Metode pomakâ (1) V. S. & K. F.

1. O metodama pomakâ Metode pomakâ (1) V. S. & K. F. Metode pomakâ su metode proračuna štapnih sistema u kojima su nepoznanice vrijednosti translacijskih pomaka i kutovi zaokreta odabranih točaka sistema nazvanih čvorovima. Čvorovi su, u kontekstu metoda pomakâ, sve na neki način istaknute točke sistema, poput ležajeva 1, 2 i 3 sistema sa slike 1., točaka 4, 6 i 10 u kojima se sastaje više štapova, točaka 8 i 9 u kojima se dva štapa sastaju pod nekim kutom, točke 7 u kojoj su dva kolinearna štapa spojena zglobno ili slobodnoga kraja prepusta 11, ali se čvorom može proglasiti bilo koja točka točka 5, primjerice. Krutim čvorom nazivamo čvor u kojemu su svi štapovi medusobno kruto spojeni (4, 5, 6 i 8), a zglobnim čvor u kojem su svi štapovi spojeni zglobno (7 i 9); čvor može biti i mješoviti kruto zglobni (10). Kako uvodenjem unutrašnjih zglobova zaplet postaje zamršenijim, uzet ćemo zasad da su svi čvorovi u sistemu kruti; sa zglobovima ćemo se ponovo susresti u odjeljku 4.4. Elementom, potpunije: štapnim elementom ili linijskim elementom, nazivamo dio štapa izmedu dva susjedna čvora; u našem primjeru elementi su: (1,4), (2,6), (3,8), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (4,9), (6,10), (9,10) i (10,11). 9 10 11 4 5 6 7 8 1 2 3 Slika 1. Prikaz metoda pomakâ započet ćemo analizom ravninskih štapnih sistema, i to sistema s ravnim štapovima. Za ravninu u kojoj opisujemo sistem odabrat ćemo, kao i obično, ravninu xz. Svaki kruti ravninski čvor j, ako nije ležajni, ima dva translacijska stupnja slobode translacijski pomak po općem pravcu možemo uvijek rastaviti na komponente Øu j u j Øı, u smjeru osi x, i Øw j w j Ø k, u smjeru osi z i jedan rotacijski stupanj slobode zaokret za kut ϕ j oko osi okomite na ravninu sistema (slika 2.). 1

j w j ϕ j u j Slika 2. Zanemare li se uzdužne deformacije ravnih elemenata, razmak čvorova jednoga elementa ne mijenja se pa izmedu njihovih translacijskih pomaka postoji kinematičko ograničenje; time se broj nepoznanica smanjuje, ali treba prepoznati neovisne translacijske pomake sistema. Takva se inačica metode naziva inženjerskom metodom pomakâ, dok ćemo metodu u općoj formulaciji, u kojoj se sve tri komponente pomaka čvora uzimaju kao nepoznanice, nazivati općom ili točnom metodom pomakâ. Za razliku od metode sila i inženjerske metode pomakâ, opću je metodu pomakâ razmjerno lako formalizirati, pa je ta metoda algoritamska osnova većine kompjutorskih programa za proračun štapnih konstrukcija. Na zamislima i postupcima opće metode pomakâ utemeljena je i metoda konačnih elemenata koja omogućava proračun plošnih (ploče, zidovi, ljuske,...) i masivnih sistema, a primjenjuje se i u drugim područjima tehnike, poput hidromehanike ili geomehanike. Napomenut ćemo još i da se metodama pomakâ mogu, osim statički neodredenih, proračunavati i statički odredeni sistemi. 2. Mehanička metafora Proračun nekom od metoda pomakâ provodi se, kao i u metodi sila, na osnovnom sistemu. No, osnovni sistem sada oblikujemo dodavanjem zamišljenih veza koje sprečavaju translacijske pomake i zaokrete čvorova (slika 3.b.). U prvome se koraku proračuna na osnovni sistem nanose zadane sile i sva ostala zadana djelovanja, poput slijeganja ležajeva i temperaturnih promjena. Kako bismo osnovni sistem doveli u mehaničko stanje u kojemu se nalazi izvorni sistem, u drugome se koraku njegovi čvorovi prisilno zaokreću i pomiču po pravcima zamišljenih veza. Iz te se skice proračunskoga slijeda može naslutiti da je mehanička interpretacija matematičkog formalizma, koji ćemo u sljedećim odjeljcima podrobno razraditi, dualna zamisli iz koje je izvedena metoda sila: U metodi sila osnovni sistem nastaje raskidanjem veza pa se pod zadanim djelovanjima sile koje su te veze prenosile ne mogu razviti i oduprijeti pomacima, što znači da su po pravcima raskinutih veza omogućeni pomaci kojih nema u izvornom sistemu. U metodama pomakâ pak osnovni sistem nastaje dodavanjem veza. Te veze sprečavaju slobodne pomake i zaokrete čvorova pa će se u njima pri zadanim djelovanjima pojaviti reaktivne sile i momenti kojih u izvornome sistemu nema. 2

