1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu

Σχετικά έγγραφα
1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Analitička geometrija

Elementi spektralne teorije matrica

IZVODI ZADACI (I deo)

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

OTPORNOST MATERIJALA

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

1.1 Tangentna ravan i normala površi

1 Kinematika krutog tela

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

5 Ispitivanje funkcija

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

( , 2. kolokvij)

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017.

Drugi deo (uvoda) Vektori

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

SLOŽENO KRETANJE TAČKE

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

4 Numeričko diferenciranje

4 Izvodi i diferencijali

Teorijske osnove informatike 1

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

y = f(m) ili y = f(x 1, x 2,...,x n ). (1.1)

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

5. Karakteristične funkcije

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

8 Funkcije više promenljivih

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

IZVODI ZADACI (I deo)

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

1 Promjena baze vektora

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Transcript:

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo da se deo trajektorije između tačaka M 1 i M 2 može aproksimirati kružnim lukom poluprečnika R razapetim nad uglom ϕ. Krug sa centrom u tački C koji najbolje aproksimira krivu u tački P naziva se oskulatorni krug. Ovaj krug sadrži tačku P i njoj dve beskonačno bliske tačke i, dakle, nalazi se u oskulatornoj ravni. Jedinični vektor tangente pri kretanju materijalne tačke menja orijentaciju, tako da je u vremenskom intervalu t priraštaj jediničnog vektora tangente e τ, kao što je prikazano na slici. Na osnovu jednakosti uglova sa normalnim kracima, lako se ustanovi da je ugao koji zaklapaju e τ (t) i e τ (t+ t) jednak ϕ. Pored toga, trougao AM 1 B je jednakokraki, tako da je ugao koji zaklapaju e τ (t) i e τ (t+ t) sa e τ jednak β = π/2 ϕ/2. Slika 1: Uz izvođenje izraza za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu. Iskoristimo izvedeni izraz za brzinu u prirodnom koordinatnom sistemu: Ubrzanje je: v = v e τ. (1) a = d v dt = d(v e τ) = dv dt dt e τ +v d e τ dt. (2) Primetimo da se, dok se materijalna tačka kreće po kružnom luku (delu oskulatornog kruga), vrh vektora e τ kreće po kružnom luku sa centrom u tački M 1, odnosno vektor e τ rotira u oskulatornoj ravni. Stoga se može koristiti izvedeni izraz za prvi izvod jediničnog vektora koji rotira u ravni, koji u kontekstu prirodnog koordinatnog sistema ima oblik: d e τ dt = ϕ( e b e τ ) = ϕ e n = R ϕ R e n = d(rϕ) dt Izraz za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu je: e n = ds dt e n = v R e n. (3) a = a τ + a n = v e τ + v2 R e n, (4) 1

gde su vektor tangencijalnog ubrzanja i vektor normalnog ubrzanja, respektivno. a τ = v e τ = dv dt e τ, (5) a n = v2 R e n (6) Prvi izvod jediničnog vektora tangente može se odrediti pomoću geometrijske konstrukcije, na sličan način kako su određeni izvodi jediničnih vektora e ρ i e ϕ. Najpre izvršimo zamenu promenljive Izraz za ubrzanje u prirodnom koordinantom sistemu je, dakle: d e τ dt = d e τ ds ds dt = vd e τ ds. (7) a = dv dt e τ +v 2d e τ ds. (8) Primetimo da je: Takođe: e τ ϕ. (9) s R ϕ, (10) gde je s = s(t 2 ) s(t 1 ). Intenzitet vektora d e τ /ds je, prema tome: d e τ ds = lim e τ ϕ = lim s 0 s s 0 R ϕ = 1 = K, (11) R gde je K krivina trajektorije u datoj tački trajektorije (tački M 1 ). je: Ako s 0 tada ϕ 0, a ugao na osnovici jednakokrakog trougla formiranog od e τ (t), e τ (t+ t) i e τ ( π β = lim ϕ 0 2 ϕ ) = π 2 2. (12) Ovo znači da d e τ /ds ima pravac normale na trajektoriju. Primetimo da se smer d e τ poklapa sa smerom e n ako je ds > 0, dok je za ds < 0 smer d e τ suprotan od smera e n. Dakle, u opštem slučaju smer d e τ /ds se poklapa sa smerom e n. Sledi, dakle, da je izraz za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu: a = v e τ + v2 R e n, (13) što je već pokazano. Definišimo vektor krivine trajektorije K u datoj tački trajektorije (u datom vremenskom trenutku): K = K e n. (14) Izraz za vektor ubrzanja je: a = v e τ +v 2 K. (15) Primetimo da se a τ i a n definišu za proizvoljno krivolinijsko kretanje. Pri tome se a τ, a n, R i K odnose na datu tačku trajektorije, odnosno dati vremenski trenutak. Vektor normalnog ubrzanja uvek je usmeren ka centru krivine trajektorije u datoj tački (tačka M 1 na slici 1). Lako se zaključi da je stoga vektor vektor ubrzanja 2

