Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković

Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti

Sadržaj predavanja 1 Prirodni brojevi kao skupovi Model prirodnog broja Kardinalnost Ekvipotentni skupovi Hilbert Grand Hotel Schröder-Bernsteinov teorem Cantorov teorem Hipoteza kontinuuma 2 Proturječnosti naivne teorije skupova Russellov paradoks Cantorov paradoks Burali-Forti paradoks Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova Proturječnosti ZFC teorije Alternativne teorije skupova 3 Booleova prekidačka algebra Booleova algebra Homomorfizam i izomorfizam Stoneov teorem 4 Kontinualne, diskretne i digitalne veličine

Pojam prirodnog broja Peanovi aksiomi Nula, u oznaci 0, predstavlja prirodan broj; Svaki prirodan broj n, ima svog sljedbenika n (ili S(n), succ(n)) Nula nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja; Ako dva prirodna broja imaju jednake sljedbenike, oni su i sami jednaki; Ako neki skup sadrži nulu i sljedbenika svakog svog elementa, tada on sadrži sve prirodne brojeve (aksiom indukcije) Posljednji aksiom omogućeva definiranje operacija + i u skupu N, kao i relaciju potpunog poretka.

Peanovi aksiomi - proširenje Peanovi aksiomi Nula, u oznaci 0, predstavlja prirodan broj; Za svaki prirodan broj x, vrijedi x = x Za svaka dva prirodna broja x i y vrijedi da ako je x = y, tada je i y = x Za svaka tri prirodna broja x, y i z vrijedi da ako je x = y i y = z, tada je x = z Skup prirodnih brojeva je zatvoren nad relacijom =. Ako je n prirodan broj, tada je i n prirodan broj Za dva prirodna broja x i y vrijedi x = y ako i samo ako je x = y (funckija sljedbenik je injektivna) Ne postoji prirodan broj x kojem je 0 sljedbenik Ako je skup K takav da je: 0 K Za svaki broj x K vrijedi: x K x K tada skup K sadrži sve prirodne brojeve.

Aritmetika prirodnih brojeva Operacija + Operacija + se definira kao preslikavanje + : N 2 N zadano rekurzivno: n + 0 = n n + m = (n + m) Primjer 2 + 3 = 5 2 + 2 = (2 + 2) = (2 + 1 ) = (2 + 1) = (2 + 0 ) = = (2 + 0) = 2 = 3 = 4 = 5 Operacija Operacija se definira kao preslikavanje : N 2 N zadano rekurzivno: n 0 = 0 n m = n + (n m) Primjer 2 3 = 6 2 2 = 2 + (2 2) = 2 + (2 1 ) = 2 + (2 + (2 1)) = = 2 + (2 + (2 0 )) = 2 + (2 + (2 + (2 0))) = 2 + (2 + (2 + 0)) = 2 + (2 + 2) = 2 + 4 = 6 Algebarska struktura (N, +,, 0, 0 ) se naziva komutativni semi-prsten.

Potpuni poredak prirodnih brojeva Relacija Za dva broja x, y N vrijedi x y ako i samo ako postoji z N takav da vrijedi x + z = y. Ako je x y, vrijedi: x + z y + z x z y z Algebarska struktura (N, +,, 0, 0, ) se naziva uredeni semi-prsten.

Model prirodnog broja Frege-Russelov model Prirodni broj n predstavlja klasu ekvivalencije konačnog skupa, gdje je relacija ekvivalencije dva skupa A i B definirana kao #A = #B. Von Neumannov model Prirodni broj n je rekurzivno definiran kao: 0 = n = n {n} Na ovaj način se prvih nekoliko prirodnih brojeva može zapisati na sljedeći način: 0 = 1 = 0 {0} = {0} = { } = { } 2 = {0, 1} =... = {, { }} 3 = {0, 1, 2} =... = {, { }, {, { }}}

Kardinalni broj skupa Definicija Neka je S skup. Ako u skupu S postoji n jedinstvenih elemenata, gdje je n nenegativan cijeli broj, kaže se da je skup S konačan i da je n kardinalnost skupa S i označava se sa #S ili S. Primjer Neka je skup A skup svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 10. Tada je #A = 5. Primjer Kardinalni broj praznog skupa je # = 0.

Ekvipotentni skupovi Definicija Neka su A i B skupovi. Kaže se da su skupovi A i B ekvipotentni (ili ekvipolentni) ako postoji bijekcija f : A B Primjer Neka je skup A = {1, 2, 3}, a skup B = {a, b, c}. Ova dva skupa su ekvipotentna jer postoji bijekcija izmedu ova dva skupa, npr. f (1) = a; f (2) = b; f (3) = c. Definicija Neka su A i B skupovi. Ako postoji bijekcija f : A B i vrijedi #B = n <, tada je skup A konačan. Ako bijekcija ne postoji niti za jedno n <, tada je skup A beskonačan.

