SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek 25. rujan 2015. Siniša Ivković
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA: AKSIJALNO OPTEREĆEN ŠTAP Siniša Ivković Osijek25. rujan 2015.
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA AKSIJALNO OPTEREĆEN ŠTAP SINIŠA IVKOVIĆ PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obraditi naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirati slučaj kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. U uvodu treba opisati problem u teoretskom dijelu izvesti temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema. Riješiti nekoliko primjera. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije) spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek 02. lipnja 2015. Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina
Sadržaj: Sažetak...2 1.Uvod...2 2. Djelovanje uzdužne sile...3 2.1. Uzdužna sila u osi štapa...3 2.1.1. Naprezanja...4 2.1.2. Deformacije...5 2.1.3. Dimenzioniranje...7 2.2. Ekscentrično opterećenje...8 2.2.1. Uzdužna sila i moment savijanja u jednoj od ravnina glavnih osi tromosti...8 2.2.2. Ekscentrično opterećenje izvan glavnih ravnina tromosti...10 3. Jezgra...13 3.1. Odnos položaja neutralne osi i hvatišta sile...14 3.2. Određivanje jezgre za neke poprečne presjeke...15 3.2.1. Pravokutni poprečni presjek...15 3.2.2. Kružni poprečni presjek...16 3.2.3. Složeni poprečni presjeci...16 3.3. Primjena jezgre pri ekscentričnom opterećenju...17 4. Zadaci...18 5. Zaključak...36 6. Literatura...37 1
Sažetak U radu su analizirana naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obrađena su naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirani su slučajevi kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. 1. Uvod U ovom radu ćemo obraditi slučaj kada je štap opterećen uzdužnom silom. U radu su analizirana naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obrađena su naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirani su slučajevi kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. U teorijskom djelu je dan prikaz problema i izrazi potrebni za proračun. Riješeno je nekoliko primjera analitički i pomoću jezgre poprečnog presjeka. 2
2. Djelovanje uzdužne sile 2.1. Uzdužna sila u osi štapa Štap je opterećen koncentriranom silom u težištu poprečnog presjeka.ta sila može biti vlačna ili tlačna.vlačna izaziva produženje štapadok tlačna skraćenje štapa. Slika 1. Aksijalno opterećenje-vlak [4] Slika 2. Aksijalno opterećenje-tlak [4] 3
2.1.1. Naprezanja Slika 3. Poprečni presjekunutarnje sile [4] Iz uvjeta ravnoteže: ΣFx=0 N F= σ da-f Prema Hooke-ovom zakonu: σx=εx E N= ε E da N= εx E da N=σx da N=σ A σ = = Slika 4. Jednoliko rasprostiranje naprezanja po površini presjeka [4] Površina A je površina poprečnog presjeka nedeformiranog štapadok stvarno ili Cauchyjevo stanje u sebi sadrži površinu A 1 a to bi bila površina poprečnog presjeka deformiranog štapa.razlika između A i A 1 je neznatna. 4
2.1.2. Deformacija Prirast pomaka Slika 5. Deformacija vlačno opterećenog štapa [6] Relativna dužinska deformacija u nekoj točki štapa: ε x = du=ε dx (ε= ) du= dx (σ= ) du= dx u= +C Konstanta C se dobiva iz graničnih uvjeta;za specijalni slučaj N=const. i A=const. slijedi: Za N=0u=0 C=0 Za x=l i u=δl: Δl= Dobiveni izraz je ukupno produljenje štapaodnosno Hooke-ov zakon za rastezanje ravnog štapa. Iz slike 5. je vidljivo da će uzdužna deformacija biti jednaka relativno produljenje štapa: εx= (σ=e ε) σ=e (σ= ) =E Δl l Δl= 5
