SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI

VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI - 59-6 KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u kojoj će linearni operator A : X X imati najjednostavniji prikaz U čitavom poglavlju, X će biti n-dimenzionalni vektorski prostor i svi operatori biće definisani i uzimaće vrijednosti u istome prostoru X Definicija Neka za vektor v 0 i skalar λ vrijedi A(v) = λv () Tada: (i) vektor v 0 zovemo svojstvenim vektorom operatora A; (ii) skalar λ nazivamo svojstvena vrijednost operatora A, koja odgovara svojstvenom vektoru v Primjedbe ) Pojam svojstvena, (sopstvena ili karakteristična) vrijednost u engl eigenvalue, njem Eigenwert, franc valeur propre, rus sobstvenoe značenie ) Prema definiciji je jasno da je za svako a 0 i av svojstveni vektor, ako je v svojstveni vektor Svi ti vektori odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ 3) Neka su x, y dva svojstvena vektora (ako postoje, ali ne obavezno kolinearna) koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ Tada vrijedi A(ax + by) = aa(x) + ba(y) = aλx + bλy = λ(ax + by) te je i ax + by (ukoliko je različit od 0) svojstveni vektor za istu svojstvenu vrijednost 4) Uopštavajući ovo razmatranje, možemo za svaku svojstvenu vrijednost λ promatriti potprostor Ker(λE - A), jezgro operatora λi A Svaki vektor, različit od nule, iz toga potprostora svojstveni je vektor operatora A Naime, (λe A)(v) = 0 povlači A(v) =λv Ovaj se potprostor naziva svojstveni potprostor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ Primjer Za operator E svaki je vektor svojstveni, a zajednička svojstvena vrijednost je broj, pošto vrijedi E(v) = v za svaki v Primjer Neka je operator A zadan matricom Iz jednačine Av = λv dobijemo sljedeći sistem x + x =λx, x A = 0 = λx Nađimo njegove svojstvene vrijednosti i vektore Iz druge jednačine čitamo λ = ili x = 0 Ako je λ =, iz prve slijedi x + x = x, te je x = 0, x proizvoljno Ako je x = 0 tada iz prve jednačine vidimo da je λ = i opet x proizvoljno (različito od nule) Postoji zato jedna svojstvena vrijednost λ = i jednodimenzionalni svojstveni potprostor a koji odgovaraju toj 0 svojstvenoj vrijednosti Umjesto da govorimo o jednodimenzionalnom potprostoru, radije ćemo izabrati jedan (bilo koji) njegov vektor i govoriti o svojstvenom vektoru koji pripada toj svojstvenoj vrijednosti Nalaženje svojstvenih vektora Ovaj primjer pokazuje da će se nalaženje svojstvenih vektora svesti na rješavanje homogenoga linearnoga sistema Zaista, jednačine A(v) = λ v ekvivalentna je s (λe - A)(v)=0 () Dakle, v je svojstveni vektor ako i samo ako pripada jezgri operatora λe A Ovaj uslov govori o načinu na koji se mora birati skalar λ

- 60 - Karakteristični polinom Da bi jednadžba () imala netrivijalno rješenje, operator λe - A ne smije biti regularan Neka je A matrica operatora A u nekoj bazi Matrica jediničnog operatora (u svakoj bazi) jedinična je matrica E Zato operatoru λe - A odgova matrica λe - A Kako operator λe - A nije regularan, determinanta njegove matrice mora biti jednaka nuli, tj λ a a a n a λ a a n λe A = = 0 an an λ Ova determinanta je polinom po promjenljivoj λ, stepena n Nazivamo ga karakteristični polinom operatora A (ili matrice A) i označavamo (obično) s k(λ), k(λ) = det(λe - A) Vodeći koeficijent ovoga polinoma (uz potenciju λ n ) je Stoga on ima oblik n n k ( ) λ = λ σλ σn λ σn Jednačina k(λ) =det(λe - A)=0 naziva se karakteristična