1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo a = (a i ) i I A I, gde je a i := a(i). Ako je I =, onda je svaka I-familija prazna. Pojam familije uopštava pojam ured ene n-torke (n je prirodan broj) i pojam niza. Defnicija 1.2 Neka je A neprazan skup i n nenegativan ceo broj. a) Definišemo n-ti stepen skupa A, u oznaci A n : A 0 := { } i A n := {(a 1,..., a n ) a 1,..., a n A}, ako je n > 0. A n se formalizuje i kao skup svih funkcija iz skupa {1, 2,..., n} u skup A. b) Algebarska operacija skupa A, dužine n, ili n-arna operacija skupa A, je ma koja funkcija f : A n A. Za n kažemo da je arnost ili dužina operacije f, u oznaci ar(f). Ako je f n-arna operacija i ako su a 1,..., a n A, onda za sliku f(a 1,..., a n ) iz A kažemo i da je rezultat operacije f, primenjene na (a 1,..., a n ). Operacije f dužine 0 su odred ene slikom f( ) jedinog elementa iz A 0, to jest fiksiranim elementom a := f( ) iz A. Zato ćemo nularne operacije poistovećivati sa izabranim elementima skupa A i tako ih zapisivati. Zapravo, konstante iz A su našom definicijom formalno uvedene kao nularne operacije. Ako je f operacija dužine 1, ili unarna operacija, i a A, rezultat pišemo f(a); ali ne uvek, veoma retko. Neki znaci, na primer, 1,,, c, T, se često koriste za označavanje unarnih operacija. Tada rezultat primene tih operacija na a pišemo ( a), (a 1 ), (a ), a, (a c ), (a T ). 1

Ako je f operacija dužine 2, ili binarna operacija, i a, b A, rezultat u takozvanom prefiksnom zapisu pišemo f(a, b), ali se takav zapis retko koristi. Neki znaci, na primer +,,,,,,, pa čak i,, se često koriste za označavanje binarnih operacija i rezultat primene tih operacija na a, b A se piše u takozvanom infiksnom zapisu. Na primer (a b). Defnicija 1.3 Algebarska struktura, ili kraće algebra, je ured eni par A := (A, Ω), gde je A neprazan skup, domen algebre A, i Ω neka familija algebarskih operacija skupa A. Tip, ili signatura, algebre A = (A, Ω) je Ω-familija (ar(f)) f Ω. Kada je Ω = (f i ) i I, za neki skup I, onda pišemo i A := (A, f i ) i I. Tada je tip, ili signatura, algebre A I-familija (ar(f i )) i I. Algebre A i B su istotipne ako imaju jednake tipove. 2 Algebarski: jezik, izraz, zakon, teorija Defnicija 2.1 Algebarski jezik L je skup nekih simbola koje nazivamo simboli algebarskih operacija, na kome je definisana funkcija arnosti ar : L N 0 : f ar(f) 0, koja svakom simbolu jezika L pridružuje njegovu dužinu (arnost). Tada je ar(l) := (ar(f)) f L N 0 L jedna L-familija u N 0. Napomena. L = m 0 L m, gde je L m := {f L ar(f) = m}. Element f jezika L zovemo simbolom (znakom): 1) konstante, ako je ar(f) = 0, 2) unarne operacije, ako je ar(f) = 1, 3) binarne operacije, ako je ar(f) = 2, 4) ternarne operacije, ako je ar(f) = 3. 2

