou: q.. 119,. 10. 510. 5 F = N.cosα = + Q.co gα = + 510.., F 14 kn Podľa (.): = F 14 10 5 6 E J =.. 10 15910 =,...,. 710. mm 8 64
Maimáne naäie: q. 1 cos. C =. WO..cos kde: F S ( ). 119,. 1 0, 998. 10 1410. = 4 8 4, 69. 10., 710.. 0, 998 151910.,. W O 6 J 159.,. 10 = = = 4, 6910. y 100 4, 4 C mm 4 cos. cos,. 4.. 1 50810 510 = = 0, 998 = 0, 08MPa Kriická vzerná sia: Priom: F = π. E. J ( 1 ( ) 1) ( ) r y re vybočenie v rovine z-. ( ) J =. J + e + 5. S =. 0, 47610. + 16, + 5. 151910,. =, 1710. mm y y π 5 6. 10.., 17. 10 Poom: F = 6 = 18, 9kN 5. 10 6 6 4 Šíhosný omer: r 510. λ y = = i 6 y, 17. 10 = 181. 1, 519. 10.j. možno oužiť riešenie omocou Euera, ebo sme v obasi ružného vzeru. Bezečnosť: k F 18, 9 = = = 1, 06 F 14 Meóda Howard - Čencevova Pri určiých yoch zaťaženia je možné riešiť úohu graficko-anayickým sôsobom. Uvažujme rú zaťažený odľa obr..9. Obr..9 65
Pre momen v miese z aí: M B M A q. q. z M( z) = M A +. z +. z + F. y( z) (.8) Ak rovnicu (.8) derivujeme dvaá odľa remennej z dosaneme: M ( z) = q + F. y ( z) (.9) Ak využijeme ribižnú diferenciánu rovnicu riehybovej čiary, dosaneme: M ( z) +. M( z) = q (.0) Riešenie (.0) má var: q M( z) = A.cos. z + B.sin. z (.1) Zaveďme nové inegračné konšany: A = C.cos.ε a B = C.sin.ε (.) Dosadením (.) do (.1) a využiím rigonomerických vzťahov dosaneme: q M( z) = C.cos (. z ε) (.) Rovnicu (.) je výhodné znázorniť v oárnych súradniciach odľa obr..10. Narysujeme dve oriamky so soočným bodom 0. Ľavá oriamka odovedá súradnici z=0, ravá oriamka súradnici z=. Poriamky z=0 a z = zvierajú uho: ) F ϕ = = = π = π E J F. F.... (.4). π. E. J F Obr..10 66
Hodnoy momenu M(z) na oriamkach z=0 a z= určíme z oajových odmienok: q q z=0 : M( 0) = M A = C.cos( ε) = C.cosε (.5) q z= : M( ) = M B = C.cos(. ε) Teda aí: C.cosε = M + q C.cos(. ε) = M + A B q (.6) Na oriamku z=0 vynesieme hodnou 0A = M A + q /, na oriamku z= hodnou 0B = M B + q /. V bode A vedieme komicu k 0A, v bode B komicu k 0B. Priesečník komíc vymedzuje konšanu C = 0C a uho ε. Úsečka 0C je riemerom užnice, korá rechádza bodmi 0, A, B, C. Výrazy C.cos(.z-ε) a q/ v (.) redsavujú v oárnom diagrame na obr..10 užnice k 1 a k so sredmi v bodoch S a 0. Priebeh momenu M(z) je ohraničený užnicami k 1 a k a riamkami z=0, z=. Maimány momen je v miese.z=ε,.j. re: z = ε a má hodnou: M = η (.7) ma ma. m M kde: η ma - je odmeraná oradnica v miese M ma, m M - je mierka momenov. Maimáne naäie v ajnom vákne určíme zo vzťahu: ma F = + S M ma (.8) W O Príkad Nosník s rierezom v vare medziužia, na koncoch odoreý, je zaťažený siou F=80kN, momenami M A =10kNm, M B =5kNm a sojiým zaťažením o inenzie q=knm -1 (obr..11a). Je orebné určiť mieru bezečnosi k hranici skĺzu, ak je dĺžka =10 4 mm, hranica skĺzu R e = 15 MPa, modu ružnosi E =,1.10 5 MPa a geomerické charakerisiky rierezu: J = 18,99. 10 6 mm 4, W =,75. 10 5 mm, S = 7,4. 10 mm. Veičiny a q. - majú hodnoy: F 8010. = = 5 6 = 1, 410. E. J, 110.. 18, 99. 10 q 4 knm = 1 410 = 99 (,. ) mm 4 1 67
Medzné hodnoy uhu ϕ =.z sú rovné: 0 ϕ. 0 0 ) 180 4 4 ϕ0 1 410 10 180 =.. =,... = 81, 4 π π Z oajových hodnô re ohybový momen vyýva: q q M( z = 0) = M A = C.cos( ε ) z čoho: C.cosε = + M A q q M( z = ) = M B = C.cos(. ε) z čoho: C.cos(. ε) = M B 0 Obr..11 Priebeh ohybových momenov dosaneme grafickou konšrukciou, korá boa oísaná. Riešenie je na obr..11b, z korého vyýva: η ma M = η. m = 1, 5. = 5kNm m M ma = 1, 5mm ma M = knm. mm 1 68
