1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........ 1 9. dredivanje - vrijednosti...... 5.snovnerelacije... 19 10.Grafičkiprikaz... 5 5. Parnost i neparnost................. 5 11. Jednadžbe i nejednadžbe... 70. Periodičnost... 8 1.Rješenja zadataka.......... 79 1.1. Brojevna kružnica Brojevni pravac Na pravcu p istaknimo dvije različite točke i E.Točki pridružimo broj 0, a točki E broj 1. Svakoj točki pravca p možemo pridružiti jedan realan broj. Vrijedi i obratno, svakom realnom broju pridružena je jedna točka pravca p (slika 1.1.. E p - -1.5-1 0 1 Sl. 1.1. Brojevni pravac. Pravac p zajedno s tim pridruživanjem naziva se brojevni pravac ili koordinatna os. Točka naziva se ishodište koordinatnog sustava na pravcu, a točka E jedinična točka. Dužina E zove se jedinična dužina brojevnog pravca p.

1. TRGNMETRJSKE FUNKCJE REALNG BRJA Brojevna kružnica Neka je k kružnica središta i polumjera r=1, a točka neka je točka kružnice k. k Sl. 1.. Brojevni pravac p dira kružnicu k, d(, =d(, E =1. E p Uočimo brojevni pravac p koji dira kružnicu k utočki koja je ujedno i ishodišna točka pravca p. Neka je jedinična dužina E brojevnog pravca p jednaka polumjeru kružnice k,pričemu je točka E postavljena tako da ako se krećemo od točke do točke E preko,gibanje ima pozitivan smjer, tj. smjer suprotan od gibanja kazaljke na satu (slika 1... Pravac p namotajmo bez klizanja i rastezanja na kružnicu k tako da polupravac s pozitivnim brojevima namatamo u pozitivnom smjeru, a polupravac na kojemu su smješteni negativni brojevi u negativnom smjeru (slika 1... Kako je svakom realnom broju pridružena točno jedna točka pravca p, ovim namatanjem smo svakom realnom broju pridružili točno jednu točku kružnice. vo pridruživanje zovemo eksponencijalno preslikavanje pravca na kružnicu i označavamo s E. k t 1 t Sl. 1.. Namatanje pravca na kružnicu. t 1 E t p Brojevna kružnica Kružnicu k zajedno s eksponencijalnim preslikavanjem E : R k nazivamo brojevna ili trigonometrijska kružnica. Broju 0 je pridružena točka. Kako je duljina jedinične kružnice jednaka, to se broj preslikava opet u točku. Dalje, broj preslikava se u točku. Duljina jedinične polukružnice je,pasebroj preslikava u točku (slika 1.. koja je dijametralno suprotna točki. Ali isto tako, i brojevi = +, 5 = +,... se takoder - preslikavaju u točku. Četvrtina kružnice ima duljinu,paznači da se u točku C preslikava broj, aliibrojevi +, +,... (slika 1...

1.1. BRJEVNA KRUŽNCA _ = 5 C= =......= = _ = =0= =... = 7 =... t=t+k Sl. 1.. Točke koje su na pravcu udaljene za na kružnici imaju isti položaj. Dakle, = 0 = = = =..., tj. = k, k Z, = = = =5 =..., tj. = (k + 1, k Z, ( ( ( ( C = E = E + = E =..., tj. C = E + k, k Z. pćenito možemo zaključiti da se svake dvije točke koje su na pravcu udaljene za ili za višekratnik broja namatanjem stope u jednu točku kružnice, tj. vrijedi t + k =t za svaki t R i k Z. a c Primjer 1. Nacrtajmo t,akojet jednako:,,, 5, 7 ; b,,, 5 ;,,,, 5. a _ Sl. 1.5. Četvrtina polukružnice ima duljinu ««««. 5 7 Točke E, E, E, E dijele četvrtine kružnice na jednake dijelove. 5 7

1. TRGNMETRJSKE FUNKCJE REALNG BRJA b Sl. 1.. Trećina polukružnice ima duljinu ««. Točke E i E dijele gornju polukružnicu na tri jednaka dijela. 5 c 5 ««5 Sl.1.7.Točke E,...,E dijele gornju polukružnicu na šest jednakih dijelova. Primjer. Za realni broj t = 19 takve da vrijedi t =t 1 =t. Kako je 19 = + [0, to je t 1 =. Broj t računamo ovako: 19 =( + + pa je t = 7 =( +( + = + 7, [, 8. i na - dimo brojeve t 1 [0,, t [, 8, = 19 = 7 p 19 Sl. 1.8. Brojevi,, 7 preslikavaju se u istu točku trigonometrijske kružnice.

