PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0; v x + x + x 2 8x 2 = 0; g x x + = 0. NAPOMENA. Jedna~ina g ne mora da se re{ava Ferarijevom metodom. Naime, ako uo~imo da je x = jedno re{ewe date jedna~ine, posle deqewa polinoma x x + sa x : 0 0 0 ostaje da prona emo korene x 2, x, x polinoma x x 2 x. Me utim, broj x 2 = je tako e koren i posledweg polinoma, pa su x i x koreni koli~nika koji se dobija deqewem polinoma x x 2 x sa x, 2 0, tj. polinoma x 2 + 2x +. Re{ewa jedna~ine x 2 + 2x + = 0 su x, = 2 ± i2 2 = ± i 2. 6 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x = x 2 = dvostruko re{ewe, x = + i 2 i x = i 2. 2. zadatak Sistemi jedna~ina vi{eg reda. U skupu kompleksnih brojeva re{iti sistem jedna~ina: a x + y + z = 9 x + y + z = xy + xz + yz = 27 ; b x + y + z = 2 x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z = 20.
. zadatak Svojstva neprekidnosti ure enog poqa realnih brojeva. Arhimedovo svojstvo skupa realih brojeva Teorema, 59. str. Multiplikativna varijanta Arhimedovog svojstva Zadatak 8, 6. str. Kantorova teorema Zadatak 2, 7. str.; potpuno re{ewe ovog zadataka treba da sadr`i i dokaz Teoreme 7, 6. str.. zadatak Supremum i infimum podskupova skupa realnih brojeva Dat je skup A = {logn + log n n N}. a Dokazati da je supremum skupa A iracionalan broj, a zatim, primenom decimalskog postupka, izra~unati pribli`nu vrednost ovog broja na dve decimale. b Odrediti infimum skupa A. RE[EWE. Neka je a n = logn + log n = log +, n N. Kako je n a log rastu}a funkcija, imamo da je log + + > + 2 > + > + >... > log + 2 > log + > log + >..., pa je niz a n, n N, opadaju}i. Dakle, supremum skupa A je, u ovom slu~aju, najve}i element ovog skupa, tj. log 2. Doka`imo da je log 2 iracionalan broj. Pretpostavimo da je log 2 racinalan broj, tj. budu}i da je log 2 > 0 da je log 2 = p, q p, q N. Tada je 2 = 0 p q, odakle je 2 q = 2 p 5 p, {to je nemogu}e prema Osnovnoj teoremi aritmetike svaki prirodan broj se na jedinstven na~in, do na redosled faktora, mo`e rastaviti na proizvod prostih ~inilaca. Dakle, log 2 je iracinalan broj. Izra~unajmo log 2 na dve decimale. Neka je a = log 2. Tada je, po definiciji logaritma, 0 a = 2. Kako je = 0 0 < 0 a = 2 < 0 = 0, imamo da je 0 < a <, tj. a 0 = [a] = 0. Tada je a = a 0 + a 0 = a 0, za neko a, pa je 0 a 0 = 2, tj. 0 a = 2 0 = 02. 2
Budu}i da je 0 = 000 < 0 a = 02 < 0 = 0000, imamo da je a = + a 2 0, za neko a 2, pa je Kako je 0 + a 2 0 = 02 tj. 0 a 2 =, 02 0. = 0 0 < 0 a 2 =, 02 0 < 0, imamo da je a 2 = 0 + a 0, za neko a. Dakle, a = 0 + 0 + 0 00 + a 0, 0. 000 b Kako je log x > 0, za x >, imamo da je 0 kao i svaki negativan realan broj dowe ograni~ewe skupa A: za svaki prirodan broj n va`i a n = log + n > 0, tj. a Aa > 0. Dokaza}emo da za svaki pozitvivan broj ε postoji element a iz A da je a < ε. Zapravo, treba dokazati da se za svaki pozitivan realan broj ε postoji prirodan broj n takav da je log < ε, tj. da je + n n < 0ε. Neka je ε > 0. Tada je i ε = 0 ε > 0. Prema Arhimedovoj teoremi postoji prirodan broj n takav da je odakle je n < ε, tj. n < 0ε, + n < 0ε, tj. log + < ε. n Dakle, 2 ε > 0 a A a < ε. Iz i 2 sledi da je inf A = 0.
Dat je skup A = { n + n n N }. a Dokazati da je supremum skupa A iracionalan broj, a zatim, primenom decimalskog postupka, izra~unati pribli`nu vrednost ovog broja na jednu decimalu. b Odrediti infimum skupa A. RE[EWE. Neka je a n = n + n = n + + n + 2 n + n + n 2 + n, n N. Ako se broj n pove}ava, broj a n je sve mawi, pa je a > a 2 > a > a >... opadaju}i niz. Dakle, supremum skupa A je, u ovom slu~aju, najve}i element ovog skupa, tj. 2. Doka`imo da je 2 iracionalan broj. Dovoqno je dokazati da je 2 iracionalan broj. Pretpostavimo da je 2 racinalan broj, tj. budu}i da je 2 > 0 da je 2 = p, q p, q N i nzdp, q =. Tada je 2q = p, pa 2 p, a kako je 2 prost broj, sledi i 2 p, pa je p = 2k, za neki prirodan broj k. Sada iz 2q = 6k, tj. q = 8k sledi da 2 q, pa i 2 q, {to je nemogu}e, jer je nzdp, q =. Dakle, 2 je iracionalan broj, pa je i 2 jedan takav broj. Izra~unajmo 2 na jednu decimalu. Neka je a = 2. Tada je a = 2. Kako je = < a = 2 < 2 = 6, imamo da je < a < 2, tj. a 0 = [a] =. Tada je a = a 0 + a 0 = + a, za neko 0 a, pa je + a = 2, tj. 0000 + 000a + 600a 2 + 0a + a = 20000. 0 Budu}i da je za a =, a za a = 2 0000 + 000a + 600a 2 + 0a + a = 6 < 20000, 0000 + 000a + 600a 2 + 0a + a = 2076 > 20000, imamo da je a = + a 2 0, za neko a 2, pa je a = + 0 + a 2 00,.
