5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10
Definicija Karakteristična funkcija ϕ X slučajne promenljive X, odnosno njene raspodele, definiše se sa ϕ X (t) = E e itx. Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f, tada je ϕ X (t) = + a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je e itx f (x) dx, ϕ X (t) = k e itk P(X = x k ). Karakteristična funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcije gustine (sa e itx umesto e itx ). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 2 / 10
Definicija Karakteristična funkcija ϕ X slučajne promenljive X, odnosno njene raspodele, definiše se sa ϕ X (t) = E e itx. Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f, tada je ϕ X (t) = + a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je e itx f (x) dx, ϕ X (t) = k e itk P(X = x k ). Karakteristična funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcije gustine (sa e itx umesto e itx ). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 2 / 10
Primeri Za Bernulijevu slučajnu promenljivu sa verovatnoćom uspeha p, ϕ(t) = e it 1 p + e it 0 (1 p) = pe it + (1 p). Primer 113 Za X Poiss (λ), ϕ(t) = + k=0 ( e itk λ λk + λe it ) k e k! = e λ k! k=0 Primer 114 Za Z N (0, 1): ϕ Z (t) = 1 + 2π = e λ e λeit = e λ(eit 1). e itx x2 2 dx = = e t 2 2. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 3 / 10
Primeri Za Bernulijevu slučajnu promenljivu sa verovatnoćom uspeha p, ϕ(t) = e it 1 p + e it 0 (1 p) = pe it + (1 p). Primer 113 Za X Poiss (λ), ϕ(t) = + k=0 ( e itk λ λk + λe it ) k e k! = e λ k! k=0 Primer 114 Za Z N (0, 1): ϕ Z (t) = 1 + 2π = e λ e λeit = e λ(eit 1). e itx x2 2 dx = = e t 2 2. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 3 / 10
Primeri Za Bernulijevu slučajnu promenljivu sa verovatnoćom uspeha p, ϕ(t) = e it 1 p + e it 0 (1 p) = pe it + (1 p). Primer 113 Za X Poiss (λ), ϕ(t) = + k=0 ( e itk λ λk + λe it ) k e k! = e λ k! k=0 Primer 114 Za Z N (0, 1): ϕ Z (t) = 1 + 2π = e λ e λeit = e λ(eit 1). e itx x2 2 dx = = e t 2 2. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 3 / 10
Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
Momenti Definicija 4.9 Za slučajnu promenljivu X i prirodan broj k, moment reda k definiše se kao E X k, ukoliko postoji očekivanje slučajne promenljive X k. Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momenti reda k < n. Više o momentima može se (neobavezno) pročitati u odeljku 4.8 (stranice 106-108 udžbenika). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 5 / 10
Momenti Definicija 4.9 Za slučajnu promenljivu X i prirodan broj k, moment reda k definiše se kao E X k, ukoliko postoji očekivanje slučajne promenljive X k. Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momenti reda k < n. Više o momentima može se (neobavezno) pročitati u odeljku 4.8 (stranice 106-108 udžbenika). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 5 / 10
Momenti Definicija 4.9 Za slučajnu promenljivu X i prirodan broj k, moment reda k definiše se kao E X k, ukoliko postoji očekivanje slučajne promenljive X k. Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momenti reda k < n. Više o momentima može se (neobavezno) pročitati u odeljku 4.8 (stranice 106-108 udžbenika). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 5 / 10
Osobine karakteristične funkcije - nastavak Teorema 5.2 1 Za svaku slučajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ili kompleksna) broja a, b važi da je ϕ ax +b (t) = e ibt ϕ X (at) 2 Ako slučajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on može naći pomoću n-tog izvoda karakteristične funkcije u nuli: E X n = i n ϕ (n) (0) Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 6 / 10
Osobine karakteristične funkcije - nastavak Teorema 5.2 1 Za svaku slučajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ili kompleksna) broja a, b važi da je ϕ ax +b (t) = e ibt ϕ X (at) 2 Ako slučajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on može naći pomoću n-tog izvoda karakteristične funkcije u nuli: E X n = i n ϕ (n) (0) Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 6 / 10
