Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim rojevim pridružuje rzličite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivlentno ovome je: f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko iz jednkosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednkost rgument Pretpostvimo d je f() f(y): logritmsk funkcij je injektivn f f ( y) log( + + 5) log( + y + 5) log log y y Vjež 0 Rezultt: + + 5 + y + 5 + 5 y + 5 / + 5 y + 5 y Provjeri je li funkcij f log( ) Funkcij je injekcij Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) + injekcij Provjeri je li funkcij f + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim rojevim pridružuje rzličite vrijednosti funkcije Svojstvo ekvivlentno ovome je: f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko iz jednkosti funkcijskih vrijednosti slijedi i jednkost rgument Pretpostvimo d je f() f(y): Vjež 0 Rezultt: f f ( y) + + y + + / + + y + + + y + / + y + y Provjeri je li funkcij f + 5 injekcij Funkcij je injekcij Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) + + + 6 + + + Pojednostvnite funkciju f ( ) ( ) ( ) ( ) Rješenje 0 inčic Uporit ćemo inomne formule: ( + ) + +, ( + ) + + +, ( + ) + + 6 + + Sd je: f + + + 6 + + +
+ + 6 + + + + + + 6 + + + + + 6 + + + 6 + + 6 + inčic Pomoću inomne formule doije se: Vjež 0 Rezultt: ove [ poništimo suprotne čln ] ( ) + 6 + f ( + ) ( + ) + 6 ( + ) ( + ) + f + 6 + + + + + + Pojednostvnite funkciju f ( ) ( ) f Zdtk 0 (Tnj, gimnzij) Odredi prirodnu domenu funkcije 8 5 g ( ) ( + ) Rješenje 0 Mormo nći vrijednosti ev z koje je nzivnik jednk nuli i te vrijednosti odstrniti iz skup relnih rojev R: 0 ( ) ( + ) 0 + 0 Domen je: D( g) R, Vjež 0 \ { } Odredi prirodnu domenu funkcije Rezultt: Domen je: D( g) R \ {, } + 5 g ( ) ( ) Zdtk 05 (Tnj, gimnzij) Odredi prirodnu domenu funkcije g Rješenje 05 Mormo nći vrijednosti ev z koje je rdiknd (izrz pod korijenom) strogo veći od nule: - Domen je: D( g ), Vjež 05 Odredi prirodnu domenu funkcije Rezultt: Domen je: D( g ), ( ) > 0 > / < - - O + g
Zdtk 06 (M, tehničk škol) Ako je ( g f )( ), log 6, g nđite f ( ) + f Rješenje 06 ( g f ) g ( f ) log 6 f log c c Iz f() slijedi: f Vjež 06 f 6 6 ( 6 ) + f + + + + 8 8 ( ) Ako je ( g f )( ), g ( ) log, nđite f ( ) + f ( ) 6 Rezultt: 5 6 Zdtk 07 (Ml, gimnzij) Ako je f ( sin ) + tg, koliko je f? sin Rješenje 07 sin sin cos + sin f ( sin ) + tg + + cos cos cos cos sin Zto je: sin sin sin f tg sin sin sin sin sin cos sin sin sin Vjež 07 Ako je f ( cos ) + tg, koliko je f? cos Rezultt: f cos + tg Zdtk 08 (Anstzij, gimnzij) Zdn je funkcij f() + 5 Kolik je vrijednost inverzne funkcije f - ()? Rješenje 08 Iz zdne funkcije izrčunmo : f + 5 / log log log 5 f + log f ( + 5) log log ( ) log f + 5 log f 5 /: log f 5 ( ) ( ) f ( ) log 5 () log 5 5 f
