Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază aparţinând algebrei liniare însoţite de unele aplicaţii. Pentru ca trecerea de la matematica predată în liceu la cea predată în facultate să se facă cât mai uşor, în carte au fost incluse multe noţiuni şi rezultate cu care studenţii sunt deja familiarizaţi din şcoală. Unele demonstraţii mai dificile au fost prezentate doar în caz particular sau înlocuite cu exemple care să scoată în evidenţă doar ideea de bază a demonstraţiei. In general, prezentarea unei noţiuni sau a unui rezultat este pregătită prin exemple adecvate. Deşi cartea se adresează în primul rând studenţilor din anul întâi de la facultăţile de fizică, considerăm că ea poate fi utilă şi studenţilor de la facultăţile tehnice sau elevilor de liceu pasionaţi de matematică. Bucureşti, 2009 Nicolae Cotfas 5

Cuprins 1 Matrice şi determinanţi 9 1.1 Matrice.................................. 9 1.2 Determinanţi............................... 12 2 Spaţii vectoriale 23 2.1 Definiţie şi exemple............................ 23 2.2 Subspaţii vectoriale............................ 25 2.3 Subspaţiul generat de o mulţime de vectori.............. 27 2.4 Dependenţă şi independenţă liniară................... 29 2.5 Bază şi dimensiune............................ 32 2.6 Sume de subspaţii............................ 42 2.7 Sume directe............................... 45 2.8 Spaţii factor................................ 48 3 Aplicaţii liniare 51 3.1 Definiţie şi exemple............................ 51 3.2 Imaginea şi nucleul unei aplicaţii liniare................ 53 3.3 Izomorfisme liniare............................ 56 3.4 Dualul unui spaţiu vectorial....................... 58 3.5 Tensori.................................. 61 3.6 Matricea unei aplicaţii liniare...................... 70 3.7 Vectori şi valori proprii.......................... 73 3.8 Forma diagonală a matricei unei aplicaţii liniare........... 78 7

8 CUPRINS 4 Spaţii vectoriale euclidiene 85 4.1 Definiţie şi exemple............................ 85 4.2 Baze ortonormate............................. 88 4.3 Complementul ortogonal al unui subspaţiu............... 93 4.4 Adjunctul unui operator liniar...................... 94 4.5 Operatori autoadjuncţi.......................... 98 4.6 Transformări unitare........................... 102 4.7 Transformări ortogonale......................... 108 5 Forme pătratice 111 5.1 Definiţie şi exemple............................ 111 5.2 Reducere la forma canonică....................... 114 6 Conice 121 6.1 Definiţie şi exemple............................ 121 6.2 Reducere la forma canonică....................... 124 7 Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare 129 7.1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi................... 129 7.2 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior.............. 135 7.3 Sisteme diferenţiale liniare........................ 146 8 Grupuri. Reprezentări liniare 159 8.1 Grupuri.................................. 159 8.2 Reprezentări liniare............................ 160 8.3 Reprezentări ireductibile......................... 163 8.4 Reprezentări unitare şi ortogonale................... 165 8.5 Grupul rotaţiilor. Reprezentări liniare................. 168 9 Algebre Lie. Reprezentări liniare 177 9.1 Algebre Lie................................ 177 9.2 Reprezentări liniare............................ 185 9.3 Reprezentări ireductibile......................... 187 9.4 Reprezentările algebrelor sl(2, C), su(2) şi o(3)............ 189

Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 1.1 Matrice Definiţia 1.1 Fie K unul dintre corpurile R, C. coloane, cu elemente din K, se înţelege o aplicaţie Prin matrice cu n linii şi m A : {1, 2,..., n} {1, 2,..., m} K : (i, j) a ij descrisă uzual cu ajutorul tabloului A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm care conţine valorile functiei. Vom nota cu M n m (K) mulţimea tuturor matricelor cu n linii şi m coloane, cu elemente din K. Definiţia 1.2 Suma A+B a două matrice A, B M n m (K) se defineşte prin relaţia a 11 a 12... a 1m b 11 b 12... b 1m a 11 +b 11 a 12 +b 12... a 1m +b 1m a 21 a 22... a 2m............ + b 21 b 22... b 2m............ = a 21 +b 21 a 22 +b 22... a 2m +b 2m............ a n1 a n2... a nm b n1 b n2... b nm a n1 +b n1 a n2 +b n2... a nm +b nm 9

10 Elemente de algebră liniară iar produsul dintre un număr λ K şi o matrice A M n m (K) se defineşte prin relaţia a 11 a 12... a 1m λa 11 λa 12... λa 1m a λ 21 a 22... a 2m............ = λa 21 λa 22... λa 2m............. a n1 a n2... a nm λa n1 λa n2... λa nm Propoziţia 1.3 Dacă A, B, C M n m (K) şi α, β K atunci (A+B)+C =A+(B+C), A + B = B + A, α(a + B) = αa + αb, 1A = A (α+β)a = αa+βa α(βa) = (αβ)a. Demonstraţie. Relaţiile rezultă din (a ij +b ij )+c ij = a ij +(b ij +b ij ) a ij + b ij = b ij + a ij, α(a ij + b ij ) = αa ij + αb ij, (α+β)a ij = α a ij +β a ij 1 a ij = a ij, α(βa ij ) = (αβ)a ij. Definiţia 1.4 Produsul AB al matricelor A M n m (K) şi B M m p (K) se defineşte prin formula a 11 a 12... a 1m b 11 b 12... b 1p a 21 a 22... a 2m b 21 b 22... b 2p........................ a n1 a n2... a nm b m1 b m2... b mp mj=1 a 1j b mj=1 j1 a 1j b j2... mj=1 a 1j b jp mj=1 a = 2j b mj=1 j1 a 2j b j2... mj=1 a 2j b jp............. mj=1 a nj b mj=1 j1 a nj b j2... mj=1 a nj b jp Propoziţia 1.5 Dacă A M n m (K), B M m p (K) şi C M p q (K) atunci A(BC) = (AB)C.

Matrice şi determinanţi 11 Demonstraţie. Avem ( m p ) p m a ij b jk c kl = a ij b jk c kl. j=1 k=1 k=1 j=1 Propoziţia 1.6 Dacă A M n m (K) şi B, C M m p (K) atunci Demonstraţie. Avem A(B + C) = AB + AC. m m m a ij (b jk + c jk ) = a ij b jk + a ij c jk. j=1 j=1 j=1 Propoziţia 1.7 Dacă A M n m (K), B M m p (K) şi λ K atunci Demonstraţie. Avem λ(ab) = (λa)b = A(λB). m m m λ a ij b jk = (λa ij )b jk = a ij (λb jk ). j=1 j=1 j=1 Observaţia 1.1 Dacă A, B M n n (K) atunci există matricele AB şi BA, dar în general De exemplu, ( 0 1 1 0 ) ( 1 1 0 0 ) = ( 0 0 1 1 AB BA. ) si ( 1 1 0 0 ) ( 0 1 1 0 ) = ( 1 1 0 0 Definiţia 1.8 Spunem ca matricea pătrată A M n n (K) este inversabilă dacă există o matrice B M n n (K) astfel încât AB = BA = I ). unde este matricea unitate. I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

