VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi preko komponenata Vektor položaja u ravni i prostoru Skalarni proizvod vektora, određivanje ugla između dva vektora kao i projektovanje jednog vektora na drugi Vektorski proizvod dva vektora Opera u Sidneju, Australija Inženjeri rešavaju složene probleme u kojima ima mnogo veličina za koje je potrebno poznavati intenzitet, pravac i smer, pa ih je moguće predstaviti samo vektorima. se koriste za opisivanje i analiziranje položaja neke tačke ili tela, sile, momenta sile, brzine, ubrzanja itd. U ovom poglavlju dat je pregled vektorskih operacija, slaganja i razlaganja vektora, kao i primene vektora u inženjerskoj praksi.
2.1 Skalari i vektori Većina fizičkih veličina u tehničkoj mehanici se može matematički predstaviti pomoću skalara i vektora. Ovde će biti navedeni neki osnovni pojmovi i osobine vektora, pošto je sila vektor. 2.1.1 Skalar Veličina koju karakteriše pozitivan, ili negativan broj je skalar. U prirodi postoje veličine koje su potpuno određene realnim brojem kao mernim brojem. Takve su veličine na primer vreme, temperatura, masa, dužina, zapremina itd. Ovo su skalarne veličine koje se često koriste u tehničkoj mehanici. 2.1.2 Vektor Veličine koje se ne mogu odrediti samo jednim brojem i za čije je određivanje potrebno poznavati najmanje tri podatka intenzitet, pravac i smer, nazivaju se vektori. Vektor je veličina koja ima intenzitet, pravac i smer. U tehničkoj mehanici vektorske veličine, koje se najčešće javljaju, su vektori položaja, sile, i momenti. se obeležavaju na sledeći način: A, a njihov intenzitet sa A, ili kraće samo sa A. Vektor se geometrijski predstavlja kao orijentisana duž, Slika 2.1. Intenzitet vektora određen je dužinom duži, pravac je određen uglom između referentne ose i linije dejstva vektora, a smer je određen samom strelicom. Prava l, čiji je odsečak OP duž vektora, zove se nosač vektora. Jedna tačka duži, tačka O, zove se početak vektora, a druga tačka P, kraj ili vrh vektora. Dakle, za potpuno određivanje vektora potrebno je poznavati sledeće elemente: 1. intenzitet vektora, a to je dužina duži OP, merena određenim jedinicama; 2. pravac vektora, što je određeno pravom na kojoj je vektor; 3. smer vektora, koji je određen strelicom; 4. početak vektora, koji je određen tačkom O. Za neke vektore početak nije važan. Na primer, vektor A na Slici 2.1 ima dužinu od 3 jedinice i pravac koji sa horizontalom zaklapa ugao od 30 stepeni mereno u pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu). Tačka O je početak, a tačka P je kraj (vrh) vektora. Slika 2.1 Vektor Za sve vektore bitni su intenzitet, pravac i smer. Postoje tri vrste vektora: a) slobodni vektori, pravci su im isti; b) vektori vezani za pravu, mogu se pomerati po nosaču; c) vektori vezani za tačku.
2.2 Vektorske operacije i definicije Kao što se operacije sa realnim brojevima vrše prema poznatim pravilima za sabiranje, oduzimanje, množenje itd, tako i za vektore postoje određena pravila. Ova pravila omogućuju veoma široku upotrebu vektora u inženjerskoj praksi. 2.2.1 Množenje i deljenje vektora skalarom Proizvod vektora A i skalara a je vektor koji ima intenzitet A a, pravac je pravac vektora A, a smer je isti kao smer vektora A, ukoliko je a pozitivan skalar, odnosno, suprotan od smera vektora A, ukoliko je a negativan skalar. Uzimajući prethodno u obzir, vektor ( A ) je ustvari vektor A pomnožen skalarom (-1), Slika 2.2. Slika 2.2 Vektor i njegov negativan vektor Slika 2.3 Množenje i deljenje vektora skalarom Deljenje vektora A skalarom a može se shvatiti kao množenje vektora A recipročnom vrednošću skalara a: A 1 = A. Grafički prikaz množenja i deljenja skalarom prikazan je a a na Slici 2.3. 2.2.2 Sabiranje vektora Sabiranjem dva vektora A i B, Slika 2.4, dobija se rezultujući vektor R = A + B i to na dva načina: primenom pravila paralelograma, ili formiranjem trougla vektora. Sabiranje vektora naziva se još i slaganje vektora, pri čemu su sabirci komponente a zbir rezultanta. Pravilom paralelograma vektori se sabiraju tako što im se počeci dovedu u istu napadnu tačku, sa krajeva svakog od vektora vuku se prave paralelne sa pravcima datih vektora i na taj način se formira paralelogram. Rezultanta predstavlja dijagonalu paralelograma čije je jedno teme početak vektora (početak rezultante), a drugo presečna tačka paralelnih pravih, Slika 2.4 a). A i B se takođe mogu sabrati i konstruisanjem trougla, što u stvari predstavlja specijalan slučaj pravila paralelograma, s tim da se u ovom slučaju vektor B nadovezuje na kraj vektora A, a rezultanta se dobija spajanjem početka vektora A sa krajem vektora B, Slika 2.4 b). Sabiranje vektora je komutativna operacija, tako da se rezultanta može dobiti i dodavanjem vektora A vektoru B, Slika 2.4 c).
Poglavlje 2 Slika 2.4 Sabiranje vektora a) pravilo paralelograma; b) trougao vektora; c) trougao vektora. U slučaju kada su vektori A i B kolinearni, pravilo paralelograma se svodi na algebarsko, tj. skalarno sabiranje, R = A+B, Slika 2.5. Slika 2.5 Sabiranje kolinearnih vektora Ako se premesti kugla sa jednog mesta na drugo, kao što je prikazano na Slici 2.6 a), ovo pomeranje se može predstaviti vektorom A. Pravac vektora A označava pravac pomeranja, a A, ili kraće A, je rastojanje za koje je kugla pomerena. Ako se sada kugli zada i drugo pomeranje B, kao što je prikazano na Slici 2.6 b), ova dva pomeranja su jednaka jednom pomeranju kugle od njenog početnog do krajnjeg položaja, koje je predstavljeno vektorom C na Slici 2.6 c). Primećuje se da je krajnji položaj kugle isti bilo da mu se zada prvo pomeranje A pa B, C = A+ B = B+ A. ili prvo B pa A, Slika 2.6 d). Pomeranje C je u stvari suma pomeranja A i B : Slika 2.6 a) Pomeranje kugle predstavljeno vektorom A ; b) nova promena položaja prikazana vektorom B ; c) pomeranja A i B su ekvivalentna pomeranju C ; d) konačni položaj kugle ne zavisi od redosleda pomeranja.