jednačina operatora A (matrice A) Rješenja karakteristične jednačine su svojstvene vrijednosti operatora A Karakteristični polinom ne ovisi o izboru baze Karakteristični se polinom računa preko determinante matrice koja odgovara operatoru λe - A Ta matrica ovisi o izabranoj bazi, međutim, njezina determinanta ne! Svake takve dvije matrice su slične i stoga imaju istu determinantu Kako su svojstvene vrijednosti nule karakterističnog polinoma, to niti one ne ovise o izboru baze Zato pri računanju svojstvenih vrijednosti možemo uzeti bilo koju bazu za prikaz operatora A Računanje svojstvenih vrijednosti Svojstvene vrijednosti su nula polinoma stepena n Da bismo ih odredili, moramo odrediti najprije taj polinom Kako je on determinanta matrice reda n, suočeni smo s dva ozbiljna problema: (i) Kako odrediti determinantu matrice reda n, čiji elementi nisu numerički, već se u njoj pojavljuje i nepoznata λ? (ii) Nakon što je taj polinom izračunat (na neki način!), kako odrediti njegove nule? Na prvo se pitanje ne može dati zadovoljavajući odgovor Razvoj novih računalskih programa, s razvijenim simboličkim (a ne samo numeričkim) računnanjem omogućava računanje i ovakvih determinanti Postoji nekoliko načina za određivanje koeficijenata karakterističnog polinoma koji ne koriste direktno računanje determinanti, međutim svi su oni efikasni samo za matrice maloga reda Sto se nalaženja svojstvenih vrijednosti tiče, nule polinoma velikoga stepena mogu se računati samo iterativnim metodama Razlog tome je što eksplicitne formule za nalaženje nula polinoma stepena većeg od četiri ne postoje Za polinome stepena tri i četiri, formule postoje ali su praktički neuporabljive Sve ovo ukazuje na to da se svojstvene vrijednosti (i vektori) matrica velikoga reda nalaze posve drukčijim metodama Tim se problemom bavi posebno područje matematike, tzv numerička linearna algebra Značenje kompleksnih brojeva Polje realnih brojeva je nedovoljno u problemu nalaženja svojstvenih vrijednosti Razlog tomu je što polinom (čak i onaj s realnim koeficijentima) ne mora imati niti jedan realni korijen Ako je to karakteristični polinom, tad odgovarajući operator nema (realnih) svojstvenih vrijednosti S druge strane, prema osnovnom stavu algebre svaki polinom stepena n ima točno n kompleksnih nula (uvažavajući njihovu višestrukost) Stoga je korisno pri nalaženju svojstvenih vrijednosti dozvoliti račun u polju kompleksnih brojeva Na taj će način svaki operator imati bar jednu svojstvenu vrijednost i bar jedan svojstveni vektor (koji ne mora imati geometrijsku interpretaciju) Primjer 3 Za matricu A = 0 odredimo njezin karakteristični polinom: k(λ) = λ + 0 Njegove su nule λ = i te λ = - i Svojstveni vektori će također imati kompleksne koordinate

Birajući koju alternativu prihvatiti, nesumnjivo ćemo odabrati račun s kompleksnim brojevima Stoga riječ skalar u definiciji svojstvenih vrijednosti i vektora s početka ovoga poglavlja znači kompleksan broj Dakako, skup realni brojevi je podskup skupa kompleksnih brojeva 6 DIJAGONALIZACIJA OPERATORA Dokažimo jednu osobinu svojstvenih vektora Stav Svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima međusobno su linearno nezavisni - 6 - Dokaz Tvrdnju dokazujemo indukcijom po broju različitih svojstvenih vrijednosti Ako je taj broj jednak, nemamo što dokazivati Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za (k )-nu svojstvenu vrijednost Neka su sad λ,, λ k različite svojstvene