TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg 7π cos π ctg π 4 4 Ako je tg + ctg =, koliko je sin + cos? 5 Dokaži identitet: sin + cos sin 4 + cos 4 + = 0 Riješi nejednadžbu: cos 0, 5 [0, π] I Odredi na brojevnoj kružnici točku Et,akoje cost =,sint > 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je cos = a + a? Izračunaj: cos π tg 4ctg7π 4 sin 9π 4 Ako je tg + ctg =, koliko je tg + ctg? 5 Dokaži identitet: cos 4 t cos = sin t + tg t, t t k π, k Z Na intervalu [ π, 0] riješi nejednadžbu sin + 0 + + TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I U brojevnu kružnicu r = upisan je pravilni peterokut ABCDE,takodaje A, 0 Kojem luku kružnice, što spaja dva susjedna vrha peterokuta, pripada točka: E, E 5, E0, E? Ako je tg = ctg, π, π, koliko je sin? Izračunaj: 4 Dokaži identitet: sin 7π 5 Riješi u skupu R jednadžbu tg π + cos 4 9π ctg 5π ctg + + ctg = sin, kπ, k Z sin + sin = 0 4 Provjeri da je kπ, k Z, k 0, period funkcije f =sin 4 + sin I4 Bez uporabe tablica ili računala, odgovori što je veće: sin ili sin, cos ili cos? Ako je sin t + cos t =,sin t + cos t =,prikaži kao funkciju od Izračunaj: cos 9π tg 7π sin 4π ctg 9π 4 Dokaži identitet: sin 4 cos 4 cos 4 = tg, k π, k Z 5 Riješi jednadžbu: cos cos = 0 + Odredi temeljni period funkciji f = cos + cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

Izračunaj: cos 0π I5 sin 5π tg π ctg π 4 Koliko je tg,akoje cos = 5 7, π, 7π Skrati razlomak sin 4 + cos 4 sin + cos 4 Ako je sin + cos = p, koliko je sin 4 + cos 4? 5 Riješi jednadžbu sin sin = cos Na intervalu [0, π] riješi sustav nejednadžbi sin < icos > Izračunaj: cos 7π I ctg 5π sin π tg 77π 4 Koliko je sin,akoje cos = 5 7,ctg < 0? Pojednostavi: sin tg + cos ctg 4 Riješi jednadžbu cos cos = sin 5 Ako je sin + cos =, koliko je tg + ctg? Riješi na intervalu [0, π] sustav nejednadžbi sin > icos < TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I7 Koliko je sin,akoje ctg = 5, π, 0? Dokaži identitet tg + cos ctg + + sin sin = + cos Što je veće sincos ili cossin,akoje = 4π? sin cos 4 Ako je sin cos = 5 8sin cos, [0,, koliko je ctg? 5 Na intervalu [0, π] riješi nejednadžbu: sin > cos Koliko rješenja ima jednadžba sin π = log? Izračunaj vrijednost izraza + cos sin I8 + cos sin ako je cos = 08, π, π Dokaži identitet: sin cos ctg cos = sin cos sin + cos Koliko rješenja na intervalu π, 5π ima jednadžba 4 cos = + sin? 4 Dokaži da je π period funkcije f =cos + sin Jeliπ temeljni period ove funkcije? 5 Riješi na intervalu [0, π] nejednadžbu: sin + cos < 0 Prikaži grafički funkcije: f =sin, g = cos 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I9 Izračunaj vrijednost izraza sin + cos + + cos,akoje = 0π sin Ako je ctg = sin + cos 5, koliko je cos sin? Pojednostavi razlomak sin cos sin + cos sin sin 4 Riješi nejednadžbu 5 sin < 0 5 Odredi temeljni period funkcije f =sin + 5cos 4 Za koje vrijednosti realnog parametra t polinom f =4 8 sin t + prima pozitivne vrijednosti za svaki R? I0 Ako je sin cos = sin cos, koliko je cos, [5, ]? Dokaži identitet sin + ctg +cos + tg =sin + cos Riješi jednadžbu tg sin =ctg cos,na [0, π] 4 Riješi nejednadžbu cos 0 > 0 5 Odredi sve vrijednosti realnih parametara a i b za koje je funkcija f = a cos + b sin neparna Prikaži grafički funkcije f =sin, g = cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 5