1.1. BRJEVNA KRUŽNCA 5 Zadaci 1.1 1. Na brojevnoj kružnici odredi točke t ako je t : a ; b ; c 5 ; 1 d ; e ; f 171 5 ; g 1998 89 ; h 7 ; i 1999.. Na brojevnoj kružnici skiciraj položaj točke t ako je t : a 1; b 1.5 ; c 1.785 ; d 1988 ; e 1; f 0. ; g 110 ; h 0.8 ; i.7 ; pri čemu uzmi da je.1159.. dredi t [0, takav da je t = ako je zadan : a 1 ; b 1 ; c 11 ; d ; e 19 ; f 1999.. dredi t [0, takav da je t = ako je zadan : a 11 1 17 ; b ; c ; d 15 ; e 7 ; 5 f 7 10. 5. dredi t [0, takav da je t = ako je zadan : a 1.8 ; b.1 ; c 10.1 ; d 8; e 101 ; f 7.51, pri čemu uzmi da je.1.. dredi t [, 0 takav da je t = ako je zadan : a 1 ; b 1 ; c 5 ; d 15 1 ; e ; f 18 17 5. 7. dredi t [10, 1 takav da je t = ako je zadan : a ; b ; c ; d ; e 5 ; f 5.

1. TRGNMETRJSKE FUNKCJE REALNG BRJA 1.. Definicija trigonometrijskih funkcija Funkcije sinus i kosinus Brojevnu kružnicu k(, r = 1 smjestimo u koordinatni sustav u ravnini tako da se ishodište koordinatnog sustava podudara sa središtem kružnice k,a os neka se poklapa s pravcem (slika 1.9.. sin t t E cos t k p Sl. 1.9. Koordinate točke t su kosinus i sinus broja t. Sada je brojevni pravac p paralelan s osi, a njegove točke i E imaju koordinate (1, 0 i (1, 1 redom. Kao što smo već opisali, realnom broju t pridruženajetočka t kružnice k. Kosinus i sinus realnog broja Apscisa točke t naziva se kosinus broja t ioznačava se s cos t. rdinata točke t naziva se sinus broja t i označava se sa sint. Funkcija koja broju t pridružuje broj cos t naziva se kosinus ioznačava se sa cos, a funkcija koja broju t pridružuje broj sin t naziva se sinus i označava se sa sin. Funkcije kosinus i sinus definirane su na skupu R, a kodomena im je [ 1, 1] jer su koordinate točke t brojevi ne veći od 1 po apsolutnoj vrijednosti. Funkcije sinus i kosinus cos : R [ 1, 1] t cos t sin : R [ 1, 1] t sin t

1.. DEFNCJA TRGNMETRJSKH FUNKCJA 7 Primjer 1. Nacrtajmo točku t i izračunajmo sinus i kosinus od t,ako je t : a ; b 1998 ; c 77 ; d 5. sin = 0, cos = 1; sin 1998 = 0, cos 1998 = 1; sin( 77 =0, cos( 77 = 1; sin 5 5 = 1, cos = 0. -77 5 1998 Sl. 1.10. Primjer. Nacrtajmo točku t iizračunajmo sinus i kosinus od t,akoje t : k + 1 a (k + 1 ; b k ; c ; d k +. (k+1 k+1 k sin(k + 1 = 0, cos(k + 1 = 1; sin k = 0, cosk = 1; sin k + 1 sin k + = 1, cos k + 1 = 0; = 1, cos k + = 0. k+ Sl. 1.11. Primjer. Nacrtajmo točke t za koje vrijedi: a sin t = 1 ; b sin t = 1 ; c cos t = ; d cos t = 1.

8 1. TRGNMETRJSKE FUNKCJE REALNG BRJA t t 1 t 1 t t t 1 1 1 Sl. 1.1. Za točke t 1 it vrijedi sin t 1 = sin t = 1.Zatočke t it vrijedi sin t = sin t = 1. t t Sl. 1.1. Za točke t 1 it vrijedi cos t 1 = cos t =.Zatočke t it vrijedi cos t = cos t = 1. Funkcija tangens Funkcija tangens, u oznaci tg, definira se pomoću funkcija sinus i kosinus ovako: tg t = sin t, cos t 0. cos t C= _ +k D= +k Sl. 1.1. C i D su točke trigonometrijske kružnice s apscisom 0. Za koje brojeve t vrijedi cos t 0? Jedine točke na brojevnoj kružnici s apscisom 0 su točke C(0, 1 i D(0, 1 (slika 1.1.. Brojevi koji se namatanjem preslikavaju u točku C su brojevi, 5, 9,, 7 (,, tj. C = E + k, k Z. Za točku D vrijedi D = ( E + k, k Z. Dakle, tangens je definiran za sve realne brojeve t različite od + k, k Z.

