Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA

Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA Trasformacoe tehke su moća alat a aalu sgala LTI sstema. U ovoj glav ćemo uvest -trasformacju, opsat jee osobe mogućost prmjee u aal dskreth LTI sstema. Na prmjer, vdjećemo da je u kodomeu -trasformacje (kompleksoj -rav) kovolucja sgala ekvvaleta možeju jhovh -trasformacja. Ova osoba ačajo pojedostavljuje aaltčko određvaje odva LTI sstema a provolja oblk pobude.

GLAVA 5 5. Blaterala - trasformacja -trasformacja dskretog sgala x( ) se defše kao beskoač stepe red: x( ) X =, (5.) = gdje je kompleksa varjabla. Dakle, po defcj je -trasformacja pravlo a osovu kojeg se brojeva, realh l kompleksh, kojm je predstavlje x u vremeskom domeu, preslkava u kompleksu dskret sgal fukcju komplekse varjable X ( ). Relacja (5.) se ava drekta -trasformacja, dok se relacja kojom se dskret sgal x( ) skauje preko X ( ) ava vera -trasformacja. Po kovecj se -trasformacja oačava sa: a vera -trasformacja sa: { } x( ) X =, (5.) X( ) x =. (5.3) { } Trasformaco par -trasformacje oačavamo a sljedeć ač: X ( ) x. (5.4) Ira (5.) apravo predstavlja Loraov red, pa se X ( ) može odredt samo a oe vrjedost komplekse promjeljve a koje Loraov red kovergra. Tada X ( ) ma koaču vrjedost. Skup vrjedost promjeljve a koje Loraov red (5.) kovergra ava se oblast kovergecje -trasformacje, dok se skup vrjedost promjeljve a koje taj red dvergra ava se oblast dvergecje -trasformacje. Sgal N N kovergra u cjeloj -rav ako x koačog trajaja su sv jegov elemet ogračeh vrjedost:, x < N N. (5.5)

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema I oblast kovergecje se jedo sklučuju tačke = ako je N < /l = ako je N >, jer tada: N = x (5.6) X = N poprma beskoačo velku vrjedost. Problem određvaja oblast kovergecje a sgale eogračeog trajaja j je složej. Za = re θ, modul -trasformacje je: jθ jθ = =, (5.7) X x r e x r e x r = = = + = +. (5.8) X xr xr xr xr = = = = Egstecja X ( ) avs od kovergecje posljedje dvje sume u (5.9). Ako postoj r = R +, dovoljo malo da prva suma kovergra, odoso da sekveca x( ) r bude apsoluto sumabla a <, oda ta suma kovergra a svako r < R +. S druge strae, ako postoj r = R, dovoljo velko da druga suma kovergra, odoso da sekveca x( r ) bude apsoluto sumabla a <, oda ta suma kovergra a svako r > R jθ. Sa = re, r = cost. je određea kružca u -rav sa poluprečkom r. To ač da je oblast kovergecje prve sume uutrašjost kruga poluprečka R +, dok je oblast kovergecje druge sume spoljašjost kruga poluprečka R. Za egstecju -trasformacje eophodo je da obe ove sume kovergraju, te je oblast + kovergecje -trasformacje prste R < < R. Na Slc 5. oblast o kovergecje prve sume je šrafraa kosm ljama pod uglom od 35, a o oblast kovergecje druge sume kosm ljama pod uglom od 45. Presjek ove dvje oblast je oblast kovergecje -trasformacje. U svakoj tačk oblast kovergecje -trasformacja sve jee dervacje su kotuale fukcje od. Za kauale sgale kod kojh je x= a <, elemet sgala u prvoj sum su jedak ul, te je dovoljo sput uslov kovergecje 3

GLAVA 5 Im{ } -rava R + R Re{ } Slka 5. Oblast kovergecje -trasformacje. Im{ } -rava R Re{ } Slka 5. Oblast kovergecje -trasformacje kaualog sgala. druge sume. Stoga je oblast kovergecje kaualh sgala spoljašjost kruga poluprečka R, tj. > R, prkaaa a Slc 5.. Na slča ač, oblast kovergecje atkaualh sgala a koje vrjed da je x= a >, je 4

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Im{ } -rava R + Re{ } Slka 5.3 Oblast kovergecje -trasformacje atkaualog sgala. uutrašjost kruga poluprečka R +, tj. < R +, jer su u tom slučaju elemet sgala u drugoj sum jedak ul dovoljo je da prva suma bude apsoluto sumabla. Oblast kovergecje atkaualh sgala prkaaa je Slc 5.3. Vrjedost a koje je -trasformacja beskoačo velka avaju se polovma oačavaju sa "x", dok se vrjedost a koje je -trasformacja jedaka ul avaju ulama -trasformacje oačavaju sa "o". Preslkavaje koje se vrš -trasformacjom je jedoačo ako se e ume u obr oblast kovergecje. Na prmjerma elemetarh sgala pokaaćemo kasje da su aaltčk ra a -trasformacje ekh od kaualh sgala x( u ) jhovh atkaualh pomjereh verja x( ) u( ) detče. Međutm, oblast kovergecje th sgala su ralčte. Prema tome, -trasformacja je jedoačo preslkavaje dskret X samo sgal x( ) je jedoačo određe svojom -trasformacjom ukolko je poata oblast kovergecje X ( ). Iveru -trasformacju metode jeog određvaja ćemo detaljo ramatrat kasje. Buduć da su kod -trasformacje defsae sa (5.) grace sume od do, ovako defsau -trasformacju poekad avamo blaterala - trasformacja, kako bsmo apravl ralku od ulaterale -trasformacje, koju ćemo uvest ešto kasje koja je defsaa sumom čje su grace od do. 5

GLAVA 5 5. Ulaterala - trasformacja O sgalu x( ) ajčešće mamo dovoljo formacja tek ako ekog treutka kada počje jegovo posmatraje (koj ajčešće oačavamo sa ). Tada je moguće korstt defco ra a blateralu -trasformacju, jer e poajemo vrjedost sgala x( ) a <. Zbog toga je potrebo defsat jedostrau, odoso ulateralu -trasformacju: { } = = x X x + +. (5.9) = Najvažja prmjea ulaterale -trasformacje je određvaje odva LTI sstema sa eultm početm uslovma. Za rješavaje th problema je moguće korstt blateralu -trasformacju jer e poajemo t pobudu t staje sstema (uev početh uslova) a <. Za kovergecju ulaterale -trasformacje: jθ jθ = = (5.) X x r e x r e x r + = = = treba osgurat apsolutu sumablost sekvece x( r ), te je oblast kovergecje ulaterale -trasformacje uvjek spoljašjost kruga poluprečka r = R, koj je dovoljo velk da (5.) kovergra. Blaterala -trasformacja kaualog sgala x ( ) posmatraom sgalu x( ): ul, a a x + ( ) jedaka je ulateraloj -trasformacj sgala x( ): +, koj je a < jedak x, =, (5.), < { } { } x = x = x = x = X. (5.) + + + + = = Račuaje vere ulaterale -trasformacje od X ( ) + se svod a račuaje vere blaterale -trasformacje adržavaje samo djela sgala a : 6

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema x = X { },. (5.3) + + Uglavom se posebo e aglašava da l se korst blaterala l ulaterala -trasformacja, t se uvode posebe oake kao što smo to radl u okvru ovog poglavlja. Koj oblk -trasformacje se korst jaso je samog koteksta. Stoga ćemo m u daljem lagaju u oba slučaja korstt oake uvedee kod blaterale -trasformacje. 5.3 Ivera - trasformacja Prlkom koršćeja -trasformacje, ako aale obrade sgala u trasformacoom domeu, potrebo je odredt veru -trasformacju, te a taj ač dobt reultujuć sgal u domeu dskretog vremea. Kako bsmo došl do raa a veru -trasformacju, pomožmo defco k ra (5.) sa, pa odredmo kotur tekral čja se kotura tegracje C ala u oblast kovergecje -trasformacje: π j = π j k + k X ( ) d x d. (5.4) C C = Buduć da je a kotur tegracje osguraa kovergecja -trasformacje, možemo amjet redosljed tegraljeja sumraja: = π j π j C = Na osovu Košjeve teoreme amo da je: k ( k+ ) X ( ) d x d. (5.5) k, k = d π j =. (5.6) k C Stoga su sv tegral pod sumom u (5.5) jedak ul, osm a = k, te dobjamo da je: C k X ( ) d = x( k) π j. (5.7) C 7