Vjež 08 Zdn je funkcij f() - Kolik je vrijednost inverzne funkcije f - ()? Rezultt: Zdtk 09 (A, hotelijersk škol) Ako je f, R, izrčunj: + 986 987 988 f + f + f + + f + f + f 989 989 989 989 989 989 Rješenje 09 Uočimo d je: 988 987 986 +, +, +, 989 989 989 989 989 989 Prov im 99 (988 : 99) Izrčunjmo f() + f(), ko je + : ( + ) ( + ) + + + + + + + + f + f + + + + + + + + + + + + 8 + + [ + ] + + + + + + + 8 + + Očigledno, trženi zroj jednk je 99 99 Vjež 09 Ako je Rezultt: 5 f, R, izrčunj: + 8 9 0 f f f + + + + f + f + f Zdtk 00 (Anmrij, hotelijersk škol) Odredimo prirodnu domenu relne funkcije: + ) f +, ) f, c) f + + + d) f ( ), e) f log( + ), f ) f + + Rješenje 00 Funkcij je postupk (prvilo, zkon, preslikvnje) kojim se svkom elementu domene (početni skup) pridružuje smo jedn element kodomene (zvršni skup) D f K f : D K f() D domen, početni skup, ulzni skup, područje definicije funkcije K kodomen, ntidomen, zvršni skup, izlzni skup, područje vrijednosti funkcije originl, prslik, rgument funkcije, vrijl, nezvisn vrijl f() slik, vrijednost funkcije, zvisn vrijl
Ako je reln funkcij zdn formulom, ond je njezin prirodn domen skup svih relnih rojev z koje formul im smisl f + možemo izrčunti z svki relni roj (tj on im smisl z svki relni ) p je prirodn ), domen funkcije f skup svih relnih rojev R Simolično pišemo: ) f i D f R il D f, + +, možemo izrčunti z svki relni roj osim z jer i td morli dijeliti s 0 (što + nije moguće) Postupk je sljedeći: nzivnik izjednčimo s nulom, riješimo doivenu jedndžu i rezultt izcimo iz skup R + 0 D f R \ { } c) f +, it će reln roj ko je rdiknd (izrz pod korijenom) veći ili jednk nuli Ako je rdiknd negtivn, td je drugi korijen imginrn roj Dkle, prirodn domen funkcije f doije se: + 0 D( f ), + d) f + +, it će reln roj ko je rdiknd (izrz pod korijenom) strogo veći od nule (nul ne može iti jer se s nulom ne smije dijeliti) Dkle, prirodn domen funkcije f doije se: e) f ( ), + > > D f + log +, it će reln roj ko je izrz pod logritmom strogo veći od nule jer domen logritmske funkcije smo su pozitivni relni rojevi Dkle, prirodn domen funkcije f doije se: f),, + > > D f + f + riječ je o trećem korijenu (neprnom roju!) p možemo izrčunti z svki relni roj (tj on im smisl z svki relni ) Prirodn domen funkcije f je skup svih relnih rojev R Simolično pišemo: D f R il i D f, + Vjež 00 Odredimo prirodnu domenu relne funkcije: f Rezultt: 5 5 D( f ) R \ { 5} 5 0 + 5 Zdtk 0 (Mir, gimnzij) f 7 + : + izrčunj f + : f + Ako je Rješenje 0 Odredimo funkciju f() tko d podijelimo polinome: Budući d je f(), slijedi f 7 + : + ± ± 6 + 6 ± 0 f + + f ( + ) : f ( + ) : ( ) f + + 5
Vjež 0 7 : izrčunj Ako je f ( + ) ( + ) f ( + ) + f ( + ) Rezultt: 0 Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Nđite temeljni period funkcije f() cos Rješenje 0,6,, Vjež 0 Nđite temeljni period funkcije f() cos Rezultt: 0,8 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0,8 - -, -, y T period - -0,5 0,5,5,5,5 π T π π Zdtk 0 (Mir, gimnzij ) Nđite inverznu funkciju funkcije y log + log Rješenje 0 inčic log c Pojednostvimo izrz z funkciju uporom svojstv log : log c Temeljni period funkcije f() cos je T π π Temeljni period funkcije