RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X δ = X graca relatve greške A Δ A δ R X vredost 100 RX azvamo PROCENTUALNA GREŠKA 1000 R azvamo PROMILNA GREŠKA X Pravlo koje važ: X A X X + A X X 1
PRIMER 1: Kolka je vredost zaokružvaja broja a 3 decmale? π = 3.141592654... π = 3.142 apomea: 1.15~1.2 // Ak je cfra spred 5 1.25~1.2 // Ak je eparo => zaokružujemo a Ak+1 // Ak je paro => ostaje Ak π Kako am je pozat ceo broj e možemo tačo da odredmo apsolutu grešku, zato ćemo tražt prblžu apsolutu grešku: Δ = = 3.141592654 3.142 0.0004073 5 10 A π π A π = 5 10 Relatva greška: R π = 1.3 10 graca apsolute greške. 0.0004073 δ = < 0.00013 = 3.142 graca relatve greške. R π 2
PRIMER 2: Kolka je vredost zaokružvaja broja e a 3 decmale? e = 2.7182818 e = 2.718 Poovo tražmo prblžu apsolutu grešku: Δ = = 2.7182818 2.178 0.0002818 3 10 Ae A e = 3 10 0.0002818 0.0001037 δ = < = R 2.718 e R e = 10 PRIMER 3: Kolka je vredost zaokružvaja broja 1.23456 a 2 decmale? (domać) 3
ZNAČAJNE I SIGURNE CIFRE Svak broj može da se zapše kao: X = α 10 + α 10 +... + α 10 +... + α 10 1 k+ 1 m+ 1 k m ZNAČAJNE CIFRE ekog broja su sve jegove cfre počevš od prve e ula cfre (gledao s leva). PRIMER: X = 0.006402100 = 6.402100 10 začaje cfre 3 Nula je začaja cfra ako se alaz zmeđu dve elula cfre Nula je začaja cfra ako čuva decmalo mesto: 1.2630 Začaja cfra je SIGURNA CIFRA ako za gracu apsolute greške važ: A w w k+ 1 X 10,0 < 1 Ako se za w može uzet 0.5 oda se za cfru kaže da je sgura užem smslu Ako se za w može uzet 1 oda se za cfru kaže da je sgura u šrem smslu. α k α k 4
PRIMER 4: Korstmo podatke z prvog prmera. π = 3.141592654... π = 3.142 A π = 5 10 Da l je 2 (treća cfra prlkom zaokružvaja) sgura u užem l šrem smslu? 3 A π 2 je sgura cfra u užem smslu, pa su cfre spred je = 5 10 < 5 10 sgure u užem smslu. PRIMER 5: Tača vredost ekog broja je X=99.98. Prblža vredost ovog broja je X=100.00 (za decmalog zareza mamo dve ule, proverćemo koja je od jh sgura u užem a koja u šrem smslu) Δ= 99.98 100 = 0.02 apsoluta greška AX = 0.02 2 A druga ula je sgura u užem smslu < 0.5 10 2 A < 1 10 druga ula je sgura u šrem smslu A < 0.5 10 1 prva ula je sgura u užem smslu. Ako je cfra sgura u užem smslu, oda je sgura u šrem smslu. 5
Važ ejedakost: w w R ( α + 1) 10 α 10 k X k 1 1 1 K broj sgurh cfara GREŠKA PRIBLIŽNE VREDNOSTI FUNKCIJE: Δ f = f(,,..., ) f(,,..., ) = 1 f = = 1 f Δf A = A X R f f R f PRIMER: Neka je S fukcja koja zavs od Npr: S = 1 + 2 +... + S = + +... + 1, 2,..., Neka je S=0.8956+1.735+436.5+125.8+12.34+0.0456 Uočmo oaj broj koj ma ajmaje decmala (postoje 2 takva broja) jh e mejamo, dok ostale brojeve zaokružujemo a 1 decmalu vše. Dobjamo: S=0.90 + 1.74 + 436.5 + 125.8 + 12.34 + 0.04 = 577.33 = 577.3 Posledja trojka se odbacuje obzrom da am je to esgura cfra (dobl smo je sabrajem zaokružeh brojeva) 6