Najväčšie normáové naäie určíme zo vzťahu (.8): 6 F M ma 8010. 510. ma = + = + 5 = 116, 1MPa S W 7, 4. 10, 7510. Mieru bezečnosi ri kombinácii vzeru a ohybu nie je možné určiť z omeru hranice skĺzu a maimáneho naäia, reože závisosť medzi zaťažením a naäím je neineárna. Vyjdeme zo skuočnosi, že miera bezečnosi vyjadruje koľkoá môže revádzkové zaťaženie (ri ineárnej závisosi aj naäie) vzrásť v dôsedku neredvídaných okonosí, ričom za iminý ovažujeme sav, ri korom je maimáne naäie rovné ri kombinácii vzeru a ohybu hranici skĺzu. Mieru bezečnosi odhadneme a zvýšime zaťaženie k - á. Pomocou Howard - Čencevovej meódy určíme maimáne normáové naäie a orovnáme s hranicou skĺzu. Ak ma < R e, musíme o rísušnej korekúre hodnoy k výoče oakovať. Predokadajme v našom ríade k = 1,6. Zaťaženia majú hodnoy: F = 801., 6 = 18kN M M A B = 101., 6 = 16kN = 51., 6 = 40kN q = 1., 6 =, knm 1 Paí: F 1810. = = 5 6 = 1, 79610. E. J, 110.. 18, 99. 10 q,. 10 = 4 = 99kNm ( 1, 79610. ) 0 0 180 ) 180 ϕ0 =.. =. 1, 79610.. 10 = 10, 9 π π 4 4 0 mm 4 1 Grafické riešenie je na obr..11c. Maimány ohybový momen má hodnou: M = ma η. ma m =. = M 4 48 knm Maimáne normáové naäie je: 6 F M ma 1810. 4810. ma = + = + 5 = 1, 6MPa S W 7, 4. 10, 7510. Bezečnosť k = 1,6 boa odhadnuá srávne, reože ma R e. Príkady eeckých konšrukcií s charakerisickými rvkami rúov sú zobrazené na obr..1a, eecké konšrukcie s charakerisickými rvkami dosiek a sien sú zobrazené na obr..1b. 69
a.) Obr..1 b.).8 Rozdeenie dosiek Dosky sú uhé eesá, koré majú jeden rozmer (hrúbku) omerne maý v orovnaní s osanými dvoma rozmermi, koré určujú ochu dosky ri danom vare. Hrúbka dosky môže byť konšanná aebo remenivá. Doska môže byť rovinná aebo zaivená. Geomerický var enkej dosky je re úče výoču evnosi a sabiiy vhodne určený rozmerom a varom zv. srednice dosky (ochy idúcej urosred hrúbky dosky). 70
Rozdeenie maeriáov dosiek, koré je nuné zohľadniť ri riešení ružnosi a sabiiy: izoroné - o rovnakých zákadných charakerisikách ružnosi E, µ vo všekých smeroch srednice dosky, anizoroné - o rozdienych charakerisikách ružnosi v rôznych smeroch, ororoné - u korých v každom bode dosky je možné viesť komo k jej srednici dve vzájomne komé roviny, koré sú rovinami súmernosi re charakerisiky ružnosi maeriáu v rôznych smeroch. Zaťaženie dosky je možné rozdeiť na: komé k srednici dosky, ôsobiace sojio na časť aebo ceý ovrch dosky, ozdĺžne so srednicou dosky, kombinované, komé a ozdĺžne súčasne. Zaťaženie na medzi únosnosi dosiek môže byť určené: odmienkou evnosi, keď nasáva orucha maeriáová, reože vnúorné naäie v maeriái vyvoané deformáciou dosky dosiahne rísušnú medzu evnosi, odmienkou sabiiy, keď nasáva orucha sabiiná, reože rovnovážny sav vnúorných naäí v maeriái a vonkajších zaťažení nie je sabiný ri deformovanom vare dosky. Pri riešení naäosi v doskách je nuné rozišovať obor ružný (keď naäie je úmerné deformácii) a obor neružný, kde sa uaňuje vyv asiciy maeriáu. Zaťaženie na medzi únosnosi závisí oem geomerického varu dosky, usoriadaní zaťaženia a mechanických vasnosiach maeriáu aj na oajových odmienkach uchyenia dosky a sôsobe zavedenia zaťaženia. Zákadné rozdeenie dosiek: hrubé, korých hrúbka > 0,.b (kde b - je menší rozmer srednice obdĺžnikovej dosky), enké, korých hrúbka 0,.b, koré sa ďaej deia na: o Dosky ohybovo uhé, koré držia v rovnováhe komé zaťaženie odobne ako nosníky ohybovou naäosťou v riečnych rezoch. V srednici je naäie nuové (obr..1a). Ohybovo uhé dosky sú určené iériom, že maimány riehyb srednice w m dosky neresahuje oovičnú hrúbku : w m 0,5. Uchyenie oajov je nuné rozišovať: jednoducho odorené, vyvodzujúce sojio rozožené reakcie na oaje dosky a nebrániace nakáňaniu oajov ri riehybe dosky, voknuie, koré vyvodzuje na oaje oem sojio rozožených reakcií aj sojio rozožený momen. a.) b.) c.) Obr..1 71
