Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f skup svih primitivnih funkcij ϕ + C Stv: ϕ- primitivn funkcij funkcije f n nekom intervlu d f f dϕ ϕ + C kf k f, k R f ± g f ± g Tblic neodreenih integrl α α+ + C, α α + ln + C e e + C ln + C 5 sin cos + C 6 cos sin + C 7 cos tg + C 8 sin ctg + C
GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI 9 rcsin + C 0 rctg + C + ± ln + ± + C ln + + C. Reeni zdci... Reiti integrl. t t t t + C + C.... Reiti integrl, > 0. t rcsin t + C rcsin + C... Reiti integrl t, > 0. ± t ± ± t t ± ln t + t ± + C ln + ± + C ln + ± ln + C ln + ± + C, gde je C ln + C... Reiti integrl, > 0. t ± t t t ln t + t + C ln + + C ln + + C ln + + C
.. REXENI ZADACI..5. Reiti integrl +, > 0. + + t + t + t rctg t + C rctg + C N osnovu prethodnih zk dokzli smo z > 0 9' rcsin + C 0' + rctg + C ' ± ln + ± + C ' ln + + C..6. Reiti integrl +. + + primenom formule 0', gde je rctg + C rctg + C...7. Reiti integrl. primenom formule 9', gde je rcsin + C rcsin + C..8. Reiti integrl ln lnln. ln t ln lnln du ln u + C ln ln t + C ln lnln + C u sin + cos..9. Reiti integrl. sin cos ln t u t ln t t du
GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI sin + cos sin cos sin cos t sin + cos t + t C sin cos + C...0. Reiti integrl +. + t + t rctg t + C rctg t + C rctg + C... Reiti integrl 8 8 ln + + C... Reiti integrl + t ln t + t + C... Reiti integrl t 8. +. +. t ln t +C + t + t t t t t t... Reiti integrl tg. tg C ln cos + C..5. Reiti integrl sin cos cos t sin + +. t ln t +
.. REXENI ZADACI 5 + + + + + + + + + C + C..6. Reiti integrl. t t t t t 9 t 9 t + t 9 9 t + 9 5 t 5 + C 6 + 5 5 + C..7. Reiti integrl +. + + t + t t t t t t 7 8 t + C + 7 8 + + C sin n, n {,,, 5} cos n, n {,,, 5}..8. Reiti integrl sin. cos sin cos + sin + C + sin + C..9. Reiti integrl cos...0. Reiti integrl sin. sin sin sin cos cos t sin sin t t + t + C cos + cos + C
6 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI... Reiti integrl... Reiti integrl cos. sin. cos sin cos + cos + cos sin + sin + 8 + sin + C... Reiti integrl cos.... Reiti integrl sin 5. sin 5 sin sin cos cos t sin sin t t +t t+ t 5 t5 +C cos + cos 5 cos 5 + C..5. Reiti integrl cos 5...6. Reiti integrl tg. tg..7. Reiti integrl cos tg + C. t, t 0 t t t t t t + t 8t + 8 t t5 5 + C 8 + 8 5 5 + C..8. 5 Reiti integrl.
.. REXENI ZADACI 7 5 t, t 0 t t t t t t + t t + t t5 5 + C + 5 5 + C..9. Reiti integrl 5 5 5 t 5 t 75 5 5. 5 5 t 5 5 t 5 tt 75 t 5 5 + 75 t 8 8 00 5 8 + C + b + c..0. Reiti integrl + +. + C 5 5 5 + + + + + + + + + + 9 + + 7 + 9 + 7 t 9 t 7 7 ln t 7 9 + t +C 7 ln + 7 + + +C ln 7 + + 7 + + C + b + c... Reiti integrl + +. + + [ ] [ t 7 7 t 7 t rcsin + C 7 rcsin + C 7 ] 7
8 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI + b c + + e... Reiti integrl +. Od + prvimo. + + + 8 + + 8 + 7 }{{} }{{} I I I t ln t + C t ln + C I 9 6 7 6 7 t 6 t 7 7 ln t 7 6 + t + C ln 7 + + C 7 + + ln + 7 ln 7 + + + C 7 + + b c + + e... Reiti integrl. Od prvimo 8. + 8 8 + + 6 I 8 }{{} I 8 t 8 +9 6 8 }{{} I t + C t + C I + + 8 9 6 5 6 + 8
.. REXENI ZADACI 9 + 8 t 5 6 + 8 rcsin 8 5 t + C rcsin8 5 + 5 + C 5 6 rcsin t 5 t 8 + C + 9 rcsin85 + 5 + C cos + b cosc + d sin + b cosc + d sin + b sinc + d... Reiti integrl cos cos. Prcijln integrcij u, v diferencijbilne udv uv vdu..5. Reiti integrl I rccos. u rccos du I rccos dv v rccos + t t t t t + t + C + + C + t t I rccos + 9 + C rcsin..6. Reiti integrl I. rcsin u rcsin du I dv v rcsin + t, t 0 t t t t t
0 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI ln + t t + C ln + + C I rcsin + ln + + C..7. Reiti integrl I rctg. + + rctg u rctg du + dv v t, t 0 t t t + t + t t rctg t + C rctg + C I rctg + rctg + C I P n sin + b I P n cos + b I P n e u P n, dv.....8. Reiti integrl I + sin. rctg t t + t + + t I u + sin + du + dv sin v cos + cos + u + du + cos dv cos v sin + cos + + sin sin + cos + + sin + cos + C..9. Reiti integrl I rcsin. u rcsin I rcsin du rcsin dv v rcsin rcsin rcsin rcsin u rcsin du dv v t t t
