Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom......................... 7 5.2 Krive bez centra.......................... 10
POGLAVLJE 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 Posmatrajmo op²ti polinom drugog reda u varijablama x i y f(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f, (5.1) gdje su a, b, c, d, e, f R i a 2 + b 2 + c 2 0. Skup K = { (x, y) R 2 : f(x, y) = 0 } (5.2) nazivamo krivom drugog reda u ravni. Primjeri krivih drugog reda koje smo ranije spominjali su kruºnica, elipsa, hiperbola i parabola. Pokazat emo da su upravo navedene krive jedine krive koji opisuju skup K, osim u slu aju degenerisanih skupova, kao ²to su prave, ta ke i prazan skup. Ovo emo posti i tako ²to emo izvr²iti adekvatnu transformaciju koordinatnog sistema u kojem e posmatrani skup biti opisan ve poznatim jedna inama. Jedna od transformacija koordinatnog sistema koju emo koristiti je rotacija. U dijelu o linearnim operatorima uveli smo pojam matrice prelaza s jedne baze na drugu. Koriste i deniciju rotacije i osobine trigonometrijskih funkcija moºe se pokazati da je matrica prelaza na novu bazu dobijenu od
stare rotacijom za ugao φ data sa ( cos φ sin φ sin φ cos φ Slijedi da je veza koordinata u dva koordinatna sistema koja su nastala rotacijom oko kooordinatnog po etka za ugao φ jedan iz drugog data sa ). x = x cos φ y sin φ, y = x sin φ + y cos φ. Primijetimo da se koordinatni po etak prilikom rotacije koordinatnog sistema ne mijenja, obzirom da rotaciju vr²ima upravo oko te ta ke. Druga transformacija koordinatnog sistema koju emo koristiti je translacija. Jasno je da se translacijom za nenulti vektor pomijera i koordinatni po etak. Ukoliko izvr²imo translaciju tako da se koordinatni po etak preslika u ta ku (u, v), onda je veza koordinata x i y starog sistema sa koordinatama x i y novog sistema pri translaciji data sa x = x + u, y = y + v. Pokazat emo da se upravo translacijom za pogodan vektor i rotacijom za adekvatno odabran ugao rotacije op²ta jedna ina drugog reda moºe svesti na neku od poznatih jedna ina krivih drugog reda i na taj na in izvr²iti identikacija zadane krive. Prilikom ispitivanja krivih drugog reda vaºno je uo iti neke bitne elemente koji karakteri²u posmatranu krivu. Mi emo se bazirati na dva elementa, a to su centar krive i ose simetrije. Pokazuje se da speci an centar i speci ne ose simetrije uti u na is ezavanje pojedinih lanova u jedna ini posmatrane krive. Preciznije, pokazuje se da vrijede sljede e tvrdnje. Teorem 5.1. Ako su koecijenti uz linearne lanove u jedna ini iz (5.2) jednaki 0, tada je koordinatni po etak centar simetrije krive (5.2). Obratno, ako je koordinatni po etak centar simetrije krive (5.2), tada su koecijenti uz linearne lanove u jedna ini iz (5.2) jednaki 0. Teorem 5.2. Ako je u jedna ini iz (5.2) koecijent uz proizvod koordinata jednak 0, tada kriva ima za osu simetrije pravu paralelnu jednoj od koordinatnih osa. Obrnuto, ako kriva (5.2) ima za osu simetrije pravu paralelnu jednoj od koordinatnih osa, tada je u njenoj jedna ini koecijent uz proizvod koordinata jednak 0. 6
