BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Grede T ili Γ preseka 1 Grede T ili Γ preseka 2 Dijagrami interakcije M-N

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (M i ) - geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, d p ) - mehaničke karakteristike (MB, σ v ) Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (A a ) - položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σ bp )

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sračunaju se granični statički uticaji M u = γ ui M i Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1, pa se odredi statička visina h = d a 1 Iz uslova ravnoteže momenata odredi se napon pritiska u sredini ploče: M u σ bp = ( ) B d p h dp 2

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju da se dobije da je σ bp > f B, postupak se prekida i vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra) Iz veze σ ε odredi se dilatacija u sredini ploče: ε bp = 2(1 1 σ bp ) ε a = 10 s 0 f B Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa: x 0 = ε ( bp h d ) ( p = s 0 h d ) p ε bp + ε a 2 2

Uprošćeni proračun T preseka x 0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x 0 > d p /2 neutralna osa je ispod ploče (u rebru)

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji uslov: x 0 + dp 2 ε b = ε bp 3.5 x 0 Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x 0 d p /2), presek se dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B d Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x 0 > d p /2, potrebna površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže normalnih sila) M u A a = ( ) σ v h dp 2

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ukoliko se utvrdi da se neutralna osa nalazi u ploči, presek se dimenzioniše kao pravougaoni širine B Za sračunatu statičku visinu izračuna se bezdimenzionalni koeficijent k: h k = Mu B f B Na osnovu dobijenog k iz tabela za dimenzionisanje pravougaonih preseka očita se vrednost mehaničkog koeficijenta armiranja µ ili koeficijenta kraka sila ζ

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji ili prema izrazu A a = µ B h 100 f B σ v A a = M u z σ v = M u ζ h σ v

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa određenom potrebnom količinom armature A a usvoji se prečnik i broj šipki Usvojena armatura se raspoređuje u preseku (vodeći računa o čistom razmaku a 0 ) Sračuna se težište armature a 1 i odredi se tačna vrednost statičke visine h Statička visina h se upoređuje sa računskom i u slučaju odstupanja proračun se ponavlja Posle konvergencije prikaže se presek i armatura (u razmeri 1:10)

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Odrediti potrebnu količinu armature A a za gredu T preseka poznatih dimenzija i poznatog graničnog momenta M u Dato je: - granični momenat savijanja... M u = 600 knm - dimenzije T preseka [cm]... b = 40, B = 120, d = 60 i d pl = 12 - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice: a 1 = 0.1 d = 6 cm Statička visina preseka h = d a 1 = 60 6 = 54 cm

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Napon u sredini ploče: M u σ bp = ( ) = B d p h dp 2 600 10 2 120 12 (54 12 = 0.87 kpa 2 ) Dilatacija u sredini ploče: ( ε bp = 2 1 1 σ ) ( bp = 2 1 f B ) 1 0.87 2.05 = 0.481

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je: x 0 = ε ( bp h d ) p = 0.481 ( 54 12 ) = 2.20 cm ε bp + ε a 2 0.481 + 10 2 Kako je x 0 < d p /2 = 6cm, neutralna linija se nalazi u ploči i presek se računa kao pravougaoni širine B = 120 cm Bezdimenzionalni koeficijent k je k = h Mu B f B = 54 600 10 2 120 2.05 = 3.458

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Iz tablica se dobija ε b /ε a = 1.70/10, kao i koeficijent neutralne ose s = 0.145 Prema tome, neutralna osa je na rastojanju x = s h = 0.145 54 = 7.84 cm < d p = 12cm

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1 Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji A a = µ B h 100 f B 120 54 = 8.851 2.05 = 29.39 cm2 σ v 100 40 ili prema izrazu A a = M u ζ h σ v = Usvojeno 6RΦ25 (29.45 cm 2 ) 600 102 = 29.33 cm2 0.947 54 40

Uprošćeni proračun T preseka - primer 1

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (M i ) - mehaničke karakteristike materijala(mb, σ v ) - geometrija poprečnog preseka: širine B i b i debljina ploče d p Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (A a ) - visina poprečnog preseka (d)

