EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku postoji jedinstvena ravan koja ih sadrži. Dokazati. 3. Ako su p i q mimoilazne prave i A tačka van njih, dokazati da ne postoji više od jedne prave koja sadrži tačku A i seče prave p i q. 4. Ako prava neke ravni seče dijagonalu nekog četvorougla te ravni i ne sadrži nijedno njegovo teme, dokazati da ona seče tačno dve ivice tog četvorougla. 5. Ako su A, B, C, D četiri kolinearne tačke i ako je B(A, B, C) i B(B, C, D) dokazati da je tada i B(A, B, D). 6. Relacija paralelnosti na skupu pravih u prostoru je relacija ekvivalencije. 7. relacija paralelnosti na skupu ravni u prostoru je relacija ekvivalencije. Dokazati. 8. Prava p je paralelna ravni π ako i samo ako u ravni π postoji prava q paralelna p. 9. Ako su a i b prave po kojima neka ravan π seče dve medjusobno paralelne ravni prostora α i β, dokazati da je a b. 10. Ako prava s prodire jednu od dveju medju sobom paralelnih ravni α i β, dokazati da s prodire i drugu od tih dveju ravni. 11. Dokazati da u prostoru postoji jedinstvena ravan α koja sadrži datu tačku A i paralelna je s datom ravni π. 12. Neka se ravni α i β seku po pravoj t. Proizvoljna prava p je paralelna sa t ako i samo ako je paralelna i sa α i sa β. Dokazati. PODUDARNOST 1. Ako su B 1 i C 1 središta duži CA i BA trougla ABC onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i važi B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su A, B, C, D četiri različite tačke i M, N, K, L, P, Q središta duži AB, BC, CD, DA, AC, DB redom, dokazati: 1) MN i KL, MP i QK, NP i QL su medjusobno podudarne duži. 2) Duži LN, MK, P Q imaju isto središte. 3) Svaki od uglova P MQ, P NQ, LMN podudaran je jednom od uglova kojeg odredjuju prave AC i BD, BC i AD, AB i CD. 3. Dokazati da se težišne duži trougla seku u tački koja ih deli u odnosu 2 : 1. 4. Dokazati da tačke simetrične ortocentru u odnosu na: a) stranice trougla b) u odnosu na središta stranica trougla pripadaju krugu opisanom oko tog trougla. 5. Središte opisanog kruga O, ortocentar H i težište T proizvoljnog trougla su kolinearne tačke i važi HT = 2T O. (Ojlerova prava)

6. Središta stranica, podnožja visina i središta duži odredjenih temenima i ortocentrom trougla pripadaju jednom krugu. (Ojlerov krug) 7. Medijatrisa stranice i bisektrisa naspramnog ugla seku se u tački koja pripada opisanom krugu tog trougla. Dokazati. 8. Neka su P i Q središta lukova ÂB i ÂC kruga opisanog oko trougla ABC i s a bisektrisa ugla BAC. Dokazati da je P Q s a. 9. Podnožja normala iz proizvoljne tačke kruga opisanog oko nekog trougla, na pravama koje sadrže stranice tog trougla, pripadaju jednoj pravoj. (Simsonova prava) 10. Neka su A, N i O podnožje visine iz A, presek bisektrise ugla BAC sa opisanom krugom trougla ABC i centar opisanog kruga, dokazati A AE = ANO = NAO = 1 ( ABC ACB). 