12 Elemente de algebră liniară Propoziţia 1.9 Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică. Demonstraţie. Fie A M n n (K). Presupunând că există două matrice B, C M n n (K) astfel încât AB = BA = I şi AC = CA = I se obţine că B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 1.2 Determinanţi Observaţia 1.2 In cazul α 11 α 22 α 12 α 21 0, rezolvând sistemul de ecuaţii { α11 x 1 + α 12 x 2 = β 1 prin metoda reducerii se obţine soluţia care poate fi scrisă sub forma x 1 = dacă se utilizează notaţia α 21 x 1 + α 22 x 2 = β 2 x 1 = β 1 α 22 β 2 α 12 α 11 α 22 α 12 α 21, x 2 = β 2 α 11 β 1 α 21 α 11 α 22 α 12 α 21 β 1 α 12 β 2 α 22 α 11 α 12 α 21 α 22 a 11 a 12 a 21 a 22, x 2 = α 11 β 1 α 21 β 2 α 11 α 12 α 21 α 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. Definiţia 1.10 Fie K unul dintre corpurile R, C şi fie matricea pătrată ( ) a11 a A = 12 M a 21 a 2 2 (K). 22 Numărul det A = a 11 a 12 a 21 a 22 se numeşte determinantul matricei A. = a 11 a 22 a 12 a 21 (1.1)

Matrice şi determinanţi 13 Observaţia 1.3 In cazul în care sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute α 11 x 1 + α 12 x 2 + α 13 x 3 = β 1 α 21 x 1 + α 22 x 2 + α 23 x 3 = β 2 α 31 x 1 + α 32 x 2 + α 33 x 3 = β 3 are soluţie unică, soluţia obţinută prin metoda reducerii se poate scrie β 1 α 12 α 13 α 11 β 1 α 13 β 2 α 22 α 23 α 21 β 2 α 23 β 3 α 32 α 33 α 31 β 3 α 33 x 1 = α 11 α 12 α, x 2 = 13 α 11 α 12 α, x 3 = 13 α 21 α 22 α 23 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 α 31 α 32 α 33 dacă se utilizează notaţia a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 α 11 α 12 β 1 α 21 α 22 β 2 α 31 α 32 β 3 α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Definiţia 1.11 Fie K unul dintre corpurile R, C şi fie matricea pătrată a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 M 3 3 (K). a 31 a 32 a 33 Numărul det A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (1.2) se numeşte determinantul matricei A. Definiţia 1.12 Prin permutare de grad n se înţelege o funcţie bijectivă σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}.

14 Elemente de algebră liniară Observaţia 1.4 O permutare de grad n poate fi descrisă cu ajutorul unui tablou σ = ( 1 2 n σ(1) σ(2) σ(n) Vom nota cu S n mulţimea tuturor permutărilor de grad n. Definiţia 1.13 Prin signatura permutării σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} ) se înţelege numărul ε(σ) = 1 i<j n σ(i) σ(j). i j Exemplul 1.1 Avem S 3 = {σ 1, σ 2,..., σ 6 } unde şi σ 1 = σ 4 = ( 1 2 3 1 2 3 ( 1 2 3 3 2 1 ) ), σ 2 =, σ 5 = ( 1 2 3 2 3 1 ( 1 2 3 1 3 2 ) ), σ 3 =, σ 6 = ( 1 2 3 3 1 2 ( 1 2 3 2 1 3 ε(σ 1 ) = ε(σ 2 ) = ε(σ 3 ) = 1, ε(σ 4 ) = ε(σ 5 ) = ε(σ 6 ) = 1. Observaţia 1.5 Folosind exemplul anterior, relaţia (1.2) se poate scrie sub forma ) ), a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ε(σ 1 ) a 1σ1 (1) a 2σ1 (2) a 3σ1 (3) + ε(σ 2 ) a 1σ2 (1) a 2σ2 (2) a 3σ2 (3) +ε(σ 3 ) a 1σ3 (1) a 2σ3 (2) a 3σ3 (3) + ε(σ 4 ) a 1σ4 (1) a 2σ4 (2) a 3σ4 (3) +ε(σ 5 ) a 1σ5 (1) a 2σ5 (2) a 3σ5 (3) + ε(σ 6 ) a 1σ6 (1) a 2σ6 (2) a 3σ6 (3) adică a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ε(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a 3σ(3). σ S 3

Matrice şi determinanţi 15 Definiţia 1.14 Fie matricea pătrată a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n M n n(k). a n1 a n2 a nn Numărul det A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn se numeşte determinantul matricei A. = ε(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) (1.3) σ S n Observaţia 1.6 Din definiţia (1.3) rezultă că det A este o sumă de produse de câte n elemente ale matricei A, fiecare produs conţinând un singur element de pe fiecare linie şi un singur element de pe fiecare coloană. Observaţia 1.7 Din relaţia (1.2) rezultă a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 (determinantul unei matrice coincide cu determinantul transpusei). Se poate demonstra ca o astfel de relaţie are loc pentru orice matrice pătrată. Propoziţia 1.15 Dacă A M n n (K) atunci det A = det t A. Observaţia 1.8 Din (1.2) rezultă relaţiile a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 12 a 13 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 (dacă schimbăm între ele două linii semnul determinantului se schimbă) a 11 a 12 a 13 a 12 a 11 a 13 a 11 a 13 a 12 a 13 a 12 a 11 a 21 a 22 a 23 = a 22 a 21 a 23 = a 21 a 23 a 22 = a 23 a 22 a 21 a 31 a 32 a 33 a 32 a 31 a 33 a 31 a 33 a 32 a 33 a 32 a 31

16 Elemente de algebră liniară (dacă schimbăm între ele două coloane semnul determinantului se schimbă). Se poate demonstra ca un astfel de rezultat este valabil pentru orice matrice pătrată. Propoziţia 1.16 Dacă se schimbă între ele două linii (sau două coloane) ale unei matrice pătrate atunci se obţine o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. Propoziţia 1.17 Dacă în matricea A M n n (K) toate elementele unei linii (sau coloane) sunt nule atunci det A = 0. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă direct din definiţia (1.3). Observaţia 1.9 Din (1.2) rezultă că α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3 a 31 a 32 a 33 = 0, α 1 α 1 a 13 α 2 α 2 a 23 α 3 α 3 a 33 = 0. Se poate demonstra următorul rezultat mai general. Propoziţia 1.18 Determinantul unei matrice pătrate cu două linii (sau coloane) identice este nul. Propoziţia 1.19 Pentru orice k {1, 2,..., n} avem a 11 a 12 a 1n λ a k1 λ a k2 λ a kn a n1 a n2 a nn = λ a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn şi a 11 λ a 1k a 1n a 21 λ a 2k a 2n a n1 λ a nk a nn = λ a 11 a 1k a 1n a 21 a 2k a 2n a n1 a nk a nn. Demonstraţie. Relaţiile rezultă direct din definiţia (1.3).

Matrice şi determinanţi 17 Propoziţia 1.20 Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţiile 1.18 şi 1.19. Propoziţia 1.21 Avem şi a 11 a 12... a 1n............ a k1 +b k1 a k2 +b k2... a kn +b kn............ a n1 a n2... a nn a 11... a 1k +b 1k... a 1n a 21... a 2k +b 2k... a 2n............... a n1... a nk +b nk... a nn = = a 11 a 12... a 1n............ a k1 a k2... a kn............ a n1 a n2... a nn a 11... a 1k... a 1n a 21... a 2k... a 2n............... a n1... a nk... a nn Demonstraţie. Relaţiile rezultă direct din definiţia (1.3). + + a 11 a 12... a 1n............ b k1 b k2... b kn............ a n1 a n2... a nn a 11... b 1k... a 1n a 21... b 2k... a 2n............... a n1... b nk... a nn Propoziţia 1.22 Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (respectiv coloane) atunci determinantul matricei este nul. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţiile 1.20 şi 1.21. Propoziţia 1.23 Dacă la o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice adunăm elementele unei alte linii (respectiv coloane) înmulţite cu acelaşi număr determinantul matricei rezultate coincide cu determinantul matricei iniţiale. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţiile 1.20 şi 1.21.. Observaţia 1.10 Relaţia (1.2) se poate scrie sub formele a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1) 1+1 a a 22 a 23 11 a 32 a 33 +( 1) 1+2 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 + ( 1)1+3 a 13 a 21 a 22 a 31 a 32

