Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske (Furijeovi redovi), hiporboličke, Beselove i Ležndrove funkcije. Me - dutim, im nekoliko klsičnih problem u fizici i tehnici, čije rešvnje nmeće uvo - dene nekih drugih funkcij. U ovom poglvlju smo ćemo d nvedemo grupu tih funkcij, bez ulženj u detlje i nlizu njihovih osobin. 1.1.1 Hermitovi polinomi Funkcij, koju oznčvmo s He n (x), predstvlj rešenje diferencijlne jednčine dt je izrzom y xy + ny =, (1.1) He n (x) = x n n! n! n! 2!(n 2)! xn 2 + 1 3 4!(n 4)! xn 4 1 3 5 6!(n 6)! xn 6 + (1.2) Ovko definisne funkcije zovemo Hermitovi polinomi 1. Ovi polinomi mogu d se predstve i relcijom Neke rekurentne formule He n (x) = ( 1) n e x2 /2 dn dx n ( e x2 /2 ), n =, 1,... (1.3) He n+1 (x) = xhe n (x) d dx He n(x), d dx He n(x) = nhe n 1 (x). (1.4) 1 Chrles Hermite (1822-191), frncuski mtemtičr, poznt po svojim rdovim iz lgebre i teorije brojev. 1
Jedn vez izme - du eksponencijlne i Hermitove funkcije Integrln reprezentcij e tx t2 /2 = n= He n (x) tn n!. (1.5) He n (x) = 1 + (x + it) n e t2 /2 dt, i = 1. (1.6) 2π Npomenimo d se u literturi često i jednčin oblik y 2xy + 2ny = nziv Hermitov diferencijln jednčin, čije je rešenje dto s 1.1.2 Lgerovi polinomi Rešenje diferencijlne jednčine je funkcij oblik ( H n (x) = ( 1)n dn x2 e dx n e x2), n =, 1,... Ln (α) (x) = ex x α koju zovemo Lgerov polinom 2 (funkcij). xy + (α + 1 x)y + ny = (1.7) n! d n dx n ( e x x n+α), n =, 1,..., (1.8) 1.2 Specijlne funkcije koje nisu posledic rešvnj diferencijlnih jednčin Frobeniusovom metodom U ovom delu nvešćemo nekoliko specijlnih funkcij koje se jvljju u problemim fizike i mtemtike, nisu posledic rešvnj diferencijlnih jednčin pomoću redov. 1.2.1 Gm funkcij (fktorijel funkcij) Definicij. Γ funkcij definiše se sledećom relcijom: Γ(n) = e x x n 1 dx, (1.9) gde je n reln, pozitivn broj (n > ). Ovj uslov je potrebn zbog konvergencije integrl, po gornjoj grnici. 2 Edmond Lguerre (1834-1886), frncuski mtemtičr, poznt po rdovim iz geometrije i teorije beskončnih redov. 2
Ov funkcij poznt je i ko Ojlerov integrl druge vrste. U posebnom slučju, ko je n = 1, immo: Γ(1) = e x dx = 1. (1.1) Prcijlnom integrcijom, iz (1.9) dobijmo: Γ(n) = [ e x x n 1] + (n 1) e x x n 2 dx, (1.11) i ko je n > 1, dobijmo: Γ(n) = (n 1) Γ(n 1). (1.12) Zmenom n s n + 1, dobijmo (n = 1, 2,...): Γ(n + 1) = n Γ(n) = n (n 1) Γ(n 1) = = n! (1.13) Dlje, ko zmenimo x s x 2 u (1.9), dobijmo: Γ(n) = e x2 x 2n 2 d(x 2 ) = 2 e x2 x 2n 1 dx. (1.14) U posebnom slučju, ko je n = 1/2, iz prethodne relcije dobijmo Γ(1/2) = 2 e x2 dx. (1.15) Integrl: π/2 cos m τ sin n τ dτ, (1.16) može d se izrzi preko Γ funkcije. D bismo to pokzli, po - dimo od integrl: u = e x2 y 2 x 2m 1 y 2n 1 dxdy. (1.17) Ovj dvostruki integrl možemo d predstvimo ko proizvod dv jednostruk: u = e x2 x 2m 1 dx e y2 y 2n 1 dy = 1 Γ(m) Γ(n). (1.18) 4 S druge strne, ko pre - demo n polrne koordinte (x = r cosτ, y = r sin τ, dxdy = r drdτ), 3