2 11. (Veliki zadatak) Ako sa A 1, B 1 i C 1 obeležimo središta ivica BC = a, CA = b, AB = c trougla ABC (b > c), sa p poluobim tog trougla, sa l(o, r) opisani krug tog trougla, sa P, Q, R tačke u kojima upisani krug k(s, ρ) dodiruje prave BC, CA, AB; sa P i, Q i, R i, i = a, b, c tačke u kojima spolja upisani krug k i (S i, ρ i ) dodiruje redom prave BC, CA, AB a sa M i Nv tačke u kojima medijatrisa ivice BC seče krug l, pri čemu M na luku BAC, sa M i N podnožja upravnih iz tačaka M i N na pravoj AB, dokazati da je: 1) B(A, P, P a ), B(A, P, P a), B(P c, A, P b ), B(P b, A, P c) 2) AQ a = AR a = p, QQ a = RR a = a, Q b Q c = R b R c = a, 3) AQ = AR = BR c = BP c = CP b = CQ b = p a, 4) P P a = b c, P b P c = b + c, 5) P A 1 = P a A 1, P c A 1 = P b A 1 6) A 1 M = 1 2 (ρ b + ρ c ), A 1 N = 1 2 (ρ a ρ), 7) MM = 1 2 (ρ b ρ c ), NN = 1 2 (ρ + ρ a), 8) AM = 1 2 (b c) = BN, AN = 1 2 (b + c) = BM, 9) ρ a + ρ b + ρ c = 4r + ρ, 10) NS = NS a = NB = NC, MS b = MS c = MB = MC, 11) M N = b. SLIČNOST 1. Ako su E i F tačke u kojima bisektrise unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla BAC trougla ABC seku pravu BC dokazati BE : CE = BF : CF = AB : AC. 2. Neka su E i F tačke iz prethodnog zadatka. Dokazati 1) AS : SE = AS a : S a E = (AB + AC) : BC, 2) AE : SE = (AB + BC + CA) : BC, AE : S a E = (AB + AC BC) : BC, 3) AS b : S b F = AS c : S c F = (AB AC) : BC. 3. Dokazati: 1) SA SN = 2rρ, 2) S a A S a N = 2rρ a, 3) S b A S b M = 2rρ b, 4) S c A S c M = 2rρ c. 4. (Ptolomejeva teorema) Ako je ABCD konveksan i tetivan četvorougao dokazati da važi AC BD = AB CD + BC AD.

5. Ako su a i d ivica i dijagonala pravilnog petougla izraziti d u funkciji od a. Kako se konstruiše pravilni petougao ivice a? 6. (Čevaova teorema) Ako su P, Q, R redom tačke pravih BC, CA, AB gde su A, B, C tri nekolinearne tačke, tada prave AP, BQ, CR pripadaju jednom pramenu ako i samo ako važi BP CQ AR CP QA RB = 1. 7. Ako su P, Q, R tačke u kojima upisani krug trougla ABC dodiruje stranice BC, CA, AB dokazati da su prave AP, BQ, CR. 8. Dokazati da se bisektrisa jednog unutrašnjeg i dva spoljašnja ugla trougla ABC seku u jednoj tački. 9. (Menelajeva teorema) Tačke P, Q, R pravih odredjenih stranicama BC, CA, AB trougla ABC su kolinearne ako i samo ako važi BP CQ AR CP QA RB = 1. 10. Dokazati da ukoliko postoje tačke u kojima bisektrise spoljašnjih uglova kod temena A, B i C seku prave odredjene naspramnim stranicama trougla ABC, one su kolinearne. 11. Dokazati da tačke P, Q, R u kojima tangente opisanog kruga trougla ABC u njegovim temenima seku prave odredjene naspramnim stranicama, ukoliko postoje, pripadaju jednoj pravoj. Def. Neka su P, Q, R, S četiri razne kolinerane tačke. Par tačaka (P, Q) je harmonijski spregnut sa parom (R, S) ako važi P R RQ = P S. Tada pišemo H(P, Q; R, S). SQ Def. Prave a, b, c, d jednog pramena su harmonijski spregnute ako postoji prava p koja ih seče u harmonijski spregnutim tačkama. Tada pišemo H(a, b; c, d). Ova osobina ne zavisi od izbora prave p. Osobine: Ako važi H(P, Q; R, S) tada važi i H(Q, P ; R, S), H(Q, P ; S, R), H(R, S; P, Q). Ako su P, Q, R tri kolinerane tačke i R nije središte duži P Q tada postoji jedinstvena tyačka S takva da je H(P, Q; R, S). H(P, Q; R, S) B(P, R, Q) B(P, S, Q). Ako su a, b, c, d konkurentne prave i c d važi: H(a, b; c, d) c i d su simetrale uglova odredjenih pravama a i b. 12. Važi H(P, Q; R, S) ako i samo ako postoje četiri tačke A, B, C, D takve da važi AB CD = {P }, BC AD = {Q}, P Q AC = {R}, P Q BD = {S}. 13. Ako su A, B, C, D razne kolinearne tačke, a O središte duži AB tada važi H(A, B; C, D) AO 2 = OC OD. 14. Ako su A, B, C, D razne tačke prave p, O tačka van te prave, E i F tačke u kojima prava koja sadrži tačku B i paralelna je OA seče OC i OD, dokazati da važi H(A, B; C, D) B je središte EF.