q h P v P h a. b. c. d. M ssp e. f. M spp g. h. M Slika 3. 3

Pod zadanim se djelovanjima osnovni sistem metode sila nalazi u jednome od mogućih stanja ravnoteže izvornoga sistema. No, to moguće stanje nije i stvarno stanje ravnoteže izvornog sistema unutarnje sile ne daju polje pomakâ koje zadovoljava uvjete kompatibilnosti. Analogno, polje pomakâ osnovnoga sistema neke od metoda pomakâ u stanju spriječenih pomaka čvorova odgovarat će tek jednom od mogućih stanja pomakâ izvornoga sistema (slika 3.c.). Mogućim ili dopustivim stanjem pomakâ nazivamo svako polje pomakâ koje zadovoljava uvjete neprekinutosti i ležajne uvjete. To stanje, u kojemu je osnovni sistem, nije, medutim, stvarno stanje pomakâ izvornoga sistema zamišljene veze prenose na podlogu dio sila koje djeluju na čvorove pa bez njih čvorovi, izrežemo li ih sistema, neće biti u ravnoteži (primjerice, momentni dijagram na slici d.). Osnovni sistem metode sila dovodimo u stvarno stanje ravnoteže izvornoga sistema tako da raskinute veze nadomjestimo statički neodredenim silama s pravim vrijednostima. Te vrijednosti nepoznanice metode sila moraju zadovoljiti jednadžbe neprekinutosti: raskinute se veze moraju zatvoriti. Analogno, osnovni ćemo sistem metode pomakâ dovesti u stvarno stanje pomakâ izvornoga sistema tako da stanju spriječenih pomaka čvorova pribrojimo stanje prisilnih pomaka čvorova (slika 3.e.), pri čemu ti pomaci i zaokreti moraju biti takvi da reakcije, koje se zbog njih razvijaju u zamišljenim vezama, ponište reakcije izazvane zadanim djelovanjima (momentni dijagram na slici f.). Kada reakcije iščeznu, na čvorove osnovnoga sistema djelovat će samo one sile koje djeluju na čvorove izvornog sistema. Budući da su u izvornom sistemu te sile u ravnoteži, bit će u ravnoteži i u osnovnom sistemu (momentni dijagram na slici h.). Slijedi da uvjete iščezavanja reakcija u zamišljenim reakcijama možemo izraziti kao uvjete ravnoteže sila i momenata u čvorovima. Drugim riječima, sustavu jednadžbi neprekinutosti dualan je u metodi pomakâ sustav jednadžbi ravnoteže njihovo su rješenje tražene, do tada nepoznate vrijednosti pomakâ čvorova i kutovi njihovih zaokreta. Stvarno je stanje pomakâ skicirano na slici g. U inženjerskoj se metodi pomakâ najčešće koristimo samo uvjetima ravnoteže momenata te sustav nadopunjujemo jednadžbama virtualnih radova na neovisnim translacijskim pomacima. 3. Matrična formulacija opće metode pomakâ 3.1. Sile na krajevima štapnoga elementa Štapni element priključen u čvorove i i j označavat ćemo sa Ôi, jõ; očito je, naime, da taj par čvorova jednoznačno odreduje element. Krajeve elementa označit ćemo prema pripadnim čvorovima pa ćemo govoriti o kraju i i kraju j. Desni lokalni koordinatni sustav odabrat ćemo tako da čvor i leži u njegovu ishodištu i da se uzdužna os štapa poklapa s osi ξ (slika 4.). Statičke i kinematičke veličine na i-tom kraju elementa Ôi, jõ označavat ćemo parom (donjih) indeksa i,j, a veličine na kraju j parom j,i. 4