f() cos je T π π Temeljni period funkcije f() cos je upol mnji: T (modul prepolovljuje period T π jer se dio grf ispod osi zrcli preko osi u pozitivn dio) π Zto temeljni period funkcije f() cos iznosi: T log log log log y log + log log + log + log + log + log log log log Inverzn funkcij it će: y log y y log log / log y y y l og y y y ili f inčic Pojednostvimo izrz z funkciju uporom svojstv log : log + y log + log + + + log log log log log log log log log Inverzn funkcij it će: y log y y log log / log y y y l og y y y ili f 6
Vjež 0 Nđite inverznu funkciju funkcije y log f Rezultt: Zdtk 0 (Fred, gimnzij) 0 Ako je f, + 0 g() log, nđite (f g)() Rješenje 0 Budući d je (f g)() f(g()), slijedi: 0 0 0 ( f g )( ) f ( g ( ) ) f ( log) f ( 0) 0 0 0 0 + Vjež 0 0 + Ako je f, + 0 g() log, nđite (f g)() Rezultt: Zdtk 05 (Stel, gimnzij) 5 Ako je f i g, koliko je ( f g f )? Rješenje 05 Ponovimo: ( ) ( ) z 0, z < 0, f g f f g f Zto je: 5 5 5 5 ( f g f ) f g f f g f g f g f g Vjež 05 f f f Ako je f g ( f g f ) Rezultt: Zdtk 06 (M, gimnzij) Rješenje 06 Nđite mksimum funkcije i, koliko je 0? f sin + cos + cos + sin n m m f sin cos cos sin + + + n ( ) sin + cos + cos + sin cos + sin ( cos ) cos ( sin ) sin ( ) + + + + cos + cos + cos + sin + sin + sin + cos + cos + + sin + sin + + ( + ) 7
Vjež 06 ( ) ( ) ( ) + cos + + sin + cos + + sin + cos + sin + Nđite mksimum funkcije Rezultt: 6 f sin + cos + cos + sin Zdtk 07 (Anstzij, gimnzij) Ako je f + +, koliko je f ( + ) f ( )? Rješenje 07 Njprije odredimo funkciju f(): f + + f f f + + + + + + t + t + / t + + t + Budući d je zdn funkcij f(), slijedi: Vjež 07 t f t f ( + ) f ( ) ( + ) ( ) + + + + + + + Ako je f + + f ( + ) + f ( ) Rezultt:, koliko je? Zdtk 08 (Anstzij, gimnzij) Nđite kodomenu funkcije f + Rješenje 08 Nek su A i B dv skup Funkcij ili preslikvnje s skup A u skup B je prvilo (zkon) f koje svkom elementu A jednoznčno pridružuje neki element y B Skup A zove se područje definicije ili domen, skup B područje vrijednosti ili kodomen funkcije f S pojmom kodomene povezn je skup zvn slik funkcije Sliku funkcije možemo shvtiti ko njmnju od svih mogućih kodomen funkcije Slik funkcije f sstoji se od svih y B z koje postoji A tkv d je f() y Slik funkcije je skup n koji funkcij f preslikv svoju domenu Grf zdne funkcije je prol otvorom okrenut prem dolje Njezino tjeme je: T (, y ) 0 0 0 ( ) f +,, c c, y ( ) ( ) 8 0 0 y 0 ( ) 8 Skup vrijednosti (slik funkcije) R f je projekcij grf n os ordint 8
T,8,6 y,, y 0 k o d o m e n 0,8 0,6 0, 0, -,5 - -,5 - -0,5 0,5,5,5-0, -0, -0,6-0,8 - -, Kodomen je skup: Vjež 08 Nđite kodomenu funkcije f -,, Rezultt: 0, + Zdtk 09 (Dijn, gimnzij) Ako je f + + + + izrčunjte f Rješenje 09 f + + + + + + + + Vrijednost funkcije z je: f ( ) + + + < 0 < 0 + + + > 0 > 0 Vjež 09 Ako je f izrčunjte f Rezultt: + + + + Zdtk 00 (Anstzij, gimnzij) Izrzite ko funkciju od y, ko je y y Rješenje 00 y y / y y y + y 0 + ( ) Vjež 00 Izrzite y ko funkciju od, ko je y 0 y 0 y y y Rezultt: y 9