Siruri de numere reale

Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n) pentru n N. efinitie. Un sir de numere reale (x n ) n N se numeste () crescator (resp. descrescator) daca x n x n+ (resp. x n x n+ ) pentru orice n N (2) strict crescator (resp. strict descrescator) daca x n < x n+ (resp. x n > x n+ ) pentru orice n N (3) monoton daca este crescator sau descrescator. (4) marginit daca exista M > astfel incat x n M pentru orice n N. efinitie. Fie (x n ) n N un sir de numere reale si x R. Spunem ca (x n ) n N are limita x daca pentru orice ε > exista n ε N astfel incat pentru orice n N, n n ε sa avem x n x < ε. Vom scrie lim n x n = x sau x n x. Spunem ca (x n ) n N are limita + daca pentru orice ε > exista n ε N astfel incat pentru orice n N, n n ε sa avem x n > ε. Spunem ca (x n ) n N are limita daca pentru orice ε > exista n ε N astfel incat pentru orice n N, n n ε sa avem x n < ε. Un sir de numere reale se nuemste convergent daca are limita finita. Un sir se numeste divergent daca nu este convergent. Propozitie (Operatii cu siruri convergente). Fie x n x, y n y unde x, y R. Atunci () x n + y n x + y (2) x n y n xy (3) ax n ax, pentru orice a R (4) xn y n x y daca y Propozitie. () Orice sir convergent este marginit. (2) aca x n x, z n x si x n y n z n pentru orice n N atunci y n x. (3) x n daca si numai daca x n. (4) aca x n x atunci x n x.

(5) aca x n si (y n ) n este marginit atunci x n y n. Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent. efinitie. Spunem ca (x n ) n N este sir Cauchy (sau fundamental) daca pentru orice ε > exista n ε N astfel incat pentru orice n, m N, n, m n ε sa avem x n x m < ε. Teorema. Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy. Exemplu. Sirul x n = + + + +, n este divergent. 2 3 n Intr-adevar, se observa ca x 2n x n = n + + n + + + 2n > 2 pentru orice n. e aici deducem cu usurinta ca (x n ) n nu este fundamental si deci nu este convergent. Serii de numere reala efinitie. Fie (x n ) n N un sir de numere reale si fie (s n ) n N sirul definit prin s n = x + x + + x n. Sirul (s n ) n N se numeste sirul sumelor partiale. Perechea de siruri ((x n ) n N, (s n ) n N ) se numeste seria generata de sirul (x n ) n N si se noteza cu x n sau x n. Spunem ca seria n N x n este convergenta daca sirul (s n ) n N este convergent. Numarul lim s n se numeste n suma seriei si se noteaza cu x n. O serie care nu este convergenta se numeste divergenta. Propozitie. aca x n este o serie convergenta atunci lim n x n =. Corolar. aca lim x n atunci seria x n este divergenta. n Exemplu. Studiati convergenta seriei si in cazul in care ste convergenta determinati suma ei. Avem n 2 +n s n = + + 2 2 + 2 + + n 2 + n = 2 + 2 3 + + n n + = n + Atunci lim n s n = si deci seria este convergenta si 2 =. n 2 +n

Exemplu. Seria geometrica q n este convergenta daca si numai daca q (, ). Intr-adevar, sa observam ca daca q atunci s n = + q + q 2 + + q n = qn+ q eci seria este comvergenta daca q (, ) si divergenta in caz contrar. In plus, daca q (, ) atunci Exemplu. Seria armonica generalizata q n = q. n α este convergenta daca α > si divergenta daca α. Propozitie. aca seriile x n si y n sunt convergente si c R, atunci seriile (x n + y n ), (x n y n ) si cx n sunt convergente si au loc relatiile (x n + y n ) = (x n y n ) = x n + x n cx n = c Teorema (Crieriul lui Cauchy). Seria x n este convergenta daca si numai daca pentru orice ε > exista n ε N astfel incat pentru orice n N, n n ε si orice m N avem x n y n y n x n+ x n+ + + x n+m < ε. Teorema (Primul criteriu al comparatiei). Fie x n si y n serii cu termeni pozitivi. aca exista n o N astfel incat x n y n pentru orice n n. ) aca seria y n este convergenta atunci seria x n este convergenta. 2) aca seria x n este divergenta atunci seria x n este divergenta. Exemplu. Studiati convergenta seriei n Evident <. Cum seria 2 n +3 n 2 n n criteriu al comparatiei ca seria n. 2 n +3 n este convergenta deducem atunci din primul 2 n este convergenta. 2 n +3 n 3

Teorema (Al doilea criteriu al comparatiei). Fie x n si aca exista lim xn y n y n serii cu termeni pozitivi. = l si < l < atunci cele doua serii au aceasi natura. Exemplu. Studiati convergenta seriei n Fie x n = n+ 2n 3 +n, n si y n = n 2. Cum iar seria y n = n n seria n n+ 2n 3 +n n 2 este convergenta. n+. 2n 3 +n x n n 3 + n lim = lim n y n n 2n 3 + n = 2 este convergenta deducem din al doilea criteriu al comparatiei ca Teorema (Criteriul raportului). Fie x n o serie cu termeni pozitivi. aca exista l = lim n x n+ x n, atunci () pentru l <, seria este convergenta (2) pe l >, seria este divergenta (3) daca l =, nu putem trage nicio concluzie. Exemplu. Studiati convergenta seriei n n. 3 n Fie x n = n termenul general al seriei. Avem 3 n si deci seria este convergenta x n+ lim n x n n + 3 n = lim n 3 n+ n = 3 < Teorema (Criteriul radacinii). Fie x n o serie cu termeni pozitiva. aca exista l = lim n n xn, atunci () pentru l <, seria este convergenta. (2) pentru l >, seria este divergenta. (3) pentru l =, nu putem trage nicio concluzie. Exemplu. Studiati convergenta seriei n ( n 2 + n) n+. Fie x n = ( n 2 + n) n+, n. Cum lim n n xn = lim ( n 2 + n) n+ n n ( = lim n n n2 + + n ) n+ n = 2 < rezulta ca seria este convergenta. 4

efinitie. aca (x n ) n este un sir de numere reale, spunem ca seria x n este absolut convergenta daca seria x n este convergenta. Folosind criteriul lui Cauchy, obtinem Teorema. Orice serie abosult convergenta este convergenta. efinitie. Se numeste serie alternanta o serie de forma ( ) n a n cu a n > pentru orice n N. Teorema (Criteriul lui Leibniz). Fie ( ) n a n o serie alternanta. aca sirul (a n ) n N este descrescator si converge catre zero atunci seria este convergenta. Exemplu. Studiati convergenta seriei n= n= ( ) n n. Sirul cu termenul general a n = este descrescator si are limita egala cu zero. Aplicand n criteriul lui Leibniz deducem ca seria este convergenta. Observam ca sria ( ) n = este divergenta si deci seria ( ) n nu este absolut n n n convergenta! Observatie. Exemplul de mai sus arata ca nu orice serie convergenta este absolut convergenta. 5

Functii de o variabila reala. Limite. Continuitate Spunem ca o multime V este vecinatate a punctului a R daca exista r > astfel incat (a r, a + r) V. Un punct x R se numeste punct de acumulare pentru multimea A daca orice vecinatate a lui x contine cel putin un punct diferit de x. Multimea punctelor de acumulare ale multimii A se noteaza cu A. efinitie. Fie f : A R R si a R un punct de acumulare pentru A. Spunem ca l R este limita functiei f in punctul a daca pentru orice vecinatate V a lui l exista U o vecinatate a lui U astfel incat pentru orice x U A, x a sa avem f(x) V. Vom scrie lim x a f(x) = l Teorema. Fie f : A R R si a R un punct de acumulare pentru A. Sunt echivalente afirmatiile () lim x a f(x) = l (2) pentru orice ε > a lui l exista δ > astfel incat pentru orice x A \ {a}, cu x a < δ sa avem f(x) l < ε (3) pentru orice sir (x n ) n N de puncte din A \ {a} cu lim n x n = a avem lim n f(x n ) = l. efinitie. Fie f : A R R si a A un punct de acumulare pentru A. Spunem ca f este continua in a daca exista lim x a f(x) si lim f(x) = f(a). x a Functii derivabile efinitie. Fie f : I R, unde I R este un interval si a I. Spunem ca f are derivata in a daca exista (in R) limita lim x a f(x) f(a), notata f (a). x a aca derivata f (a) exista si este finita se spune ca f este derivabila in a. aca functia f : I R este derivabila in orice punct al unei submultimi A I atunci spunem ca f este derivabila pe A. In acest caz functia x A f (x) se numeste derivata lui f pe A si se noteaza cu f. 6