Defnicija 2.2 Neka je L algebarski jezik, Var skup disjunktan sa L čije elemente nazivamo promenljivim. Skup algebarskih izraza (ili terma) jezika L, nad skupom promenljivih Var, u oznaci Term L (Var), ili samo Term L, definišemo induktivno: (i) Promenljive i znaci konstanti su termi. (ii) Ako je m > 0, f L m i ako su t 1, t 2,..., t m termi, onda je i f(t 1, t 2,..., t m ) term. (iii) I ništa više. (Termi se dobijaju jedino primenom (i) i (ii).) Defnicija 2.3 Neka je L algebarski jezik. Skup algebarskih izraza (ili terma) jezika L, nad skupom promenljivih Var, L Var =, u oznaci T L (Var), ili samo T L, definišemo induktivno: (i) T 0 := Var L 0, (ii) T n+1 :=T n {f(t 1,..., t m ) m>0, f L m, t 1,..., t m T n }, n 0, (iii) T L := n 0 T n. Term L = Term L (Var) i T L = T L (Var) su najmanji skupovi koji sadrže promenljive i koji su zatvoreni za sve operacijske znake. Definicija 2.2 i Definicija 2.3 definišu iste pojmove, Term L = T L. Defnicija 2.4 Složenost je funkcija sl : T L N 0. Složenost terma u T L je sl(u):=min {n 0 u T n }. Ako je u T 0, onda je sl(u) = 0. Ako u T 0 onda je sl(u) = n u T n \ T n 1. 3

Defnicija 2.5 Algebarski zakon jezika L, nad skupom promenljivih Var, je jednakost oblika u = v, gde su u, v T L (Var). Defnicija 2.6 Algebarska teorija T je ma koji skup algebarskih zakona, jezika L, nad skupom promenljivih Var. 3 Modeli: jezika, izraza, zakona, teorije Defnicija 3.1 Algebarska struktura jezika L, ili algebra jezika L, je ured eni par A := (A, (f A ) f L ), gde je A neprazan skup i (f A ) f L neka L-familija algebarskih operacija skupa A koja čuva arnost, to jest takva da je ar(f A ) = ar(f) za svaki operacijski znak f jezika L. Domen algebre A je skup A. Tip algebre A je familija ar(l) = (ar(f)) f L. Algebra A je trivijalna akko A = 1. Algebarski jezik L indeksira i operacije i njihove dužine (arnosti). Algebra A (tačnije, familija (f A ) f L ) je jedan,,model algebarskog jezika L. Algebarska operacija f A je,,model operacijskog znaka f L, u algebri A. Defnicija 3.2 Neka je T L skup terma jezika L, A := (A, f A ) f L je algebra jezika L, i data je funkcija vrednost promenljivih a : Var A. Vrednost terma u algebri A za datu vrednost promenljivih a : Var A je funkcija ϑ A a : T L A, definisana potpunom indukcijom po sl: (i) Ako je x Var, onda ϑ A a (x) := a(x). Ako je c L 0, onda ϑ A a (c) := c A. (ii) Ako je m > 0, f L m i ako su t 1, t 2,..., t m termi, onda je ϑ A a (f(t 1, t 2,..., t m )) := f A (ϑ A a (t 1 ), ϑ A a (t 2 ),..., ϑ A a (t m )). 4

(ii) (Detaljniji opis prethodnog koraka.) Ako je u = f(t 1, t 2,..., t m ) T n+1, to jest postoje m > 0, f L m, t 1, t 2,..., t m T n termi čija vrednost je, po (IH), već definisana, onda je ϑ A a (u) = ϑ A a (f(t 1, t 2,..., t m )) := f A (ϑ A a (t 1 ), ϑ A a (t 2 ),..., ϑ A a (t m )). Napomena. Neka je {x 1, x 2,..., x k }, k 0, skup promenljivih koje se pojavljuju u termu t T L (Var). Vrednost terma t = t(x 1, x 2,..., x k ) zavisi samo od vrednosti a i := a(x i ), 1 i k, ovih promenljivih. Zato ćemo pisati ϑ A a (t) = ϑ A a (t(x 1, x 2,..., x k )) =: t A [a 1, a 2,..., a k ], a u ovom zapisu se,,vide i algebra A i vrednost promenljivih a : Var A. Defnicija 3.3 Neka je t = t(x 1, x 2,..., x k ) T L (Var). Tada: t A : A k A : (a 1, a 2,..., a k ) t A [a 1, a 2,..., a k ] := ϑ A a (t) definiše jednu term operaciju skupa A, dužine k. Term operacija t A je,,model terma t, u algebri (modelu jezika L) A. Defnicija 3.4 Algebarski zakon u = v važi u algebri A, jezika L, akko ϑ A a (u) = ϑ A a (v), za svaku vrednost promenljivih a : Var A. Pišemo A u = v, i čitamo: A je model algebarskog zakona u = v. Ako je u = u(x 1, x 2,..., x k ) i v = v(x 1, x 2,..., x k ), onda A u = v akko ( a 1, a 2,..., a k A) u A [a 1, a 2,..., a k ] = v A [a 1, a 2,..., a k ]. Defnicija 3.5 Algebra A, jezika L, je model teorije T akko svi zakoni iz T važe u A, to jest akko A je model svakog zakona iz T. Pišemo A T. 5