Tačost sabrka (tačost sabraka + greška pr zaokružvaju sabraka + greška pr zaokružvaju zbra) A S 3 1 1 2 = + + + + + + 0.5 10 0.5 10 0.5 10 0.5 10 0.5 10 0.5 10 + 0.0044 + 0.005 + 0.0044 + + 0.03 = 0.1494 < 0.15 Tača vredost fukcje je: GREŠKA ZBIRA: S = 577.3 ± 0.15 Neka su,,..., > 0 tada je relatva greška jhovog zbra Rs A = = R = 1 1 +... + = 1 1 +... + VAŽI NEJEDNAKOST: m R Rs ma R 7
GREŠKA RAZLIKE: Neka su dva broja Njhova razlka je 1, 2 > 0 D = 1 2 D = Relatva greška za razlku je Graca relatve greške: Važ: R > R, D R D R = R + R D 1 2 1 2 Ako su brojev koje oduzmamo jako blsk, oda se javlja velka greška u račuu. PRIMER: = 3.01, = 3 1) Ako problem rešavamo sa 3 sgure cfre dobćemo da je: 1.73-1.73 = 0!!!! 2) Sa 4 sgure cfre problem ma sledeć oblk: 1.735-1.732 = 0.003 Ovo je tačj rezultat ALI brojev su zadat sa 4 sgure cfre a rešeje ma samo 1 sguru cfru! Želmo da dobjemo rešeje koje ma st broj sgurh cfara kao brojev sa kojma radmo. TRIK: Racoalsaje! 3.01 3 0.01 3.01 3 = = = 0.00289 3.01 + 3 1.73 + 1.73 8
GREŠKA PROIZVODA: Neka su dat brojev 1, 2,..., Njhov prozvod je P =... 1 2 Prblža vredost prozvoda Ovde posmatramo samo relatvu grešku: P =... R P = R = 1 PRIMER: Nać prozvod P=3.452 8.9 9.0582 0.0012 Prvo prmetmo da emaju sv brojev st broj decmala. Uočmo oaj broj koj ma ajmaje decmala ostale zaokružmo a 1 decmalu vše. P=3.45 8.9 9.06 0.0012 = 0.33382476 ~ 0.33 Koačo rešeje zaokružujemo a oolko začajh cfara kolko ma ajgrublj člac, tj. a 2 začaje cfre: P=0.33 9
GREŠKA KOLIČNIKA: Neka su dat brojev Njhov kolčk je: Q Q, 1 = 2 > 2, 0 = > 1, 2 0 2 R Q = R = 1 PRIMER: Nać površu valjka gracu relatve greške ako je r poluprečk osove r = 3.7 ± 0.05 h vsa valjka h = 8.2 ± 0.03 π = 3.142 2 Površa valjka: P = r πh + 2rπh = 2 rπ( r + h) P = 2 3.7 3.142 (3.7 + 8.2) = 276.6842 Relatva greška: 3 0.05 0.5 10 0.05 + 0.03 0.02 RP = Rr + Rπ + R( r+ h) = + + = 3.7 3.142 3.7 + 8.2 Ar + Ah 0.05 + 0.03 R( r+ h) = = r + h 3.7 + 8.2 10
INVERZNI PROBLEM GREŠKE: Ako mamo dat ek broj m, a želmo da odredmo sa kojom tačošću je potrebo da zadamo ulaze velče, tako da je graca apsolute greške bude maja od m korstmo sledeću formulu: f Af = A m X PRINCIP JEDNAKIH UTICAJA: (svh sabraka su jedak) broj promeljvh = 1 f f A =... = 1 m A f X1 X PRIMER: Sa kojom tačošću je potrebo zadat brojeve 1, 2, 3 tako da apsoluta greška fukcje bude maja od 0.0005? 2 1 + 2 f( 1, 2, 3) = 3 1 = 3.2835 2 = 0.93221 = 1.13214 3 A 11
Korstmo prcp jedakh utcaja. Grace apslolutue vredost za svak broj su sledeće: 3 0.5 10 3 A1 = = 0.19 10 1 3 3 2 1 + 2 3 2 3 3 3 0.5 10 A2 = = 0.10 10 22 3 3 3 3 0.5 10 A = = 0.51 10 12