18 Elemente de algebră liniară (dezvoltare după prima linie) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după linia a doua) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după linia a treia) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după prima coloană) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după coloana a doua) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1) 2+1 a a 12 a 13 21 a 32 a 33 +( 1) 2+2 a a 11 a 13 22 a 31 a 33 + ( 1)2+3 a 23 = ( 1) 3+1 a a 12 a 13 31 a 22 a 23 +( 1) 3+2 a a 11 a 13 32 a 21 a 23 + ( 1)3+3 a 33 = ( 1) 1+1 a a 22 a 23 11 a 32 a 33 +( 1) 2+1 a a 12 a 13 21 a 32 a 33 + ( 1)3+1 a 31 = ( 1) 1+2 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 +( 1) 2+2 a a 11 a 13 22 a 31 a 33 + ( 1)3+2 a 32 = ( 1) 1+3 a a 21 a 22 13 a 31 a 32 +( 1) 2+3 a a 11 a 12 23 a 31 a 32 + ( 1)3+3 a 33 a 11 a 12 a 31 a 32 a 11 a 12 a 21 a 22 a 12 a 13 a 22 a 23 a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22

Matrice şi determinanţi 19 (dezvoltare după coloana a treia). Observaţia 1.11 Relaţiile anterioare pot fi generalizate şi utilizate în calculul determinanţilor. Propoziţia 1.24 Fie K unul dintre corpurile R, C. Dacă a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n M n n(k). a n1 a n2 a nn atunci n n det A = ( 1) i+j a ij det A ij = ( 1) i+j a ij det A ij (1.4) i=1 j=1 unde A ij este matricea care se obţine din A eliminând linia i şi coloana j. Propoziţia 1.25 Oricare ar fi i, k {1, 2,..., n} avem { n a ij ( 1) k+j 0 daca i k det A kj = det A daca i = k j=1 notaţiile fiind cele din propoziţia anterioară. (1.5) Demonstraţie. In cazul i = k afirmaţia rezultă din propoziţia anterioară. In cazul i k relaţia rezultă dezvoltând după linia k determinantul cu două linii identice a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn rezultat înlocuind în a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn

20 Elemente de algebră liniară linia k cu linia i. Teorema 1.26 Matricea A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn M n n(k) este inversabilă dacă şi numai dacă det A 0 şi inversa ei este A 1 = 1 deta ( 1) 1+1 A 11 ( 1) 2+1 A 21 ( 1) n+1 A n1 ( 1) 1+2 A 12 ( 1) 2+2 A 22 ( 1) n+2 A n2 (1.6) ( 1) 1+n A 1n ( 1) 2+n A 2n ( 1) n+n A nn notaţiile fiind cele din propoziţiile anterioare. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţia anterioară. Observaţia 1.12 Sistemul de n ecuaţii liniare cu n necunoscute a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n se poate scrie sub forma Ax = b dacă se utilizează notaţiile A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn, x = x 1 x 2. x n, b = b 1 b 2.. b n

Matrice şi determinanţi 21 Teorema 1.27 (Cramer) Dacă atunci sistemul are soluţia unică x 1 = b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 0 a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n, x n = Demonstraţie. Scriind sistemul sub forma matriceală Ax = b a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a n1 a n2 b n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn. rezultă ca el are soluţia x = A 1 b. Din relaţiile (1.4) şi (1.6) rezultă x 1 = 1 nj=1 deta b j ( 1) j+1 A j1 = 1 deta x n = 1 nj=1 deta b j ( 1) j+n A jn = 1 deta b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n, b n a n2 a nn, a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2. a n1 a n2 b n

22 Elemente de algebră liniară Exerciţiul 1.2 Să se verifice prin calcul direct că în cazul a două matrice avem A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ), B = det(ab) = deta detb. ( b11 b 12 b 21 b 22 Observaţia 1.13 Se poate arăta că relaţia det(ab) = deta detb are loc oricare ar fi matricele A şi B de acelaşi ordin. În particular, în cazul unei matrice inversabile det A 1 = 1 det A. Definiţia 1.28 Fie K unul dintre corpurile R, C şi fie matricea a 11 a 12 a 1m a A = 21 a 22 a 2m M n m(k). a n1 a n2 a nm Prin minor de ordin k al lui A se înţelege un determinant de forma a i1 j 1 a i1 j 2 a i1 j k a i2 j 1 a i2 j 2 a i2 j k a ik j 1 a ik j 2 a ik j k ) unde 1 i 1 < i 2 <... < i k n si 1 j 1 < j 2 <... < j k m. Definiţia 1.29 Spunem că matricea A M n m (K) are rangul r şi scriem rang A = r dacă A are un minor de ordinul r nenul şi toţi minorii de ordin mai mare sunt nuli. Propoziţia 1.30 Matricea A M n m (K) are rangul r dacă are un minor de ordinul r nenul şi toţi minorii de ordin r + 1 sunt nuli. Demonstraţie. Conform relaţiei (1.4), orice minor de ordinul r + 2 (sau mai mare) se poate exprima ca o combinaţie liniară de minori de ordinul r + 1.

Capitolul 2 Spaţii vectoriale 2.1 Definiţie şi exemple Definiţia 2.1 Fie K unul dintre corpurile R sau C. Un spaţiu vectorial peste K este un triplet (V, +, ) format dintr-o mulţime V şi două operaţii + : V V V : (x, y) x+y (adunarea) : K V V : (α, x) αx (inmultirea cu scalari) astfel încât sunt satisfăcute următoarele condiţii: 1. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V 2. există un element 0 V astfel încât 0 + x = x + 0 = x, x V 3. pentru fiecare x V există x V astfel încât x + ( x) = ( x) + x = 0 4. x + y = y + x, x, y V 5. α(x + y) = αx + αy, α K, x, y V 6. (α + β)x = αx + βx, α, β K, x V 7. α(βx) = (αβ)x, α, β K, x V 8. 1x = x, x V 23

24 Elemente de algebră liniară Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari. Un spaţiu vectorial peste R este numit spatiu vectorial real iar un spaţiu vectorial peste C este numit spaţiu vectorial complex. In loc de x + ( y) scriem x y. Propoziţia 2.2 Dacă V este un spaţiu vectorial atunci: a) αx = 0 α = 0 sau x = 0 b) α( x) = ( α)x = αx c) α(x y) = αx αy d) (α β)x = αx βx. Demonstraţie. a) αx = 0 α 0 } = x = 1 α 0 = 0 b) c) d) 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x = 0x = 0 α(0 + 0) = α0 + α0 = α0 = 0. 0 = α0 = α(x + ( x)) = αx + α( x) = α( x) = αx 0 = 0x = (α + ( α))x = αx + ( α)x = ( α)x = αx. α(x y) = α(x + ( y)) = αx + α( y) = αx αy. (α β)x = (α + ( β))x = αx + ( β)x = αx βx. Exemplul 2.1 (R 3, +, ), unde este un spaţiu vectorial real. (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) α(x 1, x 2, x 3 ) = (αx 1, αx 2, αx 3 ) Exemplul 2.2 Mulţimea {( x11 x M 2 3 (R) = 12 x 13 x 21 x 22 x 23 ) x ij R }

