Prof. dr. sc. Vedrana Koulić EHNČK EHNK Predavanja kad. god. 008/09
OPORNOS ERJL Otpornost materijala je grana tehničke mehanike koja proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova nosivih konstrukcija od čvrstog deformabilnog materijala. Čvrstoća - sposobnost prenošenja opterećenja be pojave loma Krutost - otpornost na deformiranje (promjenu oblika i volumena) Stabilnost - sposobnost adržavanja prvobitnog oblika prilikom djelovanja opterećenja Proračun čvrstoće Proračun krutosti - određivanje najmanjih dimenija pojedinih dijelova konstrukcija a da pod djelovanjem adanog opterećenja ne dođe do pojave loma. - određivanje deformacija konstrukcija pod djelovanjem adanog opterećenja koje moraju ostati u dopuštenim granicama. Proračun stabilnosti - određivanje opterećenja pod kojim konstrukcija i njeini elementi još adržavaju prvobitni oblik elastične ravnoteže. Skup proračuna čvrstoće, krutosti i stabilnosti naiva se dimenioniranje elemenata konstrukcije. Zadaća otpornosti materijala: odabiranje vrste materijala a konstrukciju i njene elemente, određivanje minimalnih dimenija koje će adovoljiti uvjete čvrstoće, krutosti i stabilnosti, u uvjete sigurnosti moraju biti adovoljeni i uvjeti ekonomičnosti konstrukcije. Vedrana Koulić ehnička mehanika
GEOERJSKE KRKERSKE POPREČNOG PRESJEK ŠP Poprečni presjek štapa definiran je atvorenom krivuljom u ravnini okomitoj na udužnu os štapa. Karakteristike poprečnog presjeka: površina težište statički moment površine na os ili os S ; momenti tromosti (momenti inercije) ; ; S Površina poprečnog presjeka d d Element površine: d d d d Površina presjeka: d (m ) Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
Površine poprečnih presjeka nekih jednostavnih oblika: b v r a a a b a v d r π d π Površina složenog poprečnog presjeka: 3 Općenito: i Dva štapa jednakih površina poprečnog presjeka opterećenjem na savijanje, raličito se deformiraju: b h, opterećena jednakim F F f f b h h f < f b Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike ravnih presjeka, i to: statički momenti površine, momenti tromosti i momenti otpora ravnih presjeka. Vedrana Koulić ehnička mehanika
Statički momenti površine presjeka d d Statički momenti površine s obirom na osi i definirani su iraima: ds ds d d S S d d d Dimenija statičkog momenta je (m 3 ). ežište poprečnog presjeka o je točka a koju je statički moment površine jednak nuli obirom na bilo koju os koja prolai kro tu točku. Na osnovi teorema o jednakosti momenta sile i momenata njeinih komponenata mogu se dobiti irai a koordinate težišta presjeka i : ρ d S S d d d d O Statički moment presjeka s obirom na bilo koju os jednak je produktu površine presjeka i pripadajuće koordinate težišta. Za bilo koju težišnu os (os koja prolai težištem presjeka) statički moment presjeka jednak je nuli. Vedrana Koulić ehnička mehanika 5
Položaj težišta jednostavnih presjeka: a/ a b/ b b/3 b b/3 h/3 h/3 h r r Položaj težišta složenog presjeka: d i i i i i d i i i i i a) 3 3 3 3 b) 3 3 3 3 a) 3 b) 3 3 3 3 3 3 3 Vedrana Koulić ehnička mehanika 6
omenti tromosti (inercije) poprečnog presjeka ksijalni momenti tromosti (inercije) presjeka s obirom na osi i su integrali: d ρ d d O Centrifugalni moment tromosti (inercije) presjeka s obirom na osi i : d Polarni moment tromosti (inercije) presjeka s obirom na pol O: omenti tromosti imaju dimeniju (m ). p ρ d Budući je ρ, slijedi: ( ) d d d p p O Zbroj aksijalnih momenata tromosti presjeka s obirom na dvije međusobno okomite osi jednak je polarnom momentu tromosti s obirom na pol u sjecištu tih osi. ksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su poitivne veličine: > 0, > 0, p > 0 Centrifugalni moment tromosti može biti poitivan, negativan ili jednak nuli, ovisno o položaju promatranog presjeka u odnosu na koordinatni sustav. Vedrana Koulić ehnička mehanika 7
Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava Ponati su momenti tromosti presjeka s obirom na koordinatne osi i koje prolae težištem presjeka : d, d, d reba odrediti momente tromosti s obirom na koordinatne osi i koje su paralelne s težišnim osima i : d, d, d b O d b a a O d ( a) d d a d a d a d ( b) d d b d b d b d ( b) ( a) d d a b d a d b d a b d 0 i d 0 (jer su to statički momenti presjeka u odnosu na težišne osi) Vedrana Koulić ehnička mehanika 8
Steinerovo pravilo a momente tromosti s obirom na paralelne osi: a ; b ; a b Steinerovo pravilo a aksijalne momente tromosti glasi: ksijalni moment tromosti presjeka s obirom na adanu os jednak je broju momenta tromosti s obirom na paralelnu težišnu os i produkta površine presjeka s kvadratom udaljenosti adane i težišne osi. Steinerovo pravilo a centrifugalni moment tromosti glasi: Centrifugalni moment tromosti presjeka s obirom na adani pravokutni koordinatni sustav jednak je broju centrifugalnog momenta tromosti s obirom na paralelni težišni koordinatni sustav i produkta površine presjeka s koordinatama težišta presjeka u adanome pravokutnom koordinatnom sustavu. Napomene: Koordinate težišta a i b u gornjim iraima ulae sa svojim prednacima tako da pri translaciji koordinatnog sustava može doći do uvećanja ili smanjenja centrifugalnog momenta tromosti. Od svih momenata tromosti s obirom na skup paralelnih osi, najmanju vrijednost ima moment tromosti s obirom na os koja prolai težištem poprečnog presjeka. Vedrana Koulić ehnička mehanika 9
Promjena momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava Za presjek površine i koordinatni sustav O ponate su vrijednosti momenata tromosti: d, d, d reba odrediti momente tromosti presjeka s obirom na novi koordinatni sustav O koji nastaje rotacijom koordinatnih osi, oko ishodišta O a kut ϕ: d, d, Uima se da je poitivan smjer rotacije suprotno od smjera gibanja kaaljke na satu. d cosϕ sinϕ O ϕ cosϕ sinϕ sin ϕ cos ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ sin ϕ Napomena: Pri rotaciji koordinatnog sustava broj momenata tromosti je stalna veličina. Vedrana Koulić ehnička mehanika 0
Glavne osi i glavni momenti tromosti Kod rotacije koordinatnoga sustava postoji takav kut ϕ pri kojemu jedan od aksijalnih momenata tromosti ima maksimum, a drugi minimum. Ekstremne vrijednosti aksijalnih momenata tromosti ovu se glavni momenti tromosti presjeka, a pripadne osi glavne osi tromosti presjeka. Glavne osi tromosti onačavaju se s u i v, a pripadajući kut koji određuje njihov položaj s. ϕ 0 Centrifugalni moment tromosti u odnosu na glavne osi tromosti jednak je nuli: sin ϕ0 cosϕ 0 uv 0 tgϕ 0 π Odavde se dobivaju dvije vrijednosti a kut ϕ 0 koje se ralikuju a : v. O ϕ 0 u π ϕ 0 - određuje položaj glavne osi tromosti u π ϕ 0 - određuje položaj glavne osi tromosti v Veličine glavnih momenata tromosti: ma ( ) ( ) min ( ) ( ) ko je ko je, v min < u min, v ma > u ma Napomena: Za simetričan poprečni presjek je centrifugalni moment tromosti jednak nuli i čega slijedi da su osi simetrije ujedno i glavne osi tromosti tog presjeka. Vedrana Koulić ehnička mehanika
omenti tromosti jednostavnih presjeka Pravokutni presjek: Osi i su osi simetrije presjeka - to su glavne središnje osi tromosti presjeka. h h h 3 b h 3 h b b/ b b/ 0 Kružni presjek: Radi simetrije presjeka: r, 0 πr πd 6 Presjek oblika kružnog prstena: πr v πr u π (r v r u ) π 6 (d v d u ) r v r u v πd 6 d d u v 0 Vedrana Koulić ehnička mehanika
rokutni presjek: 3 bh 36 h h 3 b/3 b 3 h b 36 b h 7 omenti tromosti a složeni presjek Za složeni presjek površine brajanjem: K momenti tromosti dobivaju se n d d d K n d () () K (n) n (i) i d d d K n d () () K (n) n (i) i d d d K d n () () K (n) n (i) i oment tromosti složenog presjeka u odnosu na neku os jednak je algebarskom broju momenata tromosti pojedinih njegovih dijelova u odnosu na tu istu os. Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
omenti otpora poprečnog presjeka ksijalni moment otpora presjeka s obirom na adanu glavnu središnju os je kvocijent: W ma ma - najveća udaljenost točke konture presjeka od adane osi () ma () ma ko adana glavna središnja os nije os simetrije presjeka, postoje dva momenta otpora presjeka: W W ma () ma () oment otpora presjeka ima dimeniju (m 3 ). a) Pravokutni presjek W b h ; h 6 W b h b 6 b) Kružni presjek W W r πr 3 3 πd 3 c) Presjek oblika kružnog prstena W W d v π 3 d v (d v d u ) 3 v πd 3 d d u v Vedrana Koulić ehnička mehanika