o Dosky dokonae ohybné (bany, membrány), koré držia v rovnováhe komé zaťaženie iba ťahovým naäím v smere rehnuej srednice odobne ako ivá sena enkosennej nádoby zaťaženej vnúorným reakom (obr..1b). Ťahové naäie je možné ovažovať za konšanné o ceej hrúbke. Ako membrány je možné ribižne riešiť aj veľmi enké dosky, koré nemajú nuovú ohybovú uhosť, okiaľ maimány riehyb: w m > 5. Oajové uchyenie musí byť neohybivé (uhé) v smere komom aj rovnobežnom k srednici ohybnej dosky, aby vyvodio ťahovú naäosť v jej oaji. o Dosky ohybné, ri korých sa ri zachyení komého zaťaženia uaňuje kombinácia ohybovej naäosi a ťahovej (membránovej) naäosi v riečnom reze (obr..1c). Uchyenie oajov ohybnej dosky má byť uhé aj v smere rovnobežnom k srednici, aby sa moha vyvinúť a uaniť oem ohybovej naäosi aj membránová ťahová naäosť. Riešenie naäosi, deformácií a evnosi dosiek rôzneho varu, sôsobu oajového uchyenia a rôzneho rozoženia a charakeru zaťaženia je omerne zožié a náročné. Preo ďaej uvedieme iba zákadné jednoduché úvahy orebné re získanie redsavy o funkcii enkých dosiek..9 Ohybovo uhé rovinné dosky ri komom sojiom zaťažení Obdĺžniková doska redĺženého varu (a 4.b) Pri jednoduchom odorení všekých šyroch oajov dosky je možné ri rovnomernom sojiom zaťažení redokadať, že var ochy rehnuej srednice je v srednej časi dosky ribižne vacový, okiaľ je dhší rozmer a 4.b (obr..14). Obr..14 V ejo časi dosky má ohyb v smere dhšieho rozmeru a dosky zanedbaeľný vyv,.j. reváda ohybová naäosť ako ri nosníku s veľmi ochým rierezom, jednoducho odoreným na oboch koncoch o rozäí b. 7
Na jednokovej šírke rierezu v smere osi y nasane riečna konrakcia: ε y = µ. ε (.9) Pri vacovom vare rehnuej srednice enkej dosky je riečna konrakcia znemožnená, ebo by sôsobia oačné rehýbanie enkej dosky v smere y ovrchových riamok vacovej ochy. Pri maej hrúbke dosky rehnuej do vacovej ochy si ťahaná a ačená srana rierezu vzájomne znemožňujú oačnú konrakciu narieč ačených a ťahaných vákien, akže vzniká naäie y v smere znemožnenej konrakcie súčasne s ozdĺžnym ohybovým naäím. Pri ejo dvojosovej naäosi sú vyjadrené omerné redĺženia (s ohľadom na riečnu konrakciu) omocou rovníc: ε µ y =. E E y ε µ (.40) y =. E E Úné zabránenie riečnej konrakcie je vyjadrené revárnou odmienkou, že v smere ovrchových riamok vacovej riehybovej ochy srednice dosky je omerné redĺženie ε y rovné nue. Z druhej rovnice (.40): ε = y µ y E. E = 0 sa vyočía riečne naäie: = µ. a o dosadení do rvej rovnice: o úrave: ( ) y ε µ =. E E E ε =. 1 µ =, E = E E 1 µ (.41) vyjde, že vyv zabránenia riečnej konrakcie ri ohybe enkej dosky na ohybovú deformáciu je možné vyjadriť zavedením korigovaného (efekívneho) moduu E do vzorcov odvodených re riehyb nosníkov. Deformáciu dosky je možné oom očíať ako ri jednoosovej naäosi, keď sa do ohybovej uhosi dosadí korigovaný modu E. Sojié rovnomerné zaťaženie (MPa) vyvodí urosred rúžka dosky o šírke a = 1 a dĺžke b (uvažovaného v smere menšieho rozmeru dosky - obr..14) maimány ohybový. b momen: M ma = (.4) 8 reože sojié zaťaženie ôsobí na rúžok o šírke a = 1 je q = 1. Momen zorvačnosi J a modu rierezu v ohybe W uvažovaného rúžka o riereze s rozmermi 1. sú: J = 1. a W = 1. (.4) 1 6 Maimáne naäie v ohybe: M ma.. b ma = = =..... = b A b 6 W 8 4 (.44) 7