VAŽNE NAPOMENE Skalar je pozitivan ili negativan broj Vektor je veličina koja ima intenzitet, pravac i smer Množenjem ili deljenjem vektora skalarom dolazi do promene intenziteta vektora. Ukoliko je skalar negativan, menja se i smer vektora Sabiranjem dva vektora A i B se dobija rezultujući vektor R = A + B, primenom pravila paralelograma, ili formiranjem trougla vektora U specijalnom slučaju, kada su vektori kolinearni, intenzitet vektora se dobija kao algebarski zbir intenziteta komponentalnih vektora Pravilo o sabiranju dva vektora se može primeniti i na zbir više vektora, koji u opštem slučaju ne moraju da leže u istoj ravni. Sabiranje tri vektora vrši se takođe primenom pravila paralelograma, odnosno pravila trougla i postavljanjem početaka vektora na vrh prethodnog vektora, sukcesivno, pri čemu važi zakon asocijacije: A + B + C = A + B + C, ( ) ( ) za bilo koja tri vektora A, B i C. Ovo znači da se pri sabiranju vektora ne mora voditi računa o redosledu njihovog dodavanja. 2.2.3 Sabiranje više vektora Slika 2.7 Sabiranje tri vektora A, B, C, D i E su zadati po intenzitetu, pravcu i smeru. Zbir ovih vektora može se odrediti tako što se saberu dva vektora, pa se taj zbir sabere sa trećim vektorom itd. Ovo se svodi na to da se na vrh prvog vektora nanese drugi vektor, na vrh drugog treći vektor i tako redom. Vektorski zbir je vektor F čiji je početak u početku prvog vektora, a vrh je u vrhu poslednjeg vektora: R = A + B + C + D + E. Vektorski zbir se može uopštiti na n vektora rezultujući vektor R je jednak vektorskom (geometrijskom zbiru) komponentnih vektora: n R A i. = i= 1 Geometrijska konstrukcija vektorskog zbira je predstavljena na Slici 2.8 a). Dobijena izlomljena linija se naziva poligon vektora, a završna strana je rezultujući vektor.
Slika 2.8 a) Sabiranje više vektora - poligon vektora; b) zatvoren poligon vektora. Ako se početak prvog vektora i vrh poslednjeg vektora u poligonu vektora poklapaju, tada je rezultujući vektor jednak nuli, tj. zbir vektora je jednak nuli, R = 0, a za poligon vektora se u tom slučaju kaže da je zatvoren, Slika 2.8 b). 2.2.4 Oduzimanje vektora Rezultanta dobijena oduzimanjem dva vektora se može izraziti kao: R = A B = A + B, ( ) a grafički prikaz je dat na Slici 2.9. Oduzimanje vektora predstavlja specijalan slučaj sabiranja vektora, tako da se za isto mogu primeniti pravila za sabiranje vektora. 2.2.5 Razlaganje vektora Slika 2.9 Oduzimanje vektora a) pravilo paralelograma; b) trougao vektora. Vektor se može razložiti na dve komponente, ukoliko su poznati pravci tih komponenata, primenom pravila paralelograma. Na primer, vektor R na Slici 2.10 treba razložiti na dve komponente čije su napadne linije prave a i b. Linije a i b se povuku kroz početak vektora R. Kroz vrh vektora R povuče se linija paralelna pravoj b do preseka sa pravom a i druga linija paralelna pravoj a, do preseka sa pravom b, Slika 2.10 a). Komponente A i B se protežu od početka vektora R do odgovarajućih preseka linija, Slika 2.10 b). Slika 2.10 a) Vektor R i pravci komponenata; b) razlaganje vektora na komponente.
2.2.6 Ugao između dva vektora Pod uglom između dva vektora A i B u ravni podrazumeva se ugao ( ) A,B = α za koji treba obrnuti vektor A u pozitivnom smeru (smer suprotan kretanju kazaljke na časovniku) da bi prešao u položaj drugog vektora B, Slika 2.11. Ukoliko se obrtanje vrši od vektora B ka vektoru A, ugao α menja znak: B,A = A, B = α. ( ) ( ) Ovo važi i za ugao između dva vektora u prostoru. 2.2.7 Jedinični vektor Slika 2.11 Ugao između dva vektora Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Svaka osa (orijentisana prava) po pravcu i smeru je određena jediničnim vektorom. Na primer, jedinični vektor ose x je i. Ako jedinični vektor i i vektor A imaju isti pravac i smer, Slika 2.12, vektor A se može predstaviti kao proizvod intenziteta vektora A i jediničnog vektora a : A = A a = A a. (2.1) Slika 2.12 Jedinični vektor Svaki vektor se može predstaviti kao proizvod njegovog intenziteta i jediničnog vektora koji ima isti pravac i smer kao i dati vektor. Iz izraza (2.1) vidi se da se deljenjem vektora sa njegovim intenzitetom dobija jedinični vektor koji ima isti pravac i smer kao dati vektor: A = a. (2.2) A
