Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala (a, b]
Uniformna raspodela Za sluqajnu promenljivu X kaжemo da ima uniformnu raspodelu na intervalu [a, b], a < b, i pixemo X : U(a, b), ako ima gustinu raspodele oblika f (x) = { 1 b a, f (x) 1 b a x [a, b], 0, x [a, b]. a b x Gustina raspodele za X : U(a, b)
Funkcija raspodele Funkcija raspodele sluqajne promenljive X sa uniformnom raspodelom na intervalu [a, b] je 0, x < a 1 F(x) = b a x a b a, a x < b 1, x b. F(x) 1 a b x Funkcija raspodele za X : U(a, b)
Pomo u funkcije raspodele F(x) moжe se izraqunati verovatno a proizvoljnog događaja {c < X < d} kao Primer P{c < X d} = F(d) F(c). Sluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu na intervalu [2; 4]. Odrediti funkciju raspodele sluqajne promenljive X, a zatim izraqunati verovatno e događaja: a) {X 3}, b) {1 < X 2, 5}, v) {2, 5 < X 3, 5}.
Rexenje Sluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu na intervalu [2; 4], xto znaqi da je a = 2 i b = 4, tako da je funkcija raspodele F(x) 0, x < 2, 1 F (x) = x 1, 2 x < 4, 2 1, x 4. 1 2 4 x Funkcija raspodele za X : U(2, 4)
Rexenje a) F(x) 1 2 3 4 x P{X 3} = F(3) = 1 2.
Rexenje b) F(x) 1 1 2 2, 5 4 x P{1 < X 2, 5} = F(2, 5) F(1) = F(2, 5) = 0, 25.
Rexenje v) F(x) 2 2, 5 3, 5 4 x P{2, 5 < X 3, 5} = F(3, 5) F(2, 5) = 0, 5.
Normalna (Gausova) raspodela Za sluqajnu promenljivu X kaжemo da ima normalnu raspodelu sa parametrima m R i σ 2 > 0 i pixemo X : N (m, σ 2 ), ako je njena gustina raspodele oblika f (x) = 1 (x m)2 e 2σ 2, x R. 2πσ 2 f (x) m x
Osobine gustine raspodele Gustina raspodele je pozitivna funkcija, tj. za svako x R vaжi f (x) > 0. Gustina raspodele je simetriqna u odnosu na pravu x = m, tj. za svako x R vaжi f (m + x) = f (m x). Gustina raspodele dostiжe maksimum u x = m i on iznosi f (m) = 1/ 2πσ 2. Gustina raspodele konvergira ka 0 kada x teжi ka ili, tj. vaжi lim f (x) = lim f (x) = 0. x x
F(x) x Grafik funkcije raspodele za X : N (m, σ 2 ) Osobine funkcije raspodele Funkcija raspodele je pozitivna i rastu a funkcija. Funkcija raspodele konvergira ka 0 kada x teжi ka i konvergira ka 1 kada x teжi ka, tj. vaжi lim x F(x) = 0 i lim x F(x) = 1.
Normalnu raspodelu imaju visina ljudi, koliqina padavina u toku godine, pritisak i tako dalje. Mnoge diskretne raspodele se mogu svesti na normalnu raspodelu, ako je broj mogu ih vrednosti veliki, a one su bliske jedna drugoj. Promena vrednosti parametara m i σ 2 utiqe na grafik gustine raspodele.
Promena vrednosti parametra m m = 2 m = 0 m = 2 x
Promena vrednosti parametra σ 2 σ 2 = 1/4 σ 2 = 1 σ 2 = 4 x
Standardna normalna raspodela Ukoliko sluqajna promenljiva koja ima normalnu raspodelu ima parametre m = 0 i σ 2 = 1, tada kaжemo da ima standardnu normalnu raspodelu. Ovu sluqajnu promenljivu najqex e oznaqavamo sa X i pixemo X : N (0, 1). f (x) F(x) 0 x 0 x
Verovatno e P{a X b} izraqunavaju se pomo u funkcije Φ(t) = P{0 X t}. f (x) 0 t x