GLAVA 5 Na kraju, apravmo amjeu k, kako bsmo dobl uobčaje oblk apsa vere -trasformacje: x( ) = X( ) d π j. (5.8) C Aaltčko račuavaje koturh tegrala je jedostavo, te se u praks korste drug metod određvaja vere -trasformacje, koj će bt detaljo lože u Poglavlju 5.6. 5.4 - trasformacje elemetarh sgala U ovom poglavlju odredćemo -trasformacje elemetarh sgala, kao što su jedč mpuls, Hevsajdova sekveca kompleksa ekspoecjala sekveca, kao -trasformacje drugh sgala koje se jh lako odrede, a ačaje su a daljje lagaje. Za jedč mpuls -trasformacja se odred veoma jedostavo. Buduć da je δ ( ) = a svaku vrjedost, osm a =, vrjed da je: { δ( ) } = δ( ) =. (5.9) = Buduć da se rad o sgalu koačog trajaja, tačje o samo jedom elemetu sgala u treutku =, -trasformacja jedčog mpulsa kovergra u cjeloj -rav. Za Hevsajdovu sekvecu u, = > -trasformacju odredmo a sljedeć ač: (5.) { } u = u =. (5.) = = 8

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Buduć da se rad o geometrjskoj progresj koja kovergra a <, odoso >, u oblast kovergecje koja je spoljašost kruga jedčog poluprečka, -trasformacja Hevsajdove sekvece je jedaka: { u( ) } = u( ) = = =. (5.) = = < Hevsajdova sekveca oblast kovergecje jee -trasformacje prkaae su a Slc 5.4. (a) Im{ } -rava o x Re{ } (b) Slka 5.4 (a) Hevsajdova sekveca (kauala sgal) (b) oblast kovergecje jee -trasformacje. 9

GLAVA 5 Za sekvecu koja se dobje refleksjom egatve Hevsajdove sekvece pomjerajem a jeda vremesk terval uljevo:, u( ) = -trasformacja je jedaka: (5.3) { } u = u =. (5.4) = = Nako dodavaja odumaja elemeta sume a =, dobjamo: { u( ) } = = =, (5.5) = < pod uslovom da je <. Dakle, oblast kovergecje ove atkauale sekvece je uutrašjost kruga jedčog poluprečka. Aalra sgal oblast kovergecje jegove -trasformacje prkaa su a Slc 5.5. Slča postupak provodmo kako bsmo odredl -trasformacju x= au a : komplekse ekspoecjale sekvece, { au( ) } au( ) ( a ) = = = = = a < = =, > a. a a Oblast kovergecje ovog kaualog sgala je određea sa geometrjskom smslu to je spoljašost kruga poluprečka a. Za kompleksu ekspoecjalu sekvece -trasformacja je jedaka: { au( ) } au( ) a ( a ) (5.6) > a. U x= au, a = = = = = = = a < (5.7) a = = =, < a. a a a

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema (a) (b) Slka 5.5 (a) Reflektovaa pomjerea egatva Hevsajdova sekveca (atkauala sgal) (b) oblast kovergecje jee -trasformacje. Kod ovog atkaualog sgala oblast kovergecje je određea sa dakle uutrašjost kruga poluprečka a. < a, Oblast kovergecje -trasformacja kompleksh ekspoecjalh sekvec au( ) u a < au( ) u a > su prkaae a slkama 5.6 5.7. Prmjetmo da Hevsajdova sekveca reflektovaa egatva Hevsajdova sekveca koja je pomjerea a jeda vremesk terval uljevo maju jedake aaltčke rae a jhove -trasformacje. Jedako vrjed a aalrau kaualu atkaualu verju komplekse ekspoecjale

GLAVA 5 sekvece. Međutm, ako su aaltčk ra a -trasformacje ovh sgala jedak, ralkuju se jma odgovarajuće oblast kovergecja, što osgurava jedoačost preslkavaja, o čemu smo već govorl u Poglavlju 5. Im{ } -rava a Re{ } Slka 5.6 Oblast kovergecje -trasformacje kauale komplekse au. ekspoecjale sekvece Im{ } a Re{ } Slka 5.7 Oblast kovergecje -trasformacje atkauale komplekse au. ekspoecjale sekvece

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.5 Osobe - trasformacje U ovom poglavlju ramotrćemo dokaat ajvažje osobe -trasformacje a osovu kojh se vode pravla koja pojedostavljuju jeu prmjeu. Veća osoba vrjede podjedako a blateralu a ulateralu -trasformacju. Jedo ćemo osobu pomaka orgalog sgala u domeu dskretog vremea ramatrat poseo a blateralu, a posebo a ulateralu -trasformacju. Ova osoba je veoma ačaja pr rješavaju jedača dferecja, oodoso određvaju odva sstema sa eultm početh uslovma pomoću -trasformacje. 5.5. Learost Ako postoje trasformaco parov + x ( ) X ( ), R R x X, R < < R + < <, tada je -trasformacja leare kombacje ta dva dskreta sgala jedaka learoj kombacj jhovh -trasformacja u preklopljeoj oblast kovergecje: Doka: ax + bx ax + bx, a, b, ( ) ( ) R < < R, R = max R, R, R = m R, R + + + +. (5.8) Zbog learost sume kao osovog operatora -trasformacje, jeog defcoog raa (5.) drekto sljed: { } ax bx ax bx + = + = = = + = = = a x b x = ax + bx. (5.9 ) -trasformacja leare kombacje ova dva sgala će kovergrat u oblast u kojoj kovergraju jhove pojedače -trasformacje. Ako su oblast + X X ( ) date sa R < < R kovergecje -trasformacja 3

GLAVA 5 + R < < R respektvo, oblast kovergecje -trasformacje jhove leare komacje je do -rav u kojoj se preklapaju oblast kovergecja R < < R +, R = max R, R, R + = m R +, R +. X ( ) X, tj. ( ) ( ) Prlkom leare kombacje dskreth sgala, u ekm slučajevma se može dest da oblast kovergecje -trasformacje leare kombacje bude šra od svake od pojedačh oblast kovergecja -trasformacja sgala koj učestvuju u learoj kombacj. Jeda takav slučaj leare kombacje dskreth sekvec prkaaćemo u prmjeru koj sljed. Prmjer 5.: Odredt oblast kovergecje -trasformacja sgala au( ) ( ) a atm jhove leare kombacje au( ) au( ). Rješeje: au, Prlkom ramatraja -trasformacja elemetarh sgala, u (5.6) smo au jedaka a au : proašl da je oblast kovergecje -trasformacje sgala >. Posmatrajuć -trasformacju sgala { au( ) } = au( ) = ( a ) (5.3) = = aključujemo da će sekveca a bt apsuluto sumabla a =,,..., ako je a <, odoso > a. Vdmo da su oblast kovergecja -trasformacja oba ova sgala jedake > a, što je u geometrjskom smslu spoljašjost kruga poluprečka a u -rav. Posmatrajmo sada learu kombacju au( ) au( ) sgala a reultat ma sekvecu δ ( ) :. Ova ralka 4

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema ( ) δ au au a =, (5.3) jer su sv elemet ova dva sgala, osm u ul, jedak poštavaju se. Po svojstvu odabraja jedčog mpulsa, amo da je a δ a δ δ = =, (5.3) a oblast kovergecje -trasformacje delta sekvece je cjela kompleksa -rava, te aključujemo da je ako leare kombacje posmatrah sgala došlo do prošreja oblast kovergecje -trasformacje. Prmjer 5.: s Korsteć pravlo learost odredt -trasformacje sgala cos u( ) ω u. Rješeje: Poavajuć trasformaco par: ω > a, au a lako odredmo -trasformacje kompleksh sush sgala: (5.33) jω jω e u( ), > e jω e =, (5.34) jω jω e u( ), > e jω e =. (5.35) Sada a osovu (5.34) (5.35) određujemo često koršćee -trasformacje cosω u : sgala 5

