Sondajul statistic -III

Σχετικά έγγραφα
Sondajul statistic- II

Cercetarea prin sondajul II Note de curs prelegere master data 24 oct.2013

Noţiuni de verificare a ipotezelor statistice

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Statistica matematica

LUCRARE DE LABORATOR NR. 1 MASURARI IN INSTALATII TERMICE. PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE CARACTERISTICILE METROLOGICE ALE APARATELOR DE MASURA

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

CURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate

CAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ

Statistica descriptivă. Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu

ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA

Elemente de teoria probabilitatilor

Curs 3. Biostatistica: trecere in revista a metodelor statistice clasice

Statistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu

Productia (buc) Nr. Salariaţi Total 30

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)

Analiza univariata a datelor

ANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:

Curs 3. Spaţii vectoriale

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE

2. Metoda celor mai mici pătrate

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =

Universitatea din București, Facultatea de Chimie, Specializarea: Chimie Medicală/Farmaceutică

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,

Analiza bivariata a datelor

Teste de autoevaluare

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

VII. STATISTICĂ 7.1. INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE Mărimile medii Media aritmetică

1. Modelul de regresie

PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE

3. INDICATORII STATISTICI

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL

Probabilități și Statistică 1.1. Metoda Monte-Carlo

METODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPARTIŢII. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME. METODA MOMENTELOR.

Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE

STATISTICĂ MARINELLA - SABINA TURDEAN LIGIA PRODAN

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Teoria aşteptării- laborator

Laboraratorul 3. Aplicatii ale testelor Massey si

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

8.3. Estimarea parametrilor

INTRODUCERE. Obiectivele cursului

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

PRELEGEREA IV STATISTICĂ MATEMATICĂ

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Formula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă

METODE DE OPTIMIZARE. Lucrarea 8 1. SCOPUL LUCRĂRII 2. PREZENTAREA TEORETICĂ 2.1. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE 2.2. COEFICIENTUL DE CORELAŢIE

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Curs 4 Serii de numere reale

TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ

Tema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

CURS 6 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ (continuare)

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE

Statistică şi aplicaţii în ştiinţele sociale TESTE NEPARAMETRICE Teste parametrice versus teste neparametrice

MARCAREA REZISTOARELOR

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor

Clasificarea. Selectarea atributelor

METODA REFRACTOMETRICĂ DE ANALIZĂ

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Din această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

2. Algoritmi genetici şi strategii evolutive

Introducere în Econometrie

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

riptografie şi Securitate

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

Lucrarea nr. 6 Asocierea datelor - Excel, SPSS

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:

Referenţi ştiinţifici Conf.univ.dr.ing. Radu CENUŞĂ Prof.univ.dr.ing. Norocel Valeriu NICOLESCU

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

Transcript:

STATISTICA Sodajul statstc -III tema 9 sapt.3-7 aprle 1 al.sac-mau www.amau.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studet/de.asp?tem=fsere&id=88 Dstrbuta ormala Dstrbuta ormala Cea ma mportata dstrbute cotua: umeroase varable aleatoare pot f adecvat modelate daca sut ormal dstrbute. Multe dstrbut pot f apromate prtr-o dstrbute ormala. Dstrbuta ormala este patra de temele a ferete statstce. 3 1

Legea ormală (Gauss-Laplace) Ua d potezele fudametale sodajul statstc este ormaltatea (aparteeţa la legea Gauss-Laplace) a caracterzăr vestgate este ecesar să dscutăm despre această lege statstcă. Modelul Gauss-Laplace uzual, d puct de vedere matematc repreztă o repartţe statstcă deftă de fucţa de repartte ude 1 ( ) ( µ ) ; µ ; = ep F π µ R, >, R d Respectv fucta de frecveta f ( ) 1 ep π ( µ ) = sau fucţa de destatearepartte varable aleatoare mărmea fzcă măsurată ş care reprezetată grafc are becuoscuta formă de clopot (aşa-umtul clopot al lu Gauss ) Se şte că o fucţe de destatetrebue să îdeplească următoarele cerţe: () f( ), D ş () f( ) d 1 = ude D este domeul de defţe al varable, î D cazul ostru dreapta reală, R. Scurt storc legea ormala (1) Orgea acestu model o găsm î lucrarea Dalog despre cele două ssteme fudametale ale lum a lu Galleo GALILEI (1564-164), î care el îş epue părerle refertoare la măsurarea dstaţelor dtre dferte corpur cereşt: Galle cosdera că: erorle îtâmplătoare sut evtable î observaţle obţute cu dverse mjloace de măsurare erorle mc au şase ma mar de aparţe decât cele mar sau foarte mar măsurărle td să se dstrbue apromatv egal la stâga ş la dreapta ue valor de referţă majortatea valorlor observate td să se grupeze ( să se acuască ) î jurul aceste valor de referţă