integrl (1.17) postje: u = = π/2 Iz (1.18) i (1.19) dobijmo: odnosno: Uvedimo sd smene: p integrl (1.21) postje: e r2 (r cosτ) 2m 1 (r sin τ) 2n 1 r drdτ = e r2 r 2(m+n) 1 dr π/2 = 1 π/2 2 Γ(m + n) (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = (1.19) u = 1 4 Γ(m)Γ(n) = 1 π/2 2 Γ(m + n) (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ, (1.2) π/2 π/2 (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = 1 2 2m 1 = m m = m + 1, 2 2n 1 = n n = n + 1, 2 Γ(m)Γ(n) Γ(m + n). (1.21) (1.22) ( m ) ( + 1 n ) + 1 (cosτ) m (sin τ) n dτ = 1 Γ Γ 2 2 ( 2 m + n ). (1.23) + 2 Γ 2 Npomenimo d je m > 1 i n > 1, što sledi iz uslov d je m > i n >. U specijlnom slučju, kd je m = n =, dobijmo: π/2 dτ = 1 [Γ(1/2)] 2 2 Γ(1) π 2 = [Γ(1/2)]2 2 Γ(1/2) = π. (1.24) Dlje, iz (1.12), dobijmo: itd. Iz (1.13) sledi: Γ(3/2) = 1 2 Γ(1/2) = 1 2 odkle Γ(n), kd n +. π, Γ(5/2) = 1 3 2 2 π, Γ(7/2) = 1 3 5 2 3 π, (1.25) Γ(n) = Γ(n + 1), (1.26) n 4
Γ funkcij može d se proširi n osnovu (1.26) i z n < u korcim njpre z ( 1, ), ztim ( 2, 1) itd. Ovko proširen funkcij predstvljen je grfički n sl. 3.4. 1.2.2 Bet funkcij Definicij. Slik 1.1: Γ funkcij Bet funkciju definišemo sledećom relcijom: B(m, n) = 1 x m 1 (1 x) n 1 dx (1.27) z svko m > i n >. Ovj uslov je potrebn zbog konvergencije integrl. Funkcij (1.27) poznt je i ko Ojlerov integrl prve vrste. Bet funkcij može d se poveže s Γ funkcijom, polzeći od (1.27) i uvodeći smenu x = cos 2 τ, p dobijmo (prem 1.21): 1.2.3 Funkcij greške Definicij. π/2 B(m, n) = 2 (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = Γ(m) Γ(n) Γ(m + n) = B(m, n). (1.28) Integrl oblik erf(x) = 2 x e t2 dt (1.29) π definiše funkciju koju zovemo funkcij greške. 5
On može d se predstvi i u obliku red Slik 1.2: Funkcij greške erf(x) = 2 ( 1) k+1 x 2k 1 π (2k 1)k!. (1.3) k=1 Pored ove funkcije koristi se i erfc funkcij ili komplementrn funkcij greške, definisn relcijom Iz sme definicije ovih funkcij i (1.15) i (1.24) neposredno sledi erfc(x) = 1 erf(x) = 2 e t2 dt. (1.31) π x erf( ) = 1 i erfc() = 1. (1.32) U nekim problemim fizike jvlj se i funkcij oblik ( ) 1 1 + i 1 + i erf 2 x π = C(x) + is(x), i = 1. (1.33) U prethodnoj formuli jvljju se funkcije C(x) i S(x), definisne relcijm C(x) = S(x) = x x cos πt2 2 dt, sin πt2 2 dt, (1.34) koje nzivmo Frenelovi integrli. 3 Slik 1.3: Frenelovi integrli 3 Augustin Fresnel (1788-1827), frncuski fizičr, poznt po svojim rdovim iz optike. 6
1.2.4 Eksponencijlni integrl Integrl dt relcijom Ei( x) = e t x t dt (1.35) definiše tzv. eksponencijlni integrl. Ov funkcij tko - de se jvlj u mnogim problemim fizike. Z mle vrednosti x ovj integrl može d se proksimir relcijom Ei(x) γ lnx, (1.36) gde je γ konstnt, dt relcijom (1.39). Ako x zmenimo s iy, eksponencijlni integrl može d se predstvi u obliku pri čemu smo uveli dve nove funkcije Ci(y) i Si(y), definisne izrzim Ci(y) = Si(y) = Ei(iy) = Ci(y) + isi(y) + i π 2, (1.37) y y sin t t cost t y dt = γ + lny dt = π 2 y 1 sin t t 1 cost t dt. dt, (1.38) Ove funkcije zovemo: Ci(y) kosinus integrl i Si(y) sinus integrl. U prethodnim