Regresiona analiza vremenskih serija sa jediniqnim korenom i kointegracija

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Master rad Regresiona analiza vremenskih serija sa jediniqnim korenom i kointegracija Mentor: prof dr Vesna Jevremovi Student: Beograd, 2015.

Sadrжaj 1 Uvod 2 2 Vremenske serije 3 2.1 Sluqajni procesi............................... 3 2.2 Komponente vremenske serije........................ 7 2.3 Klasifikacija vremenskih serija..................... 9 2.4 Neki modeli vremenskih serija...................... 12 2.4.1 Beli xum................................ 12 2.4.2 Modeli pokretnih proseka..................... 12 2.4.3 Autoregresioni modeli....................... 13 2.4.4 Autoregresioni modeli pokretnih proseka........... 14 3 Vremenske serije sa jediniqnim korenom 15 3.1 Testovi jediniqnog korena.......................... 17 3.1.1 Diki-Fulerov test.......................... 17 3.1.2 KPSS test............................... 18 3.1.3 PP test................................. 20 4 Regresiona analiza vremenskih serija sa jediniqnim korenom 21 4.1 Linearna regresija.............................. 21 4.1.1 Linearni regresioni modeli.................... 22 4.2 Linearna regresija kod vremenskih serija sa jediniqnim korenom 24 5 Kointegracija 25 5.1 Model sa korekcijom ravnoteжne grexke................. 25 5.2 Test kointegracije.............................. 26 6 Vektorska vremenska serija 27 6.1 VAR model................................... 28 6.2 Kointegracija u VAR modelu........................ 29 6.2.1 Testiranje kointegracije u VAR modelu i ocene kointegracionih parametara u VAR modelu................. 30 6.3 Deterministiqke komponente u kointegrisanom VAR modelu.... 35 6.4 Testiranje linearnih ograniqenja na kointegracione parametre.. 38 7 Primena kointegracione analize 39 8 Statistiqke tablice za testove jediniqnog korena 47 Literatura 49 1

1 Uvod U svakodnevnom жivotu se susre emo sa pojavama koje imaju svoj tok u vremenu i koje su predmet izuqavanja razliqitih nauka. Tako se demografija bavi prikupljanjem podataka o godixnjim stopama nataliteta i mortaliteta, odnosno prouqavanjem prirodnog priraxtaja. Ekonomija se bavi analizom promenljivih kao xto su cene proizvoda, plate, devizni kurs, zaposlenost, industrijska proizvodnja, itd. U meteorologiji se svakog sata registruje brzina vetra, prati dnevna temperatura, beleжi meseqna ili godixnja koliqina padavina. Poljoprivreda prati godixnje kretanje prinosa pojedinih poljoprivrednih kultura, kao i njihove otkupne i prodajne cene. Sve ove pojave su primeri vremenskih serija. Formalna definicija vremenske serije bi e data u slede em poglavlju. Za sada je dovoljno re i da se vremenska serija moжe posmatrati kao uređeni niz podataka, pri qemu se uređenje najqex e vrxi u odnosu na vreme i u jednakim vremenskim intervalima. Izbor jedinice vremena zavisi od posmatrane pojave, pa to moжe biti sekunda, minut, sat, dan, mesec, godina, ali i decenija, vek ili milenijum. Analiza vremenskih serija predstavlja jednu od statistiqkih disciplina koja beleжi najdinamiqniji razvoj poslednjih decenija. Do ovoga je doxlo zbog razvoja same discipline, ali i zbog jake interakcije sa ostalim disciplinama, pre svega sa ekonomijom. Razvoj analize vremenskih serija je poqeo tridesetih godina dvadesetog veka, kada je poqelo izuqavanje vremenskih serija zasnovano na teoriji verovatno e i matematiqkoj statistici. Principi analize vremenskih serija odstupaju od uobiqajenih pretpostavki teorije statistiqkog zakljuqivanja pa se vremenske serije ne mogu izuqavati metodama klasiqne teorije verovatno e i klasiqne matematiqke statistike. Naime, u klasiqnoj teoriji verovatno e i matematiqkoj statistici je osnovni pojam sluqajan uzorak koji predstavlja niz nezavisnih sluqajnih veliqina. Nasuprot tome vremenska serija je niz sluqajnih veliqina koje su najqex e međusobno zavisne. Kao xto emo videti u narednoj glavi, jedna od osnovnih osobina koju vremenska serija moжe da poseduje je stacionarnost. Slobodno reqeno, serija je stacionarna ukoliko je njeno kretanje predvidivo tokom vremena, tj. ukoliko njeno kretanje ispunjava sliqan obrazac ponaxanja tokom vremena. Suprotno, ako su parametri kretanja vremenske serije funkcije vremenskog trenutka, tada je serija nestacionarna. Predmet izuqavanja ovog rada je upravo analiza nestacionarnih vremenskih serija. 2

2 Vremenske serije Vremenska serija se obiqno definixe kao niz podataka sa određenim hronoloxkim ili linijskim redosledom. Međutim definiciji se moжe pri i i sa stanovixta sluqajnih procesa kao xto e biti opisano u nastavku. 2.1 Sluqajni procesi Do pojma sluqajnog procesa dolazi se proxirivanjem pojma sluqajne promenljive pa uvodimo slede ih nekoliko definicija. Definicija 2.1.1 Ω je skup svih isõoda jednog eksperimenta. Elementi ovog skupa se oznaqavaju sa ω i, i = 1, 2, 3,... i nazivaju elementarni događaji. Definicija 2.1.2 Podskup F partitivnog skupa P(Ω) je algebra nad Ω ako vaжe uslovi: Ω F A F A F A F B F A B F. Definicija 2.1.3 Podskup F partitivnog skupa P(Ω) je σ-algebra nad Ω ako vaжe uslovi: Ω F A F A F {A i } i N F A i F i=1 Definicija 2.1.4 Ako je K neka familija podskupova prostora isõoda Ω(K se jox naziva i kolekcija), tada presek svih σ-algebri koje sadrжe familiju K nazivamo minimalna σ-algebra generisana sa K i oznaqavamo je σ[k]. Analogno se definixe minimalna algebra koja sadrжi sve skupove date kolekcije. Definicija 2.1.5 Neka je prostor isõoda jednak skupu realnih brojeva R i neka je kolekcija K data sa K = {(a, b] : a, b R, a < b}. Minimalnu algebru koja sadrжi kolekciju K oznaqavamo sa B 0. Minimalna σ-algebra koja sadrжi kolekciju K zove se Borelova σ-algebra podskupova realne prave. Oznaqavamo je sa B. Njeni elementi zovu se Borelovi skupovi na realnoj pravoj. 3

Definicija 2.1.6 Neka je Ω prostor isõoda sluqajnog eksperimenta i F σ-algebra događaja. Uređeni par (Ω, F) se zove merljiv prostor. Definicija 2.1.7 Neka je Ω skup svih elementarnih događaja i neka je F σ-algebra nad Ω. Funkcija P : F R se zove verovatno a ili verovatnosna mera na merljivom prostoru (Ω, F) ako ima slede a svojstva: svojstvo normiranosti - P (Ω) = 1 svojstvo nenegativnosti - P (A) 0, za svaki događaj A F svojstvo σ aditivnosti verovatno e ( - ako {A i } i N F, A i Aj =, i j, ) i = 1, 2, 3,..., j = 1, 2, 3,..., onda P A i = P (A i ) i=1 i=1 Prostor verovatno a je uređena trojka (Ω, F, P ). Definicija 2.1.8 Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatno a. Realno preslikavanje X : Ω R se zove sluqajna promenljiva ako B B vaжi da je X 1 (B) F gde je B Borelova σ-algebra. Za X kaжemo da je F-merljivo. Definicija 2.1.9 Familija sluqajnih promenljivih {X t (ω) : t T, ω Ω} definisanih nad istim prostorom verovatno e (Ω, F, P ) se zove sluqajni (stohastiqki) proces sa indeksnim skupom T. Prilikom zapisa se qesto izostavlja promenljiva ω, pa se umesto toga sluqajni proces oznaqava sa {X t, t T }. Proces oqigledno zavisi od dve promenljive t i ω. Za fiksirano t T sluqajni proces je jedna promenljiva. Za fiksirano ω Ω funkcija X t (ω), t T se zove trajektorija sluqajnog procesa. Ako pak fiksiramo obe promenljive X t je realan broj ili jedna realizacija sluqajnog procesa. Skup T iz prethodne definicije se jox naziva i parametarski skup. Ako je T = R = (, ), T = [0, ) ili T = [a, b] R, onda se parametar t T obiqno interpretira kao vreme, a sluqajna funkcija {X t, t T } zove se sluqajan proces sa neprekidnim vremenom. Ako je T Z ili T N, onda se sluqajna funkcija {X t, t T } zove sluqajan proces sa diskretnim vremenom ili sluqajni niz. Definicija 2.1.10 Za svaki prirodan broj n i proizvoljne elemente t 1,...,t n T, t 1 < t 2 <... < t n, raspodela verovatno a sluqajnog vektora (X t1, X t2,..., X tn ) određena je funkcijom raspodele F t1,...,t n (x 1,..., x n ) = P {X t1 x 1,..., X tn x n }. Familija svih ovih raspodela zove se familija konaqnodimenzionih raspodela sluqajnog procesa {X t, t T }. 4

