PREDAVANJE ehanika gavitacije nebeski balet
eocentiza vs. heliocentiza Tek pije 500 godina poljski svećenik Nikola Kopenik (47. 54.) oživljava ideju gčkih islilaca i stavlja Sunce ujesto Zelje u centa stvaanja De evolutionibus obiu celestiu (objavljeni tek nakon njegove sti). Tycho Bahe (546. 60.) uvjeen u geocentiza; na teelju njegovih opažanja asa njegov asistent Johannes Keple (57. 60.) dolazi epiijski do svoja ti zakona u djelu Haonice undi (69.)
. Kepleov zakon Planetane obite iaju oblik elipse, u čije je jedno fokusu Sunce. f 0 e nueički ekscenticitet staze e f / a f a b x a žaišna velika ala f + b y duljina OF poluos poluos lineani OF ekcentici tet f a b staze Segentni oblik jednadžbe elipse s ishodište u (0,0) KONIKE (ČUNOSJEČNICE) e 0 kužnica 0 <e < elipsa e paabola e > hipebola
Konike (Čunosječnice)
PRAKTIČAN RAD: CRTANJE ELIPSE Nactajte elipsu pooću konca, dvije pibadače, katona i olovke.
Izgled putanja s neki vijednostia ekscenticiteta: Ekscenticiteti planetanih obita eku 0.06 Venea 0.0068 Zelja 0.067 as 0.094 Jupite 0.0485 Satun 0.0556 Uan 0.047 Neptun 0.0086 Pluton 0.5
. Kepleov zakon Planeti u jednaki veenski intevalia opisuju jednake povšine. http://en.wikipedia.og/wiki/file:keple-second-law.gif Povšinska bzina: oje povšine koju pijeđe adij vekto i veenskog intevala. Δh ΔA Δh Δ A vno. const. Δt Δt v n const. L /
ZADATAK. Odedite oje najveće i najanje udaljenosti asa od Sunca, tj. adij vektoa u afelu i peihelu, a takođe i oje tenutnih bzina u ti položajia. Nueički ekscenticitet asove staze e 0,09. a f e f a f a +,05 : / + + e e a f a f a Peihel i afel: sao noalna koponenta bzine (. Kepleov zakon):,05. A P P A n v v v v konst v
. Kepleov zakon Kvadati ophodnih veena planeta oko Sunca odnose se kao kubusi njihovih velikih poluosi. haonija svjetova F v v π v k T ( ) v k Teći Kepleov zakon dugačije je napisana bzina kuženja: T. 4π
ZADATAK. Izačunaj Sunčevu asu iz podataka o gibanju Zelje: tajanje jednog ophoda je godina, a adijus staze je astonoska jedinica. π v k T ( ) T 4π 8 T (50 0 ( 6,54 0 ) 9 4π 9,9 0 59,6 0 ) 0 4π 6,67 0 0 kg
Newtonov zakon gavitacije F 6,67 0 N kg avitacijska sila je uzajana, centalna i pivlačna! Zakon vijedi za ATERIJALNE TOČKE točkaste ase. A što kada tijela nisu točkasta? avitacijsko polje postaje vlo složeno! Teba suiati po svi eleentani asaa i jednog i dugog tijela!