GLAVA 5 sgala s u = + = jω jω = { e u( ) } + { e u( ) } = = + jω jω = e e jω jω { cosω u( ) } e e u( ) ω : jω jω ( ) + ( ) jω jω ( e )( e ) e e = = cosω = > cosω +, = j = jω jω = { e u( ) } { e u( ) } = j j jω jω { sω u( ) } e e u( ) = jω jω = j e e jω jω ( ) ( ) jω jω j( e )( e ) e e = = sω,. = > cosω + (5.36) (5.37) 5.5. Pomak u vremeskom domeu kod blaterale -trasformacje Ako postoj trasformaco par x( ) X( ) + R < < R, tada pomak sgala, sa oblašću kovergecje x u domeu dskretog vremeu a m 6

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema vremeskh tervala ( m ) dovod do možeja -trasformacje X ( ) sa kompleksom ekspoecjalom sekvecom kovergecje e mjeja: m, m, pr čemu se oblast + x m X R < < R. (5.38) U odosu a -trasformacju orgalog sgala, kovergecja -trasformacje pomjereog sgala se može ralkovat samo u tačkama = l =. Doka: Na osovu defcoog raa (5.) dobjamo -trasformacju pomjeree x m : sekvece { ( )} = ( ) = = x m x m x x + m m = m = =. (5.39) Posljedja suma je jedaka X ( ), te je oblast kovergecje -trasformacje sgala x( m) jedaka oblast kovergecje X ( ), uev evetualo u tačkama = l = što je posljedca možeja sa kovergecje vrjed: m { x( m) } = X( ) m u (5.39). U oblast. (5.4) Prmjer 5.3: Korsteć pravlo pomaka odredt -trasformacje oblast kovergecje δ +. sgala δ ( ) Rješeje: Za jedč muls δ amo da ma -trasformacju jedaku jedc sa oblašću kovergecje koja obuhvata kompletu -rava. Korsteć pravlo pomaka (5.38) dobjamo: 7

GLAVA 5 { δ ( ) } =, (5.4) { ( ) } jer tada (5.4) e kovergra u beskoačost. δ + =. (5.4) { } I (5.4) vdmo da oblast kovergecje δ ( ) poprma beskoačo velku vrjedost, dok δ ( + ) e obuhvata tačku = { } data sa Prmjer 5.4: Korsteć pravlo pomaka odredt -trasformacju pomjeree Hevsajdove u + 5. sekvece Rješeje: Za Hevsadovu sekvecu vrjed da je: u( ), >. (5.43) Na osovu pravla pomaka (5.38) dobjamo da je: 6 u( + 5). (5.44) Oblast kovergecje ostaje spoljašost kruga >, al je eophodo oblast kovergecje sključt tačku u beskoačost. Dok je -trasformacja kovergrala u beskoačost, bog možeja sa 5, -trasformacja posmatrae pomjeree Hevsajdove sekvece e kovergra u beskoačost. 8

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.5.3 Pomak u vremeskom domeu kod ulaterale -trasformacje Buduć da ćemo se prlkom prmjee ulaterale -trasformacje a tražeje odva adržat a kaualm LTI sstemma, da se u jedačama dferecja koje opsuju ovakve ssteme e pojavljuju elemet sgala sa deksma većm od oog koj oačava treutak posmatraja, pravlo pomaka kod ulaterale -trasformacje ćemo ramatrat samo a slučaj da je m >. Ako postoj trasformaco par ulaterale -trasformacje x( ) X ( ), + sa oblašću kovergecje R < < R, tada je ulaterala -trasformacja sgala koj je u odosu a x( ) u domeu dskretog vremeu pomjere a m vremeskh tervala ( m > ), tj. sgala x( m), jedaka: m+ m { x( m) } = x( m) + x( m+ ) + + x( ) + X( ). (5.45) Pr tome se oblast kovergecje ulaterale -trasformacje e mjeja, osm evetualo u tačk =. Doka: Na osovu defcoog raa (5.9), a ulateralu -trasformacju x m dobjamo: pomjeree sekvece { } + m m x m = x m = x = x = = m = m = m m m m ( ) ( ) = m m+ m ( ) ( ), = x m + x m+ + + x + x = = x m + x m+ + + x + X m pr čemu je potrebo osgurat kovergecju X ( ) (5.46). Buduć da smo pretpostavl da je m >, ulaterala -trasformacja pomjeree sekvece kovergra svuda gdje kovergra X ( ), osm evetualo u tačk = bog m možeja sa u (5.46). 9

GLAVA 5 5.5.4 Skalraje u vremeskom domeu Ako postoj trasformaco par x( ) X ( ) + R < < R, tada a skalra sgal x( a), a vrjed:, sa oblašću kovergecje x( a) X a. (5.47) Za kovergecju -trasformacje skalraog sgala je potrebo da bude a + R < < R. Doka: Za -trasformacju skalraog sgala x( a), defcoog raa (5.) dobja: a se a osovu a a { x( a) } = x( a) = x( ) = X. (5.48) = a = Ako je oblast kovergecje kovergralo, mora da vrjed + X jedaka R < < R, da b a + R < < R. X a 5.5.5 Skalraje u -domeu Ako postoj trasformaco par x( ) X ( ) + R < < R, tada je -trasformacja ovog sgala ax, verja od X ( ), tj. vrjed da je: ax X( a ), sa oblašću kovergecje a, skalraa. (5.49) 3

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema + sa oblašću kovergecje ar < < ar. Doka: Potražmo -trasformacju sgala ax, a : { ax } ax x ( a ) = = = X( a ). (5.5) = { } Za kovergecju ax + sljed da je ar < < ar. = potrebo je sput uslov + R a R < <, odakle Prmjer 5.5: Korsteć pravlo skalraja u -domeu, odredt -trasformacju sgala au, a. Rješeje: Umjesto drektm račuajem a osovu defcoog raa (5.) kao u Poglavlju 5.4, gdje smo proašl trasformaco par au( ), a a <, (5.5) poavajuć -trasformacju reflektovae pomjeree Hevsajdove sekvece: X ( ) = { u( )} =, < (5.5) korsteć pravlo skalraja u -domeu (5.49), određujemo -trasformacju au : sgala { au( ) } ( a ) a =X =, (5.53) a 3

GLAVA 5 au( ), a a. (5.54) 5.5.6 Dervraje u -domeu Ako postoj trasformaco par x( ) X ( ) + R < < R, tada postoj trasformaco par: Doka: x, sa oblašću kovergecje dx. (5.55) d Dervrajem -trasformacje X ( ) po varjabl dobjamo: dx d = x, (5.56) = dx = x d = = x te egstra trasformaco par: { }, (5.57) dx x( ). (5.58) d Dervrajem -trasformacje oblast kovergecje se može promjet potrebo ju je odredt a svak slučaj posebo. 3

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.5.7 -trasformacja komplekso kojugovaog sgala Ako postoj trasformaco par x( ) X ( ) + R < < R, tada postoj trasformaco par:, sa oblašću kovergecje * * * x X. (5.59) Oblast kovergecje -trasformacje kojugovao kompleksog sgala * x ( ) = x( ) jx( ) jedaka je oblast kovergecje -trasformacje x = x + jx. orgalog sgala Doka: Potražmo -trasformacju kojugovao kompleksog sgala * x = x jx : * { } { } x = x jx = x jx. (5.6) = S druge strae, vrjed da je kojugovao kompleksa -trasformacja orgalog sgala: * * * ( ) x( ) + jx( ) = x( ) jx( ) ( ) X =, (5.6) = = a ako što se aprav kojugovao kompleksa operacja ad varjablom dobjamo: * * X = x jx. (5.6) = Poređejem (5.6) (5.6) aključujemo da je: { x * ( )} = * ( * ) X. (5.63) Nako kojugovao kompleksh operacja e mjeja se oblast kovergecje, * te su oblast kovergecje -trasformacja sgala x ( ) x( ) jedake. 33