Dakle, 2 0,. b Imamo da za svaki prirodan broj n va`i a n = n + + n + 2 n + n + n 2 + n > 0, pa je 0 kao i svaki negativan realan broj dowe ograni~ewe skupa A: a Aa > 0. Dokaza}emo da za svaki pozitvivan broj ε postoji element a iz A da je a < ε. Zapravo, treba dokazati da se za svaki pozitivan realan broj ε postoji prirodan broj n takav da je n + + n + 2 n + n + n 2 + n < ε. Kako za svaki prirodan broj n va`i nejednakost n + + n + 2 n + n + n 2 + n < n, dovoqno je dokazati da za svaki pozitivan broj ε postoji prirodan broj n takav da je n < ε, tj. n < ε. Neka je ε > 0. Tada je i ε = ε > 0. Prema Arhimedovoj teoremi postoji prirodan broj n takav da je n < ε, tj. odakle je n < ε, pa i n < ε, n + + n + 2 n + n + n 2 + n < ε. Dakle, 2 ε > 0 a A a < ε. Iz i 2 sledi da je inf A = 0. 5
5. zadatak Kardinalni brojevi ℵ 0 i c. NAPOMENE. Neki od prebrojivih skupova, tj. skupova kardinalnosti ℵ 0 = N, su: 2N = {2,, 6, 8,...}; Funkcija f : N 2N data sa fn = 2n, n N, je bijekcija. 2N = {,, 5, 7,...}; N 0 = {0,, 2,...}; Funkcija f : N N 0 data sa fn = n, n N, je bijekcija. Bijekcija je i preslikavawe g : N 0 N dato sa gn = n +, n N 0. Z = {..., 2,, 0,, 2,...}; Funkcija f : N Z data sa fn = 0, ako je n =, k, ako je n = 2k, k, ako je n = 2k +,, k {, 2,,...}, je bijekcija. Naime, zadatom funkcijom elemente skupa Z re amo u niz na slede}i na~in: 0,,, 2, 2,,,,,... Na}i bar jednu bijekciju g : Z N! N 0 N 0 ; Funkcija f : N0 N 0 N data sa fm, n = 2 m 2n +, m, n {0,, 2,,...}, je bijekcija. Preslikavawe g : N N 0 N 0 odre eno slede}im re awem elemenata skupa N 0 N 0 u niz: Q; g = 2 5... 0, 0 0,, 0 2, 0,... je jo{ jedan primer bijekcije ~ije postojawe daje da je N 0 N 0 prebrojiv skup. 6
Neki od neprebrojivih skupova kardinalnosti c = R, su: otvoren interval π 2, π 2 ; π 2, π 2 Funkcija f : Tako e, arctg : R na π 2, π 2. R data sa fx = tg x, x otvoren interval 0, ; Funkcija f : 0, π 2, π 2 data sa π 2, π 2, je bijekcija. fx = πx π 2, x π 2, π 2, je bijekcija. Kompozicija funkcija f : 0, na π 2, π 2 i tg : π 2, π na R, 2 tj. funkcija g = tg f : 0, R, data sa gx = tg πx π 2, x 0,, je tako e jedna bijekcija. 0, + ; Funkcija f : R 0, + data sa fx = 2 x, x R, je bijekcija. Tako e, g : 0, + na R, gx = log 2 x, x > 0. [0, + ; Funkcija f : [0, + 0, + data sa je bijekcija. fx = { x +, x N0 x, x N 0, x [0, +, Na}i bar jednu bijekciju g : [0, + na R! 7
zatvoren interval [0, ]; Neka je a n =, n + n N i D = {a n n N} = funkcija f : [0, ] 0, data sa a, x = 0 a fx = 2, x = a n+2, x = a n, n =, 2,... x, x D { 2,, },... Tada je bijekcija. Na}i bar jednu bijekciju g : [0, ] R! skup iracinalnih brojeva I. Odrediti bar jednu bijekciju: a f : Z na 2N; b f : 2N na 2N ; v f : Z Z g f : [0, na R; d f : [ 2, na, 5]; f : [ 2, e f : [, + na, ; ` f :, 0] na 0, ; z f : R Z Ispitati koji su od skupova a Q[ 2]; b skup svih realnih brojeva koji su re{ewa neke kvadratne jedna~ine sa racionalnim koeficijentima; v 0, Z; g skup svih realnih brojeva koji nisu koreni polinoma sa racionalnim koeficijentima tzv. transcendentni brojevi; d 0, I; 0, Q; prebrojivi a koji neprebrojivi? na N; na [, 5]; na R. 8