Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007.

Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X, F) zovemo izmjeriv prostor, a elemete iz F zovemo izmjerivi skupovi. Teorem 1 Neka je F σ-algebra a X tada vrijedi: (i) φ, X F (ii) F je zatvorea a prebrojive presjeke (iii) F je zatvorea a koače uije i presjeke (iv) A, B F A\B F (v) A, B F A B F Teorem 2 Presjek proizvolje familije σ-algebri a X je poovo σ-algebra a X. Def 2 Neka su zadaa dva izmjeriva prostora (X, F) i (Y, G) kažemo da je fukcija f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G ako za sve B G vrijedi da je f 1 (B) F Def 3 Neka je X skup tada familiju T podskupova od X zovemo topologija a X ako su i X uutra te je zatvorea a uije i koače presjeke tada urede par (X, T ) zovemo topološki prostor, elemete skupa T zovemo otvorei skupovi. Def 4 Neka je X skup i eka je C eka familija podskupova od X tada sa σ(c) ozačimo ajmaju σ-algebru koja sadrži C. Ukoliko je T toplološki prostor tada σ(t ) zovemo Borelovom σ-algebrom. Teorem 3 Presjek proizvolje familije toplogija a X je poovo topologija a X. Def 5 Stadarda toplologija a R koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi dok za stadardu σ-algebra a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplogiju. Ukoliko ije specificiraa σ-algebra a R tada predpostvljamo da se radi o stadardoj σ-algebri. Def 6 Stadarda toplologija a R = R {, + } koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj dok za stadardu σ-algebru a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplologiju. Ukoliko ije specificiraa σ- algebra a R tada predpostavljamo da se radi o stadardoj σ-algebri.

Teorem 4 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih otvoreih itervala iz iskaza teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki skup iz T R može prikazati kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 5 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih itervala kao u iskazu teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki elemet iz T R se može dobiti kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 6 B(R) = σ(b(r) {+ } { }) Dokaz Imamo da je B(R) B(R) {+ } { } i da je O R σ(b(r) {+ } { }) sada imamo da je B(R) = σ(b(r)) σ(b(r) {+ } { }) i da je B(R) = σ(o R ) σ(σ(b(r) {+ } { })) = σ(b(r) {+ } { }) pa slijedi tvrdja. Teorem 7 Neka su (X, F) i (Y, G) dva izmjeriva prostora, eka je f: X Y fukcija i eka je E familija podskupova od Y takva da je σ(e) = G te eka je f 1 (E) F E E tada je f izmjeriva u paru σ-algebri F i G Dokaz Neka je H = {A G : f 1 (A) F} sada vidimo da je E H G, pa je dovoljo pokazati da je H σ-algebra jer će tada slijediti da je H = G. Imamo da je f 1 (Y) = X F Y H, eka su A, B H tada je f 1 (A\B) = f 1 (A)\f 1 (B) F A\B H, eka je (A ) iz u H tada je f 1 ( A ) = f 1 (A ) F A H pa je H σ-algebra. =1 =1 =1 Teorem 8 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, fukcija f: X R je izmjeriva ako i samo ako vrijedi bilo koje od uvijeta: (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F

Dokaz Neka je C = {[α, +, α R} imamo da je C B(R) pa ako je f izmjeriva imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f izmjeriva. Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) jer =1 je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 9 Neka su (X, F), (Y, G) i (Z, H) tri izmjeriva prostora i eka je f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G i eka je g: Y Z izmjeriva u paru σ-algebri G i H tada je g f izmjeriva u paru σ-algebri F i H. Dokaz Neka je A H tada je g 1 (A) G pa je (g f) 1 (A) = f 1 (g 1 (A)) F. Teorem 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka su f, g: X R izmjerive i eka je c R tada vrijedi: (i) f + g je izmjeriva (ii) cf je izmjeriva (iii) f je izmjeriva (iv) f g je izmjeriva Dokaz (i) Pokažimo {f + g α} = ({g α + q } {f α q 1 2 2 }) N q Q Neka je x {f + g α} tada je g(x) + f(x) α eka je β 1 = g(x) tada je f(x) α β 1 = β 2 sada rjesavamo sustav jedakosti β 1 = α+β β 2 2 = α β 2 po β i taj sustav ima rjeseje β = β 1 β 2 pa za taj x postoji β takav da je x {g α+β α β } {f } zoro je jaso da za svaki β R i svaki 2 2 N mogu aći takav q Q da je α+q < α+β i da je α q 1 < α β 2 2 2 2 pa je x ({g α + q } {f α q 1 }) idemo obruto eka je 2 2 N q Q x ( {g α + q } {f α q 1 }) tada za svaki N postoji 2 2 N q Q q Q takav da je g(x) α+q i da je f(x) α q 1 pa imamo da za svaki 2 2 N vrijedi da je g(x) + f(x) α 1 pa imamo da je f(x) + g(x) α sada tvrdja slijedi iz čijeice da su f i g izmjerive. (ii) eka je c = 0 i eka je α > 0 tada je {cf α} = φ, a ako je α 0 tada =1

