6. VARIABILE ALEATOARE

6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă (lură) ue fbrc, umărul de utle defecte îtr-o secţe, umărul de solctţ, l u momet dt, îtr-o bză de provzore, cocetrţ poluăr îtr-u medu chmc etc. Să cosderăm că îtr-u expermet letor s- relzt rezulttul ω ş prtr-o operţe de măsurre, cestu î socem umărul rel f(ω). Î cest mod putem să stblm o fucţe f : Ω R. Acestă fucţe se umeşte vrblă letore dcă mulţme {ω : f(ω) < x} evemetelor elemetre ω petru cre f(ω) < x este u evemet, orcre r f x rel, dcă (6..) {ω : f(ω) < x} K, petru orce x rel. Îtr-o formă m geerlă, fd dt u câmp de probbltte (Ω, K, Ρ), o fucţe f : Ω R se umeşte vrblă letore relă, dcă petru orce mulţme borelă de pe drept relă ( A B R ) f ( A) K. Codţ d defţe, refertore l K, este ecesră petru permte studul probbltăţlor vlorlor lu f, î czul î cre cest re o mulţme ftă su umărblă de vlor su probbltăţlor tervlelor de vlor le lu f, î czul î cre cest re o mulţme ftă eumărblă de vlor. Î czul î cre mulţme Ω este ftă su umărblă, coceptul de vrblă letore cocde cu cel de fucţe relă deftă pe Ω. Vrble letore pot f defte ş pe bz coceptulu echvlet de fucţe măsurblă.

Vrble letore - 6 O vrblă letore f : Ω R se umeşte smplă, dcă mulţme vlorlor e f(ω) este ftă. Î cest cz f se pote exprm sub form f x χ, ude { x }, A K x R,f ( Ω) ş fucţ χ A este dctorul mulţm A, dcă:, petru ω A (6..) χa ( ω) 0 petru ω A Evemetele A, A, K, A se pot lege stfel îcât să costtue o desfcere (o prtţe) lu Ω. O vrblă letore f : Ω R se umeşte dscretă dcă mulţme vlorlor e f(ω) este ftă su umărblă. R, B spţu măsurbl cu Fe cum (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş ( ) B (geert de mulţmle deschse d R ). O fucţe R } măsurblă f : Ω R se umeşte vector letor -dmesol dcă fml mulţmlor borelee {K, f B R ( A) K B R petru orce A. Petru vectorul letor f este o vrblă letore relă. Dcă f : Ω R este u vector letor tuc fucţ P : B R ( ) deftă pr P ( A) P f ( A) R A f R f este o probbltte pe B ş se umeşte reprtţ R (dstrbuţ) vectorulu letor f. D cele de m sus rezultă că fecăre vrble letore (vector letor) î corespude o probbltte pe ( R,B R ), respectv ( R ),B de ude rezultă mportţ studulu cestor probbltăţ, l cre se R reduce, de ltfel, studul vrblelor letore cu vlor î R ( R ). Propozţ. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltăţ ş f : Ω R o vrblă letore. Atuc u loc: {ω Ω : f(ω) x} K, {ω Ω : f(ω) x} K ş {ω Ω : f(ω) > x} K, orcre r f x R Demostrţ rezultă d fptul că orcre d fml de tervle {(-, x] : x R}, {[x, + ) : x R}, {(x, + ) : x R} costtue ssteme de geertor petru B. R

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 3 Propozţ. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble letore. Atuc: {ω Ω : f(ω) < g(ω)} K, {ω Ω : f(ω) g(ω)} K, {ω Ω : f(ω) g(ω)} K Demostrţe: Să otăm cu r, r,k şrul umerelor rţole. Atuc: U : k k. k {ω Ω : f(ω) < g(ω)} { ω Ω f ( ω) < r } I { ω Ω : r < g( ω) } Teorem. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte. Dcă k, α R, α > 0 ş f, g sut vrble letore rele (f, g : Ω R), tuc f + g, f - g, f g, g dcă g 0, f + k, kf, f α sut de semee vrble letore. Teorem. Dcă ( f ) este u şr de vrble letore rele ( f : Ω R) ş fucţ f deftă pe Ω cu vlor î R este lmt puctulă şrulu ( f ), dcă f( ω) f ( ω) lm petru orce ω Ω, tuc f este desemee o vrblă letore relă. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte. Dcă mulţme vlorlor ue vrble letore f : Ω R coţe u tervl mărgt su emărgt (re crdlul strct m mre decât cel l umerelor turle), tuc vrbl letore se umeşte cotuă, de exemplu, dcă o vrblă letore repreztă tempertur îtr-u proces de prelucrre termcă, tuc cest vrză îtr-u tervl, dec vrbl este u cotuă. M sus m prezett câtev defţ ş propretăţ utle le vrblelor letore, cre se găsesc expuse m pe lrg ş m complet î cursurle ş trttele de teor probbltăţlor. Nu vom sst supr cestor, m les d motvul că î plcţle prctce le teore probbltăţlor, dr ş teoretc se lucreză m puţ cu vrblele letore îsăş ş m mult cu legle de probbltte (reprtţe) corespuzătore, cre oferă formţ supr vlorlor vrblelor letore ş probbltăţlor cu cre u ceste vlor. Petru descre o vrblă dscretă trebue cuoscute vlorle rele ş probbltăţle p P( f x ) ott Pf ( x) P{ ω f( ω) x}., N cu cre ceste vlor sut lute. M sus m ( ) Ω: ş vom folos cestă otţe î coture,

4 Vrble letore - 6 ( ) dcă vom îţelege P(f A) P({ω Ω : f(ω) A}) Pf ( A) otţe, î czul ue vrble letore dscrete vom ve: P f A p. (6..3) ( ) Ţâd sem că evemetele ( ) u sstem complet de evemete, dcă rezultă că : x A { } A N, ude A ω f ( ω ) x U N. Cu cestă Ω: formeză A Ω ş A A petru orce (6..4) p. Reprtţ ue vrble letore dscrete se obşueşte să se descre cu utorul uu tblou de form: x x K x K (6..5) f:. p p K p K Să presupuem că vrbl letore f vlorle x, N cu probbltăţle p pq cu p + q, p, q > 0. Acestă vrblă letore este descrsă complet d puct de vedere l teore probbltăţlor de tbloul : f: p pq K K pq K. K O vrblă letore cu o stfel de reprtţe se umeşte vrblă letore geometrcă su cu reprtţe geometrcă. Dcă vrbl letore f este smplă, î (5) vem î râdul superor l tbloulu u umăr ft de vlor, r î cel feror celş umăr de probbltăţ l căror sumă este. Să cosderăm o vrblă letore cre vlorle 0 cu probbltte p 0 ş cu probbltte p, ceste î v corespude tbloul: 0 f: cu p p0 p 0 + p. Fe cum f o vrblă letore relă deftă pe câmpul de probbltte (Ω, K, P), cum f este o fucţe ( K,B R ) măsurblă ş B R B( {(, x) : x R} ), reprtţ lu f este complet determtă de probbltăţle:

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 5 ({ }) (6..6) Ff ( x) P ω Ω: f( ω) < x. Defţ. Fucţ F f : R [0, ], deftă pr (6) se umeşte fucţ de reprtţe vrble letore f. Acestă fucţe de reprtţe u determă î mod uc vrbl letore f, î sesul că pot exst vrble letore rele dferte l cre corespud pr (6) ceeş fucţe de reprtţe. D puctul de vedere l teore probbltăţlor ceste vrble letore sut cosderte echvlete ş le vom detfc. Defţ. Fe cum A K cu P(A) > 0, tuc fucţ: F fa, : R [0, ] deftă pr: (6..7) FfA, ( x) PA( { ω Ω : f( ω) < x} ) se umeşte fucţ de reprtţe vrble letore f codţotă de evemetul A. Fe f o vrblă letore dscretă cre vlorle x cu probbltăţle ( ) P P f x, tuc rezultă că: (6..8) Fx ( ) P, x < x sumre d (8) fd făcută petru tote vlorle lu N, petru cre x < x. Fucţ de reprtţe ue vrble letore dscrete se umeşte fucţe de reprtţe de tp dscret. Să otăm Sx F( x + 0) F( x 0 ) sltul fucţe F î puctul x. Dcă x este u puct de cotutte l lu F tuc S x 0 r î cz cotrr S x > 0. Atuc: (6..9) Fx ( ) S x, x < x ude { } x N este mulţme puctelor de dscotutte le fucţe de reprtţe. Deorece fucţ F creşte pr sltur î puctele de dscotutte grfcul său v f o fucţe î scră. Să cosderăm următorul exemplu smplu. Exemplul. Îte puer pe pţă, u produs ft (utl) este supus l tre probe succesve de fucţore. Probbltte c să trecă de orcre d cele tre probe este de 0,8. Dcă se presupue că cele tre îcercăr sut depedete u de lt, să se determe:

6 Vrble letore - 6 ) Dstrbuţ vrble letore cre repreztă umărul de probe trecute pâă l prm ereuştă; b) Să se determe fucţ de reprtţe ş să se costruscă grfcul fucţe de reprtţe l vrble letore de l puctul ). Rezolvre: Notăm cu f vrbl letore cerută, e v ve o dstrbuţe de form: 0 3 f: Pf ( 0) Pf ( ) Pf ( ) Pf ( 3). D modul cum fost deftă vrbl letore f rezultă: P(f 0) 0, P(f ) 0,8 0, 0,6 P(f ) 0,8 0,8 0, 0,8 P(f 3) 0,8 0,8 0,8 0,5 dec: 0 3 f:. 0, 0, 6 0, 8 0, 5 Să otăm cu F fucţ de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Atuc vem: Grfcul lu F este următorul: 0 petru x 0 0, petru 0< x Fx ( ) 036, petru < x 0, 448 petru < x 3 petru x > 3 F(x) 0,488 0,36 0, 3 x

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 7 Propozţ 3. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, c R ş f, g vrble letore rele smple, defte pe Ω vâd dstrbuţle dte pr: x f: p, ş g y :. q, m Atuc vrblele letore cf, f + g, f g sut desemee vrble letore smple, vâd dstrbuţle dte pr: cx cf f g x + y f g x y : + : :, p p p,,,, m,,, m ude p este probbltte relzăr smulte evemetelor A { f x } { }, dcă P P( A B) B g y u loc relţle: ş. M mult, ître probbltăţle de m sus m m p, p q, p p. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble letore. Pe bz coceptulu de depedeţă deft petru evemete se defesc vrblele letore depedete. Dcă f ş g sut două vrble letore smple, cu reprtţle cosderte m sus, tuc ele sut depedete dcă sstemele complete de evemete ( ) ( ) B, m sut depedete, dcă PA ( B) PA ( ) PB ( ) A ş,, petru orce, ş, m su puâd î evdeţă vrblele îsăş ş vlorle lor, f ş g sut depedete dcă P ( f x ş g y ) P( f x ) P( g y ), orcre r f, ş, m. Î czul câd vrblele f ş g sut dscrete cu o ftte de vlor relţle de defţe sut celeş, dor că dc ş prcurg mulţm umărble. Dcă f ş g sut vrble letore cotue, tuc ceste sut depedete dcă:

8 Vrble letore - 6 P(f < x ş g < y) P(f < x) P(g < y), petru orce x ş y d R. f, cu I cel mult umărblă, defte pe I celş câmp de probbltte sut depedete dcă, petru orce submulţme ftă de dc {,, K, } I re loc: O fmle de vrble letore ( ) (,, K, ) Pf < x f < x f < x orcre r f x, x, K, x d R. ( ) ( ) ( ) Pf < x Pf < x L Pf < x, Exemplul. Vrblele letore smple f ş g sut dte pr dstrbuţle de probbltte: 3 4 5 6 f: ş g:. 0, 0, 07, 04, 05, 0, Se cere să se scre dstrbuţle vrblelor letore f + g, f g ş f. x,,,3 ş ( ) Rezolvre: Să otăm cu ( ) respectv g. Atuc evemetele A { f x } { } y,,,3, vlorle vrblelor f,,,, 3 ş respectv B g y,,, 3, formeză ssteme complete de evemete. Se verfcă medt că ş evemetele C A B,,,,3 formeză u sstem complet de evemete. Vrbl letore f + g vlorle x + y,,,, 3 cu probbltăţle PC ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) (ître vrblele f ş g u fost dtă c u fel de depedeţă dec le cosderăm depedete, cee ce este echvlet cu fptul că sstemele de evemete defte de ele sut depedete). Vrbl letore f g vlorle x y PC r,,,, 3 cu probbltăţle ( ) vrbl letore f vlorle x,,, 3 cu probbltăţle ( ) ( ) PA A PA. Vom obţe stfel:

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 9 f + g 5 6 7 8 9 :, 004. 03, 039, 037, 007, 4 5 6 8 0 5 8 f g: 004, 005, 00, 008, 0, 03, 035, 007, ; f 4 9 :. 0, 0, 07, Î coture vom prezet câtev propretăţ le fucţe de reprtţe socte ue vrble letore. Teorem 3: Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f o vrblă letore relă deftă pe Ω. Atuc fucţ de reprtţe soctă ceste vrble letore F: R [0, ], pr F(x) P(f < x) re următorele propretăţ: ) F este mooto crescătore, ) lm Fx ( ) 0, lm Fx ( ) x x 3) F este cotuă l stâg î orce puct x R. Demostrţe: Fe x, x R. Dcă x < x, tuc { f < x } { f < x } dtortă propretăţ de mootoe probbltăţ, Pf ( < x) Pf ( < x ) Fx ( ) Fx ( ). ) Fe { x } x, tuc şrul { < } u şr descrescător cu lm N este u şr descedet ş: De m sus rezultă că: { f < x } { f < x } I lm. ( ) ( ) ( { } ) ( ) ş, rezultă lm Fx lm Pf< x Plm f< x P 0, dec lm Fx ( ) 0. f x N