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Izračunaju se granični statički uticaji M u = i γ ui M i (i = g, p, ) Usvaja se napon u betonu u nivou srednje ravni ploče σ bp Za veći usvojen napon, presek je manje visine i ima više armature Napon σ bp se usvaja u granicama 0.3 f B σ bp 0.75 f B

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa usvojenim naponom σ bp izračunava se statička visina: h = M u + d p B d p σ bp 2 Iz poznate veze napon-dilatacija za beton i sa usvojenim naponom u sredini ploče izračunava se dilatacija u sredini ploče ( ε bp = 2 1 1 σ ) bp f B a usvaja se ε a = 10

Radni dijagram betona - veza σ ε { fb4 (4 ε σ b = b ) ε b za 0 ε b 2 f B za 2 ε b 3.5 ( ) ε bp = 2 1 1 σ bp f B

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Određuje se položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče: x 0 = ε ( bp h d ) p ε bp + ε a 2 Veličina x 0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče d p /2 Ako se utvrdi da je neutralna linija u rebru x 0 > d p /2, presek je oblika T Ako je neutralna linija u ploči x 0 d p /2, presek je pravougaonog oblika širine B

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako je u pitanju T presek, potrebna količina armatura se određuje prema A a = M u (h dp 2 ) σ v Ako je u pitanju pravougaoni presek, za sračunatu statičku visinu h određuje se koeficijent k k = h Mu B f B Iz tablica se za dobijeno k očitaju vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja µ i/ili koeficijenta ζ

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U tom slučaju, potrebna količina armature se određuje iz relacije A a = µ B h 100 f B σ v ili prema izrazu A a = M u z σ v = M u ζ h σ v

Grede T ili Γ preseka Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sa određenom količinom armature A a usvoji se profil i broj šipki, pa se rasporede u preseku (širina je poznata ili usvojena), vodeći računa o razmacima Odredi se položaj težišta raspoređene armature a 1 i izračuna se (pa usvoji zaokruživanjem) visina preseka d: d = h + a 1 Konačno se konstruiše i prikaže poprečni presek (u razmeri 1:10)

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature A a za gredu T preseka zadatih dimenzija i poznatih momenata savijanja M i Dato je: - momenti savijanja... M g = 200 i M p = 250 knm - dimenzije T preseka [cm]... b = 40, B = 180 i d pl = 10 - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Granični momenat savijanja M u = 1.6 200 + 1.8 250 = 770 knm Usvaja se napon betona u sredini debljine ploče σ bp = 0.3 f bk = 0.3 30 = 9.0 MPa = 0.9 kn/cm 2

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Izračunava se statička visina h h = M u + d p B d p σ bp 2 = 770 102 180 10 0.9 + 10 2 = 52.53 cm Sa usvojenim naponom σ bp izračunava se odgovarajuća dilatacije betona u sredini ploče: ( ε bp = 2 1 1 σ ) ( ) bp = 2 1 1 0.90 = 0.502 f B 2.05

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Izračunava se položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče: x 0 = ε ( bp h d ) p = 0.502 ( 52.53 10 ) = 2.27 cm ε bp + ε a 2 0.502 + 10 2 Kako je x 0 < d p /2 = 5.0cm, to se presek dimenzioniše kao pravougaoni širine B Izračunava se bezdimenzionalni koeficijent k: k = h Mu B f B = 52.53 770 10 2 180 2.05 = 3.636

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2 Iz tablica se, za izračunato k, očitava ε b /ε a = 1.575/10 µ = 7.903% pa se izračunava potrebna količina armature A a = µ B h 100 f B 180 30 = 7.903 2.05 = 38.30 cm2 σ v 100 40 Usvojeno: 8RΦ25 (39.27 cm 2 )

Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2

Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Ako je računska širina ploče B manja od 5 širina rebra b: B < 5 b pri čemu je još i neutralna osa na delu rebra, posmatrani T presek dimenzioniše se po tačnijem postupku To znači da se ne zanemaruje nosivost dela rebra u ukupnoj nosivisti T preseka Posmatra se složeno savijanje - veliki ekscentricitet sa silom pritiska (ili zatezanja)