i j l (i,j) ξ ζ Slika 4. Poopćene sile kojima čvorovi djeluju na element nazvat ćemo silama na krajevima štapnoga elementa. Uzet ćemo zasad da je element u čvorove priključen krutim vezama pa na oba kraja postoje sve tri poopćene sile uzdužna i poprečna sila te moment. (To, naravno, ne mora biti slučaj, ali, spomenuli smo već, štapovi sa zglobnim ili pomičnim vezama zahtijevaju dodatnu obradu. Na to ćemo se kasnije vratiti, u odjeljku o statičkoj kondenzaciji.) Za razliku od unutarnjih sila, sile na oba kraja štapnoga elementa dogovorno su pozitivne ako se njihov smisao djelovanja poklapa s pozitivnim smislom odgovarajuće osi; na slici 5. prikazane su pozitivno orijentirane sile na krajevima elementa i pozitivno orijentirane unutarnje sile. Vidjet ćemo da takav dogovor o orijentacijama sila na krajevima olakšava postavljanje jednadžbi ravnoteže čvorova. M i,j M(ξ) M(ξ) T(ξ) M j,i N i,j T i,j T(ξ) N(ξ) N(ξ) T j,i N j,i Slika 5. Iz skice temeljne zamisli možemo zaključiti da su ukupne sile na krajevima zbrojevi sila u stanju spriječenih pomaka čvorova i sila u stanju prisilnih pomaka. Za vrijednosti sila na kraju i možemo stoga pisati: N i,j n i,j N i,j, T i,j t i,j T i,j, (1) M i,j m i,j M i,j, gdje su n i,j, t i,j, m i,j vrijednosti sila u stanju prisilnih, a N i,j, T i,j, M i,j vrijednosti sila u stanju spriječenih pomaka. Analogni se izrazi mogu napisati za vrijednosti sila na kraju j. 3.2. Sile stanja spriječenih pomaka Opterećenja na štapnim elementima ulaze u jednadžbe ravnoteže u obliku (poopćenih) sila upetosti: f Ö N i,j T i,j M i,j N j,i T j,i M j,i T. Izraze za njihovo izračunavanje možemo izvesti metodom sila, a za mnoge tipove opterećenja ti se izrazi mogu naći u udžbenicima gradevne statike i u raznim priručnicima. 5

Primjerice, za jednoliko raspodijeljene sile koje djeluju u smjerovima lokalnih osi ξ i ζ, s vrijednostima q ξ i q ζ, vrijednosti sila upetosti su: N ij 1 2 q ξ l, T ij 1 2 q ζ l, M ij 1 12 q ζ l 2, N ji 1 2 q ξ l, T ji 1 2 q ζ l, M ji 1 12 q ζ l 2. Djeluju li pak u točki koja je za a udaljena od čvora i koncentrirane sile P ξ i P ζ u smjerovima osi ξ i ζ i moment M, vrijednosti su sila upetosti: N ij P ξ b a, N ji P ξ, l l T ij P ζ Ô3 a bõ b 2 l 3 M 6 a b Ôa 3 bõ a 2, T l 3 ji P ζ l 3 M 6 a b, l 3 M ij P ζ a b 2 l 2 M b Ô3 a l Õ a 2 b, M l 2 ji P ζ l 2 M a Ô3 b l Õ, l 2 gdje je b l a. [Sve navedene izraze izvedite metodom sila! Proračunska shema štapa s krutim vezama na oba kraja obostrano je upeta greda.] 3.3. Odnos izmedu sila na krajevima i pomakâ krajeva Sile u stanju prisilnih pomaka posljedica su poopćenih pomaka krajeva elementa koji su jednaki pomacima čvorova sistema. Ti su pomaci prisilni pomaci ležajeva obostrano upete grede (slika 6.a.) koja je proračunska shema štapnoga elementa: u i,j i w i,j te u j,i i w j,i vrijednosti su komponenata pomaka ležajeva i i j po osi elementa i okomito na nju, dok su ϕ i,j i ϕ j,i kutovi njihovih zaokreta (slika 6.b.). Pozitivni smisao tih komponenata odgovara pozitivnom smislu osî lokalnoga koordinatnog sustava, a time i pozitivnom smislu sila na krajevima elementa. Izraze za vrijednosti sila na krajevima štapnoga elementa kao funkcija vrijednosti poopćenih pomaka krajeva izvest ćemo metodom sila. Za osnovni sistem odabrat ćemo konzolu sa slike 6.c. Pretpostavimo li da je štapni element konstantnoga poprečnog presjeka, IÔxÕ I i AÔxÕ A, te da je modul elastičnosti konstantan po njegovoj duljini, EÔxÕ E, matrica fleksibilnosti je l 0 0 E A l 3 l 2 D 0 3 E I 2 E I l 2 l 0 2 E I E I 6

