Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 1 / 34 Sadržaj: Sadržaj 1 Polje smjerova 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda 3 Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 2 / 34
Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Naučiti što je polje smjerova i što su izokline Kako Eulerovom (numeričkom) metodom riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda Naći diferencijalnu jednadžbu zadane jednoparametarske familije krivulja Kako odrediti ortogonalne trajektorije zadane familije krivulja Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 3 / 34 Općenito o diferencijalnim jednadžbama prvog reda Općenito o diferencijalnim jednadžbama prvog reda Diferencijalna jednadžba prvog reda F(x,y,y )=0 najčešće nije ni separabilna ni linearna niti se može svesti na takve jednadžbe. Ne možemo je eksplicitno rješiti, osim u nekim posebnim slučajevima. Općenito, moramo se poslužiti numeričkim ili kakvim drugim aproksimativnim metodama. Pritom je korisno imati jasnu sliku o geometrijskom značenju diferencijalne jednadžbe prvog reda. Pretpostavimo da je zadana jednadžba F(x,y,y )=0 rješivapoy,pa je možemo zapisati u obliku y = f (x,y). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 4 / 34
POLJE SMJEROVA Polje smjerova Jednadžba y = f (x,y) ima slijedeću grafičku interpretaciju: u svakoj točki (x, y) područja U definicije funkcije f odreden je nagib tangente y na rješenje y = y(x) u toj točki (tangens kuta tangente iznosi upravo f (x, y)). Ako u svakoj točki područja U povučemo malu crticu nagiba f (x,y), dobit ćemo polje smjerova. Riješiti jednadžbu y = f (x,y) znači pronaći putanju kroz njezino polje smjerova za koju se koeficijent smjera tangente u svakoj njenoj točki podudara sa smjerom polja u toj točki. Takvu putanju zvat ćemo integralna krivulja. Integralnih krivulja ima beskonačno mnogo, a svaka se dobije zadavanjem neke početne točke (x 0,y 0 ) U kojom krivulja treba proći. Na taj način moguće je konstruirati graf rješenja diferencijalne jednadžbe. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 5 / 34 IZOKLINE Polje smjerova Izokline Zbog lakšeg crtanja, odredujemo izokline (krivulje konstantnog nagiba): krivulje u čijim se točkama podudaraju nagibi tangenti. To su krivulje s jednadžbom f (x,y)=c, jer je u njima y = C. Crtamo ih za neke istaknute vrijednosti konstante C. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 6 / 34
Polje smjerova Primjer PRIMJER 1. Skicirajmo polje smjerova za jednadžbu y = x. Rješenje: Ovdje je f (x,y) =x i jednadžbe izoklina glase x = C. Dakle, sve su to pravci paralelni sa osi y. Na svakoj izoklini koeficijent smjera iznosi upravo C. Ako primjerice treba pronaći izoklinu s koeficijentom smjera tgα = 1, onda je to pravac x = 1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 7 / 34 Polje smjerova ZADATAK 1. Skiciraj polja smjerova sljedećih jednadžbi: A) y = y x B) y = x y C) y = x y. Rješenje 1. A): U slučaju jednadžbe y = y x imamo f (x,y)= y x. Jednadžbe izoklina glase y x = C y = Cx, što su pravci koji prolaze kroz ishodište. Na svakoj izoklini koeficijent smjera iznosi upravo C, pa u slučaju ove jednadžbe nagib integralnih krivulja na izoklini nagib je same izokline. Dakle, polje smjerova izgleda kao na slici desno. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 8 / 34