Ekvipotentni skupovi - beskonačni skupovi (1/2) Primjer Neka je skup P = {n n = 2k k N} skup parnih brojeva. Moguće je konstruirati bijekciju sa skupom N: te vrijedi P N Primjer f : N P = f (n) = 2n, Neka je skup Q = {n n = k 2 k N} skup potpunih kvadrata prirodnih brojeva. Moguće je konstruirati bijekciju sa skupom N: f : N Q = f (n) = n 2, te vrijedi Q N Kardinalni broj skupa N je #N = ℵ 0.

Ekvipotentni skupovi - beskonačni skupovi (2/2) Primjer Koji je kardinalni broj skupa Z? Neka je zadana funkcija f : N Z: ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11... f (n) = 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5... što se može iskazati pravilom: Očigledno vrijedi Z N, te je #Z = ℵ 0. f (n) = ( 1) n n/2 Primjer Koji je kardinalni broj skupa Q? Neka je zadana funkcija f : N Q: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22... f (n) = 0 1 1 2 2 1/2 1/2 3 3 1/3 1/3 4 4 1/4 1/4 2/3 2/3 3/2 3/2 5 5 1/5... Očigledno vrijedi Z N, te je #Z = ℵ 0.

Hilbert Grand Hotel

Hilbert Grand Hotel

Hilbert Grand Hotel

Hilbert Grand Hotel

Hilbert Grand Hotel

Hilbert Grand Hotel

Hilbert Grand Hotel

Kardinalni broj skupa R Cantorov dijagonalni postupak Pretpostavimo da je skup R ekvipotentan sa skupom N. Tada je moguće konstruirati bijekciju f : N R: ( ) 1 2 3... f (n) = a 1.a 11 a 12 a 13... a 2.a 21 a 22 a 23... a 3.a 31 a 32 a 33...... Ako sada formiramo broj y = 0.b 1 b 2 b 3... takav da vrijedi b i a ii, onda je y f (1), y f (2),... U općem slučaju je y f (n). Drugim riječima, broj y se ne nalazi u nizu f (1), f (2), f (3),..., odnosno, preslikavanje f ne može biti bijekcija. #R Kardinalni broj skupa R je kontinuum, tj. #R = c.

Schröder-Bernsteinov teorem Schröder-Bernsteinov teorem Ako su A i B skupovi za koje vrijedi #A #B i #B #A, tada je #A = #B. Drugim riječima, ako postoje injektivne funkcije f : A B i g : B A, tada postoji bijekcija izmedu A i B. Primjer Pokažite da je #(0, 1) = #(0, 1] Kako je (0, 1) (0, 1], funkcija f (x) = x je injektivna funkcija sa (0, 1) (0, 1]. Neka je funkcija g(x) = x/2 sa (0, 1] na (0, 1/2] (0, 1). Ova funkcija je takoder injektivna, pa prema prethodnom teoremu postoji bijekcija izmedu (0, 1) i (0, 1]. Primjer Funkcija f = 2 atan(x) je bijekcija f : R ( 1, 1). π

Kardinalni broj skupa F Cantorov dijagonalni postupak Pretpostavimo da je skup svih funkcija sa R na R, u oznaci F = {f f : R R} ekvipotentan sa skupom R. Tada je moguće konstruirati bijekciju f : R F: Φ(x) = f x takva da se medu funkcijama f x, x R nalaze sve funkcije sa R na R. Definirajmo funciju g(x) f x. Stoga je #F #R. Kako postoji bijekcija izmedu R i skupa konstantnih funkcija {f f : R R c R f (x) = c}, vrijedi #F #R, odnosno #F > #R. #F Kardinalni broj skupa F je #F = f.

Cantorov teorem Cantorov teorem Neka je f : A P(A) neka funkcija sa A na P(A). Tada f nije sirjektivna, što za posljedicu ima da #A < #P(A). Dokaz: Neka je zadan skup B = {x A x / f (x)}. Ako bi funkcija f bila sirjektivna, tada bi postojao a A takav da je f (a) = B. Medutim, konstrukcijom a B a / f (a) = B se dobiva kontradikcija, te f ne može biti sirjektivna, a samim tim ni bijektivna. Funkcija g : A P(A) definirana sa g(x) = {x} je injektivna, pa je #A < #P(A). Posljedica Vrijedi #A < #P(A) < #P(P(A)) <... Posljedica Vrijedi #N = 2 ℵ0. Takoder vrijedi #R = #P(N).