2.2.8 Komponente vektora u ravni Rad sa vektorima je mnogo jednostavniji kada se predstave preko svojih ortogonalnih vektorskih komponenata. Ovde je pokazano kako se vektor razlaže na komponente u pravcu osa Dekartovog koordinatnog sistema u ravni i prostoru i dati su primeri operacija sa vektorima korišćenjem komponenata. U narednim poglavljima će ovakav pristup biti primenjen na rešavanje problema slaganja (sabiranja) sila, na vektore položaja, kao i vektore momenata. Vektor A je prikazan na Slici 2.13. Dekartov pravougli koordinatni sistem je postavljen tako da je vektor A u ravni xoy, pa se može razložiti na komponente u pravcu osa x i y primenom pravila paralelograma za razlaganje vektora, koji je napred opisan, Slika 2.13 a): A = A + A. x y Slika 2.13 Razlaganje vektora na komponente u Dekartovom koordinatnom sistemu a) primena pravila paralelograma; b) primena trougla sila desni trougao ; c) primena trougla sila levi trougao. Kako je osa x definisana jediničnim vektorom i, a osa y jediničnim vektorom j, vektor A se može prikazati u obliku: A = A i + A j, (2.3) x y gde su A x i A y veličine komponenata vektora A. Komponente vektora određuju njegov pravac u odnosu na ose Dekartovog koordinatnog sistema i njegov intenzitet. Na osnovu dela paralelograma na Slici 2.13 b), koji predstavlja desni trougao formiran od vektora A i njegovih komponenata, odnosno na Slici 2.13 c), koji predstavlja levi trougao, vidi se da se intenzitet vektora A može odrediti primenom Pitagorine teoreme: 2 2 A = A = A + A. (2.4) x y 2.2.9 Operacije sa vektorima izraženim preko svojih komponenata u ravni Zbir dva vektora A i B izražen preko komponenata je: A + B = ( Ax i + Ay j ) + ( Bx i + By j ) = ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By ) j. (2.5) Komponente vektorskog zbira A + B jednake su zbiru komponenata vektora A i vektora B. Ovo je prikazano grafički na Slici 2.14. Na Slici 2.14 a) prikazano je sabiranje dva vektora. Na Slici 2.14 b) su prikazani koordinatni sistem i vektori razloženi na komponente. Na Slici 2.14 c) su sabrane komponente u x i y pravcu i grafički predstavljen izraz (2.5).
Slika 2.14 Sabiranje dva vektora Proizvod skalara a i vektora A izražen preko komponenata vektora A je: aa = a ( Ax i + Ay j ) = a Ax i + a Ay j. (2.6) Komponente vektora a A u pravcima x i y su jednake proizvodima skalara a i komponenata vektora A. Primer sabiranja vektora izraženih preko svojih komponenata Primer 2.1 Odrediti zbir vektora G = 400 j, F = 300 i + 200 j i H = 500i + 400 j. Koliki će biti zbir ovih vektora ako je vektor F duplo veći? Komponente vektorskog zbira se određuju primenom izraza (2.5): G + F + H = 400 j + 300i + 200 j + 500i + 400 j = 200i + 200 j. ( ) ( ) ( ) Intenzitet vektorskog zbira je na osnovu (2.4): 2 G + F + H = 200 + 200 = 200 2. ( ) ( ) 2 Ukoliko je vektor F dva puta veći (videti izraz (2.6)), vektorski zbir je: G + 2F + H = 400 j + 2 300i + 200 j + 500i + 400 j = 100i + 400 j. ( ) ( ) ( ) 2.2.10 Predstavljanje vektora položaja u ravni preko koordinata Vektor položaja je vektor koji izražava relativno rastojanje između dve tačke. Vektor je u potpunosti određen dvema tačkama, početkom i vrhom krajem vektora. Ukoliko su poznate koordinate ovih tačaka u Dekartovom koordinatnom sistemu, moguće je izraziti vektor položaja jedne tačke u odnosu na drugu u funkciji koordinata. Neka su koordinate tačke A (x A, y A ), a koordinate tačke B (x B, y B ). Vektor rab određuje položaj tačke B u odnosu na položaj tačke A, Slika 2.15. Sa slike se vidi da ovaj vektor izražen u funkciji koordinata tačaka glasi: r = x x i + y y j. (2.7) ( ) ( ) AB B A B A Komponenta vektora položaja od tačke A do tačke B (ili tačke B u odnosu na tačku A) u x pravcu je dobijena oduzimanjem x koordinate tačke A od x koordinate tačke B, dok je komponenta vektora u y pravcu dobijena oduzimanjem y koordinate tačke A od y koordinate tačke B.
2.2.11 Komponente vektora u prostoru Slika 2.15 Vektor položaja u ravni U ovoj knjizi se koristi Dekartov koordinatni sistem koordinatni sistem desne ruke kako bi se odredio položaj tačaka i vektora u prostoru. Takođe će se koristiti konvencija, usvojena u tehničkoj literaturi, prema kojoj je pozitivna z osa usmerena nagore (pravac zenita), tako da meri visinu objekta ili visinski položaj tačke. U horizontalnoj ravni leže x i y osa, Slika 2.16. Položaj tačke u prostoru određuje se u odnosu na početak koordinatnog sistema O, merenjem po x, y i z osi. Na primer, položaj tačke A dobija se tako što se počne od O i meri x A =+4 m duž ose x, y A =+2 m duž ose y, a z A = -3 m duž z ose. Prema tome je A(4 m, 2 m, -3 m). Na sličan način, merenjem duž x, y i z osa od O može se dobiti položaj tačke B, tj. B(0, 2 m, 0), kao i položaj tačke C(4 m, -1 m, 2 m), Slika 2.17. Slika 2.16 Desno orijentisan koordinatni sistem Slika 2.17 Koordinate tačaka Prema ovom pravilu, osa z će kod dvodimenzionalnih problema, kao na Slici 2.15, biti usmerena ka spolja, upravno na ravan papira. Ako je vektor A kao na Slici 2.18 proizvoljnog pravca, dvostrukom sukcesivnom primenom pravila paralelograma može se razložiti prvo na komponente: A = A + A, a z potom na komponente u x i y pravcu: A = Ax + Az, Slika 2.18 a). Na ovaj način vektor A se može predstaviti kao vektorski zbir tri ortogonalne komponente A x, A y i su paralelne sa osama x, y i z Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema: A = A + A + A. x y z A z, koje (2.8) Jedinični vektori osa x, y i z su i, j i k, pa se vektor A može prikazati preko svojih komponenata koje imaju veličine A x, A y i A z u obliku: A = A i + A j + A k, (2.9) x y z što je prikazano na Slici 2.18 b).
