Linearna algebra i geometrija

Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012.

Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 2.1 Pojam matrice.......................... 2 2.2 Operacije s matricama...................... 6 2.2.1 Sabiranje matrica..................... 6 2.2.2 Mnoºenje matrica skalarom............... 7 2.2.3 Mnoºenje matrica.................... 7 2.2.4 Transponovanje matrice................. 8 2.3 Determinante........................... 9 2.4 Inverzna matrica......................... 13 2.5 Rang matrice........................... 16

POGLAVLJE 1 Uvod

POGLAVLJE 2 Matrice i determinante U ovom poglavlju uvest emo pojam matrice. Matrice i operacije s matricama su pogodne za zapisivanje i rje²avanje sistema linearnih jedna ina, koriste se u teoriji linearnih transformacija, kao i u mnogim drugim oblastima matematike. Pogodne su za zapisivanje podataka koji zavise od dva parametra. 2.1 Pojam matrice Denicija 2.1. Neka je P skup brojeva. Funkciju A : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} P datu sa (i, j) a ij nazivamo matricom formata m n nad skupom P. Matrice obi no zapisujemo u obliku pravougaone sheme elemenata a ij i = 1,..., m, j = 1,..., n skupa P, to jeste u obliku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a m1 a m2 a mn

2.1.Pojam matrice Koristi se i skra ena oznaka A = (a ij ) m n. U literaturi se koriste i sljede e oznake A = [a ij ] m n i A = a ij m n. Brojeve a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n, nazivamo elementima matrice. Elementi a i1, a i2,..., a in ine i-ti red (vrstu) matrice, dok brojevi a 1j, a 2j,..., a mj ine j-tu kolonu (stubac) matrice A. Dakle, element a ij leºi u i-tom redu i j-toj koloni. Obi no je P neko polje brojeva. Skup svih matrica formata m n nad poljem P obiljeºavamo sa M m,n (P ). U slu aju kada je P = R govorimo o realnim, a za P = C o kompleksin matricama. Skup svih realnih matrica se obiljeºava i sa R m n, a kompleksnih sa C m n Mi emo se u nastavku, radi jednostavnosti bazirati na rad s realnim matricama, mada se svi pojmovi mogu generalizirati i za slu aju proizvoljnog skupa brojeva. Denicija 2.2. Matricu sa istim broj redova i kolona, to jeste matricu formata n n nazivamo kvadratnom matricom reda n. Dakle, kvadratna matrica reda n je oblika a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a n1 a n2 a nn Za elemente a 11, a 22,..., a nn kaºemo da su elementi glavne dijagonale kvadratne matrice A, dok su elementi a 1n, a 2n 1,..., a n1 elementi sporedne dijagonale matrice A. Primjer 2.1. Neka je 2 5 0 5 A = 0 1 3 2, B = 2 2 4 1 3 2 1 4 0 4 2 3 7. Matrica A je pravougaona matrica formata 3 4, dok je matrica B kvadratna matrica reda 3. Elementi 0,1,-3,2 su elementi drugog reda matrice A, elementi 0,-3,4 su elementi tre e kolone te matrice. Elementi 3, 0, 7 ine glavnu dijagonalu matrice B, dok su elementi -1,0,-2 elementi sporedne dijagonale te matrice. Postavljaju i zahtjeve na format matrice ili na elemente matrice dobijamo neke specijalne tipove matica. 3

2.1.Pojam matrice Matricu formata 1 n nazivamo matrica red ili matrica vrsta ( a11 a 12 a 1n ), a matricu formata m 1 matrica kolona ili matrica stubac a 11 a 21.. a m1 Matrice red i matrice kolona nazivamo i vektorima. Kvadratnu matricu iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0 nazivamo dijagonalnom a 11 0 0 0 a 22 0... 0 0 a nn. Kvadratnu matricu iji su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki 0 nazivamo donjom trougaonom matricom a 11 0 0 a 21 a 22 0... a n1 a n2 a nn, a onu iji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0 nazivamo gornjom trougaonom a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n... 0 0 a nn. 4

