VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na úvod mi povedz, ako závisí obsah štvorca od dĺžk stran štvorca. Ž: To je triviálne, platí S = a. Pritom S je obsah štvorca, a je jeho strana. U: Zrejme ľahko zvládneš aj závislosť objemu kock od dĺžk jej hran. Ž: Samozrejme, je daná vzťahom kde V je objem kock, a je jej hrana. V = a, U: Výborne. Toto sú dve ukážk funkcií, s ktorými sa pomerne často stretávame. Ak prejdeme k obvklému označeniu pomocou a, tak ich predpis môžeme vjadriť takto: =, =. Ž: Dosť sa podobajú, nemohlo b ďalej ísť = 4? U: Mohlo, dokonca b som povedal, že si vstihol mšlienku. Budeme sa zaoberať funkciami, ktoré môžeme vjadriť rovnicami tpu = n. Pretože sú vjadrené v tvare mocnin so základom, nazývame takéto funkcie mocninové. Vlastnosti týchto funkcií sa líšia podľa toho, aké číslo zvolíme za eponent n. Preto sa v ďalšom budeme zaoberať dvoma tpmi mocninových funkcií. Najprv si povieme niečo o mocninových funkciách s prirodzeným eponentom a potom o mocninových funkciách so záporným celočíselným eponentom. Ž: Mocninové funkcie s prirodzeným eponentom budú určite tie, v ktorých je n prirodzené číslo. U: Samozrejme. Aký je ich definičný obor? Ž: Keď sa pozriem na funkcie = a =, tak vidím, že za môžem dosadiť akékoľvek číslo. Teda definičným oborom je celá množina reálnch čísel. U: Môžem teda povedať definíciu: Mocninovou funkciou s prirodzeným eponentom nazývame každú funkciu danú rovnicou f : = n, kde n N. Jej definičný obor je množina R. Pre n = dostávame špeciáln prípad, lineárnu funkciu =.
VaFu8-T List Ž: A pre n = zase kvadratickú funkciu =. U: Osobitné pomenovanie máme ešte aj pre funkciu s rovnicou =. Nazýva sa kubická funkcia. Ž: Ako vzerá jej graf? U: To si o chvíľu ukážeme. Ab sme mohli porovnávať vlastnosti mocninových funkcií, pripravme si do tabuľk niektoré funkčné hodnot. A to hneď pre prvých šesť funkcií, teda pre = n, ak n {; ; ; 4; 5; 6}. Ž: Vezmem si na pomoc kalkulačku a vpĺňam. Niektoré hodnot musím zaokrúhliť. V rámčeku je celá tabuľka.,5,5,5,5 =,5,5,5,5 = 4,5,65,65,5 4 = 8,5,56,56,5 8 = 4 6,65,9,9,65 6 = 5,,9,9, = 6 64,56,,,56 64 U: Na základe tejto tabuľk skús objaviť niektoré vlastnosti mocninových funkcií. Ž: Hneď som si všimol, že v riadkoch =, = 4, = 6 nie sú záporné hodnot. U: Vedel b si vsvetliť prečo? Ž: Pravdaže, druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla je číslo nezáporné. To isté platí aj pre štvrtú a šiestu mocninu. A vlastne pre každú párnu mocninu. U: Tým si zdôvodnil, že obor hodnôt mocninovej funkcie s párnm prirodzeným mocniteľom je množina všetkých nezáporných čísel. Ž: Zatiaľ čo pre funkcie s nepárnm mocniteľom sú v tabuľke aj kladné aj záporné hodnot. Mslím si, že oborom hodnôt tu bude celá množina reálnch čísel. U: Máš pravdu. Vzhľadom na uvedené odlišnosti si pripravme dva obrázk. Do prvého zostrojíme graf funkcií =, = 4, = 6. Budeme hľadať ďalšie spoločné vlastnosti týchto funkcií pomocou nasledujúceho obrázka.