Slika 2.18 Vektor i komponente vektora u prostoru Intenzitet vektora A se može odrediti ukoliko su poznate njegove komponente. Kako se vidi sa Slike 2.18 a), primenom Pitagorine teoreme na pravougli osenčeni trougao sledi: A A A z a iz pravouglog osenčenog trougla u ravni xoy: 2 2 = +, (2.10) A = A + A. (2.11) 2 2 x y Iz ove dve jednačine sledi: A = A + A + A. (2.12) 2 2 2 x y z Intenzitet vektora A je jednak kvadratnom korenu iz sume kvadrata njegovih komponenata. Pravac vektora A je određen uglovima α, β, i γ koje vektor zaklapa sa pozitivnim osama x, y i z, Slika 2.18 c). Uglovi α, β i γ se mogu odrediti iz pravouglih trouglova sive boje sa Slike 2.19: A A x y Az cos α =, cos β =, cos γ =. (2.13) A A A Ovo su kosinusi pravaca vektora A. Uglovi α, β, i γ se dobijaju kao inverzni kosinusi: A A x y Az α = arc cos, β = arc cos, γ = arc cos. (2.14) A A A Slika 2.19 Položaj vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu
Pravac vektora A se može odrediti korišćenjem jediničnog vektora. Ako je vektor A intenziteta A 0, onda je jedinični vektor istog pravca, kao i vektor A, određen izrazom (2.2). Ako je vektor predstavljen svojim komponentama u Dekartovom koordinatnom sistemu, A = Ax i + Ay j + A zk, tada je: A A A x A x A z a = = = i + j + k. (2.15) A A A A A 2 2 2 gde je A = A + A + A. x y z Upoređujući izraze (2.13) i (2.15) vidi se da komponente jediničnog vektora predstavljaju kosinuse pravca vektora A : a = cos α i + cosβ j + cos γ k. (2.16) Kako je intenzitet vektora jednak korenu zbira kvadrata komponenata, a a ima intenzitet 1, na osnovu (2.16) sledi: 2 2 2 cos α + cos β + cos γ = 1. (2.17) Ukoliko su intenzitet i pravac vektora A poznati, vektor A se može predstaviti u Dekartovom koordinatnom sistemu kao: A = A a = A cos α i + A cosβ j + A cos γ k = A i + A j + A k. (2.18) x y z 2.2.12 Operacije sa vektorima izraženim preko svojih komponenata u prostoru Sabiranje ili oduzimanje dva ili više vektora u prostoru, kao što je pokazano za vektore u ravni, znatno je jednostavnije ako su oni izraženi preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu. Zbir dva vektora A = Ax Ay A i + j + zk i B = Bx i + By j + B z k jednak je rezultujućem vektoru R čije su komponente jednake algebarskom zbiru komponenata vektora A i B u x, y i z pravcu, tj: R = A + B = ( Ax i + Ay j + Az k ) + ( Bx i + By j + Bz k ) = = A + B i + A + B j + A + B k. ( ) ( ) ( ) x x y y z z Razlika dva vektora predstavlja vektor čije su komponente jednake razlici komponenata vektora A i B u x, y i z pravcu, tj: R = A B = ( Ax i + Ay j + Az k ) ( Bx i + By j + Bz k ) = = A B i + A B j + A B k. ( ) ( ) ( ) x x y y z z a
Slika 2.20 Sabiranje dva vektora u prostoru VAŽNE NAPOMENE Vektor se izražava preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu Pozitivni pravci osa x, y i z su definisani ortovima i, j, k Komponente vektora u ravni su A x = Ax i i A y = Ay j gde su Ax i A y intenziteti komponenata. Vektor u ravni izražen preko svojih komponenata je 2 2 A = Ax i + Ay j. Intenzitet vektora je A = Ax + Ay Komponente vektora u prostoru su A x = Ax i, A y = Ay j i A z = A z k, gde su A x, A y i A z intenziteti komponenata. Vektor u prostoru izražen preko svojih komponenata je A = Ax i + Ay j + A zk, a njegov intenzitet je A = A + A + A 2 2 2 x y z Pravac vektora A se može odrediti korišćenjem jediničnog vektora. Komponente A jediničnog vektora a = predstavljaju kosinuse uglova α, β i γ koje vektor A zaklapa sa pozitivno orijentisanim osama x, y i z Da bi se odredila rezultanta više vektora treba svaki vektor predstaviti preko njegovih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu, a zatim algebarski sabrati komponente svih vektora u pravcima x, y i z 2.2.13 Vektor položaja u prostoru Vektor položaja izražava relativno rastojanje između dve tačke u prostoru. Kao što je već pokazano u ravni, vektor položaja u prostoru može biti predstavljen preko koordinata tačaka koje predstavljaju njegov početak i kraj. Neka su koordinate tačke A (x A, y A, z A ), a koordinate tačke B (x B, y B, z B ). Vektor položaja r AB tačke B u odnosu na tačku A dobija se vektorskim sabiranjem tri komponente u pravcima x, y i z, Slika 2.21. Prikazan u funkciji koordinata tačaka glasi: r = x x i + y y j + z z k. (2.19) ( ) ( ) ( ) AB B A B A B A Komponente vektora položaja od tačke A do tačke B se dobijaju oduzimanjem koordinata tačke A od koordinata tačke B.
