NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu x = (x 1,..., x n ) R n se numeşte vector. vectorilor prin Definim adunarea + : R n R n R n, x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), unde x = (x 1,..., x n ) iar y = (y 1,..., y n ). Se verifică imediat că adunarea vectorilor satisface următoarele proprietăţi: 1. (x + y) + z = x + (y + z) (asociativitatea) 2. vectorul nul 0 = (0,..., 0) este element neutru, adică x + 0 = 0 + x = x, x R n 3. orice vector x = (x 1,..., x n ) are un opus notat x dat de x = ( x 1,..., x n ), adică x + ( x) = ( x) + x = 0 1

2 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 4. x + y = y + x (comutativitatea). Proprietăţile de mai sus arată că (R n, +) este un grup abelian. Definim înmulţirea cu scalari a vectorilor prin : R R n R n, a x = ax = (ax 1,..., ax n ), Înmulţirea cu scalari satisface următoarele pro- unde x = (x 1,..., x n ). prietăţi: 1. a(x + y) = ax + ay 2. (a + b)x = ax + bx 3. (ab)x = a(bx) 4. 1x = x. Prin urmare (R n, +, ) satisface axiomele de spaţiu vectorial real. Observaţia 1.1.1. Dacă a este un număr real nenul, vom nota uneori 1 a x cu x a. Vom presupune cunoscute noţiunile de sistem de vectori liniari independenţi (în R n ), bază şi orientare. Peste tot în acest curs, dacă nu se specifică, vom considera că (e 1,..., e n ) este bază orientată pozitiv în R n, unde e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Pentru un vector x R n avem x = (x 1,..., x n ) = x 1 e 1 +... + x n e n = x i e i, iar x 1,..., x n se numesc coordonatele vectorului x în raport cu baza canonică {e 1,..., e n }. Pe R n definim acum produsul scalar euclidian, : R n R n R, x, y = x 1 y 1 +... + x n y n. Se verifică imediat că aplicaţia, este biliniară, simetrică şi pozitiv definită, adică 1. x 1 + x 2, y = x 1, y + x 2, y

1.1. Spaţiul vectorial R n 3 2. ax, y = a x, y 3. x, y = y, x 4. x, x 0 cu egalitate dacă şi numai dacă x = 0. Norma euclidiană a unui vector x se defineşte prin x = È x, x =È(x 1 ) 2 +... + (x n ) 2. Evident, x = 0 x = 0 şi ax = a x. Notăm că baza canonică {e 1,..., e n } este o bază ortonormată în raport cu produsul scalar euclidian. Teorema 1.1.1. (Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz). Pentru orice vectori x, y R n avem x, y x y. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă x şi y sunt coliniari (paraleli), adică x y = 0 sau există a R astfel încât x = ay. Teorema 1.1.2. (Inegalitatea Minkowski (inegalitatea triunghiulară)). Pentru orice vectori x, y R n avem x + y x + y. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă x şi y sunt coliniari şi de acelaşi sens, adică x y = 0 sau x = ay cu a > 0. x y x y. Corolarul 1.1.1. Pentru orice vectori x, y R n avem Prin definiţie, unghiul a doi vectori nenuli x şi y este numărul (x, y) [0, π] dat de x, y cos (x, y) = x y. Doi vectori nenuli x şi y se numesc ortogonali, sau perpendiculari, dacă (x, y) = π 2, adică x, y = 0. Convenim că vectorul nul este paralel, sau paralel şi de acelaşi sens, cu orice alt vector şi, de asemeni, el este perpendicular pe orice alt vector.

4 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Considerăm acum E 3 spaţiul construit cu axiomatica lui Hilbert. Prin relaţia de echipolenţă se construieşte V 3 -spaţiul vectorial al vectorilor liberi. Reamintim că două segmente orientate (A, B) şi (D, C) se numesc echipolente dacă segmentele [AC] şi [BD] au acelaşi mijloc. Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea segmentelor orientate, iar o clasă de echivalenţă se numeşte vector liber. Un vector liber îl vom nota, în general, prin AB, CD, etc., sau u, v, etc. Reamintim că vectorul nul, notat cu 0, este definit prin 0 = AA, A E 3, şi vom presupune cunoscute noţiunile de lungimea unui vector (avem fixată unitatea de măsură), direcţie şi sens. V 3 cu operaţiile de adunare a vectorilor, după regula paralelogramului, şi înmulţire cu scalari devine un spaţiu vectorial real de dimensiune 3. Fie {i, j, k} o bază ortonormată arbitrară în V 3, adică vectorii i, j şi k au lungimea 1 şi oricare doi dintre ei au direcţiile corespunzătoare perpendiculare. Fixăm Oxyz un reper cartezian fixat şi considerăm u 1, u 2 V 3. Vectorului u 1 îi corespunde în mod unic tripletul (x 1, y 1, z 1 ) R 3 şi, la fel, vectorului u 2 îi corespunde în mod unic tripletul (x 2, y 2, z 2 ). Se demonstrează că lui u 1 + u 2, construit cu regula paralelogramului, îi corespunde (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ). Dacă lui u îi corespunde (x, y, z), atunci lui au îi corespunde tripletul (ax, ay, az). Lungimea vectorului u este dată de u =Èx 2 + y 2 + z 2. În V 3 definim în mod natural unghiul a doi vectori liberi nenuli, iar apoi definim produsul scalar canonic u, v =( 0, dacă u = 0 sau v = 0 u v cos (u, v), dacă u 0 şi v 0, unde u este lungimea vectorului u, iar prin (u, v) înţelegem de fapt măsura unghiului dintre vectorii liberi u şi v. Evident, u v, adică u v = 0 sau (u, v) = π 2, dacă şi numai dacă u, v = 0, iar norma unui vector, ca radical din produsul scalar dintre el şi el însuşi, coincide cu lungimea sa. Dacă {i, j, k} este o bază ortonormată în V 3, atunci ea este ortonormată şi în raport cu produsul scalar canonic. Fie Oxyz un reper cartezian fixat

1.1. Spaţiul vectorial R n 5 şi considerăm u 1, u 2 V 3. Lui u 1 îi corespunde tripletul (x 1, y 1, z 1 ), iar lui u 2 îi corespunde (x 2, y 2, z 2 ). Atunci se demonstrează că avem relaţia u 1, u 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Deoarece într-un triunghi suma lungimilor a două laturi este mai mare decât lungimea celei de a treia laturi obţinem că, pentru orice vectori liberi necoliniari u, v V 3 avem u + v < u + v şi u v < u + v. Observaţia 1.1.2. Fie u = OA şi v = OB, u v. Atunci u, v reprezintă puterea punctului O faţă de cercul de diametru [AB], adică u, v = OK 2, unde K este mijlocul segmentului [AB]. AB 2 4 Fie (i, j, k) o bază ortonormată orientată pozitiv (dacă nu se specifică, orientarea pozitivă în V 3 este dată de regula burghiului). Definim operatorul liniar T : V 3 R 3 prin T (i) = e 1, T (j) = e 2 şi T (k) = e 3. T este un izomorfism, adică un operator liniar bijectiv şi, în plus, T (u) = u, u V 3, adică T este izometrie. Relaţia T (u) = u, u V 3, este echivalentă cu T (u), T (v) = u, v, u, v V 3. Într-adevăr, implicaţia directă rezultă astfel T (u + v) 2 = T (u) + T (v) 2 = T (u) 2 + T (v) 2 + 2 T (u), T (v) Pe de altă parte = u 2 + v 2 + 2 T (u), T (v). T (u + v) 2 = u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u, v. Din cele două relaţii rezultă T (u), T (v) = u, v. Implicaţia reciprocă rezultă imediat considerând u = v. Notăm că T nu este o izometrie canonică. Peste tot în acest curs vom considera în E 3 un reper cartezian fixat, cu originea în punctul O şi Ox, Oy, Oz axele de coordonate (dreptele

6 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Ox, Oy şi Oz sunt perpendiculare între ele, sunt orientate şi avem fixată unitatea de măsură). Avem identificările obişnuite ale lui E 3 cu R 3 şi V 3 E 3 M (x M, y M, z M ) = x M e 1 + y M e 2 + z M e 3 R 3 x M i + y M j + z M k = OM V 3. 1.2. Produsul vectorial în R 3 Definiţia 1.2.1. Dacă x = (x 1, x 2, x 3 ) şi y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, atunci produsul vectorial x y este definit prin determinantul formal x y = e1 e2 e3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 R 3. Produsul vectorial nu se schimbă dacă înlocuim baza canonică (e 1, e 2, e 3 ) cu o altă bază ortonormată orientată pozitiv. Dacă vom schimba orientarea pe R 3 produsul vectorial îşi va schimba semnul. Proprietăţi 1. x y x, adică x y, x = 0, şi x y y 2. x y = 0 x y, adică x = ay sau y = bx 3. dacă x y 0, atunci (x, y, x y) este o bază orientată pozitiv în R 3 4. dacă x y 0, atunci x y = x y sin (x, y), adică x y este aria paralelogramului construit pe vectorii x şi y 5. x y = y x. Notăm că produsul vectorial nu este asociativ, iar proprietăţile anterioare nu depind de orientarea aleasă pe R 3.