V omo vzorci vysuuje bezrozmerný súčinieľ A, korého hodnoa /4 boa odvodená re najjednoduchší ríad obdĺžnikovej dosky redĺženého varu na ceom obvode jednoducho odorenej a na ceom ovrchu sojio rovnomerne zaťaženej. Panosť vzorca re iné vary a sôsoby uchyenia oajov dosiek je možné rozšíriť určením odovedajúcich hodnô súčinieľa A. Minimána hrúbka min dosky je určená odmienkou, že maimáne naäie v ohybe ma nesmie reočiť dovoené naäie: ma = b A.. min D min = A. b. = B. b. D D (.45) Pre maimány riehyb urosred nosníka ri sojiom rovnomernom zaťažení q ceého oľa o dĺžke je odvodený vzťah: q wm = 5 4.. (.46) 84 E. J.j. re rúžok enkej dosky bude mať var: 4 4 5. b 51.. b. b wm =. =. = 0, 156. 84 E. J 84 E. E. kde: E - je korigovaný modu ružnosi. 4 C. =. b E. 4 (.47) Maimány riehyb w m je vyočíaný re dosku odorenú jednoducho na dhších sranách vo vzdiaenosi b (s ašími voľnými sranami) a aí ribižne aj re dosky redĺženého varu a 4.b odorené na ceom obvode. Ohybová uhosť dosky: D = E. J (.48) redsavuje ohybovú uhosť rúžka dosky o jednokovej šírke ri dokonaom zabránení riečnej konrakcie. E. D = 1.( 1 µ ) (.49) Ohybová uhosť dosky D je zákadným ojmom zavedeným v eórii ružnosi a sabiiy dosiek bežne oužívaným v odbornej ieraúre. Dosky s inými ravidenými varmi Odvodenie vzťahov re M ma, min, w m re dosky s inými varmi, iným sôsobom uchyenia oajov a re rôzne yické zaťaženia je dosť zožié. Pri rovnomernom sojiom zaťažení dosky je vyv varu dosky a uchyenie jej oajov vyjadrené rôznymi hodnoami bezrozmerných súčinieľov A, B, C, koré sú re oreby echnickej rae uvedené v abuľke. Priom aia vzťahy: ma = A.. b min = B. b. D w m = C b 4. E. B = A E = E. 1 µ 74
Pre membrány boi odvodené vzťahy (.50) ané v ceej ružnej obasi za redokadu dokonao uhého uchyenia oajov a rovnomerne sojiého zaťaženia na ceom ovrchu akom. Súčiniee A m, B m, C m sú uvedené v abuľke.7.. b E. b m = A E m, min = Bm.. b, w m = Cm. b (.50) E. dov Tabuľka.6 Doska Uchyenie A B C mieso m uhová, jednoducho 0,10 0,556 0,048 sred uchyená na ceom obvode, odorená riemer = b voknuá 0,1875 0,4 0,0118 oaj obdĺžnik, omer srán b/a = α< 1 uchyenie na ceom obvode obdĺžnik 4.b a uchyený na ceom obvode, aebo doska uchyená na dvoch sranách o dĺžke a jednoducho odorená 0, 75 1 + 1, 6. α A 0,154 1+, 1.α sred dosky voknuá 0, 5 A 0,01 oaj - sred 6 1 + 0, 6. α 5 1+ 1, 056.α dhšej srany jednoducho 0,75 0,866 0,156 sred dosky odorená voknuá 0,5 0,707 0,01 voknuý oaj Doska A m B m C m uhová membrána o riemere b 0,46 0,1 0,54 Tabuľka.7 dhý obdĺžnik, ašia srana b 0,47 0,04 0,60 obdĺžnik, omer srán b/a = α< 1, 0,47 ašia srana b 4 ( ) 1, 5 1+α A m 0,60 1+α 4.10 Pozdĺžne zaťaženie nevysužených dosiek Zákadné rozdeenie ozdĺžneho zaťaženia dosiek je ťahové, akové, šmykové a ohybové. V rai sa ieo druhy zaťaženia vyskyujú v rôznych kombináciách a môžu byť zavedené na oaje dosky rôznymi sôsobmi. V ďašom si rozoberieme jednoduché ríady zaťaženia obdĺžnikovej dosky. 75
