METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)<0. Poželjo je da iterval (a,b) bude, što je moguće maji. F Proizvoljo biramo tačku (iz itervala (a,b)): // česta je situacija da su Koristimo formulu: 0 = a i F = b f( ) = ( ) + F f( F) f( ) METODA REGULA FALSI Ili formulu f( ) = ( ) + f( ) f( ) METODA SEČICE = a, = b Kod metode sečice se običo uzima da su 0 Niz tačaka,,..., k,... kovergira ka rešeju *, f(*)=0. OCENA GREŠKE M m * + + m M = ma f '( ) [ ab, ] m = mi f '( ) [ ab, ] KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA m m ε = r M

Zadatak br. Metodom REGULA FALSI odrediti sa tačošću 0 5 sva rešeja jedačie: ( ) = 0 e Rešeje: Aaliziramo fukciju f(). Zaima as da li je fukcija mootoa, da li raste/opada, da li je koveksa/kokava.. f = e = ( ) ( ) 0 f '( ) = e 4( ) f ''( ) = e 4 f ''( ) = 0 e 4 = 0 = l 4 prevoja tačka. (,l 4) f '' < 0 f ' opada za (,l 4) (l 4, ) f '' > 0 f ' raste za (l 4, ) fukcija je eprekida, opada do =l4 i raste od =l4, a kako je f (l4)=8(-l)=.4548>0 zaključujemo da je f >0 za svako ( ) y e f ( ) < 0 f ( + ) > 0 i f raste a (, + )! ula Dakle, uslovi su ispujei (ula fukcije postoji), ostalo je još da lociramo gde se ta ula alazi. Jeda ači za rešavaje je da acrtamo grafike fukcija e,( ) i da odredimo preseču tačku. Sa grafika vidimo da presek postoji i da je egde između (0, 0.5). Ovaj iterval uzimamo za početi iterval (a,b) Biramo tačke = 0.3 F 0 = 0. Kriterijum zaustavljaja je M = ma f '( ) = f '(0) = 5 [0,0.5] m = mi f '( ) = f '(0.5) = 3.65 [0,0.5] 3.65 0.4*0 5 3.65 5 5

Radi bolje pregledosti, raču predstavljamo tabličo: br iteracije f() XF 0.3 0.369859 0 0. -0.058597 0.3676 0.006 0.993-0.00386 3 0.337 0.000038 4 0.3308-0.00000 Dakle, u četvrtoj iteraciji dobili smo ulu fukcije f *=0.33 Račuali smo a 6 decimala, kriteriju zaustavljaja je ispuje = 0.000009 4 3 Zadatak br. Metodom SEČICE sa tačošću aći sva pozitiva rešeja jedačie 0 5 si = Pokušaćemo da lociramo tačo rešeje. Pokušaćemo grafički da proađemo ulu ove fukcije! Nula pripada itervalu (0,3.4). Fukcija je eprekida a R. f ()=cos- f ()=-si-<0 za svako (kokava) Kako bi izbegli veliki broj iteracija, pokušaćemo da smajimo iterval: f (0.5) =.9455 f () = 0.84470 f (.5) =0.55050 Nulu tražimo u itervalu (,.5) 0 = =.5 Radi bolje pregledosti, zadatak rešavamo tabličo. Obzirom da je data tačost, radićemo sa 7 decimala (zbog deljeja). 3

br iteracije f() 0.0000000 0.84470.5000000-0.55050.3845930 0.065665 3.408397 0.003598 4.409645-0.0000465 5.409640 0.0000000 6.409640 0.0000000 Dakle, ula fukcije je *=.4096 4

NJUTNOVA METODA (METODA TANGENTE) Ova metoda je ajpozatija. Brže kovergira od prehode ali ima više uslova. Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Dovolji uslovi kovergecije:. Naći iterval (a,b) takav da je f(a)f(b)<0. f '( ) 0 a (a,b) 3. f () e meja zak a (a,b) 4. Proaći početu tačku 0 a (a,b) za koju je f( 0) f ''( 0) > 0 Dakle, početi vektor biramo proizvoljo ali tako da važi uslov 4.. Proveravamo da li je fukcija: moota, da li je f(a)f(b)<0 (dokaz da je rešeje uutar tog itervala) da li drugi izvod e meja zak (svuda je fukcija ili koveksa ili kokava) a zatim, koristimo formulu: = + f( ) f '( ) Koristeći gore avadeu formulu dobijamo iz tačaka,,..., k,... koji kovergira ka rešeju *, f(*)=0. OCENA GREŠKE M * m M = ma f ''( ) [ ab, ] m = mi f '( ) [ ab, ] KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA m ε r = M 5