a. i l (i,j) j ξ ζ b. ξ w i,j u j,i w j,i ϕ j,i ζ u i,j ϕ i,j c. X 3 X 2 X 1 d. u i,j δ 1,0 w i,j δ 2,0 (w i,j) δ 3,0 δ 2,0 (ϕ i,j) ϕ i,j Slika 6. [dokažite!]. S pomoću dijagrama pomakâ prikazanih na slici 6.d. odredujemo vrijednosti δ 1,0, δ 2,0 i δ 3,0 poopćenih pomaka hvatišta prekobrojnih sila po pravcima njihova djelovanja, prouzročenih pomacima ležaja i, pa je sustav jednadžbi neprekinutosti l 0 0 E A l 3 l 2 0 3 E I 2 E I l 2 l 0 2 E I E I X 1 X 2 X 3 u i,j w i,j ϕ i,j l ϕ i,j [Zašto vrijednosti poopćenih pomaka ležaja j dolaze na desne strane jednadžbi?] 7 u j,i w j,i ϕ j,i.

Inverzna je matrica matrice fleksibilnosti E A 0 0 l 12 E D 1 I 0 l 3 6 E I 0 l 2 Uvedemo li definicijama k a def E A l i k f 6 E I l 2 4 E I l pojmove aksijalne i fleksijske krutosti elementa, bit će k a 0 0 12 k f 6 k f D 1 0 l 2 l 6 k f 0 4 k f l pa je rješenje sustava X 1 u j,i u i,j X 2 D 1 w j,i w i,j ϕ i,j l X 3 ϕ j,i ϕ i,j k a Ôu j,i u i,j Õ 12 k f Ôw l 2 j,i w i,j Õ def. 6 k f l Ôϕ j,i ϕ i,j Õ 6 k f l Ôw j,i w i,j Õ 4 k f ϕ j,i 2 k f ϕ i,j E I l (2) Osnovni smo sistem odabrali tako da sile X 1, X 2 i X 3 odgovaraju silama na kraju j štapnoga elementa te su neposredno n j,i X 1 k a Ô u i,j u j,i Õ,. t j,i X 2 12 k f l 2 Ô w i,j w j,i Õ 6 k f l Ôϕ i,j ϕ j,i Õ, m j,i X 3 6 k f l Ô w i,j w j,i Õ 2 k f ϕ i,j 4 k f ϕ j,i. 8

Izraze za vrijednosti sila na kraju i možemo sada izvesti iz jednadžbi ravnoteže cijeloga štapa [skicirajte štap sa silama koje na nj djeluju!]: n i,j n j,i k a Ôu i,j u j,i Õ, t i,j t j,i 12 k f Ôw i,j w j,i Õ l 2 6 k f l Ô ϕ i,j ϕ j,i Õ, m i,j m j,i l t j,i 6 k f l Ô w i,j w j,i Õ 4 k f ϕ i,j 2 k f ϕ j,i. Dobivene ćemo izraze zapisati u matričnom obliku: k a 0 0 k a 0 0 12 k f 6 k f 12 k f 6 k f n 0 i,j l 2 0 l l 2 l t i,j 6 k f 6 k f m i,j 0 4 k f 0 2 k f l l n j,i k a 0 0 k a 0 0 t j,i 12 k f 6 k f 12 k f 6 k f 0 0 m j,i l 2 l l 2 l 6 k f 6 k f 0 2 k f 0 4 k f l i, jezgrovito, matričnom stenografijom : l u i,j w i,j ϕ i,j u j,i w j,i ϕ j,i, (3) f k u. (4) Matrica k je matrica krutosti elementa izražena u lokalnom koordinatnom sustavu, vektor u je vektor vrijednosti poopćenih pomaka krajeva elementa u smjerovima osi lokalnoga koordinatnog sustava, a vektor f je vektor vrijednosti sila na krajevima štapnoga elementa zbog pomakâ njegovih krajeva. Komponenta k α,β, α, β 1,...,6, matrice k vrijednost je poopćene sile s indeksom α, f, izazvane jediničnim poopćenim pomakom s indeksom β, uô1õ (slika 7.). α β Odmah možemo vidjeti da je matrica krutosti elementa simetrična, a lako je pokazati i da je singularna. Za postavljenje jednadžbi ravnoteže čvorova izraz (4) pogodno je napisati u obliku f k k i i,i u i,j i, (5) f k j k j,i u j,j j 9