Spaţii vectoriale 25 are o structură de spaţiu vectorial real definită prin ( ) ( ) ( x11 x 12 x 13 y11 y + 12 y 13 x11 + y = 11 x 12 + y 12 x 13 + y 13 x 21 x 22 x 23 y 21 y 22 y 23 x 21 + y 21 x 22 + y 22 x 23 + y 23 ( ) ( ) x11 x α 12 x 13 αx11 αx = 12 αx 13. x 21 x 22 x 23 αx 21 αx 22 αx 23 ) Exemplul 2.3 Mulţimea F(R, C) a tuturor funcţiilor ϕ : R C are o structură de spaţiu vectorial complex definită de (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (α ϕ)(x) = α ϕ(x), α C. Exemplul 2.4 R are o structura de spaţiu vectorial real în raport cu adunarea şi înmulţirea uzuală. Exemplul 2.5 (C, +, ), unde este un spaţiu vectorial real. (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 )i α(x + yi) = αx + αyi, α R Exemplul 2.6 C are o structura de spaţiu vectorial complex în raport cu adunarea şi înmulţirea numerelor complexe. 2.2 Subspaţii vectoriale Definiţia 2.3 Fie V un spaţiu vectorial peste K. Prin subspaţiu vectorial al lui V se inţelege orice submulţime W V cu proprietatea x, y W α, β K } = αx + βy W. (2.1)

26 Elemente de algebră liniară Propoziţia 2.4 Submulţimea W V este subspaţiu vectorial dacă şi numai dacă următoarele condiţii sunt îndeplinite: a) b) x W y W x W α K Demonstraţie. (2.1) (2.2): Alegem α = β = 1. (2.1) (2.3): Alegem β = 0. (2.2) & (2.3) (2.1): x, y W α, β K } } } (2.3) = αx W βy W = x + y W (2.2) = αx W. (2.3) } (2.2) = αx + βy W. Observaţia 2.1 Orice subspaţiu W V are o structura de spaţiu vectorial, operaţiile fiind cele induse din V. Exemplul 2.7 W = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 } este un subspaţiu vectorial al spaţiului V = R 3. Verificare. Fie x = (x 1, x 2, x 3 ) W, y = (y 1, y 2, y 3 ) W şi α, β R. Avem x W = x 1 + x 2 + x 3 = 0 y W = y 1 + y 2 + y 3 = 0 } = αx 1 + βy 1 + αx 2 + βy 2 + αx 3 + βy 3 = 0 ceea ce arată că αx + βy = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 ) W. { } Exemplul 2.8 W = x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 este un subspaţiu x 1 x 2 + x 3 = 0 vectorial al spaţiului V = R 3. Exemplul 2.9 Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 W = x = (x 1, x 2,..., x n ) R n a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0... a k1 x 1 + a k2 x 2 + a kn x n = 0 este un subspaţiu vectorial al spaţiului V = R n.

Spaţii vectoriale 27 Exemplul 2.10 R {x = x + 0i x R } C este un subspaţiu vectorial al spaţiului C considerat ca spaţiu vectorial real. Exemplul 2.11 W = { f : R R fderivabila } este un subspaţiu vectorial al spaţiului V = { f : R R fcontinua }. Exemplul 2.12 Mulţimea matricelor simetrice W = { } A M 3 3 (R) A t = A este un subspaţiu vectorial al spaţiului M 3 3 (R) = A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a ij R al tuturor matricelor cu trei linii şi trei coloane. 2.3 Subspaţiul generat de o mulţime de vectori Propoziţia 2.5 Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K şi este o submulţime a lui V atunci M = {v 1, v 2,..., v n } V M = { α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n α 1, α 2,..., α n K } este un subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie. Oricare ar fi λ, µ K şi avem x = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n M, y = β 1 v 1 + β 2 v 2 +... + β n v n M λx + µy = (λα 1 + µβ 1 )v 1 + (λα 2 + µβ 2 )v 2 + (λα n + µβ n )v n M.

28 Elemente de algebră liniară Definiţia 2.6 Fie V un spaţiu vectorial peste K şi fie M = {v 1, v 2,..., v n } V. Subspaţiul vectorial M = { α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n α 1, α 2,..., α n K } se numeşte subspaţiul generat de M şi se mai notează cu span{v 1, v 2,..., v n } sau v 1, v 2,..., v n, adică v 1, v 2,..., v n = { α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n α 1, α 2,..., α n K }. Definiţia 2.7 Spunem că {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de generatori pentru V dacă V = v 1, v 2,..., v n. Exemplul 2.13 Vectorii v 1 = (1, 1) şi v 2 = (1, 1) formează un sistem de generatori pentru spaţiul vectorial R 2. Verificare. Avem de aratat că R 2 = span{v 1, v 2 } adică R 2 = {α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) α 1, α 2 R}. Evident, {α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) α 1, α 2 R} R 2. Rămâne de arătat incluziunea inversă. Fie x = (x 1, x 2 ) R 2. Avem de arătat că există α 1, α 2 R încât x = α 1 v 1 + α 2 v 2 adică (x 1, x 2 ) = α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) ceea ce este echivalent cu (x 1, x 2 ) = (α 1 + α 2, α 1 α 2 ). Această relaţie se mai poate scrie { α1 + α 2 = x 1 α 1 α 2 = x 2 şi conduce la α 1 = x 1 + x 2 2, α 2 = x 1 x 2. 2

Spaţii vectoriale 29 Exerciţiul 2.14 Să se arate că în R 3 avem span{(1, 2, 3), ( 1, 1, 0)} = span{(1, 2, 3), ( 1, 1, 0), (0, 3, 3)}. Indicaţie. Avem (0, 3, 3) = (1, 2, 3) + ( 1, 1, 0). Propoziţia 2.8 Dacă {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de generatori pentru V astfel încât există k {1, 2,..., n} cu v k = λ i v i i k atunci {v 1, v 2,..., v n }\{v k } este sistem de generatori pentru V. Demonstraţie. Orice vector x V este o combinaţie liniară de v 1, v 2,..., v n. Dar n x = α i v i = x = α i v i + α k λ i v i = (α i + α k λ i )v i. i=1 i k i k i k Definiţia 2.9 Spunem că spaţiul vectorial V este finit generat dacă admite un sistem de generatori finit. Convenţie. Dacă nu se menţionează contrariul, spaţiile vectoriale considerate în continuare vor fi presupuse finit generate. 2.4 Dependenţă şi independenţă liniară Propoziţia 2.10 Fie V un spaţiu vectorial peste K şi v 1, v 2,..., v n vectori aparţinând lui V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Nici unul dintre vectorii v 1, v 2,..., v n nu se poate scrie ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori b) relaţia este posibilă numai dacă α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 α 1 = α 2 = = α n = 0

30 Elemente de algebră liniară adică α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. Demonstraţie. a) b) Prin reducere la absurd, presupunând, de exemplu, ca relaţia α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 este posibilă şi pentru α n 0 se obţine v n = α 1 α n v 1 α 2 α n v 2 α n 1 α n v n 1. b) a) Dacă, de exemplu, am avea v n = β 1 v 1 + β 2 v 2 + + β n 1 v n 1 atunci β 1 v 1 + β 2 v 2 + + β n 1 v n 1 v n = 0 adică relaţia α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 ar fi posibilă şi în alte cazuri decât α 1 = α 2 = = α n = 0. Definiţia 2.11 Spunem că {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi dacă α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. Observaţia 2.2 In cazul unui sistem de vectori liniar independenţi nici unul dintre vectori nu se poate scrie ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori. Exerciţiul 2.15 Să se arate că vectorii v 1 = (1, 2) şi v 2 = ( 1, 3) din R 2 sunt liniar independenţi. Rezolvare. Fie α 1 v 1 + α 2 v 2 = 0, adică α 1 (1, 2) + α 2 ( 1, 3) = (0, 0) (α 1, 2α 1 ) + ( α 2, 3α 2 ) = (0, 0) (α 1 α 2, 2α 1 + 3α 2 ) = (0, 0). Ultima relaţie este echivalenta cu sistemul care conduce la α 1 = α 2 = 0. { α1 α 2 = 0 2α 1 + 3α 2 = 0