Familija konaqnodimenzionih raspodela zadovoljava slede e uslove: uslov simetrije - ako je i 1,..., i n jedna permutacija brojeva od 1 do n onda vaжi F ti1,...,t in (x i1,..., x in ) = F t1,...,t n (x 1,..., x n ) uslov saglasnosti - ako je m < n za proizvoljne t m+1,..., t n T vaжi F t1,...,t m,t m+1,...,t n (x 1,..., x m,,..., ) = F t1,...,t m (x 1,..., x m ) Neka je {X t, t T } sluqajan proces. Tada je: srednja vrednost sluqajnog procesa varijansa sluqajnog procesa E(X t ) = µ t, t T D(X t ) = σ 2 t, t T autokovarijansa (ili kra e kovarijansa) sluqajnog procesa γ(r, s) = cov(x r, X s ) = E((X r E(X r ))(X s E(X s ))), r, s T autokorelacija (ili kra e korelacija) sluqajnog procesa ρ(r, s) = cov(x r, X s ) D(Xr )D(X s ) Definicija 2.1.11 Sluqajan proces je strogo stacionaran ako su njegove konaqnodimenzione funkcije raspodele invarijantne u odnosu na t, odnosno ako za sve t i, t i + t T, i = 1, 2,... vaжi: F t1,...,t n (x 1,..., x n ) = F t1 +t,...,t n+t(x 1,..., x n ). Definicija 2.1.12 Sluqajan proces {X t, t T } je slabo stacionaran ako su ispunjeni slede i uslovi: E(X t ) = m = const, t T E(X 2 t ) <, t T γ(r, s) = γ(r + t, s + t), r, s, t T. 5

Sada moжemo uvesti i formalnu definiciju vremenskih serija. Definicija 2.1.13 Vremenska serija je jedna realizacija sluqajnog procesa. U smislu prethodne definicije odnos vremenske serije i sluqajnog procesa odgovara odnosu uzorka i osnovnog skupa u standardnoj teoriji statistiqkog zakljuqivanja. Kao xto uzorak predstavlja deo osnovnog skupa na osnovu koga se donose zakljuqci o samom skupu, tako i vremenska serija predstavlja deo sluqajnog procesa koji treba da omogu i uoqavanje karakteristika tog procesa. 6

2.2 Komponente vremenske serije Vremenske serije se, u zavisnosti od pojave, mogu sastojati od razliqitih komponenti. Tradicionalno se pretpostavlja da se vremenska serija moжe razloжiti na qetiri komponente: trend f(t), cikliqnu komponentu c(t), sezonsku komponentu s(t) i sluqajnu komponentu ε(t). U sluqaju kada serija sadrжi sve ove komponente tipovi modela koji se najqeø e koriste su: aditivni model - X t = f(t) + s(t) + c(t) + ε(t) multiplikativni model - X t = f(t) s(t) c(t) ε(t) mexoviti model - X t = f(t) s(t) c(t) + ε(t). Trend vremenske serije opisuje njeno osnovno ponaxanje u duжem vremenskom periodu, ili preciznije u qitavom vremenskom periodu za koji je vremenska serija poznata. U zavisnosti od toga da li vrednosti vremenske serije tokom vremena sistematñki rastu ili opadaju, trend moжe biti rastu i ili opadaju i. Osim toga, trend moжe biti deterministiqki ili stohastiqki u zavisnosti od toga da li se promene serije mogu predvideti ili ne. Grafik 2.2.1: Primer vremenske serije sa trendom: Potroxnja energije u Jugoistoqnom Brazilu od januara 1976. do decembra 2000. (preuzeto sa http : //www.scielo.br) 7

U praktiqnim primenama ve ina vremenskih serija predstavlja podatke prikupljene u uzastopnim vremenskim intervalima kao xto su dani, meseci, kvartali, itd. Zbog toga pojedine vremenske serije ispoljavaju pravilnosti u svom kretanju koje se javljaju u toku jedne kalendarske godine. Za takve serije kaжemo da imaju sezonsku komponentu. Prisustvo sezonske komponente utiqe na to da postoji ve i stepen korelacije između podataka dobijenih u istim mesecima razliqitih godina nego između onih dobijenih u susednim mesecima iste godine. Grafik 2.2.2: Primer vremenske serije sa sezonskom komponentom: Broj turista u Republici Makedoniji od 2004. do 2010. (preuzeto sa http : //mk.wikipedia.org/wiki) Cikliqna komponenta predstavlja sliqno ponaxanje koje se javlja u seriji tokom nekog perioda vremena, odnosno moжemo re i da se u seriji zapaжa periodiqni karakter promene. Ovakve serije imaju svoju periodu, odnosno ciklus. Prethodne tri komponente se jednim imenom nazivaju nesluqajne komponente. Nijedna od ovih komponenti nije obavezna u modelu. Jedina komponenta koju svaki model mora da ima je sluqajna komponenta. Ova komponenta sluжi za objaxnjavanje nepredvidivih fluktuacija. 8

2.3 Klasifikacija vremenskih serija Moжemo izvrxiti klasifikaciju vremenskih serija koriste i razliqite kriterijume. Najjednostavnija je podela na neprekidne i diskretne (prekidne) vremenske serije. Kao i kod sluqajnih procesa ta podela zavisi od parametarskog skupa. Vremenska serija je neprekidna ako njene vrednosti moжemo registrovati u svakom vremenskom trenutku. Prekidna vremenska serija je ona qije vrednosti beleжimo u jednakim vremenskim intervalima (dan, sat, mesec, godina). Prekidnu vremensku seriju moжemo dobiti i od neprekidne tako xto emo beleжenje rezultata posmatrane pojave vrxiti samo u određenim vremenskim intervalima. Kljuqna podela vremenskih serija jeste podela na stacionarne i nestacionarne. Slobodno reqeno, serija je stacionarna ukoliko je njeno kretanje predvidivo tokom vremena, tj. ukoliko njeno kretanje ispunjava sliqan obrazac ponaxanja tokom vremena. Suprotno, ako su parametri kretanja vremenske serije funkcije vremenskog trenutka, tada je ona nestacionarna. Na slede im slikama se moжe videti kako izgledaju stacionarne a kako nestacionarne vremenske serije. Grafik 2.3.1: Primer stacionarnih vremenskih serija (preuzeto sa https : //drsif u.wordpress.com/2012/11/27/time series econometrics) 9

Grafik 2.3.2: Primer nestacionarnih vremenskih serija (preuzeto sa https : //drsif u.wordpress.com/2012/11/27/time series econometrics/) Kao xto je ve pomenuto postoje dva vida stacionarnosti. U sluqaju definicije 2.1.11 serija je stacionarna ako se njena svojstva ne menjaju transliranjem u vremenu. To znaqi da sluqajne promenljive koje pripadaju toj seriji imaju istu oqekivanu vrednost, varijansu i momente vixeg reda. Ako pak uzmemo definiciju 2.1.12 u obzir onda za stacionarnu seriju vaжi da se oqekivana vrednost i varijansa ne menjaju tokom vremena dok je kovarijansa između svaka dva qlana serije samo funkcija vremenskog rastojanja između njih. Ve ina vremenskih serija uopxte, a posebno u ekonomiji ima bar jednu osobinu kojom odstupa od karakteristiqnog izgleda stacionarne vremenske serije. Nestacionarna vremenska serija se moжe transformisati tako da se dobije stacionarna vremenska serija pomo u operatora prve diference, odnosno konaqnih razlika prvog reda, za xta se uobiqajeno, mada nepravilno, koristi termin diferenciranje podataka. 10