4 Algebarske teorije i varijeteti Defnicija 4.1 Algebarski varijetet algebarske teorije T, u oznaci M(T), je klasa svih modela te teorije, to jest M(T) := {A A T}. Defnicija 4.2 Klasa algebri M, jezika L, je algebarski varijetet, ili jednakosna klasa, akko postoji algebarska teorija T, jezika L, tako da je M = M(T); akko M može da se aksiomatizuje algebarskim zakonima (jednakostima). 5 Homomorfizmi Defnicija 5.1 Neka su A i B algebre jezika L. Preslikavanje h : A B je homomorfizam h : A B iz algebre A u algebru B akko ( m 0) ( f L m )( a 1,..., a m A) h(f A (a 1,..., a m )) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )). Homomorfizam je preslikavanje,,saglasno sa svim parovima operacija (f A, f B ) f L. Specijalno, ako je ar( ) = 2, ar( ) = 1, ar(c) = 0, i ako su a, a 1, a 2 A, onda je h(a 1 A a 2 ) = h(a 1 ) B h(a 1 ), h(â A ) = ĥ(a)b, h(c A ) = c B. Defnicija 5.2 Neka je h : A B homomorfizam algebri jezika L. a) h je monomorfizam akko je h injekcija, to jest,,1 1, b) h je epimorfizam akko je h surjekcija, to jest,,na, c) h je izomorfizam akko je h bijekcija, to jest,,1 1 i,,na, d) h je endomorfizam akko je A = B, e) h je automorfizam akko je h izomorfizam i endomorfizam. 6

Lema 5.1 Neka su A, B, C algebre istog jezika L. Tada: a) Identiteta na A, I A : A A : a a, je automorfizam algebre A. b) Ako su h 1 : A B i h 2 : B C homomorfizmi algebri istog jezika, onda je i h 2 h 1 : A C homomorfizam. c) Ako je h : A B izomorfizam, onda je h 1 : B A homomorfizam.. a) Neka je m 0, f L m, a 1,..., a m A. Tada je I A (f A (a 1,..., a m )) = f A (a 1,..., a m ) = f A (I A (a 1 ),..., I A (a m )). Onda je I A homomorfizam, pa i automorfizam. b) Neka je m 0, f L m, a 1,..., a m A. Tada je (h 2 h 1 )(f A (a 1,..., a m )) = h 2 (h 1 (f A (a 1,..., a m ))) = h 2 (f B (h 1 (a 1 ),..., h 1 (a m ))) = f C (h 2 (h 1 (a 1 )),..., h 2 (h 1 (a m ))) = f C ((h 2 h 1 )(a 1 ),..., (h 2 h 1 )(a m )). c) Ako je m 0, f L m, b 1,..., b m B onda postoje jedinstveni a 1 = h 1 (b 1 ),..., a m = h 1 (b m ) A tako da je h 1 (f B (b 1,..., b m )) = h 1 (f B (h(a 1 ),..., h(a m ))) = h 1 (h(f A (a 1,..., a m ))) = f A (a 1,..., a m ) = f A (h 1 (b 1 ),..., h 1 (b m )). Posledica. Kompozicija dva monomorfizma (odnosno epimorfizma, izomorfizma, endomorfizma, automorfizma) je monomorfizam (odnosno epimorfizam, izomorfizam, endomorfizam, automorfizam). Defnicija 5.3 Neka je A neka algebra. End(A) := {h : A A h je endomorfizam}, Aut(A) := {h : A A h je automorfizam}. 7