NPREZNJ Napreanje se može definirati kao sila koja djeluje na element konstrukcije podijeljena s površinom na koju djeluje. Dimenija napreanja: sila/površina, jedinica mjere je Paskal (Pa), ( Pa N m ) Napreanje se obično mjeri u megapaskalima: 6 Pa 0 Pa 0 N m N 6 mm Jednoosno stanje napreanja: djeluje samo aksijalna sila F F F Normalna napreanja () - djeluju okomito na plohu. F Komponente napreanja imaju dva indeksa: prvi indeks - smjer vanjske normale ravnine na koju napreanje djeluje drugi indeks - smjer napreanja Vedrana Koulić ehnička mehanika 5
Posmična napreanja (τ) - djeluju u ravnini plohe. - djeluje i sila F u ravnini poprečnog presjeka F τ F F F τ F τ - posmično napreanje u smjeru koje djeluje u ravnini s normalom (ravnina poprečnog presjeka štapa) Komponenta unutrašnje sile u presjeku F prourokovat će posmično napreanje: τ F Vedrana Koulić ehnička mehanika 6
Prostorno stanje napreanja: d d τ τ d τ τ τ τ Ukupno ima 9 komponenata napreanja: 3 normalne 6 posmičnih Onake normalnih napreanja: Onake posmičnih napreanja: τ,, τ, τ,, τ, τ τ, Ravninsko stanje napreanja: τ τ uvjeta ravnoteže momenata s obirom na os kro težište elementa slijedi: d τ τ τ d τ akođer, vrijedi: τ τ, τ τ Vedrana Koulić ehnička mehanika 7
Ravninsko stanje napreanja sva napreanja djeluju u ravnini (- ravnina) RSN je određeno s tri komponente napreanja ( τ τ 0 ) najčešća primjena u analii tankih ploča r ogu se odrediti komponente napreanja u bilo kojoj ravnini čija normala n atvara s osi kut ϕ. n τ O ϕ τ τ n τ v τ d O ϕ d τ τ uv. ds u u a) b) Korištenjem uvjeta ravnoteže sila (crtež b) dobivaju se jednadžbe transformacija napreanja: τuv ( ) sin ϕ τ cos ϕ cos ϕ sin ϕ τ sin ϕ u normalno napreanje i posmično napreanje τ u bilo kojem smjeru u odnosu na originalna napreanja U ravnini presjeka s normalom n r 0 koja se poklapa s osi v (kut β 90 ϕ) dobio bi se sljedeći ira a normalno napreanje: sin ϕ cos ϕ τ sin ϕ v Vedrana Koulić ehnička mehanika 8
oguće je naći smjerove u kojima normalna napreanja imaju ekstremne vrijednosti (maksimalno odnosno minimalno normalno napreanje). n τ u τ τ. u τ τ v O ϕ 0 τ Ekstremne vrijednosti normalnih napreanja dobit će se i uvjeta: u 0 ϕ τ τ uv 0 tgϕ 0 Ravnine u kojima ne djeluje posmično napreanje naivaju se glavne ravnine. Normalna napreanja koja djeluju na tim ravninama imaju ekstremne vrijednosti i naivaju se glavna napreanja. Pravci glavnih napreanja naivaju se glavne osi napreanja (,), a određene su π kutovima ϕ0 i ϕ0. Veličine glavnih napreanja:, ± ( ) τ Onake: - maksimalno glavno napreanje - minimalno glavno napreanje ( ) Vedrana Koulić ehnička mehanika 9
KSLN POSČN NPREZNJ τuv ( ) sin ϕ τ cos ϕ Smjer normale na ravninu na kojoj djeluje maksimalno posmično napreanje dobiva se i uvjeta: τ uv 0 ϕ : ( ) cosϕ τ sin ϕ 0 ϕ ϕ tgϕ τ τ π π tgϕ tgϕ0 ϕ ϕ0 ϕ ϕ0 ko su osi, glavne osi napreanja,: ϕ 0 0, ϕ π τ ma ( ) sin ϕ τ cos ϕ ; sin ϕ, τ 0 τ ma ( ) Čisti posmik: stanje napreanja kod kojega na stranicama elementa postoje samo posmična napreanja, a normalna napreanja su jednaka nuli. Vedrana Koulić ehnička mehanika 0
OHROV KRUŽNC NPREZNJ. U promatranoj točki napregnutog tijela adane su komponente napreanja, i τ. Vrijedi: τ τ. U koordinatnom sustavu, τ odredi se točka N s koordinatama, τ ) i točka N s koordinatama, ). ( τ ( 3. Dužina N N je promjer na kojemu se konstruira ohrova kružnica napreanja.. Konstrukcijom ohrove kružnice napreanja određena je veličina i smjer glavnih napreanja. Sjecišta ohrove kružnice s apscisom određuju veličine i tj. glavna napreanja. τ N 0 S τ ϕ 0 ϕ 0 τ N Vedrana Koulić ehnička mehanika