Slika 6. Izduženje štapa opterećenog vlačnom aksijalnom silom [4] Smanjenje poprečnih dimenzija: Poprečna deformacija: Δa=a 1 -a ; Δb=b 1 -b εz= ; εy= ; εz=εy =εp Poissonov koeficijent-omjer relativne poprečne i relativne uzdužne deformacije: υ = Poprečne dimenzije deformiranog štapa: a 1 =a+δa=a(1+ε z )=a(1-υε x ) b 1 =b+δb=b(1+ε y )=b(1-υε x ) Površina poprečnog presjeka deformiranog štapa: A 1 =a 1 b 1 =a(1-υε x )b(1-υε x )=A(1-υε x ) 2 =A(1-2υε x +υ 2 ε x 2 ) Relativno smanjenje ili kontrakcija poprečnog presjeka: Promjena volumena nosača: ψ= ΔV=V 1 -V=A 1 l 1 -Al=A(1-υε x ) 2 l(1+ε x )-Al=Al[(1-υε x ) 2 (1+ε x )-1] ΔV=Al(ε x -2υε x -2υε x 2 +υ 2 ε x 2 +υ 2 ε x 3 ) Relativna promjena volumena (volumenska deformacija): ε v = 6
2.1.3. Dimenzioniranje Kriterij čvrstoće: σ σ Dopušteno naprezanje: σ = ili σdop= Faktori sigurnosti: f T -u odnosu na granicu tečenja f M -u odnosu na vlačnu čvrstoću Za A=const.: σ max = σ dop A N max σdop A=N dop Kriterij krutosti: Δl max Δl dop Za AE (aksijalna krutost)=const.: Δl max = Δl dop 7
2.2. Ekscentrično opterećenje U slučaju opterećenja štapa na koji djeluje prostorni sistem silau bilo kojem poprečnom presjeku mogu se pojaviti 6 komponenti unutarnjih sila (NT y T z M x M y M z ).Osi z i y glavne su središnje osi tromosti presjekaa os x je uzdužna os.ekscentrično opterećenje je složeni oblik opterećenjaodnosno kombinacija savijanja te uzdužne sile (tlak ili vlak). Slika 7. Poprečni presjek štapa opterećenog uzdužnom silom i momentima u svakoj od osi [8] 2.2.1. Uzdužna sila i moment savijanja u jednoj od ravnina glavnih osi tromosti Slika 8. Zbroj komponenti naprezanja [9] Štap je opterećen momentom savijanja M z i uzdužnom silom N.Moment savijanja M z uzrokuje normalna naprezanja: σx ' = y Naprezanja uzrokovana uzdužnom silom: σx '' = 8
Ukupno naprezanje dobijemo kao zbroj: σx=σx ' + σx '' = ± ± y Naprezanja u rubnim vlaknima: σxmax= + y max= + σxmin= - y min= - Položaj neutralne osiodsječak na osi z: σx= + y 0=0 y 0=- N M z Iz A =- iz 2 ; ( =iz 2 ) Opći oblik jednadžbe naprezanja bi bio: σxmax/min= ± Ako je uzdužna sila tlačnaonda gornji izrazi imaju predznak -a ako je vlačna +. 9
2.2.2. Ekscentrično opterećenje izvan glavnih ravnina tromosti Slika 9. Ekscentrična tlačna sila na štap [7] Promatramo štap upet u donjem dijelu i opterećen je tlačnom silom N koja djeluje ekscentrično u točki A.Os x je uzdužna osdok su osi y i z središnje osi tromosti poprečnog presjeka.udaljenost e naziva se ekscentričnošću sile F i dobije se: e= e + e e z=e sinα ; ey =e cosα M=N e M y =M sinα=n e sinα=n ez ; M z=m cosα=n e cosα=n e y (1) Odsječci na y i z osi kroz koje prolazi neutralna os: ay=- ; az=- Opći izraz za naprezanje: σx=+ ± y± z Ekscentrični pritisak: σx= ( + z+ y) Ekscentrično rastezanje: σx= + z+ y 10
Ako uzmemo u obzir izraz (1)dobiti ćemo izraz za naprezanje ako djeluje ekscentrična tlačna sila N: σx=- (1+ z + y) Gdje su i y i i z glavni polumjeri tromosti: iy = ; iz= Iz čega dalje dobijemo izraz za naprezanje ako djeluje ekscentrična vlačna sila N: σx= (1+ z + y) U neutralnoj osi presjeka σ x =0pa je jednadžba neutralne osi određena sljedećim: 1+ z + y=0 Iz toga proizlazi da neutralna os ne prolazi kroz težište poprečnog presjekate ovaj izraz možemo prikazati i u sljedećem obliku: + =1 Uvrstimo li izraze za odsječke na y i z osi kroz koje prolazi neutralna os dobiti ćemo jednadžbu neutralne osi u segmentnom obliku: z a + y a = 1 Iz ovog izraza vidljivo je da položaj neutralne osikoja dijeli presjek na zonu vlaka i zonu tlaka ne ovisi o velični i predznaku sile Nveć o položaju pola A (e y e z ) i oblika poprečnog presjeka.neutralna os i hvatište ekscentrične sile nalaze se u suportnim kvadrantima.ako se hvatište sile nalazi na jednoj od glavnih osi tromosti A (e y 0) tada je odsječak a z = a neutralna os je okomita na os y. 11