Slika 2.21 a) Vektor položaja od tačke A do tačke B; b) komponente vektora položaja izražene preko koordinata tačaka A i B. Slika 2.22 Vektor položaja štapa AB i jedinični vektor pravca AB Dužina i pravac štapa AB na Slici 2.22 se mogu odrediti merenjem koordinata tačaka A i B po x, y i z osi. Vektor položaja r štapa može da se definiše na osnovu (2.19). Intenzitet vektora r predstavlja dužinu kabla, a pravac kabla je određen uglovima α, β, γ, koji se mogu odrediti na osnovu komponenata jediničnog vektora koje su dobijene iz vektora položaja na osnovu: r r a = =. (2.20) r r U štapu AB na Slici 2.22 i kablu na slici 2.23 postoje unutrašnje sile, jer su štapovi i kablovi elementi konstrukcije koji su napregnuti po svojoj dužini, o čemu će biti reči u poglavlju 3, kao i u narednim poglavljima. Sila F koja deluje u kablu na Slici 2.23 a) može se predstaviti preko svojih komponenata tako što se postave ose Dekartovog koordinatnog sistema x, y i z, Slika 2.23 b), i formira se vektor položaja r duž kabla od njegovog početka do kraja. Zatim se odredi odgovarajući jedinični vektor, izraz (2.20), koji definiše pravac kabla, odnosno sile. Na kraju se intenzitet sile pomnoži sa jediničnim vektorom, (poglavlje 2.2.7, izraz (2.1)). Vektor sile jednak je proizvodu intenziteta sile i jediničnog vektora pravca AB: r F = F a = F. (2.21) r
Slika 2.23 a) Vijadukt Miju, Avejron, 2004 [12]; b) vektor sile u pravcu kabla AB. VAŽNE NAPOMENE Vektorom položaja je određena jedna tačka u prostoru u odnosu na drugu Komponente vektora položaja jednake su rastojanjima između krajnje i početne tačke vektora u pravcima x, y i z Vektor, na primer, sile F, koja deluje u pravcu vektora položaja r može se predstaviti preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu ako se definiše jedinični vektor vektora položaja i pomnoži se sa intenzitetom vektora sile F = F a Primeri određivanja komponenata vektora u ravni Primer 2.2 Na Slici P 2.2 prikazana je konstrukcija koja je vezana kablovima. U pravcu kabla AB deluje vektor sile F čiji je intenzitet 500 N. Odrediti komponente vektora sile pomoću vektora položaja r, (izraz 2.21). Slika P 2.2 a) Tribine stadiona sa nadstrešnicom zategnutom kablovima; b) sila u kablu AB i njene komponente; c) jedinični vektor pravca AB.
Na osnovu poznatih koordinata tačaka A i B može se odrediti vektor položaja r AB od tačke A do tačke B, Slika P 2.2 b): r = x x i + y y j = 20 0 i + 0 40 j = 20i 40 j m. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB B A B A Deljenjem tog vektora sa njegovim intenzitetom dobija se jedinični vektor pravca AB, Slika P 2.2 c), koji određuje pravac vektora F : rab 20i 40 j 20i 40 j 20i 40 j aab = = = = = 0, 447 i 0,894 j. r 2 2 2 2 AB 20 0 + 0 40 20 + 40 44, 72 ( ) ( ) ( ) Množenjem jediničnog vektora sa intenzitetom vektora sile F dobija se traženi vektor: F = F a = 500 0, 447i 0,894 j = 223,5 i 447 j N. AB ( )( ) ( ) Primer određivanja intenziteta i pravca vektora u prostoru Primer 2.3 Vektor položaja tačke A je r = 3 4 12 A i j + k. Odrediti intenzitet tog vektora, kao i uglove koje on zaklapa sa pozitivno orijentisanim osama x, y i z. Kako su poznate komponente vektora položaja, njegov intenzitet se može odrediti primenom izraza (2.12): 2 2 2 2 2 2 r = r = r + r + r = 3 + 4 + 12 = 13m, A A Ax Ay Az ( ) ( ) ( ) a pravac primenom (2.13), odnosno (2.14): rax 3 0 cos α = = = 0, 23077 α = 76, 66, r 13 A ray 4 0 0 0 cosβ = = = 0,30769 β = 180 72, 08 = 107,92, r 13 A r 12 γ = = = γ = r 13 Az 0 cos 0,92308 22, 62. A Određivanje vektora čiji je pravac definisan dvema tačkama u prostoru Primer 2.4 Uže AB drži konstrukciju. U pravcu užeta, u tački A deluje sila intenziteta F=180 N, Slika P 2.4 a). Izraziti vektor sile F preko njegovih komponenata u pravcu x, y i z ose. a) b) c) Slika P 2.4 a) Vektor sile F ; b) vektor položaja r AB ; c) jedinični vektor pravca od A prema B.
Poznate su koordinate tačaka A i B, pa se vektor položaja od A do B može odrediti primenom izraza (2.19): rab = ( xb xa ) i + ( yb ya ) j + ( zb za ) k = = ( 4) ( 1) i + ( 3) ( 2) j + ( 5) ( 1) k, rab = 3i + j + 4k. Intenzitet vektora položaja r AB, što u stvari predstavlja dužinu užeta AB, je: 2 2 2 2 2 2 rab = rab = rabx + raby + rabz = ( 3) + ( 1) + ( 4) = 5,1m. Deljenjem vektora položaja r AB sa njegovim intenzitetom dobija se jedinični vektor pravca vektora položaja, što je istovremeno i jedinični vektor pravca sile F : rab 3i + j + 4k aab = = = 0,588i + 0,196 j + 0, 784k. r 5,1 AB Množenjem jediničnog vektora sa intenzitetom vektora F dobija se traženi vektor: F = F a = 180 0,588i + 0,196 j + 0, 784 k = 105,84 i + 35, 28 j + 141,12 k N. AB 2.3 Množenje vektora ( ) ( ) Postoje dve vrste proizvoda vektora koji imaju primenu u nauci i inženjerstvu, a to su skalarni i vektorski proizvod. U mehanici se momenti sila u odnosu na tačku i u odnosu na osu ne bi mogli objasniti bez primene oba proizvoda vektora, o čemu će biti reči u poglavlju 5. 2.3.1 Skalarni proizvod dva vektora Skalarni proizvod dva vektora ima veliku primenu. Na primer, razlaganje vektora na komponente koje su paralelne ili normalne datim pravcima ili određivanje ugla između dva pravca, odnosno između komponenata vrši se primenom skalarnog proizvoda. U dvodimenzionalnoj analizi ovi problemi se lako mogu rešiti primenom trigonometrije, s obzirom da je geometrija lako vidljiva. U tri dimenzije to je teško, pa se primenjuju vektorske metode. Skalarni proizvod je poseban metod množenja dva vektora koji se koristi za rešavanje pomenutih problema. Slika 2.24 A i B Skalarni proizvod vektora A i B se definiše kao proizvod intenziteta vektora A i B i kosinusa zahvaćenog ugla θ između njihovih pravaca, Slika 2.24: Ai B = A B cos θ, (2.22) gde je 0º θ 180º.