Hipoteza kontinuuma Hipoteza kontinuuma Ne postoji skup S za koji vrijedi ℵ 0 < #S < 2 ℵ 0 = c. Posljedica Kako vrijedi aksiom izbora, tada postoji najmanji kardinalni broj ℵ 1 > ℵ 0, odnosno ℵ 1 = 2 ℵ 0 = c. Generalizirana hipoteza kontinuuma Vrijedi ℵ α+1 = 2 ℵα.

Russellov paradoks Russellov paradoks Neka je skup S skup svih skupova koji ne sadrže sami sebe, tj. S = {X X / X }. Da li je ova definicija u skladu sa aksiomom specifikacije? Da li je skup S član skupa S? PARADOKS!

Cantorov paradoks Cantorov paradoks Neka je skup S skup svih skupova, a P(S) njegov partitivni skup. Kako su elementi partitivnog skupa P(S) skupovi, a skup S sadrži sve skupove, tada vrijedi P(S) S, odnosno #P(S) #S. Cantorov teorem tvrdi da je #S < #P(S)?! PARADOKS!

Burali-Forti paradoks Burali-Forti paradoks Neka je skup S skup svih ordinalnih brojeva (npr. prema Von Neumannovom modelu prirodnog broja). Vrijedi: 1 Svaki dobro ureden skup ima jedinstven ordinalni broj 2 Svaki segment ordinala (npr. bilo koji skup ordinala ureden u prirodnom redosljedu a koji sadrži sve prethodnike svakog svog elementa) ima ordinalni broj koji je veći od svakog ordinala unutar segmenta (što je posljedica n = n {n}) 3 Skup A svih ordinala u prirodnom poretku je dobro ureden Tada prema (1) i (3), skup A ima ordinalni broj α. Kako prema (3) vrijedi α A, tada iz (2) slijedi α < α. PARADOKS! Kako je u Von Neumannovom modelu ordinalni broj skupa jednak kardinalnom broju, dolazi se do istog paradoksa ako se primjenjuje zaključivanje za kardinalne brojeve.

Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova I Aksiom obuhvatnosti (obimnosti): Dva skupa su jednaka ako i samo ako sadrže iste elemente; Aksiom praznog skupa: Postoji skup koji nema elemenata; Aksiom neuredenog para: Za bilo koja dva skupa A i B postoji novi skup koji ima A i B kao jedine elemente; Aksiom unije: Za bilo koji skup A postoji skup čiji su elementi oni i samo oni elementi koji su elementi onih skupova koji su elementi skupa A; Aksiom partitivnog skupa: Za bilo koji skup A postoji skup koji se sastoji od svih skupova koji imaju svojstvo da je svaki njihov element ujedno i element skupa A;

Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova II Aksiom beskonačnosti: Postoji skup koji sadrži prazan skup kao svoj element i koji je takav da ukoliko je skup X neki njegov element, tada je skup koji sadrži skup X i sve elemente skupa X takoder njegov element; Aksiom regularnosti (zasnovanosti, redukcije): Medu elementima nekog skupa A koji su i sami skupovi, uvijek postoji skup koji nema zajedničkih elemenata sa skupom A; Aksiom razdvajanja (separacije): Za svaki skup A i predikat P(x) definiran nad elementima skupa A postoji skup čiji su elementi oni i samo oni elementi koji zadovoljavaju predikat P(x);

Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova III Aksiom zamjene: Iz svakog skupa A moguće je kreirati novi skup B tako što se svi elementi skupa A transformiraju po nekom zakonu; preciznije, za svaki skup A i predikat P(x, y) kod kojeg elementi x uzimaju vrijednosti iz skupa A, postoji skup B koji se sastoji od onih elemenata y koji zadovoljavaju predikat P(x, y) kada x uzima vrijednosti iz skupa A; Aksiom izbora: Za svaku kolekciju C nepraznih podskupova nekog skupa S moguće je formirati novi skup od po jednog elementa iz svakog elementa kolekcije C.

Proturječnosti ZFC teorije Banach Tarski paradoks Ako je data kugla u trodimenzionalnom prostoru, postoji njena dekompozicija u konačno mnogo medusobno disjunktnih dijelova koji se mogu uklopiti na način da tvore dvije identične kopije polazne kugle. Da li je moguće podijeliti kuglu na beskonačno mnogo medusobno disjunktnih dijelova? Hmmm...

