Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5.
1. Definicija parabole............................... Promatrajmo u ravnini točku F i pravac r. Potražimo skup točaka ravnine za koje vrijedi da su jednako udaljene od točke F i pravca r. Takav skup točaka nazivamo parabolom, točku F nazivamo žarištem (fokusom) parabole, a pravac r ravnalicom (direktrisom) parabole. Parabola je skup točaka koje su jednako udaljene od jedne čvrste točke - žarišta i jednog čvrstog pravca - ravnalice. Skiciranje parabole Nacrtajmo pravac r i točku F koja mu ne pripada. Spustimo okomicu iz F na pravac r. Taj je pravac os parabole. Osi parabole pripada jedna točka koja zadovoljava definiciju parabole, tj. jednako je udaljena od ravnalice i žarišta. To je polovište dužine kojoj su rubne točke žarište i nožište osi na ravnalici. Konstruirajmo to polovište. Dobivenu točku nazivamo tjemenom parabole. Povucimo proizvoljan pravac usporedan s ravnalicom. Izmjerimo na osi udaljenost pravca od ravnalice i opišimo iz žarišta kružne lukove takvog polumjera. Točke, u kojima lukovi sijeku promatrani usporedni pravac, pripadaju paraboli. Ponovimo postupak s još jednom okomicom. I na njoj ćemo dobiti dvije točke parabole. Povucimo prostoručno krivulju koja sadrži do sada dobivenih pet točaka. Krivulja će biti pravilnije nacrtana konstruiramo li više točaka. Udaljenost žarišta parabole od ravnalice nazivamo parametrom parabole i označavamo s p. slika 1 116
. Parabola u koordinatnom sustavu.................. Parabolu ćemo u koordinatni sustav smjestiti tako da ravnalica bude usporedna s y-osi i da x-os siječe na njenom negativnom dijelu, pri čemu žarište parabole pripada pozitivnom dijelu x-osi (slika ). Neka je tjeme smješteno u ishodište koordinatnog sustava. Ako je udaljenost ravnalice od žarišta p, onda je udaljenost tjemena od ravnalice jednaka udaljenosti tjemena od žarišta i iznosi p. To znači da su koordinate žarišta a jednadžba ravnalice F p, 0, x p =. slika Neka je T (x, y) bilo koja točka parabole. Izjednačavanjem njezine udaljenosti do točke F p, 0 s njezinom udaljenošću do pravca x = p, dobit ćemo jednadžbu parabole. Očito je TF = p x y + a udaljenost točke T do ravnalice r iznosi T, r = x + p, gdje je x apscisa točke T. Prema definiciji parabole vrijedi:, 117
PARABOLA TF = T, d p p x y x + = +. Nakon kvadriranja dobit ćemo: p p x px + + y = x + px +, 4 4 otkud slijedi jednadžba parabole: y = px. Ovu jednadžbu nazivamo tjemenom jednadžbom parabole jer je tjeme parabole u ishodištu. Uočimo da os parabole ima jednadžbu y = 0. Primjer 1 Odredimo koordinate žarišta i jednadžbu ravnalice i nacrtajmo parabolu kojoj je jednadžba y = 4x. Rješenje Iz jednadžbe parabole čitamo: p = 4, tj. p =, pa žarište ima koordinate F(1, 0), a ravnalica ima jednadžbu x = 1. Graf parabole prikazan je slikom 3: 118 slika 3
3. Parabola i pravac................................ Ako pravac i parabola pripadaju istoj ravnini, mogu biti u tri različita položaja, kako je prikazano slikama 4, 5 i 6. slika 4 slika 5 slika 6 Položaj pravca prema paraboli možemo odrediti pronalazeći njihove zajedničke točke, a to činimo rješavanjem sustava jednadžbi. Jednadžba je pravca linearna, a jednadžba parabole kvadratna, pa takav sustav rješavamo supstitucijom. Dobivamo kvadratnu jednadžbu za čiju diskriminantu D može vrijediti: 1. D < 0, tada kvadratna jednadžba nema realnih rješenja, pa pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka (slika 4),. D = 0, tada kvadratna jednadžba ima jedno realno rješenje, pa pravac dodiruje parabolu (slika 5), 3. D > 0, tada kvadratna jednadžba ima dva realna rješenja, pa postoje dva sjecišta pravca i parabole (slika 6); tada je pravac sekanta, Pravac koji dodiruje parabolu u jednoj točki nazivamo tangentom, a spomenutu točku nazivamo diralištem (slika 5). Primjer Odredimo međusobni položaj parabole y = x i pravca x y + = 0. Rješenje Zapišimo linearnu jednadžbu u obliku x = y, i uvrstimo u kvadratnu jednadžbu: y = (y - ) y y + 4 = 0. Izračunajmo diskriminantu te jednadžbe: D = b 4ac = 4 16 < 0. Dakle, pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka. 119
PARABOLA I kod parabole moguće je promatati duljinu tetive koja pripada pravcu okomitom na os parabole, a koji sadrži njezino žarište (slika 7). slika 7 Duljinu tetive AB dobit ćemo kao zbroj apsolutnih vrijednosti ordinata njezinih krajnjih točaka, a ove ćemo dobiti rješavanjem sustava jednadžbi: y = px Imamo: x = p. y = p p, pa je y = ± p. To znači da parametar parabole ima duljinu p. 10
4. Uvjet dodira pravca i parabole..................... Da bismo saznali koji uvjet mora zadovoljiti pravac dan jednadžbom y = kx + l da bude tangenta parabole y = px, riješit ćemo sustav jednadžbi: y = kx + l y = px. Rješenje ovog sustava ekvivalentno je rješenju kvadratne jednadžbe tj. jednadžbe (kx + l) = px, k x + x(kl p) + l = 0, a ona će imati jedno dvostruko rješenje (što će značiti i jednu točku presjeka pravca i parabole) ako joj je diskriminanta jednaka nuli. Dakle, 4(kl p) 4k l = 0 k l klp + p k l = 0 p(p kl) = 0. Budući da je nužno da bude p 0 (u protivnom parabola nije definirana), to slijedi uvjet koji moraju zadovoljiti parabola i pravac da bi se dodirivali u jednoj točki: p = kl. Primjer 3 Odredimo jednadžbe tangenata na parabolu zadanu jednadžbom y = 5x koje sadrže točku T ( 1, ). Rješenje Tražimo li jednadžbu tangente y = kx + l, koordinate točke T moraju zadovoljavati tu jednadžbu: = k + l, odakle je l = k. 11
PARABOLA Parametar p = 5 te k i l = k moraju zadovoljiti i uvjet dodira pravca parabole: 5 = k (k ), što vodi na rješavanje kvadratne jednadžbe: 4k 8k 5 = 0, čija su rješenja k 1 = 5, k = 1. Odgovarajući odsječci tangenata na osi ordinata jesu: l 1 = 1, l = 5. Dakle, jednadžbe traženih tangenata su: y = 5 x + 1 i y = 5 x 5. 1
5. Jednadžba tangente u točki parabole............... Neka je zadana parabola y = px i njezina točka D(x 1, y 1 ). Pravac, koji sadrži tu točku ima jednadžbu y y 1 = k(x x 1 ), gdje je k koeficijent smjera, a odsječak na y-osi l = y 1 kx 1. Da bi taj pravac bio tangenta parabole, mora biti zadovoljen uvjet dodira: p = k (y 1 kx 1 ), što vodi na rješavanje kvadratne jednadžbe k x 1 ky 1 + p = 0. Budući da točka D pripada paraboli, vrijedi: 4y 1 8x 1 p = 0, pa prethodna jednadžba ima jedinstveno rješenje Sada je jednadžba tangente što možemo zapisati i ovako: k y x. = 1 1 y y y = 1 x x x 1 1 ( ), x 1 y 1 y = px 1 (x + x 1 ). Dijeljenjem jednadžbe s x 1 0 dobivamo jednadžbu tangente u točki parabole: 1 y 1 y = p(x + x 1 ). Iz rješenja gornje kvadratne jednadžbe možemo iščitati koordinate dirališta: D p k, Pravac okomit na tangentu koji sadrži diralište nazivamo normalom parabole. p k 13
