Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnički fakultet Junski ispitni rok iz Fizike 1, 8.6.016. godine Predmetni nastavnici: Jovan Cvetić (P1), Predrag Marinković (P) i Milan Tadić (P3) Trajanje ispita je 3h 1. Tačka se kreće u skladu sa kinematičkim jednačinama u polarnom koordinatnom sistemu: ρsinϕ = kt, ϕ = bt, gde su k i b konstante. Naći: (a) [0] jednačinu trajektorije u polarnom sistemu; (b) [40] projekcije brzine u polarnom sistemu; (c) [30] projekcije brzine u pridruženom Dekartovom sistemu. Nacrtati jednačinu hodografa brzine u koordinatama v x i v y ; (d) [10] komponentu vektora ubrzanja u y-pravcu Dekartovog sistema.. Malo telo mase m = 0,1kg spušta se iz stanja mirovanja niz strmu ravan nagibnog ugla 0 < α < π/ (videti sliku uz zadatak) od početnog položaja u blizini vrha strme ravni do temena strme ravni. Koeficijent trenja izmed - u tela i strme ravni je µ = 3/3, a horizontalno rastojanje od početnog položaja do temena strme ravni je L = 1m. Ako je poznato ubrzanje Zemljine teže g = 9,81m/s, odrediti: (a) [60] nagibni ugao strme ravni za koji se telo spusti niz strmu ravan za minimalno vreme; (b) [10] minimalno vreme spuštanja tela niz strmu ravan; (c) [30] gubitak mehaničke energije tela kada se spušta za minimalno vreme. Slika 1: Uz zadatak. 3. Majmun mase m visi na užetu koje je preko laganog kotura (bez mase) svojim levim krajem zakačeno za blok mase M koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj podlozi (vidi sliku uz zadatak). Naći ubrzanje oba tela u odnosu na podlogu i silu zatezanja u užetu za sledeće slučajeve: (a) [0] majmun je nepokretan u odnosu na uže; (b) [40] majmun se kreće naviše sa ubrzanjem a 1 u odnosu na uže; (c) [40] majmun se kreće naniže sa ubrzanjem a u odnosu na uže. Slika : Uz zadatak 3.
4. (a) [50] Izvesti jednačinu Meščerskog. (b) [50] Lanac je podignut u vertikalnu poziciju, a zatim pušten da slobodno pada. Alke lanca su vrlo sitne. Izračunati silu reakcije podloge u funkciji težine dela lanca koji leži na podlozi. 5. Oscilatorni sistem, koga čine telo, horizontalno postavljena opruga i horizontalno postavljen amortizer, vrši slabo amortizovane prinudne oscilacije pod dejstvom spoljašnje prosto periodične sile, koja deluje u horizontalnom pravcu, oblika F(t) = F 0 cosωt. Odrediti: (a) [30] frekvenciju sopstvenih oscilacija neprigušenog sistema (ω 0 ), ako je amplituda brzine prigušenihoscilacijanafrekvenciji prinudnesilef 1 = Hzjednakaamplitudibrzineprigušenih oscilacija na frekvenciji prinudne sile f = 3Hz; (b) [0] koeficijent amortizovanja (α), ako je faktor dobrote oscilatornog sistema Q = 5; (c) [0] ugao faznog zaostajanja oscilatornog sistema prema prinudnoj sili (φ 0 ), ako je frekvencija prinudne sile jednaka već odred - enoj frekvenciji sopstvenih oscilacija; (d) [30] srednju snagu u jednoj periodi ( P) koju oscilatorni sistem primi, ako je amplituda prinudne sile F 0 = 1N, masa tela koje osciluje m = 0,1kg i frekvencija prinudne sile jednaka već odred - enoj frekvenciji sopstvenih oscilacija. Napomena. Q-faktor je definisan kao: Q = π. E 1 E E 1 6. [100] Tačkasti izvor zvuka, koji se kreće ka nepokretnom vertikalnom zidu, normalno na zid, brzinom v = 0,17 m/s, emituje zvučni talas frekvencije f 0 = 1000 Hz. Sa suprotne strane od zida, na pravcu kretanja izvora, postavljen je nepokretni prijemnik zvučnih talasa (videti Slika 3: Uz zadatak 6. sliku uz zadatak). Ako je brzina zvuka u sredini u kojoj se nalaze izvor i prijemnik c = 340 m/s, odrediti frekvenciju zvuka izbijanja. Uputstvo. Izbijanje je pojava slaganja talasa bliskih kružnih učestanosti. Frekvencija izbijanja je apsolutna vrednost razlike frekvencija talasa čije slaganje dovodi do izbijanja. Opšte napomene: (1) Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu u tekućoj školskoj godini rade ZADATKE 3-6 za vreme 3 h. Na naslovnoj strani vežbanke, u polju rednih brojeva 1 i, treba da upišu oznaku K1 da bi poeni ostvareni na kolokvijumu bili priznati. () Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radili kolokvijum u tekućoj školskoj godini rade SVE ZADATKE (1-6) za vreme 3h. (3) Zadatak koji nije rad - en ili čije rešenje ne treba bodovati jasno označiti na koricama sveske, u odgovarajućoj rubrici, oznakom X. (4) Na koricama sveske (u gornjem desnom uglu) napisati broj poena sa prijemnog ispita iz fizike, ako je rad - en, u formi PR ISP = poena. Ako nije rad - en PR ISP = NE. (5) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i svih vrsta pisaljki, sem onih koje pišu crvenom bojom. (6) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati u vežbanci. (7) Na koricama sveske napisati ime profesora i oznaku grupe (P1, P ili P3).