Stav 5.1 Neka je A algebra. Tada, na osnovu Leme 5.1: End(A) = (End(A),, I A ) je monoid. Aut(A) = (Aut(A),, 1, I A ) je grupa. Defnicija 5.4 Algebre A i B jezika L su izomorfne, pišemo A = B, akko postoji izomorfizam h : A B. Lema 5.2 Izomorfnost je relacija ekvivalencije (na osnovu Leme 5.1). Stav 5.2 Neka je h : A B homomorfizam algebri jezika L. Onda za svaki term u = u(x 1,..., x k ) jezika L važi: ( a 1,..., a k A) h(u A [a 1,..., a k ]) = u B [h(a 1 ),..., h(a k )].. Dokaz izvodimo potpunom indukcijom po sl(u). (i) sl(u) = 0: Ako je u = c L 0, onda je h(u A ) = h(c A ) = c B = u B. Ako je u = x Var, onda je ( a A) h(u A [a]) = h(a) = u B [h(a)]. (ii) sl(u) = n + 1 > 0: Neka je u = f(t 1, t 2,..., t m ) T n+1, to jest postoje m > 0, f L m, t 1, t 2,..., t m T n termi za koje, po (IH), Lema već važi. u = u(x 1,..., x k ) = f(t 1 (x 1,..., x k ), t 2 (x 1,..., x k ),..., t m (x 1,..., x k )). Neka su a 1,..., a k A proizvoljni. Tada: h(u A [a 1,..., a k ]) = h(f A (t A 1 [a 1,..., a k ], t A 2 [a 1,..., a k ],..., t A m[a 1,..., a k ])) = f B (h(t A 1 [a 1,..., a k ]), h(t A 2 [a 1,..., a k ]),..., h(t A m[a 1,..., a k ])), jer je h homo, = f B (t B 1 [ha 1,..., ha k ], t B 2 [ha 1,..., ha k ],..., t B m[ha 1,..., ha k ]), na osnovu (IH), = u B [h(a 1 ),..., h(a k )] Stav 5.3 Neka je h : A B epimomorfizam algebri jezika L, i u = v algebarski zakon jezika L. Tada, ako A u = v onda B u = v. 8

. Neka je u = u(x 1, x 2,..., x k ) i v = v(x 1, x 2,..., x k ). Kako A u = v, imamo da je ( a 1, a 2,..., a k A) u A [a 1, a 2,..., a k ] = v A [a 1, a 2,..., a k ]. Ako su b 1, b 2,..., b k B = h[a], onda postoje a 1, a 2,..., a k A tako da je b 1 = h(a 1 ), b 2 = h(a 2 ),..., b k = h(a k ). Tada imamo u B [b 1, b 2,..., b k ] = u B [h(a 1 ), h(a 2 ),..., h(a k )] = h(u A [a 1, a 2,..., a k ]) = h(v A [a 1, a 2,..., a k ]) = v B [h(a 1 ), h(a 2 ),..., h(a k )] = v B [b 1, b 2,..., b k ]. Posledica. Neka je M algebarski varijetet i h : A B epimorfizam. Ako je A M, onda B M.. Postoji algebraska teorija T, jezika L, tako da je M = M(T). Kako A M, to je A T. Onda je B T, to jest B M. 6 Podalgebre Defnicija 6.1 Neka su A i B algebre jezika L. Algebra B je podalgebra algebre A, pišemo B < A, akko: 1 B A, 2 ( m 0) ( f L m )( b 1,..., b m B) f B (b 1,..., b m ) = f A (b 1,..., b m ). Defnicija 6.2 Neka je A algebra jezika L. B A je podalgebra algebre A akko: 1 B, 2 Ako je m 0, f L m, onda ( b 1,..., b m B) f A (b 1,..., b m ) B. Tada (do)definišemo algebru B čiji je domen skup B, tako da je ( m 0) ( f L m )( b 1,..., b m B) f B (b 1,..., b m ) := f A (b 1,..., b m ). Napomena. Prethodne dve definicije su ekvivalentne. 9