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Računski model sa uzimanjem u obzir nosivosti pritisnutog dela rebra Ma1 = 0 : D bu z = M au = M u + N u (y b1 a 1 ) s D bu = D bu1 D bu2

Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Poznati su granični uticaji u preseku M u i N u Postavlja se uslov ravnoteže momenata za težište zategnute armature Ma1 = 0 : D bu z = M au = M u + N u (y b1 a 1 ) (1) Sila u betonu je data kao razlika dve sile D bu = D bu1 D bu2 Sila D bu1 je ukupna sila u zamišljenom pravougaonom preseku B x Sila D bu2 je sila u dodatom delu preseka ispod ploče, a do neutralne ose i ova sila se oduzima od D bu1

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Pritisnuti deo betonskog preseka D bu = D bu1 D bu2

Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Ako je u pitanju vezano dimenzionisanje, uz pretpostavljeno težište zategnute armature a 1 odredi se statička visina h Jednačina ravnoteže momenata (1) se, na način kao i za pravougaone preseke, svodi na relaciju k = h Mau B f B iz koje se iz tablica očita bezdimenzionalan koeficijent položaja neutralne ose s Sa time se odredi položaj neutralne ose x = s h, pa se proveri da li je neutralna osa u ploči (x d P ) ili u rebru (x > d P )

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Sila u pravougaonom pritisnutom delu preseka data je sa D bu1 = α b1 B x f B gde je - α b1 = α b1 (ε b )... koeficijent punoće dijagrama napona - η 1 = η 1 (ε b )... koeficijent položaja rezultante D bu1

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Sila u fiktivnom delu preseka (oduzima se) data je sa D bu2 = α b2 (B b) (x d p ) f B gde je - α b2 = α b2 (ε b )... koeficijent punoće dijagrama napona - η 2 = η 2 (ε b )... koeficijent položaja rezultante D bu2

Grede T ili Γ preseka Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak Moguć je i alternativni pristup u kome se odredi zamenjujuća širina pravougaonog preseka Umesto da se ukupna sila pritiska u betonu sa udelom dela rebra odredi kao D bu = D bu1 D bu2, odredi se ekvivalentna širina preseka b i na celoj visini do neutralne ose Ekvivalentna širina preseka data je sa b i = K B gde je K = 1 α b2 α b1 ( 1 δ ) ( 1 b ) s B gde je δ = d p h

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka Širina zamenjujućeg (ekvivalentnog) preseka gde je K = 1 α b2 α b1 ( 1 δ s b i = K B ) ( 1 b B ) gde je δ = d p h

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Odrediti potrebnu količinu armature A a za gredu T preseka zadatih dimenzija i poznatih momenata savijanja M i Dato je: - momenti savijanja... M g = 200 i M p = 250 knm - dimenzije T preseka [cm]... b = 30, B = 60, d = 60 i d pl = 10 - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Granični momenat savijanja M u = 1.6 200 + 1.8 250 = 770 knm Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature a 1 = 9 cm, tako da je statička visina jednaka h = d a 1 = 60 9 = 51 cm

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Pretpostavlja se da je x < d p, odn. da je u pitanju pravougaoni presek širine B Bezdimenzionalni koeficijent k dat je sa k = h = Mau B f B 51 770 10 2 60 2.05 = 2.038 Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.348, tako da je neutralna osa određena sa x = s h = 0.348 51 = 17.7 cm odn. x > d p = 10 cm Pretpostavka o položaju neutralne ose nije tačna, pa presek mora da se dimenzioniše kao T presek

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Kako je pri tome B = 60cm, b = 30cm, dn. kao je B/b = 2 < 5, posmatrani T presek mora da se računa tačnije, odn. sa učešćem nosivosti i pritisnutog dela rebra Koristi se pristup sa ekvivalentnom širinom pravougaonog preseka, tako da je širina zamenjujućeg pravougaonika data sa b i = K B gde je koeficijent K dat sa K = 1 α ( b2 1 δ ) ( 1 b ) α b1 s B gde je δ = d p h Postoje tablice za određivanje koeficijenta K