15. Neka su S, S a, S b, S c projekcije tačaka S, S a, S b, S c na pravu odredjenu visinom AA trougla ABC, a E projekcija tačke E na pravu AC. Dokazati: 1) H(A, E; S, S a ), H(A, A ; S, S a ), H(A, E; Q, Q a ), H(A, E; P, P a ) 2) H(A, E; S, S a ), H(A, F ; S b, S c ), H(A, F ; P b, P c ), H(A, A ; S b, S c ). 16. (Apolonijev krug) Odrediti skup svih tačaka u ravni kojima su rastojanja od dveju datih tačaka srazmerna datim nepodudarnim dužima. Def. Ako neka prava koja sadrži tačku P seče krug k(o, r) u tačkama A i B, tada je potencija tačke P u odnosu na krug k data sa p(p, k) = P A P B = P O 2 r 2 i ne zavisi od izbora prave. Potencija tačke P je veća, manja ili jednaka nuli u zavisnosti da li se tačka nalazi u spoljašnjosti ili unutrašnjosti kruga ili na krugu. Def. Geometrijsko mesto tačaka ravni koje imaju jednake potencije u odnosu na dva data kruga k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ) je prava koja se zove radikalna ili potencijalna osa. Radikalna osa je upravna na pravoj O 1 O 2. 17. Neka su A, B, C, D kolinearne tačke takve da važi B(A, B, C, D)i neka je k krug nad prečnikom AB i l bilo koji krug koji sadrži tačke C, D. Dokazati da važi H(A, B; C, D) k l. 18. Prava odredjena visinom AD trougla ABC predstavlja radikalnu osu krugova kojima su prečnici težišne linije BB i CC tog trougla. KONSTRUKTIVNI ZADACI 1. Konstruisati trougao ABC ako su mu težišne duži podudarne datim dužima t a, t b, t c. 2. α, b c, ρ a. 3. b c, h a, ρ. 4. α, a, b + c. 5. β, h c, b ± c. 6. β, γ, p. 7. t a, h b, b ± c. 8. β γ, b, c. 9. α, ρ, ρ a. 10. a, ρ b, ρ c. 11. β γ, l a, ρ. 12. Date su tačke A 1, S, F. Konstruisati trougao ABC ako je A 1 središte BC, S centar upisanog kruga, a F presek simetrale spoljašnjeg ugla u temenu A i prave BC.

INVERZIJA U ODNOSU NA KRUG Def. Neka je k(o, r) proizvoljni krug ravni E 2. Inverzija u odnosu na krug k je preslikavanje ψ k : E 2 \{O} E 2 \{O} kojom se tačka P slika u tačku P takvu da P i P pripadaju istoj polupravoj sa temenom u O i važi OP OP = r 2. Osobine ψ 2 k = Id. ψ k (P ) = P P k. ψ k slika unutrašnjost kruga u spoljašnjost i obrnuto. Ako ψ k slika A u A i ako je P Q prečnik kruga k takav da su P, Q, A, A kolinearne, onda važi H(P, Q; A, A ). Ako prava p sadrži tačku O, tada se p\{o}slika u p\{o}. Ako prava p ne sadrži tačku O, onda se slika u l\{o} gde je l krug koji sadrži O. Ako krug l sadrži tačku O onda se l\{o} slika u pravu koja ne sadrži O. Ako krug l ne sadrži tačku O slika se u krug l 1 koji takodje ne sadrži O. Pri tom se centar kruga l NE PRESLIKAVA u centar kruga l 1. ψ k (A)ψ k (B) = r2 AB. OA OB ψ k čuva uglove izmedju krivih. 1. Ako se krugovi k 1 i k 2 dodiruju u centru inverzije, tada se inverzijom slikaju u dve paralelne prave. 2. Neka se inverzijom ψ k tačka A koja ne pripada krugu k slika u A i neka je l proizvoljan krug koji sadrži A i A. Dokazati da je l k. 3. Neka je ABP Q netetivni četvorougao. Dokazati da je ugao izmedju krugova opisanih oko trouglova ABP i ABQ jednak uglu izmedju krugova opisanih oko trouglova P QA i P QB. 4. Neka se krugovi k 1, k 2, k 3 medjusobno dodiruju u tačkama P, Q, R. Dokazati da je krug opisan oko trougla P QR ortogonalan na sva tri kruga. 5. Neka je O centar opisanog kruga l trougla ABC. Ako su B i C tačke polupravih AB i AC takve da je AB A B = AC A C dokazati da je OA B C. 6. Konstruisati krug k koji sadrži dve date tačke A i B i dodiruje datu pravu p. 7. Konstruisati krug k koji sadrži datu tačku A i dodiruje date krugove k 1 i k 2. 8. Konstruisati krug koji dodiruje tri data kruga k 1, k 2, k 3.

