5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 5. Súčty úvod Súčty sú v matematie všade, preto potrebujeme záladné nástroje na manipuláciu s nimi. V tejto apitole objasníme spôsoby zápisu a všeobecné metódy, toré nám spríjemnia narábanie so súčtami. Označenie a zápis V apitole sme sa stretli so súčtom prvých n celých čísel, torý sme zapísali + 2 + 3+...+(n )+n. Symboly... nám naznačujú, ao doplniť v súčte chýbajúce členy podľa oolitých členov. Samozrejme, musíme dávať pozor na súčty tvaru +7+...+4.7, toré bez oolitého ontextu nedávajú zmysel. Na druhej strane, uvádzanie členov 3 a (n ) je trochu zbytočné, naoľo predpis pre členy by bol dostatočne zrozumiteľný, aj eby sme napísali len + 2 +... + n. Nieedy môžeme byť ta nedôsledný, že napíšeme len +... + n. Budeme pracovať so súčtami všeobecného tvaru (5.) a + a 2 +... + a n, de aždý člen a je nejao definované číslo. Tento zápis má tú výhodu, že vidíme celý súčet tamer, ao by sme ho mali celý vypísaný na papieri (samozrejme pri dostatu predstavivosti). Každý výraz a v súčte nazývame člen. Členy súčtu sú obyčajne implicitne špecifiované výrazmi, čo umožňuje ľahšie pochopiť predpis na ich tvorbu. V taýchto prípadoch vša musíme súčet zapísať v dostatočne rozšírenom tvare, aby význam členov bol dostatočne zrejmý. Naprílad + 2 +... + 2 (n ) zrejme označuje súčet n členov (a nie 2 (n ) členov), čo môžeme priamočiarejšie zapísať 2 0 + 2 +... + 2 (n ). Zápis s troma bodami má mnohoraé použitie, ale môže byť rozvláčny a dvojzmyselný. Ponúajú sa ďalšie možnosti, najmä súčet s hranicami tvaru (5.2) n a, torý sa nazýva Sigma zápis, lebo používa gréce písmeno (veľá sigma). Tento zápis nám hovorí, že súčet zahŕňa presne tie členy a, torých index je celé číslo medzi dolnou a hornou hranicou súčtu a n vrátane. Hovoríme, že sčitujeme cez od po n. Prvýrát použil zápis v rou 820 Joseph Fourier a ten zaráto zachvátil celý matematicý svet. Mimochodom, veličina nasledujúca za (teraz a ) sa nazýva sčítanec. Hovoríme, že indexová premenná je zviazaná so znaom, lebo premenná vo výrazoch a nesúvisí s premennou mimo zápisu. Písmeno v zápise súčtu môžeme nahradiť ľubovoľným iným písmenom bez zmeny významu výrazu. Často sa
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 2 ao meno indexovej premennej používa písmeno i (snáď preto, že znamená index ). My, vo všeobecnosti, budeme sčitovať podľa premennej, naoľo premenná i je vyhradená pre. Uazuje sa, že všeobecné zápisy sú použiteľnejšie ao súčty s hranicami. Všeobecný zápis dostaneme ta, že napíšeme jednu alebo viac podmieno pod zna na vymedzenie množiny indexov, cez torú sčitujeme. Naprílad, súčet vo výrazoch (5.) a (5.2) môžeme prepísať (5.3) n a. V tomto onrétnom prílade nie je veľa odlišností medzi novým tvarom súčtu a tvarom (5.2), ale všeobecný zápis nám umožňuje sčitovať cez množinu indexov, torá nemusí byť ohraničená na posebeidúce celé čísla. Naprílad, súčet štvorcov všetých nepárnych ladných čísel menších ao 00 zapíšeme nasledovne: 2, čo je evivalentné zápisu <00 je nepárne 49 (2 + ) 2, torý je vša ťažopádnejší a menej jasný. Podobne súčet prevrátených hodnôt všetých prvočísel medzi a N je p ; čo pomocou súčtu s hranicami zapíšeme p N p je prvočíslo π(n) de p označuje -te prvočíslo a π(n) je počet prvočísel N. (Mimochodom táto suma je približne rovná priemernému počtu rôznych prvočíselných deliteľov náhodného čísla z oolia N, pretože približne /p z týchto čísiel je deliteľné s p. Hodnota súčtu je približne ln ln N + M, de M je onštanta 0.26.) Najväčšou výhodou všeobecného zápisu je to, že sa s ním ľahšie manipuluje ao so súčtami s hranicami. Naprílad, predpoladajme, že chceme zmeniť indexovú premennú z na +. Vo všeobecnom zápise túto zámenu zapíšeme a = a + ; n p, + n ľaho vidíme, čo sa stalo pri zámene premennej a substitúciu môžeme vyonať tamer bez rozmýšľania. Ale v tvare súčtu s hranicami dostávame n n a = a + ;
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 3 to už ťažšie vidieť, čo sa stalo a sôr spravíme chybu. Na druhej strane, tvar súčtu s hranicami nie je celom nepoužiteľný a zbytočný. Je pený, úhľadný a rýchlejšie ho zapíšeme, lebo výraz (5.2) má sedem znaov v porovnaní s výrazom (5.3), torý má 8 znaov. Preto často pri formulácii problému a jeho riešenia používame zápis s hornou a dolnou hranicou, ale pri jeho riešení pri manipuláciach so súčtom, pri torých transformujeme indexovú premennú preferujeme prácu so všeobecným zápisom s podmienami dole. Zna budeme používať príliš často a ta by sme si mali byť istý, že vieme, čo znamená. Formálny zápis používame (5.4) P () ao sratu pre súčet všetých členov a taých, že je celé číslo majúce vlastnosť P (). ( Vlastnosť je ľubovoľné pravdivé, či nepravdivé tvrdenie o ). Doteraz sme uvažovali, že existuje len onečne veľa celých čísel spĺňajúcich P () taých, že a 0; v opačnom prípade by sme sčitovali spolu neonečne veľa nenulových čísel a situácia by bola trochu ompliovanejšia. Opačný rajný prípad je, a vlastnosť P () je nepravdivá pre všety celé. Vtedy dostávame prázdny súčet, torého hodnota je definovaná ao nula. Často sa poúšame písať a n ( )(n ) =2 namiesto n ( )(n ) pretože členy pre = 0, a n sú v tomto súčte rovné nule. Môže sa zdať efetívnejšie sčitovať len n 2 členov namiesto n +. Taéto snahy môžu byť na príťaž; lebo efetívnosť výpočtu nie je to isté, ao efetívnosť porozumenia! Je výhodné udržiavať hornú a dolnú hranicu v najjednoduchšom tvare, pretože narábanie so súčtami je tým jednoduchšie, čím jednoduchšie sú hranice. Navyše výraz n =2 je nebezpečný a zradný, pretože nie je jasný jeho význam pre n = 0 alebo n =. Nulové členy nespôsobujú žiadne šodu, a často nás chránia pred mnohými problémami. Doteraz disutované označenia sú vcelu štandardné. Teraz urobíme radiálny odlon od tradične zaužívaných označení. Kenneth Iverson objavil prerásnu myšlienu v jeho programovacom jazyu APL, torá (ao uvidíme) veľmi zjednoduší mnohé veci, toré chceme robiť. Myšliena spočíva v tom, že do zátvorie uzavrieme pravdivý, či nepravdivý výraz a povieme, že jeho výsledom je, a je výraz pravdivý, alebo 0, a je výraz nepravdivý. Naprílad {, a p je prvočíslo; [p je prvočíslo] = 0, a p nie je prvočíslo. Iversonov spôsob umožňuje písať súčty bez aýchoľve obmedzení na index, pretože výraz (5.4) môžeme prepísať do tvaru (5.5) [ ] a P ().
