Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom Taylorove/Maclauriove formule, odoso upotrebom razvoja e si( )l(cos( )) si( )l(cos( )) o( ) ( 0 ) Rješeje: Stavljajući da je si() f ( ) - (cos()) i g ( ) imamo f ( ) f (0) 0, g( ) g(0) 0 kada 0 0, dakle, u datom esu dobijemo privido eodređe oblik Za O(0) (gdje je O(0) okolia tačke 0 0 pri čemu cos()>0) imamo: si()- f '() -cos() cos ( )l(cos( ))- si (), ( ) ( cos ( )l (cos( ))- si() ( si() ) cos ( )l(cos( ))- si() ( cos ()- si ( ) ) ), 6 ( cos ( )l (cos( ))- si() ( si() ) cos ( )l (cos( )) ((9 si( ) )cos ( ) - si ()) l(cos( ))- cos ( ) 8si ( )cos ( ) - si ()(si()- )(si ( ) -)) si()- f ''() -cos() f '''() -cos() - cos ( ) si()- g '(), g ''() 6, g '''() 6 Važi: f '(0)0 i g'(0)0, f ''(0)0 i g''(0)0 Kako je ( f '''( )) ( g'''( )) 0 kada O(0) saglaso L'Hospitalovom pravilu dobijemo: si()- 6 - cos() ( cos ( )l (cos( )) - si() ( si() ) cos ( )l (cos( )) L 0 6 - cos ( ) (9si( ) )cos ( ) - si () l(cos( )) - cos ( ) 8si ( )cos ( ) - si ()(si() - )(si 6 cos ( ) L 0 6 Kako se očito si( )l(cos( )) poaša kao kada 0, to važi razvoj e si( )l(cos( )) ( ) ( ) -)) si( )l(cos( )) o( ) kada 0 čija primjea a rješavaje datog esa daje: - si()l(cos())- o( ) si( )l(cos( )) l(cos( )) L - - 0 0 0 l(- si ()) si ( ) o( ) - 0 0 05 p
Zadatak : Odredite miimalu površiu trougla AC čiji je vrh A(-,0), vrh diralište tagete krive date sa y, a vrh C sjecište te tagete s osi O Rješeje: Fukcija a defiisaa je za svako >0 Radi lakoće rješavaja zadatka dat ćemo geometrijsku iterpretaciju ovog problema u pravouglom Cartesiusovom koordiatom sistemu Sl Geometrijska iterpretacija problema 0 p Tačka ima koordiate, Tačku C proalazimo kao presjek tagete a krivu u tački s osom O d Koeficijet tagete (t) je k i određe je izrazom: k ( ) za, k, pa je jedačia tagete d (t): t( ) Stavljajući da je t ( C ) 0 dobijemo: C ( A C ) ( ) Površia trougla AC data je izrazom: P(ΔAC ) odoso P(ΔAC ) Ekstrem fukcije a P( ) aći ćemo primjeom Fermatove teoreme diferecijalog račua: dp 0 0 p d Da bismo se uvjerili da je u pitaju miimum potražiti ćemo drugi izvod fukcije P i odrediti jegovu vrijedost za dobiveu -kordiatu tačke d P ( ) 9 > 0 d 5 8 Zaključujemo da je riječ o miimumu Koačo dobijemo: P (ΔAC ) 0 p mi
Zadatak : Ispitati tok i acrtati grafik reale fukcije f jede reale promjejive date sa: f ( ) arcsi, gdje je ajmaja cifra broja Vašeg ideksa koja je veća od Rješeje: Posmatrat ćemo fukciju fukcija ( f : {,,,9}), pri čemu je f ( ) arcsi ali kratkoće radi umjesto f pisat ćemo f Prirodi dome date fukcije je Dom ( f ) R, jer očito vrijedi da je < za svako R Uslov za parametar je dat sa {,,,9} Očigledo je da važi: f (-)-f (), tj fukcija a f () je epara, odoso je graf je simetriča u odosu a koordiati početak, što zači da je dovoljo ispitivati svojstva fukcije a skupu Korištejem elemetarih svojstava izvoda pokazuje se da vrijedi: f '( ) ( f ''( ) ( ) Dakle fukcija a f () je dva puta eprekidodiferecijabila za svaki R \{, } 0 p Sada je eophodo ispitati poašaje fukcije a graici domea: arcsi ( ) ( ) ( ( ( ( )sg( ) ) ) ) sg( ), ± ( ) Pri čemu je iskorišteo arcsi za svaki R Prethodo dobijei rezultat ukazuje a mogućost postojaja kose asimptote Ukoliko postoji kosa asimptota je koeficijet agiba određujemo a sljedeći ači: arcsi f ( ) k Sada tražimo vertikali pomjeraj moguće kose asimptote ) ( )( ), ± ( f ( ) k ) arcsi arcsi 0 R 0