Teorema. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct. emonstratie. Sa prsupunem ca f : R este derivabila in a. in relatia rezulta ca Asadar si deci f este continua in a. f(x) f(a) = f(x) f(a) x a (x a), x a. f(x) f(a) lim (f(x) f(a)) = lim lim(x a) =. x a x a x a x a lim f(x) = f(a) x a Propozitie. aca f, g : I R, doua functii derivavile pe intervalul I. Atunci: (i) functia f + g este derivabila pe I si (f + g) = f + g (ii) functia λf este derivabila pe I si (λf) = λf. (iii) functia fg este derivabila in pe I si (fg) = f g + fg. (iv) daca in plus g(x) pentru orioe x I functia f g este derivabila pe I si ( ) f = f g fg g g 2 Teorema. aca f : I J este derivabila pe I si g : J R este derivabila pe J atunci functia g f este derivabila pe J si (g f) = (g f) f. Teorema. aca f : I J o functie continua si bijectiva intre doua inervale. aca f este derivabila pe I si f (x) pentru orice x I atunci functia inversa f este derivabila pe J si in plus (f ) = 7 f f

Fie f : A R, unde A R. Un punct a A se numeste punct de maxim local (relativ) daca exista o vecinatate U al lui a astfel incat f(x) f(a) pntru orice x U A. Un punct a se numeste punct de minim local (relativ) daca exista o vecinatate U al lui a astfel incat f(x) f(a) pntru orice x U A. Punctele de maxim local si cele de minim local se numesc puncte de extrem local. Teorema (Fermat). Fie I un ineterval deschis si a I un punct de extrem local al unei functii f : I R. aca f este derivabila in a atunci f (a) =. emonstratie. Sa presupunem ca a este punct de minim local. Exista o vecinatate U a lui a (si putem presupune ca U I) astfel incat pentru orice x U I sa aiba loc f(x) f(a).atunci f (a) = lim x a f(x) f(a) x a f(x) f(a) = x a lim x a x<a si deci f (a) = f (a) = lim x a f(x) f(a) x a f(x) f(a) = x a lim x a x<a Teorema (Rolle). Fie a < b si f : [a, b] R, continua pe [a, b], derivabila pe (a, b) astfel ca f(a) = f(b). Atunci exista un punct c (a, b) astfel incat f (c) =. emonstratie. Functia f fiind continua este marginita si isi atinge marginile. Fie m = inf f(x) si M = sup f(x). x [a,b] x [a,b] aca M > f(a) exista un punct c [a, b] astfel incat M = f(c). In plus c a si c b (in caz contrar, ar rezulta ca M = f(a) = f(b), absurd). Asadar c (a, b) si cum c este punct de extrem local din Teorema lui Fermat rezulta ca f (c) =. Similar se trateaza cazul m < f(a). aca m = M atunci f este constanta si deci f (c) = pentru orice c (a, b). Teorema (Lagrange). Fie a < b si f : [a, b] R, continua pe [a, b], derivabila pe (a, b). Atunci exista un punct c (a, b) astfel incat f(b) f(a) = (b a)f (c). () emonstratie. Consideram functia F (x) = f(x) + kx, x [a, b], une k este o cinstanta pe care o determinam impunand conditia F (a) = F (b). Atunci k = f(b) f(a). Cu acest a b k functia F verifica conditiile teoremei lui Rolle si atunci exista c (a, b) astfel incat f (c) =. Cum F (x) = f (x) + k rezulta ca f (c) verifica relatia (). 8

Teorema (Cauchy). Fie a < b si f, g : [a, b] R doua functii continue pe [a, b] si derivabile pe (a, b) astfel incat g (x) pentru orice x (a, b). Atunci exista un punct c (a, b) astfel incat f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Propozitie. Fie I R un interval si f : I R, derivabila pe I. (i) aca f (x) = pentru orice x I atunci f este constanta pe I. (ii) aca f (x) pentru orice x I atunci f este crescatoare pe I. (ii) aca f (x) pentru orice x I atunci f este descrescatoare pe I. Teorema (l Hospital). Fie a, b R, a < b si I un interval din R astfel incat (a, b) I [a, b] si x I. Fie f, g : I \ {x } R cu proprietatile (i) f si g sunt derivabile pe I \ {x }. (ii) g (x) pe I \ {x }. (iii) lim x x f(x) = lim x x g(x) =. f (iv) lim (x) = α R. x x g (x) f Atunci exista lim (x) = α. x x g (x) Teorema anterioara se poate reformula, punand in loc de (iii) una din ipotezele (iii) (iii) lim x x g(x) =. lim g(x) =. x x Spunem ca functia f : A R este derivabila de doua ori in punctul a A daca f este derivabila intr-o vecinatate a punctului a si derivata f este derivabila in a. In acest caz, derivata lui f in a se numeste derivata a doua a lui f in a si se noteaza cu f (a) sau f (2) (a). aca f este derivabila pe A atunci derivata lui f se numeste derivata a doua a lui f si se noteaza cu f. Similar se defineste derivata de ordin n. Fie I R un interval deschis si f : R. Spunem ca f este de clasa C n daca f este de n ori derivabila pe, iar derivata de ordin n, f (n) este continua pe I. C n (I) = {f : I R : f este de clasa C n pe I}. 9

Spunem ca f este de clasa C daca f este derivabila de orice ordin pe I. C (I) = {f : I R : f este de clasa C pe I}. Fie I R un interval deschis, a I si f : I R o functie de derivabila de n ori pe I. Polinomul T n (x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n n! se numeste polinomul Taylor de grad n asociat functiei f in punctul a. efinim Egalitatea R n (x) = f(x) T n (x), f(x) = T n (x) + R n (x), x I x I poarta numele de formaula lui Taylor de ordin n coresp. functie f in punctul a. Functia R n se numeste restul de ordin n al formulei lui Taylor. Teorema (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange). Fie I R un interval deschis, a I si n N. aca f : I R este o functie de (n + ) ori derivabila pe I, atunci pentru orice x I, x a exista c (x, a) sau c (a, x) astfel incat f(x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 + + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+) (c) (x a)n+ (n + )! adica R n (x) = f (n+) (c) (x a)n+ (n + )! Integrala Riemann pentru functii de o variabila reala Fie [a, b] un interval nchis si marginit din R. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] un sistem de puncte : a = x < x < < x n = b. Vom nota cu [a, b] multimea diviziunilor intervalului [a, b]. Numarul = max i n x i x i se numeste norma diviziunii. Spunem c diviziunea este mai fina decat diviziunea si notam daca contine punctele diviziunii. Un sistem de n puncte ξ =

{ξ, ξ 2,..., ξ n }, ξ i [x i, x i ] se numeste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii. Suma σ (f, ξ) = n f(ξ i )(x i x i ). i= se numeste suma Riemann asociata diviziunii si sistemului de puncte intermediare ξ. efinitie. O functie f : [a, b] R se numeste integrabila Riemann daca exista un numar real I astfel incat pentru orice ε > exista η ε > astfel incat σ (f, ξ) I < ε oricare ar fi diviziunea cu < η ε si oricare ar fi sistemul de puncte intermediare ξ asociat lui. Numarul I este unic determinat, se numete integrala lui f pe [a, b] si se noteaza b a f(x)dx. Teorema. aca f : [a, b] R este o functie monotona, atunci este integrabila Riemann. Teorema. aca f : [a, b] R este o functie continua pe [a, b], atunci este integrabila Riemann. efinitie. Fie f : I R, unde I R este un interval. Funcia F R se numeste primitiva a functiei f pe intervalul I, dac F este derivabil pe I si F (x) = f(x) x I. Teorema. Fie f : [a, b] R o functie continua si fie F (x) = x f(t)dy, x [a, b]. Atunci a F este este o primitiva a lui f, adica F este derivabila pe [a, b] si F (x) = f(x) x [a, b]. emonstratie. Fie x [a, b] si ε >. eoarece f este continua in x, exista δ > astfel incat f(x) f(x ) < ε, pentru orice x U = (x δ, x + δ) [a, b] aca x J, x < x atunci F (x) F (x ) x f(x ) x x = (f(t) f(x x )) x x < ε Similar se arata ca daca x J, x < x, F (x) F (x ) f(x ) x x < ε. eci F (x) F (x ) lim f(x ) = f(x ) x x x x si atunci F este derivabila in x si F (x ) = f(x ).