Sojié rovnomerne rozožené ťahové zaťaženie q (q y ) ôsobiace na oaje dosky vyvodí ťahovú jednoosovú aebo dvojosovú naäosť rozdeenú rovnomerne o ceej doske (obr..15). Obr..15 Rovnovážny sav ri ťahovom namáhaní je sabiný v ceom rozsahu a ri kombinácii s komým zaťažením k srednici odľahčuje ohybové momeny a zmenšuje riehyby vyvoané komým zaťažením, odobne ako ťahová osová sia v rúe ri kombinácii so zaťažením komým k jeho osi. Takové zaťaženie vyvodí akovú naäosť rozdeenú akiež rovnomerne o ceej doske, ae rovnovážny sav je sabiný en okiaľ zaťaženie nedosiahne hodnou zv. iického zaťaženia F (obr..16). Obr..16 Kriické zaťaženie odovedá iickému naäiu, ri korom nasáva v zaťaženej doske indiferenná rovnováha. V skuočnosi nasáva vybočenie dosky v dôsedku výrobných nedokonaosí ri zaťažení bížiacom sa iickej hodnoe odobne ako u šíhych rúov zaťažených osovou akovou siou. Vybočenie dosky je charakerizované varom ochy rehnuej srednice, korý je závisý na vare a rozmeroch dosky a sôsobe uchyenia jej oajov. V kombinácii s riečnym zaťažením zväčšuje riehyby a ohybové momeny od riečneho zaťaženia odobne ako u rúov ri ôsobení akovej ozdĺžnej siy súčasne s riečnym zaťažením. Šmykové zaťaženie vzniká ôsobením šmykového oku q zavedeného na oaje dosky (obr..17). Pri ôsobení rovnomerného oku q vzniká rovnomerne rozožená čisá šmyková naäosť v ceej doske. Tako sú naríkad zaťažené oia oťahov ri úení duých enkosenných konšrukcií. Priom vznikajú v rezoch skonených o 45 0 havné naäia ťahové 1 a akové : q τ y = (.51) ričom: 1 = = τ y (.5) 76
Rovnovážny sav ako zaťaženej dosky je oäť sabiný, okiaľ zaťaženie a naäie dosky nedosiahne iickú hodnou τ, ri korej nasáva indiferenná rovnováha. Pri jej reočení nasane zvášny druh vybočenia - doska sa zvní v diagonánom smere. Obr..17 Ohybový momen zavedený v rovine srednice na oaj dosky sojiým zaťažením s riamkovým riebehom (obr..18) vyvoá ohybovú naäosť v ceej doske s naäím rozoženým odľa zákadnej Navierovej eórie. Obr..18 Rovnovážny sav zaťaženej dosky je oäť sabiný, okiaľ zaťaženie nedosiahne iickú hodnou, ri korej nasane vybočenie (zvnenie) ačenej časi enkej dosky. Too zaťaženie sa vyskyuje v kombinácii so šmykovým okom q u oí sojín nosníkov, zaťažených ohybovým momenom a osúvajúcou siou. Sraa sabiiy rovinnej izoronej obdĺžnikovej dosky v aku Doska uchyená en na dvoch rovnobežných sranách, do korej je zavedené sojié rovnomerné akové zaťaženie q =., vybočí ri reočení iického zaťaženia ak, že rehnuá srednica má var rozvinuej vacovej ochy. Na obr..19 je znázornené vybočenie dosky s dvoma zaťaženými oajmi a.) jednoducho odorenými, ríadne b.) dokonao uho voknuými. Za ýcho okonosí sa enká doska sráva odobne ako rú zaťažený osovou akovou siou. Rozdie nasáva en v om, že ri vybočení enkej dosky sa uaní vyv zabránenia riečnej konrakcie akmer dokonao vyvom omerne veľmi maej hrúbky oroi rozmeru b dosky. Doska má eda ri ohybovom vybočení zvýšenú uhosť v ohybe, E vyjadrenú korigovaným moduom ružnosi maeriáu v ťahu (.41): E = 1 µ 77
Obr..19 Ohybová uhosť D odovedajúca ohybovej uhosi rúžka dosky o jednokovej šírke je určená známym vzťahom (.49): E. D = E. J = 1.( 1 µ ) Kriické zaťaženie q oaja dosky je v ružnej obasi určené ako iická sia na rúžok o jednokovej šírke a vzernej redukovanej dĺžke r známym Euerovým vzorcom: E J F = π.. π. E. J π. D, q = = =. (.5) r r Po dosadení za ohybovú uhosť D vyjde re iické akové naäie rovinnej enkej dosky v ružnej obasi vzorec: π. E = 1.