Pretpostavimo da vremenska serija X t poseduje trend deterministiqkog tipa (a+bt) oko kojeg relativno pravilno oscilira, xto zavisi od ponaxanja sluqajne grexke e t : X t = a+bt+e t. Primenom operatora prve diference eliminixe se komponenta linearnog trenda na slede i naqin: X t = a + bt + e t X t 1 = a + b(t 1) + e t 1 } X t = X t X t 1 = b + e t. 11

2.4 Neki modeli vremenskih serija Jedan od naqina za izuqavanje nekih pojava koje su dobijene u vidu vremenskih serija je izgradnja modela za takve serije. Osnovna motivacija za izgradnju modela bila je жelja da se prognoziraju budu e vrednosti serije. U nastavku e biti opisani neki od osnovnih modela. Svi modeli u nastavku se odnose na vremenske serije bez trenda, sezonske i cikliqne komponente. 2.4.1 Beli xum Neka je dat niz sluqajnih veliqina: X 1, X 2, X 3,..., X n za koje vaжi: X t = f(t) + ξ t, t = 1, n gde je f(t) deterministiqka, nesluqajna komponenta, a ξ t, t = 1, n sluqajna komponenta za koju vaжi: Eξ t = 0, t = 1, n Dξ t = σ 2, t = 1, n Cov(ξ t, ξ s ) = Eξ t ξ s = 0, za sve s t. Niz ξ t se naziva beli xum. Da je neki niz beli xum oznaqava emo sa: ξ t (0, σ 2 ). 2.4.2 Modeli pokretnih proseka Neka je dat niz realnih sluqajnih promenljivih: koji predstavlja beli xum: {ξ t, t D}, D = {0, ±1, ±2,...} ξ t (0, σ 2 ). Definiximo sada niz realnih sluqajnih promenljivih {X t, t D} na slede i naqin: q X t = a j ξ t j, a 0 0, a q 0. j=0 Ovo je serija pokretnih proseka reda q ili M A(q) serija (engleski: MA-moving average). Za MA(q) serije vaжi: EX t = 0 ( q ) 2 DX t = E a j ξ t j = σ 2 q a 2 j 1 j=0 σ K X (t, s) = K(t s) = K(τ) = 2 q τ a j a j+ τ, 0 τ q j=0 0, τ > q Odakle zakljuqujemo da je M A(q) stacionarna serija. Najjednostavniji primer serije pokretnih proseka je M A(1) serija. serija ima slede i oblik: X t = ξ t + aξ t 1. 12 Ova

2.4.3 Autoregresioni modeli Neka je dat niz realnih sluqajnih promenljivih: {ξ t, t D}, D = {0, ±1, ±2,...} koji predstavlja beli xum i neka je serija {X t } definisana na slede i naqin: X t = h 1 X t 1 + h 2 X t 2 +... + h p X t p + ξ t, t D, gde su h 1, h 2,..., h p realni koeficijenti. Takve serije emo zapisivati i u obliku: X t + b 1 X t 1 +... + b p X t p = ξ t i smatrati da moжe biti p 1. Ovo je autoregresiona serija reda p ili AR(p) serija (engleski: AR-autoregression). Za sve autoregresione serije vaжi da se mogu predstaviti u obliku beskonaqne serije pokretnih proseka. Tako seriju AR(p) moжemo predstaviti i na slede i naqin: X t = c j ξ t j, t D. Za ovu seriju onda vaжi: j=0 EX t = lim EX t,n = lim n n n c j Eξ t j = 0 j=0 n DX t = lim EXt,n 2 = lim c j 2 Eξt j 2 = σ 2 cj 2 n n j=0 j=0 K X (t, t τ) = E c j ξ t j c v ξ t τ v = = j,v=0 j=0 v=0 c j c v E(ξ t j ξ t τ v ) = σ 2 c v c τ+v, τ > 0 K(t, t τ) = K(τ) = K( τ). Odavde zakljuqujemo da parametri c j moraju biti manji od 1 po apsolutnoj vrednosti kako bi serija bila stacionarna, jer je samo u tom sluqaju suma v=0 c 2 j j=1 konaqna, odnosno samo tad je DX t <. Najjednostavniji primer autoregresione serije je AR(1) serija. Ova serija ima slede i oblik: X t = βx t 1 + ξ t. 13

2.4.4 Autoregresioni modeli pokretnih proseka Serija {X t, t D} realnih sluqajnih veliqina definisana sa: p b j X t j = j=0 q a k ξ t k, t D, k=0 u kojoj emo smatrati da je b 0 = 1, b p 0, a 0 = 1, a q 0 i gde je: ξ t (0, σ 2 ), t D, je autoregresiona serija pokretnih proseka reda (p, q) ili ARM A(p, q) serija. Najjednostavniji oblik ovih serija je ARM A(1, 1) serija. Ova serija ima slede i oblik: X t + b 1 X t 1 = ξ t + a 1 ξ t 1. 14

3 Vremenske serije sa jediniqnim korenom Autoregresionom modelu reda p: X t = h 1 X t 1 + h 2 X t 2 +... + h p X t p + ξ t moжe se pridruжiti slede a jednaqina: g p h 1 g p 1 h 2 g p 2... h p = 0. Ovakva jednaqina se obiqno naziva karakteristiqna jednaqina AR(p) modela, gde su g 1, g 2,..., g p koreni karakteristiqne jednaqine. Moжe se pokazati da vaжi slede e: Ukoliko su svi koreni g 1, g 2,..., g p stacionarna po modulu manji od 1, onda je serija Ukoliko je bar jedan koren g i, i = 1, 2,..., p po modulu jednak jedan onda je vremenska serija nestacionarna. Takve vremenske serije se obiqno nazivaju vremenske serije sa jediniqnim korenom. Posmatrajmo slede i model: X t = β + 1 X t 1 + e t. Ovo je autoregresioni model prvog reda kod koga je autoregresioni parametar jednak vrednosti 1. Ponaxanje ove vremenske serije na dugi rok određuje rexenje slede e karakteristiqne jednaqine: g 1 = 0 g = 1. Dakle koren karakteristiqne jednaqine uzima vrednost 1, zbog qega se ovakve serije i nazivaju vremenske serije sa jediniqnim korenom. Broj jediniqnih korena odgovara stepenu integrisanosti vremenske serije, odnosno određuje koliko je puta potrebno diferencirati nestacionarnu vremensku seriju da bi ona postala stacionarna. Pretpostavimo da je broj jediniqnih korena d tada je serija d X t stacionarna vremenska serija. Moжemo dati jox jedan primer vremenske serije sa jediniqnim korenom. Posmatrajmo model oblika: X t = 2X t 1 X t 2 + e t. Ovo je autoregresioni model reda 2. Karakteristiqna jednaqina ovog modela je: g 2 2g + 1 = 0 (g 1) 2 = 0 g 1 = g 2 = 1. Dakle, ovaj model ima dva jediniqna korena, xto znaqi da je potrebno dva puta izvrxiti diferenciranje da bi se dobila stacionarna vremenska serija. To se moжe uraditi na slede i naqin: X t = 2X t 1 X t 2 + e t X t X }{{ t 1 } = X t 1 X }{{ t 2 } +e t X t = X }{{ t 1 } +e t 2 X t = e t X t X t 1 X t X t 1 = 2 X t 15

Prvim diferenciranjem se eliminixe prvi jediniqni koren ali dobijena serija X t = X t 1 + e t je i dalje nestacionarna. Drugim diferenciranjem se eleminixe i drugi jediniqni koren i dobija se stacionarna vremenska serija 2 X t = e t. 16