Teorema. Fie f : [a, b] R o functie continua si fie F o primitiva a ei. Atunci emonstratie. Fie b a f(x)dx = F (b) F (a). G(x) = x a f(t)dt. Atunci G (x) = f(x). Atunci (F G) = si deci F si G difera printr-o constanta C. Asadar F (x) = G(x) + C pentru orice x [a, b] ar G(a) = si deci F (a) = C si atunci F (b) F (a) = b a f(t)dt. Teorema. Fie g : [a, b] J o functie derivabila si cu derivata continua pe [a, b]. aca f : J R este continua atunci b emonstratie. Pentru x J, fie a g(g(x))g (x)dx = F (x) = x g(a) g(b) g(a) f(u)du f(x)dx eoarece f este continua, rezulta ca F este derivabila si F = f pe J. Atunci F g este derivabila si (F g) = f g g Functia f g g este integrabila (fiind continua) si avem b a f(g(x))g (x)dx = F g(b) F g(a) = F (g(b)) F (g(a)) = Serii de puteri Se numeste serie de puteri o serie de forma a n x n. Numarul R = sup { r : } a n r n este convergenta g(b) g(a) f(x)dx se numeste raza de convergenta a seriei de puteri. Intervalul ( R, R) se numeste intervalul de convergenta al seriei de puteri. Multimea A a punctelor in care seria de puteri este convergenta se numeste multimea de convergenta a seriei de puteri. 2

Teorema. Fie a n x n o serie de puteri. aca exista ω = lim n a n atunci n daca < ω < ω R = daca ω = daca ω = a aca exista ω = lim n+ n a n atunci R = ω daca < ω < daca ω = daca ω = Teorema (Teorema I a lui Abel). Fie a n x n serie de puteri cu raza de convergenta R. Atunci (i) pentru orice x ( R, R) seria este absolut convergenta. (ii) pentru orice x / [ R, R] seria este divergenta. Corolar. Cu notatiile de mai sus, daca < R <, atunci ( R, R) A [ R, R] Exercitiu. eterminati multimea de convergenta pentru urmatoarele serii de puteri 3 n ( 2) n () n 2 + xn (2) x n ( 2) n (3) x n (4) n 3 n 3 n2 n xn (5) n= n + n 2 + xn (6) n= ( ) n n x n n + Teorema. Fie a n x n o serie de puteri cu raza de convergenta R >. Atunci functia s : ( R, R) R definita prin este continua pe ( R, R). s(x) = a n x n Teorema (Teorema a II-a a lui Abel). Fie a n x n o serie de puteri cu raza de convergenta R > si multimea de convergenta A. aca seria de puteri este convergenta in punctul R (respectiv R) atunci suma s a seriei, adica functia s : A R definita prin s(x) = a n x n este o functie continua in R (respectiv R). 3 n=

Teorema. Fie a n x n o serie de puteri cu raza de convergenta R si fie s : ( R, R) R suma seriei, adica Atunci seria de puteri s(x) = a n x n. (a n x n ) = (n + )a n+ x n are aceasi raza de convergenta R. aca R >, atunci functia s : ( R, R) R este derivabila si pentru orice x ( R, R) s (x) = (a n x n ) = (n + )a n+ x n. Teorema. Fie a n x n o serie de puteri cu raza de convergenta R si fie s : ( R, R) R a suma seriei. Atunci seria de puteri n n+ xn+ obtinuta prin integrarea termen cu termen a seriei a n x n are aceasi raza de convergenta R si functia S(x) = a n n + xn+ este o primitiva a functiei s pe ( R, R), adica S (x) = s(x) pentru orice x ( R, R). Fie I un interval deschis astfel incat I si fie f C (I). Seria f n () n! x n = f() + f ()! x + f () 2! x 2 + + f n () x n + n! se numeste seria Taylor asociata functiei f in punctul. Cu aceste notatii avem Teorema. Seria Taylor a functiei f in punctul este convergenta in punctul x I si suma ei este egala cu f(x) daca si numai daca valorile in x ale resturilor R n ale formulelor lui Taylor formeaza un sir (R n (x)) n convergent catre. Exemplu. Folosind teorema de mai sus sa se arate ca: e x = + x! + x2 2! + + xn n! +, x R sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( )n x 2n+ (2n + )! +, x R cos x = x2 2! + x4 x2n + + ( )n 4! (2n)! +, x R 4

Sa consideram f : R R, f(x) = e x. Intrucat f (n) () = pentru orice n, polinomul Taylor de grad n asociat lui f in punctul este iar seria Taylor corespunzatoare este T n (x) = + x! + x2 2! + + xn n! + x! + x2 2! + + xn n! +. Fie x R. Folosind Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange, obtinem < θ x < x astfel incat f(x) = T n (x) + e θx x n+ eoarece θ x < x avem e θ x e θx < e x si atunci lim x n+ n eθx (n + )! lim Asadar,pentru orice x R si in concluzie (n + )! (n + )! = n e x x n+ lim f(x) T n(x) = n e x = + x! + x2 2! + + xn +, x R. n! Pentru sin si cos se procedeaza similar (exercitiu!) Exemplu. Este binecunoscut faptul ca pentru orice x R, + x + + x n = xn+ x si in consecinta, daca x (, ), trecand la limita cu n rezulta ca x n = + x + + x n + = x. (2) Inlocuind pe x cu x in relatia de mai sus, pentru x (, ) avem ( ) n x n = x + x 2 + ( ) n x n + = + x. (3) Exemplu. Sa se dezvolte in serie de puteri ale lui x functia f(x) = arctan x si sa se precizeze intervalul pe care dezvoltare este valabila. 5

Evident f (x) = + x 2, x R. Inlocuind pe x cu x 2 in relatia (3), rezulata ca + x 2 = x2 + x 4 + ( ) n x 2n, x (, ) (4) e aici prin integrare termen cu termen obtinem arctan x = c + x x3 3 + x5 x2n+ + + ( )n, x (, ) 5 2n + Facand acum x = rezulta ca c = si deci arctan x = x x3 3 + x5 x2n+ + + ( )n, x (, ) 5 2n + Pentru x = seria din membru stang devine 3 + 5 + + ( )n 2n + +. Cu criteriul lui Leibniz deducem ca aceasta serie este convergenta si atunci din Teorema lui Abel pentru serii de puteri obtinem In mod similar avem Asadar π 4 = π 4 = lim arctan x = x 3 + 5 + + ( )n 2n + +. x< lim x x> arctan x = + 3 5 + + ( )n+ 2n + +. arctan x = x x3 3 + x5 x2n+ + + ( )n, x [, ]. 5 2n + Exercitiu. Sa se dezvolte in serie de puteri ale lui x functia f(x) = ln( x), x > si sa se precizeze intervalul pe care dezvoltarea este valabila. Procedand ca in exemplul anterior se obtine ln( + x) = x x2 2 + x3 xn+ + + ( )n +, x (, ] 3 n + 6