1.3. Funcţii vectoriale 7 Observaţia 1.2.1. În V 3 putem defini produsul vectorial a doi vectori exact ca mai sus, folosind (i, j, k) o bază ortonormată orientată pozitiv (orientarea pozitivă dată de regula burghiului). Sau, putem defini astfel: u v = 0 dacă u = 0 sau v = 0, iar dacă u 0 şi v 0, atunci u v este vectorul cu direcţia perpendiculară pe direcţia lui u şi a lui v, lungimea egală cu u v sin (u, v) şi sensul astfel încât (u, v, u v) este orientată pozitiv. Definiţia 1.2.2. Produsul mixt a trei vectori x, y, z R 3 este numărul real (x, y, z) = x, y z. Se demonstrează că şi au loc (x, y, z) = x1 y1 z1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Proprietăţi 1. (x, y, z) = 0 {x, y, z} sunt coplanari 2. dacă (x, y, z) 0, atunci (x, y, z) reprezintă volumul paralelipipedului construit pe cei 3 vectori. Notăm că produsul mixt depinde până la semn de orientarea aleasă pe R 3. 1.3. Funcţii vectoriale În această secţiune vom reaminti pe scurt câteva noţiuni elementare de topologie şi analiză vectorială. Nu vom prezenta demonstraţiile în detaliu, ele regăsindu-se în orice curs de Analiză Matematică. Definiţia 1.3.1. Se numeşte bilă deschisă în R n de centru x 0 şi rază r > 0 mulţimea B n (x 0 ; r) = {x R n : x x 0 < r}.

8 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Reamintim că, dacă x 0 = (x 1 0,..., xn 0 ) şi x = (x1,..., x n ), atunci x x 0 2 = (x 1 x 1 0) 2 +... + (x n x n 0 ) 2. Dacă n = 1, atunci B 1 (x 0 ; r) este intervalul deschis (x 0 r, x 0 + r), dacă n = 2, B 2 (x 0 ; r) reprezintă interiorul cercului C(x 0 ; r) = S 1 (x 0 ; r), iar dacă n = 3, B 3 (x 0 ; r) reprezintă interiorul sferei S 2 (x 0 ; r). Definiţia 1.3.2. O submulţime U R n se numeşte deschisă în R n dacă oricare ar fi x U, există r > 0 astfel încât B n (x; r) U. Exemplul 1.3.1. R n este deschisă în R n, iar bila B n (x 0 ; r) este tot o submulţime deschisă a lui R n. Exemplul 1.3.2. În R2, mulţimea U = {(x 1, x 2 ) R 2 : a < x 1 < b şi c < x 2 < d} este deschisă, dar U = {(x 1, x 2 ) R 2 : a x 1 < b şi c < x 2 < d} nu mai este deschisă (vezi figurile 1 şi 2) x 2 d c x 2 d c. x 1 a b a b Figura 1 Figura 2 x 1 Definiţia 1.3.3. O submulţime U R n se numeşte închisă în R n dacă complementara sa R n \U este deschisă. Definiţia 1.3.4. Se numeşte bilă închisă în R n de centru x 0 şi rază r > 0 mulţimea B n (x 0 ; r) = {x R n : x x 0 r}.

1.3. Funcţii vectoriale 9 Orice bilă închisă este o submulţime închisă în R n. Spaţiul R n este mulţime închisă în R n, iar mulţimea U = {(x 1, x 2 ) R 2 : a x 1 < b şi c < x 2 < d} nu este nici închisă nici deschisă în R n. Considerăm I un interval deschis din R şi f : I R n o funcţie vectorială. Funcţia f se scrie în mod unic f = (f 1,..., f n ) = f 1 e 1 +... + f n e n, unde f 1,..., f n : I R, iar {e 1,..., e n } este baza canonică. Definiţia 1.3.5. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 R un punct de acumulare. Spunem că funcţia f are limita l R n în punctul t 0, adică lim t t0 f(t) = l, dacă oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel încât f(t) B(l; ε), t ((t 0 δ, t 0 + δ)\{t 0 }) I. Observaţia 1.3.1. Dacă t 0 =, atunci în definiţie vom înlocui t ((t 0 δ, t 0 + δ)\{t 0 }) I cu t > δ, iar dacă t =, atunci înlocuim t ((t 0 δ, t 0 + δ)\{t 0 }) I cu t < δ. Dacă f : I R n este o funcţie vectorială vom nota cu f funcţia definită pe I cu valori reale dată de ( f )(t) = f(t). Teorema 1.3.1. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 R un punct de acumulare. Atunci lim f(t) = l R n lim ( f l )(t) = 0. t t 0 t t0 Demonstraţie. Demonstraţia este evidentă deoarece f(t) B(l; ε) ( f l )(t) = f(t) l < ε. Teorema 1.3.2. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 R un punct de acumulare. Atunci lim t t 0 f(t) = l = (l 1,..., l n ) R n lim t t0 f 1 (t) = l 1,..., lim t t0 f n (t) = l n.

10 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Demonstraţie. Pentru implicaţia directă observăm mai întâi că f(t) l 2 = (f 1 (t) l 1,..., f n (t) l n ) 2 = (f 1 (t) l 1 ) 2 +... + (f n (t) l n ) 2 (f i (t) l i ) 2, pentru orice i = 1, n. Deci f(t) l f i (t) l i şi prin urmare f(t) l < ε implică f i (t) l i < ε. Presupunem că t 0 R. Fie ε > 0. Atunci, pentru orice i = 1, n, există δ i > 0 astfel încât f i (t) l i < ε n, t ((t 0 δ, t 0 + δ)\{t 0 }) I. Considerăm δ = min{δ i : i = 1, n}. Atunci, t ((t 0 δ, t 0 + δ)\{t 0 }) I avem f i (t) l i < ε n, i = 1, n, şi deci f(t) l 2 = (f 1 (t) l 1 ) 2 +... + (f n (t) l n ) 2 < ε2 n +... + ε2 n = ε2, adică f(t) l < ε. Dacă t 0 = ±, demonstraţia se face în mod analog. Teorema 1.3.3. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 R un punct de acumulare. Dacă lim t t0 f(t) = l R n, atunci lim t t0 f (t) = l. Demonstraţie. Avem lim f(t) = lim t t 0 t t0è(f 1 (t)) 2 +... + (f n (t)) 2 = È(l 1 ) 2 +... + (l n ) 2 = l. Alte proprietăţi: Fie f, g : I R n două funcţii vectoriale şi t 0 R un punct de acumulare. Presupunem că lim t t0 f(t) = l R n şi lim t t0 g(t) = m R n. Considerăm h : I R şi presupunem că lim t t0 h(t) = a R. Avem

1.4. Continuitatea 11 1. lim t t0 (f + g)(t) = lim t t0 f(t) + lim t t0 g(t) = l + m 2. lim t t0 (hf)(t) = (lim t t0 h(t))(lim t t0 f(t)) = al 3. dacă a 0, atunci lim t t0 ( 1 h f)(t) = 1 lim t t0 h(t) lim t t 0 f(t) = 1 a l 4. lim t t0 ( f, g )(t) = lim t t0 f(t), lim t t0 g(t) = l, m 5. în R 3 : lim t t0 (f g)(t) = (lim t t0 f(t)) (lim t t0 g(t)) = l m, unde funcţia f, g : I R este dată de ( f, g )(t) = f(t), g(t), iar în R 3, f g : I R 3 este definită prin (f g)(t) = f(t) g(t). 1.4. Continuitatea Definiţia 1.4.1. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 I. Spunem că f este continuă în t 0 dacă lim f(t) = f(t 0 ). t t 0 Echivalent, f este continuă în t 0 I dacă şi numai dacă oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel încât f(t) f(t 0 ) < ε, t (t 0 δ, t 0 + δ). Teorema 1.4.1. O funcţie vectorială f : I R n este continuă în t 0 dacă şi numai dacă f 1,..., f n sunt funcţii continue în t 0. Definiţia 1.4.2. O funcţie vectorială f : I R n se numeşte continuă dacă f este continuă în orice punct t 0 I. 1.5. Derivabilitatea