DEFORCJE Pod djelovanjem vanjskih sila tijela se deformiraju: mijenjaju svoj oblik i dimenije, pojedine točke mijenjaju svoj položaj u prostoru. Deformacija se može definirati kao promjena dimenije elementa urokovana opterećenjem podijeljena s ivornom dimenijom. a) b) δ l l l h a) Štap pod djelovanjem aksijalne vlačne sile Normalna deformacija mijenja se duljina štapa, osnovni oblik štapa ostaje nepromijenjen ε l l Normalna deformacija je bedimenionalna veličina najčešće iražena u %. Poitivna vrijednost onačuje produljenje, a negativna skraćenje dužine. b) anka pravokutna ploča oslonjena na donjem rubu i opterećena posmičnom silom na suprotnom rubu Posmična deformacija mijenja se oblik elementa, dimenija elementa ostaje nepromijenjena Promjena pravog kuta imeđu dvije linije (imeđu rubova ploče): δ γ tan γ (radi se o maloj promjeni kuta) h Posmična deformacija iražava se u radijanima. Poitivnoj vrijednosti odgovara smanjenje pravog kuta, a negativnoj povećanje. Vedrana Koulić ehnička mehanika
Komponente pomaka točke u prostoru (pomaci u smjeru koordinatnih osi,,): u u (,,), v v (,,), w w (,,) Vee imeđu komponenata deformacija i komponenata pomaka u ravnini: D C d C D β v d v O u α d B u u B d Normalne deformacije: ε u u d u d u ; ε v Posmična deformacija: γ tan α tanβ tan α d v u d d v ε γ v, ε v u << ; u tanβ atematički irai a deformacije u prostoru: u v w ε, ε, ε, u v v w γ, γ, γ w u Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
VEZE ZEĐU NPREZNJ DEFORCJ Eksperimentalni podaci o vei imeđu napreanja i deformacija Napreanja se javljaju kao unutarnje sile uajamnosti među česticama tijela nastale bog promjene ramaka imeđu tih čestica. Napreanja i deformacije veani su funkcionalnom veom: f ( ε ) ; ε f ( ) ij ij Ova vea ovisi o vrsti materijala a određuje se eksperimentalno (uorak materijala određenih dimenija i oblika rasteže se udužnom silom F i pri tome prati produljenje l na mjernoj dužini uorka l 0 ). Dijagram rasteanja F l a građevinski čelik: ij ij imeđu točaka O i P: dijagram je pravac (sila F i produljenje l linearno su ovisni) do točke E: nakon točke E: u točki : deformacije su elastične (potpuno iščeavaju nakon rasterećenja) u uorku se, osim elastičnih, javljaju i trajne ili plastične deformacije nastaje tečenje (popuštanje) materijala - deformacije rastu be povećavanja opterećenja nakon točke : nakon stanja tečenja dolai do ojačanja materijala (materijal ponovno dobiva sposobnost da se opire djelovanju opterećenja) do točke : nakon točke : sila se povećava sve do točke, povećava se deformacija uorka. U točki sila prima maksimalnu vrijednost F ma nastaje iscrpljenost materijala, produljenje uorka raste u smanjenje sile F u točki L: raskid uorka. rajno produljenje uorka nakon raskida l L naiva se apsolutno produljenje pri raskidu Uorak se u udužnom smjeru produlji a l l l0, a u poprečnom smjeru sui a d d d0. Vedrana Koulić ehnička mehanika
Da bi se dobio dijagram koji karakteriira mehanička svojstva materijala neovisno o apsolutnim dimenijama uorka, dijagram rasteanja F l transformira se u koordinatni sustav ε. Stvarno napreanje je F ( je površina poprečnog presjeka uorka koja odgovara sili F). Računsko ili nominalno napreanje: F ( je početna površina poprečnog presjeka uorka) 0 Relativna dužinska deformacija: 0 l ε l 0 Dijagram napreanja f ( ε) ima isti oblik kao i dijagram rasteanja: P - granica proporcionalnosti - granica elastičnosti E - granica tečenja ili granica popuštanja (granica ravlačenja ili velikih iduženja) - vlačna ili rastena čvrstoća materijala - prijelomno napreanje L L - čvrstoća pri raskidu Ukupna deformacija je: ε e ε δ ε ε e ε - elastična ili povratna deformacija - trajna ili plastična deformacija - relativno produljenje pri raskidu uorka (karakteriira plastičnost materijala): ll l δ 0 00 % l0 δ > 5% - duktilni (rasteljivi, žilavi) materijali: meki čelik, bakar itd. δ < 5% - krti materijali: kamen, staklo, lijevano željeo itd. Vedrana Koulić ehnička mehanika 5