Seria binomiala pentru α R \ {,, 2,...} seria de puteri + α α(α ) x + x 2 + + 2 α(α )(α 2) (α n + ) x n + n! se numeste serie binomiala. Se poate verifica ca seria are raza de convergenta R = si (+x) α = + α ) x+α(α x 2 α(α )(α 2) (α n + ) + + x n +, x (, ) 2 n! Exemplu. ezvoltati in serie de puteri ale lui x functia Avem f(x) = x 2x ( + x) 2 = + 2 x + ( ) 2 2 x 2 + + ( ) ( n + ) 2 2 2 x n + 2 n! pentru x (, ). Asadar, ( + x) 3 5 (2n ) 2 = x + + ( )n x n +, x (, ) 2 2 n n! Inlocuind pe x cu 2x rezulta ca ( 2x) 3 5 (2n ) 2 = ( 2x) + + ( )n ( 2x) n +, x ( /2, /2) 2 2 n n! si deci f(x) = x( 2x) 2 = x + x 2 + + 3 5 (2n ) x n+ +, x ( /2, /2) n! 7

Functii de mai multe variabile reale Fie R n = {(x, x 2,... x n ) : x, x 2,... x n R}. Adunarea si inmultirea cu scalari sunt definite prin (x, x 2,... x n ) + (y, y 2,... n ) = (x + y, x 2 + y 2,... x n + y n ) α(x, x 2,... x n ) = (αx, αx 2,... αx n ) aca x = (x, x 2,... x n ) R n definim x = x 2 + x 2 2 + + x n 2. Atunci definieste o norma pe R n, adica are proprietatile () x + y x + y pentru orice x, y R n (2) αx = α x pentru orice x R n si orice α R (3) x pentru orice x R n si x = x = R n aca a R n si r > multimea B(a, r) = {x R n : x a < r} se numeste bila cu centrul a si raza r. efinitie. O multime V R n se numeste vecinatate a punctului a R n daca exista r > astfel incat B(a, r) V. O multime R n se numeste deschisa daca este vecinatate pentru orice punct al ei, adica daca pentru orice a R n daca exista r > astfel incat B(a, r). O multime F R n se numeste inchisa daca multimea R n \ F este deschisa. Un element x R n se numeste punct de acumulare al multimii A daca orice vecinatate a lui x contine cel putin un punct al lui A diferit de x. Multimea punctelor de acumulare ale lui A se noteaza cu A. Fie (x n ) n un sir de elemente din R k, x n = (x n, x 2 n,..., x k n), n si fie x = (x, x 2,..., x k ) R k. efinitie. Spunem ca sirul (x n ) n are limita x si scriem lim x n = x daca lim x n n n x =, adica daca pentru orice ε > exista n ε N astfel incat pentru orice n N, n n ε sa avem x n x < ε. 8

Observatie. Cu notatiile de mai sus lim x n = x daca si numai daca lim x j n = x j n n pentru orice j {, 2,..., k}. efinitie. Fie f : A R m R k si a R m un punct de acumulare pentru A. Spunem ca l R k este limita functiei f in punctul a daca pentru orice vecinatate V a lui l exista U o vecinatate a lui U astfel incat pentru orice x U A, x a sa avem f(x) V. Vom scrie lim x a f(x) = l Teorema. Fie f : A R m R k si a R m un punct de acumulare pentru A. Sunt echivalente afirmatiile () lim x a f(x) = l (2) pentru orice ε > a lui l exista δ > astfel incat pentru orice x A \ {a}, cu x a < δ sa avem f(x) l < ε (3) pentru orice sir (x n ) n N de puncte din A \ {a} cu lim n x n = a avem lim n f(x n ) = l. efinitie. Fie f : A R m R k si a A un punct de acumulare pentru A. Spunem ca f este continua in a daca exista lim x a f(x) si lim f(x) = f(a). x a erivate partiale. Functii diferentiabile Fie f : R unde R n este o multime deschisa si fie a = (a, a 2,..., a n ). Functia f este derivabila partial in punctul a in raport cu x k daca limita f(a, a 2,..., a k, x k, a k+,... a n ) f(a, a 2,..., a n ) lim x k a k x k a k exista si este finita. aca exista, valoarea acestei limite se numeste derivata partiala a functiei f in raport cu x k in punctul a si se noteaza cu f x k (a). aca f este derivabila partial in raport cu x k in orice punct din, atunci se obtine o functie f x k : R, definita prin a f x k (a), a. Spunem ca f este diferentiabila (sau derivabila) in a daca exista o aplicatie liniara T : R n R (i.e. T (x + y) = T (x) + T (y) si T (αx) = αt (x), pentru orice α R, si orice x, y R n ) astfel ca f(x) f(a) T (x a) lim x a x a 9 =

aca T exista atunci este unica, se noteaza cu df(a) sau f (a) si se numeste diferentiala lui f in a. Se poate verifica (exercitiu ) cu usurinta ca Propozitie. aca f este diferentiabila in a atunci este continua in a. Propozitie. aca f este diferntiabila in a atunci exista f x k (a) pentru orice i {, 2,..., n} si df(a)(u, u 2,..., u n ) = f (a)u + f (a)u 2 + + f (a)u n. x x 2 x n emonstratie. Fie e k vectorul din R n care are pe pozitia k si zero in rest. Intrucat f este diferentiabila rezulta ca f(a + te k ) f(a) df(a)(te k ) lim t t sau echivalent f(a + te k ) f(a) df(a)(te k ) lim t t ceea ce arata ca f are derivata partiala si f f(a + te k ) f(a) (a) = lim x k t t = =, = df(a)(e k ) aca u = (u,..., u n ), u = u e + u 2 e 2 + + u n e n si atunci Se poate verifica imediat ca df(a)(u, u 2,..., u n ) = u df(e ) + u 2 df(e 2 ) + + u n df(e n ) = f x (a)u + f x 2 (a)u 2 + + f x n (a)u n. Propozitie. Orice functie liniara f : R n R este diferentiabila in orice a si df(a) = f. In particular, aplicatiile pr i : R n R definite prin sunt liniare, si deci pr i (u, u 2,..., u n ) = u i, pentru orice (u, u 2,..., u n ) dpr i (a) = pr i, pentru orice i =, 2,..., n, fapt care ne indreptateste sa introducem notatia pr i = dx i 2

Cu aceste notatii avem df(a)(u, u 2,..., u n ) = f x (a)u + f x 2 (a)u 2 + + f x n (a)u n = f x (a)pr (u, u 2,..., u n ) + + f x n (a)pr n (u, u 2,..., u n ) = f x (a)dx (u, u 2,..., u n ) + + f x n (a)dx n (u, u 2,..., u n ) pentru orice (u, u 2,..., u n ) si deci df(a) = f x (a)dx + f x 2 (a)dx 2 + + f x n (a)dx n. Teorema (Conditie suficienta de diferentiabilitate). Fie o multime deschisa din R n, fie f : R si a = (a, a 2,..., a n ). aca exista o vecinatate V a lui a cu proprietatea ca exista toate derivatele partiale in orice punct din V si acestea sunt continue in a, atunci f este diferentiabila in a si df(a) = f x (a)dx + f x 2 (a)dx + + f x n (a)dx n. emonstratie. Fara a restrange generalitate, putem presupune ca vecinatatea V a lui a este B(a, r) = {x : x a < r} bila deschisa cu centrul in a si raza r >, pe care avand in vedere ca este multime deschisa, o putem considera inclusa in. Fie x = (x, x 2,..., x n ). efinim functiile g, g 2,..., g n astfel Atunci g : [a, x ] R, g (t) = f(t, x 2, x 3..., x n ) g 2 : [a 2, x 2 ] R, g 2 (t) = f(a, t, x 3,..., x n ) g n : [a n, x n ] R, g n (t) = f(a, a 2, a 3..., t) f(x, x 2,..., x n ) f(a, a 2,..., a n ) = n (g i (x i ) g i (a i )) Fiecare din functiile g i satisface ipotezele teoremei lui Lagrange referitoare la o functie reala de variabila reala continua pe un compact si derivabila pe interiorul acelui interval. Prin urmare exista ξ i (x i, a i ) astfel incat i= g i (x i ) g i (a i ) = (x i a i )g i(ξ i ) 2