Polje smjerova Očito je da su integralne krivulje pravci y = cx, što se može i egzaktno izračunati rješavanjem diferencijalne jednadžbe: y = y x dy dx = y x dy y = dx x ln y = ln x + c y = cx Rješenje 1. B): U slučaju jednadžbe y = x y jednadžbe izoklina glase x y = C x = Cy y = 1 C x. Dakle, izokline su opet pravci kroz ishodište, no sada je nagib integralnih krivulja recipročan i suprotan nagibu same izokline, pa su paralelne male crtice na izoklini okomite na samu izoklinu. Dakle, polje smjerova izgleda kao na slici desno. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 9 / 34 Polje smjerova Očito je da su integralne krivulje koncentrične kružnice x 2 + y 2 = c 2, što se može i egzaktno izračunati: y = x y dy dx = x y ydy = xdx y 2 2 = x 2 2 + c x 2 + y 2 = c 2 Rješenje 1. C): U slučaju jednadžbe y = x y jednadžbe izoklina glase x y = C x = Cy y = 1 C x. Dakle, izokline su opet pravci kroz ishodište. Što se tiče nagiba integralnih krivulja, on je za C = 1 jednak nagibu izokline, a u ostalim slučajevima sve veći nagib izokline daje sve manji nagib integralnih krivulja, i obrnuto. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 10 / 34
Polje smjerova Tj. nagib integralnih krivulja na izoklini y = Cx recipročan je nagibu same izokline, y = x y = 1 C, što znači da te integralne krivulje imaju nagib one izokline koja je zadanoj simetrična s obzirom na simetrale y = ±x. Polje smjerova izgleda kao na slici desno. Čini se da su integralne krivulje hiperbole x 2 y 2 = ±c 2 sa zajedničkim asimptotama y = ±x, te same asimptote, što se može i egzaktno izračunati: y = x y dy dx = x y ydy = xdx y 2 2 = x 2 2 + c x 2 y 2 = ±c 2 (uz c 2 = 2 c.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 11 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda EULEROVA METODA ZA NUMERIČKO RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI PRVOG REDA Promatramo Cauchyjev problem: y = f (x,y), y(x 0 )=y 0 na intervalu [x 0,x 0 + nδx] Nakon aproksimacije y (x i ) Δy i Δx = y i+1 y i, Δx dobivamo diskretizirani oblik gornjeg problema kako slijedi: y i+1 y i Δx = f (x i,y i ), i = 0,1,...,n 1 Iz toga redom možemo izračunati vrijednost aproksimacije rješenja (tzv. eksplicitna Eulerova metoda) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 12 / 34
Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Primjer PRIMJER 2. Eulerovom metodom riješimo Cauchyjev problem y = x y, y ( 1 2) = 1 na intervalu [ 1 2,1] s korakom x = 0.1. Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 13 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Greška Eulerova metoda ne upotrebljava se za rješavanje praktičnih problema. Da bi se povećala preciznost Eulerove metode, potrebno je smanjiti korak (vidjeti Zadatak 3). Oprez! Numerički proračun derivacije sadrži potencijalnu opasnost pojave greške zaokruživanja kod oduzimanja dva vrlo slična broja. Eulerova metoda ne koristi se u ozbiljnijim numeričkim proračunima. Ima važno teorijsko značenje, jer se druge, mnogo efikasnije metode, zasnivaju na ovoj ideji. U slučaju Primjera 2 na slici desno prikazano je egzaktno i aproksimirano rješenje u polju smjerova: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 14 / 34
Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Egzaktno i aproksimirano rješenje Nadimo egzaktno rješenje Cauchyjevog problema iz Primjera 2. Opće rješenje: y = x y dy dx = x y ydy = xdx y 2 2 = x 2 2 + c x 2 + y 2 = c 2 Partikularno rješenje uz uvjet y ( 1 2) = 1: Egzaktno rješenje y (1.): 0.25 + 1 = c 2 x 2 + y 2 = 1.25 x = 1. y(1.) 2 = 1.25 1 = 0.25 y(1.)=0.5 Eulerova metoda dala je (vidjeti str. 13): y(1.) y 5 = 0.58193 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 15 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda ZADATAK 2. Eulerovom metodom riješimo Cauchyjev problem y = y x, y ( 1 2) = 1na intervalu [ 1 2,1] s korakom x = 0.1. Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 16 / 34
Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda Egzaktno i aproksimirano rješenje Nadimo egzaktno rješenje Cauchyjevog problema iz Zadatka 2. Opće rješenje: y = y x dy dx = y x dy y = dx x ln y = ln x + c y = cx Partikularno rješenje uz uvjet y ( 1 2) = 1: Egzaktno rješenje y (1.): 1 = c 2 y = 2x x = 1. y(1.)=2 1. = 2. y(1.)=2. Eulerova metoda dala je takoder: y 5 = 2. Zašto? Pogledaj predhodnu sliku polja smjerova! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 17 / 34 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda ZADATAK 3. Eulerovom metodom riješimo Cauchyjev problem y = x y, y ( 1 2) = 1na intervalu [ 1 2,1] s koracima x = 0.1 i x = 0.05. Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 18 / 34
Uvod Uvod u ortogonalne trajektorije: F(x,y,y )=0 f (x,y,c)=0 Rješenja (tj. integralne krivulje) diferencijalne jednadžbe F(x,y,y )=0 tvore jednoparametarsku familiju krivulja f (x, y, c)=0. Primjerice: y + x y = 0 = x 2 + y 2 = c 2 (TEŽE) Vrijedi i obratno, svaka jednoparametarska familija krivulja f (x,y,c)=0 ima svoju diferencijalnu jednadžbu F(x,y,y )=0 kojoj je ona rješenje. Primjerice: y + x y = 0 = x 2 + y 2 = c 2 (LAKŠE) PRIMJER 3. Skicirajmo sljedeće familije krivulja i nadimo njihove diferencijalne jednadžbe: A) y = cx 2 B) (x c) 2 + y 2 = 1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 19 / 34 Primjeri Rješenje 3. A): y = cx 2 je familija parabola koje prolaze kroz ishodište. y = cx 2 d dx y = 2cx c = y Uvrštavanjem u početnu jednadžbu slijedi: y = y 2x 2x x 2 y = 2y x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 20 / 34
Primjeri Rješenje 3. B): (x c) 2 + y 2 = 1 je familija kružnica sa središtima S(c,0) i radijusa r = 1. (x c) 2 + y 2 = 1 d 2(x c)+2yy = 0 x c = yy dx Uvrštavanjem u početnu jednadžbu slijedi: ( yy ) 2 + y 2 = 1 y 2 y 2 + y 2 = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 21 / 34 ZADATAK 4. Skicirajmo sljedeće familije krivulja i nadimo njihove diferencijalne jednadžbe: a) y = cx + 1 b) y = c/x c) y = x 2 cx d) (x c) 2 + y 2 = c 2 e) (x + c) 2 + y 2 = c 2 1. Rješenje 4. a): y = cx + 1 je familija pravaca koji prolaze kroz točku S(0,1). y = cx + 1 d y = c dx y = y x + 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 22 / 34
Rješenje 4. b): y = c x je familija hiperbola sa zajedničkim asimptotama y = 0ix = 0. y = c x xy = c d dx y + xy = 0 Rješenje 4. c): y = x 2 cx je familija parabola s nultočkama x 1 = 0ix 2 = c. y = x 2 cx d dx y = 2x c c = 2x y y = x 2 (2x y )x y = xy x 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 23 / 34 Rješenje 4. d): (x c) 2 + y 2 = c 2 je familija kružnica sa središtima S(c, 0) i radijusima r = c: (x c) 2 + y 2 = c 2 d dx 2(x c)+ 2yy = 0 c = x + yy ( yy ) 2 + y 2 =(x + yy ) 2 y 2 y 2 + y 2 = x 2 + 2xyy + y 2 y 2 y 2 = x 2 + 2xyy Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 24 / 34
Rješenje 4. e): (x + c) 2 + y 2 = c 2 1 je familija kružnica sa središtima S( c, 0) i radijusima r = c 2 1, c > 1: (x + c) 2 + y 2 = c 2 1 d dx 2(x + c)+ 2yy = 0 c = x yy ( yy ) 2 + y 2 =( x yy ) 2 1 y 2 y 2 + y 2 = x 2 + 2xyy + y 2 y 2 1 y 2 x 2 + 1 = 2xyy Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 25 / 34 Kako naći ortogonalne trajektorije ORTOGONALNE TRAJEKTORIJE Krivulje familije g(x,y,c)=0 ortogonalne su trajektorije familije krivulja f (x,y,c)=0 ako je svaka krivulja g-familije okomita na svaku krivulju f -familije. Ako (crvena) familija krivulja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu F(x,y,y )=0, onda familija njezinih (plavih) ortogonalnih trajektorija zadovoljava diferencijalnu jednadžbu F(x,y, 1/y )=0, jer su y i 1/ y medusobno okomiti nagibi! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 26 / 34