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka

Grede T ili Γ preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3 Sa novom ekvivalentnom širinom b i = 45 cm, dobija se koeficijent k k = h = Mau B f B 51 770 10 2 45 2.05 = 1.765 Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.501 0.5 Takođe, iz tablica se očitava µ = 40.533%, pa je potrebna količina armature A a = µ B h 100 fb 45 51 = 40.533 σ v 100 2.05 = 47.67 cm2 40 Usvojeno: 10RΦ25 (49.09 cm 2 )

Tačnije dimenzionisanje greda T preseka

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje... M g = 485 knm, N g = 600 kn - povremeno opterećenje... M p = 680 knm, N p = 800 kn - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 40/90 cm - kvalitet materijala... MB 40, RA 400/500

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 40 f B = 25.5 MP a = 2.55 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Granični uticaji M u i N u (u odnosu na težište) M u = 1.6 M g + 1.8 M p = 2000 knm N u = 1.6 N g + 1.8 N p = 2400 kn

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1 = 8cm, statička visina preseka je h = d a 1 = 90 8 = 82 cm Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature: ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 = 2888 knm

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Bezdimenzionalni koeficijent k je k = h = Mau b f B 82 2888 10 2 40 2.55 = 1.541 Iz tablica se za k = 1.541 očitava: ε b = 3.5, kao i ε a = 1.10 Kako je ε a = 1.10 < 3.0, presek se dvojno armira Iz tablica se, za ε b = 3.5 i ε a = 3.0, očitava: k = 1.719 i µ = 43.589%

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za ε b = 3.5 i ε a = 3.0 tako da se dobija M abu = M abu = ( ) h 2 k bf B ( ) 0.82 2 0.40 25.5 10 3 = 2321 knm 1.719

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Razlika u graničnim momentima: M au = M u M abu = 2888 2321 = 567 knm se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do pritisnute ivice preseka jednako a 2 = 5cm, pritisnuta armatura je A a2 = M au 567 102 = = 18.41 cm2 σ v (h a 2 ) 40 (82 5)

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Ukupna površina zategnute armature je odnosno, A a1 = µ 1 b h f B + M au σ v σ v (h a 2 ) N u σ v A a1 = 43.589 100 40 82 2.55 40 + 18.41 2400 40 = 49.55 cm2 Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature su: A a2 = 18.41 cm 2 A a1 = 49.55 cm 2

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4 Kako je A a2 < A a1, obe zone se armiraju prema izračunatim površinama armature Usvaja se sledeća armatura: zategnuta armatura: A a1 = 49.55 cm 2... usvojeno 8RΦ28 (49.26 cm 2 ) pritisnuta armatura: A a2 = 18.41 cm 2... usvojeno 3RΦ28 (18.47 cm 2 )

Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Posmatra se pravougaoni presek koji je izložen složenom savijanju u oblasti velikog ekscentriciteta pritiska Poznati su granični uticaji M u i N u, kao i dimenzije poprečnog preseka b/d, dok je kvalitet betona i čelika usvojen: vezano dimenzionisanje Određen je granični momenat za težište zategnute armature (uz pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature a 1 : ( ) d M au = M u + N u 2 a 1

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Za dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi ε b = 3.5, kao i ε a = 3.0, odgovarajući koeficijenti iz tablica za pravougaone preseke su: k = 1.719 µ = 43.927% ζ = 0.776 Granični momenat loma jednostruko armiranog pravougaonog preseka je dat sa M au = ( ) h 2 k b f B (2)

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Razlika graničnih momenata data je sa [ ( ) ] k 2 M au = M au Mau = 1 k M au (3) Potrebna površina zategnute armature usled graničnog momenta savijanja iznosi A a1 = M au zb σ M au gde je zb v (h a 2 ) σ = ζ h (4) v