je {cf α} = X, a ako je c 0 tada ako je c > 0 je {cf α} = {f α c }, ako je c < 0 tada je {cf α} = {f α c } (iii) dovoljo je pokazati da je apsoluta vrijedost p(x) = x izmjeriva fukcija imamo {p β} =, β] [β, + B R (iv) pokažimo da je h(x) = x 2 izmjeriva imamo da je {h α} =, α] [ α, + B R kada je α > 0, a {h α} = R kada je α 0 sada tvrdja slijedi jer imamo da je f g = 1 4 ((f + g)2 (f g) 2 ) Def 7 Neka (X, F) izmjeriv prostor tada sa M(X, F) ozačimo skup svih izmjerivih fukcija f: X R Teorem 11 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada je fukcija f M(X, F) ako i samo ako vrijedi bilo koji od uvijeta (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F Dokaz Neka je C = {[α, + ], α R} imamo da je C B(R) pa ako je f M(X, F) imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ]) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f M(X, F). Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) =1 jer je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada imamo da je f M(X, F) ako i samo ako vrijedi (i) {f = + } F (ii) {f = } F { f(x) f(x) R (iii) g: X R je izmjeriva gdje je g(x) = 0 f(x) / R Dokaz Neka je f M(X, F) tada jer su {+ }, { } B(R) imamo da su {f = + }, {f = } F eka je fukcija g defiiraa kao u iskazu teorema tada za α 0 vrijedi {g α} = {f α} {f = + } F, a za α < 0 vrijedi {g α} = {f α}\{f = } F Predpostavimo obruto da vrijedi (i) (iii) tada za α < 0 imamo da je {f α} = {g α} {f = } F, a za α 0 imamo da je {f α} = {g α}\{f = + } F =1

Teorem 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je f, h M(X, F), a g: X R izmjeriva i eka je c R tada vrijedi (i) f + g M(X, F) (ii) cf M(X, F) (iii) f M(X, F) (iv) f h M(X, F) (v) mi{f, g}, max{f, g} M(X, F) Dokaz (i) Dovoljo je pokazati da je {f +g > α} = {f > α+q α q } {g > }. 2 2 Neka je x {f + g > α} ako je f(x) = + tada postoji q Q takav da je g(x) > α q α+q, a zamo da vrijedi f(x) = + >, a ako je f(x) < + 2 2 tada postoji δ > 0 takav da je f(x) + g(x) = α + δ tada postoji q Q takav da je g(x) α q < δ pa je f(x) = α + δ g(x) > α + δ δ α q > α+q 2 2 2 2 2 pa je x i u desoj strai, obruta ikluzija je očita. (ii) uz dogovor da je 0 (+ ) = 0 ( ) = 0 ako je c = 0 tada je cf ulfukcija pa je iz M(X, F), a ako je c 0 tada ako je c > 0 imamo da je {cf α} = {f α } i sličo za c < 0. (iii) Trebamo pokazati da je p(x) = x iz c M(R, B R ), a to je jer je {p α} = [, α] [α, + ] B R (iv) Neka { (f h)(x) (f h)(x) R { f(x) f(x) R je r(x) = 0 (f h)(x) / R, eka je u(x) = 0 f(x) / R, i { h(x) h(x) R eka je t(x) = tada je r = ut pa je r: X R izmjeriva, 0 h(x) / R a {f h = + } = ({f = + } {h > 0}) ({f = } {h < 0}) F, sličo je {f h = } F pa je f h M(X, F) (v) Tvrdja slijedi jer mi{f, g} = 1(f + g f g ) i max{f, g} = 1 (f + g + f g ) 2 2 Def 8 Neka je zada iz (x ) u R tada je if x = if{x : N} sup lim if lim sup x = sup{x : N} x = sup m x = if m q Q if x = sup{if{x : m} : m N} m x = if{sup{x : m} : m N} sup m Def 9 Neka je X eki eprazi skup i eka je zada iz fukcija f : X R tada su dobro defiirae fukcije (if f )(t) = if f (t) za sve t X (sup (lim if (lim sup f )(t) = sup f )(t) = lim if f )(t) = lim sup f (t) za sve t X f (t) za sve t X f (t) za sve t X