VaFu8-T List = 6 5 = 4 = 4 Ž: Tak teraz to už pekne vidno! Graf sú veľmi podobné. Všetk krivk sa stretávajú v bodoch [; ], [; ] a [ ; ]. Všetk funkcie sú najprv klesajúce na intervale ( ; a potom rastúce na intervale ; ). U: Veľmi dobre, tým si zvládol monotónnosť funkcií, čo ďalej? Ž: Ďalej vidím, že všetk funkcie majú v bode nula lokálne minimum a sú zdola ohraničené. U: Sú prosté? Ž: Nie sú, pretože napríklad v bodoch a majú rovnaké hodnot. Všimol som si ale niečo iné všetk graf sú súmerné podľa osi. Teda b to mali bť párne funkcie. U: Áno, a nie je ťažké to zdôvodniť. Pre ľubovoľné z definičného oboru je aj z definičného oboru. Keďže eponent n je párne číslo, tak platí f( ) = ( ) n = n = f(). Môžeme prejsť ku druhej skupinke, k funkciám s nepárnm prirodzeným mocniteľom. Najprv sa pozrime na graf funkcií =, =, = 5.
VaFu8-T List 4 = 5 = = Ž: Krivk = a = 5 sú veľmi podobné, len tá priamka = tam nesedí. U: Je to jediná priamka, všetk ďalšie graf mocninových funkcií s nepárnm prirodzeným mocniteľom sú krivk podobného tvaru. Vlastnosti však majú všetk rovnaké. Ž: Áno, všetk sú to rastúce funkcie, neohraničené, bez etrémov. Sú prosté a graf prechádzajú bodmi [; ], [; ], [ ; ]. Zabudol som na niečo? U: Ešte párnosť alebo nepárnosť. Ž: Aha. Graf sú súmerné podľa bodu [; ], teda sú to nepárne funkcie. To sa bude ľahko pamätať pre párne n sú funkcie párne a pre nepárne n sú nepárne. U: Tu kdesi tkvie aj pôvod pomenovania. Napokon v nasledujúcom prehľade zhrnieme všetko, čo sme zistili o mocninových funkciách s prirodzeným mocniteľom.
VaFu8-T List 5 Vlastnosti mocninovej funkcie = n, n N: n párne n nepárne = 6 = 4 = = 5 = = 5 4. definičný obor D = R;. obor hodnôt H = ; );. párna; 4. je rastúca na intervale ; ), klesajúca na intervale ( ; ; 5. má minimum v bode = ; 6. je zdola ohraničená; 7. nie je prostá; 8. f() =, f() =, f( ) =.. definičný obor D = R;. obor hodnôt H = R;. nepárna; 4. je rastúca; 5. nemá etrém; 6. nie je ohraničená; 7. je prostá; 8. f() =, f() =, f( ) =. U: Teraz sa zaoberajme druhou veľkou skupinou, mocninovými funkciami so záporným celočíselným eponentom. Ž: Sú to funkcie ako = alebo =? U: Presne tak. Čo b si vedel povedať o ich definičnom obore?
VaFu8-T List 6 Ž: Podľa pravidiel pre počítanie s mocninami môžem zapísať, že = =. Takisto = =. Odtiaľ už je jasné, že za nemôžem dosadiť nulu. Takže definičným oborom týchto funkcií bude množina všetkých reálnch čísel okrem nul. U: Správne. Zhrniem definíciu: Mocninovou funkciou so záporným celočíselným eponentom nazývame každú funkciu danú rovnicou f : = n, kde n Z. Definičným oborom je množina R {}. Ž: Sú aj tu nejaké špeciálne prípad? U: Áno, pre n = dostávame nepriamu úmernosť =. Ab sme sa mohli ďalej rozprávať o vlastnostiach týchto funkcií, pripravme si do tabuľk niektoré funkčné hodnot. Urobme tak pre prvých šesť funkcií, teda pre = n, ak n { ; ; ; 4; 5; 6}. Ž: Zase si pomôžem kalkulačkou, budem aj zaokrúhľovať. V rámčeku je tabuľka so šiestimi hodnotami pre každú funkciu.,5,5 =,5,5 =,5 4 4,5 =,5 8 8,5 = 4,6 6 6,6 = 5,, = 6,6 64 64,6 Ž: Z tabuľk je jasné, že inak sa správajú funkcie s párnm a inak s nepárnm mocniteľom. U: Máš pravdu, preto si aj ich graf rozdelíme. Pomocou hodnôt v tabuľke najprv zostrojme graf funkcií =, = 4, = 6. Máme ich na nasledujúcom obrázku.