PARABOLA Primjer 4 Napišimo jednadžbu tangente i normale na parabolu jednažbe y = 8x u točki parabole D(x, 4). Rješenje Najprije treba odrediti nepoznatu koordinatu dirališta iz uvjeta da točka pripada paraboli: 4 = 8x, odnosno x =. Budući da je p = 4, jednadžba tangente glasi: 4y = 4(x + ) y = x +. Zbog uvjeta okomitosti koeficijent smjera normale iznosi 1. Budući da i normala sadrži diralište D(, 4), njezinu ćemo jednadžbu dobiti kao jednadžbu pravca zadanom točkom i zadanog koeficijenta smjera: y 4 = (x ) y = x + 6. 14
Zadaci 1. Konstruiraj parabolu kojoj je udaljenost žarišta od ravnalice a) 6 cm, b) 8 cm.. Zadano je žarište parabole. Napiši jednadžbu ravnalice, nacrtaj ravnalicu i žarište te skiciraj parabolu ako je: a) F(3, 0) b) F(, 0), c) F 1, 0. 3. Nacrtaj parabolu i odredi koordinate žarišta ako je ravnalica zadana jednadžbom: a) x = 1, b) x =, c) x = 3. 4. Nacrtaj parabolu i napiši njezinu jednadžbu ako je: a) jednadžba ravnalice x = 5, b) jednadžba ravnalice x = 0.5, c) žarište F(.5, 0). 5. Nacrtaj parabolu, odredi koordinate žarišta i napiši jednadžbu ravnalice ako je jednadžba parabole: a) y = x, b) y = 4x, c) y = 5x. 6. Koje su krajnje točke tetive duljine p koja je okomita na x-os ako jednadžba parabole glasi a) y = 8x, b) y = 0.5x? 7. Koja od točaka A( 4, ), B 1 1,, 4 = x? 8. Odredi nepoznatu koordinatu točke T(x, 1) tako da ona pripada paraboli: a) y = 4x, b) y = 0.5x. 9. Napiši jednadžbu parabole y = px ako parabola sadrži točku a) T(, 8), b) T(1, ). 10. Odredi koordinate točaka A i B koje pripadaju paraboli y = x, a zatim izračunaj površinu trokuta OAB ako je apscisa zadanih točaka a), b) 8, c) 18. 11. Koliko zajedničkih točaka imaju pravac i parabola zadani jednadžbama: a) x 3y + = 0, y = x, b) x y + = 0, y = x, c) x y + 1 = 0, y = 3x? 15
1. Odredi sjecište parabole y = x i pravca: a) x + y = 0, b) x y + 1 = 0, c) x + y + = 0. 13. Odredi duljinu tetive koju na zadanom pravcu odsjeca parabola y = x a) x 3y + 4 = 0, b) x 4y + 6 = 0. 14. Odredi opseg trokuta OS 1 S, gdje su S 1 i S sjecišta pravca x = 4 i parabole a) y = x, b) 9x y = 0, c) y = 4x. 15. Zadana je parabola i dva pravca koji je dodiruju u točkama D 1 i D. Neka je S sjecište zadanih pravaca. Odredi površinu trokuta SD 1 D. a) y = x, x y + 1 = 0, x + y + 1 = 0, b) y = 4x, x y + 1 = 0, x + y + 1 = 0, c) y = 6x, x y + 6 = 0, x + y + 6 = 0. 16. Odredi koeficijent smjera pravca y = kx + tako da pravac dodiruje parabolu a) y = 8x, b) y = 16x. 17. Odredi parametar parabole y = px tako da zadani pravac bude njezina tangenta ako je jednadžba pravca a) y = 3x + 1, b) x y + 4 = 0. 18. Napiši jednadžbu tangente parabole y = 18x koja je usporedna s pravcem a) y = 3x + 1, b) x y + 4 = 0. 19. Napiši jednadžbe tangenata na parabolu y = 8x koje su okomite na pravac a) y = 3x + 1, b) x y + 4 = 0. 0. Napiši jednadžbe tangenata na parabolu y = 6x koje sadrže točku a) T(4, 5), b) T( 6, 0). 1. Pod kojim se kutem vidi parabola y = 4x iz točke a) T(6, 5), b) T( 4, 0)?. Kolika je udaljenost zadanog pravca od parabole y = 18x, ako pravac ima jednadžbu a) y = 6x + 10, b) y = 3x + 1? 3. Odredi koordinate dirališta tangente iz točke T(6, 8) na parabolu y = 8x. 16