Rešenja 1. (a) Jednačina trajektorije je (b) Projekcije brzine u polarnom sistemu su ρ = kϕ bsinϕ. v ρ = ρ = ksinbt bktcosbt sin. bt v ϕ = ρ ϕ = kbt sinbt. (c) Potrebno je preći u Dekartov sistem u skladu sa v x = v ρ cosϕ v ϕ sinϕ, Lako se pokazuje da je (d) Projekcija ubrzanja je v y = v ρ sinϕ+v ϕ cosϕ. v x = kcotbt kbt sin bt, v y = k. a y = v y = 0.. (a) Na osnovu II Njutnovog zakona: Put koji telo pred - e je: Vreme spuštanja tela je: Minimalno vreme se dobija na osnovu uslova: ( d sinα dα Odavde sledi: Vrednost nagibnog ugla je: (b) Minimalno vreme spuštanja tela je: a = gsinα µgcosα. (1) S = L cosα = 1 at. () L t = cosα(sinα µcosα)g. (3) ) µcos α = 0. (4) cosα+µcosαsinα = 0. (5) α = 1 ( arctg 1 ) = 60. (6) µ t min = 0,84 s. (7)
(c) Ubrzanje tela je Rad sile trenja je: a = 5,66 m/s. (8) A = mgltanα m(at) = µmgl = 0,57 J. (9) 3. Biće dato na posebnom papiru. 4. Biće dato na posebnom papiru. 5. (a) Kružna učestanost sopstvenih oscilacija neprigušenog sistema dobija se iz uslova (F 0 /m)ω 1 (ω 0 ω 1 ) +4α ω 1 = (F 0 /m)ω, (ω 0 ω ) +4α ω odakle je ω 0 = ω 1 ω = 15,39rad/s, f 0 = ω 0 /(π) =,4495Hz. (b) Koeficijent amortizovanja se nalazi iz Q-faktora preko izraza (c) Fazno zaostajanje je (d) Srednja snaga je P = 1 T α = ω 0 Q = 0,3078s 1. φ 0 = arctan αω ω 0 ω ω=ω0 = 1,5708rad, φ 0 = 90. T 0 F dx dt dt = (F0 /m)ω (ω0 ω ) +4α ω sinφ 0 = 8,1W. ω=ω0 6. Izbijanje nastaje kao rezultat slaganja talasa koji propagira direktno ka prijemniku, čija je frekvencija f = f 0 1+v/c i talasa koji se reflektuje o zid, čija je učestanost: (10) f = f 0 1 v/c. (11) Frekvencija izbijanja je: f = f f vf 0 c = 1 Hz. (1)
Rešenja 3. Prema referentnom smeru ubrzanja tega mase M (naniže na slici uz rešenje) sledi T am (1) mg T ma gde je a apsolutno ubrzanje naniže mase m a a ubrzanje mase M odnosno užeta. a) a a, b) a a1 a, c) a a a. Rešavanjem sistema (1) dobija se a) a mg / ( m M ), T mmg / ( m M ). a m( g a ) / ( m M ), T mm ( g a ) / ( m M ). b) 1 1 c) a m( g a ) / ( m M ), T mm ( g a ) / ( m M ). 5. Naka je x dužina lanca na podlozi u nekom trenutku, vidi sliku uz rešenje. Sila reakcije podloge N je rezultujuća sila kojom podloga deluje na lanac N Q( x) Fu, (1) gde je Q( x) Mgx / L težina lanca na podlozi ( M je ukupna masa a L ukupna dužina lanca), je sila usled udara delića lanca mase dm Mdx / L čija je F u brzina v. Kako je brzina delića lanca u posmatranom trenutku v gx, promena impulsa delića lanca je dp v dm gx Mdx / L. Sledi Fu dp / dt ( vm / L)( dx / dt) v M / L gxm / L Q. Prema (1) dobijamo N 3 Q.