Primjer PRIMJER 4. Nadimo ortogonalne trajektorije familije parabola y = cx 2. Rješenje: y = cx 2 y = 2cx c = y 2x y = y 2x x 2 2y = y x diferencijalna jednandžba početne familije 2y = 1 y x diferencijalna jednandžba ortogonalne familije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 27 / 34 Primjer Riješimo diferencijalnu jednadžbu ortogonalne familije: 2yy = x 2y dy dx = x 2ydy = xdx y 2 = x 2 2 + c2 x2 2c 2 + y2 c 2 = 1 ortogonalne trajektorije su elipse Familija parabola i familija elipsa sijeku se pod pravim kutom. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 28 / 34
ZADATAK 5. Odredite ortogonalne trajektorije familije krivulja: a) y = cx + 1 b) x = y 2 c 2 c) x 2 y 2 = c 2. Rješenje 5. a): y = cx + 1 y = c = y = y x + 1 = y = 1 y x + 1 y 1 = x dx dy (y 1)dy = xdx (y 1)2 2 (y 1) 2 + x 2 = A 2 ortogonalne trajektorije su kružnice sa središtem u S(0,1) = x 2 2 + c2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 29 / 34 Familija pravaca i familija kružnica sijeku se pod pravim kutom. Rješenje 5. b): x = y 2 c 2, tj. x =(y c)(y + c) su parabole s nultočkama y = ±c x = y 2 c 2 = 1 = 2yy = 1 = 2y ( 1y ) y = 2y dy dy = 2y dx y = 2dx ln y = 2x + c y = Ae 2x ortogonalne trajektorije su eksponencijalne funkcije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 30 / 34
Familija parabola i familija eksponencijalnih funkcija sijeku se pod pravim kutom. Rješenje 5. c): x 2 y 2 = c 2 su hiperbole s asimptotama y = ±x x 2 y 2 = c 2 2x 2yy = 0 = x = yy = x = y y xy = y x dy dx dy = y y = dx x ln y = ln x + c y = A 1 x ortogonalne trajektorije su hiperbole s asimptotama x = 0 i y = 0 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 31 / 34 Familije hiperbola sijeku se pod pravim kutom. ZADATAK 6. Pokus pokazuje da su sve kružnice koje prolaze točkama ( 1,0) i (1, 0) silnice električnog polja, koje stvaraju dva medusobno jednaka naboja smještena u tim točkama. Nadimo krivulje konstantnog potencijala, tzv. ekvipotencijale, koje su ortogonalne trajektorije familije silnica. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 32 / 34
Rješenje: Kružnica koja ima središte u (0,c) i prolazi točkama ( 1,0) i (1,0) ima radijus 1 + c 2. Dakle, familija silnica ima jednadžbu: x 2 +(y c) 2 = 1 + c 2 Odredimo diferencijalnu jednadžbu te familije: x 2 +(y c) 2 = 1 + c 2 d dx 2x + 2(y c)y = 0 y c = x y c = y + x y Uvrštavanjem u polaznu jednadžbu dobivamo: ( x 2 + x ) 2 ( y = 1 + y + x ) 2 y x 2 + x 2 y 2 = 1 + y 2 + 2y x y + x 2 y 2 2xy y = y 2 x 2 + 1 diferencijalna jednandžba familije silnica Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 33 / 34 Slijedi da je diferencijalna jednandžba ortogonalne familije (familije ekvipotencijala): 2xyy = y 2 x 2 + 1 Ovo je diferencijalna jednadžba Bernoullijevog tipa (koju supstitucijom z = y 2 svodimo na linearnu diferencijalnu jednadžbu). Medutim, u Zadatku 4. e) već smo vidjeli da je rješenje te diferencijalne jednadžbe: Dakle, ekvipotencijale su kružnice. (x + c) 2 + y 2 = c 2 1 Familija silnica električnog polja i familija ekvipotencijala su kružnice koje sijeku se pod pravim kutom. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 34 / 34