( ) Repartţa ormală apare de fapt petru prma oară î 1733 îtr-o lucrare a lu Abraham de MOIVRE (1667-1754), matematca cuoscut ma curâd pr formula Movre refertoare la umerele complee Aba odată cu lucrărle lu Carl Fredrch GAUSS (1777-1855) ş cele ale lu Perre Smo, Marqus de LAPLACE (1749-187) se pu î lumă propretăţle ş mportaţa deosebtă a aceste leg statstce ca descrptor ţal al comportăr erorlor de observaţe (Gauss, 189 î Theora Motus Corpum Caelestum Laplace (181/1811 î Theore aaltque des Probabltes d 181) arată rolul teoretc (ş practc) ecepţoal jucat de legea ormală pr aşa-umta TEOREMĂ LIMITĂ CETRALĂ. Cateva propretat ale leg ormale grafcul fucţe are u sgur mamum petru =µ s două fleu de abscse =µ± µ parametr descrptor ş au semfcaţa mede ş dspersa teoretce: M ( ) = µ ; var( ) = tervalul [ µ 3 µ, + 3] coţe apromatv 99,73% d valorle mărm. Varabla U= ( µ/ )se umeste varabla ormală stadard(sau stadardzată) ş are fucţa de destate respectv de repartţe F f 1 ( u) = ep( / ) u π t / ( u) = e dt varabla U are meda Oş dspersa 1. 1 π u Aceste fucţ au fost tabelate ţal de către Laplace. 3

Grafce ale leg ormale Eror verfcarea potezelor statstce (Hypothess testg errors) Eror î procesul de verfcare a potezelor statstce: H / H1 Eroare de geul îtâ: poteza H se respge, câd ea este adevărată. Eroare de geul al dolea: poteza H1 se admte, câd ea este falsă. Probabltăţle de a f comse cele două tpur de eror sut: probabltatea eror de geul îtâ rsc de geul I ş respectv probabltatea eror de geul al dolea-rsc de geul II. 4

vel de îcredere (Cofdece level) Valoarea P = ( 1 α) a probabltăţ asocate uu terval de îcredere. Prob = ( 1 α) poate f eprmat î procete [ ( 1 α) 1]. vel (prag) de îcredere (α ) (Cofdece level or sgfcace level) Terme folost petru a dca probabltatea eror de geul îtâ (α ). Som: vel de semfcaţe. vel de semfcaţe (Sgface level) Valoarea dată a lmte superoare a probabltăţ de eroare de tpul I. velul de semfcaţe se otează cu α. Test statstc (Statstcal test) Procedura statstcă pr care se decde dacă poteza ulă poate f respsă î favoarea poteze alteratve sau u Î geeral, u test prea apror o aumtă poteză, care trebue verfcată (de eemplu, poteza de depedeţă a observaţlor, poteza de ormaltate etc.). Testele pot f costrute cu ajutorul mede artmetce ş cu ajutorul altor varable aleatoare de sodaj, acestea umdu-se de regulă statstc deczoale ale testulu statstc Testarea ormaltăţ Verfcarea faptulu că datele epermetale obţute sut repartzate după legea Gauss-Laplace se poate face î ma multe modur, ş aume: algebrc (utlzâd dcator de eşatoaj cu propretăţle lor specfce î cazul leg ormale); grafc (folosd aşa-umtele hârt sau reţele de tp probablst) aaltc (utlzâd procedee statstce specale aşa umtele teste de cocordaţă ). 5