vrijednosti i v,, v k odgovarajući svojstveni vektori Pogledajmo njihovu linearnu kombinaciju koja se poništava: a v + a v + + a k v k = 0 (3) Operator A preslikava ovu kombinaciju ponovo u nula-vektor Kako su gornji vektori svojstveni za operator A, to vrijedi a λ v + a λ v + + a k λ k v k = 0 (4) Pomnožimo relaciju (3) s λ i oduzmimo od (4) Dobijemo a (λ - λ )v + + a k (λ k - λ )v k = 0 Vektori v,, v k po pretpostavci su linearno nezavisni Stoga su svi koeficijenti jednaki nuli Kako su svojstvene vrijednosti međusobno različite, to vrijedi a == a k = 0 Sad iz (3) slijedi i a = 0, čime je tvrdnja dokazana Dijagonalizacija operatora Izvedimo odmah važnu posljedicu ovog teorema: Ako su sve nule karakterističnog polinoma različite, tada postoji baza prostora koju čine svojstveni vektori promatranog operatora Neka su to vektori v,, v n Kako izgleda matrica operatora A u toj bazi? Vrijedi A(v ) = λ v,, A(v n ) = λ n v n Zato je njegova matrica u ovoj bazi dijagonalna Uobičajen redoslijed postupaka je sljedeći: zadana je matrica A operatora u početnoj (obično kanonskoj) bazi Računajući svojstvene vektore te matrice mi odabiremo drugu bazu u kojoj će operator imati dijagonalni prikaz U jeziku matrica, tražimo da li postoji dijagonalna matrica slična početnoj Algoritam za dijagonalizaciju matrice Korak Odredimo karakteristični polinom k (λ) matrice A Korak Odredimo nule λ,, λ n karakterističnog polinoma To su svojstvene vrijednosti matrice A Korak 3 Riješavamo homogene sisteme (λ i E - A)v = 0, čija su rješenja svojstveni vektori matrice A Ako postoji n linearno nezavisnih svojstvenih vektora, tad je matrica slična dijagonalnoj (operator se može dijagonalizirati) Svojstvene vektore zapisimo kao stupce matrice prijelaza P Korak 4 Matrica operatora u novoj bazi je dijagonalna λ 0 0 λ ' A = P AP= 0 0 0 0 λ n Dijagonalni elementi su svojstvene vrijednosti matrice A Vrijedi i obrnut stav, koji navodimo bez strogog dokaza Stav Operator se može dljagonalizirati onda i samo onda ako postoji baza koju čine njegovi svojstveni vektori

- 6 - Zaista, ako je matrica operatora (u nekoj bazi) dijagonalna, tad su vektori te baze svojstveni vektori, a elementi na dijagonali svojstvene vrijednosti To slijedi iz načina kako operatoru pridružujemo matricu Primijetimo nadalje da pri tom nije bilo važno da su sve svojstvene vrijednosti različite! Potreban i dovoljan uslov da bi se A dao dijagonalizirati je da posjeduje n linearno nezavisnih svojstvenih vektora Pokazali smo da će se to sigurno dogoditi ukoliko su svojstvene vrijednosti različite, no taj uslov nije uvijek potreban Primjer 4 Jedinični je operator najdrastičniji primjer: on posjeduje samo jednu svojstvenu vrijednost, ali vrijedi E(v) = v za svaki vektor v, stoga je odgovarajući svojstveni potprostor čitav prostor X Matrični polinom Pretpostavimo da je matrica A slična dijagonalnoj: postoji matrica P takva da je P - AP = D dijagonalna (Primijetite da pri tom ne zahtijevamo da su svojstvene vrijednosti različite, s obzirom na činjenicu da postoje matrice slične dijagonalnoj čije sve svojstvene vrijednosti nisu različite) Računanje s dijagonalnim matricama iznuzetno je lagan posao; takve se matrice ponašaju poput skalara Tako napr vrijedi p d d 0 0 0 0 0 0 d 0 0 0 p d d p d D= 0 0 D = 0 0 D = 0 0 p d 0 0 n 0 0 d n 0 0 dn Općenitije, ako je p(λ) bilo koji polinom, tad je vrijednost toga polinoma u dijagonalnoj matrici D ponovno dijagonalna matrica: p(d ) 0 0 0 p(d ) pd ( ) = 0 0 (5) 0 0 p(d n ) Kako se koristi ovaj rezultat? Iz veze P - AP = D slijedi: A = PDP - (6) Zato je A = (PDP - )( PDP - )= PD P - Ponavljajući taj postupak,da za svaku potenciju vrijedi A k = PD k P - Stoga za polinom P(λ) stepena k možemo pisati P(A) = P p(d)p - (7) pri čemu p(d) računamo prema (5) 000 Primjer 5 Izračunajmo 5 6 Da bismo odredili ovu potenciju, potražit ćemo dijagonalnu matricu sličnu matrici A (ukoliko postoji!) i primijeniti formulu (7) Najprije moramo odrediti svojstvene vrijednosti: λ 5 k(λ) = = λ 3 λ+ 6 λ + Nule svojstvenoga polinoma su λ = i λ = One su različite i stoga smo sigurni da je matrica slična dijagonalnoj Sad određujemo svojstvene vektore Onaj koji odgovara prvoj svojstvenoj vrijednosti nalazimo iz sistema (E - A)v = 0, odnosno 4x x x = 0 = a 6x + x = x 3 0 Drugi svojstveni vektor je rješenje jednačine (E A)v =0, odnosno

- 63-3x x x = 0 = a 6x + x = x 4 0 3 Zato je P i P 3 = Sad vrijedi A = PDP - =, gdje je D dijagonalna matrica sa 3 dijagonalom (λ, λ ) = (, ) Dakle: 3 5 0 = 6 3 0 Provjeriti taj dobijeni rezultat direktnim računanjem! Formula (6) sad glasi A = PDP -, što je ekvivalentno sa 5 0 3 = 6 3 0 Potenciju A 000 računamo po formuli (7): A 000 = PD 000 P -, tj 000 000 5 0 3 0 3 = = 000 6 3 0 3 0 63 CAYLEY-HAMILTONOV STAV Dokažimo sad sljedeći stav koji se pripisuje Arthur-u Cayley-u (8-895), engleskom matematičaru i Williamu Rowan Hamilton-u (805-865), irskom matematičaru Stav 3 (Cayley-Hamilton) Matrica A poništava svoj svojstveni polinom, tj vrijedi k(a) = 0 Dokaz Neka je B(λ) adjungovana matrice λe - A, tj matrica za koju vrijedi B(λ)[λE - A] = det(λe - A)E Ako matricu B posmotrimo kao funkciju nepoznate λ, tad je B(λ) polinom (n )-vog stuepena: B(λ) = λ n- B 0 + λ n- B + + B n- (jer je svaki njezin element determinanta matrice reda n - l dobijene brisanjem jedne vrste i jedne kolone u matrici λe - A) Usporedimo jednake potencije na obe strane identiteta: (λ n- B 0 + λ n- n n B + + B n- )( λe - A) = ( λ σλ σn λ σn)e Dobijamo sljedeće relacije: B 0 = E B B0A= σe B B A= σ E B B A= σ E n n n B A= σ E Pomnožimo prvu jednakost s A n, drugu s A n-,, pretposljednju s A i saberimo dobijene rezultate: 0 = A n - σ A n- - - σ n- A - σ n E = k(a); što smo i trebali dokazati n n Svojstvene vrijednosti i regularnost operatora Operator A je regularan ako i samo ako broj 0 nije njegova svojstvena vrijednost Naime, jednadžba A (x) = 0 ima netrivijalno rješenje onda i samo onda ako je λ = 0 svojstvena vrijednost operatora

U jeziku matrica, A ima inverznu ako i samo ako su sve njezine svojstvene vrijednosti različite od nule U tom se slučaju njena inverzna može dobiti, primjenom Cayley-Hamiltonova stava, po formuli A - = B n- /σ n (9) Primijetimo pri tom da je slobodni član σ n u karakterističnom polinomu jednak ±λ λ λ n, te formula (9) ima smisla samo onda kad su sve svojstvene vrijednosti različite od nule - 64 - Primjer 6 Odredimo karakteristični polinom i svojstvene vrijednosti matrice 0 0 A = 4 4 0 Razvojem po trećoj koloni dobijemo: λ 0 λ 3 k ( λ ) = 4 λ 4 0 = ( λ ) = ( λ ) 4 λ 4 λ Matrica ima trostruku svojstvenu vrijednost λ = Po Cayley-Hamiltonovu stavu je A 3-6A + A 8E = 0 Množenjem s A - slijedi A - 6A + E=8A -, te odavde možemo lako odrediti inverz A - = 8 - (A - 6A + E) Primjer 7 Odredi svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice 4 A = 5 4 4 Karakteristični polinom je λ 4 k ( λ ) = λ 5 3 = λ 8λ + λ 8 = 0 4 4 