Hookeov akon. Konstante elastičnosti materijala. Ramatra model idealnoga elastičnog tijela u kojega su vee imeđu napreanja i deformacija linearne. akvo tijelo se naiva Hookeovo tijelo (Robert Hooke 678). dijagrama ε vidi se da je: ε E tg α E ε E ε - Hookeov akon a idealno elastično tijelo E - modul elastičnosti ili Youngov modul (Pa): koeficijent proporcionalnosti imeđu napreanja i deformacija Pri ispitivanju uorka na rasteanje, promjer se smanjio a d d d0 (kontrakcija presjeka). Relativna dužinska deformacija: Relativna poprečna deformacija: l ε l 0 d ε p d U području u kojemu vrijedi Hookeov akon, imeđu relativne poprečne i relativne udužne deformacije postoji konstantan odnos: ν ε p ε 0 - Poissonov koeficijent Udužne i poprečne deformacije uvijek su suprotnog prednaka: građevinski materijali: ν 0.5 0. 35 ε p ν ε Hookeov akon pri posmiku: τ G γ G - Coulombov modul ili modul posmika ili modul klianja (Pa) 0.33 E G 0.5 E Konstante elastičnosti materijala koje karakteriiraju elastična svojstva materijala su: Poissonov koeficijent ν, modul elastičnosti E i modul posmika G. Određuju se eksperimentalno. među njih postoji ovisnost: G E ( ν) Vedrana Koulić ehnička mehanika 6
Konstante elastičnosti i koeficijent linearnog toplinskog rasteanja ERJL E G ν α 0 5 Pa 0 5 Pa 0-5 / K ugljični čelik.0. 0.80 0.8 0. 0.8.5 legirani čelik.. 0.80 0.8 0.5 0.30.0.3 aluminij 0.63 0.75 0.6 0.7 0.3 0.36.55 drvo uduž vlakana 0.0 0. 0.0055 0.3 0.5 drvo poprečno na vlakna 0.005 0.00 staklo 0.56 0. 0.5 0.95 beton 0.5 0.5 0.08 0.8.0. Vedrana Koulić ehnička mehanika 7
VEZE ZEĐU UNURNJH SL NPREZNJ Prikaan je dio napregnutog štapa s komponentama unutarnjih sila. F F 3 τ F τ d O N t Komponente sile df r koja djeluje na promatrani element površine d su: d, τ d i τ d Sumiranjem projekcija svih elementarnih sila po površini poprečnog presjeka dobivaju se udužna sila N i poprečne sile i : N d, τ d, τ oment u odnosu na os daju sile na os je: d τ d τ d i τ d. Elementarni moment u odnosu d τ d Sumiranjem po čitavoj površini presjeka dobiva se moment torije : t ( τ omente s obirom na osi i daju sile τ ) d, d d. omenti savijanja su: d Vedrana Koulić ehnička mehanika 8
ksijalno opterećenje štapa vanjske sile usmjerene su uduž osi štapa u poprečnom presjeku djeluje samo udužna sila N, ostale komponente unutarnjih sila su jednake nuli ko je N>0 (udužna sila je u smjeru vanjske normale): štap opterećen na rasteanje ili vlak ko je N<0 (udužna sila je usmjerena suprotno od smjera vanjske normale): štap opterećen na pritisak ili tlak F F F l d N F uvjeta ravnoteže F 0 dobiva se: d N F Vedrana Koulić ehnička mehanika 9
Pod djelovanjem adane sile štap duljine l se deformira. F F l l l Pri deformiranju štapa vrijedi hipotea ravnih poprečnih presjeka: poprečni presjeci štapa i nakon deformacije ostaju ravni i okomiti na os štapa Slijedi da je relativna udužna deformacija ε konst. Prema Hookeovu akonu a jednoosno stanje napreanja je E ε Slijedi: d N Eε d Eε d Eε N N N normalna napreanja u poprečnom presjeku štapa su raspodijeljena jednoliko ε E Relativna udužna deformacija štapa: Ukupno produljenje štapa: N E E aksijalna krutost štapa ε l l l N l E Pri dimenioniranju štapa moraju biti ispunjeni uvjet čvrstoće: i uvjet krutosti: F F l l E l dop dop Vedrana Koulić ehnička mehanika 30
Savijanje štapa Savijanje nastaje kada se opterećeni štap deformira u akrivljeni oblik, jedan rub štapa se skraćuje a drugi se produljuje: Napreanja i deformacije više nisu konstantne vrijednosti po poprečnom presjeku. ijenjaju se od tlačnih na jednom rubu do vlačnih na drugom rubu štapa. ogu nastati dva slučaja savijanja štapa: poprečno savijanje ili savijanje silama - ako se u poprečnom presjeku štapa pojavljuju poprečna sila i moment savijanja čisto savijanje - ako se u poprečnim presjecima štapa pojavljuje samo moment savijanja Primjeri čistog savijanja štapa: F F F F L a L a a c a čisto savijanje čisto savijanje čisto savijanje Kod čistog savijanja, ravnina poprečnog presjeka štapa ostaje ravnina. Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
Čisto savijanje Vrijedi a elemente iložene savijanju oko i/ili osi kojima je poprečni presjek simetričan s obirom na barem jednu od tih osi. Ravni štap konstantnog poprečnog presjeka savija se oko osi: dϕ L ρ Neutralni sloj Uima se da je deformacija štapa u obliku kružnog luka. Gornja vlakanca se skraćuju, donja se produljuju. Sloj vlakana koja ne mijenjaju duljinu prilikom savijanja čine neutralni sloj. Presječnica neutralnog sloja i ravnine poprečnog presjeka naiva se neutralna os presjeka. Udaljenost od neutralnog sloja do središta kružnog luka ove se radijus akrivljenosti (ρ). Posmična napreanja su u presjeku jednaka nuli. Na element površine presjeka d djeluje samo unutarnja sila d. Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