3.1 Testovi jediniqnog korena U praktiqnom modeliranju od velikog je znaqaja utvrđivanje broja jediniqnih korena koje data vremenska serija poseduje. U tom cilju se koriste testovi jediniqnog korena. Postoji veliki broj razliqitih testova jediniqnih korena. Prvi test koji se pojavio definisali su Diki i Fuler. Pored ovog u radu e biti opisana jox dva testa jediniqnog korena. 3.1.1 Diki-Fulerov test Ovaj test je dobio ime po svojim autorima. Jedan je od najqex e korix enih i qesto se kra e naziva DF test. Pretpostavimo da je vremenska serija X t generisana AR(1) modelom: X t = φx t 1 + e t i da je njena srednja vrednost E(X t ) = 0. Kao xto je ve objaxnjeno u prethodnom poglavlju, priroda kretanja X t zavisi od vrednosti parametra φ. Kada je φ < 1 X t sledi stacionarnu putanju, a kada je φ = 1 X t poseduje jediniqni koren. Prema ovome se formiraju hipoteze testa koje imaju slede i oblik: H 0 : φ = 1 (X t poseduje jedan jediniqni koren) H 1 : φ < 1 (X t je stacionarna vremenska serija). Nultu hipotezu proveravamo pomo u test statistike koja se raquna prema podacima iz uzorka obima T : X 1, X 2,..., X T. Prvi korak je ocenjivanje parametra φ primenom metode najmanjih kvadrata: ˆφ = T X t X t 1. T t=2 Xt 1 2 t=2 Slede i korak je izraqunavanje standardne grexke ocene ˆφ, s( ˆφ), na slede i naqin: s( ˆφ) s = 2, T gde je: s 2 = Xt 1 2 t=2 T Xt 2 ˆφ T X t X t 1 t=2. (T 1) 1 t=2 17

Ukoliko se ocena ˆφ ne razlikuje mnogo od jedan logiqno je zakljuqiti da je nulta hipoteza taqna. Prema ovome moжemo obrazovati test statistiku na slede i naqin: ˆφ 1 s( ˆφ). Od toga da li serija ima jediniqni koren ili ne zavisi i raspodela ove test statistike. Naime, pod pretpostavkom da je ˆφ ocena parametra standardnog linearnog regresionog modela ova test statistika bi imala t-raspodelu. Nasuprot tome, ako serija ima jediniqni koren, tada ocena ˆφ nema normalnu raspodelu, pa ni test statistika nema t-raspodelu. Da test statistika ne pripada klasi poznatih teorijskih raspodela, tj. da ima nestandardnu raspodelu, prvi su pokazali Diki i Fuler. Prema testu ova raspodela je nazvana raspodela DF testa jediniqnog korena. Qesto se oznaqava i kao τ-raspodela, pa se i sama test statistika qesto oznaqava sa τ. Kritiqna vrednost τ k za τ-raspodelu se moжe odrediti za svaki obim uzorka za nivo znaqajnosti 5% pomo u slede e formule: τ k = 1.9393 0.398. τ Prema poznatim pravilima statistiqkih testova zatim se određuje da li se nulta hipoteza prihvata ili odbija. Naime, ako je izraqunata vrednost teststatistike ve a od kritiqne vrednosti hipoteza H 0 se odbacuje i zakljuqujemo da je serija stacionarna. U suprotnom nultu hipotezu prihvatamo i zakljuqujemo da serija ima bar jedan jediniqni koren. Ukoliko se umesto poqetnog modela koristi model: X t = β 0 + βt + ϕx t 1 + δ 1 X t 1 + δ 2 X t 2 +... + δ k X t k + e t izraqunata DF statistika iz ovog modela naziva se proxirena Diki-Fulerova statistika koja se obiqno oznaqava ADF (Augmented Dickey-Fuller).Obe statistike, DF i ADF, poseduju identiqnu asimptotñku raspodelu i u praksi se koriste iste kritiqne vrednosti. 3.1.2 KPSS test KPSS test jediniqnog korena ime je dobio po poqetnim slovima prezimena svojih autora (KwiatkowskiPhillipsSchmidtShin). Zasniva se na potpuno drugaqijem pristupu od DF testa. Posmatrajmo model: X t = X 0 + βt + e t, t = 1, 2,..., T (3.1.1) i pretpostavimo da e t poseduje jedan jediniqni koren: e t = e t 1 + v t, e 0 = 0 (3.1.2) tako da je sada v t proces beli xum sa srednjom vrednox u 0 i varijansom σ 2 v. 18

Ako sada zamenimo 3.1.2 u 3.1.1 dobijamo: X t = X 0 + βt + e t = X 0 + βt + e t 1 + v t = X 0 + βt + e t 2 + v t + v t 1 =... = X 0 + βt + t v j, gde je t = 1, 2,... Ono od qega e zavisiti da li je serija stacionarna ili ne jeste poslednji sabirak, suma sluqajnih grexaka kada je varijansa sluqajne veliqine v t jednaka nuli. Iz ovih zakljuqaka formiramo hipoteze: t j=1 j=1 v j. Serija e biti stacionarna jedino onda H 0 : σ 2 v = 0 (X t je stacionarna vremenska serija) H 1 : σ 2 v > 0 (X t poseduje jedan jediniqni koren). Dakle osnovni zadatak ovog testa je zapravo ocena varijanse sluqajne veliqine v t. Kada iz relacije 3.1.1 primenom metode najmanjih kvadrata ocenimo parametar β dobijamo prvo reziduale ê t, a potom i parcijalne sume reziduala - S t = t i=1 ê i, za t = 1, 2,..., T. Zatim se formira veliqina ocenom dugoroqne varijanse s 2 KPSS test-statistiku koja je oblika: sluqajne komponente KP SS = 1 T 2 T St 2 t=1 s 2. T t=1 t v j. Veliqina s 2 predstavlja Njui-Vestovu ocenu dugoroqne regresije: koja se dobija prema: σ 2 = lim T T 1 var( T v t ), t=1 s 2 = 1 T L ê 2 t + 2 w j ( 1 T ê t ê t j ) T T t=1 j=1 t=j+1 T T ê 2 t ê t ê t 1 t=1 = T 1 + 2w t=2 1 +... + 2w T L ê 2 t t=1 j=1 t=l+1 S 2 t, koja se normira T ê t ê t L T. ê 2 t t=1 Odavde izvodimo 19

Req je o uobiqajenoj oceni varijanse sluqajne grexke modela s 2 = T ê 2 t /T, koja se mnoжi datim elementom u zagradi da bi se ukljuqila informacija o autokorelisanosti podataka. Parametar L predstavlja broj docnji i bira se na slede i naqin : L = [4(T/100) 1/4 ]. Veliqina w j predstavlja prozor docnji i definixe se kao w j = 1 j/(l + 1), j = 1,..., L i 0 za ostale docnje. Na ovaj naqin se pretpostavlja da autokorelacija linearno opada tokom vremena i da ne postoji za docnje strogo ve e od L. 3.1.3 PP test PP (PhillipsPerron) test je definisan za iste hipoteze kao i kod DF testa. Test statistika je postavljena tako da predstavlja modifikaciju DF statistike sa ciljem pove anja pouzdanosti testiranja kada u regresionom modelu postoji autokorelacija i kada je potrebno voditi raquna o prisustvu deterministiqke komponente. PP test statistika se definixe na slede i naqin: Z t = s ( s 2 τ t 0.5 s 2 s s 2 ) ( T s( ˆϕ) Sa s 2 i s 2 oznaqene su redom obiqna i dugoroqna ocena varijanse sluqajne grexke modela, dok s( ˆϕ) predstavlja standardnu grexku ocene ˆϕ u modelu: s 2 X t = β 0 + βt + ϕx t 1 + e t, a τ T DF statistiku za isti model. U uslovima vaжenja nulte hipoteze statistika Z t ima raspodelu koja je asimptotski identiqna raspodeli DF testa pa se koristi isti skup kritiqnih vrednosti. ). t=1 20