Stav 6.1 Ako je h : A B homomorfizam algebri jezika L, onda je h[a] podalgebra algebre B, u smislu Definicije 6.2, pa je h[a] algebra.. 1 A h[a], 2 Ako je m 0, f L m, b 1,..., b m h[a] onda postoje a 1,..., a m A tako da je f B (b 1,..., b m ) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )) = h(f A (a 1,..., a m )) h[a]. Posledica. Neka je M algebarski varijetet i neka je h : A B homomorfizam. Ako A M, onda h[a] M.. Jer je h[a] algebra (Stav 6.1), i h indukuje epimorfizam h : A h[a]. Lema 6.1 A i B su algebre jezika L. B je podalgebra algebre A akko: 1 B A, 2 µ : B A : b b je monomorfizam (prirodno utapanje).. : µ(f B (b 1,..., b m )) = f B (b 1,..., b m ) = f A (b 1,..., b m ) = f A (µb 1,..., µb m ). : f B (b 1,..., b m ) = µ(f B (b 1,..., b m )) = f A (µb 1,..., µb m ) = f A (b 1,..., b m ). Stav 6.2 Neka je B podalgebra algebre A, jezika L, i u = v ma koji algebarski zakon jezika L. Ako A u = v onda B u = v.. Neka je u = u(x 1, x 2,..., x k ) i v = v(x 1, x 2,..., x k ). Kako A u = v, imamo da je ( a 1, a 2,..., a k A) u A [a 1, a 2,..., a k ] = v A [a 1, a 2,..., a k ]. Neka su b 1, b 2,..., b k B A proizvoljni. Tada je u B [b 1, b 2,..., b k ] = µ(u B [b 1, b 2,..., b k ]) = u A [µb 1, µb 2,..., µb k ] = v A [µb 1, µb 2,..., µb k ] = µ(v B [b 1, b 2,..., b k ]) = v B [b 1, b 2,..., b k ]. Posledica. Neka je M algebarski varijetet i B podalgebra algebre A. Ako A M, onda B M. 10

7 Direktni proizvod Defnicija 7.1 Neka su A i A 1,..., A n algebre jezika L. Algebra A je direktni proizvod familije (A 1,..., A n ), u oznaci 1 A = n A i, akko: 1 A := n A i := {(a 1,..., a n ) a 1 A 1,..., a n A n } { i=1 a : {1,..., n} n A i ( i {1,..., n}) a(i) A i }. i=1 2 Ako je m 0, f L m, a 1,..., a m A, i {1,..., n}, onda je (f A (a 1,..., a m ))(i) := f A i (a 1 (i),..., a m (i)) A i. Specijalno, ako je c L 0, onda je c A = (c A1,..., c An ) A. Ako L 1, L 2, i ako su a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) A, onda â A = (â 1 A 1,..., â n A n ), a A b = (a 1 A 1 b 1,..., a n A n b n ). Defnicija 7.2 Neka su A i A i, i I, algebre jezika L. Algebra A je direktni proizvod familije algebri (A i ) i I,, u oznaci A = i I A i, akko: 1 A := { A i := a : I } A i ( i I) a(i) A 2 i. i I i I 2 Ako je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni, onda je ( i I) (f A (a 1,..., a m ))(i) := f A i (a 1 (i),..., a m (i)) A i. Specijalno, ako je c L 0, onda je c A (i) = c A i A i, c A = (c A i ) i I A. Ako L 1, L 2, i ako su a, b A, onda (uz a i := a(i), b i := b(i)) â A = (â(i)ai ) i I = (â i A i ) i I A, a A b = (a(i) A i b(i)) i I = (a i A i b i ) i I A. Napomena. Stepeni algebre A su A n := n A, A I := A. i=1 i I 1 Ili A = A 1 A n, A = A 1 A n. 2 (AI) Aksioma izbora: Ako je (A i) i I familija nepraznih skupova, onda je A i i=1 i I 11