GLAVA 5 5.5.8 Početa vrjedost kaualog sgala Za kauala sgal x( ) koj ma -trasformacju X ( ) vrjed da je: x ( ) lm X ( ) =. (5.64) Ova osoba -trasformacje am omogućava da, be tražeja vere x, tj. -trasformacje, odredmo početu vrjedost kaualog sgala x ( ), ako poajemo jegovu -trasformacju X ( ). Doka: -trasformacja kauale sekvece x( ) je jedaka: { } ( ) ( ) ( ) ( 3) x x x x x x. (5.65) = = + + + 3 + = Kada sv člaov sume (5.6) osm x ( ) teže ka ul, te vrjed da je: x lm X =. (5.66) Prmjer 5.6: Odredt početu vrjedost kaualog sgala čja je -trasformacja data sa ( a), > a. Rješeje: Na osovu (5.64) dobjamo da je: x( ) = lm =. (5.67) a Ovo je u skladu sa ašm rajm ajma, jer je adata -trasformacja apravo -trasformacja sekvece au( ) koja u ul ma vrjedost. 34

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.5.9 Krajja vrjedost kaualog sgala Za kauala sgal x( ) koj ma -trasformacju kovergecje obuhvata jedču kružcu, vrjed da je: X čja oblast lm x = lm X. (5.68) Ova osoba -trasformacje am omogućava da, be tražeja vere -trasformacje, odredmo čemu će bt jedaka vrjedost kaualog sgala X. x( ) u beskoačost, ako poajemo jegovu -trasformacju Doka: Blaterala -trasformacja X kauale sekvece x jedaka je jeoj ulateraloj trasformcj. Posmatrajmo ralku ulateralh x : -trasformacja sekvec x( + ) Buduć da je: { } { } x + x = x + x = = N N = = lm x + x. { ( ) } ( ) x x x + + = + = = = + = = a osovu (5.69) (5.7) možemo psat: = x x = X x, (5.69) (5.7) N X( ) x( ) X( ) = lm x( ) x( ) N + = ( ) X( ) x( ) x x( ), (5.7) =, (5.7) 35

GLAVA 5 jer se sv ostal člaov sume osm x ( ) x( ) međusobo pošte. Pod pretpostavkom da oblast kovergecje X ( ) obuhvata jedču kružcu, posmatrajem (5.7) a jedčoj kružc u -rav dobjamo: ( ) X ( ) x = ( ) X( ) x = x( ) x lm lm, (5.73) ( ) X( ) x lm =. (5.74) Ako oblast kovergecje -trasformacje kauale sekvece e obuhvata X ma polove čj je modul već l jedak jedc, pa jedču kružcu, sgal x( ) beskoačo raste sa porastom vremea l ma kostatu vrjedost. Na prmjer, -trasformacja X ( ) = ( a), > a ma pol = a. Sgal u vremeskom domeu je oblka x( ) = a u( ). Za a >, kada vrjedost sgala postaje beskoačo velka, a a a =, kada se pol ala a jedčoj kružc, sgal ma kostatu vrjedost u beskoačost. 5.5. Kovolucja u vremeskom domeu Ako postoje trasformaco parov + x ( ) X ( ), R R x X, R < < R + < <, tada kovolucj sgala u domeu dskretog vremea odgovara možeje u -domeu: x x X X ( ) ( ) + + + + R < < R, R = max R, R, R = m R, R. (5.75) Doka: Na osovu defcoog raa (5.) -trasformcja kovolucje dskreth sgala je jedaka: 36

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema { } x x x x = = = = x ( k) x ( k) = k= Nako amjee redosljeda sumraja dobjamo:. (5.76) { } = ( ) x x x k x k. (5.77) k= = Smjeom varjabl m= k, (5.77) postaje jedako: { } k m x x = x k x( m). (5.78) k= m= Suma u agrad u (5.78) se poaša kao kostata a vajsku sumu, te možemo psat da je: { } m k x x = x m x( k), (5.79) m= k= te koačo dobjamo: { x( ) x( ) } = X( ) X( ). (5.8) Buduć da je a kovergecju (5.79) potreba kovergecja X, -trasformacja kovolucje dva sgala kovergra u oom djelu -rav gdje kovergraju -trasformacje pojedačh sgala. X 5.5. Provod u vremeskom domeu Ako postoje trasformaco parov + x ( ) X ( ), R R x X, R < < R + < <, tada možeju sgala u domeu dskretog vremea odgovara kovolucja u -domeu: 37

GLAVA 5 Doka: x x X X d ( υ) υ υ π j υ (5.8) C ( ) ( ) + + + + R < < R, R = max R, R, R = m R, R. Ako jeda od sgala, recmo x, ramo preko jegove vere -trasformacje date sa (5.8), -trasformcja provoda dva dskreta sgala je jedaka: = = = { } x x x x = x( ) X( υυ ) dυ π j = C, (5.8) gdje je C atvorea kotura u kompleksoj υ -rav, u preklopljeoj oblast kovergecja X X υ. Zamjeom redosljeda sumraja tegracje υ dobjamo: { x( ) x( ) } = x( ) X( υυ ) dυ π j, (5.83) C = υ υυ υ. (5.84) { } = x x X X d π j C υ + + Za kovergecju (5.83) potrebo je da bude R < < R R < v < R. v Ako se umjesto x ( ) preko vere -trasformacje ra x -trasformacju provoda dvje sekvece se dobja alteratv oblk: { } x x = X X d π j C υ, a υ υ υ, (5.85) 38

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema pr čemu je gdje je C atvorea kotura u kompleksoj υ -rav, u preklopljeoj oblast kovergecja X υ X υ. Zbr pregled osoba -trasformacje dat je u Tabel 5.. Tabela 5.. Osobe -trasformacje. Osoba x( ) X ( ) Learost ax ( ) + bx ( ) ax ( ) + bx ( ) Pomak u vremeskom domeu kod blaterale trasformacje Pomak u vremeskom domeu kod ulaterale trasformacje Skalraje u vremeskom domeu Skalraje u m ( m) X ( ) x ( m) x x( a ) -domeu Dervraje u x( ) -domeu Trasformacja komplekso kojugovaog sgala ( ) m+ m x( ) X ( ) x m x m + + + + + X a ax X ( a ) dx ( ) d * x ( ) X * ( * ) 39

GLAVA 5 Tabela 5.. Osobe -trasformacje (astavak). Osoba x( ) X ( ) Kovolucja u vremeskom domeu X ( ) X ( ) x x Provod u vremeskom domeu Početa vrjedost kaualog sgala Krajja vrjedost kaualog sgala x x x ( ) = lm X ( ) ( ) = lm( ) x X π j π j C C υ X X υυ d υ υ υ υ X X d υ 5.6 Metod određvaja vere - trasformacje Zbog složeost račuavaja koturh tegrala, vera -trasformacja se vrlo rjetko račua a osovu defcoog raa (5.8). Umjesto toga, korste se jedostavj ač a određvaje vremeskog oblka sgala ako je poata jegova -trasformacja. Prv metod se asva a koršćeju Košjeve teoreme ostataka a račuavaje koturog tegrala. Međutm, ako se rad o jedostavm oblcma fukcja, problem se može rješt poavajuć -trasformacje elemetarh sgala pravla koja prostču osoba -trasformacje. Taj metod se u lteratur ava tablč metod. Osm ovh, u ovom poglavlju ćemo ložt još dva metoda a određvaje vere -trasformacje. Ako se složea fukcja može jedostavo ravt a parcjale ralomke, korsteć tablč metod odrede se vere -trasformacje pojedačh sabraka, a atm, korsteć pravlo learost, tražea vera -trasformacja kao jhov br. U slučajevma kada je eophodo dobt aaltčk ra a sgal u vremeskom domeu, već as amaju samo vrjedost ekh jegovh elemeata, vdjećemo da je a tražeje vere -trasformacje pogodo korstt ravoj u stepe red. 4