Osobine karakteristične funkcije - nastavak Teorema 5.2 1 Za svaku slučajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ili kompleksna) broja a, b važi da je ϕ ax +b (t) = e ibt ϕ X (at) 2 Ako slučajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on može naći pomoću n-tog izvoda karakteristične funkcije u nuli: E X n = i n ϕ (n) (0) Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 6 / 10
Primeri Primer 114 Za X N (µ, σ 2 ) naći karakterističnu funkciju, znajući da je za standardnu normalnu raspodelu ϕ Z (t) = e t2 2. R: X = σz + µ = ϕ X (t) = e iµt ϕ Z (σt) = exp(iµt σ2 t 2 2 ) Primer 113 Naći Var X za X Poiss (λ), znajući da je ϕ X (t) = e λ(eit 1). R: E X = λ, E X 2 = i 2 ϕ (0) = λ 2 + λ. VarX = λ Primer Košijeva slučajna promenljiva, sa gustinom f (x) = 1 π(1 + x 2, < x < + ) nema matematičko očekivanje, a time ni momente višeg reda. Karakteristična funkcija je ϕ(t) = e t ; ova funkcija nema izvode u nuli. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 7 / 10
Primeri Primer 114 Za X N (µ, σ 2 ) naći karakterističnu funkciju, znajući da je za standardnu normalnu raspodelu ϕ Z (t) = e t2 2. R: X = σz + µ = ϕ X (t) = e iµt ϕ Z (σt) = exp(iµt σ2 t 2 2 ) Primer 113 Naći Var X za X Poiss (λ), znajući da je ϕ X (t) = e λ(eit 1). R: E X = λ, E X 2 = i 2 ϕ (0) = λ 2 + λ. VarX = λ Primer Košijeva slučajna promenljiva, sa gustinom f (x) = 1 π(1 + x 2, < x < + ) nema matematičko očekivanje, a time ni momente višeg reda. Karakteristična funkcija je ϕ(t) = e t ; ova funkcija nema izvode u nuli. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 7 / 10
Primeri Primer 114 Za X N (µ, σ 2 ) naći karakterističnu funkciju, znajući da je za standardnu normalnu raspodelu ϕ Z (t) = e t2 2. R: X = σz + µ = ϕ X (t) = e iµt ϕ Z (σt) = exp(iµt σ2 t 2 2 ) Primer 113 Naći Var X za X Poiss (λ), znajući da je ϕ X (t) = e λ(eit 1). R: E X = λ, E X 2 = i 2 ϕ (0) = λ 2 + λ. VarX = λ Primer Košijeva slučajna promenljiva, sa gustinom f (x) = 1 π(1 + x 2, < x < + ) nema matematičko očekivanje, a time ni momente višeg reda. Karakteristična funkcija je ϕ(t) = e t ; ova funkcija nema izvode u nuli. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 7 / 10
Zbir nezavisnih slučajnih promenljivih preko karakterističnih funkcija Teorema 5.3 Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, tada je ϕ X +Y (t) = ϕ X (t) ϕ Y (t). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 8 / 10
Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri Primer 117 Za nezavisne slučajne promenljive X N (µ 1, σ1 2) i Y N (µ 2, σ2 2 ), naći raspodelu zbira X + Y. Primer 116 Ako su X 1 i X 2 nezavisne Puasonove slučajne promenljive sa parametrima λ 1 i λ 2 respektivno, naći raspodelu zbira X 1 + X 2 U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju. Neobavezno: Pogledajte primer 118 za još jedan sličan slučaj, i primer 119 kad raspodela zbira nije u istoj familiji. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 9 / 10
Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri Primer 117 Za nezavisne slučajne promenljive X N (µ 1, σ1 2) i Y N (µ 2, σ2 2 ), naći raspodelu zbira X + Y. Primer 116 Ako su X 1 i X 2 nezavisne Puasonove slučajne promenljive sa parametrima λ 1 i λ 2 respektivno, naći raspodelu zbira X 1 + X 2 U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju. Neobavezno: Pogledajte primer 118 za još jedan sličan slučaj, i primer 119 kad raspodela zbira nije u istoj familiji. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 9 / 10
Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri Primer 117 Za nezavisne slučajne promenljive X N (µ 1, σ1 2) i Y N (µ 2, σ2 2 ), naći raspodelu zbira X + Y. Primer 116 Ako su X 1 i X 2 nezavisne Puasonove slučajne promenljive sa parametrima λ 1 i λ 2 respektivno, naći raspodelu zbira X 1 + X 2 U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju. Neobavezno: Pogledajte primer 118 za još jedan sličan slučaj, i primer 119 kad raspodela zbira nije u istoj familiji. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 9 / 10
Za vežbu: Zadaci 110-112, 113, 114, 116-119. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 10 / 10