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 4 A P () je nepravdivé, člen a je rovný nule, taže ho môžeme bez obáv začleniť medzi sčitované členy. Tým sa ľahšie pracuje s indexom pri sčitovaní, pretože nemusíme robiť žiaden rozruch s ohraničujúcimi podmienami. Musíme poznamenať nietoré technicé detaily: nieedy a nie je definované pre všety celé. Môžeme to obísť predpoladajúc, že [ P () ] [ ] je veľá nula, a P () je nepravdivé; to je taá veľá nula, že výraz a P () je rovný nule, aj eď a je nedefinované. Naprílad, použijúc Iversonov zápis môžeme zapísať súčet prevrátených hodnôt prvočísel N nasledovne [p je prvočíslo][p N]/p, p pričom nevzniá žiaden problém delenia nulou, a p = 0, lebo podľa uvedenej dohody [0 je prvočíslo ][0 N]/0 = 0. Zhrňme, čo sme povedali o súčtoch. Existujú dva rozumné spôsoby ao vyjadriť súčet členov: jeden používa... a druhý. Zápis používajúci trojbodu je často praticejší pri manipuláciach (zvlášť pri ombinácii susedných členov), naoľo v ňom ľahšie objavíme tri potrebný na úpravu, a máme celý súčet pred očami. Ale veľa detailov je tiež zavádzajúcich. Sigma zápis je jednoduchý, pôsobivý a priateľsý a často vhodný pre manipuláciu, čo nie je taé očividné pri zápise s troma bodami. A pracujeme so Sigma zápisom, nulové členy nie sú nebezpečné. V sutočnosti, nuly nám často v Sigma operáciach pomáhajú. Súčty a reurentné vzťahy Ta dobre, teraz už vieme, ao vyjadriť súčty v prijateľnom zápise. Ale ao člove sutočne postupuje pri hľadaní hodnoty súčtu? Jeden spôsob je, všimnúť si, že existuje blízy vzťah medzi súčtami a reurentnými vzťahmi. Súčet je evivalentný reurzívnemu vzťahu S n = n a (5.6) S 0 = a 0 ; S n = S n + a n, pre n > 0. Preto súčet môžeme vypočítať použitím metódy, torú sme sa naučili na riešenie reurentných vzťahov. Naprílad, a a n je rovné onštante plus násobo n, reurentné vzťahy pre súčet typu (5.6) majú nasledujúci tvar: (5.7) R 0 = α; R n = R n + β + γn, pre n > 0. Poračujúc podobne ao pri reurenciách zistíme, že R = α + β + γ, R 2 = α + 2β + 3γ, atď. Vo všeobecnosti riešenie môžeme zapísať v tvare (5.8) R n = A(n)α + B(n)β + C(n)γ,
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 5 de A(n), B(n) a C(n) sú oeficienty závislosti na všeobecných parametroch α, β a γ. Metóda neurčitých oeficientov nám radí súsiť dosadiť za R n jednoduché funcie dúfajúc, že nájdeme onštantné parametre α, β a γ, pre toré je riešenie zvlášť jednoduché. Položením R n = dostávame, že α =, β = 0 a γ = 0. Z toho vyplýva A(n) =. Položením R n = n dostávame, že α = 0, β = a γ = 0. Z toho vyplýva B(n) = n. Položením R n = n 2 dostávame, že α = 0, β = a γ = 2. Z toho vyplýva a dostávame C(n) = (n 2 + n)/2. Preto, a chceme vypočítať 2C(n) B(n) = n 2 n (a + b), reurentné vzťahy (5.6) sa reduujú na (5.7), pričom α = β = a, γ = b, a riešenie má tvar aa(n) + ab(n) + bc(n) = a(n + ) + b(n + )n/2. Opačne, mnohé reurentné vzťahy môžeme reduovať na súčty, preto sa v tejto apitole oboznámime so špeciálnymi metódami na výpočet súčtov, toré nám pomôžu riešiť reurentné rovnice, toré by sme ina riešili obtiažne. Reurentné vzťahy pre úlohu Hanojsých veží sú toho príladom: T 0 = 0; T n = 2T n +, pre n > 0. Upravíme ich do špeciálneho tvaru podobnému tvaru sumy (5.6) ta, že vydelíme obe strany 2 n : Teraz položíme S n = T n 2 n a dostávame Z toho vyplýva vzťah T 0 2 0 = 0; T n 2 n = T n 2 n +, pre n > 0. 2n S 0 = 0; S n = S n + 2 n, pre n > 0. S n = n 2.