λ+ Eventualne cjelobrojne nule mogu bili samo cjelobrojni djelitelji broja 8 Provjeravajući unutar skupa {±,±±3,±6, ±9, ±8}, brzo otkrivamo da je jedna nula λ = (ili možda pogodimo λ = 3) Nakon toga je lako odrediti potpunu faktorizaciju: k(λ) = (λ - )( λ - 3) Stoga je i λ 3 = 3 Prva svojstvena vrijednost λ = je jednostruka Njoj će odgovarati jedan svojstveni vektor Provjeri da je to v = [,,4] T Druga svojstvena vrijednost je dvostruka: λ = λ 3 = 3 Svojstveni potprostor koji odgovara ovoj svojstvenoj vrijednosti može biti jednodimenzionalan ili možda dvodimenzionalan To znači da ćemo sigurno dobiti barem jedan odgovarajući svojstveni vektor, ali nismo unaprijed sigurni da će ih biti onoliko kolika je višestrukost svojstvene vrijednosti Iz sistema (λ E - A)x = 0, slijedi x 0 y = 0, 4 4 4 z 0 tj sistem se svodi na samo jednu jednačinu x + y - z = 0, čije je rješenje oblika

x s t + y = s = s + t 0 z t 0 Dakle, dvostrukoj svojstvenoj vrijednosti λ = λ 3 = 3 odgovaraju dva linearno nezavisna svojstvena vektora v =, v 3 = 0 i već određeni v = 0 4 Primjer 8 Svedi na dijagonalni oblik matricu A iz primjera 7 Vidili smo da matrica A dvije različite svojstvenoj vrijednosti: λ = je jednostruka i dvostruka svojstvena vrijednosti λ = λ 3 = 3 Odgovarajući svojstveni vektori su: v = (,,4) T, v = ( 0,, ) T, v = ( 0,, ) T Tako dobijemo matricu koja dijagonalizira matricu A, tj 3 P= ( v v v ) = 3 0 4 0 Za vježbu izračunati P - i provjeriti zadnji rezultat 4 0 0 P AP = = 0 5 0 0 3 0 4 0 4 4 4 0 0 0 3-65 -

VII ANALITIČKA GEOMETRIJA - 66-7 VEKTORSKI PROSTOR ORIJENTISANIH DUŽI Pored skalarnih veličina (dužina, površina, zapremina, temperatura, pritisak, masa, kinetička energija, gustina itd) čije su vrijednosti izkazane samo brojem (tj skalarom), među osnovnim pojmovima koji se javljaju u geometriji, fizici, mehanici i elektrotehnici postoje i oni (translacija, sila, brzina, ubrzanje, električno polje i slično) čije se vrijednosti ne mogu izkazati samo brojnim vrijednostima, već ih karakteriše i pravac i smijer Takve veličine nazivamo vektorskim veličinama ili vektorima Nas će ovde interesovati geometrijski analogon takvih veličina Nećemo se upuštati u razmatranje i definisanje nekih osnovnih geometrijskih pojmova kao što su prava, ravan, prostor, ugao i translacija Smatraćemo ih intuitivno jasnim Koristićemo slijedeća oznake: E za skup svih tačaka prostora koji opažamo; Π, P, R, S itd za ravni u E; a, b, p, q itd za prave u E; tačke u E označavaćemo velikim slovima A, B, C, M, T itd Definicija vektora Neka su A i B proizvoljne tačke iz E Ako A smatramo početnom a B krajnjom tačkom duži AB, on da je duž usmjerena (ili orjentisana) od A ka B i nazivamo je vektorom i označavamo sa AB (Ako je neophodno naglasiti početnu i krajnju tačku vektora, koristi se notacija AB ; u protivnom, moguće vektor označiti sa a ) Intenzitetom ili normom vektora nazivamo rastojanje tačaka A i B, tj mjerni broj duži AB i označavamo sa AB ili da,b ( ) ili a Smjerom (orijentacijom) vektora a nazivamo smjer (orijentaciju) od A ka B (određen je strelicom kod B, vidi sla) B p a B B A A Slika a Slika b Pravac p na kome se nalaze tačke A i B naziva se pravac ili nosač vektora a Primjedbe Svaki vektor AB je potpuno određen uređenim parom tačaka (A,B) E E, tako da ćemo nadalje promatrati skup vektora, tj skup orjentisanih duži : = AB A, B E E V ( ) A { } koji ćemo snabdjeti odgovarajućim operacijama tako da V postane realni vektorski prostor Za lakše prihvatanje slijedećih (ekvivalentnih) definicija jednakosti u skupu V viditi slb: Definicije jednakosti vektora Neka su AB i AB iz V, tada je (i) AB = AB, tj vektori AB i AB su jednaki akko je četvorougao ABB A paralelogram;