Spaţii vectoriale 31 Exerciţiul 2.16 Un sistem de vectori liniar independenţi nu poate conţine vectorul nul. Rezolvare. Admiţând că {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi si că v n = 0 avem 0v 1 + 0v 2 + + 0v n 1 + 1v n = 0. Observaţia 2.3 Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independenţi este un sistem de vectori liniar independenţi. Propoziţia 2.12 Dacă {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori astfel incât nici unul dintre ei nu este combinaţie liniară de cei scrişi în faţa lui atunci {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi. Demonstraţie. Fie α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0. (2.4) Trebuie ca α n = 0 deoarece în caz contrar v n = α 1 α n v 1 α 2 α n v 2 α n 1 α n v n 1. adică v n este combinaţie liniară de vectorii scrişi în faţa lui. Având în vedere că 0v n = 0, relaţia (2.4) se mai scrie α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n 1 v n 1 = 0. La fel ca mai sus se arată că α n 1 = 0, apoi α n 2 = 0,..., α 1 = 0. Observaţia 2.4 Din orice sistem de generatori ai unui spaţiu vectorial V se poate obţine un sistem de generatori liniar independenţi eliminând succesiv vectorii care se pot scrie ca o combinaţie liniară de vectorii aflaţi înaintea lor. Mai exact, plecăm de la sistemul de generatori {v 1, v 2,..., v n } şi aplicăm următoarele operaţii sistemului rezultat în etapa anterioară: a) eliminăm primul vector dacă acesta este nul b) eliminăm al doilea vector dacă acesta se obţine din primul prin înmulţirea cu un scalar

32 Elemente de algebră liniară c) eliminăm al treilea vector dacă acesta este combinaţie liniară de primii doi d) eliminăm al patrulea vector dacă acesta este combinaţie liniară de vectorii precedenţi, etc. Exerciţiul 2.17 Să se obţină un sistem liniar independent plecând de la sistemul de vectori {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } R 4, unde v 1 = (0, 0, 0, 0), v 2 = (1, 0, 1, 1), v 3 = (2, 0, 2, 2), v 4 = (1, 1, 1, 1), v 5 = (2, 1, 0, 2). Răspuns. {v 2, v 4 }. 2.5 Bază şi dimensiune Definiţia 2.13 Prin bază a unui spaţiu vectorial se inţelege un sistem de generatori format din vectori liniar independenţi. Observaţia 2.5 Pentru a arăta că un sistem de vectori B = {e 1, e 2,..., e n } este bază lui V avem de arătat că: a) V = e 1, e 2,..., e n b) α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. Exerciţiul 2.18 Să se arate că B = {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} este bază a spaţiului vectorial R 2. Rezolvare. B este sistem de generatori: oricare ar fi (x 1, x 2 ) din R 2 avem (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2. B este sistem de vectori liniar independenţi: din relaţia α 1 e 1 + α 2 e 2 = 0 rezultă α 1 (1, 0) + α 2 (0, 1) = (0, 0)

Spaţii vectoriale 33 adică (α 1, α 2 ) = (0, 0) ceea ce conduce la α 1 = α 2 = 0. Propoziţia 2.14 Dacă B = {e 1, e 2,..., e n } este bază lui V atunci orice vector x V se poate scrie în mod unic sub forma x = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n. Demonstraţie. B fiind sistem de generatori rezultă că există scalarii α 1, α 2,..., α n K încât x = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n. Presupunând că ar mai exista reprezentarea ar rezulta că x = β 1 e 1 + β 2 e 2 + + β n e n α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n = β 1 e 1 + β 2 e 2 + + β n e n adică (α 1 β 1 )e 1 + (α 2 β 2 )e 2 + + (α n β n )e n = 0. Deoarece B este sistem de vectori liniar independenţi, din această relaţie rezultă că α 1 β 1 = 0, α 2 β 2 = 0,..., α n β n = 0, adică α 1 = β 1, α 2 = β 2,..., α n = β n. Definiţia 2.15 Fie B = {e 1, e 2,..., e n } o bază a spaţiului vectorial V şi x V. Numerele unic determinate α 1, α 2,..., α n din dezvoltarea x = α 1 e 1 + α 2 e 2 + + α n e n se numesc coordonatele lui x in raport cu baza B. Propoziţia 2.16 Dacă V este un spaţiu vectorial, M = {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi şi S = {w 1, w 2,..., w k } este un sistem de generatori ai lui V atunci

34 Elemente de algebră liniară a) n k b) sistemul de vectori M se poate completa pâna la o bază a lui V adăugând vectori din S. Demonstraţie. a) Vectorul v n este nenul deoarece sistemul de vectori liniar independenţi M nu poate conţine vectorul nul. Acest vector este o combinaţie liniară de w 1, w 2,..., w k. Deoarece cel puţin unul dintre coeficienţii acestei combinaţii liniare este nenul, din sistemul de generatori {v n, w 1, w 2,..., w k } se poate elimina un vector astfel incât el să rămână în continuare sistem de generatori. Vom elimina primul vector care este combinaţie liniară de cei aflaţi înaintea lui. Vectorul eliminat este unul dintre vectorii w 1, w 2,..., w k şi-l notăm cu w i1. Considerăm în continuare sistemul de vectori liniar independenţi M 1 = {v 1, v 2,..., v n 1 } sistemul de generatori S 1 = {v n, w 1, w 2,..., w k }\{w i1 } şi facem aceleaşi operaţii, adică luăm v n 1 din M 1, îl adăugăm la S 1 şi eliminăm primul vector w i2 care este combinaţie liniară de cei aflaţi în faţa lui. Rezultă astfel sistemul de vectori liniar independenţi M 2 = {v 1, v 2,..., v n 2 } şi sistemul de generatori S 2 = {v n 1, v n, w 1, w 2,..., w k }\{w i1, w i2 }. Procesul poate fi continuat până introducem toţi vectorii sistemului de vectori liniar independenţi M în sistemul de generatori, ceea ce arată că n k. b) După introducerea tuturor vectorilor din M în sistemul de generatori se obţine un sistem de generatori S n = {v 1, v 2,..., v n, w 1, w 2,..., w k }\{w i1, w i2,..., w in }. Eliminând vectorii care sunt combinaţii liniare de cei aflaţi în faţa lor rezultă o bază care conţine vectorii din M.

Spaţii vectoriale 35 Teorema 2.17 Oricare două baze ale unui spaţiu vectorial au acelaşi număr de vectori. Demonstraţie. Fie B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {e 1, e 2,..., e k} două baze ale lui V. Fiecare dintre ele este atât sistem de vectori liniar independenţi cât şi sistem de generatori pentru V. Conform propoziţiei precedente trebuie sa avem simultan n k şi k n. Definiţia 2.18 Spunem că spaţiul vectorial V are dimensiune n şi scriem dim V = n dacă V admite o bază formată din n vectori. Notaţie. Pentru a indica corpul peste care este considerat V, in loc de dim V vom scrie uneori dim K V. Exerciţiul 2.19 Să se arate că a) dim R R 2 = 2 b) dim R {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 } = 2 c) dim R C = 2 d) dim C C = 1. Rezolvare. a) {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} este bază a lui R 2. b) Relaţia {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 } = {(x 1, x 2, x 1 x 2 ) x 1, x 2 R} = {x 1 (1, 0, 1) + x 2 (0, 1, 1) x 1, x 2 R} arată că {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} este sistem de generatori. Deoarece relaţia x 1 (1, 0, 1) + x 2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) conduce la x 1 = x 2 = 0, sistemul de generatori {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} este un sistem de vectori liniar independenţi şi deci o bază. c) C = {x + yi x, y R } considerat ca spaţiu vectorial real admite baza {1, i}. d) O bază a lui C peste C este B = {1}.