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.6. Određvaje vere -trasformacje pomoću Košjeve teoreme ostataka Sa staovšta komplekse aale, elemet sekvece x( ) predstavljaju koefcjete Loraovog reda u tačk = u koj je ravjea fukcja X ( ). Prmjeom Košjeve teoreme odredl smo te koefcjete: x( ) = X( ) d π j (5.86) C a taj ač dobl ra a veru -trasformacju. U (5.86) atvorea kotura C lež u oblast kovergecje, obuhvata koordat početak orjetsaa je suproto kretaju kaaljke a satu. Ako se podtegrala fukcja X ( ) prmjeom Košjeve toereme dobja se da je u rau (5.86) apše u oblku: N X( ) =, (5.87) D Res X( ) x u polovma koj se alae uutar koture C, l = (5.88) Res X ( ) x u polovma koj se alae va koture C. Polov podtegrale fukcje X ( ) = (5.89) mogu bt jedostruk všestruk. U slučaju jedostrukh polova ostatak u polu se određuje sa: lm Res X = X, (5.9) dok je u slučaju všestrukh polova ostatak u polu reda m jedak: m d m Res X( ) lm m ( ) X ( ) =. (5.9)! d ( m ) 4

GLAVA 5 Posmatrajem podtegrale fukcje X ( ) u rau (5.86) aključujemo da oa a ralčte vrjedost može da ma všestruk pol u = l =. Kako je račuavaje ostataka u všestrukm polovma složeo, posebo kad je multplctet pola promjeljv, preporučuje se bjegavaje račuaja sume ostataka u všestrukm polovma u ul l beskoačost. Buduć da se všestruk polov u = = e pojavljuju stovremeo, to je moguće postć ako se vera -trasformacja račua a sljedeć ač: x u polovma uutar koture C a oe vrjedost a koje X ( ) Res X ( ) ema všestruk pol u = = u polovma uutar va koture C Res X ( ) a oe vrjedost a koje X ( ) ema všestruk pol u = (5.9) Prmjer 5.7: Odredt veru -trasformacju od X( ) kovergecje < <. 3 Rješeje: = 5 ( )( 3 ), ako je oblast Kada je oblast kovergecje prste u -rav, verom -trasformacjom trebamo dobt sekvecu koja će mat elemete a potve a egatve vrjedost dskretog vremea. Fukcja X 5 = ( )( 3 ) (5.93) a svaku vrjedost ma koače polove = =. Za > javlja se 3 všestruk pol u = reda, dok se a < javlja všestruk pol u =, 4

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema takođe reda. Stoga je pogodo a > korstt sumu ostataka u polovma uutar koture koj e uključuju všestruk pol u =, a a < sumu ostataka u polovma va koture koj e uključuju všestruk pol u =. Za = oba raa su ravoprava. Oblast kovergecje adate -trasformacje raspored jeh koačh polova prkaa su a Slc 5.8. Za, uutar koture C, koja se ala u oblast kovergecje, ala se samo pol =, te dobjamo: 3 5 = = 3 = 3 3. (5.94) Res x X lm 3 ( )( ) Za <, va koture C se ala samo pol =, te je: 5 x = Res X = lm =. (5.95) ( )( 3 ) Im{ } C 3 Re{ } Slka 5.8 Oblast kovergecje raspored koačh polova adate -trasformacje X ( ). 43

GLAVA 5 Koača ra a veru -trasformacju je: x, = 3, < (5.96) 5.6. Tablč metod određvaja vere -trasformacje Tablč metod se asva a koršćeju tabela u kojma su date -trasformacje elemetarh sgala pravla -trasformacje. Neke od ajčešće koršćeh trasformacja su date u Tabel 5.. Za ešto složeje fukcje pogodo je korstt ravoj a parcjale ralomke, tako što se složea fukcja predstav kao br jedostavjh. Te jedostave fukcje su ajčešće astale ekom trasformacjom elemetarh sgala. Kada se odred o kom elemetarom sgalu kojoj trasformacj se rad, korsteć tablč metod pravla -trasformacje, odrede se vere -trasformacje pojedačh člaova bra. Zatm se superpocjom dobje tražea vera -trasformacja, odoso sgal u domeu dskretog vremea. Tabela 5.. -trasformacje važjh sgala. Sekveca -trasformacja Oblast kovergecje δ ( ) δ ( m), m> m δ ( + m), m> m u( ) ( ) u > < 44

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Tabela 5.. -trasformacje važjh sgala (astavak). Sekveca -trasformacja Oblast kovergecje u ( ) > ( ) au a > a ( ) au a < a a u a ( a) > a ( ) a u a < a ( a) cosω u sω u cosω cosω + sω cosω + > > a cosω u acosω a a cosω + > a a sω u x a, N, ače asω > a a + a cosω N N N = ( a ) a > 45

GLAVA 5 5.6.3 Određvaje vere -trasformacje ravojem u parcjale ralomke Neka je -trasformacja X, sa oblašću kovergecje max < < sm prkaaoj a Slc 5.9, racoala fukcja: N( ) X ( ) D( ) gdje je N( ) polom po reda M, a smo oačl polove X ( ) takve da je da je s > s. Ravojem fukcje m X =, (5.97) D polom po reda N. Sa < max, a sa s polove X ( ) takve X a parcjale ralomke dobjamo: A B = + + + M N N Ns c = = = s Nm m Nms ms C + + k = k= ( ) = k= ( s ) D + k+. (5.98) Sa N je oače broj jedostrukh, a sa Nm broj všestrukh polova, dok je sa Ns oače broj jedostrukh, a sa Nms broj všestrukh polova s reda m ms, respekto. Im{ } s s Re{ } Slka 5.9 Oblast kovergecje koač polov fukcje X ( ). 46

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Ako je stepe poloma u brojku već l jedak stepeu poloma u avku, koefcjet c se dobju djeljejem poloma N( ) sa polomom > M prvu sumu u (5.98) treba ostavt prlkom račuaja D( ), ače a N vere -trasformacje. Kako bsmo odredl vere -trasformacje člaova u ravoju (5.98), ramotrmo šta se dešava prlkom dferecraja -trasformacje kompleksh ekspoecjalh sgala. Od raje amo da egstraju trasformaco parov: u( ), >, (5.99) su( ), < s. (5.) s Za prv vod -trasformacje sekvece : u po dobjamo: = (5.) = =. (5.) = ( ) I (5.) aključujemo da postoj trasformaco par: u > Drug vod po je jedak: ( ),. (5.3) = = ( ) =, (5.4) 3 = = = što ač da je: 47

GLAVA 5 ( ) u( ), > 3 ( ) Ako postupak astavmo, a k -t vod -trasformacje sekvece dobjamo:. (5.5) u po odoso: k! ( ) ( ) k k + =, (5.6) k + = ( ) k, u > k + k Na slča ač, a osovu k -tog voda -trasformacje sekvece s dobjamo trasformaco par: ( ). (5.7) s u po k s u( ), < s k +. (5.8) k s Relacje (5.7) (5.8) am sada mogu poslužt da odredmo veru -trasformacju člaova treće četvrte sume u ravoju (5.98), dok veru -trasformacju člaova druge treće sume u tom ravoju određujemo a osovu (5.99) (5.). Iveru -trasformacju člaova prve sume lako odredmo korsteć pravlo pomaka čjecu da je δ ( ). Tako koačo dobjamo: M N N Ns x( ) = cδ ( ) + A u( ) Bs u( ) + = = = Nm m Nms ms k = k= k = k= k k + C u( ) D s u(. ) (5.9) Prmjetmo da polov a koje vrjed da je < max geeršu kaual, a polov s a koje je s > sm, atkaual do sekvece u vremeu. 48

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Prmjer 5.8: Odredt veru -trasformacju od X ( ) oblast kovergecje: a) > 6; 35 65 8 + + = 5 6 ( )( ), ako je b) < ; 5 c) < < 6. 5 Rješeje: Člaov ravoja fukcje X ( ) u parcjale ralomke: X = + 4 6 6 5 (5.) su tablče -trasformacje. Njhovm poređejem sa trasformacom parovma datm u tablcama koršćejem superpocje a ajjedostavj ač dobjamo veru -trasformacju. a) Ako je oblast kovergecje spoljašost kruga određea sa > 6, tablca bramo kauale sekvece kao vere -trasformacje člaova u ravoju (5.): 6 x = δ u + u( ). (5.) 4 5 6 b) Kada je oblast kovergecje uutrašjost kruga određea sa < 5 sekvece u vremeu koje odgovaraju člaovma u (5.) su atkauale, a određujemo h takođe a osovu tablca: 49