Deformacija elementa štapa: dϕ ρ n m n m B N.S. 0 0 B n d m B 0 N.S. 0 B n m Relativno produljenje vlakna B na udaljenosti od neutralnog sloja: B B ε ; B B 0 B0 d 0' B0' ρ dϕ ; B ( ρ ) dϕ ( ρ ) dϕ ρ dϕ ε ε ρ dϕ ρ Normalna napreanja: E ε E ρ Pri čistom savijanju su normalna napreanja konstantna po širini presjeka (a konst. ), a po visini poprečnog presjeka mijenjaju se ramjerno udaljenosti od neutralne osi (po linearnom akonu). U točkama presjeka na neutralnoj osi je 0. Vedrana Koulić ehnička mehanika 33
Za dio štapa se mogu postaviti tri uvjeta ravnoteže: ) ) 3) F uvjeta ravnoteže ) slijedi: 0 0 0 N d 0 d d 0 E E d 0 d 0 ρ ρ d 0 S 0 neutralna os prolai težištem presjeka uvjeta ravnoteže 3) slijedi: E d d 0 d 0 ρ 0 osi i su glavne središnje osi tromosti poprečnog presjeka uvjeta ravnoteže ) slijedi: E d d ρ E d ρ κ ρ ρ E - akrivljenost neutralnog sloja nosača (akrivljenost elastične linije ili progibne linije štapa) E - fleksijska krutost (krutost presjeka pri savijanju) Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
Normalna napreanja u svakoj točki poprečnog presjeka su: Raspodjela normalnih napreanja u presjeku ne ovisi o obliku poprečnog presjeka: h h h N.O. min ma Ekstremne vrijednosti normalnih napreanja su u krajnjim vlaknima. Za presjeke s h horiontalnom osi simetrije, ekstremne vrijednosti su u ± : h h ma i min W h ma, W ma min W min W ko poprečni presjek nema horiontalnu os simetrije (neutralna os presjeka ne prolai sredinom visine presjeka): ma h i min h ma h i min h h W, W h ma ma, W min min W Vedrana Koulić ehnička mehanika 35
Zakrivljenost osi štapa veana je na uajamno aokretanje poprečnih presjeka: dϕ ρ d d d ϕ dϕ ρ d E ϕ Kut aokreta imeđu krajnjih presjeka štapa konstantne krutosti duljine l: l ϕ d E E 0 l l Normalno napreanje a slučaj djelovanja momenta savijanja oko osi : Vedrana Koulić ehnička mehanika 36
Opće savijanje (savijanje silama) Poprečne sile ( ) djeluju ajedno s momentima savijanja ( ): q L/ L/ B 3L/8 L/ U presjeku štapa osim normalnih napreanja napreanja τ. pojavljuju se i posmična Normalno napreanje određuje se kao i kod čistog savijanja: Vedrana Koulić ehnička mehanika 37
Promatra se dio štapa duljine d: d P C d B C D d B E τ D P b E τ Površina τ τ τ d d P P d d d Uvjet ravnoteže svih sila u smjeru osi : τ bd P P 0 Uvrštavanjem gornjeg iraa a ( P P ) slijedi: Budući je τ d bd d d 0 τ d d d S - statički moment površine s obirom na neutralnu os d, τ τ d b, dobiva se ira a posmično napreanje: τ S b gdje je: moment tromosti čitavog poprečnog presjeka, b - širina presjeka u visini točke u kojoj se traži posmično napreanje. Vedrana Koulić ehnička mehanika 38
U rubnim vlaknima posmična napreanja su jednaka nuli (jer je S 0 ). jesto maksimalnog posmičnog napreanja τ dobiva se i uvjeta: dτ d ko je b konst., slijedi: d d d S d b d S d b d d S d b d b 0 0 0 0 d d aksimalna posmična napreanja pojavljuju se u visini neutralne osi. 0 Vedrana Koulić ehnička mehanika 39
Raspodjela posmičnih napreanja u poprečnom presjeku ovisi o obliku presjeka štapa. a) Pravokutni presjek 3 b h b () b konst. S h d b d b h S 6 τ h b 3 b h τ Posmična napreanja po visini pravokutnog presjeka raspodijeljena su po akonu kvadratne parabole. h τ 0 0 3 3 τ ma b h b) Kružni presjek π r b() r S r d r r b d d 3 3 ( r ) τ S b 3 π r ( r ) Posmična napreanja τ po visini presjeka raspodijeljena su po akonu kvadratne parabole. r τ 0 Vedrana Koulić ehnička mehanika 0
c) -presjek 0 τ 3 π r 3 ma Vedrana Koulić ehnička mehanika