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 6 (Poznamenajme, že sme zo súčtu vynechali člen pre = 0). Súčet geometricého radu 2 + 2 2 + + 2 n = ( 2 ) + ( 2 )2 + + ( 2 )n odvodíme v tejto apitole nesôr a uážeme, že je ( 2 )n. Preto T n = 2 n S n = 2 n. V tomto odvodení sme previedli T n na S n tým, že sme reurentné vzťahy vydelili číslom 2 n. Tento tri je špeciálny prípad metódy, torá môže reduovať sutočne ľubovoľný reurentný vzťah tvaru (5.9) a n T n = b n T n + c n na súčet. Myšliena spočíva na triu vynásobiť obe strany sumarizačným členom s n : Tento člen je chytré zvoliť ta, aby s n a n T n = s n b n T n + s n c n. s n b n = s n a n. Potom, a označíme S n = s n a n T n, dostaneme reurentný súčet, Preto S n = s 0 a 0 T 0 + S n = S n + s n c n. n s c = s b T 0 + a riešenie pôvodnej reurentnej rovnice (5.9) je n s c, (5.0) T n = s n a n ( s b T 0 + n s c ). Naprílad, eď n =, dostaneme T = (s b T 0 + s c )/s a = (b T 0 + c )/a. Ale ao byť dostatočne chytrý pri hľadaní správneho s n? To nie je problém! Vzťah s n = s n a n /b n môžeme rozvinúť do zlomu, (5.) s n = a n a n 2... a b n b n... b 2, torý sám alebo nejaý jeho násobo, je vhodný ao s n. Naprílad v prípade reurentných vzťahov pre Hanojsé veže sú a n = a b n = 2 a všeobecná metóda, torú sme práve odvodili, hovorí, že s n = 2 n je vhodný násobo na násobenie reurentnej rovnice, a ju chceme reduovať na súčet. Na objavenie tohoto súčiniteľa nepotrebujeme svelý zábles inšpirácie. Musíme byť vša opatrní, aby sme sa nedopustili delenia nulou. Popísaná metóda funguje vždy, a všety oeficienty a a b sú nenulové.
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 7 Prílad. Apliujme tieto myšlieny na riešenie reurentného vzťahu, torý vzniá pri súmaní triedenia nazývaného Quic-sort ; jedného z najrýchlejších vnútorných metód na triedenie dát. Priemerný počet porovnaní spĺňa reurentný vzťah (5.2) C 0 = 0; C n = n + + 2 n C, pre n > 0. n Hmmm! To vyzerá oveľa strašidelnejšie ao reurentné vzťahy, toré sme videli doteraz; výraz obsahuje súčet všetých predchádzajúcich hodnôt a delenie číslom n. Súšaním nietorých malých prípadov zísame nietoré hodnoty (C = 2, C 2 = 5, C 3 = 26 3 ), ale nezbavíme sa našeho strachu. Postupne reduujeme zložitosť (5.2), najprv odstránime delenie a potom odstránime zna. Myšliena vynásobiť obe strany n nás privedie vzťahu n nc n = n 2 + n + 2 C, pre n > 0; a a n nahradíme výrazom n, dostaneme n 2 (n )C n = (n ) 2 + (n ) + 2 C, pre n > 0. Teraz odčítame druhú rovnicu od prvej a zna sa stratí nc n (n )C n = 2n + 2C n, pre n >, Z toho vyplýva, že tento vzťah platí aj pre n = pretože C = 2. Tým sme pôvodný reurentný vzťah pre C n reduovali na oveľa jednoduchší C 0 = 0; nc n = (n + )C n + 2n, pre n > 0. To je úspech! Teraz sme v stave, eď môžeme použiť sumarizačný člen, naoľo reurentný vzťah má tvar (5.9) s a n = n, b n = n+ a c n = 2n. Všeobecná metóda popísaná predtým nám hovorí, aby sme vynásobili reurentný vzťah nejaým násobom výrazu s n = a n a n 2... a b n b n... b 2 = (n ) (n 2)... (n + )n... 3 = 2 (n + )n. Riešenie podľa (5.0) je C n = 2(n + ) n +.