( 1 µ ). (.54) r Vzorec re iické naäie v oísanom jednoduchom ríade uchyenia dosky s dvoma nezaťaženými oajmi moho byť re zväčšenie názornosi jednoducho odvodený aikáciou výsedku známeho Euerovho riešenia sray sabiiy šíheho rúa v ružnej obasi ri dodaočnom zavedení vyvu zabránenia riečnej konrakcie, korý sa ri rúoch s bežnými rierezmi neuaňuje. V odbornej ieraúre sú uvedené eoreické riešenia sray sabiiy obdĺžnikových dosiek re všeobecnejšie sôsoby uchyenia, ri korých nie sú obidva nezaťažené oaje dosky voľné. Pri rôznych druhoch a rôznych kombináciách oajových uchyení sa výrazne uaňuje aj vyv omeru srán a/b obdĺžnika. Pri jednoosovom zaťažení dosky obdĺžnikového varu je zvykom označovať symboom a - rozmer dosky v smere akového zaťaženia, b - rozmer komý k zaťaženiu. Vzorec re iické naäie sa uvádza jednone v vare: = KT. π. E.( µ ). b 1 1 r (.55) kde: K T - je bezrozmerný súčinieľ vyjadrujúci vyv usoriadania uchyenia oajov a vyv omeru srán obdĺžnikovej dosky. 78
Pre kovové dosky je µ = 0, oom: =.,.. 0 91 K T E b (.56) Je zrejmé, že uvedený vzťah aí en re ružnú obasť, kde E = konš. V neružnej obasi sa oužívajú re výoče iického naäia rôzne náhradné vzťahy (anaogicky ako u rúov zaťažených akom). Sabiia enkej dosky ri šmykovom zaťažení Rovnomerne rozožený šmykový ok o obvode dosky vyvodí čisú šmykovú naäosť, (obr..0). Obr..0 Šmykový ok q vyvodí v doske v smeroch 45 0 k oaju dosky havné naäie ťahové 1, akové, korých veľkosť je 1 = = τ. Kriické naäie, keď doska sraí sabiiu, je dosiahnué re µ = 0, : τ = 0, 91... (.57) K S E b Po reočení iického naäia τ rovnej dosky nedochádza k srae únosnosi, ae doska je schoná renášať rasúce vonkajšie zaťaženie. Dôjde však k zmene rozoženia naäí 1 a. Hodnoy súčinieľov K T a K S určíme z grafov v závisosi na omere srán a/b (obr..1). Kriické naäie zaivenej seny zaťaženej akom (obr..) je možné určiť za b redokadu, keď a > b a 1 zo vzťahu: R. E E b KR = π + (.58) ( µ ) 1 res. z výsedkov skúšok: b 4. π R KR =,. E + 0,4. E (.59) b R Kriické naäie uzavreej šuiny zaťaženej akom o obvode (obr..) vychádza z eerimenánych skúšok: KR = ( 0,1 0,).E (.60) R 79
Obr..1 b R M o a a.) Obr.. b.) a R Obr.. 80
.11 Pevnosť a sabiia sendvičových nosníkov a dosiek Sendvičové konšrukcie sú ľahké, ohybovo uhé konšrukčné aney, koré sa skadajú z ľahkého, omerne hrubého, ae máo evného maeriáu jadra, na korom sú rieené dva oťahy s vysokou membránovou uhosťou, ae nízkou vasnou ohybovou uhosťou (obr..4). Tieo rojvrsvové dosky sú oužívané ri konšrukciách íde ieadie, redovšekým kaiek a ídeko, kormidie a ruu nákadové dvere, yy radarov, rúdnicové yy a časi kabín. Tabuľka.8 Obr..4 Poťahy sú kovové, aebo nekovové a účeom je odoávať ohybovým a membránovým zaťaženiam ôsobiacim na ane. Takové a ťahové naäie v oťahoch ôsobí okoo neuránej osi a vyvažuje ôsobiaci ohybový momen. Preože oťahy sú všeobecne enké v orovnaní s cekovou hrúbkou sendviča, je možné redokadať, že naäie v nich je o hrúbke konšanné. Maeriá jadra môže byť kovový, aebo nekovový. Kovové jadrá majú bunkovú šrukúru rôzneho varu, najčasejšie šesťuhoníkového varu (vošiny). Nekovové jadrá sa deia do dvoch havných skuín s jadrom bunkovej šrukúry odobne ako kovové jadrá a eny. Peny majú akiež bunkovú šrukúru, ae bunky majú rozmery o jeden, aebo dva rady menší a sú skôr guľového varu. Peny môžeme ďaej deiť na eny s ovorenými bunkami a eny s uzavreými bunkami. Účeom jadra je držať oťahy v srávnej vzdiaenosi od seba, renášať šmykové zaťaženie ôsobiace o hrúbke, zabrániť reaívnemu šmykovému ohybu oťahov, ôsobiť ako rosriedok k rozoženiu bodového zaťaženia (ako sú nar. rôzne uevňovacie rvky) do konšrukcie a zabrániť miesnemu