4 Regresiona analiza vremenskih serija sa jediniqnim korenom 4.1 Linearna regresija U svakoj nauqnoj disciplini osnovni problem je utvrđivanje veza između promenljivih veliqina. Te veze mogu biti potpuno određene. Na primer, u fizici se moжe utvrditi taqna funkcionalna zavisnost između udaljenosti objekata od zemlje i gravitacione sile. Međutim, u bioloxkim i druxtvenim naukama suoqavamo se sa mnogo komplikovanijim situacijama. Ovde je mnogo teжe odrediti taqnu povezanost pa je potrebno koristiti statistiqka izuqavanja koja mere proseqne promene jedne veliqine izazvane promenama druge veliqine. Regresiona analiza upravo ima za cilj da utvrđuje i meri veze takvog tipa. U medicinskim istraжivanjima qesto se interes istraжivaqa usmerava ka problemu povezanosti među sluqajnim promenljivim. Pritom je od posebnog interesa mogu nost prognoziranja ili predviđanja vrednosti jedne promenljive na osnovu drugih promenljivih. Prvi tako formulisani problem potiqe od engleskog antropologa Francisa Galtona. On je zajedno sa Pirsonom studirao nasleđivanje u biologiji. Tokom studija je mere i visine oqeva i sinova ustanovio neku vrstu paradoksa. Naime, primetio je da visoki oqevi imaju visoke sinove ali u proseku ne tako visoke kao xto su oni sami, i sliqno, da niski oqevi imaju niske sinove ali opet u proseku ne tako niske kao xto su oni. Ovu tendenciju proseka neke karakteristike (u ovom sluqaju visine) odabrane grupe da u slede oj generaciji sinova teжi ka proseku populacije a ne proseku njihovih oqeva, Galton je nazvao regresijom, taqnije, regresijom prema proseku. Da bi dobio informaciju zavisnosti visine sinova od visine njihovih oqeva, Pirson je pretpostavio da se ta zavisnost moжe izraziti kao funkcija, y = f(x), pri qemu je y zavisna promenljiva, odnosno promenljiva koju жelimo da objasnimo ili predvidimo (u Galtonovom primeru visina sinova), a x nezavisna promenljiva, odnosno promenljiva koju koristimo da objasnimo zavisnu promenljivu (visina oqeva). Osnovna svrha primene regresione analize je da se na osnovu jedne, poznate promenljive moжe predvideti vrednost druge, nepoznate promenljive i to iz jednaqine koja pokazuje njihovu zavisnost. Zavisnost moжe biti linearna i u tom sluqaju se izraжava polinomom prvog stepena ili moжe biti nelinearna (logaritamska, eksponencijalna), pa se izraжava odgovaraju im matematiqkim izrazima. 21

4.1.1 Linearni regresioni modeli Regresioni modeli se dele na proste, u kojima postoji samo jedna zavisna i jedna nezavisna promenljiva i vixestruke u kojima postoji dve ili vixe nezavisnih i jedna zavisna promenljiva. I jedni i drugi se prema prirodi zavisnosti između promenljivih dele na linearne i nelinearne. Prosti linearni regresioni modeli se izraжavaju polinomom prvog stepena, koja za populaciju glasi: y = β 0 + β 1 x + ɛ. U ovoj jednaqini su: y - zavisna promenljiva, x nezavisna promenljiva, a ɛ sluqajna grexka, koja predstavlja razliku između eksperimentalno dobijene vrednosti y i vrednosti y izraqunate iz polinoma prvog stepena. Za uzorak jednaqina ima slede i oblik: y i = a + bx i gde su a i b nepoznati parametri koje treba oceniti. Konstanta a predstavlja vrednost y kada je x = 0 (vrednost u kojoj prava linija seqe y osu kada je x = 0) i naziva se odseqak na y osi, a sluжi za procenu populacionog parametra β 0. Koeficijent regresije b pokazuje koliko se linearno menja vrednost zavisne promenljive y ako se nezavisna promenljiva x promeni (pove a ili smanji) za jedinicu mere. Koeficijent b ima pozitivan predznak kada se sa pove anjem x pove ava y (zavisnost između x i y je upravo proporcionalna), a negativan kada se sa pove anjem x smanjuje y (obrnuto proporcionalna zavisnost). Ako su obe promenljive izraжene u istim dimenzijama, b predstavlja tangens ugla α koji prava linija zaklapa sa x osom. Metoda koja se koristi da se odrede parametri modela na osnovu datih taqaka naziva se metoda najmanjih kvadrata, a bazira se na tome da se minimizuje suma kvadriranih razlika (grexaka = ɛ) između dobijenih i izraqunatih vrednosti y. Suxtina je u tome da kroz grupu taqaka moжe da se povuqe vixe pravih linija koje e na neki naqin opisivati taj skup taqaka, a najbolja je ona kod koje je zbir kvadrata odstupanja taqaka od odgovaraju e prave najmanji mogu i. Takvu pravu nazivamo regresiona prava. Prava linija koja se prema kriterijumu najmanjih kvadrata najbolje uklapa u grupu taqaka naziva se regresiona linija, a jednaqina koja je definixe naziva se regresiona jednaqina. Regresiona jednaqina ima slede e osobine: razlika između stvarne vrednosti y i izraqunate vrednosti y je najmanja mogu a, iz srednje vrednosti x moжemo da izraqunamo srednju vrednost y, kada x odstupa od srednje vrednosti, moжemo da oqekujemo i da y odstupa od svoje srednje vrednosti. Iz regresione jednaqine moжe da se izraquna oqekivana vrednost y iz date vrednosti x, odnosno regresiona jednaqina moжe da se koristi za predviđanje vrednosti y. 22

Koeficijenti regresione jednaqine izraqunavaju se prema slede im izrazima: xy N xȳ b = x2 N x, a = ȳ b x. 2 Veliqinu odstupanja taqaka od prave linije izraжava standardna grexka regresione prave, koja se izraqunava prema izrazu: (yi y) S y,x = 2 y2 a y b xy =. N 2 N 2 Jaka linearna zavisnost između promenljivih x i y znaqi da su taqke vrlo blizu prave linije, pa je stoga suma kvadrata odstupanja dobijenih vrednosti y od izraqunatih vrednosti y, mala, odnosno mala je i standardna grexka S y,x. I obrnuto, kada je linearna zavisnost između promenljivih x i y slaba, taqke su rasute oko prave, suma kvadrata odstupanja taqaka od prave je velika i velika je standardna grexka S y,x. Razlika između dobijenih vrednosti y i izraqunatih vrednosti y naziva se ostatak (rezidual), a poxto je standardna grexka S y,x mera za veliqinu ovih reziduala, njen drugi naziv je rezidualna standardna devijacija. 23

4.2 Linearna regresija kod vremenskih serija sa jediniqnim korenom Jedna od pretpostavki klasiqnog linearnog regresionog modela odnosi se na svojstvo objaxnjavaju ih promenljivih da uzimaju fiksirane vrednosti iz ponovljenih uzoraka. Varijansa objaxnjavaju ih promenljivih je nula jer one i nisu sluqajne promenljive. U sluqaju da je pomenuta pretpostavka netaqna ne moжe se dokazati da se metodom najmanjih kvadrata dobijaju konzistentne ocene. Osim toga te ocene nemaju normalnu raspodelu pa se ne mogu koristiti ni standardne test-statistike sa Studentovom i χ 2 raspodelom. Ako objaxnjavaju a promenljiva ima jediniqni koren, nije stacionarna, onda njena varijansa raste tokom vremena i takva promenljiva ne uzima fiksirane vrednosti iz ponovljenih uzoraka. Odavde sledi da se klasiqni linearni regresioni modeli ne mogu koristiti pri izuqavanju međusobne zavisnosti nestacionarnih vremenskih serija. Jedan od naqina ocenjivanja zavisnosti između nestacionarnih vremenskih serija je njihova transformacija tako da se dobiju stacionarne vremenske serije. U tu svrhu se najqex e koristi ve pomenuto diferenciranje vremenskih serija. Neka su Y t i X t vremenske serije sa jednim jediniqnim korenom onda se klasiqni metod najmanjih kvadrata moжe primeniti na model oblika: Y t = β 0 + β 1 X t + ɛ t. Ono xto predstavlja problem kod ovakvog ocenjivanja je to xto rezultat ne daje vezu između Y t i X t koja u ekonomskim istraжivanjima moжe da bude od velikog znaqaja. Ova veza se kod stacionarnih vremenskih serija dobija jednostavno iz linearnog regresionog modela, dok se u sluqaju serija sa jediniqnim korenom ona moжe dobiti iskljuqivo na osnovu koncepta kointegracije koji e biti objaxnjen u nastavku rada. 24