VaFu8-T List 7 = 6 = 4 = U: Z grafu urč vlastnosti týchto mocninových funkcií s párnm záporným celočíselným mocniteľom. Ž: Funkcie nadobúdajú iba kladné hodnot. Na intervale ( ; ) sú rastúce, na intervale (; ) sú klesajúce. Ďalej sú ohraničené zdola, nemajú etrém. Nie sú prosté, zato sú párne. To sa ale dalo čakať, keď hovoríme o párnom eponente. U: Môžeme si všimnúť aj polohu grafov voči súradnicovým osiam. Ž: Graf sa približujú k obom osiam, ale nikd sa ich nedotknú. U: Presne tak. Osi -ovej sa nedotknú preto, lebo naše funkcie nie sú definované pre =. Osi -ovej sa nedotknú preto, lebo prevrátená hodnota kladného čísla nie je nikd rovná nule. V takomto prípade hovoríme, že súradnicové osi predstavujú asmptot grafu funkcie. Ešte sa pozri, či vidíš nejaké význačné bod, ktorými prechádzajú všetk graf. Ž: Ale áno, sú to bod [; ] a [ ; ]. U: Ostáva nám posledná skupina mocninové funkcie so záporným nepárnm celočíselným mocniteľom. Najprv si pripravíme obrázok s grafmi funkcií =, =, = 5. = = 5 =
VaFu8-T List 8 Ž: Tak sa môžem pustiť do vlastností. Oborom hodnôt je celá množina reálnch čísel s výnimkou nul. Všetk funkcie sú nepárne, klesajúce na intervaloch ( ; ) a (; ). Ďalej sú prosté, nie sú ohraničené a nemajú etrém. Všetk prechádzajú bodmi [; ] a [ ; ]. U: Zvládol si to vnikajúco. Už len dodám, že obidve súradnicové osi opäť predstavujú asmptot. Všetko, čo sme povedali o mocninových funkcách so záporným celočíselným eponentom, zhrnieme v nasledujúcom prehľade. Vlastnosti mocninovej funkcie = n, n Z : n párne n nepárne = 6 = 4 = = 5 = =. definičný obor D = R {};. obor hodnôt H = (; );. párna; 4. je rastúca na intervale ( ; ), klesajúca na intervale (; ); 5. nemá etrém; 6. je zdola ohraničená; 7. nie je prostá; 8. f() =, f( ) = ; 9. súradnicové osi sú asmptot.. definičný obor D = R {};. obor hodnôt H = R {};. nepárna; 4. je klesajúca na intervaloch ( ; ) a (; ); 5. nemá etrém; 6. nie je ohraničená; 7. je prostá; 8. f() =, f( ) = ; 9. súradnicové osi sú asmptot.
VaFu8-T List 9 U: Hovorili sme o funkciách tpu = n, ak n bolo kladné alebo záporné celé číslo. Porozmýšľaj, ako b to dopadlo, ak b bolo n =. Ž: Vznikla b funkcia s rovnicou =. To je ľahké. Keďže =, vznikla konštantná funkcia a jej grafom je priamka. U: Veruže nemáš úplnú pravdu. Mocnina s eponentom nula je totiž definovaná iba pre nenulové čísla. Preto definičným oborom funkcie = je R {}. Ž: Potom ale grafom musí bť priamka bez jedného bodu, na obrázku je znázornený prázdnm krúžkom. =
VaFu8- List Príklad :. Určte číselnú hodnotu koeficienta a, pre ktorú graf funkcie f : = a prechádza bodom [; ].. Pre funkciu g : = 4 určte všetk hodnot premennej, pre ktoré platí g() = 8. U: V prvej úlohe je daná kubická funkcia f : = a. Hodnotu koeficienta a máš určiť tak, ab graf tejto funkcie prechádzal bodom [; ]. Ž: To b nemalo bť ťažké, pretože ak graf prechádza bodom [; ], tak do rovnice funkcie dosadím za číslo a za číslo. Dostávam takúto rovnicu: = a. Teda odkiaľ = a 8, a = 5 4. U: Výborne. V druhej časti je daná mocninová funkcia g : = 4. Máš určiť všetk hodnot premennej, pre ktoré platí g() = 8. Ž: Začnem zápisom g() = 8, ktorý prepíšem do tvaru 4 = 8. A hneď vidím, že riešením je číslo, pretože 4 = 8. U: Počkaj, počkaj, priveľmi si sa rozbehol. Súhlasím s tým, že 4 = 8, je to však jediné riešenie? Vráťme sa pekne k rovnici 4 = 8 a začnime ju upravovať. Najprv prenesieme číslo 8 na ľavú stranu. Ž: Dostanem rovnicu 4 8 =. Čo ďalej? U: Použi znám vzorec A B = (A + B)(A B).