1 1 k (i,j)1,1 k (i,j)4,1 k (i,j)1,4 l (i,j) l (i,j) k (i,j)4,4 k (i,j)5,2 k (i,j)2,5 k (i,j)2,2 k (i,j)5,5 1 k (i,j)6,2 1 k (i,j)3,5 k (i,j)3,2 k (i,j)6,5 k (i,j)2,3 1 k (i,j)5,3 k (i,j)2,6 k (i,j)3,3 k (i,j)6,3 1 k (i,j)3,6 k (i,j)5,6 k (i,j)6,6 Slika 7. gdje su: f i Ön i,j t i,j m i,j T vektor vrijednosti sila na kraju i, f j Ön j,i t j,i m j,i T vektor vrijednosti sila na kraju j, u i Öu i,j w i,j ϕ i,j T vektor vrijednosti (poopćenih) pomaka kraja i, u j Öu j,i w j,i ϕ j,i T vektor vrijednosti (poopćenih) pomaka kraja j; matrica k rastavljena je na odgovarajaći način na blokove 3 3, tako da (pod)matrice k i,i i k izražavaju utjecaje pomakâ krajeva i i j na vrijednosti sila na kraju i: i,j f i k i,i k i,j u i u j [Napišite odgovarajući matrični izraz za sile na j-tom kraju!]. Izrazi za vrijednosti sila na krajevima mogu se izvesti i rješavanjem diferencijalnih jednadžbi polja uzdužnih i poprečnih pomaka ravnoga štapa. 1. 3.4. Prijelaz u globalni koordinatni sustav Jednadžbe ravnoteže čvorova postavljaju se u smjerovima osi globalnoga koordinatnog sustava, pa sile na krajevima elemenata treba izraziti u tom sustavu (slika 8.), što znači da vektor sila, vektor pomakâ i matricu krutosti treba transformirati iz lokalnoga u globalni koordinatni sustav. 1 M. An-delić: Gradevna statika II, Gradevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2005., odjeljak 4.2.3.1. 10

a. x b. x N j,i ξ F z j,i z M j,i T j,i z M j,i F x j,i T i,j M i,j M i,j F x i,j N i,j ζ Slika 8. F z i,j Ako je α kut izmedu globalne osi x i lokalne osi ξ (slika 9.), transformacija koordinata iz globalnoga u lokalni sustav rotacija je oko osi y η za kut α : cosα 0 sin α 0 1 0. (6) sin α 0 cosα ξ α (i,j) x y, η z ζ Slika 9. Zamijenimo li drugi i treći stupac, tako da poredak komponenata u retku odgovara poretku komponenata vektora ÖF x, F z, M, T, i potom drugi i treći redak, tako da poredak redaka odgovara poretku komponenata vektora ÖN, T, M, T, matrica transformacije prelazi u r cosα sin α 0 sin α cosα 0. (7) 0 0 1 Za transformaciju vektorâ sila na krajevima elementa i vektora pomakâ krajeva oblikujemo matricu r 0 R (8) 0 r 11