relcijm jvljl se jedn konstnt γ koj je u literturi poznt i ko Ojlerov konstnt. Može d se predstvi izrzom ( m ) 1 γ = lim m l lnm, 577215. (1.39) 1.2.5 Eliptički integrli i funkcije Postoji više vrst eliptičkih integrl. N ovom mestu dćemo dv: Definicij. Funkcij definisn relcijom l=1 K(k, t) = t dx (1 x2 )(1 k 2 x 2 ) (1.4) zove se eliptički integrl prve vrste. Definicij. Funkcij definisn relcijom E(k, t) = zove se eliptički integrl druge vrste. t 1 k 2 x 2 1 x 2 dx (1.41) 7
1.3 Ortogonlne i normirne funkcije Posmtrjmo skup integrbilnih funkcij z x [, b], ( < b) Definicij. f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x),..., (1.42) Z skup funkcij (1.42) kže se d je ortogonln u intervlu [, b], ko je (f m, f n ) def f m (x)f n (x)dx =, z m n, n, m = 1, 2,... (1.43) pri čemu funkcije f n (x), n = 1, 2,..., nisu identički jednke nuli u posmtrnom intervlu. Kko su f n (x) integrbilne funkcije, i b konstnte, to očigledno postoji i integrl pri čemu je I n konstntno. Definicij. Nenegtivn kvdrtni koren (fn, f n ) = f 2 n (x)dx = I n >, nziv se norm funkcije f n (x) i oznčv se s f n = I n, tj. f n = (f n, f n ) = f 2 n(x)dx = I n (1.44) fn 2 (x)dx. (1.45) Definicij. Skup funkcij f n (1.42), čij je norm jednk jedinici, tj. f n = fn 2 (x)dx = 1 (1.46) nzivmo normirn skup funkcij. 8
Definicij. Skup funkcij f n (1.42) koji je istovremeno ortogonln i normirn, tj. (f m, f n ) = f m (x)f n (x)dx = δ mn (1.47) nzivmo ortonormirn skup funkcij, n intervlu x [, b]. U prethodnoj relciji δ ij predstvlj Kronekerov delt simbol. Neki skupovi funkcij, bitni z primenu, nisu ortogonlni, li poseduju tkvu osobinu d je p(x)f m (x)f n (x)dx =, z m n. (1.48) U ovom slučju kžemo d je skup funkcij f n (1.42) ortogonln u odnosu n težinsku funkciju p(x), n intervlu x [, b]. U ovom slučju norm se definiše izrzom f n = p(x)fn 2 (x)dx. (1.49) Ako je u ovom slučju norm jednk jedinici, td je odgovrjući skup funkcij ortonormirn u odnosu n p(x), n posmtrnom intervlu. 1.3.1 Redovi ortogonlnih funkcij Pomoću skupov ortogonlnih funkcij uvodi se n jednostvn nčin jedn znčjn tip funkcionlnih redov. Nime, nek je g 1 (x), g 2 (x),... dti skup ortogonlnih funkcij n intervlu x b i nek je f(x) dt funkcij koj n ovom intervlu može d se predstvi preko funkcij g i ko konvergentn red: f(x) = n g n (x) (1.5) n=1 ond se ovj red nziv generlisn Furijeov red 4 funkcije f(x), njegovi koeficijenti 1, 2,... Furijeovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n dti skup ortogonlnih funkcij. S obzirom n ortogonlnost funkcij g i, Furijeovi koeficijenti mogu d se odrede reltivno jednostvno. Množenjem leve i desne strne jednkosti (1.5) s g m (x) gde je m konstnt, ztim integrljenjem od do b (uz pretpostvku d je integrcij čln po čln moguć), dobijmo: ( ) (f, g m ) = fg m dx = n g n g m dx = g n g m dx = n (g n, g m ) n=1 Z n = m dobij se (g m, g m ) = g m 2, dok z n m, zbog ortogonlnosti funkcij g i, sledi (g n, g m ) =. Prem tome, formul z Furijeove koeficijente je: m = (f, g m) g m 2 = 1 g m 2 4 O Furijeovim redovim biće detljnije reči u nrednom poglvlju. n=1 n f (x)g m (x) dx, m = 1, 2,... n=1 9