Slika 10. Hvatište sile u jednog od glavnih osi tromosti [7] σxx= + y σxx= (1+ e y y) σxx= (1+ y) Deformacije pri ekscentričnom opterećenju Deformacije se sastoje od promjene dužine i promjene zakrivljenosti elastične linije: Δl f = = Kod vitkog štapa i<<l te je Δl<<f tj. deformacije od uzdužne sile se mogu zanemariti u odnosu na deformacije od savijanja. 12
3.Jezgra poprečnog presjeka Ovisno o hvatištu ekscentrične sile neutralna os može presjecati rub presjekadodirivati ga ili ležati izvan presjeka.o položaju neutralne osi ovisi kakav će biti raspored naprezanja.ako je izvan presjeka ili dodiruje rub onda će u svim točkama presjeka normalno naprezanje biti jednakodakle u vlaku ili tlaku.u slučaju da neutralna os se nalazi unutar presjeka ona će taj presjek djeliti na dva djelai unutar kojih će jedan dio imati vlačna a drugi tlačna naprezanja. Slučaj kada je neutralna os unutar presjeka i kada postoji raspodjela naprezanja na vlak i tlakmože biti opasna za neke situacije kada se koriste krhki materijali koji imaju malu vlačnu čvrstoću odnosno kada je nosivost na vlak mala.ljevano željezobetonkamen su neku od materijala koje može ubrojati među takve.u takvim situacijama nastoji se da tlačna eksentrična sila koja djeluje na presjekne uzrokuje u opasnom presjeku vlačna naprezanjaa to se postiže ako korigiramo ekscentričnost uzdužne sile tako da neutralna os bude na rubu ili izvan zone poprečnog presjeka.u tom slučaju će čitav presjek biti opterećen u tlačnim naprezanjem i takav presjek osjetljiv na vlak neće biti u opasnosti. Ako na rubove poprečnog presjeka postavimo puno neutralnih osi koje tangiraju konture tog poprečnog presjekadobiti ćemo za svaki slučaj posebno hvatište ekscentrične sile.područje u poprečnom presjeku koje je ograničeno tim hvatištima a nalazi se oko težišta presjekanaziva se jezgra presjeka.iz toga dolazimo do zaključkada je jezgra presjeka ustvari dio poprečnog presjeka unutar kojeg se mora nalaziti hvatište ekscentrične sile ako želimo da cijeli presjek ima naprezanje istog predznaka.u slučaju da se hvatište ekscentrične uzdužne sile nalazi izvan jezgre presjekaonda će neutralna os biti unutar presjeka i samim time će se pojaviti naprezanje oba predznakatj i vlačno i tlačno. Ako se hvatište tlačne sile nalazi u težištu poprečnog presjeka (x 0 =0y 0 =0) onda: Iz izraza: ax=- 2 ay =- Dobivamo da se neutralna os nalazi u beskonačnosti: ax=- ay =- Slika 11. Određivanje hvatišta sile [7] 13
Jednadžba neutralne osi: + =1 Odsječci neutralne osi: ay =- az=- Koordinate hvatišta sile A(e y e z ) za neutralnu os sa odsječcima a y i a z odrediti ćemo izrazima: e y =- ez=- 3.1. Odnos položaja neutralne osi i hvatišta sile Slika 12. Odnos položaja neutralne osi i hvatišta sile [7] Za bilo koji položaj hvatišta na pravcu A'A'' neutralna os prolazi kroz točku C.Ako se neutralna os kreće oko točke C onda se pripadajuće hvatište A pomiče po pravcu (n.o. c). Vrijedi i obrnutopri pomicanju hvatišta sile po nekom pravcu (n.o. c) neutralna os rotira oko pripadajuće točke C. U slučaju kada je poprečni presjek konveksni poligononda je i njegova jezgra poligon.pri tome svakom vrhu danog poligona odgovara stranica ruba jezgrea i svakoj stranici poligona odgovara vrh ruba jezgre. Ovaj odnos vrijedi i za slučaj kada poprečni presjek nije konveksni poligonali se sve tangente na poprečni presjek reduciraju na konveksni poligonkao što je to kod sastavljenih profila. 14