2.1.Pojam matrice Matricu iji su svi elementi jednaki nula nazivamo nula matrica 0 0 0 0 0 0.... 0 0 0 Nula matrica se obiljeºava sa 0 m n ili samo sa 0 ako se iz konteksta zna o kojem formatu se radi. Dijagonalnu matricu reda n iji su elementi na dijagonali jednaki 1 nazivamo jedini nom matricom i obiljeºavamo je sa E n ili I n 1 0 0 0 1 0 E n =.... 0 0 1 ƒesto se pi²e samo E ili I ukoliko je iz konteksta jasno o kojem redu matrice se radi. Primjer 2.2. Primjeri matrica su A 1 = ( 2 3 5 1 ), A 2 = ( a b ), A 3 = A 5 = A 8 = 2 0 0 0 1 0 0 0 4 2 0 0 0 3 6 0 0 4 4 5 0 6 3 0 7, A 6 =, A 9 = a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ( x y, A 7 = ), A 4 = ), A 10 = 2.3 0 4 1 3 2 2 0 2 8 6 0 0 3 3 0 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1,, Matrice A 1 i A 2 su matrice vrsta, matrice A 3 i A 4 su matrice kolona. Matrice A 5, A 6 i A 10 su primjeri dijagonalnih matrica. Matrica A 7 je gornja trougaona, a matrica A 8 donja trougaona. Matrica A 9 je primjer pravougaone nula matrice, dok je matrica A 10 jedini na matrica reda 3. 5.

2.2.Operacije s matricama U nastavku emo uvesti osnovne operacije s matricama, no prije toga denirajmo relaciju jednakosti. Denicija 2.3. Matrice A = (a ij ) m n i B = (b ij ) p q su jednake ako su istog formata i ako su im odgovaraju i elementi jednaki, to jeste m = p, n = q i a ij = b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Zadatak 2.1. Pokazati da je relacija jednakosti za matrice na skupu M m,n relacija ekvivalencije. 2.2 Operacije s matricama U ovom odjeljku denirat emo osnovne operacije sa matricama: transponovanje, sabiranje, mnoºenje skalarom i mnoºenje. 2.2.1 Sabiranje matrica Dvije matrice istog formata A = (a ij ) m n i B = (b ij ) m n sabiraju se tako ²to im se saberu odgovaraju i elementi, to jeste A + B = (a ij ) m n + (b ij ) m n = (a ij + b ij ) m n. Primijetimo da je sabiranje matrica denirano samo za matrice istog formata. Matrice razli itog formata se ne mogu sabirati. Oduzimanje matrica se deni²e analogno. Dvije matrice istog formata A = (a ij ) m n i B = (b ij ) m n oduzimaju se tako ²to im se oduzimaju odgovaraju i elementi, to jeste A B = (a ij ) m n (b ij ) m n = (a ij b ij ) m n. Neka je A, B, C, 0 R m n. Sabiranje matrica posjeduje sljede e osobine (i) Asocijativnost: (A + B) + C = A + (B + C), (ii) Komutativnost: A + B = B + A, (iii) Nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0 + A = A + 0 = A. 6

2.2.Operacije s matricama 2.2.2 Množenje matrica skalarom Matrica A = (a ij ) m n se mnoºi skalarom α R tako ²to se svaki element pomnoºi tim skalarom, to jeste αa = α(a ij ) m n = (αa ij ) m n. Neka je A, B, 0 R m n, α, β R. Mnoºenje matrica skalarom posjeduje sljede e osobine (i) α(a + B) = αa + αb, (ii) (α + β)a = αa + βa, (iii) (αβ)a = α(βa), (iv) 1A = A, (v) 0A = 0. Za svaku matricu A R m n matricu ( 1)A ozna avamo kra e sa A i nazivamo suprotnom matricom matrice A. Za suprotnu matricu vrijedi (vi) A + ( A) = A + A = 0. 2.2.3 Množenje matrica Matrice A = (a ij ) m n i B = (b ij ) p q se mogu mnoºiti samo ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = p. U ovom slu aju kaºemo da su matrice A i B saglasne za mnoºenje. Rezultuju a matrica C = AB je formata m q. Elemente c ij matrice C ra unamo po formuli n c ij = a ik b kj, (i = 1,..., m, j = 1,..., q). k=1 Dakle, elemenat c ij koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice C = AB dobijemo tako ²to svaki element i-te vrste matrice A pomnoºimo odgovaraju im elementom j-te kolone matrice B i te proizvode saberemo. Mnoºenje matrica posjeduje sljede e osobine (i) A(BC) = (AB)C, (A R m n, B R n p, C R p q ), 7

