1. Definisati mehanički rad, snagu, energiju i napisati formule u slučaju translacije i rotacije. Rad se određuje proizvodom sile koja djeluje na tijelo i rastojanja koje tijelo pređe usljed djelovanja te sile. Translacija: W = F s cos( F, s), F=const, kad je F const : W = lim Δ s n i=1 s F Δ s= F d s [ J ] s1 Rotacija: dw = F ds=f r d θ=m d θ Energija je sposobnost tijela da izvrši rad. Potencijalnu energiju tijelo posjeduje zahvaljujući svom trenutnom položaju. E p =m g h Kinetičku energiju tijelo posjeduje usljed kretanja na nekom putu. zatranslaciju: E k = (m v² ) za rotaciju: E k = (m i v i ²) Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prenosa energije. W =M θ = (m i r i ² v i ²) = I ω ² zatranslaciju : p= dw dt = F d s = F v dt za rotaciju : p= dw dt = M d θ =M ω dt. Definisati šta je matematičko klatno i izvesti izraz za period oscilovanja. Matematičko klatno je sistem koji se sastoji od tačkastog tijela zanemarljivih dimenzija i mase m, koje visi na vrlo laganoj nerastegljivoj niti dužine l. Kada tijelo miruje na njega djeluje gravitaciona sila prema dole i sila zatezanja prema gore. Povlačenjem tijela iz stanja ravnoteže tijelo počinje da osciluje. Matematičko klatno osciluje harmonijski samo za male amplitude, dok je za veće amplitude period oscilovanja klatna funkcija amplitude. Jednačina kretanja matematičkog klatna: m a t = m g sin(θ) a t =l α= l d² θ dt² m l d² θ = m g sin (θ) dt² kad je ugao θ mali sin (θ)=θ d² θ dt² + g l θ= To je jednačina harmonijskih oscilacija θ=θ sin(θ t+ϕ)=θ sin ( g l t+ϕ) Period oscilovanja matematičkog klatna zavisi samo od dužine niti l i gravitacionog ubrzanja g. ω t= g l t π ω= T T =π l t
3. Izvesti izraz za energiju elastičnih valova. Iz sredine kroz koju se prostire longitudinalni talas izdvojiti ćemo elementarni volumen Δ V, u kojem se brzina i deformacije mogu smatrati istim u svim tačkama. Ukupna energija sistema se dobije preko porencijalne energija elastične deformacije pri sabijanju/istezanju i kinetičke energije. Energija sabijenog štapa za Δ l je: Δ l W = F dx (1) x - izduženje u procesu deformacije Prema Hukovom zakonu sila koja odgovara izduženju ima oblik: F = E S x () l Uvrštavanjem () u (1) dobijemo izraz za energiju deformisanog tijela Δ l E S x dx= E S x² l l Δ l = E S l ( Δ l )² l W = A konačni izraz za potencijalnu energiju je E p = E V ϵ² Δ E =ρ v² p ( σ Ψ σ x )² Δ V, E k - kinetička energija je E k = ρ ΔV ( σ Ψ σ t ) ² E=E k + E p = ρ Δ V (( σ Ψ σ t )²+v² ( σ Ψ σ x )²) ϵ=( σ Ψ σ x ) 4. Slaganje harmonijskih oscijalcija istog smijera i iste frekvencije. Dva harmonijska oscilovanja istog smijera i iste frekvencije: x 1 = A 1 cos(ωt+ϕ 1 ) i x = A cos(ω t+ϕ ) Rezultirajuće pomijeranje tijela ide po algebarskom zbiru oba pomijeranja: x=x 1 +x = A 1 cos(ωt+ϕ 1 )+ A cos(ω t+ϕ ) Ako oba oscilovanja predstavimo preko vektora amplituda A 1 i A, projekcija rezultirajućeg vektora na x osu je jednaka sumi vektora koji se slažu: x= x 1 + x Rezultantno oscilovanje će biti: x= Acos(ω t +ϕ) i za t= preko kosinusne teoreme imamo: A²= A 1 ² +A ²+ A 1 A cos(ϕ ) odnosnotg ϕ= A 1 sin ϕ 1 + A sin ϕ A 1 cos ϕ 1 + A cosϕ Ako je razlika faza između dva titranja jednaka ta titranja nazivamo koherentna. ϕ =const. Ako je ϕ =π n; n=,1,, 3... tada je cos(ϕ )=1 ; A= A 1 + A Ako je ϕ =(n +1)π ; n=,1,,3... tada je cos(ϕ )=1; A= A 1 + A
5. Zakon očuvanja momenta količine kretanja. Ako je vektorski zbir momenta svih vanjskih sila u odnosu na neku tačku jednak je nuli, tad je ukupni moment količine kretanja sistema konstantan i po smijeru i po iznosu. M = d l dt Kako unutrašnje sile u sistemu ne mogu promijeniti moment količine kretanja, slijedi da je u zatvorenom sistemu moment količine kretanja sačuvan. Ako se sistem vrti oko z-ose tad je moment količine kretanja u smijeru z-ose: L z =I z ω Ako je sistem izoliran: L z =I z ω=const Ako je mehanički sistem čvrsto tjelo I z =const tada slijedi i da je ω=const tj. tijelo se rotira oko ose stalnom ugaonom brzinom. 6. Definisati zvuk i nivo jačine zvuka. Zvuk je osjećaj koji potiče od mehaničkih oscilacija koje primauho, a registruje mozak. Pod zvukom podrazumjevamo sve mehaničke oscilacije frekvencije od Hz do khz koliko iznosi granica čujnosti. Grana fizike koja proučava zvuk je akustika. Mehaničke oscilacije čija je frekvencija ispod Hz nazivamo infrazvuk, a mehanike oscilacije sa frekvencijom iznad khz nazivamo ultrazvuk. Pod jačinom zvuka nazivamo odnos srednje snage P koja se prenosi talasom i površine S koja je okomita na pravac prostiranja talasa: I = P S Nivo jačine zvuka predstavlja subjektivnu jačinu zvuka L=k log I I, = L=const k - koef. proporcionalnosti k = 1 jedinica za jačinu zvuka je u belima. U praksi koristimo 1 puta manju jedinicu decibel db L=1 log Prag čujnosti L= 5 db a prag bola je L=1 db, uho najbolje čuje na frekvencijama od 7 Hz do 5 khz. 7. Zakon premalanja valova Zakon prelamanja valova kaže da je valni front pri prolasku iz jedne sredine u drugu promijenio prevac tj. da je došlo do prelamanja vala. I I = log P P Po Huygensovom principu pri uradu valne fronte AB o graničnu površinu svaka točka te površine postane izvor elementarnog vala. Vrijeme koje prođe od udara vala u tačku A pa do udara u tačku C je: BC t= v V 1 brzina zvukau prvoj sredini za 1 to vrijeme t elementarni val iz tačke A pređe put AD AD krećući se brzinom v t= v
kako je BC > AD v 1 >v Iz pravouglih rouglova imamo da je: BC AD = (*) v 1 v BC=sin α AC AD=sinβ AC uvrstimo u (*) i dobijemo index prelamanja vala između dvije sredine:n 1 = v 1 = sin α v sin β α upadni ugao, β prelomni ugao 8. Izvesti izraz za ukupnu energiju harmonijskog oscilatora. Kvazielastična sila je konzervativna i prilikom oscilovanja harmonijskog oscilatora ukupna energija je konstantna, samo što dolazi do prelaska kinetičke u potencijalnu i obratno. Maksimalna potencijalna energija je kad se sistem nalazi na najvećem otklonu tj. kad je x = A E k( max) = m v² m ω ² A² = ω ²= k m m ω ² A² E= E p +E k = = k A² =const. E p i E k možemo pisati preko trigonometerijskih funkcija: E p =E cos²(ωt +ϕ)=e [ 1 + 1 cos (ωt +ϕ) ] E k = E sin²(ω t+ϕ)= E [ 1 1 cos(ωt+ϕ) ] Srednja vrijednost kvadrata sinusa i kosinusa je 1, pa iz toga slijedi da je srednja vrijednost E k i E p jednaka i iznosi E p =E k = 1 E. 9. Definisati kruto tijelo i moment sile. Kada sila djeluje na neko tijelo moguće su dvije pojave: tijelo se deformiše ili tijelo se kreće (kruto tijelo). Dakle ukoliko tijelo ne mijenja svoj oblik pod uticajem sile onda je to kruto tijelo. Kretanje krutog tijela se sastoji od translacije i rotacije. Translatorno kretanje je takvo kretanje kod kojeg sve čestice krutog tijela prelaze jednaku putanju. Kada tijelo se kreće rotaciono, uticaj sile koja je izazvala to kretanje opisuje se njenim momentom. Neka neka materijalna točka kruži po kružnici poluprečnika r. Ako je kruženje ubrzano na tačku djeluje sila sa normalnom komponentom F t =m r α=m α t Tangencionalnu komponentu pomnožimo sa r : m r² α=m r α :t, m a t =F sin ϕ m r² α=r F sin ϕ ili r x F =m r² α, m r ²=I, M = r x F pa je krajnji oblik: M = I α
1. Diferencijalna jednačina prigušenih oscilacija. U stvarnosti gubici energije su uvijek prisutni i kod elastične opruge to se vidi jer nakon nekog vremena prestane titrati. Za takva titaranja kažemo da su prigušena. Gore navedeno najlakše je dokazati uranjanjem opruge u viskoznu tečnost gdje imamo izraženu silu trenja. Sila trenja koja se protivi kretanju opruge je proporcionalna brzini kretanja. F d x = b v= b dt, b konstantna prigušenja Jednačinu kretanja pišemo preko II Njutnovog zakona: m a= F tr + F el d²x dt² + b m dx dt + k m x=, k m =ω ² d²x dx + δ dt² dt +ω ² x=, b m = δ = ω k o vlastita frekvencija neprigušenih oscilatora m δ faktor prigušenja 11. Napisati izraz za gustinu energije elastičnog talasa i definisati fluks. Ukoliko posmatramo sredinu kroz koju se prostire longitudinalni talas i izdvojimo mali dio te sredine Δ V kažemo da se u njemu ukupna energija sastoji iz potencijalne (nastala pri istezanju ili sabijanju) i kinetičke energije. Δ E=Δ E p +Δ E k Δ E p = ρ V² ( Ψ x ) ² Δ E k =ρ Δ V ( Ψ t ) ² Δ E= ρ Δ V ( V² ( Ψ x ) ²+ ( Ψ t ) ² ) / : Δ V, Gustina energije je proporcionalna gustini sredine kvadratu apmlitude i kvadratu frekvencije. Fluks energije je skalarna veličina čije su dimenzije jednake dimenziji energije podjeljenje sa dimenzijama vremena. Mjeri se u watima [W]. Fluks može biti različit u različitim tačkama prostora i tu uvodimo veličinu gustine toka energije. Smjer vektora gustine fluksa se poklapa sa smjerom toka energije. j =u v Srednja vrijednost vektora gustine fluksa energije: j=u v= ρ A ω v Δ E Δ V =U U = ρ (( Ψ t ) ²+V² ( Ψ x ) ) ² (*) Parcijalnim dif. jednadžbe vala po x i y dobivamo: Ψ t = A ω sin ω ( t x V ) (**) Ψ x = ω V Asin ω ( t x V ) (***) (***) i (**) u (*) U = ρ A² ω² sin² (t x V ) U = ρ A² ω ²
1. Diferencijalna jednačina prisilnih oscilacija. Kada vanjska periodična sila djeluje na sistem koji može oscilovati nastaju prisilne oscilacije. Sila koja djeluje je: F v =F sin ω t a jednadžba kretanja za ovakvo kretanje je: m a= kx b V + F V m d²x dx = kx b dt² dt +F sin ωt ili 13. Definisati moment inercije krutog tijela i napisati Štajnerovu teoremu. Moment inercije I je veličina koja predstavlja mjeru tromosti tijela pri rotaciji. Kruto tijelo je homogeno i gustina mu je konstantna pa je moment inercije krutog tijela: I = r dm= ρ r dv Štajnerov obrazac: I =I c +md Moment inercije oko ma koje ose se može dobiti kao zbir momenata inercije oko ose koja prolazi kroz centar mase i proizvoda mase tijela i kvadrata udaljenosti centra mase i objesišta. 14. Definisati i nacrtati (vektorski) moment količine kretanja. ẍ+δ ẋ+ω ² x= F m sin ωt=a sin ω t δ faktor prigušenja A amplituda vanjskog oscilatora Jednačina za oscilovanje s prisilom frekvencijom ω : x(t)= A(ω)sin (ωt ϕ) ϕ kašnjenje u fazi oscilovanja vanjskog oscilatora Ono što sila predstavlja za translaciju, to moment sile znači za rotaciju. Veličina analogna količini kretanje je moment količine kretanja. Moment količine kretanja L materijalne tačke mase m i količine kretanja p=m v je vektorski proizvod radijus vektora r i količine kretanja: L= r x p= r x m v Smjer L je isti kao i smjer od ω. L=I ω [ kg m s ] 15. Interferencija talasa. Konstruktivna i destruktivna interferencija. Ako se u sredini prostire više talasa, oni se jednostavno superponiraju ne remeteći jedan drugog. Kada ovi talasi imaju konstantnu faznu razliku tada kažemo da su koherentni. Koherentni talasi su talasi iste frekvencije. Pri slaganju ovih talasa dolazi do interferencije tj. do oscilacije u jednim tačkama se pojačavaju, a u drugim slabe. Konstruktivna interferencija se javlja na mjestima gdje su oba oscilovanja u fazi i tu je razlika u fazi: k (r r 1 )=± nπ, n=, 1,
cos k (r r 1 ) =1 i tu je apmlituda A 1 +A = A Destruktivna interferencija se javlja na mjestima gdje su oscilovanja u suprotnim fazama i tu je razlika u fazi: k (r r 1 )=±(n+1)π,n=,1, cos k (r r 1 ) = i tu je amplituda A= A A 1 kad je A 1 = A A= 16. Izvesti izraz za srednju snagu zvučnih valova. Snaga P koja se prenosi valom, jednaka je količini energije koju prenosi zvučni val u jedinici vremena kroz jediničnu površinu, postavljenu okomito na pravac prostiranja vala. P=F v F = p s P= p s v (1) v= Ψ = Aω sin (ωt kx )() t () u (1) P=P A s ω sin (ωt kx ), sin (ωt kx )= 1 P sr =P A s ω 1, k= ω v, v= B ρ, P =k B A P sr = ρ s ρ v Srednja snaga proporcionalna je kvadratu amplitude promjene pritiska. 17. Idealne harmonijske oscilacije. Pod djelovanjem koje sile se javljaju? Jednačina harmonijskih oscilacija. Oscilovanja kod kojih se veličina koja osciluje mjenja po zakonu sinusa ili kosinusa u f-ji vremena su harmonijske oscilacije. Kada se sistem nalazi pod djelovanjem sile F = kx počne se kretati i to kretanje je harmonijsko kretanje. Jednačina kretanja za tijelo koje harmonijski osciluje je: ma= kx m d x = kx /: m d t d x d t + k m x=, k m =ω² d x d t +ω x= i krajnji oblik: x= A cos( ω t+ϕ)