Skalarni proizvod vektora je skalarna veličina. Jedinica skalarnog proizvoda je jednaka proizvodu jedinica vektora koji se množe. Skalarni proizvod dva vektora koji su različiti od nule jednak je nuli ako su vektori upravni (cos 90 0 =0), a ima maksimalnu vrednost ako su vektori kolinearni. Osobine skalarnog proizvoda su sledeće: 1. Skalarni proizvod je komutativan AiB = Bi A ; 2. Množenje skalarom skalarni proizvod je asocijativan A B = A B = a i a i Ai a B ; A a(a B)=(aA) B=A (ab)=(a B)a; ( ) ( ) ( ) 3. Skalarni proizvod je distributivan Ai B + C = AiB + Ai C. ( ) 2.3.2 Skalarni proizvod vektora izraženih preko komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu Jednačina (2.22) se može upotrebiti za određivanje skalarnog proizvoda vektora ukoliko su poznate njihove komponente. Prvi korak je određivanje skalarnih proizvoda jediničnih vektora Dekartovog koordinatnog sistema. Intenziteti vektora i, j i k su jednaki jedinici, dok je ugao između istih vektora, na primer i i i nula, a između različitih 90 0, pa je: 0 iii = i i cos 0 = ( 1)( 1)( 1) = 1, 0 ii j = i j cos 90 = 1 1 0 = 0. ( )( )( ) Analogno tome je: iii = 1, ii j = 0, iik = 0, jii = 0, ji j = 1, jik = 0, kii = 0, ki j = 0, kik = 1. (2.23) Skalarni proizvod dva vektora A i B koji su izraženi preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu je: AiB = ( Ax i + Ay j + Az k ) i( Bx i + By j + Bz k ) =AxBx ( iii ) + AxBy ( ii j ) + AxBz ( iik ) (2.24) + AyBx ( jii ) + AyBy ( ji j ) + AyBz ( jik ) + A B kii + A B ki j + A B kik. ( ) ( ) ( ) z x z y z z Zamenom (2.23) u (2.24) dobija se: Ai B = A B +A B + A B. (2.25) x x y y z z Tako, da bi se odredio skalarni proizvod dva vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu, množe se odgovarajuće vrednosti njihovih komponenata u x, y i z pravcu i algebarski se saberu.
2.3.3 Primena skalarnog proizvoda u mehanici Skalarni proizvod ima dve važne primene u mehanici. 1. Određivanje ugla između dva vektora ili dve prave koje se seku. Ugao θ između pravaca dva vektora A i B na Slici 2.24 može se odrediti iz jednačine (2.22): AiB AxB x +AyBy + AzBz AiB cos θ = = θ = arc cos. (2.26) A B ( A)( B) ( A)( B) 0 Zaključuje se da ako je Ai B = 0, cos θ = 0 θ = 90, tj. vektor A je normalan na vektor B. 2. Određivanje komponenata vektora koje su paralelne sa nekom pravom i normalne u odnosu na nju. Ove komponente se mogu odrediti primenom skalarnog proizvoda. Komponenta vektora paralelna datoj pravoj je projekcija vektora na pravu. Komponenta vektora A koja je paralelna ili kolinearna sa pravom L, Slika 2.25, je: A p =Acos θ. (2.27) Ako je pravac L određen jediničnim vektorom a, onda je skalarni proizvod vektora A i a, s obzirom da je a = 1, na osnovu izraza (2.22): aia = a A cos θ = A cos θ. (2.28) Poređenjem izraza (2.27) i (2.28) zaključuje se da je veličina komponente vektora u pravcu paralelnom pravoj L: A A = a i, (2.29) p a vektor ove komponente je: A = A cos θa = aia a. (2.30) p ( ) Ako je rezultat pozitivan, (A p >0), vektor onda je A p suprotnog smera u odnosu na a. A p ima isti smer kao a, a ako je A p negativno, Slika 2.25 Razlaganje vektora na komponente: paralelnu i normalnu na L Takođe se može dobiti i komponenta vektora A koja je normalna u odnosu na pravu L, Slika 2.28. Ako je paralelna komponenta određena, normalna komponenta može da se dobije iz relacije: A = A + A A = A A. (2.31) p n n p Postoje dva načina da se odredi A n. Prvi je da se prvo odredi ugao θ iz skalarnog aia aia proizvoda, izraz (2.28), ( cos θ =, θ = arc cos ), pa je: A A
An = Asin θ. (2.32) U slučaju da je poznato A p, moguće je dobiti intenzitet A n pomoću Pitagorine teoreme: A = A A. (2.33) n 2 2 p Slika 2.26 Zategama povezani lučni nosači, nadstrešnica arheološkog nalazišta, Limasol, Kipar Ugao θ između zatege AB i gredice AC, Slika 2.26, može se odrediti primenom skalarnog proizvoda tako što se odrede prvo vektori položaja r AB i r AC, a zatim ortovi pravca zatege rab rac rabi r AC rabi r AC a AB = i gredice a AC =, pa je cos θ = θ = arc cos. rab rac rab r AC ( rab )( rac ) U pravcu kabla deluje sila F. Projekcija sile u kablu na gredicu može se odrediti primenom skalarnog proizvoda Fp = a ACiF. Vektor sile F treba prethodno predstaviti rab preko orta pravca u kome deluje F = F a AB = F. r AB