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 8 Súčet, torý sme dostali, je veľmi podobný tým, toré často vzniajú v apliáciach. Oni vzniajú v sutočnosti ta často, že pre ne zavedieme špeciálne meno a špeciálny zápis: (5.3) H n = + 2 +... + n = n, Písmeno H znamená harmonicé ; H n je harmonicé číslo. Nazýva sa ta preto, lebo -ty harmonicý tón huslovej struny so záladným tónom je tvorený strunou, torá je / rát dlhšia. Naše štúdium reurentného vzťahu pre Quic-sort (5.2) zavŕšime upravením C n na výsledný tvar. To bude možné, a vyjadríme C n pomocou H n. Súčet našej formuly pre C n je n + = n +. Zámenou indexovej premennej na a zmenou ohraničujúcich podmieno môžeme túto formulu dať do vzťahu s H n : n + = n = 2 n+ ( = n ) + n + = H n n n +. Výborne! Dostali sme súčet potrebný na doončenie riešenia vzťahu (5.2): Priemerný počet porovnaní triedenia algoritmu Quic-sortu na utriedenie n náhodne vybraných čísel je (5.4) C n = 2(n + )H n 2n. A ao obvyle; sontrolujeme, či tento vzťah platí pre malé n C 0 = 0, C = 2, C 2 = 5. Práca so súčtami Kľúčom úspechu pri práci so súčtami je schopnosť zmeniť jednu na inú, torá je bližšie nejaému cieľu. A si osvojíme nieoľo záladných transformačných pravidiel a precvičíme ich použitie, pôjde nám to ľaho. Nech K je nejaá onečná množina celých čísel. Súčty členov cez množinu indexov K môžeme transformovať použitím troch jednoduchých pravidiel: distributívny záon a ; K ca = c K
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 9 asociatívny záon (a + b ) = a + b ; K K K omutatívny záon a = K p() K a p(). Distributívny záon nám dovoľuje vsunúť a vyňať onštantu zo. Asociatívny záon dovoľuje rozdeliť súčet na dve časti a spájať viacero súčtov do jedného. Komutatívny záon hovorí, že môžeme preusporiadať členy v ľubovoľnom poradí, de p() je ľubovoľná permutácia (Prečo sa teda tento záon nevolá permutatívny záon, ale omutatívny?) množiny všetých celých čísel. Naprílad, a K = {, 0, +} a p() =, tieto tri záony hovoria, že distributívny záon asociatívny záon ca + ca 0 + ca = c(a + a 0 + a ); (a + b ) + (a 0 + b 0 ) + (a + b ) = (a + a 0 + a ) + (b + b 0 + b ); omutatívny záon a + a 0 + a = a + a 0 + a. Dôležité je uvedomiť si predpolad, že funcia p() vo všeobecnom omutatívnom záone je permutáciou všetých celých čísel. Inými slovami, pre aždé celé číslo n existuje práve jedno celé číslo taé, že p() = n. V opačnom prípade omutatívny záon nemusí platiť. Transformácie typu p() = + c alebo p() = c, de c je celočíselná onštanta, sú vždy permutáciami, preto vždy fungujú. Prílad. Len použitím záonov sa dá spočítať suma S = 0 n (a + b). Na prílade uvedieme dôležité pravidlo na ombináciu rôznych množín indexov: a K a K sú ľubovoľné množiny celých čísel, potom (5.5) a + K K a = K K a + Nasledujúce vzťahy vyplývajú zo všeobecnej formule K K a. (5.6) [ K] + [ K ] = [ K K ] + [ K K ]. Podobne použijeme pravidlo (5.6) na ombináciu dvoch tamer disjuntných indexových množín m a + n a = a m + =m n a, pre m n;