GLAVA 5 x u u 4 5 6 = δ + ( ) 6 ( ). (5.) c) Koačo, ako tražmo veru -trasformacju pr čemu je oblast kovergecje X ( ) prste, trebamo dobt sekvecu u vremeu koja ma elemete a potve a egatve vrjedost dskretog vremea. Datu oblast kovergecje < < 6 možemo posmatrat kao da je astala 5 preklapajem dvje oblast kovergecje: < < 6. Prva oblast je 5 uutrašjost kruga čj je poluprečk određe polom = fukcje X ( ), 5 te će čla 5 sekvece u vremeu. Druga oblast, koja je određea polom = 6, je spoljašost kruga, te čla 6 kao -trasformacju kauale sekvece. u ravoju fukcje X ( ) geersat atkaual do u ravoju fukcje X ( ) treba posmatrat Im{ } C 5 6 Re{ } Slka 5. Oblast kovergecje < < 6 raspored koačh polova 5 fukcje X ( ). 5

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Vodeć se ovm prcpma, a veru -trasformacju dobjamo: 6 x = δ u u( ). (5.3) 4 5 6 5.6.4 Određvaje vere -trasformacje ravojem u stepe red Osova deja ovog metoda je da se -trasformacja X ( ) može ravt u stepe red po : c X =, (5.4) = koj kovergra u oblast kovergecje X ( ). Buduć da je je -trasformacja jedstvea ukolko se posmatra ajedo sa jeom oblašću kovergecje, elemet sekvece u vremeskom domeu su jedstveo određe sa:, x = c. (5.5) Ovaj metod je pogoda ako je ravoj u stepe red jedostavo vest. U X racoala fukcja, djeljejem poloma u brojku slučajevma kada je avku se odred ekolko prvh člaova stepeog reda, pa se oda geeralacjom vod fukcoal oblk a x( ). U ekm prmjeama je eophodo odredt fukcoal oblk sgala u vremeu, već je dovoljo odredt samo ekolko početh elemeata orgalog sgala. Na osovu poate oblast kovergecje fukcja X ( ) se radvoj a dva djela: prv sa oblašću kovergecje koja je spoljašjost kruga koj geerše kaual drug, sa oblašću kovergecje koja je uutrašjost kruga koj geerše atkaual do sekvece u vremeu. Kako bsmo dobl elemete kauale sekvece, djelmo polom u brojku sa polomom u 5

GLAVA 5 avku počevš od jegovog ajvšeg stepea. Na prmjeru jedostave a -trasformacje X ( ) =, > a, to ač sljedeće: a a 3 3 X ( ) = = a: ( + a) = a a a = x( ). (5.6) + a Ovakvm ačom djeljeja dobjamo red sa egatvm stepema, te jedostavm poređejem sljed da je: () () 3 x = a, x = a, x 3 = a, (5.7) Do -trasformacje koj određuje oblast kovergecje u vdu uutrašjost a kruga, pr. X ( ) =, < a, geersaće atkaualu sekvecu ako se a polom u brojku djel sa polomom u avku počevš od ajžeg stepea, tako da se dobje stepe red sa potvm stepema: a 3 3 X ( ) = = a: ( a ) = + a + a + a = x( ), (5.8) a odakle poređejem dobjamo elemete sgala x( ): = = 3 x =, x = a, x = a, x 3 = a, (5.9) Prmjer 5.9: Ravojem u stepe red, odredt veru -trasformacju od 5 X( ) 6 < <. 3 Rješeje: Oblast kovergecje u oblku prstea, prkaaa a Slc 5., am ukauje x mat elemete a > a <. a to da će sgal 5

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema Im{ } 3 Re{ } Slka 5. Oblast kovergecje raspored koačh polova adate -trasformacje X ( ). Oblast kovergecje je ogračea sa dva pola fukcje =. Ako radvojmo fukcju X a dvje: X : = 3 tako da 5 X ( ) = = + = X( ) + X( ), (5.) + + 6 3 kovergra a >, a 3 X ( ) = (5.) + 3 a <, X ( ) X će kovergrat a < <. 3 = (5.) 53

GLAVA 5 Oblast kovergecje X je spoljašjost kruga, pa djeljeje radmo počevš od ajvšeg stepea kako bsmo geersal stepe red sa egatvm ekspoetma: ( ) 3 X ( ) : ( 3 ) = = + = + + + +,(5.3) + 3 3 9 7 3 odakle se dobja kaual do sekvece: ( ) x( ) =, >. (5.4) 3 Kod X ( ) oblast kovergecje je uutrašjost kruga. Djeljeje radmo počevš od ajžeg stepea, tako da dobjamo stepe red sa potvm ekspoetma: X ( ) = = : ( ) = + + 4 + + +, (5.5) atkaual do sekvece: x Koačo možemo psat da je: =,. (5.6) x, = ( ), 3 > (5.7) 54

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.7 Prmjea - trasformacje u aal sstema obrad sgala Lear, vremesk varjat (LTI) sstem se opsuju jedačama dferecja u oblku: N M aky( k) = bkx( k), a =, (5.8) k= k= gdje su a, =,,, N bj, j =,,, M reale kostate koje avse od elemeata sstema jhovh međusobh vea, x( ) pobud sgal, a y( ) odv sstema. U ravjeom oblku ova jedača dferecja ma oblk: + ( ) + + ( ) = + ( ) + + ( ) ay ay a y N bx bx b x M.(5.9) N U Glav 4 smo aučl da odv LTI sstema možemo odredt kovolucjom ulaog sgala mpulsog odva h(, ) ukolko je o poat ukolko je etečea eergja u sstemu jedaka ul: = ( ) = ( ) = = y xkh k hkx k x h h x k=. (5.3) k= l rješavajem jedače dferecja (5.8) u domeu dskretog vremea. M 5.7. Određvaje odva možejem u -domeu U Glav 4 smo defsal fukcju preosa sstema dskretog LTI sstema: k h( k) H =. (5.3) k= Do ove defcje smo došl pobuđujuć LTI sstem kompleksm ekspoecjalm sgalom, x =, (5.3) tako da smo dobl odv stog oblka kao pobuda, al u avsost od fukcje preosa: 55

GLAVA 5 y h x hkx k hk hk k= k= k= k k = = ( ) = =, (5.33) Poredeć (5.33) sa defcom raom a -trasformacju, vdmo da je fukcja preosa H ( ) jedaka -trasformacj mpulsog odva: H( ) h. (5.34) Na osovu osobe kovolucje u vremeskom domeu: h x H( X ) ( ), (5.35) koja podjedako vrjed kako a ulateralu, tako a blateralu x čja je -trasformacju, odv y( ) a provolju pobudu -trasformacja X ( ), u poatu fukcju preosa sa: H( ) X( ) Y H, možemo odredt = (5.36) { } { } y= Y = HX. (5.37) Ovaj metod daje odv a provolju pobudu pr ultm početm uslovma. Blateralu -trasformacju je pogodo korstt a tražeje odva jer oa podraumjeva poavaje sgala od do, dok je u praks pobuda poata od treutka poavaja sstema, tj. a t. Počet uslov se takođe veuju a treutak početka posmatraja sstema. Zbog toga se odv određuje prmjeom ulaterale -trasformacje, pr čemu se podraumjeva kaualost sstema. Odv kaualog LTI sstema je dat sa: yt () = hkx ( k). (5.38) k = a kaualu pobudu u vdu komplekse ekspoecjale sekvece je jedak: u( ) x =, (5.39) 56