Savijanje i aksijalno opterećenje Štap je istodobno opterećen momentom savijanja i udužnom silom N. oment savijanja Napreanje od udužne sile je: urokuje normalna napreanja: '' N ' Ukupno napreanje u nekoj točki presjeka jednako je: ' '' N h min N h N h h 0 neutralna os težišna os h N ma Napreanja u rubnim vlaknima inose: () () ma min N N h h N W N W ko je poprečni presjek simetričan s obirom na os : ( ( ) ) ma min N ± W Položaj neutralne osi dobiva se i uvjeta: N 0 0 0 N N i ko je udužna sila tlačna, ona ulai u gornje irae s prednakom minus. Vedrana Koulić ehnička mehanika
Koso savijanje Ravnina djelovanja momenta savijanja ne poklapa se ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti presjeka. U tom slučaju se ravnina savijanja štapa ne podudara s ravninom djelovanja momenta savijanja. čisto koso savijanje - u poprečnom presjeku štapa pojavljuje se samo moment savijanja poprečno koso savijanje ili koso savijanje silama u poprečnom presjeku štapa pojavljuju se poprečna sila i moment savijanja F F Vedrana Koulić ehnička mehanika 3
Čisto koso savijanje U bilo kojem presjeku štapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolai težištem poprečnog presjeka i s glavnom osi tromosti atvara kut α: m ϕ n n m α α. O N.O. () oment savijanja može se rastaviti na komponente: cosα sin α Čisto koso savijanje: istodobno savijanje štapa u dvjema glavnim ravninama i () () Normalno napreanje od momenta savijanja koje djeluje u ravnini : Normalno napreanje od momenta savijanja koje djeluje u ravnini : Ukupno normalno napreanje u točki (,) poprečnog presjeka: Jednadžba neutralne osi dobit će se i uvjeta 0 : cosα sin α 0 Kut ϕ što ga neutralna os atvara s osi : tgϕ tgα tgα cosα sinα Vedrana Koulić ehnička mehanika
Koso savijanje s aksijalnim opterećenjem (ako ravnina djelovanja momenta savijanja atvara s glavnom osi tromosti kut α) N N O N.O. () () m m. α α () a a Normalno napreanje u nekoj točki presjeka: N Jednadžba neutralne osi ima oblik: 0 N pa su odsječci neutralne osi na glavnim osima tromosti,: 0 0 i N N a i N N a Vedrana Koulić ehnička mehanika 5
Ekscentrično opterećenje o je ajedničko djelovanje čistog kosog savijanja i aksijalnog opterećenja (vlaka ili tlaka). Primjer: lačna sila F djeluje u točki gornjeg poprečnog presjeka stupa F e O e F α e ( e,e) O. α e e F. e e ma () N.O. (B) min () ϕ a O a B Hvatište sile F: pol sile F Udaljenost e pola od težišta poprečnog presjeka: ekscentričnost sile F U nekom presjeku štapa postoji udužna sila N F i moment savijanja F e. Ravnina djelovanja momenta s glavnom osi tromosti atvara kut α. oment savijanja može se rastaviti na komponente: cosα F e cosα F e sin α F e sin α F e Vedrana Koulić ehnička mehanika 6
ko je udužna sila tlačna: ekscentrični pritisak ko je udužna sila vlačna: ekscentrično rasteanje Normalno napreanje u nekoj točki B(,) poprečnog presjeka je: Slijedi: F e i ± e i N ± ; ± i, i 3 polumjeri tromosti Jednadžba neutralne osi dobit će se i uvjeta 0: e e 0 i i i i e e a a Neutralna os ne prolai kro težište poprečnog presjeka (ishodištem koordinatnog sustava). Odsječci neutralne osi na koordinatnim osima, su: a i e, a i e Neutralna os n-n s poitivnim smjerom osi atvara kut ϕ : a tgϕ a i e e i i i tgα tgα Vedrana Koulić ehnička mehanika 7
Smicanje (odre) vanjske sile mogu se reducirati na dvije jednake sile suprotnog smjera okomite na os štapa s malim ramakom među pravcima djelovanja u poprečnom presjeku djeluje samo poprečna sila, ostale komponente unutarnjih sila su jednake nuli uvjeta ravnoteže promatranog dijela štapa: F U poprečnom presjeku djeluju samo posmična napreanja. U pretpostavku da su napreanja Prema Hookeovu akonu pri posmiku je: τ τd jednoliko raspodijeljena po čitavom poprečnom presjeku: τd τ d τ τ τ G γ F Slijedi: γ posmična deformacija (prosječni kut klianja poprečnog presjeka) G modul posmika: G E ( ν) γ τ G ; G posmična krutost štapa G Vedrana Koulić ehnička mehanika 8