1.3.2 Kompletnost ortonormirnih funkcij U prksi često se koriste ortonormirni skupovi koji sdrže - dovoljn broj funkcij koji omogućv d se generlisnim Furijeovim redovim ovih funkcij predstve široke klse funkcij, n primer, sve neprekidne funkcije n intervlu x b. Definicij. Niz funkcij f n (x) je konvergentn po normi i konvergir k funkciji f ko je lim f n f =, (1.51) n odnosno, ko je (uz izostvljnje kvdrtnog koren kod norme): lim n [f n (x) f (x)] 2 dx =. Konvergencij po normi nziv se i srednjekvdrtnom konvergencijom ili srednjom konvergencijom. Shodno ovoj definiciji red (1.5) konvergir (po normi) k funkciji f ko je lim n gde je s n (x) prcijln sum red (1.5) : Definicij. [s n (x) f (x)] 2 dx =, s n (x) = n k g k (x). k=1 Skup ortonormirnih funkcij g 1, g 2,... je kompletn u skupu funkcij S n intervlu x b, ko bilo koj funkcij f iz S može s proizvoljnom tčnošću d se proksimir linernom kombincijom 1 g 1 + 2 g 2 + + n g n. To znči d z svko ε > mogu d se n - du konstnte 1, 2,..., n tkve d je z dovoljno veliko n: f ( 1 g 1 + 2 g 2 +... + n g n ) < ε. Može d se pokže d su skupovi Ležndrovih polinom i Beselovih funkcij kompletni u skupu neprekidnih relnih funkcij n odgovrjućim intervlim. 1.3.3 Šturm-Liuvilov problem U tehnici, rzličiti vžni ortogonlni skupovi funkcij nstju ko rešenje linerne diferencijlne jednčine drugog red, čiji oblik može d se predstvi relcijom [r(x)y ] + [q(x) + λp(x)] y =, (1.52) n nekom intervlu x b, pri čemu su zdovoljeni grnični uslovi oblik: ) k 1 y() + k 2 y () =, b) l 1 y(b) + l 2 y (b) =. (1.53) 1
Ovde je λ- prmetr, k i odnosno l i (i = 1, 2) dte (poznte) relne konstnte, koje nisu istovremeno jednke nuli. Jednčin (1.52) zove se Šturm 5 Liuvilov 6 jednčin. Može d se pokže d Ležndrov, Beselov i neke druge jednčine mogu d se predstve u ovom obliku. Problem rešvnj diferencijlne jednčine (1.52) s grničnim uslovim (1.53), zove se Šturm-Liuvilov problem. Glvne vrednosti. Glvne funkcije Iz relcij (1.52) i (1.53) vidi se, d z svko λ, immo trivijlno rešenje y, tj. y(x) = z x iz posmtrnog intervl. Definicij. Vrednosti λ, z koje problem (1.52), (1.53) im netrivijlno rešenje (y ), ko tkv broj postoji, zove se glvn vrednost problem. Definicij. Netrivijlno rešenje, problem (1.52), (1.53), koje odgovr glvnoj vrednosti λ zove se glvn funkcij. Neke osobine, prethodno uvedenih pojmov, dćemo u obliku dve (sledeće) teoreme. Teorem 1 Pretpostvimo d su funkcije p, q, r i r, u jednčini (1.52), relne i neprekidne n intervlu x b. Nek su y m (x) i y n (x) glvne funkcije Šturm-Liuvilovog problem (1.52), (1.53), koje odgovrju rzličitim glvnim vrednostim λ m i λ n, respektivno. Td su y m i y n ortogonlne funkcije, n posmtrnom intervlu, u odnosu n težišnu funkciju p. Dokz. Kko su y m i y n rešenj posmtrnog problem to one zdovoljvju relcije: (ry m ) + (q + λ m p)y m =, (ry n) + (q + λ n p)y n =. Pomnožimo prvu relciju s y n, drugu s y m, ztim ih sberimo, p