VaFu8- List Ž: Teda ľavú stranu rozložím na súčin ( + 9)( 9) =. Ešte raz použijem ten istý vzorec a dostávam ( + 9)( + )( ) =. Rovnica + 9 = ale nemá reálne korene. Preto vznikli len dve riešenia = a =. U: Tentoraz to je v poriadku. Eistujú dve hodnot reálnej premennej, pre ktoré funkcia g nadobúda hodnotu 8. Úloha : Pre funkciu f : = určte všetk hodnot premennej, pre ktoré platí: a) f() = 64 b) f() = 8. Výsledok: a) 4; b)
VaFu8- List Príklad :. V továrni na hračk vrábajú kock z borovicového dreva s hustotou ϱ =,5 g cm. Zapíšte funkciu, ktorá vjadruje závislosť hmotnosti kock od dĺžk jej hran. Načrtnite jej graf.. V továrni na konzerv vrábajú valcové plechovk s objemom 5 ml. Zapíšte funkciu, ktorá vjadruje závislosť výšk v plechovk od polomeru r jej podstav. Načrtnite jej graf. Ž: V prvej úlohe je reč o drevených kockách z dreva s hustotou,5 g cm. Ak si dobre pamätám, tak hustota ϱ sa počíta podľa vzťahu kde m je hmotnosť a V je objem telesa. ϱ = m V, U: Pamätáš si to dobre. Ž: To som rád. V našom prípade potrebujeme objem kock. Ten je daný vzťahom V = a, kde a je dĺžka hran kock. Ak to spojím, dostanem vjadrenie ϱ = m a. Odtiaľ m = ϱ a. Hustotu borovicového dreva máme danú, preto hľadaná funkcia je m =,5 a. U: Zdôrazním, že hrana kock je v tomto prípade daná v centimetroch a hmotnosť kock v gramoch. Získali sme kubickú funkciu, máš načrtnúť jej graf. Najprv si však uvedom, aký je definičný obor tejto funkcie. Ž: Zrejme hrana kock nemôže bť záporné číslo a ani nula. Teoretick b hrana kock mohla bť ľubovoľne veľká, ale praktick... U: Máš pravdu, veľmi veľké kock b nikto nevrábal, už aj pre ich hmotnosť. Nám však stačí teoretický pohľad. Ž: Tak si pripravím do tabuľk niekoľko hodnôt, uvedené sú v rámčeku. a [cm],8,5,5 m =,5 a [g],56,5,69 4 7,8,5 Hodnot z tabuľk potom nanesiem do súradnicovej sústav a zostrojím graf funkcie. Tu to je:
VaFu8- List m [g] 9 8 7 m =,5 a 6 5 4 a [cm] U: Zvládol si to veľmi dobre, poďme na druhú časť. Ž: Tentokrát sú to plechovk v tvare valca s objemom 5 ml. Viem, že objem valca sa počíta podľa vzťahu V = πr v, kde r je polomer podstav a v je výška valca. U: Asi b bolo vhodné použiť iné jednotk pre objem. Ž: Ak b polomer aj výška boli dané v centimetroch, tak objem bude v cm. Lenže mililitre a centimetre kubické predstavujú to isté. Preto naše plechovk majú objem 5 cm. U: Dobre. Vráťme sa k vzorcu na výpočet objemu valca. Tvojou úlohou je vjadriť výšku valca ako funkciu polomeru. Ž: To nie je ťažké, v = V πr. Ešte dosadím za objem valca danú hodnotu a mám výsledok: v = 5 πr. U: Opäť poznamenajme, že táto funkcia je definovaná len pre kladné čísla. Ž: Aký je to tp funkcie?