Aksiom izbora Aksiom izbora Aksiom izbora može se neformalno iskazati na sljedeći način: Ako je dat skup nepraznih kutija, moguće je izabrati objekat iz svake od kutija Šta ako imamo jednu kutiju? Šta ako imamo konačno mnogo kutija? Šta ako imamo beskonačno mnogo kutija? Vitalijev skup Neka je relacija V relacija za koju vrijedi x V y ako i samo ako x y Q. Kako je ovo relacija ekvivalencije na skupu R, tada postoji faktor skup R/ V. Elementi ovog faktor skupa su podskupovi skupa R (kojih je neprebrojivo mnogo). Prema aksiomu izbora moguće je konstruirati novi skup (Vitalijev skup) koji za elemente uzima po jedan element iz svake od klasa ekvivalencije. Ovaj skup nije moguće odrediti i iako je podskup skupa R, on nema Lebesgueovu mjeru.

Alternativne teorije skupova 1 Zermelo Fraenkel teorija 1 Zermelo teorija skupova 2 Generalna teorija skupova 3 Kripke Platekova teorija skupova 2 Teorije zasnovane na skupovima (klasama) i pravim klasama: 1 Von Neumann Bernays Gödelova teorija skupova 2 Morse Kelley teorija skupova 3 Tarski Grothendieck teorija skupova 3 New Foundations (+ urelementi) 4 Interna teorija skupova (ne-standardna analiza)

Booleova algebra Definicija Booleova algebra je algebarska struktura (B,,,, 0, 1), gdje su, : B B B binarne operacije (join, meet), : B B unarna operacija (complement), te elementi 0, 1 B koji zadovoljavaju sljedeće osobine za a, b B: 1 a 1 = a 0 = a 2 a a = 0, a a = 1 3 a a = a a = a 4 a b = b a, a b = b a 5 (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) 6 a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) 7 (a b) = a b, (a b) = a b

Izomorooleova algebra Definicija Booleova algebra je algebarska struktura (B,,,, 0, 1), gdje su, : B B B binarne operacije (join, meet), : B B unarna operacija (complement), te elementi 0, 1 B koji zadovoljavaju sljedeće osobine za a, b B: 1 a 1 = a 0 = a 2 a a = 0, a a = 1 3 a a = a a = a 4 a b = b a, a b = b a 5 (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) 6 a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) 7 (a b) = a b, (a b) = a b

Homomorfizam Definicija Neka su A = (B,,,, 0, 1) i B = (B,,,, 0, 1) Booleaove algebre. Preslikavanje f : A B se naziva homomorfizmom ako ono zadržava cjelokupnu strukturu Booleovih algebri: f (0) = 0, f (1) = 1 f (a b) = f (a) f (b), f (a b) = f (a) f (b) f ( a) = f (a). Ako je preslikavanje bijektivno, ono se naziva izomorfizmom. Primjeri izomorfnih Booleovih algebri: ({, },,,,, ) ({, U},,, C,, U) ({1, 2, 3, 6}, NZS(x, y), NZD(x, y), n/x, 1, 6), x {1, 2, 3, 6}, n = 6

Stoneov teorem Definicija Svakoj algebri A se pridružuje topološki prostor. Ako je algebra A Booleova algebra, onda je taj topološki prostor Stoneov prostor, u oznaci S(A). Taj prostor je kompaktni potpuno nepovezan Hausdorffov prostor. Stoneov teorem Svakoj Booleova algebra A je izomorfna sa algebrom otvoreno-zatvorenih podskupova prostora S(A). Posljedica Svakoj Booleova algebra A definirana nad konačnim skupom za koji je #A = n je izomorfna sa Booleovom algebrom (P(B)),,, C,, B) ako i samo ako je #P(B) = #A.

Booleova algebra nad skupom od 4 elementa (1/2) Primjer Konstruirati Booleovu algebru nad skupom B = {0, α, β, 1} sa binarnim operatorima i i unarnim operatorom, te specijalnim elementima 0 i 1. y x y 0 α β 1 0 0 α β 1 x α α α 1 1 β β 1 β 1 1 1 1 1 1 y x y 0 α β 1 0 0 0 0 0 x α 0 α 0 α β 0 0 β β 1 0 α β 1 x x 0 1 α β β α 1 0

Booleova algebra nad skupom od 4 elementa (2/2) Primjer Konstruirati Booleovu algebru nad skupom B = {0, α, β, 1} sa binarnim operatorima i i unarnim operatorom, te specijalnim elementima 0 i 1. {a,b} 6 1 {a} {b} 2 3 α β {} 1 0 x y x = x y y = x y

Kontinualne, diskretne i digitalne veličine; Konverzija Kontinualne, diskretne i digitalne veličine A/D i D/A konverzija Uzorkovanje, kvantizacija Shannon Nyquistov teorem o uzorkovanju Rekonstrukcija analogne veličine iz diskretne: x a (t) = n= ( t ) x d (n)sa T n

Q & A