Koliko je Pojednostavi: I sin 4 + cos 4,akoje ctg = 05? [ + cos ] + : + cos sin sin Izračunaj log sin π + log cos π 4 Odredi najmanji pozitivni period funkcije f = cos π 5 Da li funkcija f =cossin na intervalu [ π, 0] raste ili pada? Prikaži grafički funkciju f = cos I Prikaži na brojevnoj kružnici rješenja sustava < sin t Dokaži identitet: + tg + tg + ctg + ctg = tg Je li funkcija f = + sin cos + parna ili neparna? 4 Riješi jednadžbu: = sin 5 Da li funkcija f =sincos na intervalu [π, π ] raste ili pada? Prikaži grafički funkciju f = cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I Konstruiraj na brojevnoj kružnici točku Et kojoj pripada realni broj t za kojega je tg t =,cost < 0 Koliko je sin π, ako je ctg = 40 9, π < < π? Dokaži identitet: tg sin = tg sin, k π, k Z 4 sin + cos Ako je tg =, koliko je cos sin? 5 Dokaži da za sve, 0, π vrijedi tg + ctg Prikaži grafički funkciju f = cos + π I4 Konstruiraj na brojevnoj kružnici točku Et kojoj pripada realni broj t za kojega je ctg t =,sint < 0 Koliko je ctg π,akoje cos = 4 9, π < < π? Dokaži identitet: ctg cos = ctg cos, kπ, k Z 4 Ako je sin = tg + ctg 5, koliko je tg ctg? 5 Dokaži da za sve realne brojeve, k π, k Z, vrijedi nejednakost tg + ctg Prikaži grafički funkciju f = sin π TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 7

I5 Prikaži na brojevnoj kružnici skup rješenja nejednadžbe sin > Koliko je tg π +,akoje sin = 7 5, π < < π? Dokaži identitet: sin cos = sin cos + sin cos 4 Dokaži da je + sin sin sin + sin = tg, ako je π < < π 5 Koje sve vrijednosti prima funkcija f = sin π + sin π ako je π < < π? Prikaži grafički funkciju f = cos [ π] I Prikaži na brojevnoj kružnici skup rješenja nejednadžbe cos Koliko je cosπ, ako je sin = 08, π < < π? Dokaži identitet: 4 Dokaži da je sin + cos = sin + cos sin cos cos + cos + cos cos = ctg, ako je π < < π 5 Koje sve vrijednosti prima funkcija f = cos π + cos π + ako je π < < π? Prikaži grafički funkciju f =sin[ + π] 8 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

Izračunaj: sin 77π cos 58π I7 Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je tg Dokaži identitet: tg sin tg + sin tg sin =, k π, k Z tg sin 4 Ako je cos t = 7 5, t 4π, 7π, koliko je tg t? sin + tg 5 Razlomak uvijek je pozitivan, za svaku vrijednost realnog broja cos + ctg za koji je cos + ctg 0 Dokaži ovu tvrdnju Odredi temeljni period funkcije f =sin π + cos π Izračunaj: sin 4π cos 55π I8 Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je ctg Dokaži identitet: + tg = + ctg, k π, k Z 4 Ako je ctg t = 7 4, t 7π, π, koliko je sin t? 5 Ako je = sin α + cos α, = sin α cos α,prikaži kao funkciju od Odredi temeljni period funkcije f =cos π + sin π TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 9