Atunci g (x ) g (a ) = (x a ) f x (ξ, x 2, x 3,..., x n ) g 2 (x 2 ) g 2 (a 2 ) = (x 2 a 2 ) f x 2 (a, ξ 2, x 3,..., x n ) g n (x n ) g n (a n ) = (x n a n ) f x n (a, a 2, a 3,..., ξ n ) efinim aplicatia liniara T : R n R prin Obtinem eoarece deducem ca T (u, u 2,..., u n ) = n i= f(x) f(a) T (x a) = x a ( x a f (ξ, x 2, x 3,..., x n ) f x a x x 2 a 2 x 2 a 2 f x i (a)u i. ) (a, x 2, x 3,..., x n ) x ) ( f x 2 (x, ξ 2, x 3,..., x n ) f x (x, a 2, x 3,..., x n ) x n a n x n a n ( f x n (a, a 2, a 3,..., ξ n ) f x n (a, a 2, a 3,..., a n ) x a x a, i =, 2,..., n f(x) f(a) T (x a) () x a f (ξ, x 2, x 3,..., x n ) f (a, a 2, a 3,..., a n ) x x + f (x, ξ 2, x 3,..., x n ) f (a, a 2, a 3,..., a n ) x 2 x + f (a, a 2, a 3,..., ξ n ) f (a, a 2, a 3,..., a n ) x n x n eoarece derivatele partiale ale functiei f sunt continue in a, exista limita termenilor din membrul doi a inegalitatii () pentru x a si aceasta este egala cu zero. Prin urmare f(x) f(a) T (x a) lim x a x a 22 = ) + +

Asadar f este diferentiabila in a si f(a) = n i= f x i (a)dx i Exemplu. Fie f(x, y, z) = xe y + xyz + z 2. Atunci eci si atunci f x = ey + yz, f y = xey + xz, f x (,, 2) =, f f (,, 2) = 3, y f z = xy + 2z. (,, 2) = 4 z df(,, 2) = f x (,, 2)dx + f y Pentru (a, b, c) R 3 avem df(,, 2)(a, b, c) = a + 3b + 4c. f (,, 2)dy + (,, 2)dz = dx + 3dy + 4dz z Fie E R n, F R m si u,..., u m : E R astfel incat pentru orice (x, x 2,..., x n ) E (u (x, x 2,..., x n ),..., u m (x, x 2,..., x n )) F. aca ϕ : F R admite derivate partiale continue pe atunci functia f : F R definita prin f(x, x 2,..., x n ) = ϕ(u (x, x 2,..., x n ),..., u m (x, x 2,..., x n )) admite derivate partiale continue si f x i (x, x 2,..., x n ) = m j= ϕ u i (u (x, x 2,..., x n ),..., u m (x, x 2,..., x n )) u i x i (x, x 2,..., x n ). Vom scrie f x i = m j= ϕ u i u i x i, i =, 2,..., n. Exemplu. aca f(x, y, z) = ϕ(xyz, x 2 + y 2 + z 2, x + yz) atunci f x = ϕ ϕ ϕ yz + 2x + u v w f y = ϕ u f z = ϕ u ϕ ϕ xz + 2y + v w z ϕ ϕ xy + 2x + v w y 23

Functii implicite Fie ecuatia F (x, y) = unde F : R este o functie definita pe multimea deschisa R 2. Fie x = {x R : y R, (x, y) } proiectia lui pe axa Ox i fie A x. O functie f : A R se numeste solutie sau explicitare a ecuatiei F (x, y) = pe multimea A, daca pentru orice x A, F (x, f(x)) =. aca exista o singura explicitare f pentru ecuatia F (x, y) = atunci functia f se numeste functie definita implicit de ecuatia F (x, y) =. Teorema. Fie R 2 o multime dechisa, F : R si un punct (x, y ) astfel incat (i) F este de clasa C ; (ii) F (x, y ) = ; (iii) F y (x, y ) Atunci exista o vecinatate deschisa U a lui x, exista V o vecinatate deschisa a lui y si o unica functie f : U V astfel incat () f(x ) = y (2) F (x, f(x)) = pentru orice x U (3) f este de clasa C si pentru orice x U. f (x) = F x F y (x, f(x)) (x, f(x)) Exemplu. Sa se calculeze y () pentru functia y = y(x) definita implicit de ecuatia x 2 2xy + y 2 + x + y 2 = si care satisface conditia y() =. Fie F : R 3 R, F (x, y) = x 2 2xy + y 2 + x + y 2. Evident, Avem F x = 2x 2y +, F y = 2x + 2y + (i) F este de clasda C ; 24

(ii) F (, ) = ; (iii) F (, ) y Asadar sunt indepilinite conditiile teoremei anterioare si deci exista o vecinatate deschisa U a lui, exista V o vecinatate deschisa a lui si o unica functie y : U V astfel incat () y() = (2) x 2 2xy(x) + y(x) 2 + x + y(x) 2 = pentru orice x U (3) y este de clasa C si pentru orice x U. Asadar, si, deci y (x) = F x F y (x, y(x)) (x, y(x)) y 2x 2y(x) + (x) = 2y(x) 2x + y () = 2 2y() + 2y() 2 + =. Fie ecuatia F (x, x 2,...,, x n, y) = unde F : R este o functie definita pe multimea deschisa R n+. Fie A R n astfel incat pentru orice (x, x 2,...,, x n ) A exista y R astfel incat (x, x 2,...,, x n, y). O functie f : A R se numeste solutie sau explicitare a ecuatiei F (x, x 2,...,, x n, y) = pe multimea A, daca pentru orice (x, x 2,...,, x n ) A, F ((x, x 2,...,, x n, f(x, x 2,...,, x n )) =. aca exista o singura explicitare f pentru ecuatia F (x, x 2,...,, x n, y) = atunci functia f se numeste functie definita implicit de ecuatia F (x, x 2,...,, x n, y) =. Teorema. Fie R n+ o multime dechisa, F : R si un punct (x, x 2,..., x n, y ) astfel incat (i) F este de clasda C ; (ii) F (x, x 2,..., x n, y ) = ; (iii) F y (x, x 2,..., x n, y ) Atunci exista o vecinatate deschisa U a lui (x, x 2,..., x n), exista V o vecinatate deschisa a lui y si o unica functie f : U V astfel incat 25

() f(x, x 2,..., x n) = y (2) F (x, x 2,..., x n, f(x, x 2,..., x n )) = pentru orice (x, x 2,..., x n ) U (3) f este de clasa C si F f x (x, x 2,..., x n ) = i (x, x 2,..., x n, f(x, x 2,..., x n )) x F i (x y, x 2,..., x n, f(x, x 2,..., x n )) pentru orice )x, x 2,..., x n ) U si orice i =, 2,..., n. Exemplu. Sa se calculeze z z (, ) si (, ) pentru functia z = z(x, y) definita implicit x y de ecuatia z cos y + y cos z + z cos x = si care satisface conditia z(, ) =. Fie F : R 3 R, F (x, y, z) = x cos y + y cos z + z cos x. Evident, ca F este de clasa C si Asadar F x = cos y z sin x, F y = x sin y + cos z, F z = y sin z + cos x (i) F este de clasa C ; (ii) F (,, ) = ; (iii) F (,, ) z Asadar sunt indepilinite conditiile teoremei anterioare si deci exista o vecinatate deschisa U a lui (, ), exista V o vecinatate deschisa a lui si o unica functie z : U V astfel incat () z(, ) = (2) x cos y + y cos z(x, y) + z(x, y) cos x = pentru orice x U (3) z este de clasa C si F z x (x, y) = pentru orice (x, y) U. (x, y, z(x, y)) x F z F z y (x, y) = (x, y, z(x, y)) y F z Tinand cont ca z(, ) =, rezulta ca z (, ) = x cos, (x, y, z(x, y)) = cos y z(x, y) sin x y sin z(x, y) + cos x (x, y, z(x, y)) = x sin y + cos z(x, y) y sin z(x, y) + cos x. 26 z (, ) = y cos.