Testul h-pătrat - testul χ (Ch-squared test) Testul statstc î care, petru valdarea poteze ule, statstca utlzată presupue esteţa repartţe χ. Testul este aplcat, de eemplu, la următoarele probleme: a. testul de egaltate ître varata ue populaţ ormale ş o valoare specfcată, statstca testulu avâd la bază varata eşatoulu; b. comparaţa ître efectvele teoretce ş cele observate; c. î valdarea ue leg de repartţe, ca de pldă cea ormală. O formă clască de costrure a regu crtce a testulu χ este următoarea: Fe o varablă care poate lua valorle 1,,, m, cu probabltăţle p1, p,, pm. Fe 1,,,m frecveţele de aparţe a valorlor 1,,, m, îtr-u eşato de volum. Reguea crtcă a testulu χ petru verfcarea poteze p1 = p = = pm se costrueşte pe baza dcatorulu statstc de forma: ( p ) p = 1 care petru are repartţa χ cu 1 grade de lbertate. Dstrbut de esatoare 1.Itroducere Ipractca, parametr ue populat u se calculeaza deoarece populatle sut foarte mar Decat sa se vestgheze treaga populate, se a u esato, se calculeaza o statstcalegata de u parameterude teres, s se realzeaza o fereta. Dstrbuta de esatoare astatstceste u strumet care e arata cat de apropata este statstca de parametru 17 Dstrbuta de esatoare a mede U eemplu: U zar este arucat de foarte multe or. Fe umarul orcare arucar. Probabltatea de dstrbute a lu este: 1 3 4 5 6 P() 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 M() = 1(1/6) + (1/6) + 3(1/6)+ = 3.5 V() = (1-3.5) + (-3.5) +. =.9 18 6

Presupuem ca dorm sa estmam µd meda uu esato de dmesue =. Care este dstrbuta pe care o urmeaza? Esato Mede Esato Mea Esato Mede 1 1,1 1 13 3,1 5 5,1 3 1, 1,5 14 3,,5 6 5, 3,5 3 1,3 15 3,3 3 7 5,3 4 4 1,4,5 16 3,4 3,5 8 5,4 4,5 5 1,5 3 17 3,5 4 9 5,5 5 6 1,6 3,5 18 3,6 4,5 3 5,6 5,5 7,1 1,5 19 4,1,5 31 6,1 3,5 8, 4, 3 3 6, 4 9,3,5 1 4,3 3,5 33 6,3 4,5 1,4 3 4,4 4 34 6,4 5 11,5 3,5 3 4,5 4,5 35 6,5 5,5 1,6 4 4 4,6 5 36 6,6 6 19 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 Esato Mede Esato Mede Esato Mede 1 1,1 1 13 3,1 5 5,1 3 1, 1,5 14 3,,5 6 5, 3,5 3 1,3 15 3,3 3 7 5,3 4 4 1,4,5 16 3,4 3,5 8 5,4 4,5 5 1,5 3 17 3,5 4 9 5,5 5 6 1,6 3,5 18 3,6 4,5 3 5,6 5,5 7 otam,1 1,5 : µ 19 = µ 4,1 s,5 31 = 6,1 3,5 8, 4, 3 3 6, 4 9,3,5 1 4,3 3,5 33 6,3 4,5 1,4 3 4,4 4 34 6,4 5 11,5 3,5 3 4,5 4,5 35 6,5 5,5 1,6 4 4 4,6 5 36 6,6 6 M( ) =1.(1/36)+ (/36)+.=3.5 V() = (1.- 3.5) (1/36)+ (-3.5) (/36)... = 1.46 1/36 1..5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. Varata mede esatoulu este ma mca decat varata populate. Mede = Mede = Mede =..5 Populate 1.5.5 3.5.5 Compara mprasterea d.5.5 populate cu Sa luam esatoae mprasterea.5 mede esatoulu. d cele doua.5.5 observat.5.5.5.5 De asemeea, Valoarea asteptata a populate = (1 + + 3)/3 = Valoarea asteptata a mede esatoulu = ( + +.5)/3 = 1 7

Dstrbuta de esatoare a mede esatoulu 1. µ = µ. = 3. Daca este Daca u este ormala, este ormala ormala. este apromat v ormal dstrbut a petru o dmesue a esatoul u sufcet de mare. Termologe Meda populańe vestgate = = 1 Meda de eşato (de selecţe) estmator petru meda populaţe vestgate Dspersa populańe vestgate Dspersa de eşato (de selecţe) estmator petru dspersa populaţe vestgate ( ) = 1 S = 1 < < + = = 1 = = 1 ( ) Iterval de îcredere dublă egaltate probablstă ce apare î urma fereţe statstce Sodajul aleator smplu cu revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă = µ Z 3. Eroarea mede de reprezetatvtate µ = dacă >3 atuc: S vom avea: µ = S 4. Stablrea volumulu eşatoulu = S Z Z S rezultă: = 8