Uvjeti pijene Newtonovog zakona gavitacije. Izeđu ateijalnih točaka. Izeđu hoogenih kugli koje ne podiu jedna u dugu. Izeđu kugli u kojia gustoća ovisi sao o, a kugle ne podiu jedna u dugu
Slobodni pad Odedio akceleaciju alenog tijela ase koji se nalazi u polju sfene ase. Pea. Newtonovo aksiou: F F g ( ) ( ) g g
ZADATAK. asa Sunca i njegov poluje nogo je veća od ase i polujea Zelje. Koliko je veća povšinska akceleacija Sunca? Z 5,974 0 4 kg R Z 678 k, S 0 0 kg, R S 6,96 0 5 k. 5 4 0 75,76 8, 9,8 8, (6,96 0 ) 678 5,974 0 0 s s g R R R R g g s S Z Z S Z Z S S Z S
ZADATAK 4. RazakcentaaZeljeijesecajeuposjeku84400k.Nakojojudaljenostiod Zelje, su pivlačne sile Zelje i jeseca jednake a supotnih sjeova? Kakvo ješenje daje negativni pedznak dugog koijena? Uputa: odnos asa Zelje i jeseca je 8,. Z + Z Z Z Z 8, ± 84 400 Z k 9, 0 Z Z () () ( ) ( ) z 9 + 84 400 k 8440 k 84 400 k -8 440 k 45960 k Z Što je s negativno vijednosti Z 9???? Pozitivna vijednost položajgdjesusilebilejednakenalazioseizeđu jeseca i Zelje. Kada je oje udaljenosti negativan, položaj jednakih sila oa se nalaziti s dalje stane jeseca. Sile ogu biti jednake i s bliže i s dalje stane jeseca
Kuženje satelita. kozička bzina Jedno je tijelo znatno veće ase od dugoga (satelita): >>. Centa staze je u centu onoga tijela koje ia znatno većuasu uslučaju kužne staze to je centa kužnice, a u slučaju eliptične,toježaišteelipse (I.Kepleov zakon). v F v g Za Zelju: 4 6 0 kg, 678 k v 7,9 k / s. kozička bzina Bzina kuženja na saoj povšini za bilo koju dugu visinu teba ačunati novu vijednost!
Oslobađanje satelita. kozička bzina Štosedogađa kada sebzina satelita poveća iznad bzine kuženja? Staza postaje sve izduženija ujesto kužne postaje eliptična a zati i paabolična kada će napustiti Zeljinu blizinu i otići ueđuplanetani posto. Tada ia bzinu oslobađanja. Potencijalna enegija ase ubliziniase: E P Dogovono ia negativan pedznak s povećanje azaka E P postaje anje negativna,anabeskonačnoj udaljenosti iznosi 0. Zaislio poces oslobađanja tijela u slučaju kada je tijelo na početku iovalo na Zelji a na kaju iovalo na beskonačnoj udaljenosti od Zelje: EP ( ) EP ( ) 0 Iz zakona sačuvanja enegije, ta se enegija ogla dobiti sao iz kinetičke enegije koju so dali tijelu kada so ga poslali sa Zelje početno bzino v 0 : v E 0 K v0 Za Zelju : v0, k / s R
Ako tijelo već kuži oko Zelje (. kozička bzina), do bzine oslobađanja (. kozička bzina) teba dovesti još toliko enegije koliko je već ia! v K v 0 Kolika je ukupna enegija tijela koje se giba na stalnoj udaljenosti oko tijela? E E U U E E K p + E ; E K P v E K P E K i E U su po iznosu jednake, i jednake su E P /! Vezani sustavi iaju negativnu enegiju da bi se sustav azdvojio teba utošiti enegiju! Isto vijedi i za atoe u olekuli, atoskoj jezgi i elektonu
ZADATAK 5. Odedite bzinu oslobađanja s povšine jeseca. 7,5 0 kg R 78 k v,7 k/ R 0 s
. kozička bzina Bzina oslobađanja izsunčevoggavitacijskogpolja, lansianje sazelje: v 6,67 0 50,989 9 0 0 0 0 4, k / s Ako lansiao aketu u sjeu gibanja Zelje koja se već giba bzino od 9,8 k/s onda na teba još ovoliko enegije: ( 4, 9,8k / s) Ukupno aketi teba dati sljedeću enegiju (da bi lansiana sa Zelje svladala gavitacijska polja i Zelje i Sunca): E K v (, k/ s) + (, k/ s) v 6,6 k/ s KORISNO ZA UŠTEDU ORIVA!