2.2.Operacije s matricama (ii) AE n = E m A = A, (A R m n ), (iii) A0 n p = 0 m p, 0 k m A = 0 k n, (A R m n ), (iv) A(B + C) = AB + AC, (A R m n, B, C R n p ), (v) (A + B)C = AC + BC, (A, B R m n, C R n p ), (vi) αab = (αa)b = A(αB), α R, A R m n, B R n p ). Vaºno je napomenuti da mnoºenje matrica u op²tem slu aju nije komutativno. Naime, ako postoji proizvod AB matrica A i B, ne mora postojati i proizvod BA. Dodatno, i ako postoje oba proizvoda AB i BA to ne moraju biti matrice istog formata, ali ako i jesu istog formata, one u op²tem slu aju nisu jednake. U slu aju kada je matrica A kvadratna moºemo je mnoºiti samu sa sobom. U tom slu aju govorimo o stepenovanju matrice A. Za A R n n po deniciji stavjamo A 0 = E n, A n = A n 1 A (n N). 2.2.4 Transponovanje matrice Transponovana matrica matrice A = (a ij ) m n je matrica A T = (a ji ) n m. Dakle, transponovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to zamijenimo ulogu kolona i vrsta. Operacija transponovanja zadovoljava sljede e osobine (i) (A T ) T = A, (A R m n ), (ii) (αa + βb) T = αa T + βb T, (α, β R, A, B R m n ), (iii) (AB) T = B T A T, (A R m n, B R n p ). U slu aju kada je A = A T kaºemo da je matrica A simetri na, a kada je A = A T kaºemo da je ona kososimetri na. Ukoiko je AA T = E m kaºemo da je matrica A ortogonalna. Ukoliko su elementi matrice iz skupa kompleksnih brojeva onda se esto posmatra matrica koja se dobije od po etne transponovanjem i konjugovanjem elemenata. Takva matrica se obiljeºava sa A H. Dakle, za A = (a ij ) m n je A H = (a ji ) n m. Koriste i upravo uvedenu matricu uvodimo i sljede e tipove matrica. 8

2.3.Determinante Imaju i u vidu uvedene operacije sa matricama i njihove osobine moºe se zaklju iti da vrijede sljede i teoremi. U slu aju kada je A = A H kaºemo da je matrica A hermitska, a kada je A = A H kaºemo da je ona kosohermitska. Ukoiko je AA H = E m kaºemo da je matrica A unitarna, a ako je AA H = A H A kaºemo da je matrica A normalna. Teorem 2.1. (R m n, +) je Abelova grupa. Teorem 2.2. (R m n, +, ), gdje je operacija mnoºenja matrica skalarom, je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva. Primijetimo da (R m n, ), gdje je operacija mnoºenja matrica u op²tem slu aju nije ni grupoid. Naime, proizvod dvije matrice formata m n za m n ne postoji, pa taj skup nije zatvoren u odnosu na mnoºenje. Specijalno, za m = n skup (R n n, ) jeste grupoid, zbog zadovoljenog uslova asocijativnosti, to je i polugrupa. No, postavlja se pitanje da li je (R n n, ) grupa. Iz osobine (ii) mnoºenja matrica slijedi da jedini na matrica reda n neutralni element u (R n n, ), pa za odgovor na postavljeno pitanje neophodno je ispitati egzisteniciju inverznog elementa matrice A u odnosu na operaciju mnoºenja. U nastavku emo posebnu paºnju posvetiti kvadratnim matricama, jer su upravo one matrice koje mogu posjedovati inverzni elemenat u odnosu na mnoºenje. 2.3 Determinante U svrhu ispitavanja egzistencije i nalaºenja inverznog elementa matrice A R n n u odnosu na operaciju mnoºenja matrica uvodimo pojam determinante. Precizna denicija determinanti se uvodi pomo u pojma permutacija i matemati ki je prili no zahtjevna i ovdje je ne emo navoditi. Smatrat emo da je determinata matrice A R n n realan broj pridruºen toj matrici i opisati induktivni postupak za ra unanje tog broja. Determinantu matrice A obiljeºavamo sa deta, det(a) ili A. U op²tem slu aju determinantu matrice reda n pi²emo u obliku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn 9