Pojava smicanja najčešće se susreće kod elemenata kojima se spajaju pojedini dijelovi konstrukcije (akovice, klinovi, avareni spojevi). Spoj dviju ploča spojenih akovicama: Opterećenje je raspodijeljeno jednoliko na sve akovice. Jednoj akovici pripada sila: F F ; n broj akovica (ovdje n ) n Zakovica je opterećena na smicanje u presjeku -: F τ d π Na trup akovice djeluje bočni površinski pritisak kao posljedica djelovanja sile F : 0 Zbog rasteanja ploče, u presjeku oslabljenom s rupama a akovice javlja se normalno napreanje: F ; m broj rupa u promatranom presjeku (ovdje m ) t (b md) U krajnjem dijelu ploče, imeđu njeina kraja i akovice, može doći do smicanja: F τ ; c udaljenost od kraja ploče do težišta akovice ( c d )t F d t Vedrana Koulić ehnička mehanika 9
orija (uvijanje) štapa štap je opterećen momentima koji djeluju u ravnini okomitoj na os štapa u poprečnom presjeku djeluje samo moment torije, ostale komponente unutarnjih sila su jednake nuli Karakter deformacija štapa pri toriji ovisi o obliku poprečnog presjeka. ri su grupe štapova: štapovi kružnog, neokruglog (pravokutnog, eliptičnog, trokutnog itd.) i tankostijenog presjeka. Hipotea ravnih poprečnih presjeka primjenjuje se samo a štapove kružnog presjeka. orija štapova kružnog presjeka Štap je na jednom kraju upet, a na drugome opterećen momentom torije t. U ravnini poprečnog presjeka djeluju samo posmična napreanja τ. ϕ kut uvijanja ili kut torije Promatra se diferencijalni element pravog štapa opterećenog momentom torije: R γ B B r dϕ τ τ(r) r τ d d Dijagram raspodjele napreanja uvjeta ravnoteže promatranog dijela štapa se dobiva: t r τ d Kut aokreta ivodnice diferencijalnog elementa: γ BB' d ; duljina ivodnice BB' dϕ R Specifičan kut aokreta poprečnog presjeka oko osi štapa: ϑ dϕ d (kut uvijanja na jedinicu duljine štapa) Kut klianja: γ R ϑ Posmično napreanje u poprečnom presjeku: τ ( r) G ϑ r Vedrana Koulić ehnička mehanika 50
Veličina najvećeg posmičnog napreanja: τ G γ G ϑ R oment torije u presjeku inosi: r τ(r) d G ϑ r d G ϑ orijska konstanta je funkcija poprečnog presjeka štapa. Za poprečni presjek kružnog oblika radijusa R torijska konstanta jednaka je polarnom momentu tromosti presjeka: Relativni kut uvijanja je: ϑ G p p π R G p torijska krutost štapa Raspodjela napreanja u poprečnom presjeku štapa je prema tome: aksimalno napreanje se pojavljuje na rubu poprečnog presjeka: τ ma r R ma p p τ ma τ W p p r Kut aokreta krajnjih presjeka štapa duljine l: ϕ l 0 ϑ d l G 0 p l d G p orija štapova neokruglog presjeka Hipotea ravnih poprečnih presjeka ne vrijedi a štapove neokruglog presjeka. Za štapove pravokutnog poprečnog presjeka širine b i visine h ( b h ), torijska konstanta može se odrediti pomoću iraa: 3 5 3 hb b b hb 0.630 0.05 β 3 h h 3 Vrijednosti koeficijenta β a raličite odnose visine i širine presjeka date su u tablici: h b β h b β h b β.00 0..50 0.78 5.00 0.87.5 0.539 3.00 0.790 6.00 0.895.50 0.587 3.50 0.80 8.00 0.9.75 0.63.00 0.8 0.00 0.937.00 0.687.50 0.860.000 Vedrana Koulić ehnička mehanika 5
Relativni kut torije štapa: ϑ G Kut aokreta krajnjih presjeka štapa duljine l: ϕ l G Dijagram posmičnih napreanja a štap pravokutnog presjeka: Najveće posmično napreanje: τ τma ; τ B η τma α h b Vrijednosti koeficijenta α i η a raličite odnose visine i širine presjeka date su u tablici: h b α η h b α η.00 0.08.000.00 0.8 0.75.50 0.3 0.859 6.00 0.99 0.73.00 0.6 0.795 8.00 0.307 0.7.50 0.58 0.766 0.00 0.33 0.7 3.00 0.67 0.753 0.333 0.7 Vedrana Koulić ehnička mehanika 5
orija štapova s tankim stijenkama otvorenog profila Otvoreni presjek konstantne debljine stijenke b: Raspodjela napreanja u poprečnom presjeku određuje se membranskom analogijom. toga slijedi da je napreanje u promatranom otvorenom profilu približno jednako kao i u uskom pravokutnom presjeku kojemu je duljina stranice jednaka ravijenoj središnjoj liniji profila s. τ ma ; s b 3 ϑ 3 s b ko je tankostijeni presjek sastavljen od dijelova raličite debljine: 3 G Za svaki pravokutni dio presjeka gdje je b i debljina a s i duljina ( s i >> b i ), dobiva se: t i 3 ϑ G si b 3 i ; oment torije u presjeku: n t n t ϑ G s i 3 i n τ i i i 3 b t i si bi 3 i G ϑ 3 t si bi - torijski moment tromosti 3 i čitavog poprečnog presjeka t Relativni kut torije: ϑ t G aksimalno napreanje u presjeku: gdje je t ma t t b ma t W t torijski moment otpora poprečnog presjeka. b ma τ τ ma W t t Vedrana Koulić ehnička mehanika 53