3.2. Određivanje jezgre za neke poprečne presjeke Postoje 3 načina određivanja jezgre: 1) odrede se hvatišta sila na konturi poprečnog presjeka (istaknute točke na konturi poprečnog presjeka) te se traže neutralne osi 2) odrede se neutralne osi (poligon tangenata na poprečni presjek) te se traže hvatišta sila 3) grafički postupak 3.2.1. Pravokutni poprečni presjek Slika 13. Pravokutni poprečni presjekodređivanje jezgre [7] Glavni središnji polumjeri tromosti pravokutnika jesu: iz 2 = iy 2 = Neutralna os a na glavnim osima odsjeca odsječke ay= az= Koordinate pripadajućeg pola atj. hvatišta u točki a: e y = =- =- ez=- =- =0 Na isti način i za ostale tri neutralne osi dobijemo pripadajuće polove: b( b 6 0) c(0 ) d( 0). Na ovaj način dobivamo vrhove jezgre presjekakoja ima oblik romba. 15
3.2.2. Kružni poprečni presjek Slika 14. Kružni poprečni presjekodređivanje jezgre [7] Polumjer tromosti: Središnji polumjeri tromosti: Iz=Iy= iz 2 =iy 2 = = = Iz toga se korjenovanjem dobije radijus tromosti: Jezgra je onda kružnica sa radijusom: iz=iy= az=(ay )- =- = 3.2.3. Složeni poprečni presjeci: Kao što smo odredili jezgru presjeka za pravokutni poprečni presjektako bismo odredili i za I-presjek te U-presjek. Slika 15. Složeni poprečni presjeci [2] 16
3.3. Primjena jezgre pri ekscentričnom opterećenju Ekscentrična uzdužna sila F djeluje u točki A na udaljenosti e od težišta presjeka.ako silu F reduciramo na težište poprečnog presjekadobiti ćemo u poprečnom presjeku centričnu uzdužnu silu F i moment savijanja M=F e.najveća naprezanja će biti u točkama 1 i 2koje su najudaljenije od neutralne osi. Slika 16. Određivanje jezgre pri ekscentričnom opterećenju [9] (RDMS-ravnina djelovanja momenta savijanja) Ukupna naprezanja od ekscentrične sile F biti će suma naprezanja od centrične uzdužne sile F i naprezanja od momenta savijanja M=F e. σ12= + = (1 ± e k 12 ) 17
4. Zadaci Za zadane poprečne presjeke treba odrediti naprezanja ako su presjeci opterećeni uzdužnom silom. Naprezanja treba odrediti analitički i grafički-pomoću jezgre poprečnog presjeka. Jezgru poprečnog presjeka koristiti samo za slučaj ekscentričnog opterećenja. Nacrtati pripadajuće dijagrame naprezanja. Na presjek djeluje uzdužna tlačna sila F. Naprezanja odrediti za položaj sile u: a) točki A b) točki B c) točki C. 1) a) A(yz)=A(00) cm b) B(yz)=B(0-3) cm c) C(yz)=C(-3-5) cm F=200 N 2) a) A(yz)=A(00) cm b) B(yz)=B(0-3) cm c) C(yz)=C Izračunati položaj prema slici. F=150 N 3) a) A(yz)=A(00) cm b) B(yz)=B(0-12) cm c) C(yz)=C(-5z) cm F=400 N 18
1) a) A(yz)=A(00) cm Površina A=h b=20 10=200 cm 2 Naprezanje σ x = = = -1 N/cm 2 19
b) B(yz)=B(0-3) cm Jezgra presjeka n 1 -n 1 y 0 = = =167 cm z 0 =0 n 2 -n 2 y 0 =- =- =-167 cm z 0 =0 n 3 -n 3 y 0 =0 z 0 = = =333 cm n 4 -n 4 y 0 =0 z 0 =- =- =-333 cm 20