36 Elemente de algebră liniară Propoziţia 2.19 Pe orice spaţiu vectorial complex V se obţine o structură naturală de spaţiu vectorial real prin restricţia scalarilor şi dim R V = 2 dim C V. Demonstraţie. Fie {v 1, v 2,..., v n } o bază a spaţiului vectorial complex V. Oricare ar fi x V există numerele complexe α 1 + β 1 i, α 2 + β 2 i,..., α n + β n i astfel încât x = (α 1 + β 1 i)v 1 + (α 2 + β 2 i)v 2 + + (α n + β n i)v n. Scriind această relaţie sub forma x = α 1 v 1 + β 1 iv 1 + α 2 v 2 + β 2 iv 2 + + α n v n + β n iv n deducem că B = { v 1, iv 1, v 2, iv 2,..., v n, iv n } este sistem de generatori pentru spaţiul vectorial real V. Arătăm că vectorii care formează sistemul B sunt liniar independenţi peste R. Relaţia α 1 v 1 + β 1 iv 1 + α 2 v 2 + β 2 iv 2 + + α n v n + β n iv n = 0 se poate scrie (α 1 + β 1 i)v 1 + (α 2 + β 2 i)v 2 + + (α n + β n i)v n = 0 şi conduce la α 1 + β 1 i = α 2 + β 2 i = = α n + β n i = 0, adică la α 1 = β 1 = α 2 = β 2 = = α n = β n = 0. Propoziţia 2.20 Dacă V este un spaţiu vectorial real atunci spaţiul V V = { (x 1, x 2 ) x 1, x 2 V } considerat împreună cu adunarea pe componente (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 )

Spaţii vectoriale 37 şi înmulţirea cu numere complexe (α + βi)(x 1, x 2 ) = (αx 1 βx 2, αx 2 + βx 1 ) este un spaţiu vectorial complex notat cu C V (numit complexificatul lui V ) şi dim C C V = dim R V. Demonstraţie. Fie {v 1, v 2,..., v n } o bază a spaţiului vectorial real V. Arătăm că B = { (v 1, 0), (v 2, 0),..., (v n, 0) } este bază a spaţiului vectorial complex C V. Oricare ar fi x 1, x 2 V există numerele reale α 1, α 2,..., α n şi β 1, β 2,..., β n astfel încât x 1 = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n, x 2 = β 1 v 1 + β 2 v 2 + + β n v n. Deoarece i(v j, 0) = (0, v j ) avem (x 1, x 2 ) = (α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n, 0) + (0, β 1 v 1 + β 2 v 2 + + β n v n ) = (α 1 + β 1 i)(v 1, 0) + (α 2 + β 2 i)(v 2, 0) + + (α n + β n i)(v n, 0). Dacă (α 1 + β 1 i)(v 1, 0) + (α 2 + β 2 i)(v 2, 0) + + (α n + β n i)(v n, 0) = (0, 0) atunci (α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n, β 1 v 1 + β 2 v 2 + + β n v n ) = 0 ceea ce conduce la α 1 = α 2 = = α n = 0 şi β 1 = β 2 = = β n = 0. Observaţia 2.6 Scriind x 1 + x 2 i în loc de (x 1, x 2 ) obţinem C V = { x 1 + x 2 i x 1, x 2 V } şi înmulţirea cu scalari (α + βi)(x 1 + x 2 i) = (αx 1 βx 2 ) + (αx 2 + βx 1 )i coincide formal cu înmulţirea uzuală a numerelor complexe.

38 Elemente de algebră liniară Teorema 2.21 (Kronecker) Dacă a 11 a 12 a 1m a A = 21 a 22 a 2m M n m(k) a n1 a n2 a nm şi atunci A i = (a i1 a i2... a im ) M 1 m (K), A j = a 1j a 2j. a nj rang A = dim A 1, A 2,..., A n = dim A 1, A 2,..., A m. M n 1(K) Demonstraţie. Fie r = rang A. Deoarece rangul lui A nu se schimbă prin permutarea liniilor (sau coloanelor) putem presupune că a 11 a 12 a 1r a d = 21 a 22 a 2r 0. a r1 a r2 a rr Arătăm că {A 1, A 2,..., A r } este sistem liniar independent şi că matricele A r+1,...,a m din M n 1 (K) sunt combinaţii liniare de A 1, A 2,..., A r. Din relaţia rezultă că α 1 A 1 + α 2 A 2 + + α r A r = 0 a 11 α 1 + a 12 α 2 + + a 1r α r = 0 a 21 α 1 + a 22 α 2 + + a 2r α r = 0... a r1 α 1 + a r2 α 2 + + a rr α r = 0 Acesta este un sistem Cramer cu soluţia α 1 = α 2 = = α r = 0. Oricare ar fi i {1, 2,..., n} şi j {1, 2,..., m} avem a 11 a 12 a 1r a 1j a 21 a 22 a 2r a 2j = 0. a r1 a r2 a rr a rj a i1 a i2 a ir a ij

Spaţii vectoriale 39 Dezvoltând acest determinant după ultima linie obţinem relaţia ( 1) i+1 a i1 λ 1 + ( 1) i+2 a i2 λ 2 + + ( 1) i+r a ir λ r + ( 1) i+r+1 a ij d = 0 unde λ 1 = a 12 a 1r a 1j a 22 a 2r a 2j a r2 a rr a rj, λ r = a 11 a 1r 1 a 1j a 21 a 2r 1 a 2j a r1 a rr 1 a rj nu depind de i. Rezultă a ij = ( 1) i+1 λ 1 d a i1 ( 1) i+2 λ 2 d a i2 ( 1) i+r λ r d a ir oricare ar fi i {1, 2,..., n}, adică A j = ( 1) i+1 λ 1 d A1 ( 1) i+2 λ 2 d A2 ( 1) i+r λ r d Ar. Am arătat astfel că dim A 1, A 2,..., A m = rang A. Deoarece rang A = rang t A deducem că dim A 1, A 2,..., A n = rang A. Exerciţiul 2.20 Să se arate că vectorii v 1 = (v 11, v 12, v 13 ), v 2 = (v 21, v 22, v 23 ), v 3 = (v 31, v 32, v 33 ) din R 3 sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă v 11 v 12 v 13 v 21 v 22 v 23 v 31 v 32 v 33 Teorema 2.22 Sistemul de ecuaţii liniare 0. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2m x m = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nm x m = b n

40 Elemente de algebră liniară admite soluţie dacă şi numai dacă rang a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm = rang a 11 a 12 a 1m b 1 a 21 a 22 a 2m b 2 a n1 a n2 a nm b n (rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse). Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din teorema anterioară ţinând seama de faptul că sistemul considerat se mai poate scrie x 1 a 11 a 21 a n1 + x 2 a 12 a 22 a n2 + + x m a 1m a 2m a nm = b 1 b 2 b n. Observaţia 2.7 Fie a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2m x m = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nm x m = b n un sistem de ecuaţii liniare compatibil (adică, care admite soluţie) şi fie r rangul matricei sistemului. Schimbând eventual ordinea ecuaţiilor şi indexarea necunoscutelor putem presupune că a 11 a 12 a 1r a 21 a 22 a 2r a r1 a r2 a rr 0. In cazul în care r < n este suficient să luăm în considerare doar primele r ecuaţii a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2m x m = b 2... a r1 x 1 + a r2 x 2 + + a rm x m = b r (numite ecuaţii principale) deoarece restul de ecuaţii vor fi combinaţii liniare de

Spaţii vectoriale 41 acestea. Acesta poate fi privit ca un sistem Cramer a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1r x r = b 1 a 1r+1 x r+1 a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2r x r = b 2 a 2r+1 x r+1 a 2m x m... a r1 x 1 + a r2 x 2 + + a rr x r = b r a rr+1 x r+1 a rm x m cu necunoscutele x 1, x 2,..., x r (numite necunoscute principale) considerând x r+1,..., x m ca parametri care pot lua valori arbitrare. In cazul in care b 1 = b 2 = = b n = 0 (sistem omogen), spaţiul soluţiilor sistemului este un spaţiu vectorial de dimensiune m r. Observaţia 2.8 Dacă B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {e 1, e 2,..., e n} sunt două baze ale lui V atunci fiecare vector e i din baza nouă B se poate scrie ca o combinaţie liniară de vectorii bazei vechi B. Definiţia 2.23 Fie B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {e 1, e 2,..., e n} două baze ale spaţiului V şi fie e 1 = α 11e 1 + α 21 e 2 + + α n1 e n e 2 = α 12e 1 + α 22 e 2 + + α n2 e n... e n = α 1n e 1 + α 2n e 2 + + α nn e n. (2.5) Matricea S = α 11 α 12... α 1n α 21 α 22... α 2n............ α n1 α n2... α nn se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza B.