5.1.Krive sa centrom U nastavku emo posebno razmotriti slu ajeve kada krivea ima centar i kada nema centar. 5.1 Krive sa centrom Neka kriva odrežena polinomom (5.1) ima centar u ta ki (x 0, y 0 ). Izvr²imo translaciju koordinatnog sistema tako da koordinatni po etak novog koordinatnog sistema bude ta ka (x 0, y 0 ). Nove koordinate ozna imo sa x 1 i y 1. Kako smo ranije napomenuli, slijedi da je veza koordinata data sa x = x 1 + x 0, y = y 1 + y 0. Sada jedna ina posmatrane krive poprima oblik a(x 1 +x 0 ) 2 +2b(x 1 +x 0 )(y 1 +y 0 )+c(y 1 +y 0 ) 2 +2d(x 1 +x 0 )+2e(y 1 +y 0 )+f = 0, odnosno ax 2 1 + 2bx 1 y 1 + cy 2 1 + 2d 1 x 1 + 2e 1 y 1 + f 1 = 0, gdje je d 1 = ax 0 + by 0 + d, e 1 = bx 0 + cy 0 + e i f 1 = ax 2 0 + 2bx 0 y 0 + cy 2 0 + 2dx 0 + 2ey 0 + f. Prema teoremu 5.1, da bi koordinatni po etak bio centar krive, mora biti d 1 = e 1 = 0, to jeste ax 0 + by 0 + d = 0, bx 0 + cy 0 + e = 0. Ovaj sistem ima jedinstveno rje²enje ako mu je determinanta razli ita od 0, odnosno ukoliko je δ = a b b c 0. Takva kriva ima centar i u novom koordinatnom sistemu jedna ina krive je oblika ax 2 1 + 2bx 1 y 1 + cy 2 1 f = 0, (5.3) gdje je f =, pri emu smo stavili da je δ a b d = b c e d e f. 7
5.1.Krive sa centrom Dalje, izvr²imo rotaciju koordinatnog sistema oko novog koordinatnog po- etka za ugao φ. Veza koordinata x 1, y 1 i novih koordinata x, y data je sa x 1 = x cos φ y sin φ, y 1 = x sin φ + y cos φ. Uvr²tavanjem u jedna inu (5.3) dobijamo jedna inu iji lan uz proizvod x y ima koecijent 2(c a) sin φ cos φ + 2b cos 2φ. Ukoliko ºelimo da odredimo φ tako da ovaj koecijent bude 0, mora biti odnosno (c a) sin 2φ + 2b cos 2φ = 0, (a c) sin 2φ = 2b cos 2φ. Ako je a c = 0 slijedi da je cos 2φ = 0, odnosno φ = π 4. U slu aju kada je a c 0 slijedi da je to jeste odnosno sin 2φ cos 2φ = tg2φ = 2b a c, 2b a c, φ = 1 2b arctg 2 a c. Za ovako odabrano φ jedna ina (5.3) poprima oblik a x 2 + c y 2 f = 0, (5.4) gdje je a = a cos 2 φ + c sin 2 φ + b sin 2φ i c = a sin 2 φ + c cos 2 φ b sin 2φ. Razmotrimo sada koje su mogu nosti krivih koje predstavlja jedna ina (5.4). Ukoliko je bar jedan od brojeva a, c jednak 0, tada je a c b 2 = 0, pa kriva nema centra. Ovu situaciju razmatrat emo u drugom dijelu. Neka su a i c razli iti od 0. 8
5.1.Krive sa centrom (I) Neka je f 0, tada (5.4) moºemo napisati u obliku x 2 α + y 2 β = 1, α = f a, β = f c. Zavisno od znaka parametara α i β razmatramo razli ite situacije. 1 Ako je α > 0 i β > 0 moºemo uvesti nove parametre A i B tako da je α = A 2, β = B 2, pa je (5.4) oblika ²to je jedna ina elipse. x 2 A 2 + y 2 B 2 = 1, 2 Ako su α i β razli itog znaka, to jeste αβ < 0, onda jedna ina (5.4) adekvatnom smjenom poprima oblik ili x 2 A 2 y 2 B 2 = 1, y 2 A x 2 2 B = 1, 2 ²to su jedna ine hiperbole. 3 Ako je α < 0, β < 0, moºemo uvesti nove parametre A i B tako da je α = A 2, β = B 2, pa je posmatrana jedna ina oblika odnosno x 2 A 2 y 2 B 2 = 1, x 2 A 2 + y 2 B 2 = 1, ²to je izraz koji predstavlja u skupu realnih brojeva. (II) Neka je f = 0, tada (5.4) poprima oblik a x 2 + c y 2 = 0. Zavisno od znakova koecijenata a i c razmotrimo razli ite slu ajeve. 9
5.2.Krive bez centra 1 Ako su a i c istog znaka, jedna ina (5.4) je oblika A 2 x 2 + B 2 y 2 = 0, ²to implicira da ona predstavlja ta ku (0, 0) u ravni. 2 Ako su a i c razli itog znaka, jedna ina (5.4) je oblika A 2 x 2 B 2 y 2 = 0. Moºemo je pisati u obliku Ax By )(Ax + By ) = 0, ²to je skup ta aka koji predstavlja dvije prave koje se sijeku u koordinatnom po etku. 5.2 Krive bez centra Za krive bez centra je δ = 0, to jeste ac b 2 = 0. Ako je a = 0 ili c = 0 slijedi da je b = 0, pa onda svoženjem na potpuni kvadrat slijedi da je jedna inom (5.2) data jedna ina parabole. Neka je ac 0. Kako je b 2 = ac, to su a i c istog znaka. Bez umanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da su oba pozitivna. Slijedi da je Stavimo ax 2 + 2bxy + cy 2 = ax 2 + 2 acxy + cy 2 = ( ax + cy) 2. f 1 = c i a j, f2 = a i + c j. Posmatrajmo koordinatni sistem sa x i y. Vrijedi da je ( ( O, f1, f )) 2. Nove koordinate ozna imo x = x c + y a, y = x a + y c. Jedna ina krive (5.2) u novom koordinatnom sistemu je oblika (a + c)y 2 + 2d x + 2e y + f = 0. 10