5 Kointegracija Pretpostavimo da postoje dve vremenske serije, od kojih svaka poseduje svoj stohastiqki trend, ali se njihovo kretanje odvija tako da se one ne udaljavaju mnogo jedna od druge. U izvesnom smislu je njihovo zajedniqko kretanje stacionarno. Upravo iz ovog primera potiqe pojam kointegracije, koji slobodno reqeno podrazumeva stacionarnost linearne kombinacije individualno nestacionarnih vremenskih serija. Uporedimo sada koncept kointegracije sa konceptom linearnog regresionog modela. Cilj regresione analize je da zavisnu promenljivu predstavi preko objaxnjavaju ih promenljivih tako da neobjaxnjeni deo bude stacionaran, odnosno proces beli xum. Cilj kointegracije je da kretanje jedne vremenske serije bude objaxnjeno kretanjem nekih drugih vremenskih serija tako da neobjaxnjeni deo bude stacionaran. Dakle po svojoj suxtini ova dva koncepta se ne razlikuju. 5.1 Model sa korekcijom ravnoteжne grexke U analizi odnosa ekonomskih vremenskih serija znaqajno mesto zauzima model korekcije ravnoteжne grexke. Ovaj model predstavili su Engle i Grejn er kao naqin opisivanja kointegrisane vremenske serije. Pretpostavimo da su date dve vremenske serije X t, Y t koje su u relaciji Y t = β 0 + βx t. Model sa korekcijom ravnoteжne grexke je oblika: Y t = γ 0 (Y t 1 β 0 βx t 1 ) + γ 11 Y t 1 +... + γ 1k Y t k + γ 21 X t 1 +... + γ 2k X t k + δ, gde su γ 0, γ 11,..., γ 1k, γ 21,..., γ 2k parametri, pri qemu vaжi γ 0 < 0, a δ sluqajna grexka. Kljuqni deo modela je promenljiva (Y t 1 β 0 βx t 1 ) jer ona predstavlja odstupanje Y t od ravnoteжne relacije Y t = β 0 + βx t do koga je doxlo u periodu t 1. Pomenuta promenljiva se zato naziva ravnoteжna grexka. U nastavku modela se promena Y t, Y t, tokom perioda t modelira na osnovu informacije kolika ravnoteжna grexka je napravljena u periodu t 1. Ravnoteжna grexka ima korektivnu ulogu. Parametar γ 0 se naziva parametar prilagođavanja jer pokazuje koliki deo promene Y t se usklađuje u svakom periodu prema putanji dugoroqne ravnoteжne veze. Promenljive Y t 1, Y t 2,..., Y t k, X t 1, X t 2,..., X t k se koriste za opisivanje takozvane kratkoroqne dinamike. Broj ovih promenljivih zavisi od strukture korelacije poqetnih vremenskih serija. Između modela sa korekcijom ravnoteжne grexke i kointegracije postoji jaka veza pa vaжi da ako su vremenske serije kointegrisane onda se uvek mogu predstaviti pomo u ovog modela, ali i obrnuto, odnosno ako se jedna od vremenskih serija moжe opisati pomo u modela sa korekcijom ravnoteжne grexke onda su one kointegrisane [2]. Ova veza predstavlja fundamentalni rezultat Grejn er-johansenove teoreme reprenzetacije. Prema ovoj teoremi model sa korekcijom ravnoteжne grexke sadrжi informacije o nivou vremenskih serija, qak i ako su one nestacionarne. 25

5.2 Test kointegracije Test kointegracije su osmislili Engl i Grejn er i on je poznat pod imenom dvostepena procedura Engla i Grejn era. Pretpostavka ovog testa je da vremenske serije obrazuju samo jednu ravnoteжnu relaciju. Ova pretpostavka je taqna ako su u pitanju dve vremenske serije, u suprotnom ne mora da vaжi. Ako se radi o vixe kointegrisanih vremenskih serija one mogu obrazovati i nekoliko ravnoteжnih relacija. U tom sluqaju se postupak testiranja razlikuje. Pretpostavimo da жelimo da proverimo da li su vremenske serije X t i Y t kointegrisane. Ove vremenske serije su kointegrisane ako neobjaxnjeni deo kretanja Y t predstavlja stacionarnu komponentu. Ta komponenta je serija reziduala koju emo oznaqavati sa r t. Dakle ako je r t stacionarno vremenske serije X t i Y t su kointegrisane, dok ako je r t nestacionarno ove vremenske serije nisu kointegrisane. Odavde zakljuqujemo da se test kointegracije svodi na test jediniqnog korena serije reziduala r t. Testiranje moжemo izvrxiti pomo u DF testa jediniqnog korena gde su nam hipoteze date sa: H 0 : r t poseduje jediniqni koren H 1 : r t je stacionarna vremenska serija. Ovakva verzija DF testa se naziva DF test serije reziduala i izvodi se na isti naqin kao i DF test, ali ima jednu bitnu razliku a to je drugaqija asimptotska raspodela. Ova raspodela zavisi od toga da li kointegraciona jednaqina sadrжi kao deterministiqke komponente samo konstantu ili i konstantu i trend, kao i od broja objaxnjavaju ih promenljivih u polaznoj jednaqini. Ako test dovede do zakljuqka da su serije kointegrisane analiza se nastavlja ocenjivanjem parametara modela ravnoteжne grexke. Ocene se mogu dobiti standardnom metodom najmanjih kvadrata i tako dobijene ocene su pristrasne i nemaju normalnu raspodelu. Oduzimanjem stvarnih vrednosti i vrednosti dobijenih iz ocenjenog modela dobija se serija reziduala. Kointegrisane vremenske serije X t i Y t obrazuju dugoroqnu ravnoteжnu vezu oblika Y t = β 0 + βx t + r t, gde je r t stacionarna serija reziduala. 26

6 Vektorska vremenska serija Definicija 6.0.1 Definixemo vektorsku vremensku seriju X t kao: x 1t x 2t X t =. x mt za t = 1, 2,..., gde su x 1t, x 2t,..., x mt vremenske serije. Definicija 6.0.2 Vektorska vremenska serija X t je slabo stacionarna ako zadovoljava slede e uslove: E(x 1t ) µ 1 E(x 2t ) µ 2 1. E(X t ) = µ = const,gde je µ =. E(x mt ) =. µ m 2. cov(x it, x js ) = g(t s), i, j = 1, 2,..., m, s = 1, 2,... Definicija 6.0.3 Kovarijaciona matrica za docnju k je: γ 11 (k) γ 12 (k)... γ 1m (k) γ 21 (k) γ 22 (k)... γ 2m (k) Γ k = E(X t µ)(x t k µ) =. γ m1 (k) γ m2 (k)... γ mm (k) gde je: γ ij (k) = E(x it µ i )(x jt k µ j ), i, j = 1, 2,..., m, k = 0, 1, 2,... Definicija 6.0.4 Oznaqimo sa D = diag[γ 11 (0), γ 22 (0),..., γ mm (0)] dijagonalnu matricu qiji su elementi varijanse qlanova vektorske vremenske serije X t. Matrica autokorelacionih koeficijenata na docnji k je onda definnisana na slede i naqin: ρ k = D 1/2 Γ k D 1/2. Ako oznaqimo: onda je: ρ k = ρ 11 (k) ρ 12 (k)... ρ 1m (k) ρ 21 (k) ρ 22 (k)... ρ 2m (k). ρ m1 (k) ρ m2 (k)... ρ mm (k) ρ ij (k) = γ ij (k) γii (0)γ jj (0). 27

Definicija 6.0.5 Neka je dat uzorak obima T vektorske vremenske serije X t. Ocena ˆΓ k kovarijacione matrice Γ k je: ˆΓ k = 1 T T (X t X)(X t k X), k = 0, 1, 2,... t=k+1 gde je: X = 1 T T X t. t=1 Definicija 6.0.6 Ocena ˆρ k matrice ρ k je: ˆρ k = ˆD 1/2ˆΓk ˆD 1/2, gde je ˆD matrica dimenzije m m qiji elementi na glavnoj dijagonali predstavljaju ocene varijansi qlanova vektorske vremenske serije X t. 6.1 VAR model U modelovanju vektorskih vremenskih serija najzastupljeniji je vektorski autoregresioni model ili skra eno VAR model. Definicija 6.1.1 VAR model vektorske vremenske serije X t, dimenzije m i reda k ima slede i oblik: X t = φ 1 X t 1 + φ 2 X t 2 +... + φ k X t k + ɛ t. U prethodnom modelu parametri φ 1, φ 2,..., φ k su matrice dimenzije m m. Sluqajna grexka modela je ɛ t koji je vektorski sluqajni proces beli xum dimenzije m 1 i koji predstavlja nekorelisane vremenske serije qija je srednja vrednost 0, a varijansa konaqna. Vaжi slede e: { Σ, k = 0 E(ɛ tɛ t k ) = 0, k 0 gde je sa Σ oznaqena kovarijaciona matrica procesa. Znaqajnost VAR modela ogleda se u qinjenici da njega moжemo koristiti kada se bavimo analizom kointegrisanih vremenskih serija sa jediniqnim korenom, a da ih prethodno ne transformixemo primenom operatora diferenciranja. 28