2.3.Determinante i za determinantu kaºemo da je reda n. Pojmovi elemenata, redova, kolona, dijagonale i sporedne dijagonale determinante su potpuno analogni odgovaraju im pojmovima za matrice. Op²ti oblik matrice prvog reda je (a 11 ). Njena determinanta je a 11 = a 11. Dakle, determinanta matrice prvog reda( jednaka je njenom ) jedinom elementu. a11 a 12 Op²ti oblik matrice drugog reda je. Njena determinanta je a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. Dakle, determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali i proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali. a 11 a 12 a 13 Op²ti oblik matrice tre eg reda je a 21 a 22 a 23. Njena determinanta a 31 a 32 a 33 je a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Izraz za determinantu tre eg reda moºe se izvesti koriste i tzv. Sarusovo pravilo. Ono se sastoji u sljede em. S desne strane determinante dopi²emo prvu i drugu kolonu te determinante, ra unamo proizvod elemenata na glavnoj dijagonali i na dvjema linijama paralelnim sa glavnom dijagonalom i njih uzimamo sa znakom plus, a potom ra unamo proizvode elemenata na sporednoj dijagonali i dvjema linijama paralalnim sa njom i uzimamo ih sa znakom minus. Ilustracija Sarusovog pravila data je u nastavku. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Treba napomenuti da se opisano pravilo moºe koristiti isklju ivo za ra unanje determinanti tre eg reda i ne moºe se uop²titi na determinante ve eg reda. Drugi na in ra unanja matrica tre eg reda je pomo u matrica drugog reda. 10

2.3.Determinante Ovaj drugi metod je zna ajan jer se moºe uop²titi i za ra unanje determinanti vi²eg reda. Da bi smo ga mogli opisati potrebno je uvesti pojmove minora i kofaktora elementa a ij matrice A. Denicija 2.4. Neka je A R n n i a ij proizvoljan elemenat te matrice. Determinanta reda n 1 koju dobijemo brisanjem i-tog reda i j-te kolone iz determinante matrice A nazivamo minor elementa a ij matrice A. Obiljeºavamo ga sa M ij. Denicija 2.5. Neka je A R n n i a ij proizvoljan element te matrice. Broj ( 1) i+j M ij nazivamo kofaktorom elementa a ij matrice A. Obiljeºavamo ga sa A ij. Primijetimo da determinantu tre eg reda moºemo napisati na sljede i na in. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) a = a 22 a 23 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13. Dakle, determinantu tre eg reda napisali smo kao proizvod elemenata prve vrste i njima odgovaraju ih kofaktora. Kaºemo da smo determinantu razvili po prvoj vrsti. Moºe se pokazati da se razvoj moºe izvr²iti po bilo kojoj vrsti ili koloni. Pokazuje se da se opisani postupak moºe poop²titi na ra unanje determinante bilo kojeg reda, to jeste vrijedi sljede i teorem. Teorem 2.3. Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste ili kolone i njima odgovaraju ih kofaktora n det(a) = a ij A ij, ( j = 1,..., n), det(a) = i=1 n a ij A ij, ( i = 1,..., n). j=1 11

2.3.Determinante Opisani postupak se naziva Laplasov razvoj determinante. Obzirom da se u ovom postupku kofaktori mnoºe sa elementima vrste ili kolone po kojoj se razvoj vr²i jasno je da je najpogodnije za razvoj birati kolonu ili vrstu koja ima najvi²e elemenata jednakih nuli. Postupak opisan u teoremu 2.3 je induktivnog karektera i teorijski omogu ava ra unanje determinante bilo kojeg reda, no ovaj postupak za determinante ve eg reda nije od prakti nog zna aja. Naime broj operacija koje treba obaviti za ra unanje determinante reda n je reda n!. Ekasniji na ini za ra unanje determinanti zasnivaju se na primjeni osobina determinanti. U nastavku emo navesti neke od njih. (i) Determinanta matrice koja ima vrstu (kolonu) koja se sastoji od samih nula jednaka je 0. (ii) Determinanta gornje ili donje trougaone matrice jednaka je proizvodu elemenata na dijagonali. Specijalno, determinanta dijagonalne matrice jednaka je proizvodu elemenata na dijagonali. (iii) Determinanta matrice koja ima dvije jednake ili proporcionalne vrste (kolone) jednaka je 0. (iv) Ukoliko vrste i kolone matrice zamijene uloge determinanta matrice se ne mijenja. Dakle det(a) = det(a T ). (v) Determinanta mijenja predznak ukoliko dvije susjedne vrste (kolone) zamijene mjesta. (vi) Determinanta se mnoºi skalarom tako ²to se jedna, proizvoljno odabrana, vrsta ili kolona determinante pomnoºi tim skalarom. Drugim rije ima, zajedni ki faktor elemenata jedne vrste (kolone) moºe se izvu i ispred determinante. (vii) Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona (vrsta), to jeste 12