VAŽNE NAPOMENE Skalarni proizvod se koristi da bi se odredio ugao između dva vektora ili projekcija vektora na neki pravac Skalarni proizvod dva vektora A i B se definiše kao Ai B = A B cos θ Skalarni proizvod dva vektora A i B, koji su izraženi preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu, je: Ai B = AxB x +AyBy + AzBz Ugao između dva vektora A i B je na osnovu definicije skalarnog proizvoda: AiB θ = arc cos AB Projekcija vektora A na pravac definisan jediničnim vektorom a je = a i A = A cosθ Ap Primer proračuna skalarnog proizvoda Primer 2.5 Intenzitet vektora F je 50 kn, a intenzitet vektora r je 2 m. Odrediti skalarni proizvod korišćenjem a) definicije skalarnog proizvoda i b) korišćenjem izraza (2.25). Slika P 2.5 a) Poznati su intenziteti vektora F i r, kao i ugao između njih, pa se skalarni proizvod ova dva vektora može sračunati na osnovu definicije, izraz (2.22): 0 1 ri F = r F cos θ = 2 50 cos60 = 100 = 50kNm. 2 b) r i F, izraženi preko svojih komponenata, glase: r = 2i 0 0, F= 50cos60 i + 50sin 60 j, pa je skalarni proizvod na osnovu (2.25): 0 0 r i F = r F +r F + r F = 2 50cos 60 + 0 50sin 60 + 0 0 = 50 knm. x x y y z z
Primer određivanja ugla primenom skalarnog proizvoda Primer 2.6 Odrediti ugao između duži AB i AC koje su prikazane na Slici P 2.6. a) b) Slika P 2.6 a) Duži AC i AB definisane koordinatama tačaka; b) vektori položaja duži AC i AB. Kako su koordinate tačaka A, B i C poznate, mogu se odrediti komponente vektora položaja rab, od A do B i vektora položaja rac, od A do C, korišćenjem izraza (2.19). Zatim se ugao θ može odrediti primenom izraza (2.26). r AB i r AC izraženi preko svojih komponenata glase: rab = ( x B x A ) i + ( yb ya ) j + ( zb za ) k = ( 1 4) i + ( 8 2) j + ( 4 2) k = = 3i + 6 j + 2k, rac = ( xc x A ) i + ( yc ya ) j + ( zc za ) k = ( 2 4) i + ( 3 2) j + ( 6 2) k = = 2i + 1 j + 4 k. Intenziteti ovih vektora su: 2 2 2 2 2 2 r AB = ( 3) + ( 6) + ( 2 ) =7 m, r AC = ( 2) + ( 1) + ( 4 ) =4,58 m. Skalarni proizvod vektora r AB i r AC je: r i r = 3 2 + 6 1 + 2 4 = 20 m. AB AC ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 Ugao između ovih vektora je: rab i rac 20 cos θ = = = 0, 62383 rab rac ( 7)( 4,58) rab i r AC 0 θ = arccos = arccos ( 0,62383) = 51 23 7. rab r AC
Primer određivanja komponenata vektora Primer 2.7 Konopac OA se vuče silom F od 50 N. Odrediti komponente sile F u pravcu OB i u pravcu normalnom na pravac konopca OB. a) b) c) d) Slika P 2.7 a) Kablovi OA i OB sa koordinatama tačaka; b) vektori položaja; c) jedinični vektori pravaca OA i OB ; d) komponente vektora F u pravcu OB i pravcu normalnom na OB. Razlaganje vektora F na komponente može se izvršiti primenom izraza (2.30) i (2.31). Potrebno je prvo izraziti vektor F preko njegovih projekcija skalarnih komponenata i odrediti komponente jediničnog vektora a pravca OB. Komponente vektora F se mogu odrediti množenjem jediničnog vektora pravca OA sa intenzitetom vektora F. položaja od O do A i od O do B su: roa = 3i + 6 j + 6k, rob = 10 i + 3 j 2k. Intenziteti ovih vektora su: 2 2 2 2 2 2 r = 3 + 6 + 6 =9 m, r = 10 + 3 + 2 =10,63m. OA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Deljenjem ovih vektora sa njihovim intenzitetima dobijaju se jedinični vektori pravaca OA i OB : roa 3i + 6 j + 6k aoa = = = 0,333 i + 0,667 j + 0,667 k, roa 9 rob 10 i + 3 j 2 k aob = = = 0, 941 i + 0,282 j 0,188 k. r 10, 63 OB Vektor F je primenom izraza (2.21): F = F a = 50 0,333 i + 0,667 j + 0,667 k = 16, 7 i + 33, 3 j + 33, 3k N. OA OB ( )( ) ( )
Skalarni proizvod a OA i F je: a if = 0,941 16,7 + 0,282 33,3 + 0,188 33,3 = 12,584 N, OB ( )( ) ( )( ) ( )( ) pa je komponenta sile u pravcu OB : Fp = ( aobif) aob = ( 12,584)( 0,941i + 0,282j 0,188k ) = = 11,842i 3,549 j + 2,366k N, dok je normalna komponenta: Fn = F Fp = ( 16, 7 i + 33,3 j + 33,3 k ) ( 11,842i 3,549 j + 2,366 k ), F = 28,542 i + 36,849 j + 30,934 k. n 2.3.4 Vektorski proizvod dva vektora ( ) Vektorski proizvod ima mnogo različitih primena, kao i skalarni proizvod. U ovom poglavlju je pokazano kako da se određuje vektorski proizvod i data je primena na jednostavnim primerima. Vektorski proizvod dva vektora A i B daje vektor C : C = A B. (2.34) Intenzitet vektora C je jednak proizvodu intenziteta vektora A i B i sinusa ugla θ između tih vektora (0º θ 180º): C = A B sin θ. (2.35) Pravac vektora C je normalan na ravan koja sadrži vektore A i B, a smer vektora C je takav da trijedar vektora A, B i C bude desni, (pravilo desne ruke), Slika 2.27 a). Ako se kažiprst i srednji prst desne ruke postave u pravcu i smeru vektora A i vektora B, palac pokazuje pravac i smer vektora C, ili gledajući sa vrha vektora C vidi se obrtanje vektora A ka vektoru B za najmanji ugao u matematički pozitivnom smeru (obrtanje suprotno obrtanju kazaljke na satu). Ako je poznat intenzitet i pravac vektora C, može se pisati: C = A B = A Bsin θ u, (2.36) gde je A Bsin θ intenzitet, a u jedinični vektor pravca vektora C, što je grafički predstavljeno na Slici 2.27 b). Slika 2.27 a) Pravilo desne ruke; b) pravac i intenzitet vektora C = A B. Jedinica vektorskog proizvoda je proizvod jedinica oba vektora. Vektorski proizvod dva vektora jednak je nuli ako je jedan od njih jednak nuli, ili ako je sin θ=0. Prema tome,