Teorem 14 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je zada iz (f ) u M(X, F) tada su if f, sup f, lim if f, lim sup f u M(X, F) Dokaz {if f α} = {x X : ( N) f (x) α} = {f α} F =1 i sličo za supremum iza fukcija, a imamo da je lim if f = sup if f i m m sliču tvrju za limes superior iza fukcija pa slijedi tvrdja teorema. Teorem 15 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka iz fukcija (f ) u M(X, F) kovergira po točkama prema fukciji f tada je i f u M(X, F). Dokaz Jer iz (f ) kovergira po točkama imamo da je lim if lim sup f pa tvrdja slijedi. f = lim f = Def 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za fukciju µ: F R kažemo da je mjera ako vrijedi (i) µ(φ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A F (iii) eka je (E ) iz u parovima disjuktih skupova iz F tada je µ( E ) = =1 µ(e ) =1 Tada za (X, F, µ) kažemo da je prostor s mjerom. Svojstvo (iii) iz defiicije mjere zovemo σ-aditivost. Def 11 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom ako je µ(x ) < + tada kažemo da je µ koača mjera, a ako postoji familija skupova {E : N} takvih da je µ(e ) < + za sve N i da je X = E tada kažemo da je µ σ-koača. Teorem 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada (1) za svaku koaču familiju {E : {1,... m}} u parovima disjuktih skupova iz F imamo da je µ( m E ) = m µ(e ) =1 (2) Ako su A, B F takvi da je µ(a) < + i da je A B tada je µ(b\a) = µ(b) µ(a) (3) Neka su A, B F takvi da je A B tada je µ(a) µ(b) (4) Neka je (E ) iz epadajućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 =1 =1

(5) Neka je (E ) iz erastućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 Def 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor sa M + (X, F) ćemo ozačiti skup svih fukcija iz M(X, F) koje su eegative zači fukcije za koje vrijedi f(x) 0 za sve x X što ćemo krače zapisivati f 0 Def 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za f M(X, F) kažemo da je jedoostava ako je f(x ) koača. Neka je f(x ) = {a 1,..., a } gdje su svi a i za i {1,..., } različiti tada prikaz f = a j 1 Aj gdje imamo da je A j = {f = a j } zovemo stadardim prikazom jedostave fukcije f. Def 14 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedoostava gdje je ϕ = a j 1 Aj stadardi prikaz fukcije ϕ tada Lebesgueov j=1 itegral fukcije ϕ defiramo kao ϕdµ = a X j µ(a j ) gdje vrijedi kovecija da je 0 (+ ) = 0 Teorem 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) jedostave i eka je c 0 tada su fukcije cf,f +g M + (X, F) jedostave i vrijedi (i) X (cf)dµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ (iii) g f X gdµ X fdµ Dokaz Neka su f = a i 1 Ai i g = m b j 1 Bj stadardi prikazi tih fukcija, j=1 odmah vidimo da je i fukcija cf M + (X, F) jedostava i da ima stadardi prikaz cf = ca i 1 Ai pa sad imamo da je cfdµ = ca X i µ(a i ) = c a i µ(a i ) = c fdµ Fukcija f + g poprima samo koačo mogo vri- X jedosti pa eka su {c 1,..., c p } sve vrijedosti koje f + g poprima gdje su c k za k {1,..., p} medusobo različiti tada fukcija f + g ima prikaz oblika f + g = p c k 1 Ck gdje su C k = A i B j F pa je fukcija a i +b j =c k f + g M + (X, F) jedostava sa stadardim prikazom f + g = j=1 j=1 p c k 1 Ck

j=1 pa račuamo itegral (f +g)dµ = p c X k µ(c k ) = p c k µ( A i B j ) = a i +b j =c k p (a i + b j )µ(a i B j ) = m (a i + b j )µ(a i B j ) = m a i µ(a i a i +b j =c k j=1 j=1 B j )+ m b j µ(a i B j ) = a i µ(a i )+ m b i µ(b i ) = fdµ+ gdµ Posljed- ja tvrdja slijedi iz čijeice da ako je g f tada je f g M + (X, F) jedostava, a itegral takve je 0 pa imamo da je fdµ = (f g)dµ + (g)dµ gdµ Teorem 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedostava tada je fukcija λ : F R daa sa λ(e) = E ϕdµ = X ϕ1 Edµ mjera. Def 15 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M + (X, F) tada Lebesgueov itegral fukcije f defiiramo kao X fdµ = sup{ X ϕdµ : ϕ f ϕ M + (X, F) jedostava } Def 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je A F i eka je f M + (X, F) tada je f 1 A M + (X, F) pa defiiramo A fdµ = X f 1 Adµ Teorem 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) i eka je f g tada je X fdµ X gdµ Teorem 20 (Lebesgueov teorem o mootooj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je (f ) epadajući iz fukcija što ćemo ozačavati kao (f ) iz M + (X, F) i eka je f = lim f tada je f M + (X, F) i vrijedi fdµ = lim f X X dµ Dokaz (f ) je posebo iz u M(X, F) pa je i f = lim f M(X, F), a jer su sve f eegative imamo da je i f eegativa pa je f M + (X, F) Jer je (f ) slijedi da je ( f X dµ ) pa postoji lim X f dµ sada jer je f f imamo da je fdµ f dµ za sve N pa je fdµ X lim X f dµ Obruto eka je 0 < α < 1 i eka je ϕ M + (X, F) jedostava takva da je ϕ f defiiramo A = {x X : f (x) > αϕ(x)} i B = {ϕ = + } primjetimo da je A F te vrijedi A A +1 i A B = X Prvo promotrimo slučaj kada je µ(b) = 0 tada imamo ϕdµ = X ϕdµ + ϕdµ = lim A B A ϕdµ Sada imamo A αϕdµ A f dµ =1 j=1 =1