1.. DEFNCJA TRGNMETRJSKH FUNKCJA 9 Funkcija tangens tg : R\{ + k : k Z} R tg t = sin t cos t Gdje se na brojevnoj kružnici pojavljuje tangens broja t? Neka je t R\{ + t F E 1 tg t Sl. 1.15. Geometrijska interpretacija broja tg t. k : k Z} takav da t pripada prvom kvadrantu. značimo sa E 1 ortogonalnu projekciju točke t na os,asaf presjek pravca p i spojnice t (slika 1.15.. čito je da su trokuti E 1 t i F slični, pa vrijedi F = E 1t, E 1 tj. uvažavajući da je = 1, E 1 t = sin t, E 1 = cos t, dobivamo F = sin t = tg t. cos t Dakle, točka F ima koordinate (1, tgt, tj. tangens broja t je ordinata točke dobivene presjekom pravca p i spojnice t. Promotrimo slučaj kad je t udru- gom kvadrantu, tj. kad je sin t > 0 i cos t < 0 (slika 1.1.. Definirajmo opet točke E 1 i F kao u prethodnom slučaju. Vrijedi E 1 t F,paje F = E 1t, E 1 tj. F = sin t = tg t. Dakle, uda- cos t ljenost od F do -osi iznosi tg t,akako je F u četvrtom kvadrantu, ordinata joj je negativan broj, pa je F =(1, tg t = (1, tg t jer je tg t negativan zbog negativnosti kosinusa od t.znači i u ovom slučaju je tg t ordinata točke F. t E 1 F Sl. 1.1. t je u drugom kvadrantu i tg t je opet ordinata točke F. U slučajevima kad t pripada trećem, odnosno, četvrtom kvadrantu uz analogni postupak imamo isti zaključak koji posebno i istaknimo.

10 1. TRGNMETRJSKE FUNKCJE REALNG BRJA Tangens broja t Tangens broja t je ordinata točke dobivene presjekom pravca p i spojnice točaka i t.pravac p nazivamo tangensnom osi. Primjer. Nacrtajmo t na trigonometrijskoj kružnici i tg t na tangensnoj osi ako je t : 9 a ; b ; c 1998 ; d. - 9 tg 9 = tg (- _ 1998 tg Sl. 1.17. Funkcija kotangens Funkcija kotangens, u oznaci ctg, definira se ovako ctg t = cos t, sin t 0. sin t Brojevi za koje je sin t = 0 su oni koji se preslikaju u točke (1, 0 i Ī( 1, 0. Kako je = k, k Z i Ī = + k, k Z, brojevi za koje je sin t = 0su oblika k, k Z pa je domena funkcije ctg skup R\{k : k Z}. Funkcija kotangens ctg : R\{k : k Z} R ctg t = cos t sin t. Neka je q tangenta brojevne kružnice k utočki C(0, 1. Uzmimo takav realan broj t kojemu namatanjem pridružena točka t koja pripada prvom kvadrantu.

1.. DEFNCJA TRGNMETRJSKH FUNKCJA 11 q C E ctg t t G Sl. 1.18. Geometrijska interpretacija kotangensa broja t. Neka je E ortogonalna projekcija točke t na -os, a G presjek pravca q i spojnice t. Trokuti E t i CG su slični i kako je E t = cos t, C = 1 i E = sin t,toje CG C = E t,tj. CG = cos t = ctg t, tj. koordinate točke E sin t G su (ctg t, 1. U ostalim slučajevima kada t pripada ostalim kvadrantima način razmišljanja je sličan, pa imamo sljedeći zaključak. Kotangens broja t Kotangens broja t je apscisa točke dobivene presjekom pravca q i spojnice točaka i t.pravac q nazivamo kotangensnom osi. Primjer 5. Nacrtajmo t na trigonometrijskoj kružnici i ctg t na kotangensnoj osi ako je t : a ; b 11 ; c 191 ; d. _ 11 ctg _ ctg = ctg (- 11 _ - 191 Sl. 1.19.

1 1. TRGNMETRJSKE FUNKCJE REALNG BRJA Primjer. dredimo predznake trigonometrijskih funkcija u pojedinim kvadrantima. Ako je t u prvom kvadrantu, tada su obje koordinate te točke pozitivne, tj. sin t > 0, cost > 0, te su i tgt ictgt pozitivni. Za ostale kvadrante vrijedi ova tablica: kvadrant... V. sin t + + cos t + + tg t + + ctg t + + Zadaci 1. 1. Nacrtaj t i istakni sinus i kosinus od t ako je t jednako: a ; b 1 : c 197 : 1 d ; e 11 ; f.. Nadi - sin t,cost ako je t : a 7 ; b 18 ; c 8 ; 1 d ; e ; f 1997.. Nacrtaj na trigonometrijskoj kružnici točke t za koje vrijedi: a sin t = ; b sin t = 1 ; c sin t = 1 ; d cos t = 1 ; e cos t = 1 ; f cos t =.. Nacrtaj t i istakni tangens i kotangens od t (ukoliko postoje, ako je t jednako: 19 a ; b ; c ; 1 15 d ; e ; f 7. 5. stakni na trigonometrijskoj kružnici točke t za koje vrijedi: a tg t = 1; b tg t = ; c tg t = 5 ; d ctg t = 1.5; e ctg t = 1.8; f ctg t =.. zračunaj: a cos cos + sin cos( ; b sin c sin 199 cos 1997 + tg 1998 ; d e sin 19 + cos ( 5 sin ( 19 +cos(5 ; f cos + sin ; tg 1 + sin( 17 sin 7 cos 7 ; cos 7 sin 7 cos 17. 17 + sin