Vrednosti funkcije Φ(t) t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0.0000.0040.0080.0120.0160.0199.0239.0279.0319.0359 0.1.0398.0438.0478.0517.0557.0596.0636.0675.0714.0754 0.2.0793.0832.0871.0910.0948.0987.1026.1064.1103.1141 0.3.1179.1217.1255.1293.1331.1368.1406.1443.1480.1517 0.4.1554.1591.1628.1664.1700.1736.1772.1808.1844.1879 0.5.1915.1950.1985.2019.2054.2088.2123.2157.2190.2224 0.6.2258.2291.2324.2357.2389.2422.2454.2486.2518.2549 0.7.2580.2612.2642.2673.2704.2734.2764.2794.2823.2852 0.8.2881.2910.2939.2967.2996.3023.3051.3078.3106.3133 0.9.3159.3186.3212.3238.3264.3289.3315.3340.3365.3389 1.0.3413.3438.3461.3485.3508.3531.3554.3577.3599.3621 1.1.3643.3665.3686.3708.3729.3749.3770.3790.3810.3830 1.2.3849.3869.3888.3907.3925.3944.3962.3980.3997.4015 1.3.4032.4049.4066.4082.4099.4115.4131.4147.4162.4177 1.4.4192.4207.4222.4236.4251.4265.4279.4292.4306.4319 1.5.4332.4345.4357.4370.4382.4394.4406.4418.4429.4441 1.6.4452.4463.4474.4484.4495.4505.4515.4525.4535.4545 1.7.4554.4564.4573.4582.4591.4599.4608.4616.4625.4633 1.8.4641.4649.4656.4664.4671.4678.4686.4693.4699.4706 1.9.4713.4719.4726.4732.4738.4744.4750.4756.4761.4767
Primer Pretpostavljaju i da sluqajna promenljiva X ima standardnu normalnu raspodelu, odrediti verovatno e slede ih događaja: a) {1, 21 X 2, 52}, b) { 1, 24 X < 2, 58}, v) { 0, 52 < X 0, 52}, g) { 2, 12 X 1, 17}, d) {X 3, 01}, đ) {X < 1, 36}, e) {X < 2, 59}, ж) {X 3, 56}. Rexenje a) 1, 21 2, 52 P{1, 21 X 2, 52}=Φ(2, 52) Φ(1, 21)=0, 4941 0, 3869=0, 1072.
Rexenje b) 1, 24 2, 58 P{ 1, 24 X < 2, 58}=Φ(2, 58) + Φ(1, 24)=0, 4951 + 0, 3925=0, 8876.
Rexenje v) 0, 52 0, 52 P{ 0, 52 < X 0, 52} = Φ(0, 52) + Φ(0, 52) = 2 0, 1985 = 0, 397.
Rexenje g) 2, 12 1, 17 P{ 2, 12 X 1, 17}=Φ(2, 12) Φ(1, 17)=0, 483 0, 379=0, 104.
Rexenje d) 3, 01 P{X 3, 01} = 0, 5 Φ(3, 01) = 0, 5 0, 4987 = 0, 0013.
Rexenje đ) 1, 36 P{X < 1, 36} = 0, 5 Φ(1, 36) = 0, 5 0, 4131 = 0, 0869.
Rexenje e) 2, 59 P{X < 2, 59} = 0, 5 + Φ(2, 59) = 0, 5 + 0, 4952 = 0, 9952.
Rexenje ж) 3, 56 P{X 3, 56} = Φ(3, 56) + 0, 5 = 0, 4998 + 0, 5 = 0, 9998.
Standardizacija Postupak prelaska sa normalne raspodele N (m, σ 2 ) na standardnu normalnu raspodelu N (0, 1) zove se standardizacija. Veza između sluqajnih promenljivih X i X koje imaju redom N (m, σ 2 ) i N (0, 1) raspodele zadata je formulom X = X m σ 2. Tada vaжi P{a X b} = P { a m σ 2 X b m }. σ 2
Primer Vodostaj (izraжen u cm) jedne reke ima normalnu raspodelu N (150, 100). Odrediti verovatno u da e sluqajno izabranog dana vodostaj: a) biti manji od 140 cm, b) biti ve i od 170 cm, v) biti između 135 i 160 cm, g) biti ve i od 120 cm, d) biti manji od 165 cm. Rexenje Neka je X sluqajna promenljiva koja predstavlja vodostaj reke sluqajno izabranog dana. Sluqajna promenljiva X ima normalnu N (150, 100) raspodelu, tako da je potrebno izvrxiti standardizaciju. Kako je m = 150 i σ 2 = 100, odnosno σ = 100 = 10, to je formula standardizacije X = X 150 10.
Rexenje a) { X 150 P{X < 140} = P < 10 = 0, 5 Φ(1) = 0, 1587. } 140 150 = P{X < 1} 10 b) { X 150 P{X > 170} = P > 10 = 0, 5 Φ(2) = 0, 0228. } 170 150 = P{X > 2} 10 v) { 135 150 P{135 X 160} = P X 150 10 10 = P{ 1, 5 X 1} = Φ(1, 5) + Φ(1) = 0, 7745. } 160 150 10
Rexenje g) P{X > 120} = { } X 150 120 150 P > = P{X > 3} 10 10 = Φ(3) + 0, 5 = 0, 9987. d) P{X < 165} = { } X 150 165 150 P < = P{X < 1, 5} 10 10 = 0, 5 + Φ(1, 5) = 0, 9332.