Naprezanje-analitički Komponenta momenta savijanja: M y =-F 3=-200 3= -600 Ncm Moment tromosti: I y = = = 666667 cm 4 Normalno naprezanje od momenta savijanja: σ x ' = z= 10= -09 N/cm2 Normalno naprezanje od uzdužne sile: σ x '' = = = -1 N/cm 2 Naprezanje u točki 1: σ 1 =-1-09= -19 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ 2 =-1+09= -01 N/cm 2 Naprezanje-grafički Očitano: e=3 cm k 1 =333 cm k 2 =333 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -19 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= -01N/cm 2 Položaj neutralne osi = = = 1111 cm ili na drugi način: = = ; = = = 1111 cm 21
c) C(yz)=C(-3-5) cm Naprezanja-analitički Komponente momenta savijanja: M y =F 5=200 5=1000 Ncm M z =-F 3=-200 3= -600 Ncm Momenti tromosti: I y = = I z = = = 666667 cm 4 = 166667 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =577 cm i z = = =288 cm 22
Naprezanje u točki 1: σ 1 = z y= 10 5= -43 N/cm2 Naprezanje u točki 2: σ 2 = + z + y= + 10+ 5= 229 N/cm2 Naprezanja-grafički Očitano: e=59 cm k 1 =18 cm k 2 =18 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -427 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 227 N/cm 2 Položaj neutralne osi: a y = = =276 cm ; a z = = =666 cm 23
2) a) A(yz)=A(00) cm Površina: A=5 15+15 5=150 cm 2 Naprezanje σ x = = = -1 N/cm 2 Težište: T y =75 cm T z = =125 cm 24
b) B(yz)=B(0-3) cm Jezgra presjeka Momenti tromosti: I y = +5 15 5 2 + +15 5 5 2 =53125 cm 4 I z = + =15625 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =595 cm i z = = =322 cm 25
Odsječci na osima: y 01 = =138 cm z 01 = =472 cm y 02 = =138 cm z 02 = =1416 cm y 03 = =414 cm z 03 = = -283 cm Hvatišta sila i odsječci na osima za određivanje jezgre poprečnog presjeka Položaj y z y 0 z 0 Neutralna os 1-75 -75 138 472 N.O. 1 2-75 -75 138 1416 N.O. 2 3-25 125 414-283 N.O. 3 Naprezanja-analitički Komponenta momenta savijanja: M y =-F 3=-150 3= -450 Ncm Moment tromosti: I y =53125 cm 4 Normalno naprezanje od momenta savijanja: σ x 1' = z= 75= -063 N/cm2 σ x 2' = z= 125= 106 N/cm2 Normalno naprezanje od uzdužne sile: σ x '' = = = -1 N/cm 2 Naprezanje u točki 1: σ 1 =-1-063= -163 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ 2 =-1+106= 006 N/cm 2 26
Naprezanja-grafički Očitano: e=3 cm k 1 =47 cm k 2 =28 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -163N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 007N/cm 2 Položaj neutralne osi = = = 118 cm ili na drugi način: = = ; = = = 118 cm 27
c) C(yz)=C Izračunati položaj prema slici. C(75 75) Naprezanja-analitički Komponente momenta savijanja: M y =F 75=150 75=1125 Ncm M z =-F 75=-150 75= -1125 Ncm Momenti tromosti: I y =5312 cm 4 I z =15625 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =595 cm i z = = =322 cm 28
Naprezanje u točki 1: σ 1 = z y= 75 75= -8 N/cm2 Naprezanje u točki 2: σ 2 = + z + y= + N/cm 2 125 + 25= 345 Naprezanja-grafički Očitano: e=106 cm k 1 =15 cm k 2 =23 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -806N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 36N/cm 2 Položaj neutralne osi: a y = = =138 cm ; a z= = =472 cm Određivanje jezgre presjeka-grafički 29
3) a) A(yz)=A(00) cm Površina: A=18 8+4 20+12 5=284 cm 2 Naprezanje σ x = = = -141 N/cm 2 Težište: T y =9 cm T z = =1354 cm 30
b) B(yz)=B(0-12) cm Jezgra presjeka Momenti tromosti: I y = +18 8 954 2 + +4 20 446 2 + +12 5 17 2 =3559666 cm 4 I z = + + =471467 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =1119 cm i z = = =407 cm 31