- 67 - (ii) AB = AB akko se translacijom AB može dovesti do poklapanja sa AB, tako da se poklope početna sa početnom, a krajnja sa krajnjom tačkom, (pritom je vektor translacije vtr = A A= BB, gdje ta jednakost slijedi na osnovu definicije (i)); (iii) AB = AB akko vrijedi: (a) AB A B, = (b) imaju jednake nosače (gdje jednaki nosači znači da su nosači paralelni ili da se poklapaju; jasno paraleni nosači se translacijom mogu dovesti do poklapanja), (c) jednako su usmjereni; dakle, dva vektora ai b su jednaka, tj a= b akko imaju jednake intenzitete, nosače i smjerove Primjedba Ovako definisana jednakost je relacija ekvivalencije u skupu V, (uostalom kao i jednakost u svakom skupu) Zaista, lako provjeravamo refleksivnost, simetričnost i tranzitivnost jednakosti u V Jednakost u V nije ''istovjetnost'' u V, ali se jednaki vektori translacijom mogu dovesti do poklapanja, tj postaju ''istovjetni'' Jednakost u V, kao relacija ekvivalencije (viditi paragraf 5), proizvodi particiju skup V na disjunktne klase ekvivalencije To znaći da bilo koji vektor a poistovjećujemo sa njegovom klasom ekvivalencije, tj sa skupom Va = { b V b= a} kojem pripadaju svi vektori iz V jednaki vektoru a Dakle, vrijedi ( a V )(!V a V) V= V a; ( V a = V b) ( a= b ); ( V a V b) ( a b), gdje je uslov Va V b možemo zamjeniti sa V a V = b Zato vektore skupa V nazivamo slobodni vektori Definisaćemo skupove vezanih vektora: a Vektori vezani za tačku je podskup skup vektora koji imaju jedinstvenu početnu tačku O, tj V = V E : = OM M E O O( ) { } Kolinearni vektori su vektori koji imaju iste nosače Jasno je, da sve kolinearne vektore možemo translacijom dovesti na jedan zajednički nosač p i da imaju zajedničku početnu tačku O p, te ih promatrati kao vektore vezane za pravu p i označiti sa V = V (p) = OA O p,a p ; O { } Komplanarni vektori su oni vektori čiji su nosači paralelni nekoj ravni Π Dakle, komplanarne vektore možemo translacijom dovesti u tu ravan Π, tako da imaju zajedničku početnu tačku O Π i promatrati kao vektore vezane za ravan Π i označiti sa V = V Π = OA O Π,A Π gdje je O tačka prostora E; O ( ) { } Primjedba Očigledna je bijekcija prostora E i V O (E), tj svakoj tački M E odgovara jedan i samo jedan vektor = OM r i obrnuto Taj vektor nazivamo radijus vektor (ili vektor položaja) tačke M u odnosu na tačku O Analogne bijekcije postoji izmrđu tačaka ravni Π i skupa V O (Π) vektora vezanih za ravan Π, kao i bijekcije tačaka prave p sa skupm V O (p) Ova činjenica je polazište ideja o koordinatnim sistemima vezanim za tačku O (u Euklidovim prostorima E, Π i p) Toj ideji vratićemo se nešto kasnije da izgradimo analitičku geometriju ravni i analitičku geometriju prostora

Nula vektor je vektor 0 = MM, tjkod nula vektora se krajnja i početna tačka poklapaju te je 0 = 0-68 - Primjetimo da nula vektor nema jedinstven pravac i smijer, tj pavac i smjer nula vektora su proizvoljni Primjedba Očito nula vektor 0 = OO pripada svakom od podskupova vektora vezanih za tačku, pravu ili ravan Jedinični vektor ili ort vektora a, označavamo sa a 0 ili ort a, je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici, a ima isti smjer i pravac kao vektor a Suprotan vektor vektoru a= PQ je vektor