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema k k y = hk = hk k= k=. (5.4) Ira u uglastm agradama u (5.4) je fukcja vremea jer je gorja graca sume jedaka. Zbog toga odv je emovo stog oblka kao pobuda, a ralku od pobude ekaualom sopstveom fukcjom sstema (vd Poglavlje 4.6.). Međutm, a ssteme kod kojh je mpuls odv takav da se k provod hk u sum (5.4) smajuje pr porastu vremeske varjable k, k člaov hk će ako dovoljo dugo vremea postat aemarvo mal, te se može smatrat da suma ako dovoljo dugo vremea dostže svoju koaču vrjedost koja e avs od gorje grace sumraja. Zbog toga a velke vrjedost vrjed: k k h( k) h( k), (5.4) k= k= što ač da odv ako dovoljo dugo vremea poprma st oblk kao pobuda kažemo da je astuplo ustaljeo staje: y( ) h( k) = H( ) Iterval vremea prje astupaja ustaljeog staja se ava prela proces. k. (5.4) k = Na osovu aale provedee u domeu dskretog vremea, amo da je odv jedak bru sopstveog prudog odva. Nako dovoljo dugo vremea sopstve odv ščeava odv postaje jedak prudoj kompoet. Pr kaualoj kompleksoj ekspoecjaloj pobud taj odv u ustaljeom staju je jedak: y y = H. (5.43) p Stoga se fukcja preosa može defsat kao kolčk prudog odva a kompleksu ekspoecjalu pobudu same te pobude: prud odv a H( ) =. (5.44) 57

GLAVA 5 5.7. Fukcja preosa dskreth sstema Poavajuć pravlo -trasformacje o kovolucj dskreth sgala: y( ) = h( ) x( ) Y( ) = H( ) X ( ), (5.45) aključujemo da je fukcja preosa dskretog sstema data kao kolčk - trasformacje odva -trasformacje ekstacje: Y( ) H( ) =. (5.46) X ( ) Buduć da je fukcja preosa H ( ) racoala fukcja, uobčajeo se korste oake N( ) a polom u brojku D( ) a polom u avku, pa se fukcja preosa apsuje u oblku: H N =. (5.47) D Kod dskreth sstema opsah rekurvom jedačom dferecja: M N = k ( ) k ( ) (5.48) y b x k a y k k= k= mpuls odv je u opštem slučaju beskoačog trajaja. Fukcja preosa je racoala fukcja sa ulama k polovma p k koačh vrjedost, pa može da se apše u ravjeom l faktorovaom oblku, kao kolčk dva poloma po : l po : H M k b k k= k= K N k a k k = k = M ( k ) = = + N ( pk ) (5.49) 58

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema M M M k b k N M k= N M k= N N N N k k k = k = ( k ) H = = K + a p ( k ). (5.5) Ako je dskret sstem opsa erekurvom jedačom dferecja: M y = bx ( k), (5.5) k k = oda je mpuls odv koačog trajaja. Fukcja preosa ma M koačh ula pol reda M u ul: M M k M M k k k. (5.5) k= k= Y N H( ) = = = b = b X D Posebu klasu IIR sstema če takova all-pole sstem koj emaju koačh ula trasmsje ( b =, k ) čja fukcja preosa ma oblk: k b N = = N N + k + H k N N k k k= k= b a a. (5.53) 5.7.3 Stablost dskreth sstema U vremeskom domeu dskret sstem je stabla ako jegov mpuls odv adovoljava sljedeć uslov: h <. (5.54) = I uslova stablost datog u vremeskom domeu sljed da fukcja preosa kovergra a jedčoj kružc u -rav: = = = <. (5.55) H h h h h = = = = = 59

GLAVA 5 Vrjed obruto. Prvo ramatraja ummo FIR ssteme jer su o uvjek stabl. Ako se rad o kaualom FIR sstemu, jegova fukcja preosa ema drugh polova osm pola M -tog reda u ul: M H = b + b +... + bm, (5.56) te mpuls odv ovog sstema ma koača broje elemeata: δ δ δ h = b + b +... + bm M. (5.57) Ako sstem je kauala, opet je broj elemeata mpulsog odva koača, samo se pojavljuju elemet a <. Zbog koačost mpulsog odva uvjek je adovolje uslov (5.54) te je FIR sstem uvjek stabla. Posmatrajmo sada kauala IIR dskret sstem sa fukcjom preosa: H = K M ( k ) k = N ( pk ) k =. (5.58) Pretpostavmo da je M < N, jer se a M N fukcja preosa dskretog sstema može predstavt brom fukcje preosa FIR sstema fukcje preosa IIR sstema kod koga je M < N. Ravojem a parcjale ralomke, u slučaju da su sv polov jedostruk, mamo: gdje je H A A A = + +... +, p p p N N (5.59) ( k ) A = lm p H, k =,,..., N. (5.6) k p Odgovarajuć mpuls odv je jedak: k = + + + h A p A p A p u... N N. (5.6) Treba da pokažemo da uslova da oblast kovergecje obuhvata jedču kružcu sljed da je sstem stabla. Buduć da posmatramo kauala sstem, čja oblast kovergecje mora da bude spoljašjost kruga, aključujemo da se 6

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema sv polov dskretog sstema alae u uutrašjost jedčog kruga u -rav da vrjed: p <, k =,,..., N. (5.6) k Ako su sv polov fukcje preosa po modulu maj od jeda, t jeda od člaova mpulsog odva (5.6) e može da poprm beskoaču vrjedost, ego m vrjedost opadaju sa porastom vremea, te vrjed da je = h <. Prema tome, aključujemo da je kauala sstem čja oblast kovergecje obuhvata jedču kružcu stabla. Slčo se može pokaat u slučaju da fukcja preosa ma všestruke polove. Iako od majeg ačaja, slčo ramatraje se može provest a atkauale ssteme. Tada se uslova da je oblast kovergecje uutrašjost kruga koja obuhvata jedču kružcu, dola do aključka da sv polov p k moraju da maju modul već od jedce. T polov u mpulsom odvu geeršu člaove fukcoalog oblka p, koj oda teže ul kada. Dakle, dskret sstem je stabla ako samo ako oblast kovergecje fukcje preosa obuhvata jedču kružcu. k 5.7.4 Određvaje odva rješavajem jedača dferecja prmjeom -trasformacje Pretpostavmo da želmo da odredmo odv LTI sstema koj je opsa jedačom dferecja N -tog reda: y( ) + ay( ) + + any( N) = bx( ) + bx ( ) + + bmx( M) pr čemu su poat počet uslov y( N), y( N ),..., y( ),(5.63) +. Takođe podraumjevamo da poajemo pobudu u svakom treutku. Uvešćemo dodatu pretpostavku a ula sgal ogračt se a pobude čje su -trasformacje racoale fukcje. Ova pretpostavka je mogo restrktva jer veća sgala od praktčog ačaja ma racoalu -trasformacju. 6

GLAVA 5 Nako prmjee ulaterale -trasformacje a posmatrau jedaču dferecja, vodeć račua o pravlu pomaka: m m { x( m) } = x( m) + x( m+ ) + + x( ) + + X ( ) dobjamo: N M ( + + + ) = ( + + + ) + N M, (5.64) Y a a X b b b IC, (5.65) gdje su u IC( ) grupsa sv člaov koj uključuju počete uslove. Ak želmo samo da odredmo fukcju preosa, sv počet uslov postavljaju a ulu, jer blo koja karakterstka sstema e smje da avs od treuto atečeog staja ražeog kro počete uslove. Tako dobjamo fukcju preosa H M b + b + + bm N + + + N Y N = = = X a a D. (5.66) koja je kolčk dva poloma po sa realm koefcjetma, tv. reala racoala fukcja. Do aključka da je fukcja preosa LTI sstema racoala fukcja smo došl raje, u (5.47). Ako polom u avku jedačmo s ulom: D( ) =, (5.67) rješeja ove jedače su polov fukcje preosa. Istovremeo su to korje karakterstče jedače sstema (4.6), te se polom D ( ) ava karakterstč polom. Međutm, ako as ama kompleta odv koj avs od početh uslova, potrebo je proać veru -trasformacju raa: = +, (5.68) Y( ) H ( ) X ( ) IC( ) D( ) koj se dobje (5.65) djeljejem sa D( ). Prv čla H ( ) X je -trasformacja odva pr ultm početm uslovma, dok je drug čla IC( ) -trasformacja odva a akumulsau eergju. D 6