Odsječci na osima: y 01 = =276 cm z 01 = =642cm y 02 = =184 cm z 02 = = -2276 cm y 03 = =184 cm z 03 = = -927 cm Hvatišta sila i odsječci na osima za određivanje jezgre poprečnog presjeka Položaj y z y 0 z 0 Neutralna os 1-6 -195 276 642 N.O. 1 2-9 55 184-2276 N.O. 2 3-9 135 184-927 N.O. 3 Naprezanja-analitički Komponenta momenta savijanja: M y =-F 12=-400 12= -4800 Ncm Moment tromosti: I y =3559666 cm 4 Normalno naprezanje od momenta savijanja: σ x 1' = z= 195= -262 N/cm2 σ x 2' = z= 135= 182 N/cm2 Normalno naprezanje od uzdužne sile: σ x '' = = = -141 N/cm 2 Naprezanje u točki 1: σ 1 =-141-262= -402 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ 2 =-141+182= 041 N/cm 2 32
Naprezanja-grafički Očitano: e=12 cm k 1 =64 cm k 2 =92 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -405N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 042 N/cm 2 Položaj neutralne osi = = = 1044 cm ili na drugi način: = = ; = = = 1043 cm 33
c) C(yz)=C(-5z) cm z=135 cm Naprezanja-analitički Komponente momenta savijanja: M y =F 135=400 135=5400 Ncm M z =-F 5=-400 5= -2000 Ncm Momenti tromosti: I y =3559666 cm 4 I z =471467 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =1119 cm i z = = =407 cm 34
Naprezanje u točki 1: σ 1 = + z + y= + N/cm 2 195 + 6= 409 Naprezanje u točki 2: σ 2 = - z - y= - N/cm 2 135 + 9= -727 Naprezanja-grafički Očitano: e=145 cm k 1 =36 cm k 2 =34 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 )= - (1 )= 425 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 + )= - (1 + )= -742 N/cm 2 Položaj neutralne osi: a y = = =331 cm ; a z = = = -927 cm Određivanje jezgre presjeka-grafički 35
5. Zaključak U radu su analizirana naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obrađena su naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirani su slučajevi kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. Riješeno je nekoliko primjera analitički i pomoću jezgre poprečnog presjeka. Obzirom da je za konstruiranje (odnosno izračun ako se radi analitički) potrebno dosta vremena mislim da je brže rješenje samo proračun bez konstruiranja jezgre. Ipaku nekim slučajevima u praksi je nužno odrediti prvo jezgru da bi se mogao prilagoditi položaj sile potrebnoj raspodjeli naprezanja. Prilikom odabira materijalapostoji određen broj kod kojih se mora izbjeći pojava vlačnih naprezanja u presjekujer je njihova nosivost na vlak mala (betonkamenlijevano željezo). Iz svega obrađenog može se donijeti zaključak da položaj sile kod štapa opterećenog uzdužnom silombitno utječe na raspodjelu naprezanja i ponašanje samog štapa te da uz jezgru presjeka pomaže pri razumjevanju ponašanja elemenata opterećenih ovakvom vrstom opterećenja. 36
6. Literatura: 1. TimošenkoS.: Otpornost materijala 1 Građevinska knjiga Beograd1965. 2. ŠimićV.: Otpornost materijala 2 Školska knjiga Zagreb1995. 3. Brnić J.Turkalj G.: Nauka o čvrstoći 2 Zigo Rijeka Rijeka2006. Web izvori: 4 http://www.riteh.uniri.hr/zav_katd_sluz/zav_teh_meh/katedre/cvr_kon/pages/osoblje_files /Turkalj/CK_Aksijalno%20opterecenje.pdf 5 http://www.gfos.unios.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni-preddiplomski/otpornostmaterijala-i/3-aksijalno-opterecenje.pdf 6 http://www.vpts.edu.rs/nastavnimaterijali/djordjedjuricic/otprornost%20materijala/aksijalno%20naprezanje.pdf 7 http://www.slideserve.com/benoit/prof-dr-sc-pavao-marovi 8 http://www.academia.edu/2384343/otpornost_materijala 9 http://www.gfos.unios.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni-preddiplomski/otpornostmaterijala-ii/omii-34.pdf 37