a= QP Definicija Sabiranje vektora definiše se na slijedeći načina (vidi sla): Neka su a i b proizvoljni vektori i neka je a= AB, b= BC, tj translacijom je vektor b ''nadovezan'' na vektor a (tako da se početna tačka vektora b poklopila sa krajnjom tačkom vektora a ) Tada je a+ b = AC Primjedba Dakle, ako nadovezivanjem vektora a= A B, b= BC konstruišemo trougao ABC, gdje su vektori a= A B, b = BC dvije uzastopne stranice trougla, tada je treća orjentisana stranica AC = a + b Za ovako dobijeni trougao ABC, koji je jerinstven, kažemo da je ''konstruisan nad vektorima a i b '' Pravilo paralelograma za sabiranje vektora Nad vektorima a= A Bi b= AD, koji su translacijom dovedeni na zajedničku početnu tačku A, konstruisan je paralelogram ABCD (Vidi slb) Tada dijagonala AC predstavlja zbir vektora a i b D a b b A a b C b A a b+ a a + b a b C B B Sl a sl b Svojstva operacije sabiranja (+) iskažimo kao: Stav Algebarska struktura (V, +) je Abelova grupa Dokaz Dovoljno je dokazati: ( a,b,c V) ( a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c ), asocijativnost; ( a V)( a+ 0= a= 0+ a ), postoji neutralni element; 3 ( a V)( a V) ( a+ ( a) = 0= a+ a ), egzistencija suprotnog elementa; 4 a,b V a+ b= b+ a, komutativnost ( )( )

- 69 - c a+ b + c a+ b b+ c b a a n R= a k= k a n a Sl3a Sl3b Na osnovu definicija: sabiranja, nula i suprotnog vektora dokazujemo osobine i 3, tj egzistencije neutralnog i suprotnih elemenata Neka je a= AB, tj 0 = AA = BB; -a = BA izlazi: a+ 0= AB+ BB= AB= a= AA+ AB= 0+ a Analogno: a + ( a) = AB + BA = 0 = BA + AB = a + a Dokaz osobine (asocijativnost) proizlazi iz sl3a Način sabiranja nadovezivanjem n (> 3) vektora vršimo tako da početak svakog narednog vektora dovedemo n translacijom do poklapanja sa krajnjom tačkom predhodnog vektora Zbir n vektora (rezultanta R = ak, vidi k= sl 3b) je vektor koji počinje u početnoj tački prvog vektora a završava u završnoj tački n-tog vektora a Slb, pored dokaza komutativnosti sabiranja vektora, služi da uvedemo definicija sabiranja vektora po pravilu paralelograma (ekvivalentna definiciji ) Oduzimanje vektora definiše se jednakošću: a,b V a b : = a + ( b), ( ) tj oduzimanje vektora svodi se na dodavanje suprotnog vektora a n Primjedba Oduzimanje vektora interpretiramo tako da ih dovedemo na zajedničku početnu tačku A (vidi sl4) Ako je a = AB i b= AD, tada je treća strana trougla ABD DB = a b ; to je istovremeno i druga dijagonala paralelograma konstruisanog nad vektorima a= ABi b= AD b b D C DB = a b A a B AC = a + b

- 70 - Sl 4 Množenje vektora skalarom je eksterna operacija :R V V, tj množenje skalara k ( R) i vektora a V jeste vektor k a, koji je definisan na slijedeći način: (i) nosač vektora k a je jednak nosaču od a, tj vektori a i k a su kolinearni; (ii) smijer vektora k a je isti kao kod a za k > 0, suprotan za k < 0, ( 0 a = 0 ); (iii) intenzitet ka = k a A O A Sl5 Na sl5, koja ilustruje množenje vektora skalarom, je: OA= a; OA = k a (k 0); OA = k a (k < 0) A Množenje vektora skalarom ima osobine: Stav 3 Eksterno množenje :R V V ima osobine ( α, β R)( a,b V) : (i) α ( a+ b) =α a+ αb; ( ii)( α + β ) a = α a + βb; (iii) ( αβ ) a = αβa ( ); (iv) a= a Dokaz je lako izvesti (tj obrazložiti grafički) Tako je, naprimjer, osobina (i) ilustrovana sa slijedečom slikom: > a+ b b a b α + ( a b) αa Sl 5 αb Na osnovu stavova i izlazi da je skup slobodnih vektora V realni vektorski prostor (vidi definiciju vektorskog prostora u glavi )