5.2.Krive bez centra (I) Za d 0 ova jedna ina poprima oblik ) 2 (a + c) (y + e + 2d (x + f ) a + c 2d e 2 = 0. 2d (a + c) Izvr²imo translaciju koordinatnog sistema na nove koordinate pa kriva poprima oblik ²to je parabola. (II) Za d = 0 jedna ina postaje x = x + f y = y + e a + c, 2d e 2 2d (a + c), y 2 = 2px, p = d a + c, ) 2 (a + c) (y + e + f e 2 a + c a + c = 0. Translacijom koordinatnog po etka u ta ku ( 0, e a+c) jedna ina postaje (a + c)y 2 + f e 2 a + c = 0, gdje je y = y + e f. Stavimo da je α = e 2. Jedna ina postaje a+c a+c (a+c) 2 y 2 + α = 0. Zavisno od znaka parametra α mogu nastupiti razli ite situacije. 1 Za α < 0 moºemo staviti da je α = A 2, pa je jedna ina y 2 A 2 = 0, odnosno (y A)(y + A) = 0, ²to predstavlja jedna inu dvije paralelne prave. 11
5.2.Krive bez centra 2 Za α > 0, jedna ina je oblika y 2 = A 2, za α = A 2 pa ona nema realnih rje²enja, odnosno predstavlja prazan skup. 3 Za α = 0, jedna ina je oblika y 2 = 0, ²to moºe biti interpretirano kao dvije prave koje se poklapaju. Navedena razmatranja se mogu sumirati u vidu sljede eg teorema. Teorem 5.3. Neka je u Descartesovom koordinatnom sistemu zadana kriva sa ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0. Tada postoji Descartesov koordinatni sistem u kojem ta jedna ina ima oblik i predstavlja (a) (b) (c) x2 + y2 A 2 B 2 x2 + y2 A 2 B 2 x2 y2 A 2 B 2 = 1, elipsi, = 1, prazan skup, = 1, hiperbolu, (d) A 2 x 2 C 2 y 2 = 0, par pravih koje se sijeku, (e) A 2 x 2 + C 2 y 2 = 0, ta ku, (f ) y 2 = 2px, parabolu, (g) y 2 A 2 = 0, par paralelnih pravih, (h) y 2 + A 2 = 0, prazan skup, (i) y 2 = 0, par pravih koje se poklapaju. Prilikom prethodnih razmatranja vidjeli smo da zna ajne vrijednosti koje se pojavljuju pri identikaciji krivih su determinante δ i, kao i suma a + c, koju emo ozna iti sa T, to jeste T = a + c. Broj T je zbir elemenata na glavnoj dijagonali determinante δ i naziva se tragom te determinante. Vaºan rezultat koji se ti e ovih vrijednosti sadrºan je u teoremu koji slijedi. 12
5.2.Krive bez centra Teorem 5.4. Veli ine T, δ i se ne mijenjaju pri rotaciji i translaciji koordinatnog sistema u ravni. Teorem se dokazuje primjenom osobina determinanti i jedna ina koje daju vezu koordinata u sistemima koji su nastali translacijom, odnosno rotacijom jedan od drugog. Obzirom na navedenu osobinu, kaºe se da su veli ine T, δ i invarijante jedna ine iz (5.2) pri rotaciji i translaciji. Zna aj navedenog rezultata se ogleda u mogu nosti identikacije krive na osnovu vrijednosti invarijanti date krive. Rezultate moºemo sumirati u obliku sljede e tabele. Krive s centrom δ > 0 δ < 0 Krive bez centra δ = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 T < 0 T < 0 d 2 af > 0 d 2 af = 0 d 2 af < 0 elipsa prazan skup ta ka hiperbola dvije prave koje se sijeku parabola dvije paralelne prave dvije prave koje se poklapaju prazan skup Treba napomenuti da je identikaciju objekata odreženih polinomom drugog stepena u tri varijable mogu e izvr²iti na anlaogan na in. Ra un je znatno opseºniji i prevazilazi okvire ovog kursa. 13