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema U pretpostavku da je -trasformacja pobude reala racoala fukcja: X N ( ) ( ) = X D, (5.69) X tada su oba člaa u (5.68) reale racoale fukcje, te se odv može odredt verom -trasformacjom, korsteć metod ravoja a parcjale ralomke opsa u Poglavlju 5.6.3: Y( ) y =. (5.7) { } Ovaj kompleta odv se sastoj od odva a ekstacju odva a akumulsau eergju: y = y + y, (5.7) e koj se lako radvoje ako se odvojeo traže vere -trasformacje sabraka u (5.68): e { } a y = H X, (5.7) y a ( ) IC =. (5.73) D Odv a ekstacju pr ultm početm uslovma Polom u brojku avku -trasformacje odva (5.68) se, pr ultm početm uslovma, mogu faktorovat a sljedeć ač: Y Y N N ( )( ) ( M ) ( N ) X =, (5.74) D DX ( v )( v ) ( vm ) X ( N ) = K p p p q q q X.(5.75) Sa, =,,, M p, =,,, N su oačee ule polov fukcje preosa, respektvo. Sa v, =,,, M q, =,,, N su respektvo X X 63

GLAVA 5 oače korje poloma u brojku avku -trasformacje pobude X ( ). Pretpostavmo dalje da e dola do poštavaja ula polova fukcje preosa sa polovma ulama -trasformacje pobude, respektvo. Ako se rad o kaualm sstemma sa kaualom pobudom ako su sv polov jedostruk, ravoj a parcjale ralomke daje: Y A A N N X = + = p = q, (5.76) pa je odv a ekstacju pr ultm početm uslovma jedak: N N X y( ) = Ap + A q u( ). (5.77) = = Prmjetmo da smo a ovaj ač radvojl djelove odva koj su vea a polove fukcje preosa p od djela odva koj je vea a polove q -trasformacje pobude. U slučaju všestrukh polova ekaualost sstema l pobude, tražeje vere -trasformacje ravojem a parcjale ralomke se usložjava. Za + oblast kovergecje R < < R odva Y( ) uma da je do -rav u kom kovergra H ( ) X ( ). U opštem slučaju se ravojem a parcjale ralomke dobja: Y gdje su sa p poloma DX ( ), takv da je p A B = + + + M N Np Ns c = = p = s Nmp mp Nms ms C D + + + k = k= ( p ) = k= ( s ) + k+ MX NX Nq Nr A B + c + + + = = q = r Nmq mq Nm mr C r D + + k+. k+ = k= ( q ) = k= ( r) s oače korje poloma < R q (5.78) D, a sa q r korje < R, a s > R + r > R +. Np je 64

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema broj jedostrukh, a Nmp broj všestrukh korjea p reda mp. Ns je broj jedostrukh, a Nms broj všestrukh korjea s reda ms. Slčo, Nq je broj jedostrukh, a Nmq broj všestrukh korjea q reda mq, dok je Nr broj jedostrukh, a Nmr broj všestrukh korjea r reda mr. Odv je jedak: M N Np Ns y( ) = cδ ( ) + Ap u( ) Bs u( ) + = = = Nmp mp Nms ms k k + C p u( ) D s u( ) + = k= k = k= k M N Nq Nr + + = = = X X c δ ( ) A q u( ) B r u( ) + Nmq mq Nmr mr k k + C q u( ) D r u(. ) = k= k = k= k (5.79) Sopstve prud odv Na osovu aale u vremeskom domeu amo da je sopstve odv kaualog LTI sstema koj se dobje rješavajem homogee jedače dferecja jedak: N s = y = K p,, (5.8) pod uslovom da su sv korje p, =,,, N karakterstče jedače N + a +... + a + a = (5.8) N N jedostruk. Poređejem sa odvom a pobudu pr ultm početm uslovma jedostrukm polovma -trasformacje odva (5.77), koj smo dobl prmjeom -trasformacje, vdmo da je sopstve odv sadrža u ovom rau, te da je geersa polovma fukcje preosa. Pr tome je A = K. Preostal do odva predstavlja prud odv, odoso ustaljeo staje. Slčo ramatraje se može provest u slučajevma kada se javljaju všestruk polov. N 65

GLAVA 5 Kod realh racoalh fukcja preosa ule polov dolae u kojugovao-kompleksm parovma. Pretpostavmo da su sv polov jedostruk. Zavso od rasporeda polova u kompleksoj -rav, mogu astupt ralčt oblc sopstveog odva:. sv polov se alae uutar jedčog kruga sopstve odv ekspoecjalo opada s porastom vremea,. pojavljuje se kojugovao-kompleks par polova a jedčoj kružc sopstve odv je u oblku sush sgala, 3. postoje polov va jedčog kruga sopstve odv ekspoecjalo raste s porastom vremea. Odv a akumulsau eergju Odv a akumulsau eergju se dobje verom -trasformacjom čla IC( ) u rau (5.68) a -trasformacju kompletog odva. Polov ove D( ) racoale fukcje su jedak polovma fukcje preosa, te je bog toga sopstve odv sstema a akumulsau eergju stog oblka kao sopstve odv a ekstacju. U prethodom lagaju posebo smo ramatral odv a ekstacju kao br sopstveog odva a ekstacju prudog odva, te odv a IC( ) akumulsau eergju. Ako as teresuje samo kompleta odv, čla u D rau (5.68) je potrebo posebo dvajat, t je prlkom faktoracje -trasformacje odva potrebo radvajat utcaj polova fukcje preosa od polova -trasformacje pobude, već se kompleta odv jedostavo određuje verom -trasformacjom od Y( ) ekom od metoda. 66

-trasformacja jee prmjee u aal dskreth sstema 5.6.6 Jedače staja u -domeu Opsa sstema jedačama staja u matrčom oblku je dat sa: x( + ) = Ax( ) + Be ( ), (5.8) pr čemu je x ( +) vektor varjabl staja u treutku +, x ( ) vektor varjabl staja u treutku, e ( ) vektor ulah sgala u treutku, matrca A je kvadrata matrca staja dmeja N N matrca B je pravougaoa matrca koefcjeata u ulae sgale dmeja N M. Ilae promjeljve sstema su određee matrčom jedačom: ( ) = ( ) + ( ) y Cx De, (5.83) gdje su C D matrce koje poveuju lae promjeljve sa promjeljvm staja pobudama. Ako postoje trasformaco parov: x( ) X ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) y Y e E, prmjejujuć -trasformacju a matrče jedače (5.8) (5.83) dobjamo: = + X X AX BE, (5.84) ( ) = ( ) + ( ) Y CX DE, (5.85) gdje je X vektor koj sadrž vrjedost promjeljvh staja u početom treutku posmatraja =. Rješeje a -trasformacje promjeljvh staja dobje se (5.84): = + ( ) ( ) X I A X I A BE, (5.86) gdje je I jedča matrca reda. Za lae promjeljve -trasformacje su date matrčom jedačom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y = C I A X + I A BE + DE = = C I A X + C I A B+ D E. (5.87) 67

GLAVA 5 Raje smo fukcju preosa defsal a ssteme sa jedm ulaom jedm laom. Defcju možemo prošrt a ssteme sa vše ulaa vše laa. Pr ultm početm uslovma, defše se matrča fukcja preosa sa: ( ) ( ) Y T( ) = = C( I ) A B+ D. (5.88) E Poavajuć matrču fukcju preosa, lae promjeljve pr ultm početm uslovama se mogu skaat jedostavom matrčom jedačom: ( ) = ( ) ( ) Y T E. (5.89) Sve pojedače fukcje preosa jedog sstema, defsae kao kolčk jede lae promjeljve jede pobude, maju st polom u avku. To je karakterstč polom koj smo već pomjal oačaval sa D ( s ). 5.6.7 Aala složeh sstema -domeu Rad sa složem sstemma pojedostavljujemo prkaujuć h preko jedostavjh sstema u vdu kaskade l paralele vee, sstema u povratoj spre l jhove kombacje. Impuls odv kaskade vee dva LTI sstema jedak je kovolucj jhovh mpulsh odva: * h = h h. (5.9) Zajuć da kovolucj u vremeskom domeu odgovara možeje u -domeu, fukcja preosa kaskade vee dva LTI sstema jedaka je provodu fukcja preosa pojedačh sstema: H = H H. (5.9) Za vše sstema u kaskadoj ve, kao a Slc 5., vrjed da je: H 3 = = Y Y Y Y Y Y, (5.9) X X Y Y Y Y H = H H H. (5.93) 68