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 0 alebo na vyňatie jedného člena zo súčtu (5.7) a = a 0 + 0 n n a, pre n 0. Táto operácia vyňatia jedného člena je záladom perturbačnej metódy, torá nám často pomôže pri výpočte hodnoty súčtu v explicitnom tvare. Myšliena spočíva v tom, že najprv si neznámy súčet označíme S n : S n = a. 0 n (pomenuj a zvíťaz), a potom dvomi spôsobmi prepíšeme S n+ ; vyňatím najprv prvého, a potom posledného člena: S n + a n+ = a = a 0 + (5.8) 0 n+ = a 0 + n+ a + n+ = a 0 + a +. 0 n a + Teraz sa poúsme posledný súčet vyjadriť pomocou S n. A sa nám to podarí, zísame rovnicu, torej riešením je hľadaný súčet. Ao prílad, použijeme túto metódu na nájdenie súčtu všeobecnej geometricej postupnosti, S n = ax. 0 n Všeobecná perturbačná schéma vo vzťahu (5.8) nám radí S n + ax n+ = ax 0 + ax +, 0 n a súčet na pravej strane je podľa distributívneho záona rovný 0 n ax+ = xs n. Preto S n + ax n+ = a + xs n a hľadané riešenie pre S n má tvar (5.9) n ax = a axn+, pre x. x (Ahááá, túto formulu sme drilovali na strednej šole!!!) (Keď x =, súčet sa samozrejme zjednoduší na a(n+)). Pravá strana pripomína výraz, torý vznine tým, že od prvého člena odčítame posledný člen (resp. člen nasledujúci za posledným) a vydelíme výrazom mínus vocient. Prílad. Toto bolo tiež ľahé. Súsme metódu perturbácie na zložitejšom prílade súčtu, S n = 2. 0 n
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 V tomto prípade platí S 0 = 0,S = 2,S 2 = 0,S 3 = 34,S 4 = 98. Ale ao vyzerá všeobecný vzťah? Podľa vzťahu (5.8) dostávame, že S n + (n + )2 n+ = ( + )2 + ; 0 n a chceme vyjadriť pravú stranu súčtu pomocou S n. Môžeme ju rozdeliť pomocou asociatívneho záona na dva súčty, 2 + + 2 +, 0 n 0 n Prvý z uvedených súčtov je rovný 2S n. Druhý súčet je geometricý rad, torého súčet sa podľa vzťahu (5.9) rovná (2 2 n+2 )/( 2) = 2 n+2 2. Odtiaľ S n + (n + )2 n+ = 2S n + (2 2 n+2 )/( 2), a algebraicými úpravami dostaneme 2 = (n )2 n+ + 2. 0 n Teraz už rozumieme, prečo S 3 = 34: 34 je teda 32 + 2 a nie 2 7. Podobné odvodenie so záladom x namiesto 2 nám dá rovnicu S n + (n + )x n+ = xs n + (x x n+2 )/( x); z čoho môžeme odvodiť vzťah (5.20) n x = x (n + )xn+ + nx n+2 ( x) 2, pre x Je zaujímavé si všimnúť, že sme tento explicitný vzťah mohli odvodiť úplne iným spôsobom pomocou elementárnych metód diferenciálneho počtu. A uvažujeme rovnicu n x = xn+ x a zderivujeme obe jej strany vzhľadom na x dostaneme n x = ( x)( (n + )xn ) + x n+ ( x) 2 = (n + )xn + nx n+ ( x) 2, pretože derivácia súčtu je súčet derivácii jej členov. V ďalších prednášach si všimneme mnoho ďalších súvislostí medzi matematicou analýzou a disrétnou matematiou. Viacnásobné súčty Členy v súčte môžu byť určené dvomi alebo viacerými indexami, nie len jedným. Naprílad, výraz a j b = a b + a b 2 + a b 3 j, 3 + a 2 b + a 2 b 2 + a 2 b 3 + a 3 b + a 3 b 2 + a 3 b 3.