12 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Definiţia 1.5.1. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 I. Spunem că f este derivabilă în t 0 dacă 1 lim {f(t) f(t 0 )} R n. t t0 t t 0 Dacă f este derivabilă în t 0 vom nota limita de mai sus cu f (t 0 ) sau cu df dt (t 0). Teorema 1.5.1. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 I. Atunci f este derivabilă în t 0 dacă şi numai dacă f 1,..., f n sunt derivabile în t 0 şi, în acest caz, f (t 0 ) = ((f 1 ) (t 0 ),..., (f n ) (t 0 )). Teorema 1.5.2. Fie f : I R n o funcţie vectorială şi t 0 I. Dacă f este derivabilă în t 0 atunci f este continuă în t 0. Demonstraţie. Pentru orice t I\{t 0 } avem f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) f(t) f(t 0) t t 0 şi, trecând la limită cu t t 0, obţinem adică f este continuă în t 0. lim f(t) = f(t 0 ) + 0f (t 0 ) = f(t 0 ), t t 0 Alte proprietăţi. Fie f, g : I R n două funcţii vectoriale derivabile în t 0 I şi presupunem că h : I R este derivabilă în t 0. Avem 1. (f + g) (t 0 ) = f (t 0 ) + g (t 0 ) 2. (hf) (t 0 ) = h (t 0 )f(t 0 ) + h(t 0 )f (t 0 ) 3. dacă h(t 0 ) 0, atunci f h (t0 ) = h(t 0)f (t 0 ) h (t 0 )f(t 0 ) h 2 (t 0 ) 4. ( f, g ) (t 0 ) = f (t 0 ), g(t 0 ) + f(t 0 ), g (t 0 )

1.5. Derivabilitatea 13 5. în R 3 : (f g) (t 0 ) = f (t 0 ) g(t 0 ) + f(t 0 ) g (t 0 ). Definiţia 1.5.2. O funcţie vectorială f : I R n se numeşte derivabilă dacă f este derivabilă în orice t 0 I. Este clar că o funcţie vectorială f : I R n este de clasă C m, m 1, dacă şi numai dacă f i este de clasă C m, i = 1, n. Dacă f, g şi h sunt de clasă C m, atunci şi f +g, hf, f, g şi f g (pentru R 3 ) sunt de clasă C m. Încheiem această secţiune reamintind Formula lui Taylor Teorema 1.5.3. Fie I un interval deschis al lui R şi f : I R o funcţie de clasă C m. Fie t 0 I fixat arbitrar. Atunci există o unică funcţie α t0 : I R continuă, α t0 (t 0 ) = 0, astfel încât f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) f (t 0 ) 1! + (t t 0) m α t0 (t), t I. m! Observaţia 1.5.1. Funcţia α t0 + (t t 0 ) 2 f (t 0 ) 2! este unică. +... + (t t 0 ) m f (m) (t 0 ) m! Observaţia 1.5.2. Funcţia α t0 nu este, în general, derivabilă în t 0. De exemplu, considerăm f : ( 1, 1) R, f(t) =( t 4, t < 0 t 4. Se verifică uşor, t 0 că f C 3 ( 1, 1) şi f (0) = f (0) = f (0) = 0. Prin urmare f(t) = t3 6 α 0(t) unde α 0 (t) = 6 t care nu este derivabilă în 0 (α C 0 ( 1, 1)). Teorema 1.5.4. Fie I un interval deschis al lui R şi f : I R n o funcţie vectorială de clasă C m. Fie t 0 I fixat arbitrar. Atunci există o unică funcţie vectorială α t0 : I R n continuă, α t0 (t 0 ) = 0, astfel încât f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) f (t 0 ) 1! + (t t 0) m α t0 (t), t I. m! + (t t 0 ) 2 f (t 0 ) 2! +... + (t t 0 ) m f (m) (t 0 ) m!

14 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

2 GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR 2.1. Curbe regulate în R 3 Definiţia 2.1.1. Numim curbă parametrizată regulată de clasă C m în R 3 o funcţie vectorială ρ : I R 3 de clasă C m, m 1, astfel încât ρ (t) 0, t I. Vectorul ρ (t) se mai numeşte şi vectorul viteză la ρ în t, iar ρ (t) se mai numeşte viteza la ρ în t. O curbă parametrizată regulată poate avea puncte multiple, adică t 1 t 2 dar ρ(t 1 ) = ρ(t 2 ). Totuşi, avem: Teorema 2.1.1. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată. Atunci oricare ar fi t 0 I există ε > 0 astfel încât (t 0 ε, t 0 + ε) I şi ρ(t 0 ε,t 0 +ε) este injectivă. Demonstraţie. Fie t 0 I fixat arbitrar. Deoarece ρ (t 0 ) 0 rezută că x (t 0 ) 0 sau y (t 0 ) 0 sau z (t 0 ) 0, unde ρ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Presupunem că x (t 0 ) 0. Atunci x (t) are semn constant pe o vecinătate a lui t 0, (t 0 ε, t 0 +ε), şi prin urmare x(t) este strict monotonă pe (t 0 ε, t 0 +ε) deci este injectivă. Prin urmare şi este injectivă. ρ(t 0 ε,t 0 +ε) 15

16 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Proprietatea de a fi regulată, adică ρ (t) 0, implică anumite restricţii asupra formei locale a curbelor. Vom ilustra acest lucru folosind, pentru simplitate, cazul curbelor plane. Propoziţia 2.1.1. Fie ρ : I R 2, ρ(t) = (x(t), y(t)), o curbă parametrizată regulată plană. Presupunem că ρ(t 0 ) = 0, y(t) > 0, t I\{t 0 }, şi x(t) < 0, t < t 0. Atunci există ε > 0 astfel încât x(t) > 0, t (t 0, t 0 + ε). Demonstraţie. Din ρ(t 0 ) = 0 rezultă y(t 0 ) = 0. Prin urmare t 0 este un punct de minim pentru t y(t) şi deci y (t 0 ) = 0. Cum ρ (t 0 ) 0 va rezulta că x (t 0 ) 0, de unde obţinem că t x(t) este strict monotonă pe o vecinătate a lui t 0. Dar x(t) < 0 = x(t 0 ), pentru t < t 0, prin urmare t x(t) este strict crescătoare pe o vecinătate a lui t 0, şi cu aceasta demonstraţia se încheie. Mai mult, ρ (t 0 ) = (x (t 0 ), 0) şi, după cum vom vedea mai târziu, axa Ox este tangentă la ρ în t 0. Teorema 2.1.2. Fie ρ : I R 2, ρ(t) = (x(t), y(t)) o curbă parametrizată regulată plană de clasă C m şi t 0 I. Presupunem că x (t 0 ) 0. Atunci există ε 1, ε 2 > 0 şi există h : (x(t 0 ) ε 2, x(t 0 ) + ε 2 ) R de clasă C m astfel încât ρ(t 0 ε 1, t 0 + ε 1 ) = {(x, h(x)) : x (x(t 0 ) ε 2, x(t 0 ) + ε 2 )} = Graf h. Demonstraţie. Din ipoteza x (t 0 ) 0 rezultă că există ε 1 > 0 astfel încât x (t) 0, t (t 0 ε 1, t 0 + ε 1 ). Prin urmare există ε 2 > 0 astfel încât x(t 0 ε 1, t 0 + ε 1 ) = (x(t 0 ) ε 2, x(t 0 ) + ε 2 ) şi x : (t 0 ε 1, t 0 + ε 1 ) (x(t 0 ) ε 2, x(t 0 ) + ε 2 ) este difeomorfism de clasă C m. Pentru x (x(t 0 ) ε 2, x(t 0 ) + ε 2 ), t = t(x) şi y = y(t) = y(t(x)) = h(x), unde h : (x(t 0 ) ε 2, x(t 0 ) + ε 2 ) R, h = y x 1. Funcţia h este de clasă C m. Cu aceasta demonstraţia este încheiată. Fie acum ρ : I R 2, ρ(t) = (x(t), y(t)), o curbă parametrizată regulată plană, de clasă C m, m 1. Presupunem că ρ(t 0 ) = 0, y(t) > 0, t I\{t 0 }, şi x(t) < 0, t < t 0. Atunci, într-o vecinătate a lui 0, ρ are forma:

2.1. Curbe regulate în R 3 17 y 0 x Figura... Asupra formei locale a curbelor în plan sau în spaţiu vom reveni mai târziu după ce vom studia reperul lui Frenet. Fie acum µ : J I un difeomorfism de clasă C m, m 1, unde I şi J sunt intervale deschise din R. Atunci, prin definiţie, µ este bijecţie iar µ şi µ 1 sunt de clasă C m ; µ = µ(s) şi µ (s) 0, s J. Cum µ este continuă, avem fie µ > 0 pe J, fie µ < 0 pe J. Prin urmare µ este fie strict crescătoare, fie strict descrescătoare. Avem următorul rezultat cunoscut Propoziţia 2.1.2. Fie λ : I R o aplicaţie de clasă C m cu λ (t) 0, t I, unde I este un interval deschis din R. Atunci λ(i) este un interval deschis din R, iar λ : I λ(i) este un difeomorfism de clasă C m. Propoziţia 2.1.3. Orice interval I din R, nu neapărat deschis, este difeomorf cu unul din următoarele trei intervale [0, 1], (0, 1) sau [0, 1). Demonstraţie. Funcţia liniară s = t a b a este un difeomorfism de la [a, b] la [0, 1], de la (a, b) la (0, 1) şi de la [a, b) la [0, 1). Funcţia liniară s = 1 t a b a este un difeomorfism de la (a, b] la [0, 1). Rămâne să considerăm intervalele infinite. Funcţia t = arctg θ aplică difeomorf R in ( π 2, π 2 ), iar s = t+ π 2 π aplică ( π 2, π 2 ) în (0, 1). Deci funcţia compusă s = arctg θ+ π 2 π aplică difeomorf R in (0, 1). Funcţia t = arctg θ aplică intervalul [a, ), a R, în [arctg a, π 2 ), iar s = t arctg a π 2 arctg a aplică [arctg a, π 2 ) în [0, 1). Prin urmare, funcţia compusă arctg θ arctg a s = π 2 arctg a aplică difeomorf [a, ) în [0, 1]. Cazul (, a] este evident.