f X dµ pa kada a to dijelujemo s limesom dobijemo α ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaki 0 < α < 1 pa dobijemo ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaku jedostavu fukciju ϕ f pa dobijemo fdµ lim f X X dµ. Sada promotrimo slučaj kada je µ(b) > 0 zadajmo eki priroda broj m > 0 pa defiramo B = {x B : f (x) > m} jaso je da je B = B sada imamo f X kdµ B f k dµ pa ejedakost ostaje i kad prijedjemo a limes, a imamo lim k B f k dµ B mdµ i to vrijedi za svaki N pa imamo lim f k X kdµ lim B mdµ = mdµ = mµ(b) i to za svaki m > 0 pa B imamo da je lim k X f kdµ = + = fdµ X Teorem 21 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka je f M + (X, F) tada postoji iz (ϕ ) u M + (X, F) jedostavih fukcija takav da je lim ϕ = f to ćemo kraće pisati (ϕ f). Dokaz Defiiramo skupove E () k = f 1 ([ k, k+1 ) za k {0,..., 2 1}, a 2 2 E () k = f 1 ([, + ) za k = 2, zatim defiiramo fukciju ϕ (x) = k za 2 x E () k tada je očito (ϕ ) iz jedostavih fukcija, a lagao se pokaže da lim ϕ = f Teorem 22 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g M + (X, F), a c 0 tada su cf, f + g M + (X, F) i vrijedi (i) X cfdµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ Dokaz Raije je pokazao da je cf M(X, F), a jer je c 0 imamo da je iz M + (X, F), jaso je da je f + g 0, a od prije zamo da je f + g M(X, F) Zamo da postoje epadajući izovi jedostavih fukcija iz M + (X, F) takvi da (ϕ f) i (ψ g) tada (cϕ cf) i (ϕ +ψ f +g) pa cfdµ = lim X X cϕ dµ = c lim ϕ X dµ = c fdµ i (f + g)dµ = lim (ϕ X + ψ )dµ = lim ϕ X dµ + lim X ψ dµ = fdµ + gdµ Teorem 23 (Fatouova lema) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) tada je lim if f M + (X, F) i vrijedi lim if f X dµ lim if f X dµ =1

Dokaz Imamo da je lim if f M(X, F) i poprima eegative vrijedosti pa je iz M + (X, F). Neka je (g ) iz defiira sa g = if f m tada je m g f m za sve m pa imamo da je g X dµ f X mdµ za sve m pa je i g X dµ lim if f m X mdµ o kako (g lim if f m) pa imamo da je m lim if f X dµ lim if f X dµ Teorem 24 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada defiiramo λ : F R kao λ(e) = fdµ tada je λ mjera. E Dokaz Imamo da je f1 E 0 pa slijedi da je f1 X Edµ 0 pa imamo pozitivost, sada jer je 1 φ = 0 imamo da je fdµ = 0dµ = 0. Neka je (E φ X k) iz u parovima disjuktih skupova iz F, eka je E = ϕ = E k defiiramo 1 Ek i ϕ = 1 E vrijedi da je (ϕ ϕ) pa vrijedi da (ϕ f ϕf) pa imamo λ(e) = fϕdµ = lim X pa je i σ-aditivost dokazaa. X fϕ dµ = lim X f1 E k dµ = λ(e k) Def 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, kažemo da eko svojstvo vrijedi skoro svuda i pišemo (s.s) u odosu a mjeru µ ako posoji skup A F takav da svojstvo vrijedi a A, a µ(a c ) = 0 Teorem 25 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada je fdµ = 0 ako i samo ako je f = 0 (s.s.) X Dokaz Neka je fdµ = 0 eka je E X = {f 1 } tada je f 1 1 E pa imamo da je fdµ 1 1 E dµ = 1 µ(e ) pa mora biti µ(e ) = 0, eka je E = E imamo jer (E E) da µ(e) = lim µ(e ) = 0, a E = {f > 0} =1 pa budući je f eegativa slijedi da je f = 0 (s.s) predpostavimo obruto { + f(x) > 0 da je f = 0 (s.s) defiramo fukciju g(x) = tada je f g 0 f(x) = 0 pa je i fdµ gdµ = 0µ({g = 0}) + (+ )µ({g = + }) = 0 Teorem 26 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) takav da kovergira prema fukciji f (s.s) što čemo krače pisati (f f) (s.s) tada je lim X f dµ = fdµ X