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Posle unošenja vrednosti za M au i za M au, datih sa (2) i (3), izraz za površinu armature (4), posle sređivanja, može da se napiše u obliku A a1 = M au h σ v k a N u σ v (5) Na sličan način, koristi se izraz za površinu pritisnute armature A a2 : A a2 = M au σ v (h a 2 )

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi Posle malo transformacija, dobija se izraz za površinu pritisnute armature: Koeficijenti k a i k a dati su izrazima A a2 = M au h σ v k a (6) k a = (1 α 2 ζ ) (k/k ) 2 + ζ (1 α 2 ) ζ k a = 1 (k/k ) 2 gde je α 2 = a 2 1 α 2 h (7)

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi U izrazima (7) vrednosti k, ζ i z b = ζ h odgovaraju graničnom momentu nosivosti jednostruko armiranog preseka M au Koeficijent k se odnosi na ukupni granični momenat savijanja M au U izrazima za površinu armature za silu pritiska se unosi N u > 0, a za silu zatezanja N u < 0 Ako je k < k presek se dvojno armira, a ako je k k, presek se tretira kao jednostruko armiran Postoje tablice za koeficijente k a i k a

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje... M g = 485 knm, N g = 600 kn - povremeno opterećenje... M p = 680 knm, N p = 800 kn - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 40/90 cm - kvalitet materijala... MB 40, RA 400/500 (alternativno ponovljen primer 4)

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Dobijeno je, za a 1 = 8 cm i statičku visinu h = 82cm, M u = 2000 knm, N u = 2400 kn, M au = 2888 knm Koeficijent k koji odgovara granično momentu M au iznosi k = 1.541, dok je za ε b/a = 3.5/3.0 koeficijent k jednak k = 1.719 Prema tome, odnos koeficijenata k i k je k k = 1.541 = 0.896 0.90 1.719

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Uz pretpostavljeno rastojanje težišta pritisnute armature a 2 = 8 cm, dobija se α 2 = a 2 h = 8 = 0.0976 0.10 82 Za vrednosti k/k = 0.90 i α 2 = 0.10 iz tablica se očitava k a = 1.255 i k a = 0.211 Ukupna površina zategnute armature je data sa (5): A a1 = M au h σ v k a N u σ v = U primeru 4 je dobijeno A a1 = 49.55 cm 2 2888 100 2400 1.255 = 50.50 cm2 82 40 40

Vezano dimenzionisanje Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a Površina pritisnute armature data je sa (6): A a2 = M au k 2888 100 a = 0.211 = 18.58 cm 2 h σ v 82 40 U primeru 4 je dobijeno A a2 = 18.41 cm 2

Sadržaj Grede T ili Γ preseka Dijagrami interakcije M-N 1 Grede T ili Γ preseka 2 Dijagrami interakcije M-N

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Posmatra se naprezanje preseka usled normalne sile pritiska, koja deluje u ravni simetrije preseka i malo je ekscentrična u odnosu na težišnu osu Granični statički uticaju su N u i M u = N u e, pri čemu je ekscentricitet e relativno mali: e < d/6 Normalna sila pritiska je unutar jezgra preseka i ceo presek je pritisnut Donja ivica 1 je manje pritisnuta, a gornja ivica 2 je više pritisnuta Ovako stanje napona i deformacija je karakteristično za stubove

Deformacijska stanje preseka Dijagrami interakcije M-N - oblast između linija g i h

Dijagrami interakcije M-N Proračunski model za ekscentrični pritisak, mali ekscentricitet

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Granične dilatacije u preseku se kreću u intervalu od ε b1 = 0 do ε b2 = 3.5, zavisno od ekscentriciteta normalne sile, pa do ε b1 = ε b2 = 2, što odgovara centričnom pritisku (oblast između linija g i h) Ceo presek je pritisnut, odn. neutralna osa je izvan poprečnog preseka (x d) Preseci koji su napregnuti u oblasti malog ekscentriciteta armiraju se, po pravilu, simetrično postavljenom armaturom

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Minimalan procenat ukupne armature je µ a,min = 0.8% (najčešće je u granicama od 0.8% do 1%, ali i do 3%) u odnosu na bruto površinu betonskog preseka Imajući u vidu dijagram dilatacija u preseku, dilatacija na više pritisnutoj ivici 2 je ε b1 [2.0 3.5] Dilatacija na manje pritisnutoj ivici 1 je zavisna od dilatacije na ivici 2 : ε b2 = 14 4 ε b2 3

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Dakle, kod ekscentrično pritisnutih elemenata u fazi malog ekscentriciteta ceo presek je pritisnut, odn. ε a 0, pa se granični uticaji određuju sa maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata sigurnosti Pri ovakvoj vrsti naprezanja (ceo presek je pritisnut), nema prslina u preseku, pa je aktivan ceo betonski presek, odn. ukupna površina betona A b, kao i površine armatura A a1 i A a2

Dijagrami interakcije M-N Proračunski model za ekscentrični pritisak, mali ekscentricitet

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Uslovi ravnoteže sila u porečnom preseku glase (redukciona tačka za momente je težište preseka G b ): N = 0 : Dbu + D au1 + D au2 = N u ( ) d MGb = 0 : D bu y d + D a2u 2 a ( ) d D a1u 2 a = M u = N u e (8) Kako je presek po pravilu simetrično armiran, to su rastojanja težišta armatura A a1 i A a2 međusobno ista: a 1 = a 2 = a

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta U jednačinama ravnoteže (8) spoljašnji uticaji su granične sile u preseku - N u = γ ui N i... granična sila pritiska - M u = γ ui M i = N u e... granični momenat savijanja kao i granične unutrašnje sile - D bu... sila pritiska u betonu - D a1u, D a2u... sile pritiska u donjoj i gornjoj armaturi

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Broj jednačina ravnoteže (8) je dva, tako da se biraju dva nezavisna parametra preko kojih mogu da se izraze ostale veličine Za dva nezavisna parametra usvajaju se: 1 ε b2... dilatacija betona na jače pritisnutoj ivici 2 µ = Aa A b... ukupni koeficijent (procenat) armiranja Uvode se oznake (zbog usvojenog simetričnog armiranja) - A a1 = A a2 = Aa 2... površina armature uz obe ivice su međusobno iste - a 1 = a 2 = a... rastojanje težišta armature do bliže ivice betona

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Iz dijagrama napona pritisaka u preseku može da se odredi rezultanta, odn. granična sila pritiska u betonu: D bu = α d b d f B gde je α d koeficijent punoće naponskog dijagrama: α d = 125 + 64 ε b2 16 ε 2 b2 189 Položaj rezultujuće sile pritiska u betonu (težište naponskog dijagrama) je dat sa y d = k d d

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Koeficijent k d položaja rezultante sile pritiska D bu dat je sa k d = 40 7 (ε b2 2) 2 125 + 64 ε b2 16 ε 2 b2 Dilatacija u manje pritisnutoj ivici betona ( ε b1 = 1 d ) ε b2 x Na primer, - za ε b2 = 2.0... ε b1 = 2, k d = 0, α d = 1.0 - za ε b2 = 3.5... ε b1 = 0, k d = 0.084, α d = 0.809

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Sile pritiska u armaturi dole i gore D aiu = σ ai A ai (i = 1, 2) Napon u armaturi { Ea ε ai za ε ai < σv σ ai = E a (i = 1, 2) σ v za ε ai σv E a Dilatacije u armaturi dole i gore ( ε a1 = 1 h ) ( ε b2 ε a1 = 1 a ) ε b2 x x

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Površine armature dole i gore A ai = µ i A b (i = 1, 2) µ 1 = µ 2 = µ 2 Geometrijski koeficijenti armiranja µ i = A ai b d (i = 1, 2) µ 1 = µ 2 = µ 2 Mehanički koeficijenti armiranja µ i = µ i σv f B (i = 1, 2)