Slika 2: (a) Ubrzano krivolinijsko kretanje. (b) Usporeno krivolinijsko kretanje. (c) Ravnomerno krivolinijsko kretanje. materijalne tačke uvek usmeren ka konkavnoj strani trajektorije. Vektor a nema komponentu u pravcu binormale, što znači da leži u oskulatornoj ravni. Ukoliko je poznata zavisnost a τ = a τ (t) moguće je odrediti zavisnost v(t) rešavanjem diferencijalne jednačine dv dt = a τ(t). (16) Razdvajanjem promenljivih dv = a τ dt, (17) i integraljenjem dobija se rešenje u formi: Ako je, na primer, a τ = const, lako se dobije: v v 0 dv = a(t)dt t v(t) = v 0 + 0 t 0, (18) a τ (t)dt. (19) v(t) = v 0 +a τ t. (20) Na sličan način, koristeći dobijenu zavisnost algebarske vrednosti intenziteta brzine od vremene i ds dt = v(t), (21) dobije se: s(t) = s 0 +v 0 t+ 1 2 a τt 2. (22) Treba primetiti da oblik dobijene jednačine kretanja materijalne tačke duž trajektorije s = s(t) za a τ = const ne zavisi od oblika trajektorije. Bez gubitka opštosti, da bismo razmotrili kako kretanje zavisi od znaka a τ, pretpostavićemo da se smer brzine poklapa sa orijentacijom trajektorije. U zavisnosti od smera a τ u odnosu na smer v mogu se razlikovati tri slučaja krivolinijskog kretanja. 3

je U prvom slučaju, prikazanom na slici 2(a), tangencijalno ubrzanje je orijentisano kao vektor brzine, tako da a τ (t) > 0 dv dt > 0, (23) što znači da se intenzitet brzine povećava u funkciji vremena. Ovde je dakle reč o ubrzanom kretanju (po datoj krivolinijskog putanji). U drugom slučaju, prikazanom na slici 2(b), tangencijalno ubrzanje je suprotno orijentisano od vektora brzine, tako da je a τ (t) < 0 dv dt < 0, (24) što znači da intenzitet brzine opada u funkciji vremena. Ovde je dakle reč o usporenom kretanju. U trećem slučaju, prikazanom na slici 2(c), tangencijalno ubrzanje je jednako nuli u svakom vremenskom trenutku, tako da je: a τ (t) = 0 dv dt = 0 v = const. (25) Poslednji oblik kretanja, sa konstantnim intenzitetom brzine, je ravnomerno krivolinijsko kretanje. Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja vektor ubrzanje je orijentisan ka centru trajektorije u tački u kojoj se nalazi materijalna tačka u datom vremenskom trenutku, odnosno samo je normalna komponenta ubrzanja različita od nule. U ovom slučaju vektor brzine i vektor ubrzanja zaklapaju pravi ugao. Intenzitet ubrzanja jednak je: a = ( ) v a 2 τ +a2 n ( v) = 2 2 2 +. (26) R Orijentacija vektora ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu definisana je kosinusima pravca prema tangenti i normali: 1 2 Sektorska brzina cos ( a, e τ ) = a τ a, (27) cos ( a, e n ) = a n a. (28) Pri kretanju materijalne tačke njen radijus vektor u vremenskom intervalu t prebriše površinu P. Ako je vremenski interval t mali, prebrisana površina radijus vektorom materijalne tačke može se aproksimirati površinom trougla prikazanog na slici 3. Sektorska brzina određuje kako se u toku vremena vrši prebrisavanje površine radijus vektorom materijalne tačke. Prebrisanoj površini pridružimo vektorsko svojstvo. Intenzitet vektora P je P = P, pravac P je normalan na prebrisanu površinu, a smer P određuje se pomoću pravila desne zavojnice u odnosu na smer kretanja materijalne tačke (smer kretanja r). Vektor prebrisane površine je, dakle, Sektorska brzina je: 1 Konsinus pravca prema binormali u svakom vremenskom trenutku jednak je nuli. P = 1 ( r r). (29) 2 P v S = lim t 0 t = lim 1 r r t 0 2 t. (30) 4