Koliko je sin π tg 5π I9 cos 40π ctg 7π Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je tg Dokaži identitet: tg + cos ctg + + sin? sin = + cos 4 Izračunaj tg 9π, ako znaš daje cos π = + sin cos 5 Pojednostavni sin ctg cos, ako je π < < π Odredi temeljni period funkcije f =cos π π sin 4 Koliko je cos π I0 tg π sin π ctg 7π? Na brojevnoj kružnici naznači skup svih realnih brojeva za koje je ctg Dokaži identitet: sin cos tg + cos = sin + cos sin ctg 4 Izračunaj ctg 9π 8,akoje sinπ 8 = 5 Pojednostavni cos sin,akoje π < < 5π 4 Odredi temeljni period funkcije f =tg π + ctg π 0 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I Ako je ctg = tg, π, 5π, koliko je sin? Dokaži identitet: sin + + cos + = 7 + tg + ctg sin cos Ako je cos t = 7 5, t 4π, 7π, koliko je tg t? 4 Pojednostavni: sin π + t ctgt π + sin t ctg t π 5 Ako je sin + cos =, koliko je tg + ctg? Odredi na brojevnoj kružnici skup točaka kojima pridruženi realni brojevi zadovoljavaju nejednakost sin cos < 0 I Ako je tg = ctg, 4π, 7π, koliko je cos? Dokaži identitet: tg + ctg tg + ctg + = tg tg + Ako je ctg t = 4 7, π, koliko je sin t? 4 Pojednostavni: [sin π α+sinπ + α] +[cosπ α cos π α] 5 Ako je tg + ctg = 4, koliko je sin + cos? Odredi na brojevnoj kružnici skup točaka kojima pridruženi realni brojevi zadovoljavaju nejednakost cos + sin > 0 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I - E _ t Točkajenakružnici u III kvadrantu, te je sin t = za t = 7π + kπ, uz uvjet cos t < 0 Funkcija f =sin je omedena, - sin Stoga valja riješiti nejednadžbu a, odnosno a Ova je nejednadžba ekvivalentna sustavu a ili a,što daje rješenje a 0 ili a Redom: sin π ctg = sin π = sin π + 0π = sin π = sin π =, tg 7π = tg π + 5π = tg π = tg π =, cos π = cos π + 4π = cos π π 4 = cos π =, = ctg π 4 = ctg π4 + 5π = ctg π 4 = Sada je = 4 Najprije imamo iz tg + ctg =, sin cos + cos sin = sin + cos sin cos = sin cos = Zatim, sin + cos = sin + cos sin cos = sin cos = 9 5 Primijeti kako je te slično, sin + cos =sin + cos sin cos sin + cos = sin cos, sin 4 + cos 4 =sin + cos sin cos = sin cos Uvrštavanjem, izravno se dokazuje identitet Iz sustava cos i5 > 0 dobivamo, π ], a iz sustava cos i 5 < 0,, 5π ] Rješenje nejednadžbe je svaki,, π ], 5π ] Vidi sliku E t I - _ a, 0] 4 = 4 tg + ctg = 8 [ π, 5π ], [ π, 0] TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I I Vidi sliku C B = 8 7 A sin cos D E 4 = π + kπ, k Z 5 8 E BC, E 5 BC, E0 CD, E EA sin = + 5 = 5 ili = kπ, k Z =0 π, 7π I7 I4 sin > sin, cos> cos = + = 0 5 = ili =k π, k Z P = π sincos 4π < cossin 4π 4 ctg = 5 π 4, 5π 4 Jednadžba ima 4 rješenja Vidi sliku I5 = + 4 tg = 4 7 p 4 + p + 4 5 = π + kπ, k Z 4π, π TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

sin = 0 8rješenja I8 4 Da, π je temeljni period funkcije 5 π, 5π j sin, 0, sin = sin, < 0 5 P = 8 π Pretpostavimo da je P, P > 0period od f, tj da za svaki R vrijedi sin + P+5cos 4 + P = sin + 5cos 4 Uvrstimo li za vrijednost nepoznanice = 0 i = P, dobit ćemo sustav sin 5P + 5cos075P = 5 sin 5P + 5cos075P = 5 iz kojeg slijedi cos 4 P = ili P = 8nπ, n Z \{0} Za n = imamo P = 8π, temeljni period Iz D < 0 slijedi sin t < π + kπ, π + kπ, k Z, te je t j cos, cos 0, cos = cos, cos < 0 = π 4 ili = 7π 4 4, 5 5 a = 0, b R sin I0 I9 π π π π - sin = sin 4π + ctg ctg = 9 = 4 = 4 Primijeti kako je sin 0, za svaki R Stoga je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi 5 < 0 uz uvjet sin Odatle je,, π cos - π π 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

I I 50 7 Vidi sliku E t 4 P 0 = 5 Raste f = sin - _ 5 π - _π I _ π _ π _ π sin π = cos = 9 4 tg sin = sin sin cos cos = sin4 sin = tg sin 4 Nakon dijeljenja brojnika i nazivnika danog razlomka s cos dobije se + tg tg = 5 Primjenom nejednakosti aritmetičke i geometrijske sredine dvaju pozitivnih brojeva a i b a+b a b imamo: tg +ctg tg ctg = Temeljni je period P 0 = π, nultočke su brojevi π + k π, k Z I4 _ 7π 4π 5π _ π Vidi sliku Neparna 4 Primijeti kako je,zasve R Samo za = 0 vrijedi 0 =,ali sin0= 0 Jednadžba nema rješenja 5 Raste f = sin E t ctg π = ctgπ =ctg = 4 7 ctg cos = cos sin cos = cos sin sin = cos4 sin = ctg cos TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 5