2.4.Inverzna matrica vrijedi a 11... a 1i... a 1n a 11... βb 1i + γc 1i... a 1n a 21... a 2i... a 2n a 21... βb 2i + γc 2i... a 2n =...... a n1... a ni... a nn a n1... βb ni + γc ni... a nn a 11... b 1i... a 1n a 11... c 1i... a 1n a 21... b 2i... a 2n a 21... c 2i... a 2n = β + γ....... a n1... b ni... a nn a n1... c ni... a nn (viii) Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko sve elemente jedne vrste (kolone) pomnoºimo nekim realnim brojem i saberemo sa odgovaraju im elementima neke druge vrste (kolone). (ix) Za A, B R n n vrijedi det(ab) = det(a)det(b). (x) Determinanta je razli ita od nule ako i samo ako su vrste (kolone) matrice linearno nezavisne. Prilikom ra unanja determinante posebno je pogodno koristiti osobinu (viii). Primjenom transformacija opisanih ovom osobinom vrijednost determinante se ne mijenja. Cilj je, njihovom primjenom, determinantu transformisati na determinantu gornje ili donje traougaone matrice, a takve je lagano izra unati primjenom osobine (ii). 2.4 Inverzna matrica Pojam inverznog elementa u op²tem slu aju smo uveli ranije. Specijalno za matricu A R n n inverzna matrica je matrica B takva da je AB = BA = E n. (2.1) Jedinstvenost inverzne matrice, ukoliko ona postoji, garantovana je sljede im teoremom. Teorem 2.4. Neka je A R n n. Ako postoji matrica B koja zadovoljava (2.1), onda je ona jedinstvena. 13

2.4.Inverzna matrica Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije matrice B 1 i B 2 koje zadovoljavaju (2.1). Pokaºimo da je B 1 = B 2. Iz (2.1) slijedi Dakle, B 1 = B 2, pa je dokaz zavr²en. (B 1 A)B 2 = E n B 2 = B 2, (B 1 A)B 2 = B 1 (AB 2 ) = B 1 E n = B 1. Obzirom na jedinstvenost, inverznu matricu matrice A, ozna avamo sa A 1. Denicija 2.6. Za matricu A R n n kaºemo da je regularna ukoliko ona ima inverznu matricu. U protivnom kaºemo da je matrica A singularna. Prirodno je postaviti pitanje postoji li ekasan metod za ispitivanje regularnosti matrice. U nastavku emo dokazati teorem koji nam daje metod ispitivanja regularnosti pomo u determinate i istovremeno eksplicitnu formulu za ra unanje inverzne matrice matrice A. Prije formulacije pomenutog teorema uvedimo pojam adjungovane matrice i dokaºimo jedan vaºan rezultat za adjungovanu matricu koji emo koristiti u nastavku. Denicija 2.7. Neka je A R n n. Matricu adj(a) = (A ij ) T = (A ji ) zovemo adjungovanom matricom matrice A. Dakle, adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to svaki element a ij matrice A zamijenimo njegovim kofaktorom A ij i tako dobijenu matricu transponujemo. U nekoj literaturi se matrica sa injena od kofaktora matrice A obiljeºava sa A, a adjungovana matrica sa A. Operacija adjungovanja zadovoljava sljede e osobine. (i) adj(ab) = adj(b)adj(a), (A, B R n n ), (ii) adj(a T ) = (adj(a)) T, (A R n n ). Jo² jedna vaºna osobina adjungovanja matrice data je sljede im teoremom. Teorem 2.5. Neka je A R n n. Vrijedi Aadj(A) = adj(a)a = det(a)e n. 14