zboreniu oťahov ri zaťažení. Keď má výň dosaočne veľkú uhosť v šmyku a aku, je možné dosiahnuť u rojvrsvovej dosky vysokú ohybovú uhosť a únosnosť ri omerne nízkej hmonosi (ab..8). Poťahy sú s jadrom sojené omocou eida. Leido musí mať dosaočný modu v šmyku, aby nedošo ku kĺzaniu oťahov o jadre a dosaočnú evnosť v šmyku re bezoruchový renos šmykového zaťaženia do jadra. Takiež by mao mať dosaočnú evnosť v ťahu, aby nedošo k miesnemu odeeniu násedkom miesneho zborenia (sray sabiiy) oťahov. Rozdeenie ohybového naäia Podľa obr..4 môžeme vyjadriť ohybovú uhosť sendvičového nosníka na jednoku šírky vzťahom: f f. d c D = E f + E f + Ec (.61) 6 1 81
kde: E f a E c sú moduy ružnosi oťahu, res. jadra. Pre komoziné oťahy sa modu v smere a y získa anaýzou amináu. Prvé dva čeny v redchádzajúcej rovnici redsavujú ohybovú uhosť oťahov, reí čen je ohybová uhosť jadra. Naäie ako funkcia vzdiaenosi od neuránej osi v sendvičovom aney sa určí zo vzťahu: M. z. Ez z = ε z. Ez = (.6) D V ríade jednokového ohybového momenu udáva áo rovnica rozdeenie ohybového naäia o hrúbke nosníka. Modu má inde z, reože moduy re oťah a jadro sú rôzne. Obrázok.5 ukazuje, ako sa rozdeenie naäia mení re: a.) Poťahy a jadro s rovnakým moduom (homogénny uhý nosník). b.) Sendvičový nosník s omerom E c /E f = 0,1 (jadro čiasočne risieva k ohybovej uhosi). c.) Sendvičový nosník s omerom E c /E f =.10-5 (jadro nerisieva k ohybovej uhosi). a) b) c) Obr..5 Je zrejmé, že re jadrá s nízkym moduom všeky ohybové naäia renášajú oťahy. V uvedenom ríkade majú oťahy reaívne veľkú hrúbku v orovnaní s cekovou hrúbkou aneu. Preože aney majú maú vasnú ohybovú uhosť a reože rísevok jadra k ohybovej uhosi aneu je akiež maý, môže sa rvý a osedný čen v rovnici (.61) zanedbať: f. d D = E f (.6) Pre široké nosníky je orebné iež uvažovať s aroimáciou vyvu Poissonovej deformácie. Vo vzťahu re uhosť sendviča sa nahradí E f hodnoou E f / (1-µ ). Rozdeenie šmykového naäia Pre väčšinu skuočných sendvičových aneov je hrúbka oťahov maá v orovnaní s cekovou hrúbkou anea a Youngov modu jadra je všeobecne nízky oroi aneom, akže je možné oužiť ribižnú hodnou: T = 1 Ec c τ + d E.. d 4 z z (.64) f f 8
kde: T je šmyková sia, d je vzdiaenosť sredov oťahov, E c a E f sú moduy ružnosi jadra a oťahu, c je hrúbka jadra, z je súradnica vzdiaenosi od neuránej osi a v jadre má hodnoy c/ < z < c/. V ejo rovnici je ravý čen maimány, ak je hodnoa z nuová. Ak je hodnoa Youngovho moduu jadra nízka oroi moduu oťahov (určie o aí re vošinové jadrá, nemusí o aiť re eny), môžeme ravý čen zanedbať a rovnica sa redukuje na: τ = T c d (.65) Vzťah (.65) aí re sendviče, kde c >> a d c. Preo je šmykové naäie o riereze neevného jadra v sendvičovom aney konšanné. Obrázok.6 ukazuje rozdeenie šmykového naäia re kombinácie uhých, sredne uhých a oddajných jadier v sendviči s reaívne hrubými oťahmi. a) b) c) Obr..6 a.) Tuhý homogénny nosník. b.) Sendvičový nosník s omerom E c /E f = 0,1. c.) Sendvičový nosník, kde E c << E f. Priehyb sendvičového nosníka Cekový riehyb jednoducho odoreného sendvičového nosníka o dĺžke, s cenrickým zaťažením F na jednoku šírky je daný súčom riehybu od ohybu a riehybu od šmyku: F. F. wma = ws,ma + wo,ma = + (.66) 48. D 4. G. d kde: D je ohybová uhosť sendviča, G c je modu v šmyku jadra sendviča. Úrava rovnice na var: c w ma F. = + (.67) 48. D 4. Gc. d dáva riamkový riebeh, ak sa vynesie ako funkcia. Úsek na zvisej osi je 1/4.G c.d a smernica je 1/48.D. Skúškou sendvičového nosníka rojbodovým ohybom je možné určiť ohybovú uhosť nosníka a šmykový modu jadra. 8