Dokaz Zamo da postoji skup A takav da lim f (t) = f(t) za sve t A tada (f 1 A f1 A ), vidimo da su f 1 A c = 0 (s.s) kao i f1 A c = 0 (s.s) sada vrijedi lim f X dµ = lim f X 1 A + lim X f 1 A c = f1 X Adµ = f1 X Adµ + f1 X A cdµ = fdµ X Def 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M(X, F) tada su (i) f + = max{0, f}, f = mi{0, f} M + (X, F) (ii) f = f + f (iii) f = f + + f Ukoliko su f + dµ, f dµ < + f dµ < + tada kažemo da je X f itegrabila i tada defiiramo fdµ = f + dµ f dµ Skup svih X itegrabilih ozačimo L(X, F, µ) Teorem 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada ukoliko su g, h M + (X, F) takvi da su gdµ, hdµ < + i da je f = g h tada je fdµ = gdµ hdµ X Teorem 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada vrijedi (i) f L(X, F, µ) f L(X, F, µ) i fdµ f dµ (ii) f izmjeriva, g itegrabila i f g tada je i f itegrabila (iii) Neka su α, β kostate i eka su f, g L(X, F, µ) tada je αf + βg L(X, F, µ) i vrijedi α fdµ + β gdµ = (αf + βg)dµ X (iv) eka su f, g L(X, F, µ) i eka je f g tada je fdµ gdµ Dokaz (i) Prvi dio tvrdje slijedi jer je f + dµ, f dµ < + (f + + X f )dµ < +, a drugi fdµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ (ii) f + dµ, f dµ gdµ < + (iii) Pokažimo X prvo da za f L(X, F, µ) i α kostatu vrijedi da je αf L(X, F, µ) to se lako vidi jer je αf dµ = α f dµ = α f dµ < +, lako X se pokaže da je ( f)dµ = (f)dµ, za α 0 se lako pokaže da je αfdµ = α fdµ X pa eka je α < X 0 tada je αfdµ = ( 1)( α)fdµ = ( α)fdµ = ( 1)( α) fdµ = α fdµ pokažimo ostatak, eka je X f = f + f i g = g + g tada je f + g = f + + g + (f + g ) sada jer je (f + + g + )dµ = f + dµ + X g+ dµ < + i jer je (f + g )dµ = f X dµ + g dµ < + imamo da je (f + g)dµ = (f + + g + )dµ (f + g )dµ = ( f + dµ f dµ) + ( g+ dµ X g dµ) = fdµ + gdµ (iv) gdµ = g fdµ + fdµ fdµ X X Teorem 29 (Lebesgueov teorem o domiiraoj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M(X, F) takav koji skoro svuda kovergira prema fukciji f M(X, F), a iače možda i ekovergira i

eka postoji g L(X, F, µ) takav da je f g za sve N tada je fdµ = lim f X X dµ Dokaz Imamo da za sve N vrijedi 0 g + f 2g i 0 g f 2g. Nadalje imamo lim if(g + f X )dµ lim if (g + f X )dµ što daje lim if f X dµ lim if f X dµ i imamo lim if(g f X )dµ lim if (g X f )dµ što daje lim if( f X )dµ lim if ( f X )dµ iz čega slijedi lim sup f X dµ lim sup f X dµ Tvrdaja sada slijedi jer je f = lim if f (s.s) i f = lim sup f (s.s), a za f = g (s.s) vrijedi da je fdµ = gdµ Def 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada fukciju λ : F R dau sa λ(e) = fdµ zovemo eodredei itegral od E f. Teorem 30 Ne postoji mjera µ : P(R) R takva da (i) ( c R) ( X R) µ(x + c) = µ(x) (ii) ( a < b) µ( a, b]) = b a Dokaz Defiiramo relaciju ekvivalecije a R kao x y x y Q tada jer je svaka od defiiraih klasa gusta a R možemo uzeti iz svake klase jeog reprezetata takvog da je u skupu [ 1, 1] i dobivei skup ozačimo sa A, poredajmo sada racioale brojeve iz [ 2, 2] u iz q 1, q 2, q 3,... sada se lako pokaže da je 4, 3] (A + q i ) 1, 1] pa kada bi mjera iz tvrdje teorema postojala tada bi vrijedilo 7 µ(a) 2, što je emoguće. Def 20 Algebra skupova A a X je familija podskupova od X takva da vrijedi (i) A (ii) A A A c A (iii) A 1,..., A A A i A Mjera µ a algebri skupova A je fukcija µ : A R takva da vrijedi (i) µ( ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A A (iii) Neka je (A k ) iz u parovima disjuktiih skupova iz A takvih da je A i A tada je µ( A i ) = µ(a i )