2.4.Inverzna matrica Dokaz. Iskoristimo li razvoj determinante matrice A po j-toj (j = 1,..., n) koloni dobijamo jednakost n a ij A ij = det(a). i=1 Modikujemo li matricu adj(a) tako ²to algebarske komplemente A ij kolone j zamijenimo komplementima iz kolone k, k j, dobijamo matricu koja ima dvije iste kolone, pa je prema osobini (iii) determinanti determinanta takve matrice 0. Dakle, vrijedi n a ij A ik = 0, i=1 jer je gornja suma razvoj modikovane matrice po j-toj koloni. Dvije posljednje jednakosti moºemo objediniti koriste i Kronekerov simbol dat sa { 1, j = k; δ jk = 0, j k. Dakle, n a ij A ik = δ jk det(a). i=1 Sada koriste i deniciju mnoºenja matrica jednostavno zaklju ujemo da je Aadj(A) = det(a)e n. Analogno se dobije i adj(a)a = det(a)e n, pa je tvrdnja teorema dokazana. Teorem 2.6. Neka je A R n n. Matrica A je regularna akko je det(a) 0. Ako je A regularna, onda je A 1 = 1 det(a) adj(a). Dokaz. Neka je A regularna matrica. Tada postoji matrica A 1 takva da je AA 1 = A 1 A = E n. Prema osobini (ix) determinanti slijedi da je det(aa 1 ) = det(a)det(a 1 ), a prema osobini (ii) determinanta jedini ne matrice je 1, pa vrijedi det(a)det(a 1 ) = 1. Dakle, mora biti det(a) 0, pa smo dokazali da ukoliko je matrica A regularna, determinanta joj je razli ita od nula. Takože slijedi da je u tom slu aju det(a 1 ) = 15 1 det(a).

2.5.Rang matrice Pokaºimo sada da vrijedi obrat. Neka je det(a) 0, pokaºimo da je matrica A regularna. Dijeljenjem sa det(a) jednakosti iz teorema 2.5 dobijamo da vrijedi 1 det(a) adj(a)a = A 1 det(a) adj(a) = E n, pa iz denicije inverzne matrice slijedi da je A 1 = 1 det(a) adj(a). Invertovanje matrice zadovoljava sljede e osobine. (i) Ako je A R n n regularna matrica, tada je i A 1 takože regularna i vrijedi (A 1 ) 1 = A. (ii) Ako su A, B R n n regularne matrice tada je i AB regularna matrica i vrijedi (AB) 1 = B 1 A 1. (iii) Ako je A R n n regularne matrica tada je i A T vrijedi (A T ) 1 = (A 1 ) T. regularna matrica i 2.5 Rang matrice Vaºan pojam vezan za matrice je i rang matrice. Moºe se koristiti za ispitivanje regularnosti matrice, a vrlo je pogodan za rje²avanje sistema jedna ina, kao ²to emo vidjeti u sljede em poglavlju. Za razliku od determinante matrice koja moºe biti pridruºena samo kvadratnim matricama, rang matrice moºe se odrediti za proizvoljnu matricu formata m n. Neka je A R m n proizvoljna matrica. Ukoliko je m n, determinanta matrice A ne postoji. Mežutim od kolona i vrsta matrice A mogu e je formirati nove matrice koje su kvadratne, pa je za njih mogu e ra unati determinantu. Upravo navedeno sluºi za uvoženje pojma ranga matrice. Za preciznu deniciju prvo uvedimo pojam podmatrice. Denicija 2.8. Neka je A R m n. Svaka matrica koja se iz matrice A moºe dobiti uklanjanjem bilo kojih vrsta i (ili) kolona je podmatrica matrice A. Ukoliko je B podmatrica matrice A formata r r kaºemo da je ona kvadratna i da je reda r. Denicija 2.9. Neka je A R m n. Rang ne-nula matrice A je red njene najve e kvadratne podmatrice kojoj je determinanta razli ita od nula. Rang nula matrice je 0. Rang matrice A ozna avamo sa r(a) ili rang(a). 16