te su f R f g, (9) f R fg, (10) u R u g. (11) Komponente vektora f g Öfx i,j f z i,j m i,j f x j,i f z j,i m j,i T vrijednosti su sila na krajevima elementa u stanju prisilnih pomaka pri rastavu na komponente na pravcima koji su usporedni s osima globalnoga koordinatnog sustava, komponente vektora fg ÖF x i,j F z i,j M i,j F x j,i F z j,i M j,i T vrijednosti su sila upetosti u rastavu na takve komponente, a vektor u g sadrži vrijednosti komponenata pomakâ krajeva po pravcima usporednim s globalnim osima. Pomaci krajeva elementa jednaki su pomacima čvorova pa je u g ui, u j gdje (pod)vektor u i sadrži vrijednosti komponenata pomakâ čvora i, a u j čvora j: Uvest ćemo oznaku u i,j Öu i u j T. u i Öu i w i ϕ i T i u j Öu j w j ϕ j T. Iz izraza (9), (10) i (11) slijedi da je transformacija vektorâ sila i pomakâ iz lokalnoga u globalni koordinatni sustav dana izrazima f g R 1 f, (12) fg R 1 f, (13) u i,j R 1 u. (14) Matrica r je ortogonalna te su r 1 rt i R 1 RT. Uvrstimo li (9) i (11) u (4), bit će R f g k R u i,j, odnosno, i konačno f g R 1 k R u i,j, f g kg u i,j, (15) 12

gdje je k g R 1 k R (16) matrica krutosti elementa izražena u globalnom koordinatnom sustavu. Preveden u globalni koordinatni sustav, matrični izraz (5) postaje f g k g k g ui i i,i i,j. (17) u j f g j k g j,i k g j,j Usput rečeno, lako je vidjeti da je k g k g i,i i,j k g j,i k g j,j r 1 k r i,i r 1 k r i,j r 1 k j,i r r 1 k j,j r. 3.5. Jednadžbe ravnoteže čvorova Na svaki čvor i sistema djeluju sile od priključenih elemenata, a mogu djelovati i zadane ili reaktivne koncentrirane sile i momenti čije ćemo vrijednosti svrstati u vektor p i ÖP x i P z i M i T. Vektor je ukupnih vrijednosti sila na i-tome kraju štapnoga elementa Ôi, jõ ˆfg k g k g i i,i i,j u i fg u. (18) j i Kraj i elementa Ôi, jõ djeluje na čvor i suprotno orijentiranim silama čije su vrijednosti komponente vektora ˆf g pa je formalni zapis uvjetâ ravnoteže čvora i: i ô ˆfg Ôi,e i Õ Ôi,e i p Õ i 0, (19) i gdje je sumacija po svim elementima Ôi, e i Õ koji su priključeni u taj čvor. Matrična jednadžba (19) sadrži tri jednadžbe koje izražavaju ravninske uvjete ravnoteže: iščezavanje zbroja sila koje na čvor i djeluju u smjeru osi x, iščezavanje zbroja sila u smjeru osi z te iščezavanje zbroja momenata. Uvrštavanje izraza (18) daje nakon sredivanja ô ³± k g Ôi,e Ôi,e i k g u i i Õ Õ i,i Ôi,e i» Õ i,e i ¹ fg u ei ôôi,e i Õ Ôi,e i Õ i p i. (20) Ta jednadžba sažeto izražava temeljnu zamisao metoda pomakâ: zasad nepoznati pomaci čvorova, čije su vrijednosti komponente vektorâ u i i u ei za sve e i, moraju biti upravo takvi 13

da sile koje izazovu u priključenim elementima, a kojima ti elementi djeluju na čvor i (lijeva strana jednadžbe), uravnoteže poznata djelovanja na taj čvor sile upetosti i zadane koncentrirane sile (desna strana jednadžbe). U ležajnim čvorovima djeluju nepoznate reakcije, no pokazat ćemo uskoro da se pripadne jednadžbe ne uvode u nastavak postupka izračunavanja pomakâ. Na odredivanje vrijednostî reakcija vratit ćemo se u pododjeljku 3.8. Napišemo li matrične jednadžbe (20) redom za sve čvorove, dobivamo sustav (u matričnom zapisu) Ku q. (21) Vektori u i q imaju po 3n komponenti, gdje je n broj čvorova sistema: T T u1 u 2 u n, q q1 q 2 q n ; pritom je u ô q i fg Ôi,e i Õ Ôi,e i Õ i p i. (22) Matrica K sastavljena je od n n blokova tipa 3 3. Dijagonalni su blokovi ô K i,i Ôi,e i Õ kg Ôi,e i Õ i,i. Ako su čvorovi i i j povezani elementom Ôi, jõ, tada će (vandijagonalni) blokovi i, j i j, i biti K i,j k g i K j,i k g ; i,j j,i nisu li čvorovi povezani, ti će blokovi biti 3 3 nul matrice. Matrica K je simetrična i singularna. Medutim, osim nepoznatih vrijednosti pomaka slobodnih čvorova, vektor u sadrži i vrijednosti poznatih pomaka po pravcima ležajnih veza 2 ti pomaci mogu biti ili spriječeni ili jednaki zadanim pomacima ležajeva. Permutacijom komponenata vektora u i odgovorajućom permutacijom stupaca matrice K (a potom i njezinih redaka, kako bi se očuvala simetrija, te, istodobno, komponenata vektora q) sustav (21) može se prevesti u oblik Ks,s K s,l us K l,l u l K l,s qs q l, (23) gdje (pod)vektor u s sadrži vrijednosti nepoznatih, a (pod)vektor u l vrijednosti spriječenih ili zadanih pomaka. Slijedi K s,s u s q s K s,l u l. (24) Vektor q s je, prema (22), zbroj vektora vrijednosti koncentriranih sila zadanih u slobodnim čvorovima i vektora koji sadrži (negativne) zbrojeve vrijednosti sila upetosti elemenata priključenih u te čvorove, q s p s f g s, te je poznat. Budući da vektor u l sadrži 2 Naravno, vrijednosti komponenata pomakâ ležajnih čvorova, koje nisu na pravcima veza, takoder su nepoznate. 14