42 Elemente de algebră liniară Observaţia 2.9 Relaţiile (2.5) se pot scrie comprimat n e i = α ji e j j=1 şi orice vector x V poate fi dezvoltat în raport cu cele două baze n n x = x j e j = x ie i. j=1 i=1 Propoziţia 2.24 In cazul schimbării de bază e i = n j=1 α ji e j n x = n j=1 x j e j = n i=1 x = x j = α ji x i i e i i=1 Demonstraţie. Având în vedere că dezvoltarea în raport cu o bază este unică, din ( n n n n n n ) x j e j = x i e i = x i α ji e j = α ji x i e j j=1 i=1 j=1 i=1 rezultă că x j = n i=1 α ji x i. i=1 j=1 2.6 Sume de subspaţii Propoziţia 2.25 a) Dacă W V este subspaţiu vectorial atunci dim W dim V. b) Dacă W V este subspaţiu vectorial şi dim W = dim V atunci W = V. Demonstraţie. a) Fie {v 1, v 2,..., v n } bază în V şi {w 1, w 2,..., w k } bază în W. Deoarece {w 1, w 2,..., w k } este sistem liniar independent în V şi {v 1, v 2,..., v n } este sistem de generatori rezultă că k n. b) Orice bază a lui W poate fi extinsă pâna la o bază a lui V. Deoarece dim W = dim V rezultă că orice bază a lui W este în acelaşi timp bază a lui V. Propoziţia 2.26 Dacă W 1 V şi W 2 V sunt subspaţii vectoriale atunci W = W 1 W 2 este subspaţiu vectorial al lui V.

Spaţii vectoriale 43 Demonstraţie. Avem x, y W α, β K } = x, y W 1 x, y W 2 α, β K = αx + βy W 1 αx + βy W 2 } = αx + βy W. Observaţia 2.10 In general, reuniunea a două subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial V nu este un subspaţiu vectorial. De exemplu, W 1 = {(x, 0) x R} si W 2 = {(0, y) y R} sunt subspaţii vectoriale ale lui R 2, dar W = W 1 W 2 nu este subspaţiu vectorial al lui R 2. Intr-adevăr, (1, 0) W şi (0, 1) W dar (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) W. Propoziţia 2.27 Dacă W 1 V şi W 2 V sunt subspaţii vectoriale atunci este subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie. Avem w 1 + w 2 W 1 + W 2 w 1 + w 2 W 1 + W 2 α, β K W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 } = α(w 1 + w 2 ) + β(w 1 + w 2 ) = (αw 1 + βw 1 ) + (αw 2 + βw 2 ) W 1 + W 2. Definiţia 2.28 Fie W 1, W 2 două subspaţii vectoriale ale lui V. Subspaţiul vectorial W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 } se numeşte suma subspaţiilor W 1 şi W 2. Exerciţiul 2.21 Să se arate că: a) W 1 = {(x, 0) x R} este subspaţiu vectorial al lui R 2. b) W 1 = {(0, y) y R} este subspaţiu vectorial al lui R 2. c) W 1 + W 2 = R 2. Teorema 2.29 (a dimensiunii) Dacă W 1 şi W 2 sunt subspaţii ale lui V atunci dim (W 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 dim (W 1 W 2 ).

44 Elemente de algebră liniară Demonstraţie. Fie B 0 = {u 1, u 2,..., u n } o bază a spaţiului vectorial W 1 W 2 pe care o completăm până la o bază a spaţiului vectorial W 1 şi până la o bază a spaţiului vectorial W 2, unde B 1 = {u 1, u 2,..., u n, v 1, v 2,..., v k } B 2 = {u 1, u 2,..., u n, w 1, w 2,..., w m } n = dim (W 1 W 2 ), n + k = dim W 1, n + m = dim W 2. Este suficient să arătăm că este o bază a lui W 1 + W 2. B = {u 1, u 2,..., u n, v 1, v 2,..., v k, w 1, w 2,..., w m } B este sistem de generatori. Orice vector de forma x 1 + x 2 cu x 1 W 1 si x 2 W 2 este o combinatie liniara de vectorii lui B. B este sistem de vectori liniar independenţi. Relaţia α 1 u 1 +... + α n u n + β 1 v 1 +... + β k v k + γ 1 w 1 +... + γ m w m = 0 (2.6) se poate scrie sub forma α 1 u 1 +... + α n u n + β 1 v 1 +... + β k v k = γ 1 w 1... γ m w m. Egalitatea dintre vectorul α 1 u 1 +... + α n u n + β 1 v 1 +... + β k v k aparţinând lui W 1 si vectorul γ 1 w 1... γ m w m aparţinând lui W 2 este posibilă numai dacă γ 1 w 1... γ m w m W 1 W 2, adică dacă există δ 1, δ 2,..., δ 1 K încât γ 1 w 1 γ 2 w 2... γ m w m = δ 1 u 1 + δ 2 u 2 +... + δ n u n. Scriind ultima relaţie sub forma δ 1 u 1 + δ 2 u 2 +... + δ n u n + γ 1 w 1 + γ 2 w 2 +... + γ m w m = 0

Spaţii vectoriale 45 şi ţinând seama de faptul că B 2 este bază în W 2 rezultă δ 1 = δ 2 =... = δ n = γ 1 = γ 2 =... = γ m = 0. Relaţia (2.6) devine α 1 u 1 +... + α n u n + β 1 v 1 +... + β k v k = 0. Tinând seama de faptul că B 1 este bază în W 1 obţinem α 1 = α 2 =... = α n = β 1 = β 2 =... = β k = 0. Prin urmare B este bază a lui W 1 + W 2 şi dim(w 1 + W 2 ) = n + k + m = dim W 1 + dim W 2 dim (W 1 W 2 ). 2.7 Sume directe Definiţia 2.30 Fie W 1, W 2 două subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial V. Spunem că suma W 1 + W 2 este sumă directă si utilizăm notaţia W 1 W 2 dacă scrierea oricărui vector w W 1 +W 2 ca suma w = w 1 +w 2 dintre un vector w 1 W 1 şi un vector w 2 W 2 este unică. Propoziţia 2.31 Fie W 1, W 2 două subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial V. Suma W 1 + W 2 este sumă directă dacă şi numai dacă W 1 W 2 = {0}. Demonstraţie. = Dacă W 1 W 2 {0} atunci există x W 1 W 2 nenul care admite reprezentările x = x + 0 şi x = 0 + x, ceea ce arată că suma nu este directă. = Fie subspaţiile W 1 şi W 2 cu W 1 W 2 = {0}. Dacă v W 1 + W 2 admite reprezentările v = w 1 + w 2 cu w 1 W 1 si w 2 W 2 v = w 1 + w 2 cu w 1 W 1 si w 2 W 2