Sodajul aleator smplu fără revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă µ = < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă 3. Eroarea mede de reprezetatvtate 1 (factor de corecńe) S = 1 Z dacă >3 atuc: vom avea: 4. Stablrea volumulu eşatoulu rezultă: = µ Z S S µ = 1 Z S = Z S + Sodajul statstc ş regula de aduare a dsperslor Regula aduăr dsperslor spuea că: = δ + (5) Sodaj Aleator Smplu Sodaj Cluster Sodaj Stratfca t 11.Aprle.11 6 Sodajul aleator stratfcat-cu revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă = µ Z 3. Eroarea mede de reprezetatvtate(eroarea mede ) (1' ') ('') µ = dacă >3 atuc: S vom avea: µ = S (3' ') 7 4. Stablrea volumulu eşatoulu = S Z de ude rezultă: 11.Aprle.11 Z S = (4'') 9

Sodajul aleator stratfcat-fără revere 8 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă µ = < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă 3. Eroarea mede de reprezetatvtate 1 (factor de corecńe) S = 1 Z = µ Z dacă >3 atuc: S dec : 4. Stablrea volumulu eşatoulu 11.Aprle.11 de ude rezultă: S µ = 1 Z S = Z S + (1' '') (''') (3' '' ) (4''') Repartzarea volumulu eşatoulu pe stratur (grupe) Să presupuem că avem u eşato de volum utăţ statstce dtr-o populaţe de utăţ statstce grupate î r grupe (stratur) după o aumtă varablă: repartzareaegală Î fecare dtre cele r grupe se repartza câte /r utăţ statstce repartzarea proporńoală Î fecare dtre cele r grupe se repartza utăţle statstce proporţoal cu poderle g celor r grupe. Formula petru g = poder: repartzarea optmă Formula de repartzare: = g Î fecare dtre cele r grupe se repartza utăţle statstce proporţoal cu poderle y celor r grupe ş ţâd cot ş de mărmea dsperse d terorul fecăre grupe. * S * Formula petru g = Formula de S = g 11.Aprle.11 9 poder: repartzare: Tema -aplcaţe (1) Petru a cuoaşte velul medu al producţe zlce obţute de agajaţ ue frme, s-a etras aleator, proporţoal ş erepetat u eşato de =1 de agajaţ ce repreztă 1%d umărul total de agajaţ a frme Î prealabl agajaţ au fost împărţt, î fucţe de vechme, î tre grupe: I) agajaţ cu vechme ma mcă de 5 a; II) agajaţ cu vechme ître 5 ş 1 a ş III) agajaţ cu vechme ma mare de 1 a. S-au cules formaţle, s-au efectuat prelucrărle ş s-au obţut următoarele rezultate: 11.Aprle.11 3 1

Aplcaţe () I) î prma grupă de vechme, ce 5 de agajaţ au produs î mede 15 bucăţ pe z cu o dsperse de 1 II) î a doua grupă de vechme, ce 5 de agajaţ au produs î mede bucăţ pe z, cu u coefcet de varaţe de % III) î a trea grupă, dtre ce 5 de agajaţ ce ma mulţ au produs 7 de bucăţ, meda artmetcă a fost de 5 bucăţ ar coefcetul de asmetre (Pearso) a îregstrat o valoare de -,33 11.Aprle.11 31 Aplcaţe (3) Cu o probabltate de 95,45% (Z=) se cere: a) Să se stablească lmtele ître care se va îcadra producţa mede la velul îtreg frme b) Să se stablească u terval de îcredere petru producţa totală a fabrc îtr-o z c) Să se determe volumul oulu eşato dacă dorm să reducem eroarea lmtă de 1,5 or ş să se repartzeze optm pe grupe (stratur) 11.Aprle.11 3 Aplcaţe (4) Sstematzarea formaţe dspoble =1 agajaţ =1%* =1 agajaţ P=95,45% Z= Grupa de vechme I (vechme sub 5 a) I = 15 buc I =5 agajaţ S I=1 11.Aprle.11 33 11

Aplcaţe (5) Grupa de vechme II (vechme ître 5 ş 1 a) II =5 agajaţ CVII = SII II 1= % II = buc CV=% II S II = = 4 buc 1 S II=16 Grupa de vechme III (vechme peste 1 a) III =5 agajaţ Mo=7 bucăţ III = 5 buc C as =-,3333 34 Cas III = =,333 III MoIII SIII 11.Aprle.11 5 7,333= SIII S III =6 bucăţ S III=36 Aplcaţe (6) Tabel 1. Iformaţle calculate ş sstematzate coloaa 1 repreztă împărţrea ţală (proporţoală a eşatoulu pe stratur/ grupe) coloaa repreztă valoarea mede petru fecare strat/ grupă coloaa 3 repreztă dspersa d terorul fecăru strat/ grupă 11.Aprle.11 35 1