5 Zadatak br3. Njutovom metodom, sa tačošću 0 aći sva rešeja jedačie: 3 Rešeje: Ove fukcije možemo i da acrtamo grafički i da lociramo ulu fukcije. e + e 4= 0 f = e + e 3 ( ) 4 Sa grafka vidimo da ova fukcija ima rešeja. Mi ćemo tražiti pozitivo rešeje (aalgoo se traži egativo rešeje). f (0) = < 0 f (.7) =.48 f () =.379 < 0 f () = 3.395 > 0 * (,) f ''(.7) < 0 Sada proveravamo da li važe uslovi za primeu ove metode: ) f () f () < 0 ispujeo 3 ) f '( ) = e 3e > 0 a(, ) 0 =.7 f( 0) f ''( 0) > 0 3 3) f ''( ) = e 9e > 0 a(, ) 3 Kriterijum zaustavljaja: M = ma f ''( ) = f ''() = 7.43 [,] m = mi f '( ) = f '() =.5689 [,] **0.0000 = 0.0033 =.3*0 7.36675 3 Zadatak rešavamo tabličo: br iteracije f() f'() 0.7000000.480044 5.455657.48739 0.87086 4.30546.383437 0.0043467 3.943086 3.38334 0.000005 3.9367556 4.383336 0.0000000 3.936759 X*=.3833 6

KOMBINOVANA METODA SEČICE I TANGENTE Kombiovaa metoda se dobija kada se umesto vredosti u metodi Sečice koriste vredosti dobijee Njutovom metodom, tj. + = f( ) f '( ) f( ) = ( ) + f( ) f( ) Važe isti uslovi kao kod Njutove metode tagete! 5 Zadatak br4. Kombiovaom metodom odrediti ajmaje pozitivo rešeje jedačie tg= sa tačošću 0 Nacrtaćemo grafike fukcija f()=tg i g()=. U preseku grafika alaze se ule fukcije. Najmaje pozitivo rešeje se alazi a itervalu ( π,3 π /) Proveravamo da li važe uslovi Njutove metode: π π 3 7

F( ) = tg F( π ) F(3) =3.4546 F (3 π / ) F(4.7) = 76.0763 ) F(3) F(4.7) < 0 ispujeo ) F'( ) = > 0 a(3,4.7) 0 = 4.5 f( 0) f ''( 0) > 0 cos si 3) F''( ) = > 0 a(3, 4.7) 3 cos Zadatak rešavamo tabličo: M = ma f ''( ) = f ''(4.7) = 4 [3, 4.7] m = mi f '( ) = f '(3) = 0.003 [3, 4.7] *0.003*0.000 =.07*0 4 3 br iteracije X (Njut) X (metoda secice) F() (Njut) F() (Secica) F'() 0 4.5000000 3.0000000 0.3733-3.45465.5048486 4.493639 4.437934 0.00439-0.89567 0.977 4.4934097 4.4933548 0.0000040-0.0003 0.90766 3 4.4934095 4.4934095 0.0000000 0.0000000 0.90786 4 4.4934095 4.4934095 0.0000000 0.0000000 0.90786 Dakle, ula fukcije je *=4.4934 8

METODA ITERACIJE I NJENA MODIFIKACIJA Rešavamo zadatak f()=0, odoso tražimo ulu fukcije f Metodom iteracije se početi zadatak prevodi u sledeći problem:. Naći iterval [a,b] uutar kojeg se alazi rešeje. ϑ( ) mora biti kotrakcija, odoso 3. ϑ([ ab, ]) [ ab, ] (e proveravamo) ϑ '( ) < = ϑ( ) OCENA TAČNOSTI GREŠKE: * 0 * KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA: ε Za početo se uzima proizvolja tačka iz itervala (a,b) 9

e ( ) = 0 Zadatak br5 Naći sva rešeja jedačie: Nacrtaćemo grafike ovih fukcija, tražeo rešeje alazi se u preseku grafika fukcija. Već možemo da pretpostavimo da je jeda ula *=0 Tražimo iterval za drugu ulu: F() = 0.367879 F() =0.864665 Dakle, drugu ulu tražimo a itervalu (,) * [,] F( ) = e ( ) / / ( ) = e = e = e + Q / ( ) = e + Q e Q e e / '( ) = '( ) = = 0.3037 = < / /* Kriterijum zaustavljaja: 0.3037 r 0.3*0 ε = = = 0.3037 4 4 br iteracije ()-(-) 0.00000.60653 0.60653.44786 0.5867 3.48484 0.03698 4.47596 0.00888 5.47808 0.00 6.47757 0.0005 7.47769 0.000 8.47766 0.00003 9.47767 0.0000 Zadatak rešavamo tabličo radi bolje pregledosti: 0 = /0 = e + / = + e Tražea druga ula fukcije je *=.47767 0

Tražimo i treću ulu fukcije: F( 3) = 4.085534 F( ) =.60944 3 * [ 3, ] Poavljamo postupak (moramo da tražimo ovu fukciju Q zato što a itervalu [-4,-3] fukcija Q koju smo malo pre proašli ije kotrakcija!!: br iteracije ()-(-) F( ) = e ( ) 0 -.00000 / ( ) = e = e l( ) = = l( ) -.97 0.97 Q ( ) =l( ) -.3457 0.734 3 -.4068 0.078 Q'( ) = Q'( ) = = / 3 = < + 4 -.4493 0.04645 Zadatak rešavamo tabličo radi bolje pregledosti. 5 -.4764 0.07 6 -.4990 0.0566 Kriterijum zaustavljaja: /3 r 0 0.5*0 ε = = = /3 4 4 Posledja ula je *=-.58 7 -.50089 0.00899 8 -.50604 0.0054 9 -.50897 0.0094 0 -.5065 0.0067 -.560 0.00095 -.54 0.00054 3 -.545 0.0003 4 -.563 0.0008 5 -.573 0.0000 6 -.579 0.00006 7 -.58 0.00003