Slika 3: Vektor prebrisane površine P. Koristeći v = r = lim t 0 r/ t, za vekor sektorske brzine dobije se: v S = 1 r v. (31) 2 Merna jedinica za sektorsku brzinu je kvadratni metar u sekundi: [v S ] = m2 s. (32) Izraz za sektorsku brzinu u Dekartovom koordinatnom sistemu je: v S = 1 i j k 2 x y z. (33) ẋ ẏ ż Ako je kretanje u xy ravni, v S = 1 i j k 2 x y 0 = 1 2 (xẏ ẋy) k, (34) ẋ ẏ 0 što znači da je vektor sektorske brzine normalan na ravan kretanja materijalne tačke. Izraz za sektorsku brzinu u cilindričnom koordinatnom sistemu je: v S = 1 e ρ e ϕ e z 2 ρ 0 z. (35) ρ ρ ϕ ż Ako se materijalna tačke kreće u polarnoj ravni r = ρ e ρ, (36) v = ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ. (37) Sektorska brzina je: v S = 1 2 r v = 1 2 ρ e ρ ( ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ ), (38) 5

Konačno, v S = 1 2 ρ ρ 0 e ρ e ρ + 1 2 ρ2 ϕ e ρ e ϕ. }{{} e z (39) v S = 1 2 ρ2 ϕ e z. (40) Algebarska vrednost intenziteta sektorske brzine je: v S = 1 2 ρ2 ϕ. (41) Primetimo da je vektor v S normalan na polarnu ravan, a smer sektorske brzine zavisi od znaka prvog izvoda polarnog ugla ϕ po vremenu: ϕ > 0: v S je u smeru e z ; ϕ < 0: v S je u suprotnom smeru od e z. Naposletku primetimo da na osnovu izraza za cirkularno ubrzanje a ϕ = 1 d ρdt (ρ2 ϕ) (42) i izraza (41) sledi a ϕ = 2 d(v S ) = 2 v S ρ dt ρ. (43) 3 Srednja vrednost vektora brzine, pređeni put i srednja vrednost intenziteta vektora brzine Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici, tako da je vektor pomeraja u vremenskom intervalu of t 1 do t 2 ( t = t 2 t 1 ) jednak r. Srednja vednost vektora brzine, u oznaci v sr ili v, je: S obzirom da je: srednja vrednost vektora brzine je: r 0 v sr v = r t. (44) / d r = v(t)dt v sr = / t 2 t 1, (45) t2 t 1 v(t)dt t 2 t 1. (46) Posmatrajmo dijagrame zavisnosti algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine v(t) i intenziteta vektora brzine v (t), koji su prikazani isprekidanom i punom linijom na slici, respektivno. Treba primetiti da se u vremenskim intervalima t [t 1,t ] i t [t,t 2 ] zavisnosti v(t) i v (t) poklapaju, jer je v(t) > 0. Elementarni pređeni put u vremenskom intervalu [t,t+dt] jednak je: ds = ds = v(t)dt = v(t) dt = v (t)dt. (47) 6

Slika 4: Uz definiciju srednje vrednosti vektora brzine. Pređeni put u vremenskom intervalu od t 1 do t 2 je: Ako je v (t) = const, tada je pređeni put: S t1,t 2 = t 2 S t1,t 2 = v t 2 t 1 v (t)dt. (48) t 1 dt = v (t 2 t 1 ). (49) Ako zavisnost algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine v(t) ima oblik prikazan na slici 5, pređeni put od t 1 do t 2 je: S t1,t 2 = t 2 t 1 v (t)dt = Srednja vrednost intenziteta vektora brzine je: t t 1 v(t)dt+ t t ( v(t))dt+ t 2 t v(t)dt. (50) v = v = S t 1,t 2 t 2 t 1. (51) Slika 5: Ilustračija izračunavanja pređenog puta. 7