4 tg + ctg tg ctg = sin cos = sin = 5 7 5 Vidi rješenje zadatka 5 u prethodnoj zadaći Možemo pisati: f = sin π = cos Temeljni je period P 0 = π, nultočke su brojevi 0 = π + k π, k Z Vidi sliku I _ π 4 I5 Vidi sliku tg π Iz sin > slijedi sin < ili sin > + = ctg = 4 7 sin cos + sin cos sin cos + sin cos = = sin cos + sin cos 4 Lijeva strana jednakosti jednaka je sin cos = + sin + sin cos + sin cos = tg 5 f = sin + cos = cos + cos = cos Skup vrijednosti funkcije f jeinterval, f = cosπ π = cos π Temeljni je period funkcije P 0 =, nultočke su brojevi 0 = k +, k Z Iz cos slijedi cos, odnosno cos cosπ = cos = 0 sin + cos sin cos sin + cos sin cos = = sin + cos sin cos 4 Lijeva strana jednakosti jednaka je + cos sin = cos cos sin cos sin = ctg 5 f = cos + sin = sin + sin = sin Područje vrijednosti funkcije f je interval, f =sinπ + π = sinπ Temeljni je period P 0 =, nultočke su brojevi 0 = k, k Z I7 sin 77π = sin 5π + π = sin 5π =, cos 58π 58π = cos = cos 4π + 8π = cos 4π = ; konačno, = 4 Iz tg slijedi tg Vidi sliku TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I

Identitet je ekvivalentan sa tg sin = tg sin Lijeva strana ove jednakosti jednaka je sin cos sin = sin cos cos = tg sin 4 tg t = tg t = 4 7 5 Uoči da dani razlomak možemo zapisati u obliku sin + cos cos + sin Neka je P temeljni period funkcije sin π,a P temeljni period funkcije cos π tada je P =, P =, te je P P = Konačno je period od f jednak P = P = P = _ - _ + tg = + tg + tg = zamijeni tg = ctg = + ctg 4 sin t = sin t = p + ctg t = 4 5 5 = Neka je P temeljni period funkcije cos π, a P temeljni period funkcije sin π Tada je P = 4, P =, te je P P = Konačno je period od f jednak P = P = P = I9 sin π =, tg 5π =, cos 40π =, ctg 7π = Konačni rezultat je Iz tg Vidi sliku slijedi tg ili tg _ I8 - _ sin 4π sin 4π = 4π = sin = sin 4π + 4π =, cos 55π = cos 7π + 8π = cos 7π = i konačno, = 4 Iz ctg slijedi ctg ili ctg Vidi sliku Lijeva je strana jednakosti jednaka: sin + sin + cos cos + cos + sin cos + sin sin + cos + sin = cos + sin + cos sin + cos = sin cos 4 tg 9π = tg π = s cos 4 5 sin sin = sin cos sin = sin + cos = sin sin Neka je P temeljni period funkcije cos π 4, a P temeljni period funkcije sin π Tada je P = 8, P =, te je P P = 4 Konačno je period od f jednak P = P = 4P = 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I 7

I0 cos π =,tgπ =,sin π = 7π,ctg = Konačni rezultat je Iz ctg slijedi ctg ili ctg Vidi sliku tg t = tg t = 4 7 4 sin t + cos t 5 tg + ctg = sin cos = 8 5 Iz sin < cos imamo: za cos > 0, tg <, za cos < 0, tg > Lijeva je strana jednakosti jednaka: sin sin cos + cos cos sin = sin cos sin cos = sin + cos 4 ctg 9π 8 = ctg 5π 8 + π =ctg 5π 8 = ctg π + π 8 = tg π 8 = 5 s cos cos cos = sin = sin Neka je P temeljni period funkcije tg π,a P temeljni period funkcije ctg π Tada je P =, P =, te je period od f jednak P = I I Iz tg = ctg slijedi tg =, te je cos =cos = Na lijevoj strani imamo redom: tg + tg tg + tg + = tg tg + = «tg tg + sin t = sin t = 4 5 4 cos α sin α cos α + sin α = 5 sin + cos = ± Iz cos > sin imamo: za sin > 0, ctg >, za sin < 0, ctg < - Iz ctg = tg slijedi ctg =, te je sin = sin = Nakon kvadriranja na lijevoj strani dobit ćemo sin + cos + 4 + sin + cos = 5 + + ctg + + tg = 7 + tg + ctg 8 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I