18 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Dacă ρ : I R 3 este o curbă parametrizată regulată, atunci şi ρ µ : J R 3 este tot o curbă parametrizată regulată, unde µ : J I este un difeomorfism de clasă C m. Într-adevăr (ρ µ) (s) = ρ (µ(s))µ (s) 0, s J. Difeomorfismul λ = µ 1 se numeşte schimbare de parametru. Definiţia 2.1.2. Fie ρ 1 : I R 3 şi ρ 2 : I 2 R 3 două curbe parametrizate regulate de clasă C m. Ele se numesc echivalente dacă există un difeomorfism de clasă C m, µ : I 2 I 1, astfel încât ρ 2 = ρ 1 µ. Se verifică uşor că relaţia de mai sus este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea curbelor parametrizate regulate. Definiţia 2.1.3. Se numeşte curbă regulată o clasă de echivalenţă a unei curbe parametrizate regulate. Observaţia 2.1.1. Două curbe parametrizate regulate echivalente au aceeaşi imagine. În acest curs vom considera curbe de clasă C, sau curbe netede. Fie C o curbă regulată, adică o clasă de echivalenţă pe mulţimea curbelor parametrizate regulate. Considerăm ρ = ρ(t) o reprezentare a sa (sau reprezentant), deci ρ : I R 3 este o curbă parametrizată regulată. Spunem că C este o curbă regulată simplă dacă ρ este o funcţie vectorială injectivă. Evident, noţiunea de curbă regulată simplă este corect definită, sau are caracter geometric, adică nu depinde de reprezentantul ales. Vom defini acum noţiunea de curbă regulată orientată. Fie ρ 1 : I 1 R 3 şi ρ 2 : I 2 R 3 două curbe parametrizate regulate. Ele se numesc echivalente pozitiv dacă există un difeomorfism µ : I 2 I 1, cu µ > 0, astfel încât ρ 2 = ρ 1 µ. Se verifică imediat că relaţia definită mai sus este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea curbelor parametrizate regulate, iar o clasă de echivalenţă se numeşte curbă regulată orientată. O curbă regulată orientată este o curbă regulată pe care s-a fixat sensul de parcurs. Unei curbe regulate i se asociază două curbe regulate orientate. În cele ce urmează vom defini noţiunea de lungimea unui arc de curbă. Mai întâi demonstăm următoarea propoziţie:

2.1. Curbe regulate în R 3 19 Z t 2 Propoziţia 2.1.4. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată şi t 1, t 2 I, t 1 < t 2, astfel încât ρ(t 1 ) ρ(t 2 ). Atunci t 1 ρ (t) dt ρ(t 2 ) ρ(t 1 ), iar egalitatea are loc dacă şi numai dacă reprezintă segmentul de ρ[t 1,t 2 ] dreaptă ce uneşte ρ(t 1 ) cu ρ(t 2 ). Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi ultima parte a propoziţiei şi anume vom arăta că dacă ρ[t reprezintă segmentul de dreaptă ce uneşte ρ(t 1,t 2 ] 1) cu ρ(t 2 ), atunci Z t 2 adicăr t 2 t 1 t 1 ρ (t) dt = ρ(t 2 ) ρ(t 2 ), ρ (t) dt este egală cu lungimea segmentului de dreaptă ce uneşte ρ(t 1 ) cu ρ(t 2 ). Dacă restricţia ρ[t 1,t 2 ] cu ρ(t 2 ), atunci există un difeomorfism µ, µ > 0, astfel încât reprezintă segmentul de dreaptă ce uneşte ρ(t 1 ) (2.1.1) (ρ µ)(s) = ρ(t 1 ) + s ρ(t 2) ρ(t 1 ) ρ(t 2 ) ρ(t 1 ), s [0, ρ(t 2) ρ(t 1 ) ]. Într-adevăr, presupunem mai general că reprezintă un segment închis ρ[t 1,t 2 ] nenul [AB], adică ρ([t 1, t 2 ]) = [AB]. Atunci ρ(t) = r A + β(t) AB, unde β : [t 1, t 2 ] [0, 1] este o funcţie surjectivă, de clasă C. Din ρ (t) = β (t) AB şi condiţia de regularitate rezultă că β (t) 0, t [t 1, t 2 ], şi prin urmare β este strict monotonă. Mai mult, β este un difeomorfism. Dacă β > 0, atunci β(t 1 ) = 0 iar β(t 2 ) = 1. Avem ρ(t 1 ) = r A şi ρ(t 2 ) = r B, deci [AB] = [ρ(t 1 )ρ(t 2 )], iar ρ(t) = ρ(t 1 ) + β(t)(ρ(t 2 ) ρ(t 1 )), t [t 1, t 2 ]. În acest caz ρ(t) parcurge segmentul [AB] de la A la B (funcţia t Aρ(t) este strict crescătoare). Dacă β < 0, atunci β(t 1 ) = 1, β(t 2 ) = 0, ρ(t 1 ) = r B, ρ(t 2 ) = r A, iar ρ(t) = ρ(t 2 ) + β(t)(ρ(t 1 ) ρ(t 2 )) = ρ(t 1 ) + (1 β(t))(ρ(t 2 ) ρ(t 1 )).

20 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR În acest caz ρ(t) parcurge segmentul [AB] de la B la A (funcţia t Bρ(t) este strict crescătoare). Renotând 1 β cu β, obţinem β > 0 şi ρ(t) = ρ(t 1 ) + β(t)(ρ(t 2 ) ρ(t 1 )). Mai departe facem schimbarea de parametru s = β(t) şi obţinem (ρ β 1 )(s) = ρ(t 1 ) + s(ρ(t 2 ) ρ(t 1 )), s [0, 1], de unde, după o nouă schimbare de parametru convenabilă, se obţine relaţia (2.1.1). Avem în continuare Z ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) Z (ρ µ) ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) (s) ds = ρ(t 2) ρ(t 1 ) 0 0 ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) ds = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ). Pe de altă parte, din formula de schimbare de variabilă, avem Z ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) Z (ρ µ) ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) (s) ds = ρ (µ(s)) µ (s) ds 0 0 Z ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) = ρ (µ(s))µ (s) ds 0 Z t 2 = ρ (t) dt. t Prin urmarer 2 t 1 ρ (t) dt = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ). Ne întoarcem la prima parte a propoziţiei şi vom demonstra că Z t 2 t 1 t 1 ρ (t) dt ρ(t 2 ) ρ(t 1 ). Pentru aceasta considerăm v R 3 un vector unitar, adică v = 1. Folosind inegalităţile cunoscute obţinem: (2.1.2) Z t 2 Z ρ t2 (t), v dt ρ t2 (t), v dt t 1 t 1 Z ρ (t) v dt t Z 1 t 2 = ρ (t) dt. t 1

2.1. Curbe regulate în R 3 21 Dar (2.1.3) Z t 2 Z ρ t2 d (t), v dt = t 1 t 1 dt { ρ(t), v } dt = ρ(t), v t 2 t 1 = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ), v. Z t 2 Alegem v = ρ(t 2) ρ(t 1 ) ρ(t 2 ) ρ(t 1 ), iar din (2.1.2) şi (2.1.3) obţinem Presupunem acum că R t t 1 2 t 1 ρ (t) dt ρ(t 2 ) ρ(t 1 ). ρ (t) dt = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ). Prin urmare toate ), iar acest lucru este echivalent cu ρ (t) = f(t)v, unde f este o funcţie netedă strict pozitivă. Din ρ (t) = f(t)v, t, prin integrare se obţine inegalităţile de la (2.1.2) devin egalităţi (pentru v = ρ(t 2) ρ(t 1 ) ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) ρ(t) = ρ(t 1 ) +Z t t 1 f(τ) dτ v. Notăm λ(t) =R t t1 f(τ) dτ şi avem λ(t 1 ) = 0, λ(t 2 ) = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ). Cum λ (t) = f(t) > 0, rezultă că λ : [t 1, t 2 ] [0, ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) ] este o funcţie strict crescătoare. Mai mult, λ este un difeomorfism şi considerăm schimbarea de parametru s = λ(t). Obţinem (ρ λ 1 )(s) = ρ(t 1 ) + s ρ(t 2) ρ(t 1 ) ρ(t 2 ) ρ(t 1 ), s [0, ρ(t 2) ρ(t 1 ) ] adică ρ[t 1,t 2 ] reprezintă segmentul de dreaptă ce uneşte ρ(t 1) cu ρ(t 2 ). Considerăm acum ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată şi a, b I, a < b, fixaţi. Fie o partiţie a lui [a, b] : a = t 0 < t 1 <... < t n = b