Teorem 31 Neka je P skup svih koačih uija poluotvoreih itervala oblika a, b] gdje su a, b R tada je P prste (epraza familja zatvorea a koače uije i skupove razlike) te se svaki elemet iz P da prikazati kao disjukta uija poluotvoreih itervala spomeutog oblika. Neka je P prste skupova tada je familija A = {A : A ili A c P} algebra i to je ajmaja algebra koja sadrži P. Teorem 32 Neka je P prste svih koačih uija poluotvoreih itervala kao iz prošlog teorema i eka je A ajmaja algebra koja sadrži P tada postoji samo jeda mjera µ a A takva da je µ( a, b]) = b a Dokaz Neka su µ i ν dvije mjere koje se podudaraju a poluotvoreim itervalima tada je jaso da se podudaraju a P zbog koače aditivosti mjere i vrijedosti koje poprimaju a tom skupu su koače pa su vrijedosti a komplemetima elemeata iz P beskoače pa se µ i ν podudaraju a cijelom A. Egzisteciju takve mjere ostavljamo bez dokaza. Def 21 Neka je X bilo kakav skup, te A algebra a X, a µ mjera a A tada za svaki A X defiiramo µ (A) = if{ µ(e k ) : gdje je (E k ) iz u A takav da je A od µ E k } Fukciju µ : P(X ) R zovemo vajska mjera Teorem 33 Svojstva vajske mjere: (a) µ( ) = 0 (b) µ(b) 0 za sve B X (c) A B µ (A) µ (B) (d) B A µ (B) = µ(b) (e) µ ( B i ) µ (B i ) (σ-subaditivost) i=0 Dokaz (a)-(c) su lagae posljedice defiicije pokažimo (d) prvo je µ (B) µ(b) jer je B,,,... jeda pokrivač od B pa je µ (B) µ(b) + µ( ) + µ( ) +... drugo vrijedi da za iz (E i ) u A takav da je jegova uija u A vrijedi µ( E i ) µ(e i ) pa eka je (E i ) proizvolja pokrivač od B tada za (F i = B E i ) vrijedi da je B = F i pa vrijedi µ(b) µ(f i ) µ(e i ) pa zbog proizvoljosti od (E i ) imamo da je µ(b) µ (B). Pokažimo (e) eka je ε > 0 proizvolja tada za svaki B X možemo aći iz (E k ) k u A takav

da je µ (B ) + ε µ(e 2 ) k tada vrijedi µ ( B ) µ(ek ) =1 =1 (µ (B ) + ε ) = µ (B 2 ) + ε zbog proizvoljosti od ε slijedi tvrdja. =1 =1 Def 22 Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ za skup E X kažemo da je µ -izmjeriv ako za sve A X vrijedi µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) Teorem 34 (Caratheodoryjev teorem o prošireju) Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ - izmjerivih skupova a X tada vrijedi: (a) A je σ-algebra (b) µ je σ-aditiva a A (c) A A Dokaz Očito vrijedi da je, X A i da je familija A zatvorea a komplemetiraje, pokažimo da je zatvorea a presjek dva skupa. Neka su E, F A tada vrijedi (1) µ (A) = µ (A F ) + µ (A\F ) i sliča jedakost za E u koju umjesto A uvrstimo A F pa dobijemo (2) µ (A F ) = µ (A F E)+ µ ((A F )\E) te uvrstimo A\(E F ) u (1) pa dobijemo (3) µ (A\(E F )) = µ (A\F ) + µ ((A F )\E) zbrojimo (1) i (2) te iskoristimo (3) pa dobijemo µ (A) = µ (A (E F )) + µ (A\(E F )) za sve A X pa je E F A sada vidimo da je i E F = (E c F c ) c A Neka je (E k ) iz u parovima disjuktih skupova iz A, eka je F = E k tada jer je E A i jer vrijedi (1) A E = A ( E k ) E i (2) A 1 E k = A ( E k )\E imamo da je µ (A F ) = µ (A E )+µ (A 1 E k ) = µ (A E k ) Neka je E = E k tada vrijedi µ (A) = µ (A F ) + µ(a\f ) µ (A E k ) + µ (A\E) i to vrijedi za sve N pa zaključujemo da je µ (A) µ (A E k )+µ (A\E), a iz σ-subaditivosti izlazi (1) µ (A E k ) µ ( (A E k )) = µ (A E) pa to skupa daje µ (A) µ (A E) + µ (A\E), a iz σ-subaditivosti s druge strae slijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pa je E A Jaso je da je A zatvore a sve prebrojive uije elemeata iz A jer svakom izu elemeata iz A možemo pridružiti iz u parovima disjuktih elemeata takvih da je uija ovih drugih jedaka uiji oih prvih pa je A σ-algebra. Vidimo da u (1) zbog daljjeg zaključivaja stoji čak jedakost pa uvrstimo