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE RAVNI 1. Dokazati: S p S O = S O S p O p. 2. Dokazati: S p S q = S q S p p = q p q. 3. Dokazati: S p S q S r = S r S q S p ako i samo ako su p, q, r prave jednog pramena. 4. Dokazati: S B S p S A = S A S p S B AB p. 5. Neka je ABCDE petougao upisan u krug takav da je BC DE i CD EA. Dokazati da D pripada medijatrisi stranice AB. 6. Data su dva kruga koji imaju presečnu tačku A. Konstruisati pravu koja sadrži A i na kojoj dati krugovi odsecaju podudarne duži. 7. Neka je t tangenta opisanog kruga trougla ABC u temenu A. Dokazati da važi σ σ σ = S CA BC AB t gde je σ klizajuća simetrija. 8. Dokazati da je četvorougao ABCD tetivan ako i samo ako važi σ σ σ DA CD BC σ = Id. AB 9. Neka je ABCD romb takav da je BAD = 60 i neka prava p seče redom stranice AB i BC u tačkama M i N tako da je zbir duži BM i BN jednak stranici romba. dokazati da je trougao DM N pravilan. STEREOMETRIJA 1. Neka su A, B, C, D četiri nekomplanarne tačke takve da je AB = CD i AD = BC. Dokazati da je prava odredjena središtima AC i BD ujedno i njihova zajednička normala. 2. Zbir dve stranice triedra veći je od treće.ravni od kojih je svaka odredjena ivicom i simetralom naspramne stranice triedra imaju zajedničku pravu. 3. Neka su strane triedra jednake redom 60, 45, 45. Dokazati da je diedar naspram najveć e stranice prav. 4. Duži odredjene središtima naspramnih ivica trostrane piramide (tetraedra) seku se u jednoj tački koja ih polovi. Dokazati. (Težište tetraedra) 5. Dokazati da Težište tetraedra deli duži odredjenetemenima i težištima naspramnih strana u odnosu 3 : 1. 6. Dve naspramne ivice nekog tetraedra su medjusobno podudarne ako i samo ako su duži odredjene središtima ostalih dvaju parova naspramnih ivica medjusobno normalne. 7. Dve naspramne ivice tetraedra su normalne ako i samo ako su duži odredjene središtima ostalih dvaju parova naspramnih ivica medjusobno podudarne. 8. Visine AA i BB tetraedra ABCD se seku ako i samo ako je AB CD. Dokazati.

9. Dokazati da podnožja visina iz temena tetraedra predstavljaju ortocentre naspramnih pljosni ako i samo ako je tetraedar ortogonalan. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE PROSTORA 1. Dokazati da je kompozicija neparnog broja centralnih simetrija prostora ponovo centralna simetrija. 2. Odrediti tip transformacije τ P P S π. 3. Neka su OP, OQ, OR tri medjusobno normalne duži prostora. Dokazati da je proizvod Z Z Z translacija. OR OQ OP 4. Ako su A, B, C tri tačke ravni π, dokazati da važi:g π, CA G π, BC G π, AB = S π. 5. Dokazati da je kompozicija dveju osnih refleksija S p i S q prostora kojima se ose p i q seku u nekoj tački O, predstavlja osnu rotaciju tog prostora. 6. Dokazati: S π S O = S O S π O π. 7. Dokazati da je kompozicija tri ravanske refleksije kojima su osnove odredjene bočnim pljosnima trostrane prizme ABCA B C klizajuća refleksija tog prostora.