erivate partiale si diferentiale de ordin superior Fie o multime deschisa din R n si f : R o functie care admite derivate partiale f x j pe. La randul ei functia f x j poate avea derivata partiala in raport cu x i notata 2 f x i x j adica x i ( ) f x j si numita derivata partiala de ordinul al doilea a lui f. = 2 f x i x j 2 f x i x j cu i j se numesc derivate partiale mixte de ordinul 2 In mod similar se definesc derivatele partiale de ordinul n 3. Teorema (Schwarz). Fie f : R n R si a. aca derivatele partiale mixte 2 f x i x j, 2 f x j x i exista intr-o vecinatate a lui a si acestea sunt continue in a, atunci 2 f x i x j (a) = 2 f x j x i (a). Fie f : R n R unde este o multime deschisa. aca f admite derivate partiale de ordinul doi continue pe o vecinatate a punctului a, functia d 2 f(a) : R n R definita prin d 2 f(a)(u) = n i,j= 2 f x i x j u i u j unde u R n, se numeste diferentiala de ordinul doi a lui f in a. Similar, daca f admite derivate partiale de ordinul 3 continue pe o vecinatate a punctului a, functia d 3 f(a) : R n R definita prin d 3 f(a)(u) = n i,j,k= 3 f x i x j x k u i u j u k, unde u R n se numeste diferentiala de ordinul doi a lui f in a. Similar se defineste diferentiala de ordinul k. Teorema (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange in cazul n dimensional). aca este o multime deschisa si convexa din R k si f : R k R este o functie care admite derivate partiale de ordinul n + continue pe multimea si atunci pentru orice a si orice x exista ξ [a, x] = {tx + ( t)a, t } astfel incat f(x) = f(a) +! df(a)(x a) + 2! 2 f(a)(x a) + + n! dn f(a)(x a)+ + (n + )! dn+ f(ξ)(x a) 27

Extreme locale pentru functii de mai multe variabile Fie f : A R, unde A R n. Un punct a A se numeste punct de maxim local (relativ) daca exista vecinatate U al lui a astfel incat f(x) f(a) pntru orice x U A (adica daca exista r > astfel incat f(x) f(a) pntru orice x B(a, r) A). Un punct a se numeste punct de minim local (relativ) daca exista o vecinatate U al lui a astfel incat f(x) f(a) pentru orice x U A, (adica daca exista r > astfel incat f(x) f(a) pntru orice x B(a, r) A). Punctele de maxim local si cele de minim local se numesc puncte de extrem local. Fie f : R. Spunem ca a este punct critic (stationar) pentru f daca f este diferentiabila in a si df(a) =. Fie R n o multime deschisa si f : R o functie diferentiabila in a. Matricea cu n linii si n coloane ( ) 2 f H f (a) = x i x j i,j n se numeste matricea hessiana a functie f in punctul a. Observam ca d 2 f(a)(u) = u t H f (a)u, unde u = u u 2. Rn, si u t = (u, u 2,..., u n ). u n Teorema (Fermat). Fie f : R o functie diferentiabila in a. diferentiabila in a atunci df(a) = (adica f x i Fie a = (a, a 2,...) ca in enunt. = pentru i =, 2,..., n). f(x) f(a) are semn constant pentru orice x B(a, r). Fie aca f este Consideram r > astfel incat B(a, r) si ϕ : ( r, r) R, ϕ(t) = f(a + t, a 2,..., a n ). Atunci ϕ(t) ϕ(a) are semn constant pe ( r, r). Cum ϕ este derivabila pe ( r, r) aplicand Teorema lui Fermat pentru functii de o variabila reala rezulta ca ϕ() =. In consecinta, f x i (a) =. Similar aratam ca f x i (a) = pentru i = 2,..., n. Teorema (Criteriu de stabilire a punctelor de extrem pentru functii de mai multe variabile). Fie f : R o functie care admite derivate partiale de ordinul doi continue pe si a un punct critic al sau. 28

() aca d 2 f(u) > pentru orice u R n \ {} atunci a este punct de minim local (2) aca d 2 f(u) < pentru orice u R n \ {} atunci a este punct de maxim local (3) aca exista u, R n \ {} astfel incat d 2 f(u) > si d 2 f(u) < atunci a nu este punct de extrem local emonstratie. Fie α > astfel incat d 2 (a)(u) α pentru orice u R n cu u =. Cum functia are derivate partiale de ordinul doi continue rezulta ca exista δ > astfel incat pentru orice c R n cu c a < δ si orice u R n cu u = sa avem d 2 (a)(u) α 2. Conform formulei lui Taylor din cazul n-dimesnional rezulta ca exista b pe segmentul [a, a + tu] astfel incat f(a + tu) = f(a) + f(a)(tu) + 2 d2 f(b)(tu) In concluzie f(a + tu) f(a) = t2 2 d2 f(b)(u) e aici rezulta ca a este punct de minim local al lui f. Celelalte afirmatii se demonsteaza utilizand argumente similare. Corolar. Fie f : R 2 continue pe si (x, y ) un punct critic al sau. Fie H f (x, y ) = R functie care admite derivate partiale de ordinul doi 2 f x 2 (x, y ) 2 f x y (x, y ) 2 f x y (x, y ) 2 f y 2 (x, y ) Notam = 2 f x 2 (x, y ) si 2 = det H f (x, y ). () aca > si 2 > atunci (x, y ) este punct de minim local; (2) aca < si 2 > atunci (x, y ) este punct de maxim local; (3) aca 2 < atunci (x, y ) nu este punct de extrem local Exemplu. eterminati punctele de extrem local ale functiei f : R 3 R, f(x, y) = x 3 + 3xy 2 5x 2y Avem f x = 3x2 + 3y 2 5, f y = 6xy 2 29

Obtinem punctele critice (, 2), (, 2), (2, ), ( 2. ). Matricea Hesiana este ( ) 6x 6y H f (x, y) = 6y 6x ( H f (, 2) = ( H f (, 2) = ) 6 2, 2 < (, 2) nu este punct de extrem local 2 6 ) 6 2, 2 < (, 2) nu este punct de extrem local 2 6 H f (2, ) = ( 2 6 6 2 ), = 2 >, 2 = 8 > (, 2) este punct de minim local H f ( 2, ) = ( 2 6 6 2 ), = 2 <, 2 = 8 > (, 2) este pct de maxim local Corolar. Fie f : R 2 R functie care admite derivate partiale de ordinul doi continue pe si a un punct critic. Fie a a 2 a n a a 2 = a, 2 = a 2 a 22,..., a n = 2 a 22 a 2n.... a n a n2 a nn unde a ij = 2 f x i x j (a). () aca >, 2 >,..., n > atunci a este punct de minim local (3) aca <, 2 >,..., ( ) n n > atunci a este punct de maxim local (3) aca, 2,..., n sau, 2,..., ( ) n n dar exista j astfel incat j = atunci nu se poate trage nicio concluzie (4) In celelate cazuri a nu este punct de extrem local al lui f. Exercitii ) Calculati derivatele partiale de ordinul I, derivatele partiale de ordinul II si df(2, ) pentru urmatoarele functii: () f(x, y) = x+y 2x y 3