2.5.Rang matrice Iz denicije odmah slijedi da za A R m n vrijedi r(a) min{m, n}. Pokazuje se da se rang matrice moºe izraziti i pomo u linearne nezavisnosti redova i kolona. Ovu osobinu navodimo u narednom teoremu kojeg dajemo bez dokaza. Teorem 2.7. Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih kolona matrice A. Maksimalan broj linearno nezavisnih kolona jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice. Iz posljednjeg teorema odmah slijedi jo² jedna osobina ranga matrice. Vrijedi r(a) = r(a T ). Odreživanje ranga matrice, bilo po deniciji bilo koriste i teorem 2.7, je zahtjevan posao, jednostvaniji na in opisat emo u nastavku. Zasniva se na primjeni elementarnih transformacija. Denicija 2.10. Elementarne transformacije matrice su (i) zamjena mjesta dvije vrste ili kolone, (ii) mnoºenje vrste ili kolone skalarom razli itim od 0, (iii) mnoºenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom razli itim od 0 i dodavanje odgovaraju im elementima neke druge vrste ili kolone. Denicija 2.11. Ako se matrica A moºe dobiti iz matrice B primjenom kona nog broja elementarnih transformacija kaºemo da su matrice A i B ekvivalentne i pi²emo A B. Zna aj ekvivalentnih matrica se ogleda u sljede em teoremu. Teorem 2.8. Ekvivalentne matrice imaju isti rang. Dokaz. Za dokaz teorema emo koristiti karakterizaciju ranga pomo u linearne nezavisnosti datu u teoremu 2.7. Imaju i u vidu deniciju linearne nezavisnosti odmah slijedi da se zamjenom mjesta dvije vrsta (kolone) ili mnoºenjem vrste (kolone) nenultim brojem ne mijenja maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta (kolona), pa zaklju ujemo da se elementarnim transformacijama tipa (i) i (ii) ne mijenja rang matrice. Poaºimo da je to slu aj i za elementarnu transformaciju tipa (iii). Matricu A R m n moºemo napisati u sljede em obliku A = ( K 1 K 2... K i... K j... K n ), (2.2) 17

2.5.Rang matrice pri emu smo sa K i, (i = 1,..., n) ozna ili i-tu kolonu matrice A. Primjenom elementarne transformacije tiopa (iii) na kolone i i j dobijamo matricu oblika B = ( K 1 K 2... K i + αk j... K j... K n ), gdje je α R, α 0. Slijedi da ako je kolona K i linearno zavisna od ostalih kolona onda je i kolona K i +αk j linearno zavisna od tih kolona i obratno. Moºemo zaklju iti da matrice A i B imaju isti broj linearno nezavisnih kolona, onda imaju i isti rang. Postupak za prakti nu primjenu prethodnog teorema se ogleda u sljede- em. Elementarnim transformacijama je potrebno datu matricu transformisati na matricu iji je rang jednostavno odrediti. U tu svrhu uvodimo pojam trapezne matrice. Denicija 2.12. Neka je A R m n. Mantrica A se naziva trapeznom matricom ako je oblika t 11 t 12 t 1n t 21 t 22 t 2n..., t m1 t m2 t mn pri emu postoji broj r (r min{m, n}) takav da je t 11, t 22,..., t rr 0, t ij = 0, za svako i, j takvo da je i > j, t ij = 0, za svako i, j takvo da je r < i j. Koriste i teorem 2.7 jednostavno se zaklju uje da je rang trapezne matrice jednak broju elemenata na glavnoj dijagonili koji su razli iti od 0. Dakle, upravo su trapezne matrice one iji je rang jednostavno odrediti. Vrijedi sljede i teorem. Teorem 2.9. Za svaku ne-nula matricu postoji njoj ekvivalentna trapezna matrica. Dokaz ovog teorema ne emo izvoditi. Dat emo ilustraciju pomo u primjera. 18

2.5.Rang matrice Primjer 2.3. Neka je data matrica 1 2 0 2 A = 0 3 5 1. 1 3 1 1 Odredimo rang date matrice svoženjem na trapezni oblik. U prvom koraku vrste 1 i 2 prepi²imo, a zatim od tre e vrste oduzmimo prvu. U drugom koraku zamijenimo drugu i tre u vrstu, a zatim od tre e oduzmimo tri puta drugu. 1 2 0 2 1 2 0 2 0 3 5 1 0 3 5 1 1 3 1 1 0 1 1 3 1 2 0 2 0 1 1 3 0 3 5 1 1 2 0 2 0 1 1 3 0 0 8 10 Rang posljednje matrice je 3, pa je onda i rang matrice A takože 3. Elementarne transformacije nad matricom A mogu se opisati i pomo u mnoºenja te matrice odgovaraju im matricama koje se nazivaju elementarnim matricama. U nastavku emo opisati elementarne matrice koje daju elemntarne transformacije nad vrstama. (i) Elementarna matrica E ij kojom se postiºe zamjene vrsta i i j date matrice A dobije se iz jedini ne matrice zamjenom vrsta i i j. (ii) Elementarna matrica E i (α) kojom se postiºe mnoºenje vrste i matrice A skalarom α jednaka je jedini noj matrici u kojoj je i-ta vrsta pomnoºena sa α. (iii) Elementarna matrica E ij (α) kojom se postiºe dodavanje j-te vrste pomnoºene sa α i-toj vrsti matrice A dobija se iz jedini ne matrice tako ²to se u i-toj vrsti i j-toj koloni umjesto vrijednosti 0 pi²e skalar α. Primjer 2.4. Transformacije kojim smo matricu A iz prethodnog primjera sveli na trapezni oblik mogu biti opisane elementarnim matricama. Dobijeni trapezni oblik se moºe dobiti i mnoºenjem po etne matrice odgovaraju im elementarnim matricama. Transformaciji oduzimanja prve vrste od 19.

2.5.Rang matrice tre e odgovara matrica E 31 ( 1), zamjeni tre e i druge vrste matrica E 23 i kona no transformaciji oduzimanja tri puta druge vrste od tre e odgovara matrica E 32 ( 3), pa je = = = = E 32 ( 3)E 23 E 31 ( 1)A 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 3 1 1 0 0 0 1 0 0 3 1 1 2 0 2 0 1 1 3 0 0 8 10 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 1 1 3 0 3 5 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 2 0 2 0 3 5 1 0 1 1 3 1 2 0 2 0 3 5 1 1 3 1 1 Na kraju ovog poglavlja navest emo teorem koji slijedi iz prethodno izloºenog, a daje nam vezu regularnosti matrice i njenog ranga. Takože emo opisati i alternativni na in za nalaºenje inverzne matrice za datu matricu. Teorem 2.10. Neka je A R n n. jedini noj matrici reda n. A je regularna akko je ekvivalentna Postupak za nalaºenje inverzne matrice pomo u elementarnih transformacija poznat je pod nazivom Gaus-šordanov postupak i sastoji se u sljede em. Neka je data matrica A R n n, iju inverznu matricu traºimo. Formiramo matricu formata n 2n tako ²to s desne strane matrice A dopi²emo jedini nu matricu reda n. Dakle, za A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn 20

2.5.Rang matrice novoformirana matrica je oblika a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn 1 0 0 0 1 0... 0 0 1. Zatim nad novoformiranom matricom vr²imo elementarne transformacije u cilju dobijanja jedini ne matrice na lijevoj strani nove matrice. Dakle, cilj je dobiti matricu oblika 1 0 0 0 1 0... 0 0 1 b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n... b n1 b n2 b nn (2.3) Mogu a su dva ishoda. Ukoliko u postupku primjene elemntarnih transformacija dobijemo na lijevoj strani novoformirane matrice red sa injen od svih nula moºemo zaklju iti da je matrica A singularna, to jeste da nema inverznu matricu. U protivnom dobit emo matricu oblika (2.3). Tada je matrica A regularna i vrijedi b 11 b 12 b 1n A 1 b 21 b 22 b 2n =.... (2.4) b n1 b n2 b nn Opravdanost opisanog postupka se zasniva na sljede em. Ve smo napomenuli da se primjena elementarnih transformacija na matricu A moºe opisati mnoºenjem te matrice odgovaraju im elementarnim matricama. Dakle, ukoliko smo primjenom k elementarnih transformacija do²li do matrice oblika (2.3), onda se ona moºe napisati u obliku (X k... X 2 X 1 A X k... X 2 X 1 E n ), pri emu smo sa X 1, X 2,..., X k ozna ili odgovaraju e elementarne matrice i pri emu je X k... X 2 X 1 A = E n, pa slijedi da je A 1 = X k... X 2 X 1. No, na desnoj strani (2.3) se upravo nalazi ovaj produkt matrica, pa vrijedi (2.4). Upravo opisani postupak za nalaºenje inverzne matrice je zna ajan jer je za matrice ve eg reda znatno ekasniji od ranije opisanog postupaka pomo u adjungovane matrice. 21