22 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR (t 1 ) (a) (t ) n-1 Figura 3 (b) şi considerăm suma l = nx i=1 ρ(t i ) ρ(t i 1 ). l reprezintă lungimea liniei poligonale cu vârfurile ρ(a), ρ(t 1 ),..., ρ(b) (vezi figura 3). Putem avea ρ(t i ) = ρ(t j ), i j. b Propoziţia 2.1.5. Avem inegalitatear a ρ (t) dt l. Demonstraţie. Folosind Propoziţia anterioară obţinem Z b Z ρ t n (t) dt = ρ (t) dt a t Z 0 t 1 = ρ t2 (t) dt t 0 +Z ρ tn (t) dt +... t 1 +Z ρ (t) dt t n 1 ρ(t 1 ) ρ(t 0 ) + ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) +... + ρ(t n ) ρ(t n 1 ) = l. Din Propoziţia de mai sus rezultă căr b a ρ (t) dt este un majorant pentru mulţimea {l : partiţie a lui [a, b]}.

2.1. Curbe regulate în R 3 23 Dată o partiţie a lui [a, b] definim norma sa prin = max{ t i t i 1 : i = 1, n}. Considerăm : a = t 0 < t 1 <... < t n = b şi fie o partiţie a lui [a, b] care conţine t 0, t 1,..., t n şi în plus toate mijloacele segmentelor [t 0, t 1 ], [t 1, t 2 ],..., [t n 1, t n ], adică : a = t 0 < t 0 + t 1 2 < t 1 < t 1 + t 2 2 < t 2 <... < t n 1 + t n 2 Evident că < ( = 1 2 ) şi l l (vezi figura 4). < t n = b. (t 2 ) t +t 0 1 ( 2 ) (t 1 ) (a) (b) (t ) n-1 ( ) t +t n-2 n-1 2 Figura 4 (t ) n-2 Teorema 2.1.3. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată şi a, b I, a < b. Atunci oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel încât oricare ar fi partiţie a lui [a, b] cu < δ avem Z b a ρ (t) dt l < ε. Demonstraţie. Fie ε > 0 fixat arbitrar. Din definiţia integralei Riemann, există δ > 0 astfel încât oricare X ar fi cu < δ avem (2.1.4) ρ (t) dt (t i t i 1 ) ρ (t i ) < ε 2. Z b a i

24 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Deoarece x, y şi z sunt uniform continue pe [a, b], pentru ε fixat anterior există δ > 0 astfel încât oricare ar fi t, s [a, b] cu t s < δ avem (2.1.5) Fie cu < δ. Evaluăm X i 8>< >: x (t) x (s) ε < 2 3(b a), y (t) y (s) < ε z (t) z (s) < ε 2 3(b a) 2. 3(b a) X (t i t i 1 ) ρ (t i ) ρ(t i ) ρ(t i 1 ). Folosind Teorema lui Lagrange obţinem X X (t i t i 1 ) ρ (t i ) ρ(t i ) ρ(t i 1 ) = i i = X X (t i t i 1 ) ρ (t i ) (t i t i 1 ) (x (ξ i ), y (η i ), z (w i )) i i = X X (t i t i 1 )( ρ (t i ) (x (ξ i ), y (η i ), z (w i )) )) i X (t i t i 1 ) ρ (t i ) (x (ξ i ), y (η i ), z (w i )) i X (t i t i 1 ) ρ (t i ) (x (ξ i ), y (η i ), z (w i )) i = (t i t i 1 )È(x (t i ) x (ξ i )) 2 + (y (t i ) y (η i )) 2 + (z (t i ) z (w i )) 2, i unde ξ i, η i, w i (t i 1, t i ), i. Din (2.1.5) obţinem X X X (t i t i 1 ) ρ (t i ) ρ(t i ) ρ(t i 1 ) < i i (2.1.6) ε < (t i t i 1 ) 2(b a) = ε 2. i i

2.1. Curbe regulate în R 3 25 Z b Fie δ = min{δ, δ }. Atunci, din (2.1.4) şi (2.1.6), pentru orice cu < δ avem X ρ (t) dt l ρ (t) dt (t i t i 1 ) ρ (t i ) a Z b a + X i < ε 2 + ε 2 = ε. i (t i t i 1 ) ρ (t i ) l Z b Din faptul căr b a ρ (t) dt este un majorant pentru {l : partiţie a lui [a, b]} şi din Teorema precedentă rezultă că a ρ (t) dt = sup{l : partiţie a lui [a, b]}. Observaţia 2.1.2. Local, pentru b a suficient de mic, liniile poligonale aproximează arcul de curbă cuprins între ρ(a) şi ρ(b), şi cu cât norma partiţiei este mai mică, aproximarea va fi mai bună; în acelaşi timp lungimea liniilor poligonale va creşte. Este deci natural să definim lungimea arcului de curbă ca sup{l : partiţie a lui [a, b]}. Fie ρ o curbă parametrizată regulată şi a, b I, a < b fixaţi. Fie ρ µ o curbă echivalentă cu ρ. Notăm c = µ 1 (a) şi d = µ 1 (b). Presupunem µ > 0 şi deci c < d. Clar că oricărei partiţii a lui [a, b] îi corespunde o partiţie Ü a lui [c, d] şi reciproc, iar l(, ρ) = l( Ü, ρ µ) deoarece linia poligonală e aceeaşi. Prin urmare Z d sup{l(, ρ) : partiţie a lui [a, b]} = sup{l(ü, ρ µ) : Ü partiţie a lui [c, d]}. Să demonstrăm acelaşi lucru folosind integralele. Într-adevăr c Z (ρ µ) d (s) ds = ρ (µ(s)) µ d (s) ds =Z ρ (µ(s))µ (s) ds Acum putem defini c Z b = ρ (t) dt. a c

26 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Definiţia 2.1.4. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 o reprezentare a sa. Fie t 1, t 2 I. Numim lungimea arcului de curbă C obţinut când t parcurge [t 1, t 2 ] (sau [t 2, t 1 ]) numărul real strict pozitiv lüρ(t 1 )ρ(t 2 ) = Z t 2 t 1 ρ (t) dt. Observaţia 2.1.3. Dacă ρ : R R 2, ρ(t) = (cos t, sin t), atunci lüρ(0)ρ(4π) = 4π reprezintă lungimea cercului de rază 1 parcurs de două ori. Observaţia 2.1.4. Dacă ρ : I R 3 este o curbă parametrizată regulată atunci, local, reprezintă lungimea arcului de curbă cuprins între lüρ(t 1 )ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) şi ρ(t 2 ). Observaţia 2.1.5. Date două puncte în spaţiu, curba cu lungimea cea mai mică ce uneşte cele două puncte este segmentul de dreaptă. 2.2. Parametrul lungime de arc Definiţia 2.2.1. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată. Parametrul t se numeşte parametru lungime de arc, sau spunem că ρ este parametrizată prin lungimea de arc, dacă ρ (t) = 1, t I. Dacă ρ : I R 3 este o curbă parametrizată prin lungimea de arc, iar t 1 < t 2, atunci lüρ(t 1 )ρ(t 2 ) = t 2 t 1. Teorema 2.2.1. Orice curbă regulată admite un reprezentant parametrizat prin lungimea de arc. Demonstraţie. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 un reprezentant al lui C. Fie t 0 I fixat şi definim funcţia λ : I R, λ(t) =Z t t 0 ρ (τ) dτ.