Defnicija 7.3 Neka je (A i ) i I familija nepraznih skupova i A = i I A i. Tada se funkcija π i : A A i : a a(i) naziva i ta projekcija. Stav 7.1 Neka je (A i ) i I familija algebri jezika L i A = i I A i. Za svako j I, π j : A A j je epimorfizam π j : i I A i A j.. Prvo proveravamo da je π j homomorfizam, a onda da je,,epi. Ako je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni, onda je π j (f A (a 1,..., a m )) = (f A (a 1,..., a m ))(j) = f A j (a 1 (j),..., a m (j)) = f A j (π j (a 1 ),..., π j (a m )). Neka je α A j fiksiran, i neka je a A ma koji element(a ). Od a A i α, i = j; α A j pravimo b A tako da je b(i) := Tada je π j (b) = α. a(i), i j. Stav 7.2 Neka je (A i ) i I familija algebri jezika L, A = i I A i, i u = v algebarski zakon jezika L. Tada, A u = v akko ( i I) A i u = v.. : A u = v ( i I) A i = π i [A] u = v, prema Stavu 5.3. : ( a, b A) (a = b ( i I) πi (a) = π i (b)). ( ) Neka je u = u(x 1,..., x k ), v = v(x 1,..., x k ), i neka a 1,..., a k A. Kako ( i I) A i u = v, to je ( i I) ( a 1,..., a k A) u A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )] = v A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )]. Sada je ( a 1,..., a k A) ( i I) π i (u A [a 1,..., a k ]) ( ) = u A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )]) = v A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )]) (zbog ( )) = π i (v A [a 1,..., a k ]). Odavde sledi, koristeći ( ), ( a 1,..., a k A) u A [a 1,..., a k ] = v A [a 1,..., a k ]), to jest A u = v. 12

Posledica Neka je (A i ) i I familija algebri jezika L, A = i I A i, i M algebarski varijetet jezika L. Tada, A M akko ( i I) A i M.. Postoji algebraska teorija T, jezika L, tako da je M = M(T). Onda: A M akko A T akko ( i I) A i T akko ( i I) A i M. Primer. Klasa svih polja nije algebarski varijetet (jednakosna klasa), jer je direktni proizvod dva polja ima prave delitelje nule.. (0 F, 1 K ) (1 F, 0 K ) = (0 F, 0 K ) = 0 F K. 8 Kongruencije i količničke algebre Defnicija 8.1 Neka je A algebra jezika L i A 2 binarna relacija skupa A. Tada je kongruencija algebre A akko: 1 je relacija ekvivalencije (R, S, T), 2 Ako je m > 0, f L m, onda za svako a 1,..., a m, b 1,..., b m A: a 1 b 1 a m b m f A (a 1,..., a m ) f A (b 1,..., b m ). Lema 8.1 Neka je A algebra jezika L, A 2 kongruencija algebre A. Ako je m > 0, f L m, onda za svako a 1,..., a m, b 1,..., b m A važi a 1/ = b 1/ a m/ = b m/ (f A (a 1,..., a m )) / = (f A (b 1,..., b m )) /.. a 1/ = b 1/ a m/ = b m/ a 1 b 1 a m b m f A (a 1,..., a m ) f A (b 1,..., b m ) (f A (a 1,..., a m )) / = (f A (b 1,..., b m )) /. 13