(2) f(x, y) = e x2 +y 2 2) Calculati derivatele partiale de ordinul I, derivatele partiale de ordinul II si df(,, ) pentru urmatoarele functii: () f(x, y, z) = xz + x 2 z + sin(x + 2y + z) (2) f(x, y, z) = z ln(x + y 2 ) + e x+yz 3) eterminati punctele de extrem local ale functiilor () f : R 2 R, f(x, y) = x 3 + y 3 6xy + 2 (2) f : R 2 R, f(x, y) = x 3 + 8y 3 2xy (3) f : R 2 R, f(x, y) = 2x 2 2xy + y 2 + 4x + 2y (4) f : R 2 R, f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 6x 2y 2 (5) f : R 2 R, f(x, y) = x 4 + y 4 x 2 y 2 xy (6) f : R 2 R, f(x, y) = 3xy 2 x 3 5x 36y (7) f : R 3 R, f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 + 2xy + 2z (8) f : R 3 R, f(x, y, z) = x 4 + y 4 + 4xy + z 4 4z (9) f : R 3 R, f(x, y, z) = z 3 + 3zy 2 5z 2y + x 2 2x 3

Ecuatii diferentiale de ordinul I Prin ecuatie diferentiala de ordinul I se intelege orice relatie de forma F (x, y, y ) = unde x este o variabila independenta, y = y(x) este o functie necunoscuta, y este derivata functiei y si F este o functie reala continua definita pe o multime deschisa din R 3. In anumite conditii ecuatia se poate scrie sub forma echivalenta y = f(x, y). (5) Se numeste solutie a ecuatiei diferentiale (5) o functie y : I R derivabila pe intervalul I si astfel incat pentru orice x I, sa avem y (x) = f(x, y(x)), x I Se numeste solutie a ecuatiei diferentiale (5) cu conditia initiala y(x ) = y functie y : I R derivabila pe intervalul I si astfel incat sa avem y (x) = f(x, y(x)), x I si y(x ) = y. Ecuatii cu variabile separabile Sunt ecuatii de forma dy dx = f(x)g(y) unde f : I R si g : I R sunt functii continue. Algoritm de rezolvare I. aca y, y 2,..., y n sunt solutii ale ecuatiei g(y) =, atunci y i (x) = y i, pentru x I sunt solutii stationare. II. Separam variabile dy f(x) = g(y)dy si integram dy g(y) = f(x)dx. aca G(y) este o primitiva a functiei si F (x) este o primitiva a functiei f(x) atunci g(y) obtinem solutia generala in forma implicita G(y) = F (x) + C 32

unde C R. Cand e posibil sa explicitam, obtinem: y = ψ(x, C). Asadar solutiile ecuatiei sunt { y = ψ(x, C). Exemplu. Rezolvati ecuatia y = xy 2. y i (x) = y i I. Avem o singura solutie stationara anume y(x) =. II. Separam variabilele si integram eci eci solutia generala este Exemplu. Rezolvati ecuatia cu conditia initiala y() = 3. dy y = 2 xdx y = x2 2 + C y = 2 x 2 + C, C R dy dx = y2 3y + 2 I. Ecuatia y 2 3y + 2 = are radacinile si 2 si deci avem doua solutii stationare si anume y (x) = si y 2 (x) = 2. II. Separam variabilele si integram. eci dy y 2 3y + 2 = dx Cum Rezulta ca Atunci si notand K = ±e C avem y 2 3y + 2 = y 2 y ln y 2 y = x + C, y 2 y = ±ec e x y 2 y = Kex C R 33

eci solutia generala este y = 2 Kex Ke x, K R. in faptul ca y() = 3 deducem ca K = /2. Asadar solutia este y(x) = 4 ex 2 e x. Ecuatii diferentiale liniare O ecuatie diferentiale liniara de ordinul intai are forma y = a(x)y + b(x) unde a, b : I R R sunt functii continue date. Algoritm de rezolvare I. Rezolvam mai intai ecuatia omogena dy dx = a(x)y Separam variabilele si integrand obtinem dy y = a(x)dx dy y = a(x)dx ln y = A(x) + K, unde A(x) este o primitiva a functiei a(x) si K R e aici rezulta ca y = ±e K e A(x). Punem C = ±e K rezulta ca solutia generala a ecuatiei omogene pe care o notam cu y este y = Ce A(x). II. (Metoda variatiei constantelor) Cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale sub forma y p = C(x)e A(x) 34

Asadar, si deci C (x)e A(x) + C(x)e A(x) a(x) = C(x)e A(x) a(x) + b(x) C (x) = b(x)e A(x) aca C(x) este o primitiva a functiei b(x)e A(x) obtinem solutia particulara y p = C(x)e A(x) Solutia generala a ecuatiei este Exemplu. Sa se rezolve ecuatia y = y + y p. y = y x + x I. Rezolvam intai ecuatia omogena Separam variabilele si integram obtinem dy dx = y x dy dx y = x ln y = ln x + ln C, C R si deci obtinem solutia y = Cx, C R. II. Cautam o solutie particulara y p a ecuatiei initiale de forma y p = C(x)x. eci Asadar C (x) =. Cum obtinem C(x) + C (x)x = C(x) + x. C(x) = x, y p = x 2 Solutia generala a ecuatiei initiale este y = y + y p = Cx + x 2, C R 35

Exemplu. Un bazin cu volumul de m 3 este umplut initial cu saramura de concentratie 2, 5kg/m 3. In bazin intra saramura de concentratie 2kg/m 3 cu debitul de 5m 3 /s. in bazin iese saramura cu debitul de 5m 3 /s. Presupunem ca in bazin concentratia saramurii este in permanenta uniforma. Notam cu s(t) cantitatea de sare aflata in bazin la momentul t. ) Construiti o ecuatie diferentiala pentru s(t). 2) eterminati s(t) la momentul t. 3) Ce se intampla cu cantitatea de sare din bazin pentru t foarte mare? Rezolvare. Observam ca: viteza cu care sarea intra in bazin exprimata in m 3 /s s(t) 2 viteza cu care sarea este eliminata din bazin exprimata in m3 /s s (t) viteza cu care se modifica cantitatea de sare din bazin exprimata in m 3 /s Asadar s(t) verifica ecuatia s = s + cu conditia initiala s() = 2, 5 = 25. 2 I. Rezolvam mai intai ecuatia omogena ds dt = 2 2 Separam variabilele Prin integrare obtinem, ds s = 2. ln s = 2 + K si notand e k cu C obtinem solutia ecuatiei omogene s (t) = Ce t 2, C R+. II. Utiliam metoda variatiei constantelor. Cautam o solutie particulara s p (t) = C(t)e t 2. 36

educem ca Atunci si deci C (t) = e t 2. C(t) = 2e t 2 s p (t) = 2. In consecinta solutia generala a ecuatiei este s(t) = s (t) + s p (t) = Ce t 2 + 2. eoarece s verifica conditia initiala s() = 25, rezulta ca C = 5 si in concluzie Observam ca s(t) = 5e t 2 + 2. lim s(t) = 2 t Ceea ce arata ca atunci cand t este foarte mare, cantitatea de sare din bazin se apropie de 2 de kilograme. Ecuatii diferentiale de ordinul doi, omogene cu coeficienti constanti Sunt ecuatii de forma ay + by + cy =, (6) unde a, b, c R si y = y(x) este o functie ce trebuie determinata. Fie ar 2 + br + c = (7) ecuatia caracteristica asociata. Fie = b 2 4ac I. aca ecuatia caracteristica are doua radacini distincte reale r si r 2 (adica daca > ) atunci ϕ = e rx si ϕ 2 = e r 2x sunt solutii ale ecuatiei (6) si solutia generala a ecuatiei (6) este y = C ϕ + C 2 ϕ 2 = C e rx + C 2 e r2x, C, C 2 R. 37