4. Odredi jednadžbu tangente i normale na parabolu y = 4x u njezinoj točki a) T(4, 4), b) T(9, 6). 5. Kolika je površina trokuta kojega s y-osi čine tangenta i normala u točki parabole s apscisom ako jednadžba parabole glasi a) y = 8x, b) y = x? 6. U sjecištima pravca p... x + y 3 = 0 s parabolom y = 8x povučene su tangente. Pod kojim sekutem iz njihova sjecišta vidi tetiva koja pripada pravcu p? 7. Odredi kut između pravca i parabole y = 8x, ako pravac ima jednadžbu a) x + y 3 = 0, b) x y = 0. 8. Odredi i nacrtaj sjecišta kružnice i parabole: a) x + y =, y = x, b) (x - 1) + y = 1, y = x, c) x + y = 5, 3y 16x = 0. 9. Odredi sjecišta elipse i parabole ako su zadane njihove jednadžbe: a) 9x + 16y = 5, y = x, b) 4x + y = 5, 9x y = 0. 30. Odredi i nacrtaj sjecišta hiperbole i parabole zadanih jednadžbama: a) x 3y = 1, y x = 0, b) y = x, c) x y = 1, 9x 0y = 0. 31. Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata parabole y = 4x i kružnice a) 5x + 5y = 16, b) 10x + 10y = 81. 3. Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata parabole y = 8x i elipse a) x + 3y = 3, b) 48x + 4y = 3. 33. Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata parabole y = x i hiperbole a) 3x 16y = 48, b) 5x 144y = 70. 34. Žarište parabole y = px podudara se sa žarištem hiperbole 16x 9y = 144. Kako glasi jednadžba parabole? Kolika je duljina zajedničke tetive? 35. Pod kojim kutom parabola y = x siječe a) kružnicu x + y = 8, b) elipsu x + 3y = 16, c) hiperbolu 4x 3y = 4? 36. Pod kojim se kutom vidi parabola y = 16x iz žarišta elipse 8x + 9y = 7 kojemu je apscisa negativna? 37. Kolika je površina trokuta upisanog kružnici (x 5) + y = 5 i paraboli 9x 4y =0? 17
Rješenja. a) x = 3, b) x =, c) x = 1. 3 3. a) F(1, 0), b) F(, 0), c), 0 4. a) y = 0x, b) y = x, c) y = 10x. 5. a) F(0.5, 0), x + 1 = 0, b) F(1, 0), x + 1 = 0, c) F 1 1 4, 0, 4x + 5 = 0. 6. Zadana tetiva sadrži žarište, pa je apscisa traženih točaka p, a ordinata iznosi p. 1 1 1 1 a) A(, 4), B(, 4), b) A,, B,. 16 8 16 8 7. B, C i D. 18
8. a) A 1 4 1, b) T(4, 1). 9. a) y = 3x, b) y = 4x. 10. a) A(, ), B(, ), P = 4, b) A(8, 4), B(8, 4), P = 3, c) A(8, 6), B(8, 6), P = 108. 11. a) dvije, b) jednu, c) niti jednu. 1. a) A(1, 1), B(4, ), b) A(1, 1), c) nema sjecišta. 13. a) 10 b) 4 17. 14. a) ( 4 5+ 1), b) 4( 13+ 3) c) 81 ( + ). 15. a) D 1 (1, 4), D (1, 1), S( 1, 0), P =, b) D 1 (1, ), D (1, ), S( 1, 0), P = 4, c) D 1 (6, 6), D (6, 6), S( 6, 0), P = 7. 16. a) k = 1, b) k =. 17. a) p = 1, b) p = 4. 18. a) y = 3x + 1.5, b) y = 0.5x + 9. 19. a) x + 3y + 18 = 0, b) x + y + 1 = 0. 0. a) 3x 4y + 8 = 0, x y + 6 = 0, b) x y + 6 = 0, x + y + 6 = 0. 1. a) t 1... x 3y + 9 = 0, t... x y + 4 = 0, φ = 8 7 48, b) t 1... x + y + 4 = 0, t... x y + 4 = 0, φ = 53 7 48.. a) Tangenta na parabolu usporedna sa zadanim pravcem ima jednadžbu 4x 4y + 3 = 0, pa je udaljenost promatranih pravaca d = 37 4. b) t... 6x y + 3 = 0, d = 10 0. 3. D(, 4). 4. a) t... x y + 4 = 0, n... x + y 1 = 0, b) t... x 3y + 9 = 0, n... 3x + y + 36 = 0. 5. a) t... y = x +, n... y = x + 6, vrhovi trokuta: A(0, ), B(0, 6), D(,4), P = 4, b) t... x y + = 0, n... x + y 6 = 0, A(0, 1), B(0, 6), D(, ), P = 5. 6. S 1 ( 1, ), S (9, 6), t... x y + 1 = 0, t...x + 3y + 9 = 0, S( 3, ), φ = 8 5 30. 1 7. Tangenta na parabolu u sjecištu S( 9, 6) ima jednadžbu x + 3y + 9 = 0 i ona sa zadanim pravcem čini kut φ = 9 44 4, b) S(8, 8), t... x y + 8 = 0, φ = 18 6 6. 8. a) (1, 1), (1, 1), b) (0, 0), (1, 1), (1, 1), c) (3, 4), (3, 4). 9. a) (1, 1), (1, - 1), b) (, 3), (, -3). 5 3 5 3 30. a) (, 1), (, 1), b) (6, 3), (6, 3), c),,,. 4 4 4 4 31. a) x + y + 4 = 0, x y + 4 = 0, b) x + 3y + 9 = 0, x 3y + 9 = 0. 3. a) x + y + = 0, x y + = 0, b) x + y + 1 = 0, x y + 1 = 0. 33. a) x + y + = 0, x y + = 0, b) x + 4y + 8 = 0, x 4y + 8 = 0. 34. y = 0x, A(1, 4 15), B(1, 4 15), d = 8 15. 35. a) 71 33 54, b) 45, c) 6 33 54. 36. 16 5 1. 37. S 1 (4, 3), S (4, 3), O(0, 0), P = 1. 19