6.2 Kointegracija u VAR modelu y t 1 y t 1 y t 2 Posmatrajmo VAR(2) model za dve vremenske serije x t i y t sa jediniqnim korenom: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] xt a11 a = 12 xt 1 b11 b + 12 xt 2 ɛ1t + y t a 21 a 22 y t 1 b 21 b 22 y t 2 ɛ 2t [ ] xt 1 Ako od obe strane jednakosti oduzmemo i potom koristimo relaciju [ ] [ ] [ ] y t 1 xt 1 xt 1 xt 2 = tada dobijamo vektorsku formu modela sa korekcijom ravnoteжne grexke: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] xt a11 + b = 11 1 a 12 + b 12 xt 1 b11 b 12 xt 1 + y t a 21 + b 21 a 22 + b 22 1 y t 1 b 21 b 22 y t 1 odnosno: X t = ΠX t 1 + Γ X t 1 + ɛ t, gde je Π = Φ 1 + Φ 2 I, a Γ = Φ 2. Prema pretpostavci svaka od komponenti vektora X t, x t i y t ima po jedan jediniqni koren. U prethodnoj jednaqini na levoj strani se nalazi stacionarna reprezentacija ovih vremenskih serija ( X t ), dok se na desnoj strani nalazi njihova nestacionarna forma (X t 1 ), kao i stacionarna sa docnjom prvog reda ( X t 1 ). Postoje dva rexenja problema tako da sluqajna grexka i dalje bude beli xum. U prvom sluqaju rang matrice Π je nula. Tada se jednaqina svodi na VAR model prvih diferenci. U drugom sluqaju rang matrice Π jednak je jedan i matrica se moжe predstaviti na slede i naqin Π = γβ, gde su γ i β vektori parametara dimenzija 2 1, tako da je linearna kombinacija β X t = β [x t y t ] stacionarna, odnosno da su komponente x t i y t kointegrisane. Dakle, da bi postojala korelacija između X t i X t 1 neophodno je neutralisati nestacionarnost u vektoru X t 1. To se moжe uraditi kointegracijom komponenti ovog vektora. Posmatrajmo VAR model reda k i dimenzije m: X t = Φ 1 X t 1 + Φ 2 X t 2 +... + Φ k X t k + ɛ t njemu odgovara ve uvedena jednaqina oblika: I m Φ 1 h Φ 2 h 2... Φ k h k = 0. Ako su sva rexenja ove jednaqine jednaka jedan onda su komponente vremenske serije integrisane reda jedan. [ ɛ1t ɛ 2t ], 29

Vektorska forma modela sa korekcijom ravnoteжne grexke definixe se kao: X t = ΠX t 1 + Γ 1 X t 1 +... + Γ k 1 X t k+1 + ɛ t, gde je Π = Φ 1 + Φ 2 +... + Φ k I m, Γ j = k i=j+1 Φ i, j = 1,..., k 1. Kako su komponente u VAR modelu integrisane reda jedan sledi da su sva rexenja prethodne jednaqine jednaka jedan, odnosno da je vrednost determinante matrice Π jednaka nuli. Matrica Π je singularna: I m Φ 1 h Φ 2 h 2... Φ k h k = 0, h 1 =... = h km = 1 I m Φ 1... Φ k = 0 Π = 0. Kada je matrica Π singularna mogu a su dva zakljuqka. 1. Matrica Π je nula matrica. U tom sluqaju vektorski model sa korekcijom ravnoteжne grexke svodi se na VAR model prvih diferenci reda k 1 i vremenske serije u vektoru X t nisu kointegrisane. 2. Rang matrice Π je manji od m i ve i od nule. Neka je rang jednak r, tada je Π = γβ, gde su γ i β matrice parametara dimenzije m r. U ovom sluqaju vremenske serije u vektoru X t su kointegrisane. 6.2.1 Testiranje kointegracije u VAR modelu i ocene kointegracionih parametara u VAR modelu Najqex e korix en metod ocenjivanja kointegracionih parametara i testiranja kointegracije u VAR modelu je takozvana Johansenova procedura koja se zasniva na metodi maksimalne verodostojnosti. Pretpostavimo da su komponente vektorske vremenske serije dimenzije m kointegrisane. Model sa korekcijom ravnoteжne grexke tada ima slede i oblik: X t = ΠX t 1 + Γ 1 X t 1 +... + Γ k 1 X t k+1 + ɛ t gde je Π = Φ 1 + Φ 2 +... + Φ k I, Γ j = k i=j+1 Φ i, j = 1,..., k 1, a rang kointegracije je 0 < r < m, tako da vaжi Π = γβ. Kako bismo dobili ocene parametara γ i β eliminixemo parametre kratkoroqne dinamike Γ 1, Γ 2,..., Γ k 1. To se ostvaruje na slede i naqin: oceni se zavisnost X t od X t 1, X t 2,..., X t k+1 primenom metoda najmanjih kvadrata i dobija se vektor reziduala R 0t oceni se zavisnost X t k od X t 1, X t 2,..., X t k+1 primenom metoda najmanjih kvadrata i dobija se vektor reziduala R 1t 30

Sada se polazni model svodi na: R 0t = γβ R 1t + ɛ t Ocene parametara modela dobijaju se na slede i naqin: parametri matrice γ ocenjuju se metodom najmanjih kvadrata uz pretpostavku da je matrica β poznata dobijena ocena ˆγ koristi se u odgovaraju oj funkciji verodostojnosti kako bi se dobila ocena za β prema oceni ˆβ dobija se nova i konaqna ocena ˆγ. Vaжi da je: kao i: gde je: T t=1 t=1 L 2 T max(β) = ˆΣ(β) + const ˆΣ = T 1 (R 0t γβ R 1t )(R 0t γβ R 1t ) ( t=1 T ) = T 1 R 0t R 0t T T T R 0t R 1tβγ γβ R 1t R 0t + γβ R 1t R 1tβγ = S 00 S 01 βγ γβ S 10 + γβ S 11 βγ S ij = T 1 t=1 T R it R jt, i, j = 0, 1. t=1 Dakle kao prvi korak u ocenjivanju nalazimo ocenu ˆγ pomo u metode najmanjih kvadrata. Nju dobijamo kao ocenu nagiba iz regresije u kojoj je R 0t vektor zavisne promenljive, dok β R 1t predstavlja vektor objaxnjavaju ih promenljivih. Dobija se slede a ocena: Zamenom u izraz za ˆΣ dobija se: ˆγ = γ(β) = S 01 β(β S 11 β) 1. ˆΣ(β) = S 00 S 01 β(β S 11 β) 1 β S 10 S 01 β(β S 11 β) 1 β S 10 + +S 01 β(β S 11 β) 1 β S 11 β(β S 11 β) 1 β S 10 t=1 odnosno: ˆΣ = S 00 S 01 β(β S 11 β) 1 β S 10. Sada na red dolazi drugi korak u ocenjivanju u kome se ocenjuje matrica β primenom metode maksimalne verodostojnosti. Znamo da za nesingularne matrice A, B i H vaжi: A B B H = A H B A 1 B = H A BH 1 B. 31