II. aca ecuatia caracteristica are o radacina reala dubla r (adica daca = ) atunci ϕ = e rx si ϕ 2 = xe rx sunt solutii ale ecuatiei (6) si solutia generala a ecuatiei (6) este y = C ϕ + C 2 ϕ 2 = C e rx + C 2 xe rx, C, C 2 R. III. aca ecuatia caracteristica are doua radacini complexe si conjugate α + iβ si α iβ (adica daca < ) atunci ϕ = e αx cos βx si ϕ 2 = e αx sin βx sunt solutii ale ecuatiei (6) si solutia generala a ecuatiei (6) este y = C ϕ + C 2 ϕ 2 = C e αx cos βx + C 2 e αx sin β, C, C 2 R. Exemplu. ) Sa se rezolve ecuatia y 4y +3y =. Ecuatia caracteristica r 2 4r+3r = are radacinile r = si r 2 = 3. Solutia generala este y = C e x + C 2 e 3x, C, C 2 R 2) Sa se rezolve ecuatia y 2y + 2y =. Ecuatia caracteristica r 2 2r + 2 = are radacinile ± i. Solutia generala este y = C e x cos x + C 2 ex sin x, C, C 2 R. Ecuatii diferentiale de ordinul doi, neomogene cu coeficienti constanti Sunt ecuatii de forma Fie ay + by + cy = f(x). (8) ay + by + cy = (9) ecuatia omogena corespunzatoare si fie ecuatia caracteristica asociata. ar 2 + br + c = () 38

aca y este solutia generala a ecuatiei (9) si y p este o solutie paticulara a ecuatiei (8) atunci solutia generala a ecutaiei (8) este y = y + y p. I. f(x) = P m (x)-polinom de gradul m. ) daca r = nu este radacina a ecuatiei carateristice (9) se cauta y p de forma y p = Q m (x) unde Q m (x) este un polinom oarecare de gradul m. 2) daca r = este radacina a ecuatiei carateristice (9) si are multiplicitatea k {, 2} se cauta y p de forma y p = x k Q m (x) unde Q m (x) este un polinom oarecare de gradul m. II. f(x) = e αx P m (x) unde P m (x) este polinom de gradul m si α R. ) daca r = α nu este radacina a ecuatiei carateristice (9) se cauta y p de forma y p = e αx Q m (x) unde Q m (x) este un polinom oarecare de gradul m. 2) daca r = este radacina a ecuatiei carateristice (9) si are multiplicitatea k {, 2} se cauta y p de forma y p = x k e αx Q m (x) unde Q m (x) este un polinom oarecare de gradul m. III. f(x) = e αx P m (x) cos βx + e αx Q m2 (x) sin βx unde P m (x) este un polinom de gradul m, Q m2 (x) este polinom de gradul m 2 si α, β R. Fie m = max{m, m 2 } ) daca r = α + iβ nu este radacina a ecuatiei carateristice (9) se cauta y p de forma y p = e αx R m (x) cos βx + e αx S m (x) sin βx unde R m (x) si T m (x) sunt polinoame oarecare de grad m. 2) daca r = α ± iβ este radacina a ecuatiei carateristice (7) se cauta y p de forma y p = xe αx R m (x) cos βx + xe αx S m (x) sin βx unde R m (x) si T m (x) sunt polinom oarecare de grad m. 39

Exemplu. Rezolvati ecuatia Rezolvam intai ecuatia omogena y 5y + 6y = 6x 2 x + 2 () y 5y + 6y = Ecuatia caracteristica r 2 5r + 6 = are radacinile r = 2 si r 2 = 3. eci solutia ecuatiei omogene este y = C e 2x + C 2 e 3x, C, C 2 R Cum r = nu este radacina a ecuatiei caracteristice, cautam o solutie particulara a ecuatiei (2) de forma Asadar y p = 2Ax + B si y p = 2A. eci Rezulta ca y p = Ax 2 + Bx + C 2A Ax 5A + 6Ax 2 + 6Bx + 6C = 6x 2 x + 2 3A + 6C = 2, A + 6B =, 6A = 6 si atunci Astfel. Solutia generala este A =, B = C = y p = x 2 y = C e 2x + C 2 e 3x + x 2, C, C 2 R. Exemplu. Rezolvati ecuatia 2y 3y + y = xe x (2) Rezolvam intai ecuatia omogena 2y 3y + y = Ecuatia caracteristica 2r 2 3r+ = are radacinile r = si r 2 =. eci solutia ecuatiei 2 omogene este y = C e x + C 2 e x/2, C, C 2 R 4

Cum r = este radacina a ecuatiei caracteristice cu multiplicitatea k =, cautam o solutie particulara a ecuatiei (2) de forma Asadar y p = x(ax + B)e x = Ax 2 e x + Bxe x y p = 2Axe x + Ax 2 e x + Bxe x + Be x y p = Ax 2 e x + 4Axe x + 2Ae x + Bxe x + 2Be x Rezulta ca A = 2 B = 2 Asadar ( x ) y p = x 2 2 e x Solutia generala este ( ) x y = C e x + C 2 e x/2 + x 2 2 + 2 2x e x, C, C 2 R. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale cu ajutorul seriilor de puteri Sa consideram pentru inceput ecuatia y + y =. Am vazut in sectiunea anterioara ca solutia generala a acestei ecuatii este y = c sin x + c 2 cos x unde c si c 2 sunt numere reale arbitrare. Vom vedea cum putem rezolva ecuatia folosind seriile de puteri. Cautam solutia sub forma y = Atunci y = na n x n y = n= a n x n n(n )a n x n 2 = n=2 (n + )(n + 2)a n+2 x n Inlocuind in ecuatie obtinem [(n + )(n + 2)a n+2 + a n ]x n = 4

si deci a n+2 = (n + )(n + 2) a n, n Asadar pentru n avem n = : a 2 = 2 a n = : a 3 = 2 3 a = 3! a n = 2 : a 4 = 3 4 a 2 = 4! a n = 3 : a 5 = 4 5 a 3 = 5! a In consecinta y = a ( 2! x2 + 4! x4 + Exemplu. Sa se rezolve ecuatia Atunci Vom cauta o solutie de forma y = y = a 2n = ( )n (2n)!, a 2n+ = ( )n (2n + )! na n x n n= ) ( + a x 3! x3 + ) 5! x5 + = a cos x + a sin x y 2xy + y =. y = a n x n n(n )a n x n 2 = n=2 Inlocuind in ecuatie obtinem (n + )(n + 2)a n+2 x n [(n + )(n + 2)a n+2 (2n )a n ]x n = si deci (n + )(n + 2)a n+2 = (2n )a n, n 42

prin urmare Asadar n = : a 2 = 2 a n = : a 3 = 2 3 a n = 2 : a 4 = 3 3 4 a 3 2 = 2 3 4 a n = 3 : a 5 = 5 4 5 a 5 3 = 2 3 4 5 a 3 7 (4n 5) a 2n = a (2n)! 5 9 (4n 3) a 2n+ = a (2n + )! Obtinem solutia generala y = a ( 2! x2 3 4! x4 + a ( x + 3! x3 + + 3 7 (4n 5) (2n)! 5 9 (4n 3) x 2n+ + (2n + )! ) x 2n ) aca dorim sa rezolvam ecuatia y 2xy +y = cu conditiile initiale y() = si y () =, rezulta ca a = si a =. 43

Integrale improprii pe intervale nemarginite efinitie. Fie f : [a, ) R o functie integrabila pe orice interval [a, c] cu c > a. aca exista lim c c a si se noteaza cu a f(x)dx aceasta limita se numeste integrala improprie a functie f pe [a, ) f(x)dx, adica a f(x)dx = lim c c a f(x)dx aca limita este finita spunem ca integrala este convergenta. aca limita este infinita sau nu exista, integrala este divergenta. Analog, daca f : (, b] R este integrabila pe orice interval [a, c] cu c < b si daca exista lim c c a integrala improprie a functie f pe [a, ) si se noteaza cu a b f(x)dx = lim c b c f(x)dx aceasta limita se numeste f(x)dx f(x)dx, adica aca limita este infinita sau nu exista, integrala este divergenta. aca f : R R si daca integralele c f(x)dx si f(x)dx sunt convergente atunci f(x)dx este convergenta c si unde c este orice numar real. f(x)dx = c f(x)dx + Exemplu. Studiati coonvergenta integralei x 2 + dx Pentru c > aven c dx = arctan c + x2 c f(x)dx eoarece c lim dx = lim c + x arctan c = π 2 c 2 eci integrala este convergenta si Exemplu. Studiati coonvergenta integralei x 2 + dx = π 2. e x dx 44