2.3. Tangenta într-un punct al unei curbe regulate 27 Avem λ (t) = ρ (t) > 0, t I. Prin urmare λ este strict crescătoare, λ(i) = J este interval deschis în R, iar λ : I J este difeomorfism. Notăm µ = λ 1. Curba parametrizată regulată ρ µ este echivalentă cu ρ şi avem (ρ µ) (s) = ρ (µ(s))µ (s) = ρ (µ(s)) µ (s) = ρ 1 (µ(s)) λ (µ(s)) = 1 ρ (µ(s)) ρ (µ(s)) = 1, s. Deci ρ µ este parametrizată prin lungimea de arc. 2.2.1 Schimbarea a două parametrizări prin lungimea de arc Fie ρ şi ρ µ două curbe echivalente parametrizate prin lungimea de arc. Atunci 1 = (ρ µ) (s) = ρ (µ(s)) µ (s) = µ (s), s, deci µ (s) = ±1, adică µ(s) = ±s+a, a R. Prin urmare două parametrizări prin lungimea de arc diferă printr-o eventuală schimbare de semn şi o translaţie. 2.3. Tangenta într-un punct al unei curbe regulate Definiţia 2.3.1. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 un reprezentant al său. Tangenta la C în ρ(t 0 ) este dreapta ce trece prin ρ(t 0 ) şi are direcţia dată de ρ (t 0 ).. (t 0 ) (t 0 ) Definiţia este corectă (sau are caracter geometric):

28 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Într-adevăr, dacă ρ µ este un alt reprezentant al lui C cu µ(s 0 ) = t 0, atunci (ρ µ) (s 0 ) = ρ (µ(s 0 ))µ (s 0 ) = ρ (t 0 )µ (s 0 ), adică (ρ µ) (s 0 ) ρ (t 0 ), şi deci (ρ µ) (s 0 ) şi ρ (t 0 ) determină aceeaşi dreaptă în (ρ µ)(s 0 ) = ρ(t 0 ). Observaţia 2.3.1. În definiţia anterioară ρ(t 0) este privit ca element al lui E 3, iar ρ (t 0 ) ca element al lui V 3 (ţinem cont de identificările uzuale). Observaţia 2.3.2. Noţiunea de tangentă la C în ρ(t 0 ) este legată de argumentul t 0 ; mai spunem tangenta la ρ în t 0. Observaţia 2.3.3. Dacă t 1 t 2 şi ρ(t 1 ) = ρ(t 2 ), atunci tangenta la ρ în t 1 poate să coincidă sau nu cu tangenta la ρ în t 2 (vezi figurile 5 şi 6). (t ) 2. (t ) 1 (t ) 1 =. (t ) (t 2 1 ) (t 2 ) Figura 5 Figura 6 Ecuaţia vectorială parametrică a tangentei la ρ în t 0 este r = ρ(t 0 ) + sρ (t 0 ), s R, 8>< >: x = x(t 0) + sx (t 0) y = y(t 0 ) + sy (t 0 ), z = z(t 0 ) + sz (t 0 ) ecuaţiile parametrice ale tangentei sunt s R

2.3. Tangenta într-un punct al unei curbe regulate 29 iar ecuaţiile canonice sunt date de x x(t 0 ) x (t 0 ) = y y(t 0) y (t 0 ) = z z(t 0) z. (t 0 ) Vom prezenta acum o caracterizare a tangentei. Propoziţia 2.3.1. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată. Considerăm t 0 I şi u R 3 un vector nenul. Dreapta δ u ce trece prin ρ(t 0 ) şi are direcţia dată de u este tangenta la ρ în t 0 dacă şi numai dacă (2.3.7) lim t t0 dist(ρ(t), δ u ) t t 0 = 0, unde dist(ρ(t), δ u ) reprezintă distanţa dintre ρ(t) şi δ u. (t ). 0 u u (t) Înainte de a demonstra acest rezultat, vom arăta că relaţia (2.3.7) are caracter geometric. Într-adevăr, fie ρ µ o curbă echivalentă cu ρ, λ = µ 1, λ(t 0 ) = s 0. Avem dist(ρ(t), δ u ) dist(ρ(µ(s)), δ u ) 0 = lim = lim. t t0 t t 0 s s0 µ(s) µ(s 0 ) Din Teorema lui Lagrange rezultă µ(s) µ(s 0 ) = (s s 0 )µ (ξ s ), unde ξ s (s 0, s) sau ξ s (s, s 0 ). Înlocuind obţinem dist((ρ µ)(s), δ u ) 0 = lim s s0 (s s 0 )µ. (ξ s ) Dar lim s s0 µ (ξ s ) = µ (s 0 ) şi deci lim s s0 dist((ρ µ)(s),δ u ) (s s 0 ) = 0.

30 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Demonstraţie. Din aria paralelogramului construit pe vectorii u şi ρ(t) ρ(t 0 ) aplicaţi în ρ(t 0 ), exprimată în două moduri, obţinem dist(ρ(t), δ u ) =, de unde rezultă (ρ(t) ρ(t 0 )) u u dist(ρ(t), δ u ) dist(ρ(t), δ u ) lim = 0 lim t t 0 t t 0 t t0 t t 0 1 ρ(t) lim t t0 u 1 u ρ (t 0 ) u = 0 ρ (t 0 ) u. = 0 ρ(t 0 ) t t 0 u = 0 Observaţia 2.3.4. Dacă notăm f u (t) = dist(ρ(t), δ u ), atunci t 0 este un punct de minim absolut. Dar, pentru u neparalel cu ρ (t 0 ), f u nu este derivabilă în t 0 : f s(t 0 ) = f d(t 0 ) = 1 u ρ (t 0 ) u. Dacă u ρ (t 0 ), atunci f u este derivabilă în t 0 şi, desigur, f u (t 0) = 0. Propoziţia anterioară, precum şi cea care urmează, are caracter geometric, rezultatul rămânând acelaşi dacă se schimbă parametrizarea. Propoziţia 2.3.2. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată. Fie t I fixat şi {t n } n N I astfel încât lim n t n = t, iar t n t. Atunci dreptele determinate de ρ(t ) şi ρ(t n ) tind, sau au poziţie limită, tangenta la ρ în t. Demonstraţie. Reamintim că pe o vecinătate a lui t funcţia vectorială ρ este injectivă, iar un vector unitar care dă direcţia dreptei determinate de ρ(t ) şi ρ(t n ) este ρ(t n ) ρ(t ) ρ(t n ) ρ(t ).

2.3. Tangenta într-un punct al unei curbe regulate 31 Presupunem t n > t. Avem lim n ρ(t n ) ρ(t ) ρ(t n ) ρ(t ) = lim ρ(t n ) ρ(t ) n 1 t n t ρ(tn) ρ(t ) t n t = ρ (t ) ρ (t ) care este un vector paralel cu ρ (t ). Dacă t n < t, atunci limita de mai sus ne va da ρ (t ) ρ (t ) care este din nou un vector paralel cu ρ (t ). Observaţia 2.3.5. În Propoziţia de mai sus am putea alege ca vector care dă direcţia dreptei determinate de ρ(t ) şi ρ(t n ) pe ρ(tn) ρ(t ) t n t, n N. ρ(t Evident, lim n) ρ(t ) tn t t n t = ρ (t ). Observaţia 2.3.6. Alegerea vectorului care dă direcţia dreptei determinate de ρ(t ) şi ρ(t n ) nu este foarte importantă. Într-adevăr, fie v n un vector nenul care dă direcţia dreptei ρ(t )ρ(t n ), v n (ρ(t n ) ρ(t )), n N. Presupunem că lim n v n = v R 3 \{0}. Considerăm acum w n un alt vector nenul care dă direcţia dreptei ρ(t )ρ(t n ), n N. Deci w n = a n v n, a n R. Dacă lim n w n = w R 3, atunci există lim n a n = a R şi deci w = av adică w v. Propoziţia 2.3.3. Punctele de pe tangentă aproximează până la primul ordin punctele de pe curbă situate într-o vecinătate a punctului de tangenţă. Demonstraţie. Am văzut că lim t t0 dist(ρ(t),δ ρ (t0 ) ) t t 0 = 0. Notăm f(t) = dist(ρ(t), δ ρ (t 0 )). Avem f(t 0 ) = 0 şi f (t 0 ) = 0. Din formula lui Taylor, sau direct, rezultă că există α : I R continuă, α(t 0 ) = 0, astfel încât f(t) = (t t 0 )α(t), t I. Observaţia 2.3.7. Dacă curba este plană, din forma locală a curbelor plane, ce va fi studiată mai târziu în acest capitol, şi din formula distanţei de la un punct arbitrar la o dreaptă dată, rezultă că f este netedă pe (t 0 ε, t 0 + ε).

