PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu očne ivice - oeležvmo povšinu onove (ze) - M oeležvmo povšinu omotč - omotč e toji od očni tn(njčešće jednkokki touglovi), nvno totn pimid u omotču im tkve tne, četvootn - itd. - ko u tektu zdtk kže jednkoivičn pimid, to nm govoi d u onovn ivic i očn ivic jednke, to jet : - ko u tektu zdtk im eč pv to znči d je viin pimide nomln n vn onove ili ti, jednotvnije ečeno, pimid nije kiv - ko u tektu zdtk im eč pviln, to nm govoi d je u onovi ( zi ) pviln mnogougo: jednkotničn tougo, kvdt, itd. Dve njvžnije fomule z izčunvnje povšine i zpemine u: P M z povšinu i z zpeminu www.mtemtinje.com
PRAA PRAILNA TROSTRANA PIRAMIDA o u Kko je u zi jednkotničn tougo, to će povšin ze iti: U omotču e nlze ti jednkokk tougl ( povšin jednog od nji je omotču, to je: M P M P P očne tne ), kko i im u Dlje nm teju pimene Pitgoine teoeme. Kod vke pimide potoje po ti tougl n kojim možemo pimeniti Pitgoinu teoemu: / www.mtemtinje.com
o u u to jet o u o to jet PRAA PRAILNA ČETOROSTRANA PIRAMIDA U zi je kvdt, p je povšin ze U omotču e nlze četii jednkokk tougl ( povšin jednog od nji je omotč M odnono M P očne tne ), p je povšin P M P Pimen Pitgoine teoeme: / / d/ d odnono to jet www.mtemtinje.com
d P P DP DP d odnono dijgonlni peek PRAA PRAILNA ŠESTOSTRANA PIRAMIDA U zi je šetougo, p je povšin ze U omotču e nlze šet jednkokk tougl ( povšin jednog od nji je omotč jednk M P M P P očne tne ), p je povšin / www.mtemtinje.com
veći dijgonlni peek P ovog dijgonlnog peek je : Pvdp to jet Pvdp peek mnji dijgonlni peek P ovog dijgonlnog peek je : P mdp peek Četvootn pimid (u onovi om): P M d d M d ( ) d ( ) Fomulice: ) nejednkotnicni tougo: P cc c P ( )( )( c) P P R c gde je poluoim, -polupečnik upine kuznice i R-polupečnik opine kužnice. c ) pvougli tougo: P ili P c c c c R ; ; c pq ; pc ; qc cpq ) jednkokki tougo P ( ) Pogledjte fomulice iz olti mnogougo i četvoouglovi... PRAA PRAILNA TROSTRANA ZARULJENA PIRAMIDA P M M ( ) ili ( ) www.mtemtinje.com 5
u o - u - o ( ) ( ) ( ) ( ) iin dopunke pimide je: PRAA PRAILNA ČETOROSTRANA ZARULJENA PIRAMIDA P M M ( ) ( ) ( ) www.mtemtinje.com
- - - - d - d - ( ) ( ) oni peek: d d ( ) dijgonlni peek: d D d d d Ako oeležimo viinu dopunke pimide, ond je PRAA PRAILNA ŠESTOSTRANA ZARULJENA PIRAMIDA P M M ( ) ( ) ili ( ) www.mtemtinje.com 7
- - ( ) ( ) ( ) ( ) iin dopunke pimide je i ovde: Zdci ) Dte u onovn ivic 0cm i viin cm pvilne četvootne pimide. Odediti njenu povšinu i zpeminu. 0cm cm P?? / Pvo ćemo nći viinu : 5 9 cm P M P P 0 0 P 00 0 P 0cm 00 0 00cm www.mtemtinje.com 8
) Onov pve pimide je pvougonik, tnicm cm i 9cm. Odediti zpeminu pimide, ko je njen očn ivic,5cm. d/ cm 9cm,5cm? Njpe ndjemo dijgonlu onove (ze) d d d d 5 8 d 5cm 9 Sd ćemo nći viinu iz tougl. d,5 7,5 00 0cm 90 0cm www.mtemtinje.com 9