ibanje ujetnih satelita asa i je uglavno zaneaiva u odnosu na Zelju; osi Zelje na putanju satelita utječu i Sunce i jesec. avitacijsko polje Zelje takođe je vlo složeno zbog oblika Zelje i aspoeda ase. Dugi uzok pojene putanje je otpo atosfee! Kada satelit pelazi na nižu stazu, potencijalnu enegiju izgubi dva puta više nego ukupnu, a kinetička enegija poaste koliko se ukupna enegija sanji. Bzina kuženja na nižoj stazi većaje. E E U U E P E E K p E K + E ; E P K + E P v E K P E K + E P 0 VIRIJALNI TEORE uvjet stabilnosti
ZADATAK 6. Izačunajte kolika je dodatna bzina potebna satelitu koji oko Zelje kuži s polujeo 8 000 k da bi postigao bzinu oslobađanja? E U E K + E P v K Tijelo je slobodno kada ukupna enegija poaste do nule, odnosno kada se udaljenost beskonačno poveća: Δv Δv 6,67 0 6 0 8000 0 4,5k/ s Lakše je ubzati tijelo kada je ono već u obiti astonautika!
Dinaika dvojnog sustava F 4 T v g π 4 T v g π Sila izeđu tijela je stalna obje akceleacije stalne ako je azak stalan što zadovoljavaju koncentične kužne staze. Tijela obiđu staze u isto vijee tijela se uvijek nalaze na dijaetalno supotni točkaa: + što je jednako azaku tijela. Ophodne bzine su u isto odnosu u koje su i opsezi/polujei staza: v v Polujei staza su obnuto popocionalni asaa:
Razak tijela od zajedničkog centa kuženja obnuto je popocionalan asaa tijela! CENTAR ASE/TEŽIŠTE SUSTAVA http://en.wikipedia.og/wiki/file:obit.gif Složeno tijelo u gavitacijsko polju giba se kao da je sva asa postavljena u centa ase a saa tijela obilaze oko centa ase. jesec Zelja: oko Sunca po elipsi putuje centa ase sustava Zelja Sunce g g + 4π T 4π T. Kepleov zakon: + 4π + T T 4 π ( ) ( + + ) Jedina egzaktna etoda jeenja zvjezdanih asa!
ZADATAK 7. Izačunaj oje pivlačnih sila ovih paova: Sunca i jeseca te Zelje i jeseca. Pivlače li se jače jesec i Zelja ili jesec i Sunce? F F S 0 S S S Z 0 0,844 4 Z Z Z S 6 0 49,6 Z, Sunčeva pivlačna sila dva je puta veća od Zeljine. Pea toe, jesec je pije Sunčev satelit nego Zeljin!
Dinaika tojnog sustava Svi planeti su u eđusobnoj inteakciji što dovodi do petubacije ili poeećenja od gibanja pea Kepleovi zakonia. Poeećaj staze Uana pokenulajetaženjeasekojajedoveladootkića Neptuna846.,azatii Plutona 90. Rješenje je pedvidivo jedino u slučaju kada je teća asazaneaivapea pvoj i dugoj. Tada teće tijelo zadžava gotovo stalan položaj u odnosu na pva dva tijela, ako se nalazi u Lagangeovi točkaa L do L 5 tada ia jednaki peiod evolucije. Točke 4 i 5 nalaze se na vhovia jedankokačnoga tokuta. U sustavu Sunce Jupite, oko tih točaka laviaju asteoidi Tojanci (isped Jupitea asteoidi iaju iena gčkih ličnosti iz Tojanskoga ata, a iza Jupitea iaju iena banitelja Toje).