.. REXENI ZADACI rcsin rcsin + rcsin + rcsin + C..0. Reiti integrl I I ln + + + + ln + +... Reiti integrl I ln + +. + u ln + + du + dv + v + + ln + + + C e rctg +. e rctg u du I + + erctg + dv erctg + v e rctg + e rctg erctg I. + + Dobili smo d vi I erctg + I, odnosno I e rctg + C +... Reiti integrle I e cos b, I e sin b. I e u cos b du b sin b cos b dv e v e e cos b+ b e u sin b du b cos b sin b dv e v e e cos b+ b e sin b b e cos b + b e sin b b cos be e cos b + b e sin b b I. Dobili smo d je I e cos b + b sin b + b +C. N sliqn nqin se dobij I e sin b b cos b + b + C... Reiti integrl I e sin. cos be I e sin cos e e e cos e e cos + sin + C. 8
GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI I + c... Reiti integrl I, > 0. Prvi nqin. I + + I + rcsin + C. Drugi nqin. I cos t cos t u du dv v I + rcsin + C. Odvde je sin t, t [ π, π] cos t sin t cos t + cos t cos t t + sin t + C rcsin + sin rcsin + C + rcsin + C, jer je sin rcsin...5. Reiti integrl I +, > 0. Prvi nqin. I + + + + + + u + du + dv v + + + + + I + ln + + + C. Odvde je I + + ln + + + C..6. Reiti integrl I, > 0. Prvi nqin. I u du dv v + + I ln + + C. Odvde je I ln + + C..7. Reiti integrl I +.
.. REXENI ZADACI I + + + 6 + + 7 6 + 7 6 t t + 7 zk... 6 t t + 7 7 6 + 6 ln t+ t + 7 6 +C + + 7 ln + + + C I +..8. Reiti integrl I +. PROVERITI I + u du dv + v + + t t t t + + + + + + + + [ + + ln + ] +. Dobili smo I + I 6 + 6 ln + +, odkle je I + 8 + 8 ln + + + C I b + c + d +..9. Reiti integrl I + + +. I n +, n n..50. Reiti integrl I +. I + rctg + C u I + + du + dv v + + + + + + + + + + + rctg I. + +
GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI Dobili smo rctg + + rctg I, odkle je I [ + + rctg ] + C...5. Reiti integrl I + +. I + + + + + + + + + [ ] + + t t + [ t t + + rctg t ]+ C [ + + + + rctg + ] + C..5. Reiti integrl I n +, n. n u I n + + du n n + n n dv v + n n + n + + n n + n + n n + + n n + n + n ni n + n I n [. ] Odvde je I n n + n + n I n Integrcij rcionlnih funkcij R P P Q K + Q, d P < d Q P Q P A k k p kp + b + c l + b + c l + b q + c q [ lq A, + A, +... + A ] [,k A, + + A, k +... + A ],k + [ [ k Ap, B, + C,...+ + A p, p p +... + A ],k p + p kp + B, + C, + b + c + b + c... + B,l + C,l [ + b + c l B, + C, + B, + C, + b + c + b + c... + B ],l + C,l +... + [ + b + c l Bq, + C q, + B q, + C q, + b q + c q + b q + c q... + B ] q,l + C q,l + b q + c q lq..5. Reiti integrl I +. + A + + + A + + B + + C + B + C + / ] +
.. REXENI ZADACI 5 A + C + A + B C + A + B + C Odvde immo sistem qijeje ree e A, B, C I + B + C ln + + C A + C 0 A + B C A + B + C 0, A +..5. Reiti integrl I I 5 6+ B + C A ln + + 5 + 6. + 5 + 6 + 5 6 + B / C A + + 5 6 + A + B + C + 5A B C + 6A Odvde immo sistem A + B + C 5 5A B C 6 6A, qije je ree e A, B, C A I + + B + C A ln + B + C ln + + C 5 6+ A + B + C A ln +B ln +C ln + C..55. Reiti integrl I + + +. ++ + A + + B + + C + + D + + E + + F +..56. Reiti integrl I + + 5. + +5 +5..57. Reiti integrl I +. A + B + C+D +5
6 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI + + + + + + + + A+B + + +..58. Reiti integrl I C+D + 6 +. 6 + 6 + + + + + + + + A+B + + C+D + + Metod Ostrogrdskog..59. Reiti integrl I +. E + prodiferenci- + A +B+C + + D + rmo + A +B+C + A +B+C[ + ] +..60. Reiti integrl I. 00 + D + E + t I 00 + + + 96 + 97 + 98 +99 +C t97 t98 t99 t00 t96 t97 t98 t99 96 96 + 97 97 98 98 + 99 99 + C..6. Reiti integrl I 8 + +. 8 + + 8 + + t tt + t + t tt +t+ t tt+t+ A t + B t+ + C t+ n..6. Reiti integrl I n +. n t + t + t + t + t 00 t 00 t / tt + t + n n n + n n n t + n n n t + n t ln t + + C n n ln n + + C Integrcij ircionlnih funkcij..6. + Reiti integrl I + +. t t +
.. REXENI ZADACI 7 I t t t +t + + t + + t t t t t +t+ A t + Bt+C t +t+..6. Reiti integrl I. t t t + t..65. Reiti integrl I. n+ n b n n