VaFu8- List 4 U: Môžeme ju zaradiť medzi mocninové funkcie. Jej rovnicu zapíšem v tvare v = 5 π r. Potom je zrejmé, že je to mocninová funkcia so záporným celočíselným mocniteľom, ktorá však obsahuje navše koeficient 5. Ten spôsobí, že graf sa bude trochu líšiť od grafu π funkcie =. Ž: Tak si za pomoci kalkulačk pripravím tabuľku s niekoľkými hodnotami: r [cm] 4 6 8 v = 5 π r [cm] 59, 9,79 9,95 4,4,49,59 U: Ostáva nám už len graf, je na nasledujúcom obrázku: v [cm] 4 v = 5 π r 4 6 8 r [cm]
VaFu8- List 5 Príklad : Pomocou grafu funkcie f : = zostrojte graf funkcií f : =, f : = ( ), f : = a f 4 : =. U: Pri riešení tejto úloh môžeš šikovne vužiť svoje vedomosti o transformáciách funkcií. Ž: Graf funkcie f : = poznám, je to mocninová funkcia s nepárnm prirodzeným mocniteľom. Jej graf prechádza bodom [; ] a je na nasledujúcom obrázku: 4 f : = 4 U: Dobre, a teraz skús do toho istého obrázka prikresliť graf funkcie f : =. Ž: To nie je ťažké, pretože funkcia f priradí každému reálnemu číslu hodnotu o menšiu než funkcia f. To znamená, že graf funkcie f vznikne posunutím grafu funkcie f o dielik nadol pozdĺž osi -ovej. Vzerá to takto:
VaFu8- List 6 4 = = 4 U: Veľmi dobre. Ktorú transformáciu použiješ pri zostrojovaní grafu funkcie f : = ( )? Ž: Tentokrát posuniem graf funkcie f v smere osi -ovej. Ak v predpise funkcie f nahradím výrazom, tak dostanem predpis funkcie f. To znamená, že graf funkcie f dostanem tak, že posuniem o dva dielik doprava graf červenej funkcie. U: Čiže graf funkcie f nebude prechádzať bodom [; ], ale bodom [; ]. O tom sa môžeme ľahko presvedčiť dosadením do predpisu funkcie. Ž: Na ďalšom obrázku už je zostrojený modrý graf funkcie f : = =( )
VaFu8- List 7 U: Tretia funkcia v poradí má pomerne jednoduchý predpis f : =. Ž: Od funkcie f sa líši iba znamienkom. To znamená, že všetk hodnot funkcie f budú opačné čísla k hodnotám funkcie f. To, čo bolo kladné, bude záporné a naopak. Preto sa celý graf preklopí podľa osi. Čo bolo nad ňou, bude pod ňou a naopak. U: Dôjde teda k zobrazeniu grafu funkcie f v osovej súmernosti podľa -ovej osi. Ž: Výsledok je na obrázku: = = U: Ostáva nám ešte posledný graf pre funkciu f 4 : =. Ž: Výraz sa nachádza v absolútnej hodnote. To spôsobí, že tá časť grafu funkcie f, ktorá leží nad osou sa nezmení. To preto, lebo absolútna hodnota kladného čísla je to isté číslo. U: Zatiaľ uvažuješ veľmi dobre. Ako to bude so zápornými hodnotami? Ž: Viem, že absolútna hodnota záporného čísla je číslo k nemu opačné. Preto tá časť grafu funkcie f, ktorá ležala pod osou, sa zobrazí nahor v osovej súmernosti podľa osi. U: Áno. Mohli b sme to povedať aj tak, že graf funkcie f 4 : = je zložený z dvoch častí. Pre nezáporné z grafu funkcie f : = a pre záporné z grafu funkcie f : =. Výsledok je na poslednom obrázku:
VaFu8- List 8 = = Úloha : Pomocou grafu funkcie f : = zostrojte graf funkcie g : =. Výsledok: = =
VaFu8-4 List 9 Príklad 4: Rozhodnite o pravdivosti nasledovných tvrdení: a) funkcia f : = je párna; b) funkcia g : = nemá etrém; c) funkcia h : = 4 je zhora ohraničená; d) funkcia i : = 5 je prostá. U: V tejto úlohe máš rozhodnúť o niektorých vlastnostiach mocninových funkcií. Ž: V časti a) je daná funkcia f : =. Mám zistiť, či je párna. Ak b tam nebola absolútna hodnota, tak b to bola určite nepárna funkcia. Ale takto neviem. U: Poďme na to cez definíciu. Ak má bť funkcia f párna, musia bť splnené dve podmienk. Prvá o tom, že pre každé z definičného oboru aj patrí do definičného