U sustavu Sunce Zelja, u točku L ubacuju se opsevatoiji koji poučavaju Sunce i jee Sunčev vjeta. Kao pedstaža dojavljuju nailazak plaze iz bljeskova i kooninih izbačaja te Sunčeve kozičke zake što ože dovesti do poeećaja u Zeljinoj atosfei: ugoziti djelovanje kounikacijskih i dugih satelita, te pidonijeti izloženosti začenju na zakoplovni visinaa i tlu. Tijelo u točki L giba se s isti peiodo evolucije kao i Zelja (iako je bliže Suncu, ne vlada se po Kepleovi bzinaa). SOHO je ušao u halo-obitu oko točke L u kojoj ostaje, obilazeći je za 78 d. Pecizni ubacivanje u stazu ušteđenojegoivokojeće se za koekciju položaja oći koistiti 0 god. L je od Zelje udaljena,5 il. k.
Odeđivanje ase ETODA. Izjeio povšinsko ubzanje na Zelji i poluje: g R gr ETODA. Iz bzine kuženja satelita: v v Ako uzeo bzinu kuženja Zelje oko Sunca v9,8 k/s i sednju udaljenost izeđu njih,496 0 6 k : (9,8 0 / s),496 0 6,67 0 N kg 9 0 0 kg
ETODA. Iz. Kepleovog zakona v v F. v k ( ) T v k π T 4π Teći Kepleov zakon dugačije je napisana bzina kuženja: T 4π
ETODA 4. Iz. Kepleovog zakona za dvojne sustave, np. dvojne zvijezde 4 T g π 4 T g π ( ) 4 T + + π + ) ( 4 T + π. Kepleov zakon: + Za točne iznose asa, potebno je odediti oje njihovih udaljenosti od centa ase: v v Oje udaljenosti se odeđuje opažanjia ili spektoskopski jeenje bzina je je on jednak:
ZADATAK 8. Odedite asu Venee na teelju podataka da je sveiska letjelica aine obilazila oko Venee na udaljenosti 500 k po kužno luku bzino,05 k/s. ETODA. Iz bzine kuženja satelita: v v Ako uzeo bzinu kuženja letjelice aine oko Venee v,05 k/s i sednju udaljenost izeđu njih 500 k : (,05 0 / s) 6,67 0 500 0 N kg 4,89 0 4 kg
ZADATAK 9. Kako je odeđena asa jeseca Oko Sunca po elipsi putuje C sustava Zelja jesec, Zelja kao da tetua u itu jesečevih obilazaka/faza. C se giba Kepleovo bzino, a Zelja ili bza ili zaostaje za kut pividnog gibanja Sunca α 6,44. Udaljenost centa Zelje od C sustava (luk kužnice polujea aj udaljenosti do Sunca): 6 6 R α 50 0 k, 0 ad 468, k Ta se točka nalazi unuta Zeljine kugle! Onda je udaljenost jeseca od C udaljenost od jeseca do Zelje udaljenost Zelje do C: 84 400 k 468, k 79 76, 7 Pea etodi 4 8 8 Z Z Z k
Na tijela u kugli polujea ne utječu one ase koje se nalaze izvan sfee: sve gavitacijske sile poništavaju se: Sila na ateijalnu točku unuta kugle A V A V Δ Δ Δ Δ ρ ρ ρ ρ dje su A i A povšine baze valjka kojeg isjecaju ase i i koje su popoc.: A A Δ Δ ase i pivlače tijelo ase u supotni sjeovia jednaki silaa: F i F Δ Δ Rezultanta sila IŠČEZAVA! Iako na tijelo ase djeluju sve ase u svi ljuskaa aspoeđene su po sjeu i veličini tako da se PONIŠTAVAJU!
Za svaku udaljenost iao: 4 F () () () ρ V ρ π F() 4 4π ρ ρ π Oblik sile nije Newtonovski ova je sila popocionalna s udaljenosti poput elastične sile? Raste do povšine lineano gdje ia aksiu a onda opada s kvadato udaljenosti! U centu je jednaka 0! Što bi bilo s tijelo koje i slobodno padalo koz otvo koz Zelju? Oscilialo bi od jedne do duge povšine ako ne bi bilo otpoa zaka! Haonijsko gibanje je djeluje elastična sila!