) Onov pizme je tougo čije u tnice cm, cm i 5cm. očn ivic npm ednje po veličini onovne ivice nomln je n vn onove i jednk je cm. Izčunti povšinu i zpeminu pimide. Ndjimo njpe povšinu ze peko eonovog oc. cm cm c 5cm c 5 S( S )( S )( S c) 7 8 8cm nm te dužin ednje po veličini viine ( ) onove. C P 8 8 7 cm A Nći ćemo dlje viinu očne tne. cm c 00 0cm Povšin je jednk ziu povšin ov četii tougl!!! 5 c P 5 0 P 8 P 8 0 0 0 P 8cm 8 8cm www.mtemtinje.com 0
) Izčunti zpeminu pvilnog teted u funkciji ivice Teted je pviln jednkoivičn totn pimid. Izvucimo tougo: 9 9 9 9 Dkle: PAZI: www.mtemtinje.com 0 o 8 9 8
5) Izziti viinu pvilnog teted u funkciji zpemine. Ikoitićemo ezultt petodnog zdtk i izziti Kko je to je 5 5 5 5 www.mtemtinje.com
) Izčunti zpeminu pvilne četvootne zuljene pimide ko u onovne ivice 7m i 5m i dijgonl 9m. D 7m 5m D 9m? D i nšli viinu momo uočiti dijgonlni peek. D 7 5 m D D ( ) 9 87 9 m 09m ( ) ( ) ( 7 5 7 5) www.mtemtinje.com
7) Izčunti zpeminu pvilne šetotne zuljene pimide ko u onovne ivice m i m i očn ivic m m m m ( ) ( ) ( ) 7 0,5m 8) Onovne ivice pvilne totne zuljene pimide u cm i cm. očn tn o ngnut je pem većoj onovi pod uglom od 0. Izčunti zpeminu te pimide. u u cm cm PAZI: Kd e u zdtku kže očn tn pod nekim uglom, to je ugo izmedju viin očne tne i viine onove!!! Izvucimo ''n tnu'' tpez (pvougli) www.mtemtinje.com
5 o 0 ( ) ( ) 5 0 0 m cm tg tg o o 9) očne ivice pvilne totne zuljene pimide ngnute u pem vni onove pod uglom α. Onovne ivice pimide u i ) ( >. Odediti zpeminu pimide. Izvucimo oeleženi tpez, iz njeg ćemo nći viinu! www.mtemtinje.com α
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( tg tg tg tg tg α α α α α Kko je 0) Dt je pv pviln četvootn pimid onovne ivice cm 5 i očne ivice cm. Izčunti ivicu kocke koj je upin u tu pimidu tko d e njen četii gonj temen nlze n očnim ivicm pimide. cm cm 5 Ndjimo njpe viinu pimide. www.mtemtinje.com A C cm 5 ( )( ) ( ) tg α
Izvucimo n tnu dijgonlni peek: C Doili mo ličn tougl: Δ AC ~ ΔMNC A M Q D N PAZI: A je dijgonln onove A 5 0cm MN je dijgonl tnice kvdt MN iin CDcm iin CQ-- Dkle: A : MN CD : CQ 0 : : ( ) 0( ) 0 0 0 0 Podelimo 5 0 ( 5) 0 0 Rcionlišemo 5 0 5 5 5 0( 5) 7 5 0( 5) 7 Ovo je tžen ivic kocke. ) Onov pimide je tngentni poligon n tnic opin oko kug polupečnik. Oim poligon je p, očne tnice pimide ngnute u pem vni onovne pod uglom ϕ. Odediti zpeminu pimide. z ove pimide je tvljen iz n-touglov. Ako tnice poligon oeležimo i,... n, ond će povšin vkog od ti n-touglov iti Pi, odnono www.mtemtinje.com 7
P P... P n n... (... n) gde je... n oim poligon p p Pošto kže d u očne tnice ngnute pod uglom ϕ, to je: tg ϕ tgϕ ϕ ptgϕ p tg ϕ www.mtemtinje.com 8
9