oboru. Ž: To platí, pretože definičným oborom funkcie f je množina všetkých reálnch čísel. U: Druhá podmienka hovorí o tom, že pre každé z definičného oboru má platiť f( ) = f(). Over to. Ž: Použijem jednoduché úprav, uvedené sú v rámčeku. Všlo to, takže funkcia f je párna. U: V časti b) máme tvrdenie, že funkcia nemá etrém. f( ) = ( ) = = = f(). g : = Ž: Toto je prípad mocninovej funkcie so záporným celočíselným mocniteľom a tie nikd nemajú etrém. Takže je to pravda. U: Overiť si to môžeme na grafe tejto funkcie:
VaFu8-4 List = Ž: V časti c) mám rozhodnúť, či funkcia h : = 4 je zhora ohraničená. Najprv začnem funkciou = 4. Je to mocninová funkcia s párnm prirodzeným mocniteľom a tie sú vžd zdola ohraničené. U: Vedel b si povedať hodnotu dolného ohraničenia? Ž: Je to číslo nula, pretože párna mocnina akéhokoľvek reálneho čísla je vžd číslo nezáporné. Lenže vo funkcii h je v predpise ešte mínus. Preto všetk hodnot tejto funkcie budú čísla menšie nanajvýš rovné nule. To znamená, že funkcia h : = 4 je zhora ohraničená číslom nula. U: Výborne. Ostáva posledná funkcia i : = 5. Máš rozhodnúť, či je prostá. Ž: Je, pretože všetk mocninové funkcie s nepárnm mocniteľom sú prosté. Úloha 4: Rozhodnite o pravdivosti nasledovných tvrdení: a) funkcia f : = 7 je nepárna; b) funkcia g : = nemá etrém; c) funkcia h : = 4 je zdola ohraničená; d) funkcia i : = 5 je klesajúca; e) funkcia i : = je prostá. Výsledok: a) áno; b) áno; c) áno; d) nie; e) nie
VaFu8-5 List Príklad 5: Porovnajte podľa veľkosti nasledujúce dvojice čísel. Vužite pri tom graf mocninových funkcií. a),5, (,5) ; b) ( 5, ( 4) 5; 5) c) (7,) 4, (7,) 4 ; d) ( 4,8), (4,8). Ž: Mám vužiť graf mocninovej funkcie na porovnanie čísel,5 a (,5). Bude to graf funkcie =? U: Áno, pretože obe čísla sú v tvare tretej mocnin. Uvažujeme preto o mocninovej funkcii s nepárnm prirodzeným eponentom, na obrázku je jej graf. 4 = 4 Ž: Je to rastúca funkcia. Preto z nerovnosti vplýva nerovnosť,5 >,5,5 > (,5). U: Súhlasím. Mohli sme to zdvôvodniť aj tým, že táto kubická funkcia pre kladné nadobúda kladné hodnot, ale pre záporné záporné hodnot. A tie ako vieme sú menšie než kladné. Poďme na ďalšiu dvojicu, čísla ( 4) 5 a ( 5) 5.
VaFu8-5 List Ž: Teraz si pomôžem funkciou = 5. Je to opäť mocninová funkcia s nepárnm prirodzeným mocniteľom, preto jej graf je veľmi podobný grafu funkcie =. Nemusím ho ani kresliť, stačí zase vužiť skutočnosť, že je to rastúca funkcia. A keďže 4 < 5, tak platí ( 5 ( < 4) 5. 5) U: Pokračujeme treťou dvojicou čísel (7,) 4 a (7,) 4. Ž: Obidve čísla sú umocnené na mínus štvrtú. Preto si vezmem na pomoc funkciu = 4. U: Správne. Je to mocninová funkcia so záporným párnm eponentom, jej graf je na nasledujúcom obrázku. = 4 Ž: Mám porovnať hodnot v číslach 7, a 7,. To sú čísla kladné a vidím na grafe, že tam je táto funkcia klesajúca. Preto síce je ale po umocnení bude 7, < 7,, (7,) 4 > (7,) 4. U: Veľmi dobre, ostala posledná dvojica čísel ( 4,8) a (4,8). Ž: Postupujem analogick. Začnem od grafu funkcie =.
VaFu8-5 List = Tentoraz mám do činenia s mocninovou funkciou s nepárnm zápornm eponentom. Vidím na grafe, že pre záporné nadobúda záporné hodnot, ale pre kladné nadobúda kladné hodnot. Preto platí ( 4,8) < (4,8). Úloha 5: Porovnajte podľa veľkosti nasledujúce dvojice čísel. Vužite pri tom graf mocninových funkcií. a) ( 5, ( 5; ) 7) b) (,5), (,5) ; c) (,) 4, (,) 4 ; d) ( 4,8), 4,8. Výsledok: a) ( 5 ( ) > 5; 7) b) (,5) = (,5) ; c) (,) 4 > (,) 4 ; d) ( 4,8) < 4,8