46 Elemente de algebră liniară atunci w 1 + w 2 = w 1 + w 2. Scriind această relaţie sub forma w 1 w 1 = w 2 w 2 din w 1 w 1 W 1, w 2 w 2 W 2 şi W 1 W 2 = {0} deducem că w 1 w 1 = 0, w 2 w 2 = 0, adică w 1 = w 1 şi w 2 = w 2, ceea ce arată că suma este directă. Exerciţiul 2.22 Să se arate că R 2 = {(x, 0) x R} {(0, y) y R}. Rezolvare. Avem {(x, 0) x R} + {(0, y) y R} = R 2 {(x, 0) x R} {(0, y) y R} = {(0, 0)}. Exerciţiul 2.23 Să se arate că R 3 = {(x, y, 0) x, y R} + {(x, 0, z) x, z R} dar suma nu este directă. Rezolvare. Orice vector (α, β, γ) R 3 admite reprezentarea (α, β, γ) = (α, β, 0) + (0, 0, γ) cu (α, β, 0) {(x, y, 0) x, y R} şi (0, 0, γ) {(x, 0, z) x, z R}, dar {(x, y, 0) x, y R} {(x, 0, z) x, z R} = {(x, 0, 0) x R}. Exerciţiul 2.24 Să se arate că R 2 = {(α, α) α R} {(0, β) β R}. Rezolvare. Orice vector (x, y) R 2 admite reprezentarea (x, y) = (x, x) + (0, y x)

Spaţii vectoriale 47 cu (x, x) {(α, α) α R} şi (0, y x) {(0, β) β R}. În plus {(α, α) α R} {(0, β) β R} = {(0, 0)}. Exerciţiul 2.25 Să se arate că M 3 3 (R) = {A M 3 3 (R) A t = A } {A M 3 3 (R) A t = A } unde A t este transpusa matricei A. Indicaţie. Orice matrice A M 3 3 (R) admite reprezentarea A = 1 2 (A + At ) + 1 2 (A At ) cu (A + A t ) t = A + A t şi (A A t ) t = (A A t ). Propoziţia 2.32 Dacă V şi W sunt spaţii vectoriale peste acelaşi corp K atunci V W = { (x, y) x V, y W } considerat împreună cu adunarea (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) şi înmulţirea cu scalari α(x, y) = (αx, αy) este spaţiu vectorial, notat cu V W (numit produsul direct al lui V cu W ) şi dim(v W ) = dim V + dim W. Demonstraţie. Dacă {v 1, v 2,..., v n } şi {w 1, w 2,..., w k } sunt baze în V şi W atunci { (v 1, 0), (v 2, 0),..., (v n, 0), (0, w 1 ), (0, w 2 ),..., (0, w k ) } este bază în V W. Observaţia 2.11 Spaţile V şi W pot fi identificate cu subspaţiile { (x, 0) x V }, { (0, y) y W }

48 Elemente de algebră liniară ale lui V W şi avem { (x, 0) x V } { (0, y) y W } = {(0, 0)} { (x, 0) x V } + { (0, y) y W } = V W ceea ce justifică notaţia V W. 2.8 Spaţii factor Definiţia 2.33 Prin relaţie de echivalenţă pe o mulţime M se înţelege o submulţime R M M cu proprietăţile: 1) (x, x) R, x M (reflexivitate) 2) (x, y) R = } (y, x) R (simetrie) (x, y) R 3) = (x, z) R (tranzitivitate) (y, z) R In loc de (x, y) R se preferă să se scrie x R y sau x y. Definiţia 2.34 Prin partiţie a unei mulţimi M se înţelege o familie {M i } i I de submulţimi ale lui M cu proprietăţile: 1) M i, i I 2) M i M j =, i, j I cu i j 3) i I M i = M. Propoziţia 2.35 a) Dacă este o relaţie de echivalenţă pe M atunci mulţimile distincte de forma ˆx = { y y x } (clasa de echivalenta a lui x) formează o partiţie a lui M (se notează cu M/ şi este numită mulţimea factor corespunzătoare relaţiei ). b) Invers, dacă {M i } i I este o partiţie a lui M atunci relaţia definită prin x y daca exista i I astfel incat x, y M i este o relaţie de echivalenţă pe M.

Spaţii vectoriale 49 Demonstraţie. a) Reunind toate clasele de echivalenţă obţinem mulţimea M şi ˆx deoarece x ˆx. In plus, x ŷ ẑ = { x y x z = y z = ŷ = ẑ. b) Evident, relaţia este reflexivă şi simetrică. Dacă x y şi y z atunci există i, j I astfel încât x, y M i şi y, z M j. Mulţimile partiţiei fiind disjuncte rezultă că M i = M j şi prin urmare x z. Propoziţia 2.36 Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K şi W V este un subspaţiu vectorial atunci relaţia x y daca x y W este o relaţie de echivalenţă pe V. Pe mulţimea factor V/ formată din toate clasele de echivalenţă ˆx = x + W = { x + y y W } relaţiile ˆx + ŷ = xy, αˆx = αx definesc o structură de spaţiu vectorial (numit spaţiu factor şi notat cu V/W ). Demonstraţie. Avem x x = 0 W = x x x y = x y W = y x W = y x } x y = x y W } = x z = (x y) + (y z) W = x z. y z y z W Deoarece W + W = { x + y x, y W } = W şi αw = { αx x W } = W avem (x + W ) + (y + W ) = x + y + W, α(x + W ) = αx + W ceea ce arata că operaţiile cu clase de echivalenţa sunt bine definite (nu depind de reprezentantul ales). Elementul neutru este ˆ0 = 0 + W = W iar opusul lui ˆx este ˆx = x = x + W.

50 Elemente de algebră liniară Exerciţiul 2.26 Descrieţi spaţiul vectorial factor R 2 /W în cazul W = { (x, 0) x R }. Rezolvare. In acest caz (x, y) (x, y ) (x, y) (x, y ) W y = y. Rezultă că şi prin urmare, (x, y) = (x, y) + W = { (x, y) x R } R 2 /W = { (0, y) y R }. Observaţia 2.12 Trecerea de la R 2 la R 2 /W se realizează ignorând coordonata x, adică identificând vectorii (x, y) din R 2 cu acelaşi y. Teorema 2.37 Dacă W este subspaţiu vectorial al lui V atunci dim V/W = dim V dim W. Demonstraţie. Fie {v 1, v 2,..., v k } o bază a lui W pe care o completăm până la o bază {v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v n } a lui V. Arătăm că {ˆv k+1, ˆv k+2,..., ˆv n } este bază a lui V/W. Dacă x = α 1 v 1 +... + α k v k + α k+1 v k+1 +... + α n v n V atunci ˆx = α 1ˆv 1 +... + α kˆv k + α k=1ˆv k+1 +... + α nˆv n = α k+1ˆv k+1 +... + α nˆv n. Pe de altă parte dacă α k+1ˆv k+1 + α k+2ˆv k+2 +... + α nˆv n = 0 atunci α k+1 v k+1 + α k+2 v k+2 +... + α n v n W şi deci există α 1, α 2,..., α k K astfel încât α k+1 v k+1 + α k+2 v k+2 +... + α n v n = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α k v k relaţie care conduce la α k+1 = α k+2 =... = α n = 0.

Capitolul 3 Aplicaţii liniare 3.1 Definiţie şi exemple Definiţia 3.1 Fie V şi W spaţii vectoriale peste acelaşi corp K (unde K = R sau K = C). O aplicaţie A : V W : x Ax este numită aplicaţie liniară (sau aplicaţie K-liniară, sau transformare liniară) dacă A(αx + βy) = αax + βay, x, y V, α, β K. Observaţia 3.1 Vom utiliza notaţia L(V, W )={ A : V W A(αx+βy)=αAx+βAy, x, y V, α, β K }. În cazul în care V = W, adică în cazul în care aplicaţia este de forma A : V V în loc de aplicaţie liniară se mai utilizează termenul de operator liniar. Vom nota cu L(V ) mulţimea operatorilor liniari definiţi pe V, adică L(V ) = L(V, V ). Exerciţiul 3.1 Dacă A L(V, W ) atunci A0 = 0. 51