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 2 predstavuje dvojitý súčet deviatich členov určených dvomi indexami j a. Pre taéto súčty použijeme rovnaý zápis a metódy, ao sme používali pre jednoduché indexy. Môžme tiež použiť dva znay, a vtedy hovoríme o súčte súčtov. Naprílad, zápis P (j,) a j, = j, a j, [P (j, )] je sráteným zápisom pre a j, [P (j, )] = j j ( ) a j, [P (j, )]. (Viacnásobné y sa vyhodnocujú zprava doľava (zvnútra von).) čo je súčet cez všety celé j z výrazov a j,[p (j, )], t.j. z členov a j, cez všety celé, pre toré je P (j, ) pravdivé. V taýchto prípadoch hovoríme, že sčitujeme najprv podľa a potom podľa j. Viacnásobný súčet viacerých indexov môžeme sčitovať v ľubovoľnom poradí indexov. Vďaa tomu dostávame záladný záon pre viacnásobné súčty, nazývaný tiež záon zámeny poradia sčitovania, torý zovšeobecňuje asociatívny záon uvedený sôr: (5.2) a j, [P (j, )] = a j, [P (j, )]. j P (j,) a j, = Stredný výraz v tomto záone je súčet cez dva indexy a j. Ľavý súčet j je súčet najprv podľa, a potom podľa j. Pravý súčet j je súčet najprv podľa j, a potom podľa. V praxi, a chceme vypočítať dvojitý súčet, často je ľahšie sčitovať najprv podľa prvého indexu a potom podľa druhého. Poradie indexov si zvolíme podľa toho, toré je výhodnejšie. Záladné pravidlo (5.2) na zámenu poradia sumácie má veľa obmien, toré vzninú, eď nejaým spôsobom ohraničíme indexové množiny (miesto sumácie cez všety celočíselné j a ). Existujú dve možnosti, ao presne formalizovať toto pravidlo: prvý spôsob má príchuť vanily a druhý tŕnistej cesty. Najprv, vanilová varianta: (5.22) j J K a j, = j J K a j b = K j a j,. To sme len ina zapísali vzťah (5.2). Táto vanilová varianta záona sa používa, eď obory hodnôt pre indexy sú navzájom nezávislé. Vzťah pre variant tŕnistej cesty je trochu záľudnejší. Používa sa vtedy, eď obor hodnôt pre vnútorný index závisí na hodnote indexovej premennej vonajšieho súčtu: (5.23) j J K(j) a j, = J, K(j), K a J () sú množiny spľňajúce vzťah K j J () j J a j,. [j J][ K(j)] = [ K ][j J ()]
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 3 Podobná fatorizácia je v princípe vždy možná, pretože môžeme položiť J = K rovné množine všetých celých čísel a K(j) = J () ta, aby vyjadrovalo záladnú vlastnosť P (j, ), torá riadi dvojitý súčet. Ale existujú špeciálne prípady, edy množiny J, K(j), K a J () majú jednoduchý tvar. Tieto prípady často vzniajú v apliáciach. Ao prílad uvedieme zvlášť užitočnú fatorizáciu: (5.24) [ j n][j n] = [ j n] = [ n][ j ]. Zvyčajne jeden z týchto súčtov je ľahšie vypočítateľný ao druhý. Vzťah (5.24) môžeme použiť aj na transformáciu ťažšieho tvaru na ľahší. Súčet súčtov nie je dôvod pre paniu, ale u začiatočníov môže vyvolať zmäto. Urobíme preto viaceré prílady. Náš prílad s deväťčlenným súčetom posytuje dobrú ilustráciu pre manipuláciu s dvojitými súčtami, pretože taýto súčet môže byť naozaj zjednodušený a proces zjednodušovania je typicý pre prácu s viacnásobnými súčtami: a j b = a j b [ j, 3] = a j b [ j 3][ 3] j, 3 j, j, = a j b [ j 3][ 3] j = a j [ j 3] b [ 3] j = ( ) a j [ j 3] b [ 3] j ( )( ) = a j [ j 3] b [ 3] j ( 3 )( 3 = a j b ). j= Prvý riado označuje súčet deviatich členov bez určeného poradia. Druhý riado ich zosupuje do trojíc. Tretí riado využíva distributívny záon na vyňatie všetých