Hidostatski tlak i hidostatska avnoteža Tlak koji svaka ljuska pitišće jednak je ojeu težine i povšine ljuske: Δp Δg S ρδvg 4π ρ 4π Δ g 4π ρ () g() Δ Tlak na nekoj dubini u kugli pi polujeu nastaje dopinoso svih ljuski iznad (polujea većeg od ). Tlak je najveći ucentu kugle! Tlak u centu kugle (pibližan ačun) Zaislio da je cijela kugla jedna sfena ljuska čija je debljina R(poluje kugle). Za ubzanje uziao ubzanje na polovici polujea kugle: g ( R ) ( R ) Δp ρ g 4g R () g() Δ ρ R ρ R HIDROSTATSKA RAVNOTEŽA SVEIRSKO OBJEKTA: hidostatski tlak uavnotežen je s unutanji tlako.
Tlak u centu kugle (koektan ačun) dp () g g () ρ() d () () ρ() 4 πd p 0 R 0 () ρ() ρ() 4 πd d
Plina sila i Rocheova ganica SUNCE SUNCE JESEC JESEC F F ( d / ) ΔF F F ( + d / ) ( d / ) d ( d / ) ( + d / ) ( d / ) ( + d / ) ( + d / ) d << d d ΔF 4 Budući da se tijelo puža u postou (d) na njegove dijelove djeluju nejednake sile azlika tih sila je PLINA SILA.
Kada plina sila postane destuktivna Petpostavio da su dvije ase povezane jedino gavitacijsko kohezijo, i kada je ta sila jednaka plinoj tijelo se nalazi na ganici aspada: F ΔF d d d Ako na desnu stanu ujesto ase tijela uvstio gustoću: 6 4 π ρ π ρ ρ d d V 6 d d π ρ π ρ KRITIČNA USTOĆA (tijelo ostaje cijelo) Rocheova ganica piodni sateliti Satunov psten Ako na desnu stanu ujesto ase tijela koje uzokuje pliu uvstio gustoću: π ρ ρ 0 0 0 0 4 V π ρ 0 0 0 0 5, 4 ρ ρ π ρ π ρ
ZADATAK 0. Odedi plinu silu izeđu dviju asa od kg vetikalno azaknutih na povšini: a) bijelog patuljka (tijelo polujea Zelje a ase Sunca), b) neutonske zvijezde (tijelo polujea od 0 k a ase Sunca), c) cne jae (poluje k, asa Sunca)! 0 d 6,67 0 N kg 0 kg kg F, 0N F F ( 670 0 ) 0 d 6,67 0 N kg 0 kg kg,7 0 ( 0 0 ) 0 d 6,67 0 N kg 0 kg kg 0 0 ( 0 ) 8 0 N N
Plia i udaljavanje jeseca Plini valovi zaostaju za vtnjo Zelje i stoga je koče što sanjuje kutnu količinu gibanja. Kako u zatvoeni sustavia kutna količina gibanja oa biti sačuvana sanjenje količine gibanja Zelje povećava se kutna količina gibanja jeseca: v Zbog pojave plinih ispupčenja, sila izeđu dva tijela pestaje biti centalna. Tangencijalna koponenta pivlačne sile, Ft na dijelu jesečeva putaobavljaadi povećava u enegiju enegija satelita povećava se tako da u se poveća poluje staze. Ukupna enegija vezanog tijela je: 4 c/god E u E u v Ek + E p v / E p F t Povećanje enegije satelita sanjuje u se negativna vijednost povećava se poluje staze.
ehaniza pecesije Zelja ia oblik EOIDA ispupčen ekvato, nagnut pea avnini ekliptike u kojoj se nalazi Sunce. Sunce (a i jesec) dugačije pivlači pojedine dijelove Zelje OENT SILE. Zeljina os tpi pecesiju (u sjeu obtanja lijevog vijka) u zvjezdano peiodu od 6 000 god (Platonova godina). Pea dugo aksiou dinaike za otaciju: v d F dt dl dt ( v) dl dt