4 Veza između vektora brzine u Dekartovim i polarnim koordinatama Posmatramo kretanje u polarnoj (xy ravni). Podsetimo se da su veze između Dekartovih i polarnih koordinata: x = ρcosϕ y = ρsinϕ. (52a) (52b) Pored toga, projekcije brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu su: v x = ẋ v y = ẏ. (53a) (53b) Takođe, projekcije brzine u polarnom koordinatnom sistemu su: v ρ = ρ v ϕ = ρ ϕ. (54a) (54b) Projekcije brzine u Dekartovim koordinatama su: v x = ẋ = d dρ (ρcosϕ) = dt dt cosϕ ρsinϕdϕ dt = v ρcosϕ v ϕ sinϕ, (55) v y = ẏ = d dρ (ρsinϕ) = dt dt sinϕ+ρcosϕdϕ dt = v ρsinϕ+v ϕ cosϕ. (56) Veza između projekcija brzina u dva kooordinatna sistema može se predstaviti u matričnoj formi: v x cosϕ sinϕ = ρ. v y sinϕ cosϕ v ϕ (57) } {{ } T Ako su poznate v x i v y, projekcije v ρ i v ϕ se određuju na osnovu: v ρ = T 1 v x cosϕ sinϕ = v x, (58) sinϕ cosϕ v ϕ gde je T 1 inverzna matrica matrici T. v y v y 5 Određivanje a τ i a n na osnovu parametarskih jednačina kretanja u Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu Smatramo da su poznate parametarske jednačine kretanja materijalne tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu: x = x(t), y = y(t), z = z(t). (59a) (59b) (59c) Pretpostavimo da se orijentacija trajektorije u prirodnom koordinatnom sistemu poklapa sa smerom brzine u trenutku t. Ukoliko ovo nije ispunjeno kretanje u trenutku t može se opisati tako što se obrne orijentacija trajektorije. 8

Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu je: Pomnožimo skalarno ovaj izraz sa v = v e τ : a = a τ + a n = a τ e τ +a n e n. (60) ( v = v e τ ) S obzirom da su vektori e τ i e n međusobno ortogonalni ( e τ e n = 0), sledi: / a = a τ e τ +a n e n. (61) v a = v e τ (a τ e τ +a n e n ) = va τ. (62) Na osnovu činjenice da se orijentacija trajektorije poklapa sa smerom brzine u datom vremenskom trenutku, algebarska vrednost intenziteta vektora brzine je pozitivna, tako da je v = v, pa je tangencijalno ubrzanje: a τ = v a v = ẋẍ+ẏÿ +ż z ẋ2 +ẏ 2 +ż 2. (63) Primetimo i da je za v = v : a τ = v = dv dt = d v dt a τ u izrazima (63) i (64) ima algebarsko značenje: (64) ako v a > 0, tada a τ > 0; ovakvo kretanje je ubrzano: tada je d v /dt > 0; ako v a < 0, tada a τ < 0, ovakvo kretanje je usporedno: tada je d v /dt < 0. Formirajmo sada vektorski proizvod vektora brzine i vektora ubrzanja, pri čemu je vektor ubrzanja dat u prirodnom koordinatnom sistemu: ( v = v e τ ) / a = a τ e τ +a n e n, (65) Koristeći činjenicu da su jedinični vektori u prirodnom koordinatnom sistemu međusobno upravni sledi: v a = va n e b, (66) gde je e b jedinični vektor binormale. Podsetimo se da je a n 0, t.j. a n ima smer normale. S obzirom da su pravac i smer a n poznati, dovoljno je odrediti intenzitet vektora normalnog ubrzanja: v a = v a n, (67) odakle sledi: a n = v a v = (ẏ z żÿ)2 +(żẍ ẋ z) 2 +(ẋÿ ẏẍ) 2 ẋ2 +ẏ 2 +ż 2. (68) Poluprečnik krivine trajektorije u datoj tački trajektorije je: R = v2 a n = (ẋ 2 +ẏ 2 +ż 2 ) 3/2 (69) (ẏ z żÿ)2 +(żẍ ẋ z) 2 +(ẋÿ ẏẍ) 2. Ako se materijalna tačka kreće u xy ravni: i j k v a = ẋ ẏ 0 = (ẋÿ ẏẍ) k. (70) ẍ ÿ 0 9

Normalno ubrzanje je: a n = ẋÿ ẏẍ ẋ2 +ẏ 2. (71) Poluprečnik krivine trajektorije materijalne tačke koja se kreće u xy ravni je: R = v2 = (ẋ2 +ẏ 2 ) 3/2. (72) a n ẋÿ ẏẍ Poluprečnik krivine trajektorije mterijalne tačke koja se kreće u xy ravni može se izračunati i ako je poznata eksplicitna forma jednačine kretanja materijalne tačke u koordinatnom obliku: y = y(x). (73) Koristimo: Odavde sledi: y = d2 y dx 2 = d dx ( ) dy = d ( dy dx dx dt ) dt = dt dx dx (ẏ ) d dt ẋ = 1 ẋÿ ẏẍ ẋÿ ẏẍ ẋ ẋ 2 = ẋ 3. (74) ẋÿ ẏẍ = y x 3. (75) Izraz za poluprečnik krivine trajektorije je: R = v2 = (ẋ2 +ẏ 2 ) 3/2 a n ẋÿ ẏẍ Konačno je izraz za poluprečnik krivine trajektorije: = [ẋ2 (1+y 2 ) ] 3/2 ẋ 3 y. (76) R = (1+y 2 ) 3/2 y. (77) Ako se za opis kretanja koristi cilindrični koordinatni sistem (ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t), z = z(t)), algebarska vrednost intenziteta tangencijalnog ubrzanja je: Intenzitet normalnog ubrzanja je: a τ = v a v = v ρa ρ +v ϕ a ϕ +v z a z. (78) vρ 2 +v2 ϕ +v2 z a n = (vϕ a z v z a ϕ ) 2 +(v z a ρ v ρ a z ) 2 +(v ρ a ϕ v ϕ a ρ ) 2 vρ 2, (79) +v2 ϕ +v2 z a poluprečnik krivine trajektorije je: R = (vρ 2 +vϕ 2 +vz) 2 3/2 (80) (vϕ a z v z a ϕ ) 2 +(v z a ρ v ρ a z ) 2 +(v ρ a ϕ v ϕ a ρ ) 2. Slično kao u Dekartovom koordinatnom sistemu, ako je poznato ρ = ρ(ϕ), može se izvesti izraz za poluprečnik krivine u datoj tački trajektorije: gde su: Izvođenje izraza (81) se ostavlja čitaocu za vežbu. R = (ρ2 +ρ 2 ) 3/2 ρ 2 +2ρ 2 ρρ, (81) ρ = dρ dϕ, ρ = d2 ρ dϕ2. (82) 10

Slika 6: Ugaona brzina i ugaono ubrzanje. 6 Kružno (rotaciono) kretanje materijalne tačke Kružno (rotaciono) kretanje materijalne tačke je specijalan slučaj krivolinijskog kretanja tačke po kružnici. Ovo kretanje se odvija u jednoj ravni (komplano kretanje), kao što je prikazano na slici 6. Posmatrajmo kretanje po kružnici poluprečnika R. Za dato R, pozicija materijalne tačke određena je samo uglom rotacije ϕ (polarni ugao u polarnom koordinatnom sistemu). Kružno kretanje opisano je jednom parametarskom jednačinom: ϕ = ϕ(t). (83) Pridružimo vektorsko svojstvo diferencijalno malom uglu d ϕ, sa sledećim svojstvima: intenzitet d ϕ je d ϕ = ds R ; vektor d ϕ je normalan na ravan kretanja materijalne tačke (pravac binormale); smer d ϕ je određen po pravilu desne zavojnice prema smeru kretanja materijalne tačke. Pošto smo definisali vektor d ϕ, definišimo vektor ugaone brzine: Merna jedinica za ugaonu brzinu je radijan u sekundi: Karakteristika kretanja je i period obrtanja (period rotacije), što je vreme za koje se materijalna tačka obrne za pun krug. Vektor ugaonog ubrzanja je: ω = d ϕ dt = ϕ.. (84) [ω] = rad s. (85) T = 2π ω, (86) α = d ω dt = ω = ϕ. (87) 11

Jedinica za ugaonu brzinu je radijan u sekundi na kvadrat: [α] = rad s 2. (88) Poseban slučaj kružnog kretanja je ravnomerno kružno kretanje, koje se obavlja pod uslovom α = 0 ω = const. Primetimo da pri rotaciji materijalne tačke vektor položaja materijalne tačke u odnosu na proizvoljnu tačku na osi rotacije r i vektor položaja materijalne tačke u odnosu na centar kružne putanje R rotiraju oko ose rotacije. Pored toga, za kružno kretanje materijalne tačke važi: poluprečnik krivine trajektorije R isti je u bilo kojoj tački trajektorije: to je poluprečnik kružnice; oskultatorna ravan je ista za sve tačke trajektorije: to je ravan kružne putanje; centar krivine isti je i nepromenljiv u prostoru za svaku tačku trajektorije: to je centar kružnice. 7 Periferna (linijska) brzina i periferno (linijsko) ubrzanje Perifernom (linijskom) brzinom i perifernim (linijskim) ubrzanjem materijalne tačke nazivamo brzinu i ubrzanje, respektivno, materijalne tačke pri kružnom kretanju. Slika 7: Periferna brzina. Izvedimo poseban izraz za perifernu brzinu. Pođimo od izraza za vektor brzine materijalne tačke koja se kreće kružno u prirodnom koordinatnom sistemu, u kome je referentna tačka O postavljena kao na slici 7: Vektor ugaone brzine je: a vektor položaja materijalne tačke u odnosu na centar kružnice je: v = v e τ = ds dt e τ = R dϕ dt e τ. (89) ω = dϕ dt e b, (90) R = R e n. (91) Vektor brzine sada možemo pisati u obliku: v = Rω e τ, (92) 12

gde je ω algebarska vrednost intenziteta vektora ugaone brzine. Pored toga, Koristeći izraz (92) i poslednju relaciju, vektor brzine je dat sa: Ako je pol proizvoljna tačka na osi rotacije, tako da je vektor položaja R materijalne tačke u odnosu na centar kružne putanje je: tako da je periferna brzina (vektori ω i d su kolinearni): Periferno ubrzanje je: odnosno: e τ = e n e b = e b ( e n ). (93) v = ω e b ( R e n ) = ω R. (94) OC = d, (95) R = r d, (96) v = ω ( r d) = ω r. (97) a = d v dt = d dω d r ( ω r) = r+ ω dt dt dt, (98) a = α r + ω ( ω r). (99) }{{}}{{} e τ e n Ovo je izraz za periferno ubrzanje. S obzirom da je prvi vektor u izrazu sa desne strane paralelan e τ, a drugi e n, lako se zaključi: a τ = α r, a n = ω v = ω ( ω r). (100a) (100b) 8 Dodatak III predavanju: Sferni koordinatni sistem Sferni koordinatni sistem se definiše kao na slici 8. Uvedimo pomoćni Dekartov koordinatni sistem sa početkom (tačka O) u centru zamišljene sfere. Odmeri se najpre rastojanje materijalne tačke od koordinatnog početka r. Potom se odredi ugao koji vektor položaja materijalne tačke zaklapa sa z osom θ, a zatim ugao koji projekcija vektora položaja na xy ravan zaklapa sa x osom ϕ. Pri računanju θ i ϕ referentni pravci su z i x osa, respektivno. Pojedine koordinate u ovom koordinatnom sistemu su: r : radijus; θ: polarni ugao; ϕ: azimutni ugao. Jedinični vektori pojedinih karakterističnih pravaca su: e r : usmeren duž vektora položaja; e θ : ima pravac tangente na meridijan, a smer mu je u smeru porasta ugla θ; e ϕ : ima pravac tangente na paralelu, a smer mu je u smeru porasta ugla ϕ. 13

Slika 8: Sferni koordinatni sistem. 9 Dodatka III predavanju: Vektor brzine u sfernom koordinatnom sistemu Koristimo izraz za vektor položaja u sfernom koordinatnom sistemu: Vektor brzine je: r = r e r. (101) v = ṙ e r +r d e r dt. (102) Da bismo odredili izvod e r po vremenu, izvedimo prvo veze između jediničnih vektora u sfernom i Dekatovom koordinantom sistemu. Bilo koji vektor može se izraziti pomoću njegovih projekcija na ose Dekartovog koordinatnog sistema, tako da se za jedinični vektor e r može pisati: Projekcije jediničnog vektora e ρ na pojedinačne ose su:: e r = ( e r i) i+( e r j) j +( e r k) k. (103) e r i = sinθcosϕ, (104) e r j = sinθsinϕ, (105) e r k = cosθ. (106) Na sličan način se mogu odrediti projekcije preostala dva jedinična vektora u sfernom koordinatnom sistemu na ose Dekartovog koordinatnog sistema, tako da su veze između e r, e θ i e ϕ i i, j i k: e r = sinθcosϕ i+sinθsinϕ j +cosθ k, e θ = cosθcosϕ i+cosθsinϕ j sinθ k, e ϕ = sinϕ i+cosϕ j. (107a) (107b) (107c) Izvod vektora e r po vremenu je: d e r dt = [ cosθcosϕ θ sinθsinϕ ϕ] i+ [ cosθsinϕ θ +sinθcosϕ ϕ] j sinθ θ k. (108) 14

Koristeći izraze za e θ i e ϕ, Zamenom ovog izraza u (102), dobije se: d e r dt = θ e θ +sinθ ϕ e ϕ. (109) v = ṙ e r +r θ e θ +rsinθ ϕ e ϕ. (110) 15