A = E i dobijemo µ (E) = µ (E k ) pa je µ σ-aditiva a A. Neka je E A tada iz σ-subaditiviosti vrijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pokažimo drugu ejedakost tako što odaberemo ε > 0 tada postoji pokrivač od A recimo F 1, F 2,... A takav da je µ (A) + ε µ(f k ) primjetimo da je (F k \E) pokrivač od A\E i (F k E) pokrivač od A E pa vrijedi µ (A E) + µ (A\E) (µ(f k E) + µ(f k \E)) = µ(f k ) µ (A) + ε kako to vrijedi za svaki ε > 0 imamo da je A A Def 23 Za prostor s mjerom (X, F, µ) kažemo da je potpu ako za sve F X za koje postoji E F takav da je F E i da je µ(e) = 0 vrijedi da je F F Teorem 35 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada postoji potpu prostor s mjerom (X, G, µ ) takav da je F G i da je µ F = µ Def 24 Skup iz predhodog teorema ije jedistve, ali ajmaji takav je i taj zovemo upotpujeje prostora s mjerom. Teorem 36 Neka je A algebra a X, µ mjera a A, µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ -izmjerivih skupova, eka je µ restrikcija od µ a A tada je (X, A, µ ) potpu prostor s mjerom. Dokaz Neka je F X takav da postoji E A takav da je µ (E) = 0 to zači da je µ (E) = 0 i da je µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) i zamo da vrijedi µ (A) µ (A F ) + µ (A\F ), imamo da je µ (A F ) + µ (A\F ) µ (A E) + µ (A) µ (E) + µ (A) = µ (A) pa je i F A Teorem 37 (Hah) Neka je A algebra a X i eka je µ σ-koača mjera a A, eka je A σ-algebra dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom tada postoji jedistveo prošireje od µ a A Dokaz Predpostavimo da imamo dvije takve mjere ν i µ, eka je E A tada uzmimo proizvolja iz (E i ) u A takav da je E i E tada je ν (E) ν ( E i ) ν (E i ) = µ(e i ) pa slijedi da je (1) ν (E) µ (E) za sve E A. Kako je µ bila σ-koača postoji iz F 1 F 2 F 3... u A takav da je µ(f k ) < + za sve k N pa je ν (F k \(E F k )) µ (F k \(E F k )) iz čega imamo da je (2) ν (F k E) µ (F k E) to skupa s (1) odmah daje ν (E F k ) = µ (E F k ) sada iz eprekiutosti odozda slijedi ν (E) = µ (E) Egzistecija je daa Caratheodorijevom kostrukcijom.