Defnicija 8.2 Neka je A algebra jezika L i kongruencija algebre A. Definišemo količničku (faktor) algebru A / := (A /, f A / )f L : 1 A / := { a / a A }, gde je a / := {b A a b}. 2 Ako je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni, onda je f A / (a1/,..., a m/ ) := (f A (a 1,..., a m )) /. Operacije su dobro definisane, na osnovu Leme 8.1. Specijalno, ako je c L 0, onda je c A / := (c A ) /. Ako L 1, L 2, i ako su a, b A, onda â / A / = (â A ) /, a / A / b/ = (a A b) /. Lema 8.2 Ako je A algebra jezika L, kongruencija algebre A, i π : A A / : a a /, onda je π epimorfizam, takozvana kanonska (prirodna) projekcija π : A A / algebre A, na faktor algebru A /.. Sledi iz prethodne definicije, kad je,,čitamo zdesna : π(f A (a 1,..., a m )) = (f A (a 1,..., a m )) / = f A / (a1/,..., a m/ ) = f A / (π(a1 ),..., π(a m )). Defnicija 8.3 Neka je h : A B homomorfizam algebri jezika L. Definišemo jezgro homomorfizma h, binarnu realciju, h A 2 : ( a 1, a 2 A) (a 1 h a 2 h(a 1 ) = h(a 2 )), ili skupovno Ker(h) := {(a 1, a 2 ) A 2 h(a 1 ) = h(a 2 )}. Lema 8.3 Jezgro homomorfizma h : A B je kongruencija algebre A.. Iz definicije sledi da je jezgro, kao jednakost slika, relacija ekvivalencije. Ako je m > 0, f L m, onda za svako a 1,..., a m, b 1,..., b m A: a 1 h b 1 a m h b m h(a 1 ) = h(b 1 ),..., h(a m ) = h(b m ) h(f A (a 1,..., a m )) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )) = f B (h(b 1 ),..., h(b m )) = h(f A (b 1,..., b m )) f A (a 1,..., a m ) h f A (b 1,..., b m ) 14

Teorema o razlaganju homomorfizma. Neka je h : A B homomorfizam, je h, to jest jezgro Ker(h). Neka je µ : h[a] B : b b prirodno utapanje (monomorfizam) i π : A A / : a a / prirodna projekcija (epimorfizam). Tada postoji tačno jedan izomorfizam ϕ : A / h[a], tako da je h = µ ϕ π.. Definišemo ϕ : A / h[a] : a / ϕ(a / ) := h(a). 0 ϕ je dobro definisano: a / = b / a b h(a) = h(b). 1 ϕ je,,1 1 : ϕ(a / ) = ϕ(b / ) h(a) = h(b) a b a / = b /. 2 ϕ je,,na : h[a] h(a) = ϕ(a / ). 3 ϕ je homomorfizam: Neka je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni. Onda je ϕ(f A / (a 1/,..., a m/ )) = ϕ((f A (a 1,..., a m )) / ) = h(f A (a 1,..., a m ))) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )) = f h[a] (h(a 1 ),..., h(a m )) = f h[a] (ϕ(a 1/ ),..., ϕ(a m/ )). 4 h = µ ϕ π sledi iz definicije: ( a A) ϕ(a / ) = h(a) ( a A) ϕ(π(a)) = h(a) ( a A) µ(ϕ(π(a))) = h(a) µ ϕ π = h 5 ϕ je jedinstveno: µ ϕ π = h ( a A) µ(ϕ(π(a))) = h(a) ( a A) ϕ(π(a)) = h(a) ( a A) ϕ(a / ) = h(a). 15