dobijmo (λ m λ n ) py m y n = y m (ry n) y n (ry m) = [(ry n)y m (ry m)y n ]. (1.54) Ovj izrz predstvlj neprekidnu funkciju, u intervlu x b, jer su r i r neprekidne funkcije prem početnoj pretpostvci, y m i y n ko rešenj početnog problem. Dkle, možemo d integrlimo posmtrni izrz (1.54). Ov integrcij dje (λ m λ n ) py m y n dy = [r (y ny m y my n )] = r(b)[y n (b)y m(b) y m (b)y n(b)] r()[y n ()y m() y m ()y n()]. b = (1.55) Anlizirjmo sd izrz s leve strne jednkosti (1.55) i u tu svrhu posmtrjmo grnične uslove (1.53): k 1 y m () + k 2 y m () =, (1.56) k 1 y n () + k 2 y n() =. (1.57) 5 Jcques Chrles Frncois Sturm (183-1855), frncuski mtemtičr, švjcrskog porekl. Do je znčjn doprinos u lgebri, poznt je po tome što je prvi izrčuno brzinu prostirnj zvuk u vodi. 6 Joseph Liouville (189-1882), frncuski mtemtičr. Do je veliki doprinos u rzličitim oblstim mtemtike, posebno je poznt njegov rd u kompleksnoj nlizi, specijlnim funkcijm, diferencijlnoj geometriji i teoriji brojev. 11
Množeći prvu jednčinu s y n, drugu s y m, ztim oduzimjući, dobijmo Uz pretpostvku d je k 2 dobijmo d je N sličn nčin može d se pokže d je i z l 2. N osnovu ovih relcij zključujemo d je k 2 [y m ()y n () y n()y m ()] =. (1.58) y m ()y n() y n ()y m() =. (1.59) y m (b)y n(b) y n (b)y m(b) =, (1.6) py m y n dy =, z m n. (1.61) Ovim smo dokzli teoremu z k 2 i l 2. Posmtrjmo ponovo uslove (1.56) i (1.57). Množeći prvi uslov s y n, drugi d y m, ztim oduzimjući dobijmo, z k 1 y m ()y n() y n ()y m() =. (1.62) N sličn nčin dobijmo i z l 1 y m (b)y n(b) y n (b)y m(b) =. (1.63) N ovj nčin dokzli smo teoremu i z ovj slučj, p je, s obzirom d k 1 i k 2, odnosno l 1 i l 2 ne mogu istovremeno d budu jednki nuli, teorem dokzn u celosti. Teorem 2 Ako Šturm-Liuvilov problem (1.52), (1.53) zdovoljv uslove prethodne teoreme i ko je p n celom intervlu x b, td su sve glvne vrednosti problem relne. Dokz. Pretpostvimo suprotno, tj. nek je λ = α + iβ glvn vrednost problem, odgovrjuć glvn funkcij oblik y(x) = u(x) + iv(x). U ovim izrzim α, β su relne konstnte, u i v relne funkcije. Zmenom ovih vrednosti u jednčinu (1.52) dobijmo (ru + irv ) + (q + αp + iβp)(u + iv) =. D bi ov kompleksn jednčin bil zdovoljen, potrebno je d istovremeno i relni i imginrni njeni delovi budu jednki nuli, tj. (ru ) + (q + αp)u βpv =, (rv ) + (q + αp)v + βpu =. Ako pomnožimo prvu jednčinu s v, drugu s u, p ztim ih sberemo, dobijmo β ( u 2 + v 2) p = u(rv ) v(ru ) = = [(rv )u (ru )v]. 12
Izrz u uglstoj zgrdi je neprekidn funkcij n intervlu x b (videti dokz prethodne teoreme), p integrcijom, vodeći rčun o grničnim uslovim (ko i kod prethodne teoreme), dobijmo β ( u 2 + v 2) p dx = [r (uv vu )] Kko je y glvn funkcij to je y. Dlje, kko su y i p neprekidne funkcije, pri čemu je p > ili p < n intervlu x b, y 2 = u 2 + v 2, to sledi d je integrl n levoj strni poslednje jednkosti rzličit od nule. Odvde sledi d β mor d bude jednko, tj. β =. Ko je λ = α + iβ i β =, to sledi d je λ = α. Dkle λ je reln broj. Ovim je teorem dokzn. b =. 13