Def 25 Neka su µ i A kao u iskazu teorema 31 i eka je A dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom te eka je λ prošireje od µ a A (µ je σ- koača pa am jedistveost garatira Hah) tada λ zovemo Lebesgueova mjera, a skupove iz A zovemo Lebesgue izmjerivi skupovi. Teorem 38 Lebesgueova mjera je ivarijata a traslacije Def 26 Neka je V reali vektorski prostor tada kažemo da je fukcija N: V R orma ako vrijedi (i) N(v) 0 za sve v V (ii) N(v) = 0 v = 0 (iii) N(αv) = α N(v) (iv) N(v + w) N(v) + N(w) Ako vrijedi samo (i),(iii),(iv) tada je N poluorma. Def 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je p [1, + tada skup svih f : X R izmjerivih fukcija takvih da je X f p dµ < + ozačavamo s L p (X, F, µ) te za f L p (X, F, µ) defiiramo f p = ( X f p dµ) 1 p Teorem 39 (Hölderova ejedakost) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f L p (X, F, µ) i eka je g L q (X, F, µ) gdje je p > 0 i eka vrijedi 1 p + 1 q = 1 tada je fg 1 f p g q Dokaz Neka su p i q kao u iskazu teorema pokažimo Yougovu ejedakost ab ap + bq oa slijedi iz ab = e l(a)+l(b) = e 1 p l(ap )+ 1 q l(bq) 1 p q p el(ap) + 1 q el(bq) = ap + bq jer je ekspoecijala fukcija koveksa. Predpostavimo p q da f p 0 i da je g q 0 tada primjeom Yougove ejedakosti imamo f(x)g(x) za sve x X kada ovo proitegriramo dobit ćemo f p g q fg 1 f p g q f(x) p p f p p + g(x) q q g q q 1 + 1 = 1 što odmah daje tvrdju teorema. Sada predpostavimo p q da je f p = 0 tada je f p = 0 (s.s) pa je i fg = 0 (s.s) što zači da je 0 = fg 1 f p g q Teorem 40 (Nejedakost Mikowskog) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g L p (X, F, µ) tada je i f +g L p (X, F, µ) i vrijedi f +g p f p + g p Dokaz Slučaj kada je p = 1 je jedostava jer slijedi iz ejedakosti trokuta za apsolutu vrijedost fg f + g zato predpostvimo da je p > 1. Prvo pokažimo da je f+g L p (X, F, µ) to slijedi jer je f+g p (2 max f, g ) p 2 p ( f p + g p ) Sada imamo f +g p = f +g f +g p f f +g p 1 + g f +g p 1 eka je q > 0 takav da je (p 1)q = 1 tada vrijedi 1 + 1 = 1, sada imamo p q

da je f + g p 1 L q (X, F, µ) sada primjeimo Hölderovu ejedakost pa dobijemo X f f + g p dµ f p f + g p q p i sličo za drugi čla pa dobijemo f + g p p ( f p + g p ) f + g p p q ako je (1) f + g q p = 0 tada je tvrdja dokazaa, a ako je (1) različito od ule tada dijeljejem s (1) dobivamo tražeu tvrdju. Teorem 41 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada L p (X, F, µ) vekorski prostor, a fukcija. p je poluorma Teorem 42 Neka je V vektorski prostor i eka je. : V R poluorma tada defiiramo relaciju ekvivalecije u v ako i samo ako u v = 0 ozačimo klasu od u sa [u] tada je prostor svih klasa K = {[u] : u V } vektorski prostor, a defiramo li fukcuju. : K R sa [u] = u tada je ta fukcija orma a K Def 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) pridruže prostoru L p (X, F, µ) gorjom kostrukcijom. Teorem 43 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) potpu. Dokaz Neka je (f ) Cauchyjev iz u L p (X, F, µ) tada postoji podiz (g ) takav da je g +1 g p < 2. Defiiramo h = g 1 + g k+1 g k i h = lim h tada je h izmjeriva jer je dobivea kao limes izmjerivih fukcija Sada imamo h p = ( X h p dµ) 1 p = ( X lim h p dµ) 1 p (lim if h X p dµ) 1 p = lim if h p g 1 p + lim if g k+1 g k p g 1 p + 1 što odmah zači da je h L p (X, F, µ) Sada defiiramo w = g 1 + (g k+1 g k ) još ozačimo E = {x X : h(x) < + } sada buduči je h p itegrabila imamo da je µ(e c ) = 0 sada za svaki x E red (g k+1 g k ) je apsoluto kovergeta pa za sve x E iz (w (x)) kovergeta pa defiiramo w(x) = lim w (x) za x E odoso w(x) = 0 za x / E Sada imamo w p h p h p pa po LTDK imamo da je X w p dµ = lim X w p dµ sada gledamo w p = ( X w p dµ) 1 p = (lim X w dµ) 1 p = (lim w p h p < + pa je w L p (X, F, µ) Za zadai ε > 0 možemo aći 0 takav da za sve m, 0 vrijedi f g m < ε što je ekvivalto da X f g m p dµ < ε p još imamo

da je f w p = (s.s) = lim f w m 1 p = lim if f m g m p pa po Fautouvoj m lemi imamo f X w p dµ lim if f m X g m p dµ < ε p pa vrijedi da je f w < ε Def 29 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom defiiramo prostor L (X, F, µ) kao skup svih f : X R izmjerivih fukcija koje su skoro svuda omedee to zači da postoji N F takav da je µ(n) = 0 i da je sup{ f(x) : x / N} < +, defiiramo f = if{sup{ f(x) : x / N}, N F, µ(n)} = 0 tada je. poluorma, sada zaim postupkom dobijemo L (X, F, µ) Literatura: Robert G. Bartle, Elemets of itegratio