χ 2 raspodela Neka su sluqajne promenljive X 1, X 2,..., X n nezavisne i neka svaka ima standardnu normalnu N (0, 1) raspodelu. Za sluqajnu promenljivu Y definisanu formulom Y = X 2 1 + X 2 2 + + X 2 n kaжemo da ima χ 2 raspodelu sa n stepeni slobode i pixemo Y : χ 2 n.
f (x) n = 1 n = 2 n = 3 n = 5 x Grafik gustine raspodele χ 2 n raspodele
F(x) n = 1 n = 2 n = 3 n = 5 x Grafik funkcije raspodele χ 2 n raspodele
Verovatno e P{a χ 2 n b} izraqunavaju se pomo u funkcije h n (x) = P{X x}. f (x) x x
n \ p 0.005 0.010 0.025 0.050 0.95 0.975 0.990 0.995 1.0000.0002.0010.0039 3.84 5.02 6.63 7.88 2.0100.0201.0506.103 5.99 7.38 9.21 10.6 3.0717.115.216.352 7.81 9.35 11.3 12.8 4.207.297.484.711 9.49 11.1 13.3 14.9 5.412.554.831 1.15 11.1 12.8 15.1 16.7 6.676.872 1.24 1.64 12.6 14.4 16.8 18.5 7.989 1.24 1.69 2.17 14.1 16.0 18.5 20.3 8 1.34 1.65 2.18 2.73 15.5 17.5 20.1 22.0 9 1.73 2.09 2.70 3.33 16.9 19.0 21.7 23.6 10 2.16 2.56 3.25 3.94 18.3 20.5 23.2 25.2 11 2.60 3.05 3.82 4.57 19.7 21.9 24.7 26.8 12 3.07 3.57 4.40 5.23 21.0 23.3 26.2 28.3 13 3.57 4.11 5.01 5.89 22.4 24.7 27.7 29.8 14 4.07 4.66 5.63 6.57 23.7 26.1 29.1 31.3 15 4.60 5.23 6.26 7.26 25.0 27.5 30.6 32.8 16 5.14 5.81 6.91 7.96 26.3 28.8 32.0 34.3 17 5.70 6.41 7.56 8.67 27.6 30.2 33.4 35.7 18 6.26 7.01 8.23 9.39 28.9 37.5 34.8 37.2 19 6.84 7.63 8.91 10.1 30.1 32.9 36.2 38.6 20 7.43 8.26 9.59 10.9 31.4 34.2 37.6 40.0
Primer Neka sluqajna promenljiva X ima χ 2 5 raspodelu. Odrediti slede e verovatno e: a) P{X < 0, 412}, b) P{X 0, 831}, v) P{0, 554 < X 1, 15}. Rexenje a) f (x) 0, 412 x P{X < 0, 412} = h 5 (0, 412) = 0, 005.
Rexenje b) f (x) 0, 831 x P{X 0, 831} = 1 h 5 (0, 831) = 0, 975.
Rexenje v) f (x) 0, 554 1, 15 x P{0, 554< X 1, 15}=h 5 (1, 15) h 5 (0, 554)=0, 05 0, 01=0, 04.
Studentova raspodela Neka su sluqajne promenljive X:N (0, 1) i Y :χ 2 n nezavisne. Za sluqajnu promenljivu T definisanu formulom T = X Y n kaжemo da ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode i pixemo T : t n.
f (x) n = 1 n = 5 n = 10 n = 30 x Grafik gustine raspodele t n raspodele
F(x) n = 1 n = 5 n = 10 n = 30 x Grafik funkcije raspodele t n raspodele
Verovatno e P{a t n b} izraqunavaju se pomo u funkcije t n (x) = P{0 X x}. f (x) 0 x
n \ p 0.100 0.200 0.300 0.400 0.450 0.475 0.490 0.495 1.325.727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2.289.617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3.277.584.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4.271.569.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.267.559.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.265.553.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7.263.549.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8.262.546.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9.261.543.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10.260.542.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11.260.540.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12.259.539.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13.259.538.870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14.258.537.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15.258.536.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16.258.535.865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17.257.534.863 1.133 1.740 2.110 2.567 2.898 18.257.534.862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19.257.533.861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20.257.533.860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
Primer Neka sluqajna promenljiva X ima Studentovu t 5 raspodelu. Odrediti verovatno e: a) P{0, 267 X 1, 476}, b) P{ 0, 267 X 1, 476} i v) P{ 1, 476 X 0, 267}. Rexenje a) f (x) 0, 267 1, 476 P{0, 267 X 1, 476} = t 5 (1, 476) t 5 (0, 267) = 0, 3.
Rexenje b) f (x) 0, 267 1, 476 P{ 0, 267 X 1, 476} = t 5 (0, 267) + t 5 (1, 476) = 0, 5.
Rexenje v) f (x) 1, 476 0, 267 P{ 1, 476 X 0, 267} = t 5 (1, 476) t 5 (0, 267) = 0, 3.