32 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Dacă ecuaţia tangentei la ρ în t 0 este Ax + By + C = 0, atunci pentru t (t 0 ε, t 0 + ε) putem presupune că f(t) = Ax(t) + By(t) + C A 2 + B 2. Evident, f este netedă şi f (t 0 ) = 0. 2.4. Planul osculator la o curbă într-un punct neinflexionar Definiţia 2.4.1. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 o reprezentare a sa. Punctul ρ(t 0 ) se numeşte punct neinflexionar dacă vectorii ρ (t 0 ) şi ρ (t 0 ) sunt necoliniari, adică ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) 0. În caz contrar, ρ(t 0) se numeşte punct inflexionar sau punct de inflexiune. Definiţia 2.4.2. O curbă regulată C având doar puncte neinflexionare se numeşte curbă biregulată. Definiţia punctului neinflexionar este corectă: Dacă ρ µ este o altă reprezentare a lui C, atunci (ρ µ) (s 0 ) = ρ (µ(s 0 ))µ (s 0 ), iar (ρ µ) (s 0 ) = ρ (µ(s 0 ))(µ (s 0 )) 2 + ρ (µ(s 0 ))µ (s 0 ). Prin urmare (ρ µ) (s 0 ) (ρ µ) (s 0 ) = (µ (s 0 )) 3 ρ (t 0 ) ρ (t 0 ). Cum µ (s 0 ) 0 rezultă că (ρ µ) (s 0 ) (ρ µ) (s 0 ) 0 dacă şi numai dacă ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) 0. Propoziţia 2.4.1. Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată prin lungimea de arc. Atunci ρ(t 0 ) este punct neinflexionar dacă şi numai dacă ρ (t 0 ) 0. Demonstraţie. Din ρ (t) = 1, t I, prin derivare rezultă că ρ (t) ρ (t), t I. Prin urmare şi deci concluzia. ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) = ρ (t 0 ),

2.4. Planul osculator la o curbă într-un punct neinflexionar 33 Propoziţia 2.4.2. O curbă regulată C are numai puncte inflexionare dacă şi numai dacă este un segment de dreaptă. Demonstraţie. Fie ρ : I R 3 un reprezentant al lui C paramerizat prin lungimea de arc, adică ρ (t) = 1, t. Curba C are numai puncte inflexionare dacă şi numai dacă ρ (t) = 0, t I, de unde, integrând de două ori obţinem ρ(t) = ta + b, t, unde a R 3, a = 1, şi b R 3. Definiţia 2.4.3. Planul osculator la curba regulată C într-un punct neinflexionar ρ(t 0 ) este planul ce trece prin ρ(t 0 ) şi are direcţia planară dată de vectorii ρ (t 0 ) şi ρ (t 0 ). Definiţia este corectă deoarece am văzut că span{ρ (t 0 ), ρ (t 0 )} = span{(ρ µ) (s 0 ), (ρ µ) (s 0 )}, unde span{a, b} reprezintă subspaţiul vectorial generat de vectorii a şi b. Vom mai spune şi planul osculator la ρ în t 0. Observaţia 2.4.1. Noţiunea de plan osculator la C în ρ(t 0 ) este legată de argumentul t 0 ; mai spunem şi planul osculator la ρ în t 0. Ecuaţia vectorială parametrică a planului osculator la C în ρ(t 0 ) este r = ρ(t 0 ) + s 1 ρ (t 0 ) + s 2 ρ (t 0 ), s 1, s 2 R 8>< >: x = x(t 0) + s 1x (t 0) + s 2x (t 0) y = y(t 0 ) + s 1 y (t 0 ) + s 2 y (t 0 ), z = z(t 0 ) + s 1 z (t 0 ) + s 2 z (t 0 ) ecuaţia vectorială: r ρ(t 0 ), ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) = 0, ecuaţiile parametrice sunt iar ecuaţia canonică este dată de x x(t0) x (t0) x (t0) y y(t 0 ) y (t 0 ) y (t 0 ) z z(t 0 ) z (t 0 ) z (t 0 ) s 1, s 2 R, = 0.

34 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Propoziţia 2.4.3. O curbă biregulată C este plană dacă şi numai dacă toate planele osculatoare asociate coincid. Demonstraţie. Presupunem că C π 0. Notăm cu n un vector normal la π 0. Considerăm ρ : I R 3 o reprezentare a lui C şi fixăm t 0 I. Avem n, ρ(t) ρ(t 0 ) = 0, t, de unde, prin derivări succesive obţinem n, ρ (t) = 0, t, şi n, ρ (t) = 0, t. Prin urmare n ρ (t) ρ (t), t, deci n este un vector normal şi pentru planul osculator la C în ρ(t), t. Cum planul osculator la C în ρ(t) conţine ρ(t), ca şi π 0, rezultă că el coincide cu π 0, t. Reciproca este evidentă deoarece planele oculatoare conţin punctul. Vom da acum o caracterizare a planului osculator Teorema 2.4.1. Fie C o curbă regulată, ρ : I R 3 un reprezentant al său şi ρ(t 0 ) un punct neinflexionar. Considerăm u R 3, u ρ (t 0 ) 0, şi planul π u ce trece prin ρ(t 0 ) şi are direcţia planară determinată de ρ (t 0 ) şi u. Planul π u este planul osculator la C în ρ(t 0 ) dacă şi numai dacă (2.4.8) lim t t0 dist(ρ(t), π u ) (t t 0 ) 2 = 0, unde dist(ρ(t), π u ) reprezintă distanţa de la ρ(t) la planul π u. (t ) 0. u. (t 0 ) (t) Demonstraţie. Se verifică uşor că relaţia (2.4.8) are caracter geometric. Apoi, din volumul paralelipipedului construit pe vectorii u, ρ (t 0 ) şi ρ(t) ρ(t 0 ) aplicaţi în ρ(t 0 ) obţinem (2.4.9) dist(ρ(t), π u ) = (ρ(t) ρ(t 0), ρ (t 0 ), u) ρ. (t 0 ) u

2.4. Planul osculator la o curbă într-un punct neinflexionar 35 Scriem formula lui Taylor pentru funcţia vectorială ρ(t) şi obţinem ρ(t) = ρ(t 0 ) + t t 0 1! ρ (t 0 ) + (t t 0) 2 ρ (t 0 ) + (t t 0 ) 2 α(t), 2! unde α este continuă şi α(t 0 ) = 0. Înlocuim ρ(t) în (2.4.9) şi, folosind proprietăţile produsului mixt, obţinem şi deci dist(ρ(t), π u ) (t t 0 ) 2 = ( 1 2 ρ (t 0 ) + α(t), ρ (t 0 ), u) ρ (t 0 ) u dist(ρ(t), π u ) lim t t 0 (t t 0 ) 2 = 1 2 (ρ (t 0 ), ρ (t 0 ), u) ρ. (t 0 ) u Prin urmare lim t t0 dist(ρ(t),π u ) (t t 0 ) 2 = 0 dacă şi numai dacă u span{ρ (t 0 ), ρ (t 0 )}, adică π u este planul osculator la C în ρ(t 0 ). În demonstra- Notăm f(t) = dist(ρ(t), π), unde π este planul osculator. ţia de mai sus am văzut că putem scrie f sub forma (2.4.10) f(t) = (t t 0 ) 2 β(t), t I, unde β este o funcţie continuă cu β(t 0 ) = 0. Putem deci spune că punctele din planul osculator aproximează până la ordinul al doilea punctele de pe curbă dintr-o vecinătate a punctului de tangenţă. La acelaşi rezultat putem ajunge şi altfel. Din forma locală a curbelor în spaţiu, ce va fi studiată mai târziu în acest capitol, şi din formula distanţei de la un punct arbitrar la un plan dat, rezultă că f este netedă pe (t 0 ε, t 0 + ε)\{t 0 }. Într-adevăr, presupunem că ecuaţia planului osculator la ρ în t 0 este Ax + By + Cz + D = 0. Atunci, cum ρ(t) aparţine planului osculator la ρ în t 0 numai pentru t = t 0, când t (t 0 ε, t 0 ) putem presupune că Ax(t) + By(t) + Cz(t) + D f(t) =, A 2 + B 2 + C 2 iar pentru t (t 0, t 0 + ε) f(t) = Ax(t) + By(t) + Cz(t) + D A 2 + B 2 + C 2.

36 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Cum vectorul (A, B, C) este paralel cu ρ (t 0 ) ρ (t 0 ), rezultă că lim t t0 f (t) = 0 şi lim t t0 f (t) = 0. Prin urmare există f (t 0 ) = 0. Analog, există f (t 0 ) = 0. Deci f este de clasă C 2 pe (t 0 ε, t 0 + ε) şi din formula lui Taylor obţinem 2.4.10. Propoziţia 2.4.4. Fie C o curbă regulată, ρ : I R 3 un reprezentant al său şi ρ(t ) un punct neinflexionar. Considerăm un şir {t n } n N I astfel încât lim t n t şi t n t, n N. Atunci planele care conţin n tangenta la ρ în t şi ρ(t n ) au ca poziţie limită planul osculator. Demonstraţie. Notăm cu π n planul ce conţine tangenta la ρ în t şi ρ(t n ), n N. Direcţia planară a lui π n este dată de vectorii ρ (t ) şi ρ(t n ) ρ(t ). Din formula lui Taylor pentru funcţia vectorială ρ(t) obţinem: ρ(t n ) ρ(t ) = t n t 1! ρ (t ) + (t n t ) 2 ρ (t ) + (t n t ) 2 α(t n ), 2! unde α : I R este continuă şi α(t ) = 0. Evident 2 1 span{ρ (t ), ρ(t n ) ρ(t )} = span ρ (t ), (t n t ) 2 ρ (t ) + α(t n ) ª = span{ρ (t ), ρ (t ) + 2α(t n )}. Prin urmare direcţia planară a lui π n tinde, pentru n, la span{ρ (t ), ρ (t )}, adică poziţia limită a planelor π n este planul osculator. 2.5. Curbura unei curbe regulate Intuitiv, segmentul de dreaptă are curbura nulă, iar cercul are curbura constantă nenulă. În cele ce urmează, vom defini riguros noţiunea de curbură şi vom arăta că ea corespunde intuiţiei noastre. Definiţia 2.5.1. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 un reprezentant al său parametrizat prin lungimea de arc. Vectorul ρ (t 0 ) se numeşte vectorul de curbură al curbei C în ρ(t 0 ), iar k(t 0 ) = ρ (t 0 ) se numeşte curbura curbei C în ρ(t 0 ) (sau curbura lui ρ în t 0 ).