Ako sada uvedemo smene: dobijamo: S 00 = A β S 11 β = H S 01 β = B S 00 β S 11 β β S 10 S 1 00 S 01 β = β S 11 β S 00 S 01 β(β S 11 β) 1 β S 10. Odavde dobijamo slede u ocenu: ˆΣ(β) = S 00 β (S 11 S 10 S00 1 S 01 )β. β S 11 β Neka su sada G i F simetriqne, kvadratne i pozitivno definitne matrice dimenzije m. Posmatrajmo slede u funkciju matrice R: f(r) = R GR R F R. Maksimalna vrednost funkcije f(r) dobija se određivanjem m karakteristiqnih vrednosti i m karakteristiqnih vektora iz: Mi traжimo vrednost za koju: kf G = 0. β (S 11 S 10 S 1 00 S 01 )β β S 11 β dostiжe najmanju vrednost. Ako uvedemo smene: G = S 11 S 10 S 1 00 S 01 F = S 11 R = β u relaciju za određivanje maksimalne vrednosti funkcije f(r) dobijamo: odnosno: ks 11 (S 11 S 10 S 1 00 S 01 ) = 0, (1 k)s 11 S 10 S 1 00 S 01 = 0. Ako sada uvedemo smenu λ = 1 k dobijamo: λs 11 S 10 S 1 00 S 01 = 0. Rexavanjem ove jednaqine dobija se m karakteristiqnih vrednosti ˆλ 1 > ˆλ 2 >... > ˆλ m 0. Odgovaraju i karakteristiqni vektori su v 1, v 2,..., v m. 32

Traжena ocena matrice β je: ˆβ = (v 1, v 2,..., v r ) pri qemu vaжi: ˆβ S 11 ˆβ = Ir. Dakle, sada ostaje jox da se na osnovu ˆβ dobije konaqna ocena za γ. Iz: i ocene ˆβ dobija se: ˆγ = S 01 β(β S 11 β) 1 ˆγ = S 01 ˆβ. Maksimalna vrednost funkcije verodostojnosti uzorka se izvodi prema izraqunatim karakteristiqnim vrednostima na slede i naqin: max = S 00 β (S 11 S 10 S00 1 S 01 ) ˆβ m ˆβ = S 00 (1 S 11 ˆβ ˆλ i ). L 2 T Karakteristiqna vrednost ˆλ i, i = 1, 2,..., m je pokazatelj korelisanosti između linearne kombinacije nivoa vremenskih serija i diference vremenskih serija. Xto je ˆλ i bliжe jedan to je linearna kombinacija nestacionarnih vremenskih serija u ve oj saglasnosti sa stacionarnim delom modela. Ovako jaka korelacija je mogu a jedino kada linearna kombinacija nestacionarnih elemenata postaje stacionarna. U tom sluqaju su posmatrane vremenske serije kointegrisane. U drugom sluqaju, ako je ˆλ i = 0 onda su linearna kombinacija nestacionarnih elemenata i odgovaraju i stacionarni elementi slabo korelisani. U ovom sluqaju je linearna kombinacija nestacionarnih elemenata i sama nestacionarna, odnosno kointegrisanost između posmatranih vremenskih serija ne postoji. Sada je potrebno utvrditi taqan statistiqki postupak kojim e se testirati kointegrisanost vremenskih serija. Neka je r broj stacionarnih linearnih kombinacija, a m r broj nestacionarnih kombinacija. Kao prvi korak u testiranju postavljaju se slede e hipoteze: H 0 : rang(π) = r (postoji r stacionarnih relacija) H 1 : rang(π) = m (postoji m stacionarnih relacija). Ako pretpostavimo da je taqna nulta hipoteza maksimalna vrednost funkcije verodostojnosti se dobija na osnovu: i=1 L 2 T max[r] = S 00 (1 ˆλ 1 ) (1 ˆλ 2 )... (1 ˆλ r ). Ako pak pretpostavimo da je taqna alternativna hipoteza maksimalna vrednost funkcije verodostojnosti se dobija na osnovu: L 2 T max[m] = S 00 (1 ˆλ 1 ) (1 ˆλ 2 )... (1 ˆλ r ) (1 ˆλ r+1 )... (1 ˆλ m ). 33

Kao test statistika koristi se koliqnik verodostojnosti: ( ) [ H 2 ln Q 0 S H 1 = T ln 00 (1 ˆλ 1 )... (1 ˆλ r) [ = T ln (1 ˆλ r+1 )... (1 ˆλ ] m ) = T m ln(1 ˆλ i ) S 00 (1 ˆλ 1 )... (1 ˆλ r) (1 ˆλ r+1 )... (1 ˆλ m) i=r+1 ]. Ovako je definisana Johansenova statistika traga za koju emo koristiti oznaku τ m r. Dakle: m τ m r = T ln(1 ˆλ i ). i=r+1 Pod uslovom da je nulta hipoteza taqna ova test statistika nema χ 2 raspodelu ve vixedimenzionalnu verziju raspodele DF testa jediniqnog korena koja zavisi od broja stohastiqkih trendova m r i deterministiqkih komponenti. Asimptotska raspodela ne zavisi od broja docnji k, pa je Johansenovu statistiku mogu e korigovati tako xto se obim uzorka T zameni sa brojem stepeni slobode svake jednaqine VAR modela, T km. Na taj naqin dobija se slede i oblik test statistike: τ m r = (T km) m i=r+1 ln(1 ˆλ i ). Neka su dobijene vrednosti test statistika: τ m, τ m 1,..., τ 1, a K m, K m 1,..., K 1 odgovaraju e kritiqne vrednosti. Testiranje emo poqeti formulisanjem odgovaraju ih hipoteza: H 0 : r = 0 (nema kointegracije) H 1 : r > 0 (postoji bar jedna stacionarna relacija). Vaжi slede e. Ako je τ m < K m onda se nulta hipoteza prihvata i zakljuqujemo da nema kointegracije. Ako je pak τ m > K m nulta hipoteza se odbacuje i zakljuqujemo da postoji najmanje jedan kointegracioni vektor. Da bismo utvrdili da li je to taqno jedan ili moжda vixe kointegracionih vektora potrebno je da nastavimo testiranje. Sada definixemo slede e hipoteze: H 0 : r = 1 (postoji jedna stacionarna kombinacija) H 1 : r > 1 (postoje najmanje dve stacionarne kombinacije). Ako je τ m 1 < K m 1 prihvatamo nultu hipotezu i zavrxavamo testiranje. Ako je pak τ m 1 > K m 1 testiranje se nastavlja sve do prihvatanja nulte hipoteze kada e biti određen taqan broj kointegracionih relacija. 34

6.3 Deterministiqke komponente u kointegrisanom VAR modelu Vektorski model sa korekcijom ravnoteжne grexke sadrжi i deterministiqku komponentu. U cilju pojednostavljivanja izlaganja ova komponenta je u prethodnim poglavljima bila izostavljena. Sliqno kao i u standardnom VAR modelu i ovde se deterministiqka komponenta javlja u obliku konstante ili konstante i linearnog trenda. Kod kointegracionih VAR modela deterministiqke komponente pripadaju skupu objaxnjavaju ih promenljivih. To vaжi i za sam model ali i za kointegracione relacije. Zbog ovoga je neophodno objasniti mogu e kombinacije deterministiqkih komponenti u kointegrisanom VAR modelu. Postoji 5 mogu ih kombinacija prema Johansenovom pristupu. Ove kombinacije su date u slede oj tabeli [2]: polaznom vektoru X t Deterministiqka komponenta u: vektorskoj formi modela sa korekcijom ravnoteжne grexke (modelira se X t ) kointegracionom vektoru 1. Ne postoji Ne postoji Ne postoji 2. Konstanta Konstanta (sa ograniqenjima) 3. Linearni trend Konstanta (bez ograniqenja) 4. Linearni trend Konstanta (bez ograniqenja) i linearni trend (sa ograniqenjima) 5. Kvadratni trend Konstanta i linearni trend (bez ograniqenja) Konstanta Ne postoji Linearni trend Ne postoji Svaka od ovih kombinacija bi e detaljnije objaxnjena. Kombinacija 1: U modelu sa korekcijom ravnoteжne grexke, kao i u kointegracionim relacijama, ne postoje deterministiqke komponente. Model ima slede i oblik: X t = γβ X t 1 + Γ 1 X t 1 +... + Γ k 1 X t k+1 + ε t. Kombinacija 2: Model sa korekcijom ravnoteжne grexke sadrжi konstantu. U pitanju je m- dimenzioni vektor c. U kointegracionim relacijama β X t 1 takođe postoji konstanta. 35