členov a, naoľo a j nezávisí na ; tým dostávame a (b + b 2 + b 3 ) + a 2 (b + b 2 + b 3 ) + a 3 (b + b 2 + b 3 ). Štvrtý riado je rovnaý ao tretí, len obsahuje zbytočný pár zátvorie, taže piaty riado nevyzerá až ta strašne. V piatom riadu sme vyňali člen (b + b 2 + b 3 ), torý sa vysytuje v aždom člene pre aždé j: (a + a 2 + a 3 )(b + b 2 + b 3 ). Posledný riado je ina zapísaný predposledný riado. Túto metódu odvodenia môžeme použiť pri odvodení všeobecného distributívneho záona, ( )( (5.25) a j b = a j b ), j J K j J torý platí pre ľubovoľné množiny indexov J a K. Prílad. Apliujme tieto myšlieny na užitočnom prílade. Uvažujme maticu a a a a 2 a a 3... a a n a 2 a a 2 a 2 a 2 a 3... a 2 a n a 3 a a 3 a 2 a 3 a 3... a 3 a n........ a n a a n a 2 a n a 3... a n a n K
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 4 obsahujúcu n 2 súčinov a j a. Našim cieľom je nájsť jednoduchý vzťah pre súčet všetých členov nad, alebo pod hlavnou uhlopriečou v tejto matici: S HT = j n a j a, Naoľo a j a = a a j matica je symetricá podľa hlavnej uhlopriečy, preto aj súčet S HT je približne rovný polovici zo súčtu všetých prvov (orem prvov hlavnej uhlopriečy). Podobné úvahy motivujú nasledujúce úpravy, v torých sme premenili (j, ) na (, j). S HT = a j a = a a j = a j a = S DT, Pretože platí j n j n j n [ j n] + [ j n] = [ j, n] + [ j = n], dostávame 2S HT = S HT + S DT = a j a + a j a. j, n j= n Prvý súčet je po úprave pomocou všeobecného distributívneho záona (5.25) rovný ( n j= a j)( n a ) = ( n a ) 2. Druhý súčet je rovný n a2. Taže dostávame výraz pre súčet členov matice, toré sa nachádzajú v hornom trojuholníu: ( (5.26) S HT = a j a = ( n ) 2 a + 2 j n n a 2 ). Prílad. Posmelený úspechom si všimnime iný dvojitý súčet: S = (a a j )(b b j ). j< n Zámenou za j opäť dostaneme symetricý vzťah: S = (a j a )(b j b ) = (a a j )(b b j ). <j n <j n Taže môžeme obe rovnosti pre S sčítať a použijúc vzťah [ j < n] + [ < j n] = [ j, n] [ j = n], dostaneme 2S = (a j a )(b j b ) (a j a )(b j b ). j, n =j n
5. otóbra 2003 Súčty úvod 4 5 Druhý súčet je rovný nule; a čo prvý? Ten sa rozpadne na štyri oddelené súčtý, aždý s vanilovou príchuťou: a j b j a j b a b j + a b j, n = 2 j, n = 2n n j, n a b 2 j, n j, n a j b ( n )( n a b 2 a b ). j, n V poslednom rou rou sme oba súčty zjednodušili podľa všeobecného distributívneho záona (5.25). A sa úpravy prvého súčtu zdajú hrôzostrašné, zopaujeme ich pomaly: 2 a b = 2 a b j, n n j n = 2 n = 2 n a b j n a b n = 2n n a b. Indexovú premennú, torá sa nevysytuje v sčítancoch môžeme jednoducho vypustiť, a vynásobíme zvyšo veľosťou množiny oboru daného indexu (v našom prípade n). Vrátime sa tam, de sme naše úvahy prerušili; náš vzťah môžeme vydeliť dvomi a preusporiadť ta, že dostaneme zaujímavý vzťah ( n )( n ) n (5.27) a b = n a b (a a j )(b b j ). j< n Z tejto identity ao špeciálny prípad vyplýva Čebyševova nerovnosť pre súčty: ( n )( n ) n a b n a b, a a a n a b b n ; ( n )( n ) a b n n a b, a a a n a b b n. (Čebyšev doázal v rou 882 analogicý výsledo pre integrály: ( ) ( b ) ( b ) b f(x)dx g(x)dx (b a) f(x)g(x)dx, a a sú f(x) a g(x) monotónne nelesajúce funcie.) Literatúra a Uvedená apitola je voľným preladom časti 2.apitoly nihy R. Grahama, D. E. Knutha a O. Patashnia: Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 989. a