Dakle kosa asimptota ima jedačiu: y( ) Kao posljedica eparosti fukcije f dobijemo da je y( ) kosa asimptota fukcije f i kada Fukcija f uzima samo pozitive vrijedosti za R Prava y i kriva data formulom y arcsi emaju zajedičkih tačaka s obzirom da ja < 0, dok je arcsi > 0 za R Stoga zaključujemo da fukcija f ima samo jedu ulu i to 0 Kao direkta posljedica aprijed avedeog je f()>0 za R, odoso _ f()<0 za R 0 p Svođejem a zajedički azivik dobijemo: ( )( )( ) ) ( )( ), {,,,9}, f '( ) ( ) odakle se lako alazi da je f ()0 za ± što su stacioare tačke fukcije f S obzirom da je f ''( ) > 0 odoso da je f ''( ) < 0 zaključujemo da su to lokali miimum odoso lokali maksimum respektivo Sada trebamo odrediti prvi izvod fukcije f u tački (odoso -) ( )( )( ) - ) ( )( ) ( ) '( ) - f - ( ) ( ) ( ) - - f '( ) - - f ' - (), ( )( )( ) ) ( ) f ' () ( )( ) ( ) ( ) ( ) Iz svojstva eparosti fukcije f zaključujemo da vrijedi: f ( ) f ' ( ), f ( ) f ' ( ) 0 p Zaključujemo da fukcija ema izvod (i koača i beskoača) u tačkama - i Na osovu aprijed avedeog lako se pokazuje da je fukcija f mootoo rastuća za ( 0,) (, ), kao i da je mootoo opadajuća za (, ) Tačka (,f ()) je preloma tačka grafika fukcije f jer postoje koači lijevi i desi izvodi u i međusobo su različiti U tački fukcija f ima lokali maksimum jer je π f ' () > 0 i f ' () < 0, f ( ) Fukcija f je kokava a itervalu (0,), a koveksa a itervalu (, ) Za <0 potrebo je iskoristiti svojstvo eparosti fukcije f, a osovu čega zaključujemo da je fukcija f mootoo
rastuća za (, ) (,0 ), kao i da je mootoo opadajuća za (, ) Tačka (-,-f()) je, takođe, preloma tačka grafika fukcije f U tački - fukcija f ima lokali miimum jer je f ' ( ) < 0 i f ' ( ) > 0, π f ( ) Rag fukcije f dat je sa: Im( f ) (, ) 0 p Na osovu svega aprijed avedeog možemo acrtati grfik fukcije f za kokreto Sl Grafik fukcije f za eko kokreto Tako pr za imamo: 0 p Sl Grafik fukcije f za 5
Zadatak : Za realu fukciju f jede reale promjejive zadau sa: ( ) a) f ( ) : ; b) d) f ( ) : ; e) f ( ) f ( ) : ; c) ( ) ) : 5 6 ( f ( ) : ; ispitati egzisteciju primitive fukcije, a zatim izračuati eodređei itegral I ( ) f ( ) d Rješeje: ( a) ) d Dom( f ) R udući da je fukcija f elemetara to je eprekida a cijelom Dom( f ) pa ima taču primitivu fukciju a svakom podrazmaku od R i tu vrijedi: I ( ) d d d C 6 5 6 5 6 6 6 7 ( ), 5 7 gdje je C proizvolja reala kostata 05 p d b) ( ) }Dom( f ){ -> Fukcija f je elemetara (i to algebarska) i eprekida je a Dom( f ) i kao takva ima taču primitivu fukciju a svakom razmaku E koji je podskup skupa Dom( f ), tj { > -} E t d I d dt t arctg C dt ( ) arcta( ) ( ) ( ) t Fukcija I je, takođe, elemetara (i to trasedeta) i eprekida a skupu Dom(I ) datom sa: { > } Dom ( I ) C je proizvolja reala kostata 05 p d ( - ) - c), < 0 ( ) C -, I arctg C, 0 - π π a iz uslova eprekidosti primitive fukcije slijedi I(0) I(0), odakle je C C, C C, gdje je C proizvolja reala kostata, te stavljajem I(0) C dobijemo da je uslov I(0-) I(0) I(0) ispuje, a da se π I() može apisati u obliku I ( ) arctg sg C za C 0, I(0) I( ) 0 6
d d) ( ) Fukcija f je elemetara (i to algebarska) i eprekida je a skupu Dom( f ) datom sa: { > 0 < } Dom ( f ) i kao takva ima taču primitivu fukciju a svakom razmaku E koji je podskup skupa Dom( f ), tj E Dom( f ) Tako za >0 imamo: d d d( ) C l( ) ( ) ( ) Za <- imamo: d d d( - -) - C - l( - - - ) ( ) - - - ( - - ) Odoso za Dom( f ) dobijemo: d I ( ) sg( )l( ) C, ( ) gdje je C proizvolja reala kostata 05 p e) d - 5 6 Fukcija f je očito elemetara i kao takva eprekida je a svom prirodom domeu Dom( f ) datim sa: Dom ( f ) R \{ 0,,} Fukcija f ima taču primitivu fukcijupa i eodređei itegral I a svakom razmaku E koji je podskup skupa Dom( f ), tj E Dom( f ) 8 9 I( ) d d - d - 5 6 ( - )( - ) 6 ( - ) ( - ) l 9 8 - l - l - C, 6 gdje je C proizvolja reala kostata 05 p Demostrator Šešlija Marko i Doc dr Huse Fatkić 7