2.5. Curbura unei curbe regulate 37 Cele două noţiuni sunt corecte (au caracter geometric): Dacă ρ µ este un alt reprezentant al lui C parametrizat prin lungimea de arc, atunci µ = ±1 şi avem: (ρ µ) (s) = ρ (µ(s))µ (s) (ρ µ) (s) = ρ (µ(s))(µ (s)) 2 + ρ (µ(s))µ (s) = ρ (µ(s)). Evident rezultăe k(s) = (ρ µ) (s) = ρ (µ(s)) = k(µ(s)). Propoziţia 2.5.1. Curbura unei curbe regulate este nulă dacă şi numai dacă curba reprezintă un segment de dreaptă. Demonstraţie. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 un reprezentant al lui C parametrizat prin lungimea de arc. Evident, ρ (t) = 0, t, dacă şi numai dacă ρ(t) = ta + b, unde a, b R 3 şi a = 1. Prin urmare, curbura reprezintă o măsură a abaterii de la segmentul de dreaptă. Dacă C reprezintă un cerc de rază R, atunci se verifică uşor că ea are curbura constantă k = 1 R > 0. Notăm că funcţia curbură k este, în general, doar continuă. Dacă presupunem că k(t) > 0, pentru orice t, atunci funcţia curbură k : I R este netedă. Întotdeauna însă k2 este funcţie netedă. Interpretarea geometrică a curburii. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 o reprezentare a lui C parametrizată prin lungimea de arc. Fie t 0 I. Vectorii ρ (t 0 ) şi ρ (t) aplicaţi în ρ(t 0 ) formează un triunghi isoscel ( ρ (t 0 ) = ρ (t) ). Notăm θ t = (ρ (t), ρ (t 0 )), pentru t t 0, iar pentru t < t 0 definim θ t = (ρ (t), ρ (t 0 )). Din teorema cosinusului obţinem: ρ (t) ρ (t 0 ) 2 = ρ (t) 2 + ρ (t 0 ) 2 2 ρ (t) ρ (t 0 ) cos θ t = 2 2 cos θ t = 4 sin 2 θ t 2.

38 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR Evident θ t0 = 0, θ t [0, π], θ t are caracter geometric, şi avem: 8< = lim t : k(t 0 ) = ρ (t 0 ) = t t0 lim ρ (t) ρ (t 0 ) t t 0 1 = lim t t t 0 2 sin θ t 2 θ = lim t θ0 t = lim t t 0 t t 0 θ t t t 0 = θ (t 0 ). θ sin θt 2 t 2 θ t t t 0 9 = ; Prin urmare, curbura k(t 0 ) unei curbe parametrizate prin lungimea de arc ρ : I R 3 reprezintă viteza de rotaţie a vectorului ρ (t) = T (t) în t 0. Notăm de asemenea că t t 0 = lûρ(t şi atunci k(t θ 0) = lim t. 0 )ρ(t) t t0 lúρ(t 0 )ρ(t) Prin urmare putem da o nouă definiţie pentru curbură Definiţia 2.5.2. Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 un reprezentant al său arbitrar. Definim curbura curbei C în ρ(t 0 ) ca fiind numărul pozitiv (T (t 0 ), T (t)) k(t 0 ) = lim. t t0 lûρ(t 0 )ρ(t) Evident, definiţia are caracter geometric. 2.5.1 Exprimarea curburii într-o parametrizare arbitrară Fie C o curbă regulată şi ρ : I R 3 o reprezentare a sa. Ştim că există o schimbare de parametru λ, s = λ(t), astfel încât ρ λ 1 să fie parametrizată prin lungimea de arc. Reamintim că λ (t) = ρ (t) şi notăm µ = λ 1. În punctul ρ(t 0 ) = (ρ µ)(s 0 ), curbura este k(t 0 ) =e k(s0 ) = (ρ µ) (s 0 ). Vrem să exprimăm (ρ µ) (s 0 ) numai în funcţie de ρ şi derivatele sale în t 0. Avem (ρ µ) = ρ µ şi (ρ µ) = ρ (µ ) 2 + ρ µ. Dorim să înlocuim µ şi µ în ultima expresie. Deoarece µ (s) = È ρ (µ(s)), ρ (µ(s)) 1 λ (µ(s)) = 1 ρ (µ(s)) = 1

2.5. Curbura unei curbe regulate 39 obţinem Deci ρ (µ(s)), ρ (µ(s)) ρ (µ(s)) 2 = 1 d 2 ds ρ (µ(s)), ρ (µ(s)) ρ (µ(s)) 3 = 1 2 ρ (µ(s))µ (s), ρ (µ(s)) 2 ρ (µ(s)) 3 = µ (s) ρ (µ(s)), ρ (µ(s)) ρ (µ(s)) 3 = ρ (µ(s)), ρ (µ(s)) ρ (µ(s)) 4 = ρ, ρ ρ 4 (µ(s)). µ (s) = d dsè Prin urmare (ρ µ) (s) = ρ 1 (µ(s)) ρ (µ(s)) 2 ρ (µ(s)) ρ, ρ ρ 4 (µ(s)) = 1 ρ 4 { ρ 2 ρ ρ, ρ ρ } = 1 ρ 4 { ρ, ρ ρ ρ, ρ ρ } = 1 ρ 4 ρ (ρ ρ ). (ρ µ) (s 0 ) = 1 ρ (t 0 ) 4 ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) = ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) 3. Putem defini curbura unei curbe parametrizate regulate ρ : I R 3 prin (2.5.11) k(t 0 ) = ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) 3. Această definiţie are caracter geometric. Într-adevăr, fie λ : I J o schimbare de parametru, s = λ(t), şi ρ µ curba echivalentă cu ρ, µ = λ 1. Considerăm apoi λ 1 : I e I, e t = λ1 (t), o schimbare de parametru astfel încât ρ µ 1 : e I R 3 este parametrizată tot prin lungimea de arc, µ 1 = λ 1 1,

40 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR şi λ 2 : J e J,es = λ 2 (s), astfel încât (ρ µ) µ 2 : e J R 3 este parametrizată prin lungimea de arc, µ 2 = λ 1 2. Avem (2.5.12) şi ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) ρ (t 0 ) 3 = (ρ µ 1 ) (e t0 ) (2.5.13) (ρ µ) (s 0 ) (ρ µ) (s 0 ) (ρ µ) (s 0 ) 3 = ((ρ µ) µ 2 ) (es 0 ). Dar ρ µ 1 şi (ρ µ) µ 2 = (ρ µ 1 ) (µ 1 1 µ µ 2 ) sunt curbe echivalente parametrizate prin lungimea de arc şi prin urmare (2.5.14) (ρ µ 1 ) (e t0 ) = ((ρ µ) µ 2 ) (es 0 ). Din (2.5.12), (2.5.13) şi (2.5.14) rezultă că definiţia (2.5.11) are caracter geometric. Desigur, caracterul geometric al relaţiei (2.5.11) poate fi demonstrat şi direct ţinând cont de legătura dintre derivatele lui ρ în t 0 şi derivatele lui ρ µ în s 0. Observaţia 2.5.1. Notăm că nici o noţiune introdusă până acum în acest capitol nu depinde de orientarea aleasă pe R 3. 2.6. Reperul lui Frenet Fie ρ : I R 3 o curbă parametrizată regulată ce conţine numai puncte neinflexionare, adică ρ (t) ρ (t) 0, t I. Pentru fiecare t 0 I vom defini un reper ortonormat orientat pozitiv R(t 0 ) = {ρ(t 0 ); (T (t 0 ), N(t 0 ), B(t 0 ))} numit reperul lui Frenet asociat lui ρ în t 0. Ca de obicei, baza canonică (e 1, e 2, e 3 ) este considerată ca fiind orientată pozitiv în R 3. Primul vector T (t 0 ) = ρ (t 0 ) ρ (t 0 se numeşte vectorul unitar al tangentei la ) ρ în t 0. Acest vector nu are caracter geometric: