Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44
Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija) za funkciju f ako vrijedi F (x) = f (x). Neodredeni integral je skup primitivnih funkcija: f (x) dx = F (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta. 2 / 44
Primjer Odredite skup funkcija čija je derivacija: a) y =, b) y = 2x, c) y = e x, d) y = sin x. Rješenje a) y(x) = x + C, b) y(x) = x 2 + C, c) y(x) = e x + C, d) y(x) = cos x + C, tj. dx = x + C, 2x dx = x 2 + C, e x dx = e x + C, sin x dx = cos x + C. 3 / 44
Zadatak Dokažite da je funkcija F primitivna funkcija za funkciju f, ako je: F (x) = x 2 a 2 + x 2 + a2 2 ln(x + a 2 + x 2 ) + C, f (x) = a 2 + x 2. Zadatak Nadite funkciju čija je derivacija y = cos x, ako je za x = π 2 vrijednost funkcije 0. Zadatak Odredite primitivnu funkciju za funkciju f (x) = 2x + koja ima vrijednost za x = 0. 4 / 44
Tablica osnovnih integrala x a dx = x a+ + C; a ; a + 0 dx = C dx = x + C x dx = ln x + C, x 0 a x dx = ax ln a + C e x dx = e x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx cos 2 x = tg x + C dx sin 2 x = ctg x + C dx x 2 + a 2 = a arctg x a + C, a 0 dx a 2 x = arcsin x 2 a + C, a > 0 5 / 44
Pravila integriranja Iz definicije neodredenog integrala lako se dokazuju sljedeća svojstva: f (x)dx = f (x). d dx 2. d[f (x)] = f (x) dx = f (x) + C 3. Af (x) dx = A f (x) dx, gdje je A konstanta različita od nule 4. [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx 6 / 44
Neposredna integracija Zadatak Koristeći tablicu osnovnih integrala i pravila integriranja izračunajte neodredene integrale: a) (2x + e x 5 cos 2 x ) dx, b) ( 3 x + 2x 5 x 3 x ) dx, c) (6x + x 6 + 6 x ) dx, d) ( x + + ) dx, x 2 +x 2 e) ( x + 3 x + n x) dx, f) x x x dx, 7 / 44
Odredeni integral Newton-Leibnizova formula (veza izmedu odredenog i neodredenog integrala ) Ako je f (x) dx = F (x) + C, onda je b a f (x) dx = F (x) b a = F (b) F (a). 8 / 44
Zadatak Pomoću Newton-Leibnizove formule izračunajte odredene integrale: a) c) e) 2 /2 0 x(x + ) dx, b) ln 2 x dx, d) dx, f) 4 x 2 0 0 e x dx, +x 2 dx, ( x x ) dx, g) 2 x dx, h) 3π 4 0 cos x dx, 9 / 44
Metoda supstitucije Ako u integralu f (x)dx uvedemo supstituciju x = g(t), dx = g (t)dt, dobivamo: f (x)dx = f (g(t))g (t)dt = H(t) + C = H(g (x)) + C. g je inverzna funkcija funkcije g. 0 / 44
Primjer Ako je f (x)dx = F (x) + C, dokažite da je f (ax + b)dx = af (ax + b) + C. Supstitucija: ax + b = t, adx = dt, dx = a dt. f (ax + b)dx = f (t)dt = a a F (t) + C = F (ax + b) + C. a Zadatak Koristeći rezultat prethodnog primjera i tablicu elementarnih integrala izračunajte integrale: a) (7x + )dx b) (2x 3) 20 dx c) 2x dx d) dx 3x+4 e) e 5x dx f ) 2 x+ dx g) sin(4x 3)dx h) cos(2 + 5x)dx i) sin 2 (3x 5) dx / 44
Primjer Dokažite da je f (x) f (x) dx = ln f (x) + C. Supstitucija: t = f (x), dt = f (x)dx. Dakle, f (x) f (x) dx = dt = ln t + C = ln f (x) + C. t Zadatak Koristeći rezultat prethodnog primjera izračunajte integrale: a) 2x 5 x 2 5x+7 dx b) tg xdx c) cos x +sin x dx d) e x +e x dx e) x +x 2 dx f ) dx x(+ln x) 2 / 44
Supstitucija i odredeni integral Odredeni integral dva načina: b f (x)dx metodom supstitucije možemo izračunati na a I. Supstitucijom x = g(t) izračunamo neodredeni integral f (x)dx = F (x) + C i primijenimo Newton-Leibnizovu formulu: b a f (x)dx = F (b) F (a) II. Pri supstituciji x = g(t) ne moramo se vraćati na varijablu x ako odredimo granice c i d za varijablu t: b a gdje je a = g(c) i b = g(d). f (x)dx = d c f (g(t))g (t)dt, 3 / 44
Primjer Izračunajte integral: 4 e x x dx. Rješenje Supstitucijom t = x izračunamo e x x dx = 2e x + C. Primijenimo Newton-Leibnizovu formulu: 4 e x x = 2e x 4 = 2e(e ). Pokažimo da se nismo morali vraćati na varijablu x, jer ako je x =, onda je t =, a ako je x = 4, onda je t = 2, pa je 4 e x 2 dx = 2 x e t dt = 2e t 2 = 2e(e ) 4 / 44
Zadatak Izračunajte integrale: a) π 4 0 sin 2xdx b) 9 x d) x dx e) e g) ln x x dx 2 2 h) π 0 (2x 3) 20 dx c) 0 4 2 xdx f ) cos 2 x 3 0 dx i) 0 2x dx e 2x +e 2x dx 4 x 2 dx 5 / 44
Metoda parcijalne integracije Metoda se sastoji od povoljnog rastava zadanog integrala u obliku: f (x)dx = u(x) dv(x) = u(x) v(x) v(x)du(x); b a f (x)dx = b Kraći zapis: udv = uv vdu. a b u(x) dv(x) = u(x) v(x) b a a v(x)du(x) 6 / 44
Zadatak Izračunajte integrale: a) e ln x dx, b) ln x dx Zadatak Izračunajte integrale: a) arcsin x dx b) (2x + ) ln x dx c) x 2 e x dx d) x sin(2x 5) dx e) (x ) cos 3x dx f ) e x sin x dx g) 0 ln(x + ) dx h) 0 xe x dx i) 0 arctg x dx 7 / 44
Integrali nekih jednostavnijih racionalnih funkcija Primjer Izračunajte: dx. x 2 a 2 Rješenje Podintegralna funkcija se prikaže pomoću parcijalnih razlomaka: x 2 a 2 = A x a + B x + a. Pomnožimo prethodnu jednakost s (x 2 a 2 ). Dobit ćemo A(x + a) + B(x a), za svaki x. Za x = a dobivamo A = 2a, a za x = a dobivamo B = 2a. x 2 a 2 dx = ( 2a dx x a ) dx x + a = 2a ln x a x + a + C 8 / 44
Zadatak Izračunajte integrale: (a) 2x+ x dx (b) x 2 x 2 dx (c) x 3 + x 2 +5 dx (d) 2x x 2 +4 dx (e) x 2 4 dx (f ) 2x x 2 4x+3 dx (g) 3x x 2 4x+8 dx (h) (x+) 2 x 3 x dx (i) x+2 x 2 2x+ dx 9 / 44
Integrali nekih jednostavnijih trigonometrijskih funkcija Za integrale trigonometrijskih funkcija koristimo identite: sin 2 x = cos 2x, cos 2 x = 2 + cos 2x, sin x cos x = sin2x 2 2 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α β)], 2 sin α sin β = [cos(α β) cos(α + β)], 2 cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α β)]. 2 20 / 44
Osim toga, koristimo i tzv. opću supstituciju za R(sin x, cos x) dx, pri čemu je R(x, y) = P(x,y) Q(x,y), a P(x, y) i Q(x, y) su polinomi u dvije varijable. Supstitucijom tg x 2 = t dobiva se : sin x = 2t t2 2dt, cos x =, x = 2 arctg x, dx = + t2 + t2 + t 2. Integral R(sin x, cos x) dx svodi se na R (t)dt, gdje je R (t) racionalna funkcija u varijabli t. 2 / 44
Primjer Izračunajte 4 sin x+3 cos x+5 dx. Rješenje Pomoću opće supstitucije tg x 2 dobiva se: = t i sredivanjem podintegralne funkcije 4 sin x + 3 cos x + 5 dx = dt (t + 2) 2 = t + 2 + C = tg x 2 + 2 + C 22 / 44
Zadatak Izračunajte integrale: () sin 2 3x dx (2) cos 4 x dx (3) sin 2 x cos 2 x dx (4) (5) sin x (7) π 3 0 dx (6) sin 2x cos 3x dx, (8) 2π 0 π 2 0 π 6 0 sin 3x cos 4x dx sin x cos 7 x dx, sin 2x cos 2 x dx 23 / 44
Integrali nekih iracionalnih funkcija Integrali koji se (odredenom supstitucijom) svode na jedan od integrala oblika: f (x, x 2 ± a 2 ) dx ili f (x, a 2 ± x 2 ) dx 24 / 44
Zadatak Izračunajte za a > 0: (a) a 2 x 2 dx (b) a 2 x 2 dx (c) x 2 ±a 2 dx Rješenje Integrale (a) i (b) možemo izračunati supstitucijom: x = a sin t, dx = a cos t dt, t = arcsin x a, a 2 x 2 = a cos t. (a) dx = a dt = t + C = arcsin x 2 x 2 a + C a (b) 2 x 2 dx = a 2 cos 2 t dt = a2 2 ( + cos2t) dt = a2 2 (arcsin x a + x a 2 a 2 x 2 ) + C 25 / 44
Rješenje (c) Supstitucija: x + x 2 ± a 2 = t, x 2 ±a 2 dx = t dt x 2 ± a 2 dx = t dt = ln t + C = ln x + x 2 ± a 2 + C 26 / 44
Nepravi integral Nepravi integral je integral kod kojeg područje integracije ima barem jednu beskonačnu granicu, ili kada funkcija unutar područja integracije nije omedena (na primjer, ima vertikalnu asimptotu). Neprave integrale računamo pomoću limesa. Ako je nepravi integral konačan, kažemo da konvergira, u protivnom divergira. 27 / 44
Integrali s beskonačnim granicama Primjer Ispitajte konvergenciju integrala : (a) x dx, s R; (b) a x dx, a > 0, a. s Rješenje (a) za s dx = lim x s b = lim b b x s x s dx = lim b s b b s. s Za s > integral konvergira jer je lim b b s = 0, pa je x = s s. 28 / 44
Rješenje Za s integral divergira jer je lim b b s =. Za s = integral divergira jer je x dx = lim ln x b b = lim [ln b ln ] = 0 =. b (b) a x dx = lim c c a x dx = lim c = ln a lim (a c ac ). a x ln a c Za a > integral konvergira jer je lim c ac = 0, pa je Za a < integral divergira jer je lim c ac =. a x dx = a. 29 / 44
Integrali neograničene funkcije Primjer 0 Izračunajte: 2 3 (+x) 2 dx Rješenje 0 3 ( + x) 2 2 dx = lim ε 0 + lim ε 2 0 dx ( + x) 2 3 δ 0 +δ dx ( + x) 2 3 = 3[ lim 3 + x ε ε 0 2 + lim 3 + x 0 +δ ] δ 0 = 3[ lim( 3 ε 3 ) + lim ( 3 3 δ)] ε 0 δ 0 = 6 30 / 44
Zadaci Zadatak Izračunajte: (a) + x 2 dx (b) 0 3 x dx (c) + x 2 dx Zadatak Izračunajte: (a) 0 3 x dx; (b) 2 x dx 3 / 44
Primjene odredenog integrala. Površina krivolinijskog trapeza omedenog dijelom krivulje funkcije y = f (x), f (x) 0, i pravcima x = a, x = b, izražena je odredenim integralom: P = b a f (x)dx. Ako je na intervalu (a, b) funkcija f (x) negativna, tj. f (x) < 0, onda je površina krivolinijskog trapeza predstavljena integralom: P = b a f (x) dx. 32 / 44
Površina krivolinijskog trapeza Ako je lik kojemu želimo izračunati površinu omeden dijelovima krivulja y = f (x) i y = f 2 (x) tj. S = {(x, y) R 2 : a x b, f (x) y f 2 (x)}, onda je površina skupa S: P(S) = b a (f 2 (x) f (x))dx. 33 / 44
Površina krivolinijskog trapeza Ako je lik kojemu želimo izračunati površinu omeden dijelovima krivulja x = g (y) i x = g 2 (y) tj. S = {(x, y) R 2 : c y d, g (y) x g 2 (y)}, onda je površina skupa S: P(S) = d c (g 2 (y) g (y))dy. 34 / 44
Površina krivolinijskog trapeza Zadatak Izračunajte i grafički prikažite površinu lika omedenog sa: a) y = 2x x 2, y = 0; b) y = e x, y = e x, x = ; c) y = ln x, x = e, y = 0. Rješenje a) P = 2 0 (2x x 2 )dx = (x 2 x3 3 ) 2 0 = 4 3. 0.5 0.5 0.5.0.5 2.0 0.5.0 35 / 44
Površina krivolinijskog trapeza Rješenje b) P = 0 (e x e x )dx = (e x + e x ) 0 = e 2 + e. 7 6 5 4 3 2 2 e c) P = ln xdx = x(ln x ) e =. 2 3 4 2 36 / 44
Površina krivolinijskog trapeza Zadatak Izračunajte i grafički prikažite površinu lika omedenog sa: a) y = 3 2x x 2, y = 0; b) y = x 2, y = 2 x 2 ; c) y = x 2 + 4x, y = x + 4; d) 4y = x 2, y = 4x; e) y = x 2, y = 2; f) y = sin x, y = cos x, x = 0, x = π 2 ; g) y = arcsin x, y = π 4, x =, x = 0; h) y = arctg x, y = 0, x = 0, x =. 37 / 44
Duljina luka krivulje (rektifikacija) Duljina luka krivulje y = f (x), x [a, b] je: s = b a b + (y (x)) 2 dx = Duljina luka krivulje x = g(y), y [c, d] je: s = d c d + (x (y)) 2 dy = a c + [f (x)] 2 dx. + [g (y)] 2 dy. 38 / 44
Duljina luka krivulje (rektifikacija) Zadatak Pomoću integrala izračunajte opseg kružnice polumjera r = 3. Rješenje Jednažba kružnice je : x 2 + y 2 = 9, te je y = x y, (y ) 2 = x2, tj. 9 x 2 3 3 O = 4 + x2 dx = 2 9 x 2 dx = 2 arcsin x 3 9 x 2 3 0 = 6π. 0 0 39 / 44
Duljina luka krivulje (rektifikacija) Zadatak Izračunajte duljinu luka krivulje y = ln(sin x), x [ π 3, 2π 3 ]. Rješenje y = cos x sin x + (y ) 2 = sin 2 x, tj. l = 2π 3 Zadatak Izračunajte duljinu luka krivulje: (a) y = x x, x [0, 5] π 3 sin x dx = ln tg x 2 2π 3 π 3 = ln 3. (b) x = 4 y 2 2 ln y, y [, e] 40 / 44
Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Rotacija oko osi apscisa (osi x): Ako skup S = {(x, y) R 2 : a x b, 0 y f (x)}, f je neprekidna funkcija, rotira oko osi apscisa dobivamo tijelo čiji je volumen: b V x = π a y 2 (x) dx = π b a [f (x)] 2 dx. 4 / 44
Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Rotacija oko osi ordinata (osi y): Ako skup S = {(x, y) R 2 : c y d, 0 x g(y)}, g je neprekidna funkcija, rotira oko osi ordinata dobivamo tijelo čiji je volumen: d V y = π c x 2 (y) dy = π d c [g(y)] 2 dy. Ako skup S = {(x, y) R 2 : 0 a x b, 0 y f (x)}, f je neprekidna funkcija, rotira oko osi ordinata dobivamo tijelo čiji je volumen: b V y = 2π a b x y dx = 2π a x f (x)dx. 42 / 44
Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Zadatak Odredite volumen tijela koje nastaje rotacijom elipse x2 4 + y 2 = (a) oko osi x, (b) oko osi y. Rješenje (a) V x = π (b) V y = π 2 2 y 2 dx = π x 2 dy = π 2 2 ( x2 4 )dx = π(x x 3 4 3 ) 2 2 = = 8π 3. 4( y 2 )dy = 4π(y y 3 3 ) = = 6π 3. 43 / 44
Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Zadatak Pomoću integrala izračunajte volumen rotacijskog tijela nastalog rotacijom skupa sa slike: 2 2 3 4 (a) oko osi x, (b) oko osi y. Zadatak Odredite volumen rotacijskog tijela nastalog rotacijom krivulje y = e x od x = 0 oko osi x. 44 / 44