vektorski proizvod dva vektora, koji su različiti od nule jednak je nuli samo ako su ta dva vektora kolinearna. Ako je A B = A B, vektori A i B su međusobno ortogonalni (sin θ=sin 90 0 =1). Na osnovu ovoga sledi da se intenzitet vektorskog proizvoda kreće od 0 do AB. Slika 2.28 Vektorski proizvod dva vektora nije komutativan Osobine vektorskog proizvoda: 1. Komutativni zakon ne važi za vektorski proizvod dva vektora: A B B A, jer je A B = B A, što je prikazano na Slici 2.28 korišćenjem pravila desne ruke. Vektorski proizvod vektora B i vektora A daje vektor koji je suprotno usmeren u odnosu na vektor C : 2. Množenje skalarom: aa B = A ab = a A B. ( ) Ukoliko se bilo koji od vektora vektorskog proizvoda pomnoži skalarom a, onda se tim skalarom množi ceo proizvod. 3. Distributivni zakon važi za vektorski proizvod: A B + D = A B + A D. ( ) 2.3.5 Komponente vektorskog proizvoda dva vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu Jednačina (2.34) se može upotrebiti za određivanje vektorskog proizvoda dva vektora ukoliko su poznate njihove komponente. Prvo treba odrediti vektorske proizvode jediničnih vektora Dekartovog koordinatnog sistema. Intenziteti vektora i, j i k su jednaki jedinici, dok je ugao između istih vektora, na primer i i i nula, a između različitih 90 0. Na primer i j ima intenzitet: 0 i j sin 90 = 1 1 1 = 1, (2.37) ( )( )( ) a pravac mu je definisan pravilom desne ruke. Kao što se vidi na Slici 2.29, vektorski proizvod ova dva vektora je k pravca. Slika 2.29 Vektorski proizvod jediničnih vektora i i j Slika 2.30
Analogno tome je: i i = 0, i j = k, i k = j, j i = k, j j = 0, j k = i, (2.38) k i = j, k j = i, k k = 0. Ovi rezultati se mogu lako upamtiti postavljajući jedinične vektore u krug, kako je prikazano na Slici 2.30. Vektorski proizvod susednih vektora jednak je trećem vektoru sa pozitivnim znakom ako je redosled vektora u vektorskom proizvodu isti sa redosledom naznačenim strelicom, a negativan ako je suprotan. Na primer: i j = k, i k = j Vektorski proizvod dva vektora A i B, koji su izraženi preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu, je: A B = A A A B B B ( x i + y j + z k ) ( x i + y j + z k ) ( i i ) + ( i j ) + ( i k ) ( j i ) + ( j j ) + ( j k ) ( k i ) + ( k j ) + ( k k ) =A B A B A B x x x y x z + A B A B A B y x y y y z + A B A B A B. z x z y z z (2.39) Zamenom veličina u izrazu (2.39) izrazima (2.38), dobija se: A B = A B A B i A B A B j + A B A B k. (2.40) ( y z z y ) ( x z z x ) ( x y y x ) Ova jednačina se može predstaviti u obliku determinante: i j k A B = A A A x y z B B B x y z. (2.41) Da bi se odredio vektorski proizvod bilo koja dva vektora neophodno je razviti determinantu čiji prvi red sadrži jedinične vektore i, j i k, a drugi i treći red predstavljaju komponente vektora A i B u x, y i z pravcu.
VAŽNE NAPOMENE Vektorski proizvod dva vektora A i B daje vektor C = A B čiji je intenzitet C = A B sin θ, pravac je normalan na ravan koja sadrži vektore A i B, a smer je takav da trijedar vektora A, B i C bude desni Vektorski proizvod dva vektora A i B izražena preko svojih komponenata u Dekartovom koordinatnom sistemu je A B = A B A B i A B A B j + A B A B k ( y z z y ) ( x z z x ) ( x y y x ) Primer 2.8 Odrediti vektorski proizvod vektora A = 2i + j i B = 3i 4k. Vektorski proizvod vektora se može sračunati na dva načina: množeći vektorski komponente svaku sa svakom, prema izrazu (2.40) ili razvijanjem determinante, po izrazu (2.41). A B = ( 2i + j ) ( 3i 4 k ) = = ( 2)( 3) i i ( 2)( 4) i k + ( 1)( 3) j i + ( 1)( 4) j k = = 6 0 + 8 j + 3 k + 4 i = 4i 8 j 3k. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Korišćenjem izraza (2.41) dobija se: i j k i j k A B = A A A = 2 1 0 = 4i 8 j 3k. Primer 2.9 x y z B B B 3 0 4 x y z Intenzitet vektora sile F je 50 kn. Intenzitet vektora r je 2 m. Odrediti vektorski proizvod korišćenjem a) definicije vektorskog proizvoda i b) korišćenjem izraza (2.41). Slika P 2.9 a) Vektorski proizvod je: 0 3 r F = r F sin 60 u = 2 50 u = 50 3 u = 86, 60u knm. 2
Ort u je normalan na r i F, pa je u = k ili u = k. Stavljajući prste desne ruke na pravce vektora r i F zaključuje se da je u = k, pa je vektorski proizvod jednak: r F= 86, 60 k knm b) r i F, izraženi preko svojih komponenata, glase: 0 0 r = 2 m F= 50cos60 i + 50sin 60 j kn, pa je na osnovu (2.16): i ( ), ( ) i j k i j k 3 r F = 2 0 0 = 2 0 0 = 2 50 k = 86, 60k ( knm). 2 0 0 50cos 60 50sin 60 0 1 3 50 50 0 2 2 Najvažnije u ovom poglavlju Kako se određuje rezultujući vektor dva i više vektora Kako se vektor razlaže na komponente Kako se određuju komponente vektora u ravni i u prostoru Kako se određuje vektor čiji je pravac definisan dvema tačkama Kako se određuje skalarni proizvod dva vektora Kako se određuje vektorski proizvod dva vektora