0 Vrble letore - 6 Alog, să cosderăm u şr rbtrr { y } tuc şrul { < } lm f x N { f < y } { f < y } U Ω., crescător, cu lm y N, este u şr scedet de evemete ş D relţ de m sus, ţâd sem de comutre lmte cu probbltte petru şrur scedete su descedete rezultă: lm Fy ( ) lm Pf ( < y ) P lm { f < y} P( Ω). Deş o fucţe de reprtţe F este deftă pe R u pe R vom ot F(- ) lm Fx ( ) 0 ş F( ) lm F( x). x x 3) Să luăm u şr crescător ( z ), rbtrr, coverget către x. Atuc şrul de N evemete { < } este scedet ş: f z N { f < z } { f < z } { f < x} U lm. Ţâd sem de ceste egltăţ vem: Fx ( 0) lm Fz ( ) lm Pf ( < z ) P lm { f < z} P( f < x) F( x) cee ce rtă că fucţ F este cotuă l stâg î puctul x, cum cest fost les rbtrr, rezultă că fucţ de reprtţe F este cotuă l stâg pe R. Se pote demostr că propretăţle ), ) ş 3) d teorem de m sus crcterzeză complet fucţ de reprtţe ue vrble letore, î sesul că, fd dtă o fucţe F : R [0.] cu propretăţle de m sus, tuc exstă u câmp de probbltte (Ω, K, P) ş o vrblă letore f : Ω R căre fucţe de reprtţe este fucţ f dtă. Avâd î vedere ş posbltte utlzăr rezulttelor stblte de lz mtemtcă, refertor l fucţle rele de vrblă relă, s- mpus î Teor probbltăţlor utlzre fucţlor de reprtţe î locul vrblelor letore, î studul uor feomee ş expermete letore.

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe Teorem 4. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f : Ω R o vrblă letore ş F : R [0, ], fucţ s de reprtţe. Atuc re loc: ) Petru orce x R, F(x + 0) F(x) + P(f x) ş F este cotuă î x R dcă ş um dcă P(f x) 0; ) Petru tervlele mărgte, de extremtăţ ş b ( < b) re loc: P( f < b) F(b) - F() P( < f < b) F(b) - F( + 0) P( f b) F(b + 0) - F() P( < f b) F(b +0) - F( +0). Demostrţe: ) Petru clcul lmt l drept î puctul x, cosderăm u şr descrescător ( x ) cu lm x N x. Şrul de evemete { f < x } este u N şr descedet ş re lmt: De c rezultă: lm I { f < x } ({ f < x }) { f x}. ( + ) ( ) ({ < } ) { < } ( ) Fx 0 lm Fx lm P f x P lm f x Pf x. Î celş tmp putem scre: de ude rezultă: { f x} { f < x} U { f x}, cu { f < x} I { f x}, Pf ( x) Pf ( < x) + Pf ( x) Fx ( ) + Pf ( x) su F(x + 0) F(x) + P(f 0) 0, relţe ce rtă că f este cotuă î x dcă ş um dcă P(f x) 0. Petru demostr egltăţle d ) observăm că: de ude rezultă: { f < b} {f < } {f < b} ş { f < b} {f < }, P( f < b) + P(f < ) P(f < b). Ţâd sem de defţ fucţe de reprtţe rezultă: P( f < b) F(b) -F(). { < f < b} {f } { f <b} ş { < f < b} {f },

Vrble letore - 6 d cele două egltăţ de m sus vem: P( < f < b) P(f ) F(b) - F(). Cum F(b) - [F() + P(f )] F(b) - F( + 0), rezultă că: P( < f < b) F(b) - F( + 0). Î mod log se demostreză ş ultmele două egltăţ le puctulu ). Fe cum ρ : R [0, ), spuem despre fucţ ρ că este tegrblă pe R dcă este tegrblă pe orce tervl compct [, b] R cu < b. Petru o stfel de x fucţe se defeşte tegrl mpropre ρ( ) x x dx pr: () dt lm ρ() t ρ t dt. x Spuem că tegrl mpropre de m sus este covergetă dcă lmt d membrul drept exstă ş este ftă. Acestă tegrlă mpropre stă l bz defţe destăţ de reprtţe ue vrble letore. Defţ 3. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f: Ω R o vrblă letore ş F fucţ s de reprtţe. Dcă exstă o fucţe ρ: R [0, ) tegrblă pe R, stfel c: F x ( x) ρ( t) tuc fucţ ρ se umeşte destte de reprtţe su destte de probbltte vrble letore f. Teorem 5. Dcă vrbl letore f dmte destte de reprtţe ρ, tuc: P ρ dx ; ) ( f < b) ( x) ) ( ) ρ x dx. b Demostrţe: P( f b) F(b) - F() ρ( x ) dx ρ( x) dx b dt,

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 3 ρ b ( x ) dx + ρ( x) dx ρ( x) dx ρ( x) ρ b dx. ( x) dx lm ρ( x) dx lm F( b) lm F( ) F( ) F( ). b b Teorem 6. Fe ρ destte de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Dcă ρ este cotuă îtr-u puct x d R, tuc fucţ de reprtţe F soctă vrble letore f este dervblă î x ş F (x) ρ(x). Recproc, dcă fucţ de reprtţe F este dervblă pe R, tuc f dmte o destte de reprtţe ρ ş F ρ. Demostrţe: Î codţle teoreme: ( x) F( ) ρ ( t) F dt, ş tegrl d membrul drept este o fucţe dervblă î x, r dervt e este ρ(x), dec F (x) ρ(x). Dcă F este dervblă pe R, tuc putem scre: ( x) F( ) F ( t) x F dt, petru x R. Deorece fucţ de reprtţe F este crescătore rezultă că F (x) 0 petru orce x R. Dcă î egltte de m sus trecem l lmt petru -, obţem: F (x) x F (t)dt, petru orce x R, rezultă stfel, că fucţ F stsfce codţle Defţe 3, petru f o destte de reprtţe vrble f. Observţ. Fe ρ ş F destte, respectv fucţ de reprtţe vrble letore f. Să presupuem că ρ este cotuă pe u tervl I R, tuc F este dervblă ş dec cotuă pe I. Dcă, b I ş < b putem scre: x P ( f< b) P ( < f< b) P ( f b) P ( < f b) b ( b ) ρ( ξ) ρ( x)dx,

4 Vrble letore - 6 ude ξ (, b) (ρ fd cotuă m plct o teoremă de mede tegrle de m sus, cre sgură exsteţ lu ξ stfel c ultm egltte scrsă să fe devărtă). D cele de m sus rezultă că: ( ) ρξ P ( f b), ude ξ ( b, ). b Teorem 6. Fe ρ destte de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Dcă ρ este cotuă îtr-u puct x d R, tuc fucţ de reprtţe F soctă vrble letore f este dervblă î x ş F (x) ρ(x). Recproc, dcă fucţ de reprtţe F este dervblă pe R, tuc f dmte o destte de reprtţe ρ ş F ρ. Demostrţe: Î codţle teoreme: ( x) F( ) ρ ( t) F dt, ş tegrl d membrul drept este o fucţe dervblă î x, r dervt e este ρ(x), dec F (x) ρ(x). Dcă F este dervblă pe R, tuc putem scre: ( x) F( ) F ( t) x F dt, petru x R. Deorece fucţ de reprtţe F este crescătore rezultă că F (x) 0 petru orce x R. Dcă î egltte de m sus trecem l lmt petru -, obţem: F (x) x F (t)dt, petru orce x R, rezultă stfel, că fucţ F stsfce codţle Defţe 3, petru f o destte de reprtţe vrble f. Observţ. Fe ρ ş F destte, respectv fucţ de reprtţe vrble letore f. Să presupuem că ρ este cotuă pe u tervl I R, tuc F este dervblă ş dec cotuă pe I. Dcă, b I ş < b putem scre: x P ( f< b) P ( < f< b) P ( f b) P ( < f b) b ( b ) ρ( ξ) ρ( x)dx,