Dijagrami interakcije M-N Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta Kao što je rečeno, minimalan ukupni procenat armiranja za silu pritiska i mali ekscentricitet je µ min = 0.8 1.0% Ukupni koeficijent ariranja µ je definisan u odnosu na ukupnu površinu betona: µ = A a = A a A b b d Na ovaj način, sve veličine koje figurišu u jednačinama ravnoteže (8) su izražene preko dva izabrana parametra ε b2 i µ Rešavanjem jednačina ravnoteže i odgovarajućim transformacijama i sređivanjima mogu da se odrede sve veličine

Sadržaj Grede T ili Γ preseka Dijagrami interakcije M-N 1 Grede T ili Γ preseka 2 Dijagrami interakcije M-N

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Navedeni izrazi su komplikovani za primenu i takav pristup za dimenzionisanje nije praktičan Ekscentrično pritisnuti AB elementi u oblasti malog ekscentriciteta dimenzionišu se primenom interakcionih dijagrama Dijagrami interakcije M N su grafička interpretacija granične nosivosti preseka Konstruišu se na osnovu uslova ravnoteže, za usvojeni oblik i dimenzije preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike materijala

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Primena dijagrama interakcije najviše se koristi za ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali može da se proširi praktično na čitavu oblast naprezanja M u i N u, odnosno M u i Z u Interakcioni dijagrami pokrivaju svih pet naponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da se korista za dimenzionisanje i drugačije opterećenih preseka Za usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika, bira se stanje graničnih dilatacija u preseku Sa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen i raspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona u zategnutoj i pritisnutoj armaturi

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Iz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja za težište betonskog preseka, jednoznačno se određuju granični momenti M u i odgovarajuća granična normalna sila N u koji dovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranim dilatacijama u betonu i armaturi Ponavljajući postupak za konačan broj različitih stanja graničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovaraju usvojenom koeficijentu (procentu) armiranja Variranjem količine armature u preseku, dobija se familija krivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kao parametra

Dijagrami interakcije M-N Dijagram interakcije M-N (a) za pojedinačan presek (b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska stanja preseka

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Da bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, oni se prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata m u n u Bezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni granični momenat savijanja M u m u = b d 2 f B kao i bezdimanzionalna granična normalna sila n u = N u b d f B

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Tako konstruisani dijagrami interakcije mogu da se koriste za proizvoljan odnos strana b/d pravougaonog preseka, kao i za bilo koju marku betona Dijagrami interakcije konstruišu se za izabran oblik poprečnog preseka, za usvojen kvalitet armature (GA ili RA), za usvojen način armiranja: odnos donje i gornje armature, kao i položaj armature definisan odnosom a/d (odnos položaja težišta armature i visine preseka), a parametarski zavisno od niza vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije prikazuju računsku nosivost preseka za izabrane parametre Sigurnost u odnosu na lom preseka je zadovoljena kada je granična nosivost preseka veća ili jednaka nosivosti tog preseka za granične uticaje Znači, ako se granični uticaju m u i n u nalaze unutar površine oivičene graničnom krivom i koordinatnim osama, za određeni mehanički koeficijent armiranja

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Postupak vezanog dimenzionisanja preseka primenom dijagrama interakcije je sledeći: 1 za poznate granične uticaje M u i N u, kao i dimenzije preseka b/d i kvalitet betona f B, odrede se bezdimenzionalne veličine m u = M u b d 2 f B n u = N u b d f B 2 zavisno od kvaliteta (σ v ), položaja (a/d) i rasporeda (A a1 /A a2 ) armature, bira se odgovarajući dijagram interakcije 3 iz dijagrama interakcije, za određeno m u i n u, očitaju se mehanički procenat armranja µ, kao i dilatacije u betonu i armaturi ε b2 i ε a1

Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N Sa određenim mehaničkim koeficijentom armiranja, potrebna površina armature se određuje A a = µ b d f B σ v Očitane vrednosti graničnih dilatacija u betonu i armaturi olakšavaju određivanje parcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li su granični uticaji M u i N u dobro određeni) Analogno se konstruišu dijagrami interakcije za, npr. kružni ili sandučasti poprečni presek Takođe se konstruišu dijagrami interakcije i za preseke opterećene na koso savijanje

Dijagram interakcije M-N Dijagrami interakcije M-N