Sraa sabiiy sendvičových dosiek Ku srae sabiiy dochádza ri akovom zaťažení sendvičového aneu odobne ako u rúov a dosiek. Rozišujeme ohybovú srau sabiiy, korá sa vyskyuje u reaívne šíhych sendvičových konšrukcií a miesnu, varovú srau sabiiy u reaívne aších rvkov. Ohybová sraa sabiiy (obr..7) - Pre výoče iickej siy ohybového vybočenia sendvičového aneu je možné oužiť vzťah: FKR, E π. D FKR = = (.68) FKR, E π. D 1 + + S. G Gc. d. b c π D kde: F KR,E je Euerovo zaťaženie F KR, E =, D je ohybová uhosť sendvičového aneu odľa rovnice (.6), S.G c je uhosť v šmyku, S je rierezová ocha b. d d S =, d, re jednokovú šírku je b = 1, G c je modu v šmyku jadra. c c Obr..7 Obr..8 Obr..9 Obr..0 Šmyková sraa sabiiy (obr..8) Násedkom nedosaočnej hrúbky jadra a šmykového moduu jadra vzniká šmyková sraa sabiiy jadra (šmykové zvnenie) a iickú siu je možné vyočíať zo vzťahu: F = c. G b (.69) KR c. Zvnenie oťahu (obr..9) Zvnenie oťahu vzniká ak, že oťahy sendvičového nosníka zaťažené na koncoch akom sraia okáne sabiiu. Dĺžka vny je odsane ašia ako ceková dĺžka nosníka. Rovnica re určenie akového naäia v oťahu, ri korom sa oťah zvní je: =,5( G. E. E ) 1 (.70) KR 0 c c f kde: E c je modu ružnosi v aku jadra v smere osi z. Neuvažuje sa hrúbka jadra a oťahu. Závisosť na hrúbkach a sôsobe zvnenia je zahrnuá v resnejších modeoch. Normáne výrobné chyby, ako je mierne zvnenie ovrchu a remenivosť vasnosí jadra sôsobí yické zníženie hodnoy iického naäia ri zvnení o 0 až 0%. 84
Inerbunková sraa sabiiy (obr..0) Na oťahu sendvičových aneov sa môžu ri zaťažení ohybom, aebo akom objaviť rehĺbenia veľkosi vošinových buniek. Jedná sa o vačenie oťahu účinkom aku do vnúra buniek (ak ôsobí na jednoducho odorenú šesťuhoníkovú dosku). Naäie, ri korom vznikajú akéo KR rehĺbenia sa vyočía zo vzťahu: kde: =.E f f s (.71) s je veľkosť bunky,.j. riemer užnice vísanej do šesťuhoníkovej bunky. Takéo rehĺbenia oťahu sú obvyke obmedzené na aney s erémne enkými oťahmi a veľkými rozmermi buniek. Pre väčšinu rakických aikácií je eno sôsob oškodenia neravdeodobný. V súčasnosi sa vo veľkej miere uaňujú ri savbe ieadie redovšekým maeriáy zožené z viacerých zožiek - komoziné maeriáy (skoaminá, CFRP komozi). Majú výborné mechanické vasnosi a chemickú odonosť. Ponúkajú rôznorodé echnoogické možnosi využiia v eeckom riemyse. Vďaka ororoii - schonosi renášať veľké zaťaženie v jednom smere, sa z nich dá vyťažiť maimum úžikových vasnosí ri minimánej hmonosi. Sú reo vhodné re oužiie v doravnej a eeckej echnike. Skoaminá je zmiešaný maeriá, jeho havnými komonenmi sú skenené vákno (ako výsuž) a eene vyvrdený oymér (živica), odoný roi UV žiareniu. Vysoká eená odonosť (-40 C +140 C) a výnimočné fyzikáno - mechanické vasnosi v sojení s jeho živonosťou, nízkou hmonosťou a jednoduchým sracovaním ak robia zo skoamináu ideány maeriá s mnohosranným oužiím. CFRP (carbon fibre reinforced oymer - oymér vysužený uhíkovými váknami). Teno komozi vorí 50% kanina z uhíkových vákien (seených v 90 uhe) a 50% eoidová živica, korá redsavuje maricu komoziného maeriáu. CFRP sa vyznačujú väčšou uhosťou a evnosťou ako iné komoziy, ae na druhej srane sú oveľa nákadnejšie. Príkad odieu rôznych yov maeriáov vráane komoziov na konšrukcii doravného ieada Boeing 787 Dream Liner je na obr..1. Obr..1 85