6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 5 ude ξ (, b) (ρ fd cotuă m plct o teoremă de mede tegrle de m sus, cre sgură exsteţ lu ξ stfel c ultm egltte scrsă să fe devărtă). D cele de m sus rezultă că: ( ) ρξ P ( f b), ude ξ ( b, ). b Teorem 6. Fe ρ destte de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Dcă ρ este cotuă îtr-u puct x d R, tuc fucţ de reprtţe F soctă vrble letore f este dervblă î x ş F (x) ρ(x). Recproc, dcă fucţ de reprtţe F este dervblă pe R, tuc f dmte o destte de reprtţe ρ ş F ρ. Demostrţe: Î codţle teoreme: ( x) F( ) ρ ( t) F dt, ş tegrl d membrul drept este o fucţe dervblă î x, r dervt e este ρ(x), dec F (x) ρ(x). Dcă F este dervblă pe R, tuc putem scre: ( x) F( ) F ( t) x F dt, petru x R. Deorece fucţ de reprtţe F este crescătore rezultă că F (x) 0 petru orce x R. Dcă î egltte de m sus trecem l lmt petru -, obţem: F (x) x F (t)dt, petru orce x R, rezultă stfel, că fucţ F stsfce codţle Defţe 3, petru f o destte de reprtţe vrble f. Observţ. Fe ρ ş F destte, respectv fucţ de reprtţe vrble letore f. Să presupuem că ρ este cotuă pe u tervl I R, tuc F este dervblă ş dec cotuă pe I. Dcă, b I ş < b putem scre: P ( f< b) P ( < f< b) P ( f b) P ( < f b) b x ( b ) ρ( ξ) ρ( x)dx, ude ξ (, b) (ρ fd cotuă m plct o teoremă de mede tegrle de m sus, cre sgură exsteţ lu ξ stfel c ultm egltte scrsă să fe devărtă). D cele de m sus rezultă că:

6 Vrble letore - 6 ( ) ρξ P ( f b), ude ξ ( b, ). b Fe x 0 u puct rbtrr d (, b). Dtortă cotutăţ fucţe ρ trecâd l lmtă petru b - 0 ş x ( b) 0, rezultă că ξ x 0 ş re loc egltte: P ( f b) ρ( x0) lm, b 0 b < x0 < b ce ustfcă deumre de destte de probbltte vrble letore f, trbută fucţe ρ. k Exemplul 3. Se dă fucţ ρ: R R, ρ( x). x e + e x ) Să se determe costt k stfel c fucţ ρ să fe destte de reprtţe ue vrble letore f; b) Dcă f ş f sut două vrble letore depedete ş detc reprtzte, vâd ceeş destte de reprtţe, ce lu f, să se clculeze P( f < ş f > ). Rezolvre: π ) ρ(x) este tegrblă pe R ş ρ ( x) dx k. Petru c ρ să fe o destte de reprtţe se mpue k π, de ude rezultă k π. b) Dcă vrblele f ş f sut depedete tuc: Pf ( < ş f > ) P( f < ) P( f > ) [ ] P( f < ) ( ) Pf ρ ( ρ ) ( x)dx (x)dx < rctg e rctg e. π π

6.. Vrble letore depedete 7 6.. Vrble letore depedete Vrblele letore cu proprette de depedeţă ocă u rol cotrl î tor probbltăţlor. Defţ. Fe (Ω, Κ, Ρ) u spţu cu măsură de probbltte complet dtvă ş F (f α ) α I o fmle de vrble letore rele defte pe (Ω, Κ, Ρ). Vom spue că F este o fmle de vrble letore depedete, dcă petru orce prte ftă J I ş orce submulţm borelee le mulţm umerelor rele (B α ) α J re loc egltte: ( ) ( α ) B P f ( Bα ) P f. α J α J Observţ. Dcă F este o subfmle de vrble letore fmle F, dcă F F, tuc depedeţ fmle F mplcă, evdet depedeţ subfmle F. Acest cocept de depedeţă fost trodus de mtemtce H. Stehus ş M. Kc. Să lzăm o crcterzre depedeţe ue fml fte de vrble letore smple. x vlorle pe cre le pote lu Fe ( ) f, o stfel de fmle ş fe ( ),r vrbl letore f. Aceste vrble letore geereză fmlle de prtţ le lu Ω ( D ), defte pr ( ) D A ş A { ( ) },r ω Ω : f ω x Cu ceste otţ re loc: Propozţ. Fml de vrble letore smple ( ) um dcă prtţle ( ), D sut depedete. Demostrţe. Fe fml de dc ( ), q Să otăm { } B x,, depedete. Atuc f sut depedete dcă ş, q, cu q r, petru orce ş să presupuem că vrblele { },,,. f sut

Vrble letore - 6 8 ( ) ( ) ( ) B P f B f P I. Ţâd sem de fptul că ( ) q A B f egltte de m sus deve ( ) q q A P A P I, ce ce rtă pr rbtrrtte dclor q, că prtţle ( ), D sut depedete. Recproc, fe ( ), B o fmle de submulţm borelee de pe drept relă. Atuc ( ) U I A B f, ude { } B x N s : I Cu otţle de m sus obţem ( ) ( ) l I l I I l I I l l l l l l l l P A A A P A P A P B f P I UI UU I ( ) ( ) I B f A P U Am obţut stfel relţ cre dcă depedeţ vrblelor letore ( ), f. Cu utorul fucţlor de reprtţe socte, u crteru de depedeţă petru o fmle de vrble letore este dt pr teorem următore. Teorem. Codţ ecesră ş sufcetă petru c o fmle de vrble letore ( ) I f F α α să fe o fmle de vrble depedete este c:

6.. Vrble letore depedete 9 ( x, x,...,x ) F( x ) F( x )... F( x ) F α α... α α α α α α α, α,..., α x α,x,...,x α α, ude F α α...α { } I, petru orce α ş { } R reprtţe vrble letore -dmesole ( f, f,..., f ) de reprtţe vrble letore f,, α. Observţ. Î czul î cre vrblele letore ( ) α I probbltte ( ρ α ) α I echvletă cu: α α α, r este fucţ de F α este fucţ fα dmt destăţle de, tuc codţ de depedeţă d teorem de m sus este ( x,x,...,x ) ρ ( x ) ρ( x )... ρ( x ) ρ, α α... α α α α α α α α ude ρ α α...α este destte de probbltte soctă vrble letore - dmesole fα α... α. U lt cocept petru depedeţ ue fml de vrble letore este următorul: F f este o fmle de vrble letore depedete k câte k, dcă orce subfmle F k formtă d k Defţ. Spuem că o fmle de vrble letore ( α ) α I vrble letore rbtrre d fml F este o fmle de vrble letore depedete. Observţ 3. Este evdet că orce fmle de vrble letore F depedete este o fmle de vrble letore depedete k câte k, petru orce k ft ş k crd(f). Petru czul două vrble letore depedete re loc următore proprette crcterstcă. Teorem. Vrblele letore f ş g sut depedete dcă ş um dcă vrblele letore f+, g+b sut depedete petru orce, b d R. Petru demostrţ teoreme se cosderă submulţmle borelee le drepte ' ' b, B b, ş se utlzeză relţ de defţe depedeţe. rele B [ ], [ ] b b Aplcţe. Fe vectorul letor bdmesol h (f, g) dt pr tbloul:. f, g 3 4 5 /6 0 0 /6 0 /4 3/8 /4

30 Vrble letore - 6 Să se studeze depedeţ vrblelor letore f ş g. Rezolvre. Vrblele letore mrgle f ş g sut defte pr: 3 4 5 f :, g : / 8 7 / 8 / 6 / 4 3/ 8 5 /6 7 Deorece P(f ş g 3) P(f ş g 3) rezultă că 4 8 4 vrblele letore f ş g u sut depedete. Î prgrful următor vom stbl o măsură grdulu de depedeţă 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore Vrblele letore sut crcterzte complet pr fucţle lor de reprtţe ş tuc câd ceste exstă, pr destăţle de reprtţe. De multe or îsă, este ecesră ş sufcetă o crcterzre m sumră vrblelor letore. De exemplu, petru determ umărul de mş ecesr petru obţere uu produs îtr-o cttte dtă, este sufcet să cuoştem produsul medu relzt de fecre mşă îtr-o utte de tmp. Astfel de crcterzăr m sumre sut dte pr umte crcterstc umerce c: vlore mede, mometele, dspers, btere mede pătrtcă le ue vrble letore. 6.3.. Crcterstc umerce le vrblelor letore dscrete Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f : Ω R o vrblă letore dscretă. x f:, p I ude I este cel mult umărblă ş p, p > 0, I Defţ. Numărul rel ott cu M(f) ş deft pr: (6.3.) M ( f ) I se umeşte vlore mede vrble letore f. p x

6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 3 Dcă f este o vrblă letore smplă (mulţme de dc I este ftă), tuc sum d () coţe u umăr ft de terme ş M(f) re ses totdeu. Petru vrblele letore dscrete cu o ftte de vlor dstcte (I mulţme umărblă) sum d () coţe o ftte de terme ş ecestăţle prvd posbltte schmbăr ord termelor îtr-o sere, mpu cerţ c ser p x, cre defeşte vlore mede să fe u um covergetă, c bsolut covergetă. Vlore mede ue vrble letore măsoră tedţ cetrlă reprtţe vlorlor vrble letore. Vlore M(f) repreztă umărul î urul căru se costtă o propere vlorlor vrble letore. Să cosderăm vrbl letore cre socză, î expereţ letore rucăr uu zr, umărul de pucte flt pe fţ superoră zrulu. Acest v ve tbloul de reprtţe: 3 4 5 6 f: 6 6 6 6 6 6 6 7 7 M. ş vlore mede () f p x k 6 6 k k 3, 5 k 6 k 6 Observţ. Dcă vrbl letore f : Ω R este smplă: tuc vlore mede () f cu poderle ( ) p k k,. k x f : p p k x k k k k,, M este med podertă vlorlor ( ) I x k k, Propozţ. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R vrble letore dscrete. Dcă vlorle med M(f) ş M(g) exstă, tuc ş vrblele letore f + g ş λf, cu λ R, u vlor med ş u loc următorele relţ: ) M(f + g) M(f) + M(g), b) M(λf) λm(f), c) dcă î plus vrblele f ş g sut depedete, tuc exstă ş M(f g) ş re loc M(f g) M(f) M(g).

3 Vrble letore - 6 Demostrţe: Deorece f ş g sut dscrete, u dstrbuţle de form: x f : p I, y g : g cu I ş J cel mult umărble. Vrbl letore f + g re dstrbuţ: x + y r I, ude r J P( f x,g y ). + M(f + g) r ( x y ) x r + y r I J I J J I x p + y q M(f ) + M(g). I J λx Dstrbuţ vrble letore λf este, dec M ( λf) p I λpx λ px λmf ( ). I I Dcă f ş g sut depedete, tuc r pq ş: Mfg ( ) xypq xp yq Mf ( ) Mg ( ). I J I J Î geerl, vlore mede produsulu două vrble letore dferă de produsul vlorlor med le celor două vrble letore. O legătură ître ceste vlor med este dtă de egltte lu Schwrtz. Teorem. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble Mg exstă. Atuc re loc letore dscrete stfel îcât Mf ( ) ş ( ) (6.3.) Mf ( g) Mf ( ) Mg ( ),. Demostrţe: Să cosderăm vrbl letore hα ( f αg) Observăm că h α 0 petru orce α R ş dec, l fel Mh ( α ) R. Î bz Propozţe vem:, ude α R. 0, petru orce α

Obţem stfel egltte: 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 33 ( α ) ( ) α ( ) + α ( ) Mh Mf Mfg Mg. ( ) ( ) ( ) Mf αmfg + α Mg 0, petru orce α R. Cosderăm membrul stâg l egltăţ de m sus c u trom de grdul do î α, fd poztv su ul petru orce α R, rezultă că dscrmtul său Mfg Mf Mg este egtv su 0, dec vem: [ ( )] ( ) ( ) [ Mfg ( )] Mf ( ) Mg ( ), de ude rezultă egltte () ş teorem este demostrtă. Fe f : Ω R o vrblă letore dscretă ş A u evemet d K (A K) x stfel că P(A) > 0. Să presupuem că f re dstrbuţ de probbltte, cu I p I mulţme umărblă. Defţ. Dcă ser xp ( f x) A este bsolut covergetă, tuc vlore: I (6.3.3) MfA ( ) xp ( f x) I se umeşte vlore mede codţotă vrble letore f, de evemetul A. Dcă î loc de evemetul A cosderăm u sstem complet de evemete ( A ), J cu J cel mult umărblă ş PA ( ) A > 0 tuc re loc următore relţe de legătură ître vlore mede lu f, M(f) ş vlorle med codţote le lu f, MfA ( ), ş ume: (6.3.4) Mf ( ) PA ( ) MfA ( ). J

34 Vrble letore - 6 x Defţ 3. Fe f : Ω R o vrblă letore dscretă petru cre exstă p I M(f). Atuc vrbl letore g : Ω R, cre re dstrbuţ de probbltte dtă pr g f M ( f ) : se umeşte vrblă btere de l vlore mede lu f. p I Ţâd sem că vlore mede ue vrble letore costte este costt îsăş, rezultă că M(g) M(f) - M(M(f)) M(f) -M(f) 0. Defţ 4. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f : Ω R o vrblă letore dscretă. Petru orce N ( ), vlore mede vrble letore f, (6.3.5) ( ) ( M f M f ), dcă exstă se umeşte mometul de ordul l vrble letore f. Vlore mede vrble letore f, (6.3.6) ( ) ( M f M f ) se umeşte mometul bsolut, de ordul, l vrble letore f. Să otăm, petru smplfcre screr, Mf ( ) f ş să presupuem că cestă vlore mede exstă. f f, Vlore mede vrble letore ( ) (6.3.7) m ( f) M ( f f) [ ] se umeşte mometul cetrt de ordul l vrble letore f. Dcă vrbl letore dscretă f, cosdertă m sus, re dstrbuţ x f:, vlorle med ş mometele cosderte m sus exstă, tuc ceste u p I exprmărle: (6.3.8) () f P x, M ( f ) P x m (f ) P ( x f ) I M. I Defţ 5. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f : Ω R o vrblă letore dscretă. Mometul cetrt de ordul do l vrble letore f, dcă exstă, se I

6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 35 umeşte dspers su vrţ vrble letore f ş se oteză cu ( ) x D f su σ ( f). Dcă f re dstrbuţ dtă pr f : p, tuc: I I (6.3.9) D () f σ () f m (f ) P ( x f ). Vlore D(f) σ(f) m ( f) se umeşte btere mede pătrtcă vrble letore f. Dcă vlore mede ue vrble letore este o vlore umercă î urul căre se costtă o grupre vlorlor vrble letore, dspers ş btere mede pătrtcă sut dctor ce m utlzţ petru crcterz împrăştere vlorlor ue vrble letore î urul vlor med. Teorem. Dcă dspers D ( f) vrble letore dscrete f exstă, tuc u loc egltăţle (6.3.0) D ( f) M ( f) [ M( f) ] (6.3.) D ( f) λ D ( f), petru orce λ R. Demostrţe: ( ) ( ) [ ] [ ( ) ] D ( f ) M f f M f f M f f f + f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] Mf fmf + f M f Mf [( ) ] ( ) [ ] ( ) D f M f f M f f M f f D ( λ ) λ λ λ λ λ ( f ) (mtm că f M( f)). Teorem 3. Dcă vrblele dscrete f ş g sut depedete re loc: D f + g D ( f) + D ( g). (6.3.) ( )

36 Vrble letore - 6 Demostrţe: Fe vrblele letore bter f f f ş g g g, ude f M( f) ş g M( g). Dcă f ş g sut depedete rezultă că f ş g sut depedete. D ( f + g ) M f + g ( f + g ) M f f + g g [ ] [( ) ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) M f + g M f + g M f + f g + g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mf + Mf Mg + Mg Mf + Mg D f + D g. ( ) ( ) Exemplul. Să rucăm o moedă de tre or ş să cosderăm vrbl letore f, cre c vlor umărul cre dcă de câte or s- obţut fţ pe cre este mrct bul. f vlorle 0,, su 3. Î cestă expereţă letore exstă 8 czur posble. Vrbl f vlorle de m sus cu probbltăţle Pf ( 0) 3 Pf ( ) 8, Pf ( ) 3 8 ş Pf ( 3) 8. Dstrbuţ de probbltte vrble letore f pote f reprezettă pr următore hstogrmă, r tbelul următor coţe elemete utle clcululu vlor med ş dsperse vrble letore f. 8, P(f) f D(f) fp(f) f f P ( f ) 3 0 0 0 0 8 8 3 3 3 8 8 8 8 3 6 4 8 0 3 f 8 3 8 Totl 8 8 8 8 3 9 9 8 8 M,5 M 3,0

6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 37 D tbelul de m sus vem M(f),5, M ( f) 30,, r dspers σ ( f) M ( f) [ M( f) ] 30, ( 5, ) 30, 5, 075,. Abtere mede părtcă este σ 075, 087,. Exemplul. U ucător este dspus să îcerce l u oc de oroc pâă l prm ereuştă. Ştd că l fecre îcercre î prte, şsele de reuştă sut de, să se 3 scre dstrbuţ vrble letore umărulu de îcercăr ecesre pâă l prm reuştă ş fucţ de reprtţe soctă ceste vrble letore. Să se clculeze vlore mede ş dspers ceste vrble letore. Rezolvre: Fe f umărul îcercărlor ecesre pâă l prm reuştă. Se observă că Pf ( ) 3, ( ) ( ) ( ) ( ) P f P A I A P A P A 3 3 3 ude A este evemetul l prm îcercre vem reuştă, r A este evemetul l dou îcercre se obţe o reuştă. După celş rţomet se stbleşte că k Pf ( k). Vrbl letore f v ve dstrbuţ dtă pr: k 3 ( x) P( f < x) f: 3 p < x 3 3 3 3 L L 3 L L. F este o fucţe î scră cu o ftte de trepte. Mf ( ) + + + + + 3 3 L L 3 3 3 3 + + + + + 3 3 L L 3 3 3. Petru clcul sum de m sus otăm u. Ţâd sem că u (0, ) ş 3 utlzâd ser geometrcă vem + u + u u + L +, relţe, cre îmulţtă cu u

38 Vrble letore - 6 ş dervtă î rport cu vrbl u, v ve î membrul drept sum d prteză vlor med M(f). Se obţe M(f) 3. Petru clcul dspers vrble letore f, folosd formul (0) obţem ( ) D f Mf ( ) Mf ( ) Mf 9. Dstrbuţ vrble letore f este [ ] ( ) 3 L L dtă pr f : L L. 3 3 3 3 3 Se obţe Mf ( ) 5, D ( f) 5 9 6 ş Df ( ) 6 7,. Cele de m sus rtă că, î mede, ucătorul re evoe de 3 îcercăr pîă l prm reuştă, r D(f),7 rtă că btere (mede pătrtcă) de l vlore mede 3, l cre e putem ştept î cest expermet letor, este de,7. 0.3.. Crcterstc umerce le vrblelor letore cotue Vom cosder, petru îceput, câtev cosderţ supr tegrle Rem- Steltes, bsolut ecesre î cele ce urmeză. Fe [, b] R, < b u tervl îchs ş mărgt. Mulţme de pucte {,,, } x 0 x K x, cu x0 < x < x < L < x b se umeşte o dvzue segmetulu [, b]. xk x k se umeşte orm dvzu. k Fe f, g : [, b] R două fucţ mărgte ş î plus presupuem că g este crescătore. Numărul ν( ) mx ( ) Defţ 6. Sum: [ ] (6.3.3) σ ( fgξ ) f( ξ ) gx ( ) gx ( ) ude [ x x ),, ξ,, portă umele de sumă Rem-Steltes fucţe f î rport cu fucţ g. Defţ 7. Spuem că fucţ f este tegrblă Rem-Steltes (R-S) î rport cu g pe [, b], dcă exstă u umăr rel I cu proprette că petru orce ε > 0, exstă δ(ε) > 0, stfel îcât, orcre r f o dvzue lu [, b] cu orm ν( ) < δ(ε) să vem:,

(6.3.4) ( fg ) orcre r f legere puctelor [ ) 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 39 σ,, ξ I < ε, ξ x, x,,. Numărul I este pr defţe tegrl Rem-Steltes lu f î rport cu g pe [, b] ş se oteză pr: (6.3.5) f ( x) dg( x) I. b Observţ. Dcă g(x) x se obţe tegrl Rem, dg(x) u repreztă îtotdeu dfereţl fucţe g, fucţ g pote să u fe dfereţblă pe [, b] ş tegrl R-S să exste. Teorem 4. Codţ ecesră ş sufcetă c f să fe tegrblă R-S, î rport cu g, pe [, b], este c orcre r f şrul de dvzu {, cu şrul ormelor { ( )} } N { } tzâd l 0, şrul sumelor tegrle R-S σ (,, ξ ) ν N fg să fe N coverget l I. Petru clculul ue tegrle R-S putem folos defţ, î umte codţ, clculul tegrle R-S se reduce l clculul ue tegrle Rem. Teorem 5. Dcă fucţ f este cotuă pe [, b] ş g dervblă cu dervt cotuă pe [, b], tuc: b b (6.3.6) ( S ) f ( x) dg( x) ( R) f ( x) g ( x) R dx. De semee re loc următorul rezultt de reversbltte (formul de tegrre pr părţ), cre se utlzeză, de obce, câd u sut îdeplte codţle d teorem de m sus, dr schmbâd rolul lu f cu g ele dev stsfăcute. Teorem 6. Dcă f este tegrblă (R-S) î rport cu g pe [, b], tuc g este tegrblă (R-S) î rport cu f pe [, b] ş re loc: b b (6.3.7) f ( x) dg( x) f ( b) g( b) f ( ) g( ) g( x) df ( x) Să presupuem cum că tegrl ( x) dg( x) orce b >. Dcă lmt: b (6.3.8) lm f ( x) dg( x) b b f exstă ş este ftă, petru

40 Vrble letore - 6 exstă ş este ftă, spuem că tegrl (R-S) fucţe f(x), î rport cu g(x), pe [, + ), este covergetă (re ses) ş este dtă de: b (6.3.9) ( x) dg( x) lm f ( x) dg( x) f. b Itegrlele R-S pe tervlele emărgte (-, + ), (-, ) pot f reduse l ce deftă m sus. Să cosderăm cum, czul geerl l ue vrble letore f, dscrete su cotue. Fe F fucţ s de reprtţe, cest este o fucţe crescătore, I(x) x, fucţ detcă ş fe o dvzue tervlulu [, b). Atuc sum: (6.3.0) σ ( I,F, ξk ) ξk[ F( xk ) F( x k ) ] ξkp( xk f < xk ) k împărţtă cu P( f < b) F(b) - F() pote f cosdertă c o proxmţe vlor med vrble letore pe tervlul [, b), proxmre fd cu tât m buă cu cât orm dvzu este m mcă. Se pote tuc cosder tegrl R-S fucţe detce I(x) x î rport cu fucţ de reprtţe F: b (6.3.) lm σ ( ξ ) ( ) ( ) I,f, k xdf x, ν 0 împărţtă cu F(b) - F(), c vlore mede vrble letore f pe tervlul [, b). Deorece fucţ I(x) este cotuă, r F este crescătore, tegrl exstă ş este depedetă de legere puctelor [ x x ) ξ k k, k. k Î potez că xdf ( x) este bsolut covergetă, dcă ( ) df x lm ( Fb F) bsolut covergetă, cum ( ) ( ) x este, sutem coduş l def b vlore mede vrble letore f, M(f) pr: (6.3.) M () f xdf() x. Dcă f este o vrblă letore dscretă, luâd puctele dvzu, î ş fel c ele să u cocdă cu vlorle vrble letore f, r puctele ξ k chr vlorle vrble letore f, ţâd sem că dcă î tervlul [ xk xk) găsesc vlor le vrble letore f, tuc Px ( f x ) obţem:, u se k < k 0, d ()

ude p P( f v ) 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 4 ( f ) M p k v k, k I k k, r v k sut vlorle vrble letore dscrete f, dcă exct relţ de defţe (). Pe bz celor de m sus re loc: Defţ 8. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f : Ω R o vrblă letore ş F fucţ s de reprtţe. Dcă ( x) vlore mede: (6.3.3) M() f xdf() x xdf este covergetă, vrbl letore f re f. Î czul câd vrbl letore f dmte o destte de reprtţe ρ cotuă pe porţu, tuc F este dervblă î orce puct x î cre ρ este cotuă ş F ( x) ρ ( x). Î cest cz tegrl d (3) se reduce l o tegrlă Rem ş f re vlore mede: (6.3.4) M() f xρ() x f dx. Pord de l ceste exprmăr le vlor med, le ue vrble letore f, tuc câd tegrlele cre terv, sut corect defte, exstă ş sut fte, celellte crcterstc umerce le ue vrble letore cotue se exprmă pr: ) Mometul de ordul k: M b) Mometul bsolut de ordul k: M c) Mometul cetrt de ordul k: m d) Dspers: k k k () f M( f ) x df( x) x ρ( x) dx k. k k k ( f ) M( f ) x df( x) x ρ( x) dx k. () k ( ) k k f M f f ( x f ) df( x) ( x f ) ρ( x) dx k, D (f ) m (f ) (x f ) df(x) (x f ) f (x) dx.

4 Vrble letore - 6 e) Abtere mede pătrtcă: () σ M () f ( x f ) df( x) ( x f ) ρ( x)dx D f f Cu exprmărle de m sus se costtă că propretăţle crcterstclor umerce le ue vrble letore dscrete rămâ vlble ş î czul cotuu, dec sut, î geerl, vlble. Fe f o vrblă letore ş M(f) vlore s mede (deseor tereseză frecveţ bterlor de l vlore mede) depăşd o umtă lmtă L > 0 su ( evemetulu opus) frecveţ bterlor sub lmt L. Răspusul este dt de: Teorem 7. (Iegltte lu Cebîşev). Dcă σ este dspers vrble letore f, tuc probbltte c modulul bter f - M(f) să vlor m mr decât u umăr L > 0 este m mcă decât σ L, dcă: ( ) (6.3.5) P f M( f) L σ L,Ö su: σ (6.3.5 ) P( f M( f) < L) >. L Demostrţe: Să otăm λ L σ, rezultă. Se mpue λ >. Ţâd sem σ λ L că L λσ egltte lu Cebîşev se m scre sub form: (6.3.6) P ( f M ( f ) λσ ), λ ude σ D(f) este btere mede pătrtcă vrble letore f. Fe: Aλ { ω Ω: f( ω) M( f) λσ}. Atuc vem: Deorece f M( f) [( )] ( ) [( ( )) ] [( ) / λ] 0 rezultă că M[ ( f M( f) ) / Aλ ] 0 σ λ λ D ( f) M f M( f) P A M f M f / A + ( ) ( ) + PAλ M f Mf A [ ]

6.4. Fucţ crcterstcă soctă ue vrble letore 43 D egltte de m sus se obţe egltte: [( ) ] ( ) σ λ λ D ( f) M f M( f) / A P A. Pe de ltă prte, d modul cum fost deftă mulţme A λ, rezultă că pe cestă mulţme f M( f) λσ, de ude vem M f M( f) / Aλ λσ. Am [ ] [( ) ] obţut stfel egltte P( A ), cre mplcă ( ) σ λ σ λ PA λ λ, cee ce rtă că egltte (6.3.6) este demostrtă, e fd echvletă cu egltăţle (6.3.5) ş (6.3.5 ). Teorem este complet demostrtă. 6.4. Fucţ crcterstcă soctă ue vrble letore U strumet de studu l vrblelor letore, uşor de mâut, coducâd l clcule m smple ş cu plcţ î studul proceselor stocstce, îl costtue fucţle crcterstce. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f : Ω R o vrblă letore, tuc fucţ ( ) ( ) g ω e tf ω, ude este utte mgră, r t este u prmetru rel, este o ouă vrblă letore, e re îsă vlor complexe. Vrbl g se m pote exprm g(ω) cos tf(ω) + s tf(ω) ş re modulul egl cu utte, g( ω ). Evdet, dcă f este o vrblă letore dscretă tuc ş g este dscretă ş l fel dcă f este cotuă g este cotuă. Defţ. Se umeşte fucţe crcterstcă vrble letore f, plcţ ϕ : R C, deftă pr relţ: (6.4.) (t) M( e t f x ) e t df( x) ϕ. Dcă f este o vrblă letore dscretă dtă pr: xk (6.4.) f:, pk k, tuc fucţ crcterstcă soctă lu f este deftă pr:

44 Vrble letore - 6 t xk (6.4.3) ϕ( t) e pk. k Dcă f este o vrblă letore cotuă ş re destte de reprtţe ρ(x), tuc fucţ crcterstcă soctă lu f este dtă pr: (6.4.4) () t x ϕ t e ρ( x) dx. D cele prezette pâă cum, rezultă că, ue vrble letore f se socză o fucţe de reprtţe F cotuă l stâg ş o fucţe crcterstcă cotuă. M mult, ceste fucţ crcterzeză, probblstc, vrbl letore f, putâd-o îlocu î dverse clcule, m les, câd ceste se smplfcă pr folosre ue su lte d fucţle socte. Teorem. Fucţ crcterstcă, ue vrble letore f, dmte următore dezvoltre î sere de puter: M (6.4.5) () ( f ) 0 ϕ t t,! ude Mf ( ) este mometul de ordul l vrble letore f. Demostrţe: Îtr-devăr îlocud î () ( t f ϕ t M e ) e t x df( x) fucţ e tx e obţem () ( ) cu dezvoltre e î sere de puter t x t x M f ϕ t t. 0! 0! Acestă egltte permte să se clculeze, m uşor, pe bz fucţe crcterstce, mometele de orce ord le vrble letore f, ş ume vem: ϕ M( f ) t C t, ude C 0! () D cele de m sus rezultă: M f d ϕ ( ) ( t). dt d ϕ( t), dr C. dt! t 0 t 0

6.4. Fucţ crcterstcă soctă ue vrble letore 45 Teorem. Dcă vrbl letore f dmte o reptţe cotuă, tuc destte de reprtţe vrble letore f, ρ(x) este dtă, cu utorul fucţe crcterstce ϕ corespuzătore, pr: ρ π ( ) t x x e ϕ() t dt. Exemplul. Se dă fucţ crcterstcă ue vrble letore f, ϕ( t) ( + e t ) 4. Să se scre fucţ de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Rezolvre: ( ) t t t ϕ t ( + e ) + e + e 4, de ude rezultă că vrbl 4 4 letore vlorle 0,, cu probbltăţle 4,, 4, dcă dstrbuţ lu f este 0 f: 4 4. Fucţ de reprtţe corespuzătore este: Fx ( ) 0 petru x 0 petru 0< x 4 3. petru < x 4 petru x > Exemplul. Să se scre fucţ de reprtţe corespuzătore vrble f, petru cre e t este dtă fucţ crcterstcă ϕ( t). Rezolvre: Observăm că et <. Să otăm e t r, tuc:

46 Vrble letore - 6 t ϕ() t ( r) r e. + r 0 0 Deducem că vrbl letore f re dstrbuţ de probbltte dtă pr: 0 L L f: L L ş fucţ de reprtţe: F(x) k 0 0 k+ petru x 0 petru 0 < x. petru x <,,3,K 6.5. Depedeţ vrblelor letore. Corelţe. Coefcet de corelţe Fe f ş g două vrble letore, ele pot f depedete, ître ele pote exst o depedeţă fucţolă, de exemplu, f h(g) su pot f depedete, dr u fucţol, dcă ître ele pote exst o depedeţă de tură letore. Covrţ ş coefcetul de covrţă repreztă măsur le grdulu de depedeţă letore două vrble. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble letore. Fe f, g vlorle lor med. Defţ. Se umeşte corelţe su covrţă vrblelor letore f ş g vlore: [ ] (6.5.) cov( fg, ) M ( f f)( g g). D defţ de m sus, rezultă medt că, covrţ re următorele propretăţ: ) cov (f, g) cov (g, f) - proprette de smetre;

6.5. Depedeţ vrblelor letore. Corelţe. Coefcet de corelţe 47 b) cov (αf, βg) αβ cov (f, g) - proprette de omogette; c) cov (f, g) M(f g) - M(f) M(g). Ultm proprette stbleşte legătur ître covrţ vrblelor letore f ş g, ş vlorle med le lu f g, f ş g. Dcă cov (f, g) 0, se spue că vrblele letore sut ecorelte. Se observă medt că, dcă vrblele letore f ş g sut depedete, tuc M(f g) M(f) M(g) ş d c) rezultă că ele sut ecorelte. Dcă vrblele f ş g sut ecorelte, tuc re loc M(f g) M(f) M(g), dr ele u sut î mod oblgtoru depedete. O măsură stdrdztă depedeţe două vrble letore o repreztă coefcetul de corelţe. Defţ. Se umeşte coefcet de corelţe l vrblelor f ş g vlore: cov ( fg, ) (6.5.) ρ( fg, ). D ( f) D ( g) Dcă vrblele f ş g sut dscrete ş u vlorle ( ) p P( f x ş g y ), N tuc: ( f,g) ( x f )( y g) ρ. D (f )D (g) x N, respectv ( ) p y N ş D egltte lu Schwrtz rezultă medt că orcre r f două vrble letore f ş g : Ω R: (6.5.3) ρ ( fg, ). M mult, re loc: Teorem. Ître două vrble letore f ş g exstă o relţe lră dcă ş um dcă: ρ fg,. (6.5.4) ( ) Pe lâgă cele rătte m sus exstă ş lte măsur le grdulu de depedeţă două vrble, dtre cre mtm coefcetul de cotgeţă. Exemplul. Fe vectorul letor h (f, g) dt pr tbloul:

48 Vrble letore - 6 f g 6 0 0 3 4 0 0 0 4 3 8 4 6 0 Să se studeze depedeţ ş ecorelre vrblelor letore f ş g. Rezolvre: Vrbl letore f vlorle ş cu probbltăţle Pf ( ) + 6 6 8, Pf ( ) + 3 4 + 8 4 7. Vlore letore g 8 vlorle: 0,,, 3, 4 cu probbltăţle Pg ( 0) 6, Pg ( ) 4, Pg ( ) 3 8, Pg ( 3) 4 ş Pg ( 4), dcă dstrbuţle lu f ş g sut dte pr: 6 Petru produsul f g se obţe dstrbuţ: 0 3 4 f: 7 8 8, g: 3 6 4 8 4 6. 0 3 4 6 8 f g: 6 0 7 0 0 4 6 4. Clculâd vlorle med corespuzătore obţem M(f) 5, M(g), M(f g) 8 5 5, cov(f, g) M(f g) - M(f) M(g) 4 8-5 0. Dec vrblele letore f ş 4 g sut ecorelte, dr P(f ş g ) 4 P(f ) P(g ) 7, cee ce rtă 8 4 că f ş g u sut depedete.