vrijednosti poznatih pomaka, umnožak K s,l u l može se takoder izračunati. Ako nema zadanih pomaka ležajeva, tj. ako je u l 0, sustav (24) postaje jednostavno K s,s u s q s. (25) Ima li konstrukcija dovoljno ležajnih veza, ispravno rasporedenih, matrica K s,s je pozitivno definitna, te se sustavi (24) ili (25) mogu riješiti, odnosno, mogu se izračunati vrijednosti nepoznatih pomaka čvorova. Permutacija redaka i stupaca matrice razmjerno je dugotrajna operacija. Osim toga, može se pokazati da (pod)matrice K s,l, K l,s i K l,l, koje se pojavljuju u prikazanom formalnom izvodu, ne treba ni izračunavati. Matrica K s,s može se, uz malo knjigovodstva, neposredno oblikovati; opis postupka, medutim, prelazi okvire ovoga sažetog prikaza. 3.6. Prisilni pomaci ležajeva Ako se (pod)matrica K s,l ne izračunava, zadani se pomaci ležaja u proračun uključuju kao sile upetosti zbog prisilnih pomaka krajeva elemenata priključenih u te ležajeve. Izrazi za vrijednosti sila upetosti jednaki su, naravno, izrazima za vrijednosti sila na krajevima elementa u stanju prisilnih pomaka čvorova. Komponente pomakâ ležajeva zadaju se najčešće u smjerovima osi globalnoga koordinatnog sustava: ū g i Öū i w i ϕ i T. Za izračunavanje vrijednostâ sila upetosti treba zadane pomake izraziti u lokalnom koordinatnom sustavu elementa Ôi, jõ: ū i r ū g i. Ako je zadan pomak čvora i, vrijednosti su sila upetosti f k i,i k j,i a ako je zadan pomak čvora j, te su vrijednosti f k i,j k j,j ū i, ū j. 3.7. Ukupne sile na krajevima elementa Rješavanjem sustava (24) ili (25) dobivamo vrijednosti komponenata pomaka čvorova u smjerovima osi globalnoga koordinatnog sustava. Za izračunavanje vrijednosti sila na krajevima elementa i unutarnjih sila treba naći vrijednosti komponenata pomaka u smjerovima osi lokalnoga koordinatnog sustava elementa: u R u i,j. Vrijednosti su konačnih sila na krajevima elementa sadržane u vektoru ˆf k k u f. (26) 15

3.8. Reakcije Vektor q l u (23) zbroj je vektora (negativnih) vrijednosti sila upetosti i nepoznatih vrijednosti reakcija u ležajnim vezama, q l f g l p l. Iz (23) slijedi da se vrijednosti reakcija mogu izračunati prema izrazu p l q l fg l K l,s u s K l,l u l fg l. (27) Ne oblikuju li se matrice K l,s i K l,l eksplicitno, vrijednosti se reakcija mogu izračunati iz jednadžbi ravnoteže ležajnog čvora njihovi su intenziteti jednaki zbroju intenziteta odgovarajućih komponenata ukupnih sila na krajevima elemenata priključenih u ležajne čvorove, a smisao djelovanja suprotan. 16